IV. COMPORTAMIENTO DINMICO DE SISTEMAS.

IV COMPORTAMIENTO DINMICO DE SISTEMAS

1.- INTRODUCCIN AL ANLISIS TEMPORAL 2.- RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1ER ORDEN A LAS ENTRADAS NORMALIZADAS 3. RESPUESTA DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS 4.- RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 2 ORDEN A LAS ENTRADAS NORMALIZADAS 5.- ANLISIS DE LA RESPUESTA EN TIEMPO DE LOS SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR 6.- SISTEMAS CON RETARDO 7.- SISTEMAS CON RESPUESTA INVERSA (NO MNIMA FASE)

1.- INTRODUCCIN AL ANLISIS TEMPORAL

Como primer paso del anlisis de un sistema de control siempre es necesario calcular un modelo matemtico del mismo. Deberemos tener en cuenta que en la prctica no conoceremos la seal de entrada al sistema de control, que por lo general ser aleatoria.

La respuesta temporal es la evolucin en el tiempo de un sistema cuando se le introduce una entrada. Est formada por dos componentes:

Respuesta transitoria: es la que va desde el estado inicial hasta el final. Respuesta estacionaria: es la forma en la que la salida se comporta cuando t

tiende a infinito.

A la hora de analizar y disear sistemas de control hay que tener una base de comparacin del funcionamiento de los diversos sistemas. Para ello estableceremos como seales estndar de estudio las siguientes funciones:

Impulso. Escaln. Rampa.

Para el anlisis del sistema, deberemos determinar la forma de las seales de entrada ms frecuentes, para as saber cul de estas funciones de prueba usar. Por ejemplo, si las entradas a un sistema son funciones gradualmente variables en el tiempo, una funcin rampa puede ser una buena funcin de prueba; sin embargo, si el sistema est sometido a perturbaciones bruscas, en este caso, sera mejor usar una funcin escaln.

Para el diseo del sistema, se debe poder predecir el comportamiento dinmico del sistema, cuya caracterstica ms importante es la estabilidad absoluta.

Un sistema est en equilibrio, si en ausencia de cualquier perturbacin o entrada, la salida se mantiene constante.

Un sistema de control lineal invariante es estable, si finalmente la salida retorna a un estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a una perturbacin.

Un sistema de control lineal invariante es inestable, si la salida oscila indefinidamente o si la salida diverge sin lmite de su estado de equilibrio cuando sometemos al sistema a una perturbacin.

Los sistemas reales de control involucran componentes de retardo que no permiten a la salida seguir inmediatamente las variaciones de la entrada. Es, por tanto, frecuente una respuesta transitoria con oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un estado de equilibrio. Una vez llegado al estado estacionario, si la salida no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error estacionario. Este error indica la exactitud del sistema.

La forma ms directa de encontrar la respuesta de un sistema a una seal dada es resolver la ecuacin diferencial que expresa el comportamiento dinmico del sistema:

La solucin general de esta ecuacin tiene dos partes: una es la solucin a la ecuacin homognea (que es la respuesta propia del sistema independientemente de la entrada), la otra parte es una solucin particular correspondiente a las condiciones iniciales (yp(t) dependiente de la entrada).

Esta solucin general depende de la naturaleza del sistema, as como de las condiciones iniciales, pero es independiente de la seal de entrada.

Tomando transformadas de Laplace, llegamos a la siguiente expresin polinmica:

P(s) es un polinomio debido a las condiciones iniciales del sistema.

La funcin G(s) es la funcin de transferencia del sistema. La ecuacin caracterstica se obtiene igualando a cero el denominador de la funcin de transferencia (D(s)). La respuesta temporal se obtiene tomando antitransformadas de la ecuacin anterior:

De aqu podemos observar que existe una respuesta debida a la entrada, pero que tambin existe otra respuesta que es independiente de la entrada y debida a las caractersticas propias del sistema:

Respuesta debida a la entrada:

Respuesta complementaria del sistema:

1.1- Respuesta transitoria

Definicin de las entradas normalizadas

Aunque ya las definimos en su momento, vemoslas de nuevo:

a)- Impulso unitario:

u(t)=1 para t=0; suponiendo condiciones iniciales nulas.

