ASIGNATURAINTRODUCCIN AL CONTROL DIFUSOProf. Panayotis S. Tremante M.Sem 03/2003Clase 3UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE INGENIERAESCUELA DE INGENIERA ELCTRICACOMIT ACADMICO DE POSTGRADO (CAPEL)

Conjuntos Difusos La primera definicin matemtica la realiz L.A. Zadeh en su publicacin Fuzzy Sets Conjunto difusoDado X un espacio de puntos (Objetos), con un elemento genrico x . As, X = {x}. Un conjunto difuso A en X est caracterizado por una funcin de pertenencia, fA(x) o A(x), la cual asocia cada punto de X a un nmero real entre [0, 1], el valor de x en fA(x) representa el grado de pertenencia de x en A. As, el valor de 1 en fA(x) es el mas alto grado de pertenencia de x en A.

Conjuntos Difusos Un Conjunto Difuso en un Universo de discurso U est caracterizado por una funcin de pertenencia A(x) que toma valores en l intervalo [0, 1].

Un conjunto Difuso A en U puede estar representado como un conjunto de pares ordenados de un elemento genrico x y su valor de pertenencia, esto es: A = {(x, A(x)) | x U}

Conjuntos Difusos Cuando U es continua (por ejemplo, U=R), entonces A se denota como:Donde el signo de la integral no denota integracin, denota a todos los pares A(x)/x, xU.

Conjuntos Difusos Ejemplo: Dado U definida como una funcin continua en el intervalo [0, 100] que representa la edad de las personas, entonces, se puede definir el conjunto difuso de las personas jvenes y viejas como:

Conjuntos Difusos Cuando U es discreta, entonces A se denota como:Donde el signo de la sumatoria no representa la suma de todos los trminos, sino, que denota a todos los pares A(x)/x, xU.

Conjuntos Difusos Ejemplo: Dado U como los nmeros enteros del 1 al 10, entonces, un conjunto difuso A se podra definir como:Esto indica que el 5 y el 6 tiene grado 1; el 4 y 7 tiene grado 0.8; el 3 y 8 tiene grado 0.5 y el 1, 2, 9 y 10 tiene grado 0.

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos Soporte de un Conjunto Difuso:

El Soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U es un conjunto Ntido que contiene todos los elementos de U con valores de pertenencia diferentes de cero en A, esto es:supp(A) = {x U | A(x) > 0} Un Singleton Difuso (fuzzy singleton): es un conjunto difuso cuyo soporte es un nico punto en U.

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos El Centro de un Conjunto Difuso:

El Centro de un conjunto difuso A es un valor finito que se determina como el valor medio de todos los puntos en U que tengan el valor mximo. Si el valor medio es infinito positivo (negativo), entonces el centro se define como el menor punto (mayor) en U que toma un valor mximo en el conjunto difuso.

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos El Centro de un Conjunto Difuso:

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos El punto de cruce, point crossover de un Conjunto Difuso:

Es el punto en U cuyo valor de pertenencia es igual a 0.5.

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos La altura, height, de un Conjunto Difuso:

Es el mayor valor de pertenencia que se obtiene en un conjunto difuso A. Si la altura de un conjunto difuso es igual a uno se le llama conjunto difuso normal.

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos El corte- de un Conjunto Difuso:

El corte- de un Conjunto Difuso A es un conjunto ntido A que contiene todos los elementos de U con valores de pertenencia en A mayores o igual a , esto es, A = {x U | A(x) }

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos Conjunto Convexo:

Un Conjunto Difuso A es convexo cuando en el corte A se obtiene un solo intervalo

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos Conjunto Convexo definicin:

Un Conjunto Difuso A en Rn es convexo si y slo si se cumple lo siguiente:

A[x1 + (1-)x2] min[A(x1), A(x2)]

para todo x1, x2 Rn y todo [0, 1].

