Grado Ciencias AmbientalesFacultad de CienciasDepartamento MatemáticasProfesor: Santiago de la Fuente Fernández

CÓMIC APLICACIONES CHI-CUADRADOTEST DE NORMALIDADTEST POISSON

Una empresa de imprimir, alimentada a mano, estaba sujeta a lo que parecía ser un númeroirrazonable de obstrucciones causadas por interferencias de las hojas de papel a la prensa.Se hizo una prueba para ver si diferentes operarios encontraban o no diferentes grados dedificultad con la máquina. Cada operario alimentó la máquina introduciendo el mismo númerode hojas, contándose luego el número de atascos sufridos por cada uno, lo que dio lugar a lasiguiente tabla:

Operario A B C D TotalObstrucciones 6 7 9 18 40

¿Existe o no diferencia entre los operarios a un nivel 05,0=α ?. ¿Y aun nivel 025,0=α ?.Analizar los resultados.

El valor teórico viene dado por la expresión: 348,9815,7 23;025,0

23;05,0 =χ=χ

En un hospital se ensayó la eficacia de cinco medicamentos en un grupo de pacientes, con elobjeto de determinar si al final del tratamiento un paciente determinado mejoraba o no.Las observaciones que se encontraron están anotadas en la siguiente tabla:

Tratamientos A B C D E TotalNúmero de pacientes 51 54 48 49 48 250Pacientes mejorados 12 8 10 15 5 50

¿Existe diferencia entre los medicamentos a un nivel de 0,05?.

50250

a51

=50250

b54

=50250

c48

=50250

d49

=50250

e48

=

2,10250

51.50a == 8,10250

54.50b == 6,9250

48.50b == 8,9250

49.50b == 6,9250

48.50e ==

El estadístico de contraste:

03,65003,56506,9

58,9

156,9

108,10

82,10

12neO 22222

i

2i

5

1i

215 =−=−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=χ ∑

=−

Por tanto, como 24;05,0

24 488,903,6 χ=<=χ , aceptamos la hipótesis nula oH , es decir,

no existe diferencia entre los diferentes medicamentos, con un riesgo 05,0=α , en lamejora de los pacientes al finalizar el medicamento.

Las leyes de la herencia de Mendel predicen la aparición de tipos de guisantes conascendencia específica 9:3:3:1 para las clases lisa y amarilla, lisa y verde, arrugada yamarilla, arrugada y verde. En cierto experimento se obtuvieron, respectivamente, 315,108, 101 y 32.A un nivel de 0,05, ¿coinciden los datos con la teoría?.

47,055647,55655675,34

3225,104

10125,104

10875,312

315neO 2222

i

2i

4

1i

214 =−=−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=χ ∑

=−

Se acepta la hipótesis nula oH porque 23;05,0

23 815,747,0 χ=<=χ , el valor teórico es

menor que el valor esperado, afirmando que los datos observados coinciden con la teoría.

En un laboratorio se observó el número de partículas α que llegan a una determinada zonaprocedentes de una sustancia radiactiva en un corto espacio de tiempo siempre igual,anotándose los resultados en la siguiente tabla:

Número de partículas 0 1 2 3 4 5Número de períodos de tiempo 120 200 140 20 10 2

Se pide:

a) Ajustar los datos a una distribución de Poisson.b) Calcular la probabilidad con que llegan las partículas.

c) Verificar si el ajuste es correcto mediante una 2χ , con un nivel 05.0=α

2,1492590

n

nx

x

6

1iii

====λ∑= . Por tanto, ( ) 2,1

ke.

!k2,1kxP −== 5,,1,0k L=

31,324928,15

127,42

207,106

1408,177

2002,148

120neO 222225

1i i

2i2

3 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=χ ∑

=

Como ( )23;05,0

23 815,731,32 χ=>=χ el valor observado es mayor que el valor teórico,

rechazamos la hipótesis nula. Es decir, la distribución de datos en estudio no se puedeajustar a una distribución de Poisson a un nivel de confianza del 95%.

En una examen final de estadística, los estudiantes recibieron las siguientes calificaciones:

80 70 75 65 85 90 80 85 7575 95 50 90 75 55 85 65 9080 65 80 80 80 75 70 95 10070 75 70 80 85 60 80

Verificar si las calificaciones obtenidas siguen una distribución normal, con una fiabilidaddel 95%.

