Cálculo multivariado

Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

Cálculo multivariado

Funciones vectoriales U1

Programa de la asignatura:

Universidad Abierta y a Distancia de México 1

U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Índice

Presentación de la Unidad ....................................................................................................... 2

Propósitos ................................................................................................................................. 3

Competencia específica ........................................................................................................... 4

1.1 Introducción a funciones vectoriales .................................................................................. 4

1.1.1 Límites y continuidad ....................................................................................................... 5

1.1.2 Funciones en el plano y en el espacio ............................................................................ 6

1.1.3 Gráficas de funciones de varias variables ...................................................................... 8

1.2 Algebra y operaciones vectoriales ................................................................................... 11

1.2.1 Vectores libres, vectores en el espacio vectorial .......................................................... 11

1.2.2 Módulo, cosenos directores y ángulo entre vectores; vector unitario ........................... 14

1.2.3 Suma y diferencia vectorial ........................................................................................... 15

1.2.4 Productos (multiplicación) vectoriales ........................................................................... 16

1.3 Geometría analítica del espacio ....................................................................................... 21

1.3.1 Ecuación de la recta ...................................................................................................... 22

1.3.2 Ecuación del plano ........................................................................................................ 25

Actividades ............................................................................................................................. 28

Autorreflexiones...................................................................................................................... 28

Cierre de la Unidad ................................................................................................................ 29

Para saber más ...................................................................................................................... 30

Fuentes de consulta ............................................................................................................... 32



Presentación de la Unidad

En esta Unidad, se describen algunos conceptos básicos del cálculo multivariado,

tales como las funciones vectoriales. Las funciones son entes matemáticos

fundamentales con los que anteriormente ya trataste, en la asignatura de Cálculo

diferencial e integral. Es bien sabido que las funciones son reglas de

correspondencia entre dos conjuntos, estos últimos comúnmente bien definidos.

Es importante no confundir el concepto de función con el de relación. Una relación

es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia con cada elemento del

primer conjunto algún elemento del segundo conjunto. En cambio, una función es

una regla que asigna a cada elemento de un conjunto llamado dominio,

exactamente un elemento de un segundo conjunto llamado contradominio.

En cálculo multivariado, el concepto de función se extiende a más dimensiones,

por ejemplo, conjuntos de vectores como posibles dominios para una función.

Particularmente, serán de interés en esta Unidad las funciones de dos variables, las

cuales son una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de

números reales (𝑥, 𝑦) en el dominio, con uno y sólo un número 𝑧 en el

contradominio. Es por ello que, en esta Unidad, estudiarás nuevas operaciones

matemáticas para generar un tipo nuevo de función, llamada función de varias

variables. Estas operaciones las implementarás sobre vectores, y estudiarás

nuevas operaciones como el producto escalar y el producto vectorial, los que

revisarás con cierto detalle, a fin de construir, más adelante, funciones vectoriales o

funciones de varias variables.

También llevarás a cabo una revisión de las operaciones básicas entre vectores,

junto con algunos ejercicios de graficación de funciones de varias variables. El

interés se centrará en ampliar el campo de aplicación de las funciones de varias

variables a las ciencias e ingeniería; en particular, a la Ingeniería en Biotecnología.

A lo largo de esta Unidad, tendrás la oportunidad de ejercitar mediante problemas y

ejercicios tipo los conceptos adquiridos, lo cual te permitirá comprender nuevos

conceptos y realizar la solución de problemas cada vez más complicados.



Propósitos

El estudio de esta Unidad te permitirá:

Identificar las ideas fundamentales del álgebra de vectores y sus operaciones

básicas.

Relacionar los conceptos de funciones vectoriales y sus representaciones

geométricas, tanto en el plano como en el espacio.

Graficar superficies, tales como esferas, paraboloides, hiperboloides entre

otras funciones de dos variables.

Analizar las ecuaciones de la recta y el plano en el espacio tridimensional,

que dan pie a la geometría analítica en el espacio.



Competencia específica

Analizar expresiones del álgebra vectorial a través de sus operaciones y representaciones en el sistema de ejes cartesiano del espacio, para extender su uso a situaciones y contextos de la física y la ingeniería.

1.1 Introducción a funciones vectoriales

Las funciones vectoriales, así como los métodos de cálculo, describen algunas

aplicaciones de curvas y problemas de mecánica. El concepto de función vectorial

es fundamental en ello.

Una función cuyo dominio es un conjunto de número reales y cuyo recorrido es un

subconjunto del espacio n dimensional se denomina función vectorial de una

variable real.

Las funciones vectoriales se designan con letras mayúsculas cursivas tales como F,

G, X, Y, etc., o mediante letras minúsculas cursivas negritas f, g, etc., el valor de

una función F en t se designa corrientemente como F(t).

Las operaciones usuales del algebra vectorial pueden aplicarse para combinar dos

funciones vectoriales o una función vectorial con una función real.

Para una función de variable real con valores vectoriales, la derivada se define

como en el caso de funciones con valores reales, con pequeñas diferencias que

surgen en relación con el teorema del incremento finito. Naturalmente que en el

caso de funciones vectoriales hay una serie de cuestiones que no se plantean,



como son las relativas al signo de la derivada, crecimiento y decrecimiento,

convexidad, etc. La primera novedad respecto al caso de las funciones con valores

reales surge en que ahora hay interpretaciones geométricas y físicas muy

interesantes: La derivada primera y la derivada segunda proporcionan,

respectivamente, la velocidad y la aceleración de una partícula que se mueve en el

espacio.

