1 Matemtica para Ingeniera (MA261) ClasePrctica 12.3 (modelacin) 1)Resuelva los siguientes SEL y clasifquelos segn su solucin: a. = + += += + 8 35 21 2z y xz yz y x b. = += + = +8 26 28 53 4 5 29 6 6 3z y xz y xz y x c. = + = + = + 33 3 2 21 2y x wz y x wz y x w En cada caso; obtenemos la matriz aumentada: a)

8 3 1 15 2 1 01 1 2 1( )1 31 R R +1 2 1 10 5 1 20 3 7 2 ( ) + 3 23 R R

8 4 0 05 2 1 01 1 2 1 ( ) 325 , 0 R

2 1 0 05 2 1 01 1 2 1 Se tiene z = 2;y +2(2) = 5y= 1;x-2(1)+1(2) = 1

x = 1Por lo tanto se obtiene: Sistemacompatible determinado, solucin nica( ) } { 2 ; 1 ; 1 .= S C

b) 3 6 6 95 3 2 45 28 26 8 ( ) 131R 3 1 2 25 3 2 45 28 26 8 ( )( )1 21 325R RR R + + 3 1 2 20 9 8 30 18 16 23

( )2 32 R R +3 1 2 20 9 8 30 0 0 29

Se tiene un sistema Incompatible que no tiene solucin. 2 c)La matriz aumentada es

+ +0 0 0 0 01 1 1 0 01 2 1 1 12 2 2 0 01 1 1 0 01 2 1 1 13 0 1 1 13 3 1 2 21 2 1 1 12 3 1 31 222R R R RR REl sistema asociado es 11 2= = + z yz y x w El sistema tiene infinitos soluciones; A continuacin usaremos parmetros # parmetros = # de incognitas # de ecuaciones que resulta de la matriz escalonada= 2 Hacemos z = t x = r Luego y = 1 + t w = 2 + r t Entonces CS = { (2 + r t, r , 1+t, t) / re IR , t e IR} 2) a. Unabilogahacolocadotrescepasbacterianas(denotadascomoI,IIyIII)enuntubode ensayo,dondesernalimentadascontresdistintasfuentesalimenticias(A,ByC).Cadada 2300 unidadesdeA, 800 deB y 1500 deC se colocan enel tubo deensayo, ycadabacteria consumeciertonmerodeunidadesdecadaalimentoporda,comosemuestraenlatabla. Cuntasbacteriasdecadacepapuedencoexistireneltubodeensayoyconsumirtodoel alimento? Cepa Bacteriana I Cepa Bacteriana II Cepa Bacteriana III Alimento A224 Alimento B120 Alimento C131 Sean 2 1, x xy 3xlos nmeros de bacterias de las cepas I,II y II, respectivamente. Puesto que cada una de las bacterias de 1xde la cepa consume 2 unidades de A por da, la cepa I consume un total de 12x unidadesporda.Demodosimilar,lascepasIIyIIIconsumenuntotalde 22x y 34xunidades de alimento A diariamente. Como queremos acabar con las 2300 unidades de A,tenemos la ecuacin 2300 4 2 23 2 1= + + x x xDe la misma forma, obtenemos las ecuaciones correspondientes al consumo de B y C. 1500 3800 x x3 2 12 1= + += +x x x As tenemos un sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables. La reduccin por renglones de la correspondiente matriz aumentada nos da

350 1 0 0350 0 1 0100 0 0 11500 1 3 1800 0 2 12300 4 2 2 Por lo tanto,350 , 1002 1= = x xy3503 = x . La biloga leera colocar 100 bacterias de la cepa I y 350 de las cepas II y II en el tubo de ensayo si desea que todo el alimento sea consumido. 3 b.Repitalapartea.utilizandolosdatosacercadelconsumodiariodealimentos(en unidadesporda)quesemuestranenlasiguientetabla.Estimeestavezque1500 unidades de A, 3000 de B y 4500 de C sern colocadas en el tubo de ensayo cada da Cepa Bacteriana I Cepa Bacteriana II Cepa Bacteriana III Alimento A111 Alimento B123 Alimento C135 Sean de nueva cuenta 2 1, x xy 3xlos nmeros de bacterias de cada tipo. La matriz aumentada para el sistema lineal resultante y la correspondiente forma reducida escalonada son