Intervalos ix iO ii O.x i2i O.x

45 - 55 50 1 50 250055 - 65 60 2 120 720065 - 75 70 7 490 3430075 - 85 80 13 1040 8320085 - 95 90 8 720 6480095 - 105 100 3 300 30000

34O6

1i

i =∑=

∑=

=6

1i

ii 2720O.x ∑=

=6

1i

i2i 222000O.x

8034

2720n

O.x

x

6

1i

ii

====μ∑=

( ) 4,1141,129640034

2220008034

O.x2

6

1i

i2i

2 =σ=−=−=σ∑=

Intervalos ix iO ip n.pe ii = 2iO i

2i eO

45 - 55 50 1 0,0129 0,41 1 2,4455 - 65 60 2 0,08 2,72 4 1,4765 - 75 70 7 0,2366 8,04 49 6,0975 - 85 80 13 0,34 11,56 169 14,6285 - 95 90 8 0,2366 8,04 64 7,9695 - 105 100 3 0,08 2,72 9 3,31

n = 34 87,35eO

6

1ii

2i =∑

=

Como ( )23;05,0

236 815,787,1 χ=<=χ − , el valor observado es menor que el valor teórico o

esperado, afirmamos que las calificaciones se distribuyen normalmente a un nivel deconfianza del 95%.

Tres métodos de empaquetado de tomates fueron probados durante un período de cuatromeses; se hizo un recuento del número de kilos por 1000 que llegaron estropeados,obteniéndose la tabla adjunta:

Meses A B C Total1 6 10 10 262 8 12 12 323 8 8 14 304 9 14 16 39

Total 31 44 52 127Se pide:

a) Observando simplemente los datos, ¿qué creeremos que se puede inferir sobre el experimento?

b) Con un nivel de significación 05,0=α , comprobar que los tres métodos son igualmente buenos.

81,7127

31.32nO.O

e 12 yx21 === 32,7

12731.30

nO.O

e 13 yx31 ===

09,11127

44.32nO.O

e 22 yx22 === 39,10

12744.30

n

O.Oe 23 yx

32 ===

10,13127

52.32nO.O

e 32 yx23 === 28,12

12752.30

n

O.Oe 33 yx

33 ===

97,15127

52.39e51,13127

44.39e52,9127

31.39e 434241 ======

El estadístico de contraste: ( ) ( )( )

ne

Ok

1i

m

1j ij

2ij

eeO

k

1i

m

1j

21m.1k ij

2ijij −==χ ∑∑∑∑

= =

−

= =−−

En nuestro caso, ( ) ( ) ( ) ( ) 613.141m.1k =−−=−−

24,112797,15

1651,13

1452,9

928,12

1439,10

832,7

8

10,1312

09,1112

81,78

65,1010

01,910

35,66n

e

O

222222

2222224

1i

3

1j ij

2ij2

6

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=χ ∑∑

= =

La siguiente tabla muestra el resultado de un experimento para investigar el efecto de lavacunación de animales de laboratorio contra una determinada enfermedad:

EnfermosVacuna

Sufrieron laenfermedad

No sufrieronla enfermedad

Vacunados 9 42No Vacunados 18 28

Se pide:a) ¿Afecta la vacuna a un nivel ?05,0=αb) ¿Y a un nivel ?01,0=αc) Responder al apartado (a) utilizando la corrección de Yates.

2,3397

70.46nO.O

e8,1297

27.46nO.O

e

8,3697

70.51nO.O

e2,1497

27.51nO.O

e

2212

2111

yx22

yx21

yx12

yx11

======

======

57,5972,33

288,12

188,36

422,14

9ne

O 22222

1i

2

1j ij

2ij2

1 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=χ ∑∑

= =

Sobre una decisión de importancia nacional los votos de demócratas y republicanosregistraron los datos de la siguiente tabla:

A favor En contra AbstencionesDemócratas 85 79 40Republicanos 120 62 26

Se pide:a) ¿Hay diferencia entre ambos partidos a un nivel ?05,0=αb) ¿Y a un nivel ?01,0=α

32,33412

66.208nO.O

e68,32412

66.204nO.O

e

2,71412

141.208nO.O

e82,69412

141.204nO.O

e

5,103412

205.208nO.O

e5,101412

205.204nO.O

e

3231

2221

1211

yx23

yx13

yx22

yx12

yx21

yx11

======

======

======

El estadístico de contraste:

94,1041294,42241232,33

262,71

62

5,103120

68,3240

82,6979

5,10185n

e

O

22

22222

1i

3

1j ij

2ij2

2

=−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=χ ∑∑

= =

Se acepta la hipótesis nula oH cuando el estadístico de contraste ( ) ( )2

1m.1k −−χ es menor o

igual que el estadístico teórico ( ) ( )2

1m.1k; −−αχ . Atendiendo a que:

22;01,0

22

22;05,0

22 210,994,10991,594,10 χ=>=χχ=>=χ

En ambos casos, con un riesgo de 05,0=α y 01,0=α , se rechaza la hipótesis nula,concluyendo que existe diferencia entre los dos partidos cara a la votación.

96,1041243,21353,209

41266

2614162

205120.

208412

6640

14179

20585.

204412

nOO

OO

OO.

On

OO

OO

OO.

On

222222

y

223

y

222

y

221

xy

213

y

212

y

211

x

22

32123211

=−+=

=−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

=−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=χ

22;01,0

22

22;05,0

22 210,996,10991,596,10 χ=>=χχ=>=χ

En ambos casos, con un riesgo de 05,0=α y 01,0=α , se rechaza la hipótesis nula,concluyendo que existe diferencia entre los dos partidos cara a la votación.

Un agricultor desea saber si existe diferencia entre diez abonos en el cultivo del plátanoen una determinada zona. Para ello abona seis matas con cada abono, observa el mismonúmero de kilos y obtiene los siguientes resultados:

Abono ix 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x2is 9 3 4 3 5 4 2 4 5 3

( ≡2is varianza del abono ix ) )6n( =

¿Es cierto que hay diferencia entre los abonos a un nivel 01,0=α ?. ¿Y a un nivel 05,0=α ?

El estadístico de contraste: ( ≡in elementos muestra ix )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑==

− −−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=χ

k

1i

2ii

k

1ii

221k sLn.1n1n.sLn

• Si todas las muestras tuvieran los mismos elementos, esto es, k21 nnn === L , se

llega a una expresión más simplificada:

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=χ ∑

=−

k

1i

2i

221k sLnsLn.k.1n

Se acepta la hipótesis nula oH , para un nivel de significación α , cuando se verifica

( )2

1k;2

1k −α− χ<χ . En caso contrario se rechaza.

Abono ix 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x2is 9 3 4 3 5 4 2 4 5 3 42

2isLn 2,20 1,10 1,39 1,10 1,61 1,39 0,69 1,39 1,61 1,10 13,58

2,41042

10

s

s

10

1i

2i

2 ===∑=

( ) ( ) ( ) ( ) 85,358,132,4Ln.10.16sLnsLn.k.1n 29

k

1i

2i

221k =−−=χ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=χ ∑

=− a

El estadístico teórico o esperado: 616,21919,16 29;01.0

29;05.0 =χ=χ

En ambos casos el estadístico observado 85,329 =χ es menor que el estadístico teórico

919,1629;05.0 =χ (nivel 0,05) o 616,212

9;01.0 =χ (nivel 0,01), por lo que aceptamos la

hipótesis nula de que no hay diferencia entre los abonos (las varianzas son iguales).

Se está estudiando la distribución de los grupos sanguíneos O, A, B, AB en doscomunidades. Los resultados obtenidos son:

O A B ABComunidad 1 121 120 79 33Comunidad 2 118 95 121 30

a) ¿Se puede considerar que son homogéneas ambas comunidades?

b) Considerando ahora sólo los datos de la Comunidad 1, el modelo teórico asigna lassiguientes probabilidades a cada uno de los grupos:

O2r

A

pr2p2 +

B

qr2q2 +

AB

pq2)1rqp( =++

A partir de los datos de la muestra se han obtenido las siguientes estimaciones de losparámetros: 2465,0p̂ = y 1732,0q̂ = . Obtener las frecuencias esperadas según elmodelo teórico y contrastar la hipótesis de que los datos se ajustan a él.