1.1.1 Límites y continuidad

La parte central del cálculo en una variable son las funciones. En el caso de

cálculo multivariado, estas vuelven a ser de suma importancia, debido a sus

múltiples aplicaciones. Una infinidad de problemas de las áreas científicas y

tecnológicas pueden ser resueltos usando funciones, así como sus operaciones

fundamentales (Stewart, 1999). Las aplicaciones de las funciones van desde el

cálculo de la órbita de planetas o satélites, hasta el estudio del comportamiento de

fenómenos meteorológicos. Asimismo, las funciones han sido aplicadas para

estudiar el crecimiento poblacional como el crecimiento de colonias de bacterias en

una muestra orgánica. Estas y otras aplicaciones requieren de la comprensión del

concepto de función, tanto en el caso de una variable como en el caso de varias

variables.

En esta primera parte del curso aprenderás que el domino de una función de dos

variables está definido dentro del plano 𝐗 − 𝐘. Como podrás observar, el

dominio es el conjunto de pares ordenados que definen a la función y el

contradominio de esta, se encuentra en el eje Z; tal como se aprecia en la Figura 1.



Figura 1. Gráfica de una función.

Asimismo, podrás recordar los conceptos continuidad y límite de una función

junto con sus propiedades, pero ahora extendidas a dos variables (Zill, 2012).

1.1.2 Funciones en el plano y en el espacio

Comenzaremos por abordar algunos conceptos básicos de matemáticas y de física,

el espacio unidimensional R se identifica con una recta. El espacio R2 puede ser

representado, de manera natural, mediante un plano: trazaremos una recta

horizontal y una vertical, que llamaremos eje x y eje y, respectivamente.

Determinamos una escala en cada una de estas rectas (no es imprescindibles que

sean iguales). Para cada punto P del plano trazaremos rectas paralelas a los ejes

que pasen por P. De acuerdo a la identificación de la recta con el conjunto de los

numero reales, sea a el punto de corte de la paralela al eje y con el eje x y sea b el

punto de corte de la paralela al eje x con el eje y. Al punto P le hacemos

corresponder el par ordenado de números reales (a, b) ∈ 𝑅2, tal como se observa

en la Figura 2.



Figura 2. Identificación de 𝑅2 y el plano.

Consideremos el espacio tridimensional, se representa como (𝑅3 = 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 𝑅) y se

identifica como el espacio tridimensional. Para establecer la correspondencia

debemos considerar un eje adicional, usualmente llamado eje z perpendicular al

plano formado por el eje x y el eje y. Cada punto P del espacio está en

correspondencia con un elemento. (x, y, z) de R3. Observemos en la Figura 3 esta

correspondencia en la que se muestra de manera gráfica al punto P

correspondiente con la terna (a, b, c):

Figura 3. Puntos en el espacio elementos de 𝑅3.

Como podrás observar, la definición de continuidad en el punto (𝑎, 𝑏), de una

función de dos variables y con dominio en 𝐷 está dada por:

lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏),



Se dice que la función es continua en el dominio, si 𝑓 es continua en todo punto

(𝑎, 𝑏) perteneciente a 𝐷.

1.1.3 Gráficas de funciones de varias variables

Existen varias maneras de visualizar una función de dos o más variables, mediante

una superficie en el espacio tridimensional.

La grafica de una función 𝑓: 𝐷∁ 𝑅2 → 𝑅 es el conjunto de puntos (x, y, z) tales que

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y 𝑥 ∈ 𝐷 , es decir:

𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷

La grafica de una función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) puede interpretarse

geométricamente como una superficie S en el espacio de forma tal que si

proyección sobre el plano x,y es de D, es el dominio de f. en consecuencia, a cada

punto (x,y) en D le corresponde un punto(x,y,z) en la superficie y a la inversa: a

cada punto (x, y, z) en la superficie le corresponde un punto (x, y) en D

También, te encontrarás con el tópico de cilindros, esferas y superficies

cuadráticas (Zill, 2012). Es importante que reflexiones sobre la ecuación general de

segundo grado:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0

Como podrás observar esta última ecuación contiene los coeficientes 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷,

𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽; ten en cuenta que los valores de estas constantes, definen un tipo

particular de superficie a partir de la misma ecuación.

Por ejemplo, si 𝐴, 𝐵, 𝐶 son distintos de cero y 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽, son todos

iguales a cero, podrás observar que la ecuación se convertirá en: 𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2 +𝑧2

𝑐2 = 1. La

gráfica de dicha ecuación sería muy similar a la que se presenta en la Figura 4.



Figura 4. Elipsoide.

Asimismo, al dar diferentes valores a las constantes 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽;

se generarán diferentes superficies. Otro ejemplo es el caso del hiperboloide de una

hoja, donde la ecuación es de la forma: 𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2 −𝑧2

𝑐2 = 1. Como puedes observar sólo

hay un cambio de signo en la variable 𝑧, respecto de la ecuación del elipsoide. La

gráfica del hiperboloide se muestra en la Figura 5.

Figura 5. Hiperboloide de una hoja.