0 0 0 01500 2 1 00 1 0 14500 5 3 13000 3 2 11500 1 1 1 Observamos que en este caso tenemos ms de una solucin, dada por 1500 203 23 1= += x xx x Haciendot x =3,seconsiguequet x t x 2 1500 ,2 1 = = yt x =3.Elnmerodebacteriasno puede ser negativo, por lo tanto0 > ty0 2 1500 > t(lo que implica que750 s t ), de modo que tenemos750 0 s s t .{ } C.S. ( ,1500 2 , ) / 0 750, t t t t t = s s e 3)La figura muestra una red de tuberas de agua con flujos medidos en litros por minuto. a.Establezcayresuelvaunsistemadeecuacioneslinealesparaencontrarlosflujos posibles. b.Si el flujo a travs de AB est restringido a 5 L/min, cules sern los flujos a travs de las otras dos ramas? c.Cules son los flujos posibles mnimo y mximo a travs de cada rama? d.Hemos estado suponiendo que el flujo siempre es positivo. Qu significaria un flujo negativo,estimandoquefuerapermitido?Proporcioneunailustracinparaeste ejemplo. a.Se aplica el principio que en cada nodo, el flujo que entra es igual al flujo que sale. En cada nodo; escribimos la ecuacin que representa all la conservacin del flujo. 4 Nodo A: 2 120 f f + =Nodo B: 3 210 f f= +Nodo C:303 1= + f fEntonces30 1020 3 13 22 1= += + = +f ff ff f

0 0 0 010 1 1 020 0 1 130 1 0 110 1 1 020 0 1 1 10203 22 1= + = +f ff f 0 300 100123> => => =t ft ft f Entonces30 10 s s t . b.Si15 10 52= = = t t f . Luego lt/min 15lt/min1531==ff Rpta: El flujo en AB es 5lt/min, el flujolt/min 151 = f y el flujolt/min 153 = f . c.Como30 10 s s t . Entonces 30 020 020 0321s ss ss sfff Valor mximoValor mnimo f120 lt/min0 lt/min f220 lt/min0 lt/min f330 lt/min10 lt/min d.Flujo negativo significa que va en sentido contrario. 4)El centro de Lima se compone de calles de un solo sentido, y se ha medidio el flujo de trfico en cada interseccin. En el rea de la ciudad que aparece en la figura, las cifras representan el nmero promediodevehculosporminutoqueentranysalendelsopuntosdeinterseccinA,B,CyD durante las horas de trabajo. a.Establezcayresuelvaunsistemadeecuacioneslinealesparahallarlosflujos posibles 4 1, , f f . b.SieltrficoesreguladoenCDdemaneraque104 = f vehculosporminuto, cules sern los flujos promedio en las otras calles? c.Cules son los flujos posibles mnimo y mximo en cada calle? 5 a. En el nodo A: 2 120 f f + =En el nodo B:253 1= + f fEn el nodo C: 3 430 f f+ =En el nodo D:254 2= + f fEntonces 253025204 24 33 12 1= += += += +f ff ff ff f

+ + 30 1 1 0 030 1 1 0 05 0 1 1 010 0 0 1 125 1 0 1 030 1 1 0 05 0 1 1 020 0 0 1 125 1 0 1 030 1 1 0 025 0 1 0 120 0 0 1 14 2 2 1f f f f

+ 0 0 0 0 030 1 1 0 05 0 1 1 020 0 0 1 14 3f f Sistema equivalente 305204 33 22 1= += + = +f ff ff f Si 5250 3001234 = => => =t ft ft ft f Luego25 5 s s t 6 b.Si104 = fentonces 20155321===fff Rpta: Si se regula el trfico en CD o sea104 = fautos/min entonces el flujo de vehculos es 51 = f autos/min,152 = fautos/min,203 = fautos/min. c.Como25 525 520 020 025 54321s ss ss ss ss sfffft Flujo mximoFlujo mnimo f120 autos/min0 autos/min f220 autos/min0 autos/min f325 autos/min0 autos/min f425 autos/min5 autos/min 5)Lacombustindelamoniaco(NH3)enoxgenoproducenitrgeno(N2)yagua.Encuentreuna ecuacin qumica balanceada de esta reaccin. 3 2 2 2NH O N H O + + Sidenotamoslosnmerosdemolculasdeamoniaco,oxgeno,nitrgenoyaguamediantelas literalesz y x w , , , , respectivamente, entonces se buscar una ecuacin de la forma3 2 2 2NH O N H O w x y z + +Comparandolosnmerosdelostomosdenitrgeno,hidrgenoyoxgenoenlosreactantesy productos, obtendremos tres ecuaciones lineales: Nitrgeno:W=2y Hidrgeno:3w=2z Oxgeno:2x=z Reducimos la matriz aumentada correspondiente por medio de la eliminacin de Gauss-Jordan

