PARTE 3

PROGRESIÓN GEOMETRICA

DEFINICIÓN Es un conjunto ordenado en el cuál cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante llamada “razón cociente”. También podemos decir que progresión Geométrica es aquella en la cuál el cociente de dos términos consecutivos es constante. NOTACIÓN El signo de la progresión geométrica es (:) Además entre signo y signo se escribe el signo (:) que se lee: como x es a. EJEMPLO:

: : 3 : 6 : 12 : 24

Se lee: progresión Geométrica como 3 es a 6, es a 12, es a 24.

PROGRESION CRECIENTE Toma este nombre cuando sucesivamente los términos aumentan. EJEMPLO:

: : 2 : 4 : 8 : 16 …..

PROGRESION DECRECIENTE Toma este nombre cuando sucesivamente los términos disminuyen. EJEMPLO:

: : 80 : 40 : 20 : 10 ….. PROGRESION INFINITA O DIVERGENTE Toma este nombre cuando el número de términos que la componen es ilimitado. PROGRESION FINITA O CONVERGENTE Toma este nombre cuando el número de términos limitado.

DEDUCCION DE LA FÓRMULA

DEL TÉRMINO ENÉSIMO

Observe la progresión siguiente:

Términos

: : 3 : 6 : 12 : 24 …..

a N = 5 μ

Observe nuevamente la progresión

R = 2

: : 3 : 6 : 12 : 24 Pero 3 = N-1

24 = 3 x 2³

24 es “U” 3 es “a” Dos es “R”

Reemplazando encontramos la regla general de la Progresión Geométrica.

μ = aR N-1

NOTA Recuerde que en una progresión geométrica la razón, es decir, “R” se halla dividiendo los términos consecutivos. EJEMPLO: Halla el 6º. término de:

: : 4 : 12 : 36 …… R = 12 ÷ 4 = 3

DATOS DEL PROBLEMA: a = 4 R = 3 N = 6 μ = ?

REGLA:

μ = a R N-1

Reemplazando por los valores queda μ = 4 • 3 6-1

De donde

μ = 4 • 3 5

Según la Ley Distributiva: μ = 4 (3)² (3)³

De donde:

μ = 4 x 9 x 27

De donde: μ = 972

Probando

: : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972

Sexto término

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL PRIMER TÉRMINO

REGLA Basados en la regla general, se despeja “a” Procedimiento:

μ = a R N-1

De donde = a Organizando a = Elaboremos el mismo ejemplo visto para evitar probar.

μ RN-1 μ RN-1

EJEMPLO: Establecer el primer término de una progresión Geométrica que consta de 6 términos, con una razón “3” y cuyo último término es 972. Solución Datos del Problema: a = ? μ = 972 N = 6 R = 3 REGLA: a = Reemplazando ppr valores tenemos: a = De donde: a = a = De donde: a = De donde: a = De donde: a = 4 PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA RAZON

μ RN-1

972 36-1

972 35

972 32 x 33

972 9 x 27 972 243

REGLA: De la regla general se despeja “R” Procedimiento:

μ = a R N-1

De donde = R N-1 Organizando R N-1 = Sacando Raíz N – 1 a ambos miembros queda:

1 1− −N NR = 1−N

aμ

De donde:

R = 1−N

aμ

ELABOREMOS EL MISMO PROBLEMA VISTO EJEMPLO: Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 4, el último término es 972 y consta de 6 términos? DATOS DEL PROBLEMA

a = 4 μ = 972 N = 6 R = ?

μ

a μ

a

REGLA:

R = 1−N

aμ

Reemplazando por valores:

R = 1

4972

−N

De donde: R = 1 243−N De donde: R = 5 243 De donde: R = 3 Elaboremos la progresión :

: : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972

36 x 108

3888

4 x 972

3888

Conclusión En una progresión Geométrica, el producto de términos equidistantes a los extremos es igual al producto de extremos.

Observe la progresión:

R = 3

: : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972

Suma = S = 14 56 μ

R = 3 (R – 1) = 2 1456 x 2 = 2912 S (R – 1) 972 x 3 = 2916 – 4 = 2912

μ • R – a Conclusión:

S (R -1) = μ • R – a La suma de los términos por la razón menos uno, es igual al producto del último término multiplicado por la razón menos el primer término. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA SUMA DE LOS TÉRMINOS PROCEDIMIENTO Se despeja “s” de la regla vista Hagámoslo S (R – 1) = μ • R – a

De donde: S = Utilicemos el mismo ejemplo visto Una progresión en la cual μ = 972, R = 3 y a = 4, cuál es la suma de sus términos? Solución Regla: S = Cambiando por valores nos queda: S = De donde: S = De donde: S = De donde: S = 1456 NOTA Recuerde que la progresión usada, es creciente, por tanto, S =