Como un ejemplo más, observa la gráfica del hiperboloide de dos hojas en la Figura

6.

Figura 6. Hiperboloide de dos hojas.

Particularmente, para los casos de un elipsoide, un cono elíptico y los paraboloides

elíptico e hiperbólico, partirás de la ecuación general de segundo grado.

En los temas expuestos, se comentó la definición de una función de varias variables

y de algunas de sus aplicaciones. Es importante que complementes tu aprendizaje

con el material recomendado para que refuerces los conceptos estudiados.

Este tema es de gran relevancia debido por medio del mismo, lograrás asociar las

funciones de dos variables independientes con gráficas en tres dimensiones. Se te

recomienda primero graficar haciendo uso de esquemas o trazos desde diferentes

perspectivas, para después desplegar la gráfica por computadora a través de un

graficador, teniendo siempre en cuenta los valores de las constantes

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽.



Además de las secciones 1.7 y 1.8 que revisaste en la

actividad 1, lee y revisa las siguientes secciones del texto

de Zill (2012):

Sección 4. 1. Funciones de varias variables

Sección 4.2. Límites y continuidad

Estas secciones abordan de manera concreta los

diferentes tópicos de las funciones vectoriales.

El texto de Leithold, El Cálculo (2006) es recomendable cuando las bases del

cálculo de una variable no están bien cimentadas. Los primeros capítulos están

dedicados justamente al cálculo de una variable y la segunda parte del libro al

cálculo multivariado. Es un libro clásico en las facultades de ciencias e

ingeniería, y el número de impresiones índica que ha sido ampliamente revisado.

Se sugiere como libro de consulta, cuando algunos de los conceptos no queden

bien comprendidos en los textos anteriores.

1.2 Algebra y operaciones vectoriales

En el estudio de ciertas ciencias físicas como son: estática, electromagnetismo,

óptica, así como de algunas de índole tecnológico; como en procesamiento de

señales y en graficación por computadora, la comprensión de las operaciones

básicas entre vectores es de importancia toral. Es por ello que se presentan los

conceptos de cantidad escalar, así como de su contraparte: la cantidad vectorial

(Zill, 2012).

1.2.1 Vectores libres, vectores en el espacio vectorial

En esta parte comenzaremos definiendo cantidades escalares y cantidades

vectoriales. Se dice que una cantidad es vectorial cuando esta tiene dirección,

magnitud y sentido, mientras que la cantidad escalar sólo tiene magnitud. Esto

significa que, para el caso de la cantidad escalar solo consideraremos un solo

número real.



Los vectores son útiles en la representación de cantidades físicas, tales como el

desplazamiento, la velocidad, la aceleración o la fuerza, aunque también pueden

representar otras cantidades menos conocidas, como el campo eléctrico o el campo

magnético.

Típicamente, la gráfica de los vectores mencionados puede ser ubicada en una

simple recta numérica, o en el plano bidimensional de coordenadas 𝑋𝑌, también

llamado 𝑅2 o dentro del espacio vectorial tridimensional de coordenadas 𝑋𝑌𝑍,

conocido también como 𝑅3. Esto último, en virtud de que cada eje coordenado es

en realidad una recta numérica. Un ejemplo común de un vector libre se muestra en

el gráfico de la Figura 7.

Otra forma para la representación de cantidades vectoriales es aquella donde

simplemente se utiliza una flecha en una dirección determinada, a un ángulo dado y

con una cierta longitud. Este tipo de vectores son llamados vectores libres y son

muy usados en Física, principalmente en el área de Estática.

El concepto de espacio vectorial suele ser no tan simple de definir, debido a la

complejidad matemática con la cual podríamos argumentar un concepto de este

tipo. En términos muy simplificados podríamos decir que, un espacio vectorial es un

conjunto de entes matemáticos (los vectores, por ejemplo), que cumplen con ciertas

propiedades algebraicas. Este concepto, aunque no tan sencillo de explicar en unas

cuantas palabras ha permitido ampliar el campo de aplicación de las matemáticas.

Teniendo entonces que, en el caso de los vectores, el espacio en donde “habitan,

“se puede considerar un espacio vectorial. En el caso del plano se dice que es un

espacio vectorial de dimensión dos, el caso del espacio se suele decir espacio

vectorial de dimensión tres o simplemente 𝑅3.



Figura 7. Vector libre en el espacio tridimensional

Es importante que puedas representar vectores tanto en el plano como en el

espacio. Es recomendable que realices gráficos como el que se observa en el

espacio vectorial tridimensional de la Figura 7.

En la gráfica se ha trazado una línea que representa a un vector 𝐴 dado, que parte

justo en el punto 𝑀. Y que llega al punto 𝑁. El vector que se gráfica está en tres

dimensiones y tiene la siguiente representación analítica:

𝐴 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂�

Los vectores unitarios 𝑖̂, 𝑗̂, �̂� suelen ser graficados, respectivamente, sobre los ejes

coordenados 𝑋, 𝑌 𝑦 𝑍. Estos vectores unitarios o de longitud unidad, al ser

multiplicados por 𝑥, 𝑦 o 𝑧 valores, forman al vector.

Partiendo de estos valores se puede encontrar la magnitud del vector, la cual, está

dada por la expresión: |𝐴|2

= √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. Teniendo entonces definidos los

valores de las componentes del vector 𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), esto será suficiente para poder

operar con estos valores o con su magnitud.