La transformada de Laplace para la funcin impulso unidad es la unidad. Entonces la transformada de Laplace de la salida es:

Y(s)=G(s) y(t)=g(t), que es la funcin de respuesta impulsiva. b)- Escaln:

u(t)=1 para t 0

Su transformada de Laplace es.

c)- Rampa unitaria:

u(t)=t para t>0; con condiciones iniciales nulas.

Su transformada de Laplace es:

2.- RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1ER ORDEN A LAS ENTRADAS NORMALIZADAS

Los procesos de primer orden se caracterizan por i- capacidad de almacenar material, energa o cantidad de movimiento ii- resistencia asociada con el flujo de masa, energa o cantidad de movimiento para alcanzar una cierta capacidad iii- las respuestas dinmicas de tanques que almacenan lquidos o gases pueden modelarse como de primer orden. La resistencia la presentan bombas, vlvulas, rebosaderos, caeras, resistencias elctricas, etc. Los sistemas que almacenan energa trmica tambin se pueden modelar con sistemas de primer orden y la resistencia est dada por las paredes que impiden la transferencia de calor.

Se conoce como sistema lineal invariante de primer orden a aqul sistema que en rgimen dinmico es definido por una ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes de orden uno.

Aplicando transformadas de Laplace:

Suponiendo condiciones iniciales nulas (y(0)=0), el trmino b/a es la ganancia esttica del sistema. El trmino 1/a representa a su vez la constante de tiempo del sistema:

a) Respuesta al impulso unitario:

Para una entrada impulso (t), la salida del sistema va a ser:

Grficamente, la respuesta del sistema ser como la siguiente:

Figura 1

Donde la ganancia del sistema es A, para un sistema A (t) en general. Otra forma de calcular la constante de tiempo T, ante una entrada impulso es hallando la pendiente de y(t) para t=0:

La ecuacin de la tangente a la curva en t=0 es:

La interseccin de la tangente con el eje de tiempos se produce en el instante t=T, con lo cual podemos obtener el valor de la constante de tiempo del sistema igualando la funcin anterior a cero.

Figura 2

b) Respuesta al escaln unitario:

La transformada de Laplace para la funcin 1(s) es:

La salida del sistema va a ser en este caso:

La transicin de la salida es exponencial desde cero (valor inicial de la entrada) hasta uno (valor final de la entrada). Se puede apreciar como caracterstica de una respuesta de este tipo que el valor de y(t) para t=T es siempre y(t)=0.632, lo que significa un 63.2% del valor final:

T recibe el nombre de constante de tiempo del sistema, ya que cuanto menor sea sta, ms rpida ser la respuesta del sistema (la salida sigue ms rpidamente a las variaciones de la entrada). Otra caracterstica importante es que la pendiente de la tangente en t=0 es 1/T:

Figura 3

La fidelidad con la que sigue la salida a la entrada en el estacionario viene definida por la diferencia entre la salida y la entrada, que recibe el nombre de error del sistema.

Sin embargo, si el sistema tiene una ganancia A, el error en el estacionario no es nulo, es decir, la salida no toma el valor exacto de la entrada.

c) Respuesta a la rampa unitaria:

La transformada de Laplace de la funcin rampa unitaria es 1/s2. La salida del sistema es:

En cuanto al error estacionario, podemos decir que el sistema sigue a la entrada pero siempre con un error constante:

Figura 4

El error es an mayor si el sistema tiene una ganancia A:

Nota: El estudio anterior se ha realizado tomando condiciones iniciales nulas.

A continuacin veremos brevemente qu ocurre si las condiciones iniciales ya no son nulas. La transformada para una ecuacin diferencial cuyas condiciones

iniciales son y(0), es .