μ • R – a

R – 1

μ • R – a

R – 1

Regla General de la suma de los términos de una progresión Geométrica Creciente

972 x 3 – 4 3 – 1

2916 – 4 2

2912 2

μ • R – a

R – 1

Es la regla general para hallar la sumatoria de los términos de una progresión creciente. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN DECRECIENTE NOTA En toda progresión Decreciente, casa nuevo término tiende a cero. EJEMPLO: : : 1 : 1 : 1 : 1 2 4 8 16 Observe: 1 1 1 1 ………… 1 Tiende a cero 2 4 8 16 ∞ Por lo tanto sucede lo siguiente: S = Si “μ” tiende al límite de cero, por ser el último término de la progresión, se presentará que: S =

Pero el cero anula el producto, por lo tanto quedará: S =

Al tener “a” negativa, dificulta la aplicación. Por tanto aplicamos la característica básica de los fraccionarios. Si Numerador y Denominador, lo multiplicamos por el mismo número, la fracción no se altera. Multipliquemos numerado y denominador por (-1) y nos queda que:

μ • R – a

R – 1

0 • R – a

R – 1

– a R – 1

(-a) (-1) (R-1) (-1)

S = De donde: S = Organizando nos queda: S = EJEMPLO: Hallar la suma de la progresión: : : 1 : 1 : 1 : 1 ……. 2 4 8

Datos del problema: a = 1

R = 21

De donde a = 1 R = 21

Aplicamos la regla: S = Reemplazamos por valores: S = De donde:

a – R + 1

a 1 – R

Regla general de la suma de los términos en una progresión decreciente.

a 1 – R

1

1 – 21

S =

211 =

11 x

12 = 2

S = 2

TEORÍA COMBINATORIA

VARIACIONES DEFINICIÓN Toman este nombre las distintas agrupaciones que se pueden formar con “m” elementos de 1 en 1, Monomios; de 2 en 2 Binomios, etc. De modo que cada grupo se diferencie de los demás o en el orden que están colocados (si contienen los mismos elementos) o en alguno de los elementos.

CLASES DE VARIACIONES

Las variaciones se dividen en dos clases: Ordinarias y Generales. VARIACIONES ORDINARIAS Toman este nombre cuando en el mismo grupo no se repinten los elementos. VARIACIONES GENERALES Toman este nombre, cuando en el mismo grupo se repinten los elementos. A las variaciones generales se les llama: Variación con repetición. NOTACIÓN: Las letras utilizadas en las variaciones son tres: V = Variación

m = Número total de elementos que de dispone para la variación, también a “m” le llamamos número base de la variación. N = Cantidad de elementos que forman cada grupo, también se le llama orden de variación. Uniendo las letras vistas

N

mV Se lee: Variación de “m” elementos ordenados en grupos de N elementos.

EJEMPLO:

2

8V Se lee: variación en base 8 y orden 2, en otras palabras variación de ocho elementos para ordenarlos en grupos de dos.

REGLA:

N

mV = m(m-1) (m-2) ……… (m – n + 1)

EXPLICACION CON EJEMPLOS Establecer cuantos grupos monomios se pueden organizar con los cinco primeros números naturales, es decir, con: 1, 2, 3., 4 y 5.

1

5V Se lee: Variación de 5 elementos ordenándolos de uno en uno. SOLUCIÓN

1

5V = 1, 2, 3, 4, 5 Organizamos 5 grupos, es imposible más. Cuando “N” es la unidad Es decir, N

mV = m Elaboremos otro ejemplo: Establecer cuantos grupos binarios se pueden establecer con los números naturales de 1 al 5 NOTACIÓN:

2

5V = m (m – 1)

DATOS DEL PROBLEMA 1) Establecer grupos ordenados de dos en dos. 2) Número de elementos cinco. SOLUCIÓN

2

5V = 5 (5 – 1) 2

5V = 5 · 4 = 20 El Número de grupos ordenados de dos en dos es 20.