1.2.2 Módulo, cosenos directores y ángulo entre vectores;

vector unitario

Los cosenos directores de un vector 𝑎 son cosenos de ángulos que forma el vector

como positivos semiejes de coordinadas. Para determinar los cosenos directores de

un vector 𝑎 es necesario las coordenadas respectivas del vector dividir en el

módulo del vector. La suma de cuadrada de los cosenos directores equivale a uno

y es denominada atributo.

Los cosenos directores de un vector se determinan mediante 𝒂 = {𝒂𝒙; 𝒂𝒚}se

calcula pos las formulas.

𝒄𝒐𝒔 𝒂 =𝒂𝒙

|𝒂|

𝒄𝒐𝒔 𝜷 =𝒂𝒚

|𝒂|

Retomando la idea de los vectores unitarios del espacio tridimensional, estos

cumplen con ciertas propiedades interesantes respecto de un vector cualquiera.

Algunas de estas propiedades se enlistan a continuación.

Siempre y cuando 𝑖,̂ 𝑗̂ y �̂� sean vectores unitarios del espacio tridimensional se

cumplirá que;

1) 𝑖̂ × 𝑗̂ = �̂�

2) 𝑖̂ ∙ 𝑗̂ = 0

3) 𝑖̂ ∙ 𝑖̂ = 1

Estos tres casos ejemplifican el comportamiento de los vectores unitarios en el

espacio o incluso en el plano. Falta decir que estos vectores, además de ser

unitarios, son perpendiculares entre sí. Entonces al conjunto {𝑖,̂ 𝑗̂, �̂�} suele

llamársele conjunto ortonormal de vectores. Esto significa que tienen norma o

tamaño unitario y además son ortogonales entre sí (Leithold, 2006).

En el caso del inciso 1, debes entender que el producto cruz de dos

vectores es igual al tercero, aunque el signo no siempre es positivo. Esto se

debe a que el producto cruz no es conmutativo y el signo puede cambiar.

En el caso del inciso 2, cuando calcules el producto escalar de dos vectores

unitarios ortogonales, este será igual a cero.



Finalmente, en el inciso 3, el producto escalar de un vector unitario consigo

mismo será igual a la unidad.

Las operaciones básicas entre vectores son suma, resta, multiplicación por un

escalar y los productos escalar y vectorial. Se definen las propiedades de la

aritmética de vectores, para ello sean 𝐴 y�⃗⃗�, vectores y 𝑘 una cantidad escalar:

𝑖) 𝐴 + �⃗⃗� = �⃗⃗� + 𝐴; Conmutativa

𝑖𝑖) 𝐴 + (𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶) = (𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + �⃗⃗�) + 𝐶; Asociativa

𝑖𝑖𝑖) 𝐴 + 0⃗⃗ = 0⃗⃗ + 𝐴; Elemento Neutro de la Suma

𝑖𝑣) 𝐴 + (−𝐴)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0⃗⃗; Inverso aditivo

𝑣) 𝑘(𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶) = 𝑘𝐴 + 𝑘�⃗⃗�; Distributiva para un escalar

𝑣𝑖)(𝑘1 + 𝑘2)𝐴 = 𝑘1𝐴 + 𝑘2𝐴; con 𝑘1, 𝑘2 escalares

𝑣𝑖𝑖)(𝑘1)(𝑘2)𝐴 = 𝑘1𝑘2𝐴; con 𝑘1, 𝑘2 escalares

𝑣𝑖𝑖𝑖)(1)𝐴 = 𝐴

𝑖𝑥)(0)𝐴 = 0⃗⃗

Si dos vectores tienen la misma dimensión, podrás llevar a cabo las operaciones

definidas anteriormente. Supón que un segundo vector está definido como: �⃗⃗� =

𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂ + 𝑤�̂�. Así como el vector𝐴, este segundo vector �⃗⃗� también puede graficarse

en el espacio, una vez conocidos los valores de (𝑢, 𝑣, 𝑤).

1.2.3 Suma y diferencia vectorial

La composición de vectores o suma de un vector es un proceso de calculación del

vector 𝑐̅, cuyos elementos equivalen a la suma de estos elementos respectivos de

vectores �⃑� 𝑦 �⃗⃑�, es decir, cada elemento de vector 𝑐 equivale a:

𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖

La descomposición de vectores o diferencia de vectores �̅� − �̅� es un proceso de

calculación de vectores 𝑐̅ cuyos elementos equivalen a diferencia emparejada de

todos los elementos respectivos de vectores �⃑� 𝑦 �⃗⃑�, es decir cada elemento del

vector 𝑐 equivale a:

𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖



1.2.4 Productos (multiplicación) vectoriales

También se le llama producto vectorial ya que el vector o producto cruz de dos

vectores AxB, es una cantidad vectorial que posee una magnitud es el área de un

paralelogramo el cual está formado por A y B y está en la dirección de avance que

indica la regla de mano derecha cuando A se mueve hacia B. Esto puede ser

ejemplificado en la Figura 8.

Figura 8. Multiplicación de vectores (Martínez, A. 2009).