= = = 0311 0 00210 1 00320 0 10 1 0 2 00 2 0 0 30 0 2 0 10 20 2 30 2z xz wy w As,z x z w21,32= =ez y31= . El valor positivo ms pequeo dez que producir valores enteros de las cuatro variables es el mnimo comn denominador de las fracciones 21,32 y 31(a saber, 6) lo que nos da2 , 3 , 4 = = = y x wy finalmente,6 = z . Por lo tanto, la ecuacin qumica es 3 2 2 24NH 3O 2N 6H O + + 7 6)Undepartamentodepescaycazaproporcionatrestiposdecomidaaunlagoquealbergaatres especiesdepeces.CadapezdelaespecieAconsumecadasemanaunpromediode1unidaddel alimento I, 1 unidad del alimento II y 2 unidades del alimento III. Cada pez de la especie B consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento I, 4 del II y 5 del III. Para un pez de la especie C,elpromediosemanaldeconsumoesde2unidadesdelalimentoI,1unidaddelalimentoIIy5 unidadesdelIII.Cadasemanaseproporcionanallago15000unidadesdelalimentoI,10000 unidadesdelalimentoIIy35000delIII.Sisuponemosquelospecessecomentodoelalimento, cuntos peces de cada especie pueden coexistir en el lago? Ordenando la informacin en un cuadro de doble entrada tenemos: Sea x: El nmero de peces de la especie A. Sea y: El nmero de peces de la especie B. Sea z: El nmero de peces de la especie C. Se obtiene el sistema de ecuaciones lineales:

1 3 2 15 0001 4 1 10 0002 5 5 35 000x y zx y zx y z+ + = + + =+ + =Las restricciones del problema0; 0; 0 x y z > > >La matriz aumentada de SEL es:

1 3 2 15 0001 4 1 10 0002 5 5 35 000 ( )( )1 21 311R RR R + +1 3 2 15 0000 1 1 5 0000 1 1 5 000 ( )2 31 R R +1 3 2 15 0000 1 1 5 0000 0 0 0 Como la ltima fila los elementos son ceros se tiene un sistema compatible indeterminado. Sea5000 5000 como 0 5000 0 5000 z t y z y t y t t = = = . > > >Como: ( ) 0 0 3 5 000 2 15 000 30 000 5 0 6 000 z t x t t x t x t > > + + = = .> sLuego:5 000 6 000 t s sRespuesta: El nmero de peces es: Nmero de peces de la especia A = x = 30000 5t Nmero de peces de la especie B = y = t 5000 Nmero de peces de la especie C = z = t Donde5000 s t s 6000yt e IN Especie A x Especie B y Especie C z TOTAL Alimento I13215 000 Alimento II14110 000 Alimento III25535000 7)Una fbrica de muebles, manufactura mesas, sillas y armarios. Cada pieza requiere tres operaciones: corte de la madera, ensamble y acabado. Cada proceso requiere la cantidad de horas (h) que se da en 8 latablaadjunta.Lostrabajadoresdelafbricapuedenproporcionar480hdecorte,760hde ensamble y 855 h de acabado cada por semana. Cuntas mesas, sillas y armarios se deben producir de modo que todas las horas de mano de obra se utilicen? MesaSillaArmario Corte (h)11 Ensamble (h)1 2 Acabado(h)11 3 Sea x: El nmero de mesas que se produce en la fbrica de muebles. Sea y: El nmero de sillas que se produce en la fbrica de muebles. Sea z: El nmero de armarios que se produce en la fbrica de muebles.Se obtiene el sistema de ecuaciones lineales: Las restricciones del problema son:0; 0; 0 x y z > > >. De las horas de corte:( ) ( ) ( ) 960 2 2 1 480 0 , 1 0 , 1 5 , 0 = + + = + + z y x z y xDe las horas de ensamble:( ) ( ) ( ) 520 1 5 3 1 760 5 , 2 5 , 1 5 , 0 = + + = + + z y x z y xDe las horas de acabado:( ) ( ) ( ) 710 1 6 3 2 855 0 , 3 5 , 1 0 , 1 = + + = + + z y x z y xRealizamos una agrupacin de la informacin y se obtiene el sistema de ecuaciones lineales y se obtiene la matriz aumentada: = + += + += + +710 1 6 3 2520 1 5 3960 2 2 1z y xz y xz y x La matriz aumentada es:

710 16 3 2520 15 3 1960 2 2 1( )( ) + + 3 12 121R RR R

210 2 1 0560 3 1 0960 2 2 1( ) +3 21 R R

350 5 0 0560 3 1 0960 2 2 1 Sistemacompatible determinado,S:( ) 350 70 3 560 560 3 , 70 350 5 = = = + = = y z y z zComo:( ) ( ) 120 70 2 350 2 960 960 2 2 = = = + + x z y x Solucin nica( ) } { 70 ; 350 ; 120 .= S CRpta: Se debe fabricar 120 mesas, 350 sillas y 70 armarios para emplear toda las horas de mano de obra disponible. 9 8)Unacompaaconstructora "Ingenieros asociadosS.A" estproyectando un complejo habitacional. Planeaconstruirdepartamentosde1,2,y3dormitorios,losquedebernservendidosen$20000; $30000y$40000 respectivamente,conloqueesperaobtener un ingresototal de$7500000.El nmerodedepartamentos dedosdormitorios debeser el 50% del total y deber construir lamenor cantidad de departamentos de un dormitorio por ser los de menor demanda. Cuntos departamentos de cada tipo debe construir la compaa constructora? Sea x: El nmero de departamentos de un dormitorio. Precio de venta: $20 000 y: El nmero de departamentos de dos dormitorios. Precio de venta: $30 000 z: El nmero de departamentos de tres dormitorios. Precio de venta: $40 000 Las restricciones del problema son: 0; 0; 0 x y z > > > . De los ingresos:750 4 3 2 000 500 7 000 40 000 30 000 20 = + + = + + z y x z y xCantidad de departamentos: ( ) 0, 50 0 z x y z x y z = + + + = Realizamos una agrupacin de la informacin y se obtiene el sistema de ecuaciones lineales y se obtiene la matriz aumentada: 1 1 1 02 3 4 750x y zx y z + = + + = 1 2( 2)1 1 1 02 3 4 750R R + 1 1 1 00 5 2 750 Sea 57 750;52 750750 2 5 ,tx z y xty z y t z= == = + =Como: 5adems 107 375 057 750052 750, 0 m t t tt tt = s . s >. >>Para que el nmero de departamentos de un dormitorio sea mnimo el valor de t debe ser el mayor posible y mltiplo de 5 donde t = 105 y remplazando se tiene. 105 ; 108 ; 3 = = = z y xRpta: Se debe construir3 departamentos de un dormitorio, 108 departamentos de dos dormitorios y 105 departamentos de tres dormitorios. 9)Una empresa quiere comprar 24 carros-tanque con una capacidad de carga combinada de 350 000 galones.Se disponedecarros-tanquescontresdiferentes capacidadesdecarga:6000galones,8 000 galones y 18 000 galones. a.Cuntoscarrostanquesdecadatiposedebencomprar,siqueremoslamayor cantidad posible de los carros tanques de 6 000 galones? b.Cuntoscarrostanquesdecadatiposedebencomprar,siqueremoslamenor cantidad posible de los carros tanques de 18 000 galones? Sea x: El nmero de carros-tanque con capacidad de 6 000galones. y: El nmero de carros-tanque con capacidad de 8 000galones. z: El nmero de carros-tanque con capacidad de 18 000galones.Las restricciones del problema son: 0; 0; 0 x y z > > > . De la carga combinada: 175 9 4 3 000 350 000 18 000 8 000 6 = + + = + + z y x z y xCompra total de carros-tanque: 24 = + + z y xSe obtiene el sistema de ecuaciones lineales y la matriz aumentada: 1 1 1 243 4 9 175x y zx y z+ + = + + = 1 2( 3)1 1 1 24 1 1 1 243 4 9 175 0 0 6 103R R + 10 Sea79 5 24 ; 6 103 103 6 , = = = = + = t x z y x t y z y t zComo: 57961030 79 5 0 6 103 , 0 0 > . s > . > > > t t t t t zSetienecomointervalo:17 , 17 8 , 15 s s t comosoncarrostanqueloquesedesea determinar, los valores pueden sert = 16 o 17. a) Si se quiere x sea mximo entonces t es el mayor posible, ( ) ( ) 17 ; 1 17 6 103 ; 6 79 17 5 = = = = = z y xRpta:Sedebecomprar6 carros-tanqueconcapacidadde6000galones,1carros-tanque con capacidad de 8 000galones y 17 carros- tanque con capacidad de 18 000galones. b) Si se quiere z sea mnimo, entonces t es el menor posible: t = 16 ( ) ( ) 16 ; 7 16 6 103 ; 1 79 16 5 = = = = = z y xRpta:Sedebecomprar1 carros-tanqueconcapacidadde6000galones,7carros-tanque con capacidad de 8 000galones y 16 carros- tanque con capacidad de 18 000galones. 10) Lafbricatextil"SantaCatalinaS.A."ensuprocesoproductivocombinahilosdealgodn, linoylanaendiferentesproporcionesparaobtenersustelas:polystel,casimir,polypimay lanilla. La siguiente tabla nos muestra los porcentajes exactos en lo que se deben mezclar los hilos para obtener sus telas respectivas. TELASPOLYSTELCASIMIRPOLYPIMALANILLA Hilos de Algodn 40%50%40%20% Lino 20%10%10%20% Lana 40%40%50%60% Para la presente temporada la compaa "Santa Catalina S.A" dispone de 160, 80 y 180 toneladas dehilosdealgodn,lino,ylanarespectivamente,lacompaadeseasaberlascantidadesde polystel,casimir,polypimaylanillaqueobtendralcombinarexactamenteloshilosenlas proporcionesespecificadas.Adems,sesabequedebefabricarlamenorcantidadposiblede polystel por estar en poca no escolar. Sea x: La cantidad de telapolystel que produce la fbrica textil en toneladas. Sea y: La cantidad de telacasimir que produce la fbrica textil en toneladas. Sea z: La cantidad de telapolypima que produce la fbrica textil en toneladas. Sea w: La cantidad de telalanilla que produce la fbrica textil en toneladas Obtenemos el SEL:

100, 40 0, 50 0, 40 0, 20 160 4 5 4 2 1 6000, 20 0,10 0,10 0, 20 80 2 1 1 2 8000, 40 0, 40 0, 50 0, 60 180 4 4 5 6 1 800xx y z w x y z wx y z w x y z wx y z w x y z w+ + + = + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = Las restricciones del problema0; 0; 0; 0 x y z w > > > > La matriz aumentada de SEL es: 11 ( )( )2 11 21 312441 11 1 4004 5 4 2 1 6002 22 1 1 2 800 4 5 4 2 1 6004 4 5 6 1800 4 4 5 6 1 8001 11 1 4002 20 3 2 2 00 2 3 2 200R xRR RR R| | |\ . + +

( )3 22 33123251 1 1 11 1 400 1 1 4002 2 2 23 30 1 1 100 0 1 1 100 Luego se tiene:2 20 3 2 2 0 50 0 5 30021 11 1 400Se tiene un siste2 230 1 1 10020 0 1 2 120R XRR RR| | |\ . +| | |\ .

ma compatible indeterminadoHay infinitas soluciones Sea2 120 120 2 0 60 w t z t z t z t = + = = . > sComo:( )3120 100 2 80 0 402y t t y t y t + + = = . > >Adems: ( ) ( )1 12 80 120 2 400 380 0 3802 2x t t t x t x t + + + = = . > sCon las restricciones se concluye: 40 60 t s s Por condicin del problema tenemos: x el menor valor posible por no estar en campaa escolar. Se toma el valor mximo de60 debido 380 320 t x t x = = =Remplazando valores se tiene 2 80 40 120 2 0 60 y t y z t z w t w = = = = = = Rpta:Lafbricatextildebeproducir320toneladasdetelapolystel,40toneladasdecasimir, ninguna cantidad depolypima y 60 toneladas de lanilla.