Probemos: 12 13 14 15 21 23 24 25 Observe que 31 32 34 35 son 20 41 42 43 45 grupos 51 52 53 54 CONCLUSIÓN: 1

5V = 5

2

5V = 5.4

3

5V = 5.4.3

4

5V = 5.4.3.2 2

5V = 5.4.3.2.1. Nunca “N” puede ser mayor que “m” Lo mismo en notación algebraica:

N

mV = m si N = 1 N

mV = m (m-1) si N = 2 N

mV = m (m-1) (m-2) si N = 3 N

mV = m (m-1) (m-2) ……. (m – N + 1)

EJEMPLO: Cuántos grupos distintos de tres cifras se pueden formar con los números del 1 al 8. REGLA:

3

8V = m (m-1) (m-2) Pero m = 8

Por tanto queda 3

8V = 8 (8-1) (8-2) 3

8V = 8 . 7 . 6 3

8V = 336

Respuesta: Se pueden formar 336 grupos

VARIACIONES CON REPETICIÓN REGLA: El ordenar en la variación pasa a ser exponente de “m”. EJEMPLO: Variación es N

mV = m (m – 1) (m – 2) ….. (m – N + 1) VARIACIÓN CON REPETICIÓN REGLA:

R N

mV = mN

EJEMPLO: Cuántos grupos de tres elementos con repetición se pueden formar con base en cuatro elementos?

REGLA: R N

mV = mN

Reemplazando por valores R 3

4V = 43 = 64

Respuesta: se puede conformar 64 grupos.

PERMUTACIONES

DEFINICIÓN Es ordenación de grupos, que sólo se diferencia un grupo de otro en el orden de los elementos, porque en todos los grupos entran todos los elementos. EXPRESIONES QUE SIMBOLIZAN PERMUTACIÓN

N

mV Se lee: Variación donde el ordenador es igual a la base, es decir, N = m

Pm Se lee: Permutación de “m” elementos.

m! Se lee: Permutación de los elementos “m” Nota: “m!” se lee m Factorial.

m Se lee: Permutación de los elementos “m”.

NOTA: Para que no se confunda, recuerde que permutar es elaborar una variación en la cuál el número de elementos por grupo es igual al número de elementos base. EJEMPLO: En cuántas formas puede sentarse 5 personas en un lado de una mesa. REGLA: PM = P5 = 5.4.3.2.1 = 120

Se pueden sentar de 120 formas

Otra forma de ver fácil las permutaciones es:

El número de permutaciones no es otra cosa que multiplicar a “m” por todos los números naturales que le suceden hasta llegar a la unidad.

En la práctica la regla se da en la siguiente forma: Pm = m (m – 1) (m – 2) (m – 3) …… 1

Cambiando por valores P8 = (8-1) (8-2) (8-3) (8-4) (8-5) (8-6) (8-7)

P8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320

Respuesta = 40.320 formas

Por lo visto se dice que: Pm = m! Se lee: Pm es igual a “m” factorial, es decir: “m” multiplicada por todos los naturales que le suceden hasta la unidad.

EJEMPLO: Hallar P5 = 5! Solución P5 = 5.4.3.2.1 = 120 P5 = 120.

PERMUTACIONES CIRCULARES Símbolo PΘ

Las permutaciones anteriores son consideradas como grupos alineados. Estos grupos se toman como (m!) Se lee “m” factorial. En este caso se dice que: PM = M! Cuando los grupos se toman en círculo se supone que algunos se repiten y disminuyen su número, por tanto se toma como (M-1)!, por tanto se dice que PΘ = (M – 1)!

EJEMPLO:

De cuántas formas distintas se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa? REGLA:

PΘ = (M – 1)! SOLUCIÓN:

P5 = (5 – 1) = 4 ! = 4 . 3 . 1 = 24 formas.

PERMUTACICONES CON REPETICIÓN Cuando hablamos de permutaciones, hablamos de ordenamiento de conjuntos donde entran todos los elementos. Pero cuando en esos elementos dados hay elementos repetidos, el número de ordenamientos disminuye proporcionalmente al número de elementos repetidos. El símbolo de permutaciones con elementos repetidos es:

R λβα .....,

mP = λβα ...,

!m

¡Importante! “m” indica el número de elementos a permutar. Cada letra griega escrita en la parte superior indica, en el conjunto a permutar, cuantas veces se encuentra repetido cada elemento. EJEMPLO: Con las letras de la palabra CALADA, cuántas palabras se pueden formar? NOTA: El número de letras de la palabra son seis la “a” esta repetida 3 veces. Hagámoslo: Indica el número de los elementos = 6

R λβα .....,

mP = !!

αm

Indica el elemento repetido a = 3 veces. Resolviéndolo

R P = !!

αm =

1.2.31.2.3.4.5.6 =

6720 = 120 palabras

EJEMPLO: Cuántos números de 8 cifras se pueden formar con 2 cuatros y 4 cincos?

R βα ,

mP = !!