Se define el producto escalar𝐴 ∙ �⃗⃗�y el producto vectorial 𝐴 × �⃗⃗� entre 𝐴 𝑦 �⃗⃗� de la

siguiente forma:

𝑥) 𝐴 ∙ �⃗⃗� = 𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 + 𝑧𝑤; Producto escalar.

Como puedes observar la suma de los productos de las componentes resulta ser un

escalar.

𝑥𝑖) 𝐴 × �⃗⃗� = (𝑦𝑤 − 𝑧𝑣)𝑖̂ − (𝑥𝑤 − 𝑧𝑢)𝑗̂ + (𝑥𝑣 − 𝑦𝑢)�̂�; Producto vectorial. Este

producto resulta ser un vector perpendicular al plano que hacen los vectores

𝐴 𝑦 �⃗⃗�. En la Figura 9 se muestra geométricamente esta operación;



Figura 9. Producto vectorial.

Producto vectorial �⃗⃗� × �⃗� entre los vectores �⃗⃗� y �⃗�, siendo θ el ángulo entre

ellos.

El resultado de las operaciones vectoriales se puede obtener multiplicando las

magnitudes de los vectores y el seno del ángulo entre ellos, como el resultado debe

ser un vector, se usa un vector unitario normal al plano que contiene a los vectores

A y B.

𝐴𝑋𝐵 = 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐴𝐵𝑎𝑛

Donde

𝑎𝑛 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐴𝐵=𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑐𝑢𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙.

Se le llama producto cruz debido al símbolo que usa para indicarse, también se le

llama producto vectorial debido a que el resultado es un vector.

Si tenemos los vectores:

𝐴 = (𝐴𝑋 , 𝐴𝑌, 𝐴𝑍) 𝑌 𝐵 = (𝐵𝑋 , 𝐵𝑌, 𝐵𝑍).

Entonces:

𝐴𝑋𝐵 = |

𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝐴𝑋 𝐴𝑌 𝐴𝑍

𝐵𝑋 𝐵𝑌 𝐵𝑍

|



= (𝐴𝑌𝐵𝑍 − 𝐴𝑍𝐵𝑌)𝑎𝑥 + (𝐴𝑍𝐵𝑋 − 𝐴𝑋𝐵𝑍)𝑎𝑦 + (𝐴𝑋𝐵𝑌 − 𝐴𝑌𝐵𝑋)𝑎𝑧

El resultado de la matriz se obtiene cruzando los términos en permutaciones

cíclicas, el vector que resulta tiene magnitud igual al área del paralelogramo que

forman los vectores, las propiedades del producto cruz son las siguientes.

𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑨𝒙𝑩 ≠ 𝑩𝒙𝑨

𝐸𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑨𝒙𝑩 = −𝑩𝒙𝑨

𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑨𝒙(𝑩𝒙𝑪) ≠ (𝑨𝒙𝑩)𝒙𝑪

𝐸𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑨𝒙(𝑩 + 𝑪) = 𝑨𝒙𝑩 + 𝑨𝒙𝑪

Los vectores ortogonales son aquellos que están tangentes entre sí, es decir que

forman un ángulo de 90 grados (recto) la cual puede ser una línea horizontal y una

vertical.

𝑎𝑥𝑥 𝑎𝑦 = 𝑎𝑧

𝑎𝑦 𝑥 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥

𝑎𝑧𝑥 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦

Las operaciones entre vectores tendrán importantes aplicaciones en las Unidades

dos y tres, al definir las operaciones del cálculo diferencial vectorial; tales como la

divergencia, el gradiente y el rotacional de un campo de fuerzas, Marsden, J. E., et

al. (2004). Mientras tanto aquí, estos productos los usarás para obtener rectas y

planos en el espacio. Otra aplicación de los vectores en dos y tres dimensiones

asociada a las funciones en varias variables es aquella que presenta la posibilidad

de parametrizar una función.

A continuación, en la gráfica de la Figura 10, se muestra la curva de una cicloide,

misma que podrás generar cuando un punto 𝑃 del perímetro de un círculo que gira,

describe una trayectoria similar a la mostrada en la gráfica de la Figura 11. Un

ejemplo de este fenómeno es el que sufre una moneda al rodar en una superficie

lisa. Evidentemente, podrás encontrar otras versiones de la cicloide en páginas de

internet o en la bibliografía recomendada, Marsden, J. E., et al. (2004).



Figura 10. Cicloide.

Figura 11. Trayectoria de un moneda que rueda.

La ecuación de la cicloide es una clara aplicación de las funciones en varias

variables. Esta puede ser expresada por 𝑐(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡, 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡),

para toda 𝑡𝜖[𝑎, 𝑏]; en donde 𝑎 y 𝑏 son dos números cualesquiera.

Como puedes observar en la ecuación anterior, se tienen tres variables, 𝑥, 𝑦, 𝑡.

Además de las curvas paramétricas en dos dimensiones con parametro 𝑡, podrás

obtener curvas en el espacio tridimensional, tal como la curva de la gráfica que se

incluye a continuación, cuya ecuación se ve como: ℎ(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡). Es preciso

mencionar que está curva es similar a la de la doble hélice del ADN, como la que se

observa en Figura 12.



Figura 12. Doble hélice.