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos Proyeccin (sombra) de un Conjunto Difuso:Dado un Conjunto Difuso A en Rn con funcin de pertenencia A(x)=A(x1,....,xn) y H un hiperplano en Rn definido por H = {x Rn | x1=o}. La proyeccin de A sobre H es un conjunto difuso AH en Rn-1 definido por:AH(x2,....,xn) = sup A(x1,....,xn)

Donde sup A(x1,....,xn) denota el mximo valor de la

funcin A(x1,....,xn) cuando x1 toma valores en R.x1 Rx1 R

Conceptos Bsicos en Conjuntos Difusos Proyeccin (sombra) de un Conjunto Difuso:

Operaciones en Conjunto DifusoSobre los Conjuntos Difusos se tiene operaciones al igual que en los conjuntos clsicos. Algunas de estas operaciones, ms comunes son: Igualdad, Inclusin, Complemento, Unin e Interseccin. IgualdadLos conjuntos difusos A y B son iguales si y slo si A(x)=B(x), xU.InclusinA est incluido en B, se denota como A B, si y slo si A(x)B(x), xU.

Operaciones en Conjunto Difuso ComplementoEl complemento de un conjunto difuso A es otro conjunto difuso en U cuya funcin de pertenencia se define como: (x) = 1 - A(x)

Operaciones en Conjunto Difuso InterseccinLa interseccin de los conjuntos difusos A y B (AB) en el universo de discurso U es:

AB(x) = min{A(x), B(x)} UninLa unin de los conjuntos difusos A y B (AB) en el universo de discurso U es:

AB(x) = max{A(x), B(x)}

Operaciones en Conjunto Difuso Las leyes de Morgan, tambin se cumplen en los conjuntos difusos. Esto es, si A y B son conjuntos Difusos entonces:

Funcin de Pertenencia Funcin de Pertenencia (definicin matemtica)Si X es el universo de discurso y sus elementos son denotados por x, entonces un conjunto difuso A en X se define como un conjunto de pares ordenados: A={x, A(x) | x X}A(x) se llama la funcin de pertenencia de x en A. La funcin de pertenencia traza cada elemento de X a un valor de pertenencia entre 0 y 1.

Funcin de Pertenencia Existen varios tipos de funciones de pertenencia. Algunas de ellas son: funciones lineales a trozo, funcin de distribucin Gaussiana, curvas sigmoides y curva polinmica: cuadrtica y cbica. Las funciones de pertenencia ms simples son formadas por lneas rectas. La funcin de pertenencia triangular es una agrupacin de tres puntos que forman un tringulo. Otra funcin de pertenencia, formada por lneas rectas, es la trapezoidal, tiene un tope plano y realmente es una triangulo truncado.

Funcin de Pertenencia Funcin de Pertenencia Triangular y Trapezoidal. (a) (b)

Funcin de Pertenencia La funcin de pertenencia triangular esta definida por la siguiente ecuacin: depende de tres parmetros a, b y c; el parmetro a es valor de x del extremo izquierdo del tringulo, el parmetro b es valor de x mximo del tringulo y el parmetro c es valor de x del extremo derecho del tringulo. [a b c] = [3 6 8].

Funcin de Pertenencia La funcin de pertenencia trapezoidal esta definida por la siguiente ecuacin: depende de cuatro parmetros a, b, c y d; el parmetro a es valor de x del extremo izquierdo del trapecio, el parmetro b es valor de x mximo izquierdo del trapecio, el parmetro c es valor de x mximo derecho del trapecio y el parmetro d es valor de x del extremo derecho del trapecio. [a b c d] = [1 5 7 8]

Funcin de Pertenencia Otras funciones de pertenencia se construyen con la curva de distribucin Gaussiana: una simple curva Gaussiana Figura (a) y una combinacin de dos diferentes curvas Gaussiana Figura (b). La funcin de pertenencia de campana generalizada Figura (c). (a) (b) (c) Aunque la funcin de pertenencia Gaussiana y de Campana logran suavidad, ellas son incapaces de especificar una funcin de pertenencia asimtrica que es importante en ciertas aplicaciones.