!βα

m

Por qué escribimos α y β, porque hay dos elementos repetidos. En este caso α vale 2 porque cuatro que es un elemento del conjunto, está repetido dos veces y β vale 4 porque cinco que es un elemento del conjunto está repetido 4 veces. Tenemos:

R 4,2

8P = !4!2

!8 = 1.2.3.4.1.2

1.2.3.4.5.6.7.8 = 48320.40 = 840

Respuesta: Se pueden formar 840 números de 8 cifras con dos cuatros y cuatro cincos.

COMBINACIONES

Se llama combinación al cociente de dividir las variaciones por la permutación de los elementos de cada grupo.

NCm

Número total de elementos

Número de grupo. Es decir:

NCm = N

N

m

PV

EJEMPLO: Entre 8 personas de cuantas formas podemos formar comités de 4 personas? N = 4 Variación = 4

8V = 8 • 7 • 6 • 5

P = 8 Permutación = 4P = 4 • 3 • 2 • 1

De donde:

NCm = N

N

m

PV =

12345678•••••• =

24680.1 = 70 Formas

NÚMEROS COMBINATORIOS Una combinación también se puede presentar y desarrollar a través de los llamados números combinatorios. DEFINICIÓN: Número combinatorio es una expresión matemática que presenta cuantos grupos combinatorios pueden conformarse con cierto número de elementos. Indica el grupo combinatorio Símbolo N

mC Indica el Número de elementos a combinar

El mismo símbolo se acostumbra con la presentación siguiente:

N

mC = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Nm

= !

1)N-(m )2)(1(NHastammm +−−

= )!(!

!NmN

m−

¡Importante! Por definición:

0! = 1 Cero factorial es igual a uno.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛0N

= 1 Se lee: La combinatoria “N” sobre cero es igual a uno.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛NN

= 1 Se lee: La combinatoria “N” sobre “N” es igual a uno.

CONCLUSIÓN: En combinaciones tenemos cuatro reglas que indican lo mismo.

N

mC = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Nm

N

mC = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Nm

= N

N

m

PV

N

mC = !

1)N-(m )2)(1(NHastammm +−−

N

mC = )!(!

!NmN

m−

Elaboremos un problema aplicando las tres fórmulas vistas y comprobemos el resultado. EJEMPLO: Un barco tiene banderas de 15 naciones, si tiene espacio para desplegar cinco a la vez cuantas combinaciones puede hacer con las 15?

N

mC = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

515 =

N

N

m

PV = 12345

1112131415••••••••

= 3003

formas

= !

1)N-(m )2)(1(NHastammm +−−

=

123451112131415

••••••••

= 3003 Formas 3 7 6

= )!(!

!NmN

m−

= 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.1.2.3.4.5

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15

1 2 1

= 6018.18 = 3003 formas

COCIENTE BINOMIAL

A las combinaciones también se les llama coeficiente binomial, porque son utilizadas para establecer cualquier coeficiente en el desarrollo de la elevación de un binomio a una potencia positiva. (Véase Teoría del Binomio). Limitémonos a elaborar un ejemplo utilizando el triángulo de Pascal como comprobación, teniendo en cuenta que el coeficiente binomial está dado por:

Indica el grado del término

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Nm

= )!(!

!NmN

m−

Indica la posición del término

En el triángulo de Pascal la fila que indica los coeficientes para un

binomio de quinto grado son:

1 5 10 10 5 1

Tercer término

Utilizando la combinatoria, hallar el coeficiente del tercer término en un Binomio de grado cinco. Desarrollo: 2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛25

= )!25(!2

!5−

= 1.2.3.1.2.1.2.3.4.5 = 10

1 Compárelo con Pascal

Conclusión:

El coeficiente de cualquier término del desarrollo de un binomio es la combinatoria de la cual “N” es el grado del binomio y “m” la posición menos uno del término.

LOGARITMOS

DEFINICIÓN Se llama logaritmo de un número, al exponente de la potencia al cuál se debe ELEVAR otro número llamado BASE para obtener el número. Esta palabra fue adoptada por Napier, que creó y desarrolló la idea. Viene de dos palabras Griegas: Logos (Razón) y Arithmos (Números), para Napier, logaritmo era la razón del número. Desde nuestro ángulo debemos mirarlo como:

Logaritmo = Exponente

BASE Cualquier número positivo puede tomarse como base para un sistema de Logaritmos, pero los sistemas logarítmicos conocidos son: Los logaritmos Neperianos o Naturales de base e = 2.71828182845 . .en Honor a su fundador Napier; y los logaritmos vulgares, también llamados decimales, porque su base es diez o de Briggs en honor a su fundador.

En este tratado usamos los logaritmos de Briggs o Base 10.

LOGARITMOS DE UN NÚMERO

Recuerde la idea central. Logaritmo = exponente.

Logaritmos de un número es el exponente al que hay que elevar otro número llamado base, para obtener el número.