La solucin para un sistema con ganancia A ya no va a ser igual que la vista, sino:

Si introducimos una entrada escaln 1(s), la salida es:

Vemos que el primer trmino depende de las condiciones iniciales, mientras que el otro no vara. Podemos considerar entonces que la salida est compuesta por dos componentes: una transitoria, que se anula cuando t pero que gobierna al sistema con t prximo a cero, y otra parte estacionaria, que es la que perdura en el tiempo.

d) Respuesta de un sistema de primer orden para una entrada tipo senoidal

Dada la entrada t)( sentf = , 22)( += ssf la salida ser

222

2210

22 11)(

+++++=++= ss

sTssTs

KsY

Realizando la descomposicin en fracciones parciales resulta,

11;

1 222221222

0 +=+=+= T

KT

TKT

TK

Aplicando la Transformada inversa de Laplace

)arctan(

)sin(11

)(22

tpara extingue se

22

T

tT

Ke

TTK

ty t

=++++=

4484476

notar que no es una funcin de t sino de y . Para grandes valores de t, y(t) tambin es sinusoidal, atenuada por la magnitud

11

22 +T .

Figura 5: respuesta de un sistema de primer orden con K= 1 y T = 1 (lnea llena) a una entrada tipo senoidal con amplitud unitaria y frecuencia de 1 rad/seg (lnea de trazos)

Como resumen:

Entrada (t 0) Salida (t 0) r(t) = rampa unitaria y(t)=t-T+Te-t/T

1(t) = escaln unitario y(t)=1- e-t/T

(t) = impulso unitario y(t)= T-1 e-t/T

t)( sentf = )arctan(

)sin(11

)(22

tpara extingue se

22

T

tT

Ke

TTK

ty t

=++++=

4484476

Comparando, podemos observar que si (t) es la derivada de 1(t), y sta a su vez es la derivada de r(t), las salidas tambin cumplen esta relacin. Esta caracterstica slo se cumple en sistemas lineales invariantes en el tiempo. Los sistemas variables y los que no son lineales no lo cumplen.

Caractersticas de la respuesta de un sistema de primer orden

1- son sistemas auto-regulantes ya que alcanzan un nuevo estado estacionario luego de ser excitados

2- la pendiente en t = 0 de la curva de reaccin es 1

0en t , 1 e t d

Ky(t)

t-

===

T

T

d

ya que si la velocidad de cambio de y se mantiene constante la respuesta alcanzara su valor final en un como se muestra en la Figura 1

Corolario

La constante de tiempo de un proceso es la medida del tiempo necesario para que ste se ajuste a un cambio en la entrada

3- y(t) alcanza el 63.2% de su valor final en un T y en 4 T y(t) alcanza aproximadamente el 98% de su valor final

4- el valor final de la respuesta es K para un salto escaln unitario en la entrada o AK si el salto tiene magnitud A. Esto puede verse de la siguiente ecuacin

P

t-

Pt t

K e - 1K y(t)

limlim =

=

La ganancia K da idea del nuevo valor de estado estacionario que alcanzar el sistema para una determinada variacin en la entrada

salida = Kp entrada Si K es grande el sistema se denomina sensitivo y necesita pequeos cambios en la entrada y viceversa

Ejemplo 1: nivel de un tanque con vlvula para el caudal de salida

Figura 6 : nivel de un tanque con vlvula para el caudal de salida

Para modelar las variaciones de nivel que se producirn en el tanque mostrado en la Figura 2 se emplearn los siguientes criterios: q depende directamente de la presin hidrosttica que produce la columna lquida en el interior del tanque (nivel). La vlvula produce una resistencia R al flujo de forma que

flujoalaresistenciimpulsorafuerza

Rhq ==

Rhqqq

dtdhA ii == En estado estacionario: 0=dt

dh , iSs qRh =

Tomando variables desviacin:

iSiiS qqqhhh == ' ' ;( ) ( )

1 s )()()(

K ,flujo al aresistenci x entoalmacenami de capacidad RA T

'

'

+===

=

TK

sqshsG

R

i

Notar que A es una medida de la capacidad de almacenamiento

Ejemplo 2: Tanque agitado con calentamiento

Figura 7: Tanque agitado con calentamiento V: volumen de lquido U: coeficiente global de transferencia de

calor : densidad del lquido A: rea total de transferencia de calor CP = calor especfico TV: temperatura del vapor

La variacin de la temperatura en el tanque de la Figura 7 se puede modelar a partir de la energa trmica recibida por el sistema y de las propiedades del lquido en su interior, que se consideran constantes con la temperatura