En los textos recomendados, podrás encontrar el material necesario para la

comprensión de los conceptos de espacio tridimensional, así como el producto

punto y el producto vectorial. Al mismo tiempo, será necesario que estudies las

operaciones básicas entre vectores, tanto en dos como en tres dimensiones. Estos

textos te serán de gran ayuda en el desarrollo de tus competencias al permitirte

resolver problemas con diferente grado de dificultad. También te ayudarán a

comprender como se genera una curva paramétrica, tanto en el plano como en el

espacio. Como advertencia tendrás cuidado con el cambio de notación entre los

diferentes textos.

Resuelve los ejercicios propuestos en las Actividades 2 y 3 que se encuentran en

el documento de Actividades de aprendizaje U1. Aprenderás en estos ejercicios a

identificar claramente entre cantidades escalares y vectoriales. Revisarás las

operaciones básicas entre vectores y obtendrás las gráficas de funciones

paramétricas en el plano y el espacio.



A lo largo del material expuesto, tendrás que tomar en cuenta los siguientes puntos:

Las operaciones básicas entre vectores te permitirán conocer el lenguaje propio

de varias de las ciencias físicas.

Las operaciones que tienen que ver con el producto entre vectores te permitirán

generar nuevos vectores o nuevos escalares. Si usas el producto punto, el

resultado será un escalar. Si al contrario usas el producto cruz o vectorial el

resultado será un vector.

Podrás además graficar funciones paramétricas del parámetro 𝑡, esta variable la

podrás usar para representar el tiempo. Esto para el caso de funciones que

describen movimiento o de procesos que dependen del tiempo.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y los productos

punto y cruz, serán la base para encontrar las ecuaciones de planos y rectas en

el espacio. Este tópico los podrás estudiar en el siguiente tema dentro de esta

misma Unidad.

Te sugerimos leer y revisar el texto de Zill, (2012):

Capítulo 1. Vectores y espacio tridimensional.

Sección 1.3. y 1.4.

Las actividades de esta Unidad se basan en este

texto, así como en la sección 2.1, por lo que resulta

conveniente su repaso.

1.3 Geometría analítica del espacio

El uso de rectas y planos es una tarea común en ciencias e ingeniería. Para el caso

de ciertos fenómenos, es recomendable graficar estos entes matemáticos en el

espacio tridimensional, debido a que existen problemas en donde se requiere de

dos variables independientes. Son bien conocidas las diferentes formas de la

ecuación de una recta en el plano cartesiano y sus demostraciones para obtenerlas,

Leithold, L., (2006).

En este tema se estudiará una nueva forma para la ecuación de la recta, pero en el

espacio tridimensional y mediante el uso de vectores, esto junto con el empleo de

las operaciones básicas entre vectores que anteriormente fueron estudiadas. A



manera de ilustración, se grafica la ecuación de una recta en el espacio

tridimensional. Esta es mostrada en la Figura 13.

Figura 13. Recta en el espacio tridimensional.

Como sabemos en geometría analítica en dos dimensiones, la recta es el lugar

geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos fijos 𝑃 y 𝑄. Estos son

llamados los extremos de un segmento de recta. La característica primordial de

una recta es su pendiente respecto al eje horizontal. Sin embargo, cuando la recta

se grafica en el espacio, es común obtener su ecuación a través de la

parametrización de las coordenadas (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) de todos sus puntos. Esta

parametrización normalmente se lleva a cabo usando el parámetro 𝑡, el cual, se

define en algún dominio dado, tal como 𝑡𝜖[𝑡0, 𝑡𝑓].

1.3.1 Ecuación de la recta

Las ecuaciones de la recta se presentan en diversas formas tales como punto-

pendiente: de los dos puntos pendientes y ordenados al origen y la forma general,

cada una de ellas con sus respectivas demostraciones.



Figura 14. Recta (Suarez M.O 2013).

Para poder determinar la ecuación vectorial de un recta es necesario que se

conozcan los puntos de la recta, vamos a halla la ecuación a partir de un punto y

un vector de posición, si tuviéramos dos puntos por ejemplo A y R en la figura

anterior entonces tenemos el vector 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ es un vector de posición. Teniendo los

puntos A de la recta y un vector de dirección �⃗⃗�, un punto genérico R de la recta

tendrá entonces una posición con el vector 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , el cual es ilustrado en la Figura 15.

Figura 15. Recta (Suarez M.O 2013).

Para definir la ecuación de una recta en el espacio basta conocer un punto de la

recta y un vector paralelo a la recta, este vector tomo el nombre o se denomina

vector director. Y tenemos un punto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧𝑜)el punto conocido, será 𝑃 =

(𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto cualquiera de la recta y del vector �⃗� = (𝐴, 𝐵, 𝐶) el vector director la

ecuación quedara dada por:



Desde un enfoque vectorial, la ecuación de la recta en el espacio puede definirse

de la siguiente forma: 𝑟 = 𝑟0 + 𝑡�⃗�, donde 𝑟, 𝑟0y �⃗� son vectores. Los cuales se

escriben en términos de sus componentes como sigue: 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑟0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)

y �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐).