Logaritmo Base. 10 0 = 1 Número

Logaritmo Base. 10 1 = 10 Número

Logaritmo Base. 10 2 = 100 Número NOTACIÓN

Logaritmo

Base 10 0 = 1 Número Observe que uno es el número cuyo logaritmo es cero. Se escribe Log10º 1 = 0 {se lee: logaritmo del número uno es cero.

Logaritmo Número 102 = 100 {se lee el logaritmo del numero 100 es 2. Base

GENERALIDADES 1) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es UNO La base de los logaritmos vulgares es diez por lo tanto, Logaritmo de 10 es uno, porque toda cantidad Log. 10 = 1 se lee: elevada a exponente uno es igual a la misma Cantidad 2) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de uno es cero, porque toda cantidad elevada a exponente cero es igual a la unidad. Log. 1 = 0 se lee: El logaritmo de uno es cero. 3) Los números menores que uno, tienen logaritmo negativo, porque toda cantidad menor que la unidad, presenta exponente negativo. EJEMPLO:

100 = De donde log. 1 = 0 101 = 10 De donde Log. 10 = 1 102 = 100 De donde Log. 100 = 2 103 = 1000 De donde Log. 1000 = 3 10-1 = 0.1 De donde Log. 0.1 = -1 10-2 = 0,01 De donde Log. 0,01 = -2

10-3 = 0,001 De donde Log. 0,001 = -3

4) Por lo ya explicado se establece que los números mayores que uno poseen logaritmo poseen logaritmo positivo ya que el logaritmo de uno es cero, logaritmo mayor que uno es mayor que cero (positivo) y Logaritmo de un número menor que uno es menor que cero (negativo).

5) Los números negativos no tienen logaritmos. Porque la base de un sistema de logaritmos es positiva. Si se presentara base negativa, los pares darían positivos y los impares negativos, por tanto, la base de los logaritmos es positiva y los números negativos no tienen logaritmos.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1) LOGARITMO DE UN PRODUCTO REGLA: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Log(A x B) = Log. A + Log. B Sencillo! Cada logaritmo representa un número, representa una potencia. Pero un logaritmo es un exponente, y para multiplicar potencias se suman sus exponentes. NOTA: Si buscamos el número que corresponde al logaritmo suma, veremos que el número es el resultado del producto. EJEMPLO:

A = 50.000 y B = 6000 Establecer el logaritmo correspondiente a “A” y “B” y el valor que le corresponde al logaritmo suma. 1) 50000 x 6000 = 300`000.000

Log. A x B= Log. A + Log. B 4.69897 + 3.77815125 = 8.477121254

Log. 300`00.00 = 8.477121254

2) LOGARITMO DE UN COCIENTE

REGLA: El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividiendo menos el logaritmo del divisor.

Log. BA

= Log. A – log. B

Recuerde que trabajar con Logaritmos es trabajar con exponentes. Recuerde que para dividir potencias de igual base, que es el caso que nos ocupa, porque aunque el Logaritmo de A sea diferente al Logaritmo de B, la base para ambas cantidades es igual, por tanto, para dividir potencias de igual base, se restan sus exponentes que en este caso son sus logaritmos. EJEMPLO:

A 0 500.000 y B = 1000

Establecer el logaritmo correspondiente a BA

y el valor que le

corresponde al logaritmo diferencia. DESARROLLO A 500.000 = = 500 B 100

Log BA = Log A - Log B

5.698970 - 3 = 2.698970

Log. 500 = 2.698970

LOGARITMO DE UNA POTENCIA REGLA: El logaritmo de la potencia de un número es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de dicho número. El motivo de lo anterior es que mirado desde el punto de vista de potencia es como elevar una potencia a otra potencia.

- Si llamamos “b” a la base del Logaritmo - Si llamamos “N” al exponente de la potencia cuya base es “A”. - Si llamamos “x” al Logaritmo de la potencia nos queda que

bx = A Elevado ambos miembros al exponente de “A” que es “N” nos queda: (b2)N = A N

De donde: A N = b N·X

Pero BN·x = es N (Log A) Luego: AN = N (Log A) EJEMPLO: Hallar el Logaritmo de 105 REGLA:

AN = N(Log A) A = 10 y N = 5

De donde:

Log. AN = (Log A) = 5 x 1 = 5

Buscando el valor que corresponde a Logaritmo 5, nos queda que es: 100.000

LOGARITMO DE UNA RAÍZ REGLA: El logaritmo de una Raíz es igual al Logaritmo de la cantidad subradical dividido por el índice de la raíz De lo anterior se desprende que: un Logaritmo es un exponente por tanto, al hablar de logaritmo de una Raíz, estamos hablando de la

raíz de una potencia. Sabemos que la raíz de una potencia es igual al cociente de dividir el exponente de la cantidad subradical por el índice de la raíz. Veámoslo: Si lamamos “b” a la base del logaritmo. Si llamamos “x” al Logaritmo de la cantidad subradical. Si llamamos “N” al índice de la raíz Si llamamos “A” a la cantidad subradical. Nos queda: Logaritmo de A

N A = N xb = NX

Índice de la raíz Pero “x” es el Logaritmo de “A” y nos queda:

N A = N

ALog EJEMPLO: Hallar el Logaritmo de Raíz Cuadrada de 30.000 Elaborando la operación queda:

Log. 000.30 = 2

000.30 .Log =

24477121255

De donde:

Log. 000.30 = 2.238560627

ELEMENTOS LOGARÍTMICOS

Todo logaritmo se compone de las partes siguientes: 1) CARACTERÍSTICAS Toma este nombre la parte entera del Logaritmo, su valor está dado por el número de dígitos del número menos la unidad. EJEMPLO: la característica de 1000 es 4 – 1 = 3

características de 1000 = 3 características de 250 = 3 -1 -2 características de 250 = 2 características de 15 = 2 -1 = 1 características de 15 = 1 características de 5 = 1 – 1 = 0 características de 5 = 0 2) MANTISA Es la parte decimal del logaritmo que se encuentra en una tabla de logaritmos ó a través de la calculadora. EJEMPLO: El log. 5 es mayor que cero y menor que 1 Porque si la base es diez, tenemos que:

100 = 1 y 101 = 10 Luego el logaritmo de 5 tiene que ser mayor que cero y menor que 1. Esta cantidad fraccionaria la buscamos en la tabla o la través de la calculadora y establecemos que:

Log. 5 = 0 . 6 9 9 0 La parte decimal se llama mantisa La característica es cero Porque 1 – 1 = 0 EJEMPLO: Log 15 es mayor que 1 y menor que 2; a través de la calculadora establecemos que

Log 15 = 1 . 1 7 6 1 Parte

Decimal = mantisa Parte entera = Característica

NOTA: Solo las potencias de diez tienen como logaritmos números enteros. EJEMPLO Log. 1000 = 3 Log. 100 = 2 Log. 10000 = 4 ¡IMPORTANTE! Si un número tiene las mismas cifras significativas, al aumentar o disminuir el número, el valor de la Mantisa se mantiene, solo varia la característica EJEMPLO:

Log. De 2,5 = 0.3979 25 = 1,3979 250 = 2.3979 2500 = 3,3979

OPERACIONES CON LOGARITMOS

SUMA

SUMA DE LOGARITMOS CON CARACTERÍSTICA POSITIVA REGLA Se aplica la suma de decimales en aritmética. EJEMPLO Sumar los logaritmos 3,53432 y 4,46791 elaborando la operación tenemos:

3,53432 4,46791 8,00223

CONCLUSIÓN El log. 3,53432 + El log 4,46791 = Log 8,00223

SUMA DE LOGARITMOS CUANDO SE PRESENTAN CARACTERÍSTICAS POSITIVAS Y

NEGATIVAS REGLA: Se elabora la suma algebraica de los Logaritmos, teniendo en cuenta que la Mantisa siempre es positiva. Pero si la característica es negativa, convierte al conjunto en Negativo. EJEMPLO Sumar los logaritmos: 1.75832 – 5.94125 y 2.08719 Elaborando la operación tenemos:

1.75832 -5.94125 2.08719 -2.09574

SUMA DE LOGARITMOS CUANDO SE

PRESENTAN CARACTERÍSTICAS NEGATIVAS

REGLA Se elabora la suma algebraica de los logaritmos teniendo en cuenta que son cantidades negativas. EJEMPLO Sumar los logaritmos -2,40692 y -1,98425

-2.40692

-1.98425 -4.39117

SUSTRACCIÓN

CUANDO ES VIABLE LA RESTA ARITMÉTICA NORMAL EJEMPLO Del Logaritmo 4,62338 restar 2,88905 Elaborando la operación tenemos:

4,62338 - 2,88905 1,73433

Log. 4,62338 menos Log 2,88905 = Log 1,73433 CUANDO SE PRESENTA UNA SUBSTRACCIÓN ALGEBRAICA NOTA Elaborar una substracción algebraica es cambiarle el signo al sustraendo. EJEMPLO Del Log 0,87421 Restar Log. 4,23187, elaborando la operación

0,87421 - 4,23187 - 3,35766

Del Log 3,53432 restar el Log. -5,76344

Elaborando la operación tenemos:

3,53432 +5,76344 9,29776

MULTIPLICACIÓN DE LOGARITMOS

¡IMPORTANTE! Un logaritmo se puede multiplicar por un número cualquiera NOTA En la multiplicación se puede presentar que la característica sea positiva o que la característica sea negativa. CUANDO LA CARACTERÍSTICA ES POSITIVA REGLA En este caso se elabora una multiplicación normal de un número entero por un fraccionario EJEMPLO: El logaritmo 3,54406 multiplicado por 2 Elaborando la operación tenemos:

3,54406 X2 7,08812

Log. 3,54406 x 2 = Log 7,08812

Probando la operación: Antilogaritmos de 3.54406 = 3.500 El factor 2 es exponente Por tanto:

Sustraer es Cambiar el signo Del sustraendo,

Como es -5,76344 se Toma +5,76944 y arroja

3,53432 + 5,76344 = 9,29776

Log de (3.500)2 = Log 7,08812 Pero (3.500)2 = 12.250.000 y Log 12.250.000 = 7.08812 CONCLUSIÓN Multiplicar un logaritmo por un número es hallar el logaritmo de la potencia cuya base es el antilogaritmo y cuyo exponente es el número.

CUANDO LA CARACTERÍSTICA ES NEGATIVA

REGLA Se elabora una multiplicación de un número entero por un decimal, teniendo en cuenta que el decimal es negativo. EJEMPLO Multiplicar el Log 3,54406 x 2 Elaborando la operación tenemos.

3,54406 x2 7.08812

Log. 3.54406 x 2 = 7.08812

Probando la operación: Antilogaritmo de 3.54406 = 0.0002714 El factor 2 es exponente

(0.0002714)2 = 0.000000073 Log de 0.000000073 = 7,08812

DIVISIÓN DE LOGARITMOS

Dividir un Logaritmo por un número, es hallar la raíz del antilogaritmo, cuyo índice es el número.

Se presenta dos casos: 1) Que la característica contenga en forma exacta al divisor. 2) Que la característica no contenga en forma exacta al divisor. CUANDO LA CARACTERÍSTICA CONTIENE EN FORMA EXACTA AL DIVISOR REGLA: Se elabora la división de un número decimal por un entero. EJEMPLO El log 4.56792 dividirlo entre 2 Elaborando la división tenemos. 4.5 6 7 9 2 2 0 5 2.28396 1 6 0 7 1 9 1 2 0

Log. 4.56792 ÷ 2 = log 2.28396 Probando la operación: Antilogaritmo de 4.56792 = 36.976 Sacando Raíz Cuadrada del antilogaritmo tenemos: 976,36 = 192.29 Log de 192.29 = 2.28396 CUANDO LA CARACTERÍSTICA NO CONTIENE EXACTAMENTE AL DIVISOR REGLA

El Logaritmo se divide por el número. EJEMPLO Log 4,46576 dividido por 3 Aplicando la regla:

4,46576 ÷ 3 = 1,488586

CONCLUSIÓN

Log. 4.46576 ÷ 3 = Log 1.488586

Probando la operación: Antilogaritmo de 4.46576 = 29.225.36 Antilogaritmo de 1.488586 = 30.80 Sacando Raíz Cúbica

3 36.225.29 = 30.80

CUANDO LA CARACTERÍSTICA ES NEGATIVA REGLA Se procede como si fuera positiva pero el cociente se toma negativo: EJEMPLO: El Log. -4,46576 ÷ 3 Pero: -4,46576 ÷ 3 = -1,4885866 CONCLUSIÓN 4.46576 ÷ -1.4885866

Probando la operación Antilogaritmo de 4.46576 = 0.0000342 Antilogaritmo de

-1.4885866 = 0.03246 3 0.0000342 = 0.03246

COLOGARITMO

Llamamos Cologaritmo de un número, al logaritmo de su inverso: REGLA El cologaritmo de un número es el mismo logaritmo del número pero con signo cambiado. Lo anterior procede de lo siguiente. 1) Recuerde que el inverso de un número es el mismo número pero con la unidad como Numerador.

EJEMPLO: El inverso de 5 es 51

2) Recuerde que para dividir potencias de igual base, se restan sus exponentes. EJEMPLO: a s ÷ a 3 = a 5-3 = a2 3) Recuerde que para el Logaritmo de uno es cero.