)( TTUAdtdTCV VP =

En estado estacionario

)(0 SVs TTUAdtdT == llamando {

)(

)( '

'

SVVV

S

TTT

TTT

==

y realizando la

sustraccin trmino a trmino resulta

)( '''

TTUAdt

dTCV VP = Aplicando transformada de Laplace

[ ])()(T(s) ''' sTsTUAsCV VP =

1 G(S)

1K ,1

1)(

T(s) G(S) P''

+=

==+

==

sK

UACV

UAsCVsT

P

P

PV

(V CP) caracteriza la capacidad de almacenar energa trmica en presencia de una resistencia al flujo de calor dada por 1/(U A)

Tv

TQ

3. RESPUESTA DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS Suponer el siguiente sistema:

Figura 8: nivel de un tanque con bomba para la regulacin del caudal de salida De acuerdo a la Figura 8 puede observarse que q0 est condicionado por el desplazamiento constante que realiza la bomba y no por la presin hidrosttica que depende de la altura. Luego:

0

0

0

;

qqdtdh

ioestacionarenestado

qqdtdhA

iS

i

==

=

Trabajando con las variables desviacin

AASsqsh

sqshLporTtqdtdhA

qqq

i

ii

iiSi

1K ,1)()(

)()( sA .)(

P'

'

''''

'

==

===

2'

i )(h s1 )(q

sKsssi P== Antitransformando tK )( P' =th

En la Figura 9 puede verse la variacin temporal de la altura en el tanque . Este tipo de respuesta tambin es llamada de tipo integrador puro debido a su comportamiento equivalente de ir acumulando los valores de la entrada. Un sistema de estas caractersticas presenta serios problemas de control dado que no es de tipo auto-regulante

Figura 9: respuesta dinmica de un sistema capacitivo puro

4.- RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 2 ORDEN A LAS ENTRADAS NORMALIZADAS

Se conoce como sistema lineal invariante de segundo orden a aqul sistema que en rgimen dinmico es definido por una ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes de segundo orden. Es decir, su comportamiento dinmico est determinado por la siguiente ecuacin:

Si llamamos:

Y suponiendo condiciones iniciales no nulas, nos quedar tras aplicar transformadas de Laplace:

Si las condiciones iniciales son nulas:

Los sistemas de 2 orden tienen normalmente como funcin de transferencia:

Definiremos wn como la frecuencia natural del sistema, medida en rad/seg, como el coeficiente de amortiguamiento y k la ganancia del sistema.

Tomando como ganancia 1, las races de la ecuacin caracterstica son:

Vamos a determinar el lugar geomtrico de las races del polinomio caracterstico de un sistema de segundo orden. Para ello mantendremos la frecuencia natural constante y variaremos el coeficiente de amortiguamiento:

Figura 10

Los sistemas de segundo orden se pueden clasificar segn los polos del sistema, es decir, las races de la ecuacin caracterstica en:

1. Sobreamortiguado: Si 2-1>0 >1 Los dos polos son reales distintos. Las races del sistema estn sobre el eje real

negativo, y tienen valor: . Si aumentamos progresivamente el valor de , una raz se desplaza hacia el origen mientras que la otra se mueve hacia - .

2. Crticamente amortiguado: Si 2-1=0 =1

Los dos polos son reales e iguales a: . Tambin se encuentran ambas sobre el eje real negativo.

3. Subamortiguado: Si 2-1

Para amortiguamiento crtico y sobreamortiguamiento, la respuesta al impulso unitario siempre es positiva o cero. Para el caso subamortiguado la respuesta oscila alrededor del cero, tomando valores positivos y negativos.

El mximo sobreimpulso para la respuesta del sistema amortiguado al impulso unitario ocurre en el instante:

El mximo sobreimpulso tiene como valor:

b) Respuesta al escaln unitario:

Dedicaremos a este apartado un anlisis ms extenso debido a que es el caso ms habitual.

Segn el valor de se nos vuelven a plantear varias situaciones: Sin amortiguamiento, =0: la funcin de transferencia es:

La salida, en este caso, va a ser:

Grficamente, vemos que la respuesta oscila con una frecuencia wn. El sistema es crticamente estable.