O A B AB

Comunidad 1 121(117,67)

120(105,85)

79(98,47)

33(31,02)

353O 1x =

Comunidad 2118

(121,33)95

(109,15)121

(101,53)30

(31,98) 364O 2x =

239O 1y = 215O 2y = 200O 3y = 63O 4y = 717

67,117717

239.353nO.O

e 11 yx11 === 33,121

717239.364

nO.O

e 12 yx21 ===

85,105717

215.353nO.O

e 21 yx12 === 15,109

717215.364

n

O.Oe 22 yx

22 ===

47,98717

200.353nO.O

e 31 yx13 === 53,101

717200.364

nO.O

e 32 yx23 ===

02,31717

63.353n

O.Oe 41 yx14 === 98,31

71763.364

n

O.Oe 42 yx

24 ===

b) Sea la hipótesis nula :Ho El modelo genético es correcto

O A B AB

Comunidad 1121

21 r.ne =

120

)pr2p(.ne 22 +=

79

)qr2q(.ne 23 +=

33)pq2(.ne4 =

43,035343,353353eO4

1i i

2i2

12

124 =−=−=χ=χ ∑=

−−

Como 21;05,0

21 841,343,0 χ=<=χ se acepta la hipótesis nula, concluyendo que

el modelo genético es correcto, a un nivel de significación de 0,05.

Se ha desarrollado un modelo teórico para las diferentes clases de una variedad demoscas. El modelo dice que la mosca puede ser de tipo L con probabilidad p2, de tipo M conprobabilidad q2 y de tipo N con probabilidad 2pq.Para confirmar el modelo experimentalmente se toma una muestra de 100 moscas,obteniendo 10, 50 y 40, respectivamente.

a) Hallar la estimación de máxima verosimilitud de p con los datos obtenidos.

b) ¿Se ajustan los datos al modelo teórico, al nivel de significación 0,05 ?

227,010042

4049

509

10neO 2223

1i i

2i2

12

1132

1pk =−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−=χ=χ=χ ∑

=−−−−

El estadístico teórico 841,321;05,0 =χ

Como 21;05,0

2 841,3227,01

χ=<=χ se acepta la hipótesis nula Ho, y en consecuencia, se

acepta el modelo teórico, con una fiabilidad del 95%.

El número de defectos congénitos en una muestra de 100 individuos de una poblaciónestableció la siguiente distribución:

Número de defectos 0 1 2 3 4 5Frecuencia 84 9 3 2 1 1

¿Se ajustan los datos a una distribución de Poisson?.

Número de defectos 0 1 ≥ 2Probabilidad 0,7408 0,2222 0,0368

=−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−=χ ∑

=

10068,3

722,22

908,74

84neO 2223

1i i

2i2

1 12,21

Siendo 21;01,0

21 635,621,12 χ=>=χ se rechaza la hipótesis nula, concluyendo que

el número de defectos congénitos no sigue una distribución de Poisson, con un nivel deconfianza del 99%.

Con el objeto de controlar la producción de una máquina que produce laminas de madera seinspeccionan 100 láminas al azar. Los resúmenes de los resultados muestrales son:

7,9xˆ ==μ 05,1ˆ =σ .20 láminas con espesor inferior a 9 mm - 38 láminas con espesor entre 9 y 10 mm - 25láminas con espesor entre 10 y 11 mm - 17 láminas con espesor superior a 11 mm -.¿Se ajustan los datos a una distribución normal, con una confianza del 95%?.

Como 21;05,0

21 841,306,5 χ=>=χ se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el

espesor de las láminas de madera no se ajusta a una distribución normal, con un nivel designificación de 0,05.

Se clasificaron 1000 individuos de una población según el sexo y según fueran normales odaltónicos.

Masculino FemeninoNormal 442 514Daltónicos 38 6

p21 pqp

21 2 +

Según un modelo genético, las probabilidades son:q

21 2q

21

donde q = 1 - p = proporción de genes defectuosos de la población.A partir de la muestra se ha estimado que 087,0q̂ = . ¿Concuerdan los datos con elmodelo?.

La tabla de frecuencias observadas y esperadas [ ei = n . pi ] será:

Hombre Normal Hombre Daltónico Mujer Normal Mujer Daltónica442 38 514 6 1000

(456,5) (43,5) (496,2) (3,8) (1000)

Siendo 22;05,0

22 991,5068,3 χ=<=χ se acepta la hipótesis nula Ho y se concluye

que se acepta el modelo genético, con un nivel de confianza del 95%.

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