Esto permite reescribir la ecuación de la recta de forma tal que:

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 + 𝑎𝑡, 𝑦0 + 𝑏𝑡, 𝑧0 + 𝑐𝑡)

La ecuación de la recta que paso por dos puntos diferentes en el espacio. Si la

recta pasa por dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)𝑦 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) tales que 𝑥1 ≠ 𝑥2, 𝑦1 ≠ 𝑦2 𝑦 𝑧1 ≠

𝑧2 entonces la ecuación de la recta se puede calcular utilizando la fórmula

siguiente: 𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1=

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1

𝑧 − 𝑧1

𝑧2 − 𝑧1

La ecuación paramétrica de la recta en el espacio puede ser escrita de manera

siguiente

{𝑥 = 𝑙𝑡 + 𝑥0

𝑦 = 𝑚𝑡 + 𝑦0

𝑧 = 𝑛𝑡 + 𝑧0

Donde (𝑥0 ,𝑦0, 𝑧0) son las coordenadas de los puntos que están en la recta, y

{𝑙, 𝑚, 𝑛} las coordenadas del vector director de la recta.

La ecuación canónica de la recta en el espacio se representa matemáticamente si

se conocen las coordenadas del punto que está en la recta y del vector director �⃗⃗� =

{𝑙, 𝑚. 𝑛}, entonces la ecuación de la recta puede ser escrita en la forma canónica

utilizando la siguiente expresión.

𝑥 − 𝑥0

𝑙=

𝑦 − 𝑦0

𝑚=

𝑧 − 𝑧0

𝑛

Para ilustrar mejor este concepto busca en la red el video “Ecuaciones de la

recta en 3D” (2011), elaborado por la Universidad Peruana de Ciencias

Aplicadas.



Si la recta es intersección de dos planos, entonces su ecuación se puede expresar

con el sistema siguiente de ecuaciones:

{𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑥 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 = 0𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑥 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 = 0

1.3.2 Ecuación del plano

Figura 16. Plano en tercera dimensión (Suarez M.O 2013).

Para definir la ecuación de un plano en el espacio basta con conocer un punto en el

plano y un vector o plano perpendicular, donde tenemos un punto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧𝑜)

en el punto conocido del plano 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto general del plano y del vector

�⃗⃗⃗� = (𝐴, 𝐵, 𝐶) el vector es perpendicular al plano 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ el cual es perpendicular al

plano �⃗⃗⃗�, es decir 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . �⃗⃗⃗� = 0. Esto se observa en la imagen de la Figura 16.

Usando las mismas operaciones vectoriales, ahora puedes encontrar otros lugares

geométricos en el espacio tales como, el del plano. Esto se consigue, a través del

siguiente teorema:



Figura 17. Plano en el espacio.

La ecuación general del plano, cualquier plano se puede expresar como una

ecuación del plano de la primera forma donde los valores de A, B y C no pueden

ser cero al mismo tiempo.

𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶𝑍 + 𝐷 = 0

Ecuación del plano en segmentos si el plano cruza los ejes 𝑂𝑋, 𝑂𝑌 𝑦 𝑂𝑍 en los

puntos con las coordenadas (𝑎, 0, 0), (0, 𝑏, 0 )𝑦 (0, 0, 𝑐), entonces puede calcularse,

utilizando la fórmula de ecuación del plano en segmentos.

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏+

𝑧

𝑐= 1

También existe la ecuación del plano, que pasa por un punto, perpendicular al

vector normal, para formular la ecuación de plano sabiendo las coordenadas del

La gráfica de una ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, con las

constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, no todas cero, es un plano con vector perpendicular a

este, dado por �̂� = 𝑎𝑖̂ + 𝑏𝑗̂ + 𝑐�̂�. En la gráfica siguiente, podrás observar

un plano en el espacio. Como se puede observar, cada plano puede

extenderse infinitamente en cualquier dirección, a menos que se indique

lo contrario en su ecuación. Un ejemplo de ello, se observa en la Figura

17.



punto del plano 𝑀(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y el vector normal del plano �⃗⃗� = {𝐴, 𝐵, 𝐶} se puede

utilizar la formula siguiente.

𝐴(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0) = 0

La ecuación del plano que pasa por tres puntos dados, que no están en una recta,

si hay dadas coordenadas de tres puntos tenemos

𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)𝑦 𝐶(𝑥3, 𝑦3, 𝑧3), que están en el plano entonces la ecuación

del plano se puede calcular por la formula siguiente:

|

𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1

𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1

𝑥3 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑦1 𝑧3 − 𝑧1

| = 0

Te invito a que revises los apartados 1.5 y 1.6 del

texto de Zill (2012); en los que encontrarás

respectivamente, los tópicos: ecuación de la recta y

ecuación del plano. Ten en cuenta que ambos

lugares geométricos se grafican en el espacio. Para

ello, es necesario tener muy claros los conceptos de

producto escalar y producto vectorial, analizados en

el subtema anterior.

A continuación, debes resolver la actividad integradora de esta Unidad, que te

permitirá reforzar los conceptos discutidos y te entrenará para la siguiente Unidad,

sobretodo en el uso de planos tangentes a superficies. Estos planos tendrán

además vectores normales a ellos, los cuales, estarán relacionados con el

gradiente de la función graficada. Asimismo, obtendrás las ecuaciones de rectas y

planos. Aprenderás también a resolver problemas usando las dos nuevas

operaciones entre vectores; que es el producto escalar y el producto vectorial.

En esta tercera parte de la Unidad 1, estudiaste las ecuaciones de rectas y planos

en el espacio tridimensional. También resolviste problemas empleando operaciones

vectoriales.