Funcin de Pertenencia Las funciones de pertenencia sigmoides, permiten abrir a la izquierda o derecha. Las funciones de pertenencia asimtrica y cerrada (por ejemplo: no abra a la izquierda o la derecha) pueden sintetizarse usando dos funciones sigmoides sumadas Figura (a), tambin se tienen por diferencia Figura (b) y por el producto de dos sigmoides Figura (c). (a) (b) (c)

Funcin de Pertenencia Algunas curvas polinmicas consideradas funciones de pertenencia son las curvas Z, S y la Pi las cuales estn relacionadas entre s y denominadas as, debido a su forma. La funcin Z Figura (a) es una curva polinmica asimtrica abierta hacia la izquierda, la funcin S Figura (c) abre hacia la derecha y es el espejo la funcin Z y la funcin Pi Figura (b) es cero en ambos extremos con un levantamiento en el centro. (a) (b) (c)

Funcin de Pertenencia Cmo se determina la Funcin de Pertenencia? Interpretaciones subjetivas son utilizadas en los conjuntos difusos. Por ejemplo, Si se dice Una persona es alta la funcin de pertenencia alto debe tener en cuenta, s se est refirindose a un nio o una persona mayor, sexo, la zona geogrfica, etc.

La nica condicin que realmente se debe satisfacer en una funcin de pertenencia es que debe variar entre 0 y 1.

Funcin de Pertenencia La funcin de pertenencia puede ser una curva arbitraria cuya forma podemos definir como una funcin que nos satisface desde el punto de vista de simplicidad, conveniencia, resolucin y eficacia.

La funcin de pertenencia puede determinarse con base en criterios individuales (subjetivos u objetivos), criterios colectivos, procedimientos analticos, procedimientos experimentales, etc.

Funcin de Pertenencia Operaciones Sobre los Conjuntos Difusos se dieron operaciones que son igualmente aplicables a la Funciones de Pertenencia. IgualdadSean A y B subconjuntos difusos de un conjunto X. Entonces A=B si A(x)=B(x), xX.InclusinSean A y B subconjuntos difusos de un conjunto X. Entonces AB si A(x)

Funcin de Pertenencia Operaciones ComplementoEl complemento de la funcin de pertenencia A(x) del conjunto A para todos los puntos x pertenecientes al universo de discusin X es:

(x) = 1 - A(x)

Funcin de Pertenencia Operaciones UninLa Unin pone el mximo valor entre A y B. La Unin de las funciones de pertenencia A(x) y B(x) de los conjuntos A y B para todos los puntos x pertenecientes al universo de discurso X es:

A(x) B(x) = max{A(x), B(x)}

Funcin de Pertenencia Operaciones InterseccinLa Interseccin toma el mnimo valor entre A y B. La Interseccin de las funciones de pertenencia A(x) y B(x) de los conjuntos A y B para todos los puntos x pertenecientes al universo de discurso X es:

A(x) B(x) = min{A(x), B(x)}

Funcin de Pertenencia Operaciones Representacin Grfica de las operaciones.Dado:X01 (x)CX01 (x)CUninInterseccinX01 (x)CComplemento de A1

Variable Lingstica Se define como variable lingstica X, la variable cuyos valores pueden ser palabras o frases en un lenguaje natural o artificial. Por ejemplo: justicia, edad, estatura, distancia, velocidad son interpretados como variables lingsticas T(X), el cual tendr definida una serie de trminos lingsticos que son un subconjunto del universo considerado.

Variable Lingstica Los trminos lingsticos incluyen trminos primarios: Bajo, Medio, Alto, etc y en ocasiones modificadores: muy, completamente, ms o menos, poco, escasamente, etc.

Otra serie de modificadores:ExtremadamenteAbundantementeTotalmenteExcesivamente

Variable Lingstica Otra serie de modificadores:SuperMegaModeradamenteRegularParcialmenteAlgoDbilmenteMicroMini

Variable Lingstica T(justicia)={muy injusto, injusto, justo, ms o menos justo, muy justo, bastante justo}

T(edad)={infante, nio, bastante joven, muy joven, joven, ms o menos viejo, viejo, muy viejo, bastante viejo}

T(estatura)={muy bajo, bajo, ms o menos alto, alto , muy alto}

Variable Lingstica T(distancia)={bastante cerca, cerca, lejos, muy lejos}

T(velocidad)={lenta, moderada, ms o menos rpida, rpida, muy rpida}

T(temperatura)={muy caliente, caliente, tibio, muy tibio, frio}

Cada trmino lingstico es una funcin de pertenencia Alto(x)