Figura 12

Sistema subamortiguado, 0

La funcin error presenta una oscilacin sinusoidal amortiguada, que en el rgimen estacionario (t ) no hay error entre la entrada y la salida. El mximo error se produce en la primera oscilacin, se le llama rebase y ocurre en el instante:

Amortiguamiento crtico, =1: El sistema tiene dos polos iguales. Por tanto, la salida es:

Sistema sobreamortiguado, >1: El sistema presenta dos polos que son negativos reales y distintos.

La salida, en este caso, ser:

La respuesta y(t) tiene dos trminos de cada exponencial. Cuando >> 1, uno de los dos trminos exponenciales decrece mucho ms rpidamente que el otro, de modo que la exponencial ms rpida (que se corresponde a una constante de tiempo ms pequea) puede ser despreciable. Esto quiere decir que si el polo s2 est mucho ms cerca del eje imaginario jw que el polo s1 se puede despreciar s1

para una solucin aproximada. Entonces, la respuesta es similar a la de un sistema de primer orden, y se puede aproximar por:

La respuesta ante un escaln unitario 1(s) ser:

Figura 14

Dos sistemas de segundo orden con el mismo pero distinto wn, tienen el mismo sobreimpulso y el mismo diagrama oscilatorio: los dos sistemas tienen la misma estabilidad relativa.

c) Respuesta a la rampa unitaria:

La respuesta del sistema para una entrada rampa ser:

Figura 15

El error en el rgimen estacionario es:

Con el fin de asegurar una respuesta transitoria aceptable y un error estacionario tambin aceptable al seguir una rampa, no debe ser demasiado pequeo y wn debe ser grande. 4.1- Definicin de las especificaciones de la respuesta transitoria

Las caractersticas de funcionamiento de un sistema de control se especifican en trminos de la respuesta transitoria ante una entrada escaln unitario, ya que es fcil generarla. Esta respuesta depende de las condiciones iniciales. Para poder comparar las respuestas transitorias de diversos sistemas, se toma como condicin inicial la de reposo, es decir, la salida del sistema y todas sus derivadas en el tiempo son cero. Veamos estas caractersticas

:

Figura 16

Tiempo de retardo td: es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez la mitad del valor final.

Tiempo de crecimiento tr: es el tiempo requerido para que la respuesta crezca desde el 10% al 90% de su valor final.

Tiempo de pico tp: es el tiempo requerido por el sistema para que la respuesta alcance el primer pico del sobreimpulso.

Mximo sobreimpulso Mp(%): es el valor pico mximo de la curva de respuesta medido desde la unidad.

Tiempo de establecimiento ts: es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de un determinado rango alrededor del valor final. Se especifica en porcentaje, y se suelen usar los criterios del 5% del 2%.

Para un sistema de segundo orden, una respuesta deseable es la que tenga un coeficiente de amortiguamiento entre 0.4 y 0.8, ya que valores de 0.8 hacen la respuesta muy lenta.

Vamos a ver, a continuacin, cmo podemos calcular matemticamente las anteriores especificaciones:

El tiempo de crecimiento tr de un sistema de segundo orden, se obtiene haciendo y(tr)=1:

Como , se cumple:

Entonces, tenemos que:

Figura 17

est comprendido entre /2 y :

El tiempo de pico tp lo calcularemos as:

Como el tiempo de pico se mide en el primer sobreimpulso:

El mximo sobreimpulso Mp se hallar del siguiente modo:

El tiempo de establecimiento ts:

Hemos visto que la respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado es:

Las curvas son las envolventes de la respuesta transitoria a una entrada escaln unitario.

Figura 18

La constante de tiempo de estas curvas envolventes es . El tiempo de establecimiento se mide en trminos de esta constante de tiempo para distintos valores de .

Si usamos el criterio del 2%:

Si usamos el criterio del 5%:

En resumen, para tener una respuesta rpida, wn debe ser grande. Para limitar el mximo sobreimpulso Mp y hacer pequeo el tiempo de establecimiento ts, no debe ser demasiado pequeo.