Como seguramente ya habrás notado, las ecuaciones de la recta y el plano son en

realidad funciones vectoriales o funciones de un parámetro 𝑡. Este interesante

resultado te permitirá graficar planos y rectas, usando una sola variable

independiente. Por lo que, seguramente te será de gran utilidad estudiar este tipo

de funciones, ya que en experimentos de laboratorio el tiempo suele ser una

variable de la que depende el proceso estudiado.

Actividades

La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea,

mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea,

la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos

que tendrán que realizar.

Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura:

BCMV_U1_A1_XXYZ, donde BCMV corresponde a las siglas de la asignatura,

U1 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes

sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de

tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu

apellido materno.

Autorreflexiones

Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de

Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe

recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura:

BCMV_U1_ATR _XXYZ, donde BCMV corresponde a las siglas de la

asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu

nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu

apellido materno



Cierre de la Unidad

A lo largo de esta Unidad has podido adentrarte en los conceptos de vectores en el

espacio tridimensional y sus operaciones básicas. Entre estas operaciones se

encuentran el producto escalar y el producto vectorial. Al mismo tiempo, has podido

revisar los conceptos de función de varias variables y su representación gráfica en

el espacio. Particularmente, las funciones de dos variables y algunas curvas

paramétricas como la cicloide y la doble hélice en el espacio tridimensional.

Examinaste algunas superficies cuadráticas relevantes tales como: elipsoides,

conos, cilindros, esferas, hiperboloides, paraboloides y sus diferentes variantes.

Revisaste los conceptos continuidad y límite de una función de dos variables.

También, pudiste revisar algunas ecuaciones relacionadas con rectas y planos; y

resolviste algunos problemas de geometría analítica en el espacio.

Todas estas nuevas herramientas matemáticas las aplicaste a ciertos problemas de

las ciencias físicas o de la ingeniería. Al respecto, debes tomar en cuenta que todos

los conceptos estudiados serán usados en las siguientes Unidades. Por ejemplo, en

la segunda Unidad, las operaciones vectoriales estudiadas aquí te serán muy útiles

para calcular el gradiente, la divergencia y el rotacional, tanto de campos escalares

como de vectoriales. Asimismo, las gráficas en el espacio te apoyarán para

representar los conceptos de la derivada de una función.



Para saber más

Para saber más se recomiendan las siguientes fuentes de información:

Todas estas páginas contienen materiales complementarios o video clases que

apoyan el aprendizaje de algunos de los conceptos estudiados en esta Unidad.

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/SupSegOrden.htm

En esta liga puedes consultar los apuntes sobre superficies cuadráticas, planos y

rectas.

http://infomat-fiei.blogspot.mx/2011/07/superficies-conicas-y-cuadricas.html

Nuevamente, apuntes sobre las cónicas y algunas de sus características, como

apoyo a la consulta de ciertos conceptos útiles en la solución de problemas.

http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07642010000200005

Artículo de Investigación en el área de biotecnología, en donde se muestra la

aplicación de gráficas en el espacio.

http://www.vitutor.com/geo/vec/a_e.html

En esta liga encontrarás algunos ejercicios resueltos sobre el tópico de vectores.

http://www.youtube.com/watch?v=sF6NAi9IRl4

En esta liga encontrarás un interesante video, sobre vectores y su representación.

Algunos ejemplos de vectores son enunciados. Este video puede ser un material

muy ilustrativo complementario de la segunda parte de la Unidad 1.

http://www.google.com.mx/search?q=cicloide&hl=es-

419&rlz=1C2CHFA_enMX484MX485&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/SupSegOrden.htm

http://infomat-fiei.blogspot.mx/2011/07/superficies-conicas-y-cuadricas.html

http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07642010000200005

http://www.vitutor.com/geo/vec/a_e.html

http://www.youtube.com/watch?v=sF6NAi9IRl4

http://www.google.com.mx/search?q=cicloide&hl=es-419&rlz=1C2CHFA_enMX484MX485&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=OJFkUMraCcHK2AW3sYGgCw&sqi=2&ved=0CCgQsAQ&biw=973&bih=546




sa=X&ei=OJFkUMraCcHK2AW3sYGgCw&sqi=2&ved=0CCgQsAQ&biw=973&bih=5

46

En esta liga podrás observar esquemas diversos de la función cicloide y de algunas

de sus características geométricas. También de algunas de sus implementaciones

físicas.

Courant R., et al. (2006) ¿Qué son las Matemáticas? Conceptos y métodos

fundamentales. México: Fondo de Cultura Económica.

En este libro podrás encontrar algunos de los tópicos estudiados en esta Unidad.

No es un libro de texto propiamente, es un más bien un tratado muy general de

matemáticas. Muy recomendable para comprender justamente ¿Qué son las

Matemáticas?

De acuerdo con los autores te permite lograr un contacto real con el quehacer

matemático.





Fuentes de consulta

1. Leithold, L. (2006). El Cálculo. México: Oxford.

2. Marsden, J. E., et al. (2004). Cálculo Vectorial. España: Pearson-Addison

Wesley.

3. Stewart, J. (2006). Cálculo. Conceptos y Contextos. Estado de México.

México: Thompson.

4. Zill, D. G. et al. (2012). Matemáticas 3. Cálculo de Varias variables. México,

D. F.: McGraw-Hill.

Cálculo multivariado

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