Deducción matemática Si llamamos “x” a un número cualquiera, tenemos que:

Colog. x = Log x1

= Log 1 – Log.x = 0 – Log. X = - Log. x

Conclusión: Colog. X = - Log. X De lo anterior se puede establecer que

Log. ba

= Log a + colog b

EJEMPLO: Establecer el Cologaritmo de 3.420. Desarrollo: Log. 3420 = 3.534026106 Colog. 3420 = -3.534026106

SOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES

A TRAVÉS DE LOGARITMOS DEFINICIÓN Ecuación exponencial es un caso especial de las ecuaciones en la cuál la incógnita o valor a buscar, es el exponente de una cantidad. NOTA: Para desarrollar esta clase de ecuaciones se aplica la regla para hallar el Logaritmo de una potencia Recuerde que:

Log AN = N(Log A) Ejemplo: Resolver

5x = 125

Pero:

Log. AN = Log. 125 porque AN = 125 y N (Log A = x (Log. 5)

Y nos queda que: X ( Log 5) = Log 125 De donde: Log 125 2.0969100 X = = = 3 Log 5 0.69870 De donde: x = 3 Probando: 53 = 125 EJEMPLO: Resolver:

72x+1 = 16.807

2x +1 (Log. 7) = Log. 16807

2x + 1 = 7.

6.8071 Log

Log

2x = 7.

6.8071 Log

Log - 1

x = 2

7.6.8071

LogLog

- 1

x = 2

84509804.02254902.4

- 1

x = 2

1 - 5 =

24 = 2

X = 2

Conclusión: 72x2+1 = 16.807 75 = 16.807

APLICACIÓN DE LOGARITMOS A LA FORMULA DEL NUMERO DE

TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

FORMULA GENERAL

U = a R N-1

Vamos a buscar “N” porque ya sabemos solucionar una ecuación exponencial. Recuerde dos cosas: Logaritmos de un producto y Logaritmo de una potencia. Logaritmo de un producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Logaritmo de una potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. Elaboramos el desarrollo basado e las dos reglas vistas.

U = A RN-1 Log. U = Log. A + (N-1) Log R Observe que es el logaritmo de una potencia De donde:

Log U – Log A = (N – 1) Log R.

De donde:

= N – 1 De donde:

+ 1 = N De donde:

N = + 1 EJEMPLO: Cuántos términos tiene una progresión geométrica cuyo datos son los siguientes:

Primer término es 54 Último término es 2560

La razón es dos.

Es decir : : 5 : 10 : 20 …………. 2.560 REGLA:

N = + 1 Reemplazando por valores

Log U – Log A Log. R

Log U – Log A Log. R

Log U – Log A Log. R

Log U – Log A Log. R

N = + 1

N = + 1

N = + 1

N = 9 + 1

N = 10

Conclusión: 2560 = 5 x 210-1 LOGARITMO NEPERIANO O NATURAL Generalmente se utilizan en Matemáticas Superiores, la diferencia con los logaritmos decimales es que: En los logaritmos decimales la base es diez, mientras que en los logaritmos naturales la base es e = 2.7182818284… El procedimiento para hallar el Logaritmo de un número es similar cualquiera sea la base. ¡Importante! a) Si se busca el logaritmo decimal se escribe el número en la calculadora y se oprime la tecla “Log.” El resultado en la pantalla es el logaritmo decimal. a) Si se busca el logaritmo natural se escribe el número en la calculadora y se oprime la tecla “LN” El resultado en la pantalla es el logaritmo natural, que desde luego no es igual al decimal.

Log 2560 – Log 5 Log. 2

3.410822399965 – 0.69897004 0.301029995 2.709253992 0.301029995

EJEMPLO: Log. 500 = 2.698970004 LN 500 = 6.2146308098

CONVERSIÓN DE LOGARITMO DECIMAL A

LOGARITMO NATURAL

Módulo de conversión: 2.302585 REGLA: Para pasar un logaritmo decimal a logaritmo natural, el logaritmo decimal se multiplica por el módulo de conversión cuyo símbolo es “M” EJEMPLO:

Log. 500 = 2.698970004 Pasarlo a “LN” LN = Log • M Pero: M = 2.302585 De donde:

LN 500 = Log 500 x 2.302585 Pero: Log 500 = 2.698970004 De donde: LN 500 = 2.698970004 x 2.302585 LN 500 = 6.21460784 Conclusión: LN = Log • M

CONVERSIÓN DE LOGARITMO NATURAL A LOGARITMO DECIMAL

Módulo de conversión M = 0.434294 REGLA: Para pasar un Logaritmo Natural a un logaritmo Decimal, el logaritmo natural, se multiplica por el factor de conversión M = 0.434294 EJEMPLO:

LN 500 = 621460784 Pasarlo a Logaritmo decimal:

Log 500 = 6.21460784 • M Log 500 = 6.21460784 x 0.434294 Log 500 = 2698966897

Conclusión:

Log = LN • M