5.- ANLISIS DE LA RESPUESTA EN TIEMPO DE LOS SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

En general, la funcin de transferencia de un sistema en lazo cerrado es:

La forma de la respuesta transitoria depende de la posicin de los ceros y polos del sistema en el plano complejo. Estos pueden ser reales o complejos conjugados. Si los polos son todos distintos, entonces podemos descomponer la funcin de transferencia en fracciones parciales, de forma que nos resulta una suma de sistemas de 1er y 2 orden.

Si todos los polos de lazo cerrado caen en el semiplano izquierdo s, todos los trminos exponenciales tienden a 0 al incrementar el tiempo.

La distancia horizontal desde un polo en lazo cerrado hasta el eje jw, determina el tiempo de establecimiento de los transitorios; as, cuanto menor es la distancia, mayor es el tiempo de establecimiento.

El tipo de respuesta transitoria es determinado por los polos de lazo cerrado, mientras que la forma de la respuesta transitoria depende de los ceros de lazo cerrado.

6.- SISTEMAS CON RETARDO

En general, vamos a considerar funciones transferencia racionales y propias, que corresponden a sistemas lineales, estacionarios y de dimensin finita (orden finito). Una excepcin de gran importancia en la prctica es el caso de sistemas con retardo entre entrada y salida. Estrictamente, estos sistemas tienen dimensin infinita. Sin embargo, su representacin mediante funcin transferencia es an tratable, aunque deja de ser racional. La funcin transferencia de un retardo de T segundos es de la forma

Ejemplo: Sistema intercambiador de calor. Un ejemplo simple de un sistema con retardo es el intercambiador de calor de la figura.

Figura 19

La funcin transferencia entre la entrada (tensin aplicada al elemento calefactor) y la salida (temperatura sensada) es aproximadamente de la forma

Notar que K;T y t dependen de la velocidad del ventilador, que puede ser variable. Aunque muy simple, este tipo de modelo es muy comn en aplicaciones de control de procesos.

Aproximacin del retardo:

La transformada de Laplace correspondiente es e_Ts. Esta transformada no podemos utilizarla como funcin transferencia dado que no se trata de cociente de polinomios. En esta seccin buscaremos una forma de aproximarla tal que se trate de una transferencia racional propia. Para nuestro inters, sistemas de control, la aproximacin debe ser buena a bajas frecuencias, s = 0. El medio ms comn para hallar esta aproximacin se atribuye a Pad y est basado en ajustar la expansin en serie de la funcin trascendental e_Ts a la de una funcin racional, donde el grado del polinomio numerador es p y el del denominador es q. El resultado se llama aproximacin (p, q) de Pad a e_Tt. Para nuestros propsitos utilizaremos solo el caso p = q. Ejemplo Para ilustrar el proceso, tomemos la aproximacin (1, 1) cuando T = 1. En este caso deseamos elegir b0, b1 y a0 de modo que el error

sea pequeo. Para la aproximacin de Pad expandimos e_Ts y la funcin racional en una serie de McLauren y ajustamos los trminos. Las series son

Ahora observamos que tenemos un nmero infinito de ecuaciones pero solamente tres parmetros. La aproximacin de Pad se determina cuando se ajustan los tres primeros coeficientes, con lo cual tenemos

Figura 20: Aproximacin de Pad

7.- SISTEMAS CON RESPUESTA INVERSA (NO MNIMA FASE)

Definicin. [Sistemas de fase mnima y de fase no mnima] Un sistema descrito por una funcin transferencia racional G(s) se dice de fase mnima si todos los ceros de G(s) tienen parte real negativa (ceros de fase mnima). Si G(s) tiene al menos un cero con parte real no negativa (cero de fase no mnima), el sistema se dice de fase no mnima. Los ceros de fase no mnima imponen limitaciones similares a las de un retardo de transporte (aunque comparativamente menos severas). De hecho, los sistemas de fase no mnima son tan comunes como los retardos, ya que un retardo puede aproximarse por

La funcin de transferencia en lazo abierto de estos sistemas es:

Tendremos que el sistema es estable si k < 1/Ta. Respecto a un cero de no mnima fase, introduce retardo adicional de en el lazo, disminuyendo los mrgenes de estabilidad del sistema. En la Figura 21 se muestra la dinmica de un sistema de segundo orden con respuesta inversa.

Figura 21: respuesta inversa