Modelos de Primer OrdenLa ecuacin para un proceso de primer orden lineal, generalmente se escribe como:(8.1)

donde los parmetros ( y k) y las variables (y y u) tienen los nombres siguientes: = constante de tiempo (unidades de tiempo); k = ganancia d el proceso (unidades de salida/unidades de entrada); y(t) = variable de salida; u(t) = variable de entrada

El modelo (8.1) algunas veces se deriva linealizando un modelo no lineal alrededor de un estado estacionario dado y colocando el modelo lineal resultante en la forma de variable de desviacin. Por esta razn se supone que las condiciones iniciales son y(0) = 0 y u(0) =0. La entrada, u, y la salida, y, son funciones del tiempo; u(t) debe especificarse para resolver para y(t).

EJEMPLO: Un tanque de MezcladoSe supone que un compuesto qumico, A, est en la corriente de alimentacin a un tanque de mezclado A. No hay reaccin qumica alguna, y la concentracin de A no tiene efecto en la densidad del fluido (esto es cierto para trazas de componentes en el agua). Tambin se supone que el flujo y el volumen en el tanque es constante, esto implica que el flujo de salida es igual al flujo de entrada, como se muestra en la figura 8.1. El proceso est operando en el estado estacionario, entonces la concentracin de entrada cambia sbitamente a un valor nuevo. Encontrar la concentracin de salida del tanque como una funcin el tiempo.

Balance de materia global :

Balance de materia por componente

Puesto que V es constante(8.2)

Solucin para la concentracin de estado estacionario inicial, en el estado estacionario, dC/dt = 0, as de (8.2) se encuentra que,donde: Cs es la concentracin de salida del tanque en el estado estacionarioCis es la concentracin de entrada al tanque en el estado estacionario

Ahora, puesto que

se puede adicionar esto a (8.2),

puesto que Cs es una constante, se puede escribir,(8.3)

(8.4)

La ecuacin (8.4) es idntica a la de primer orden: = V/F; k = 1; y = C - Cs; u = Ci - Cis

Funcin de Transferencia,Tomando la transformada de Laplace de (8.1), se tiene, (8.5)

Despejando Y,o,; donde,

(8.6)(8.7)(8.8)

Es la llamada FUNCIN de TRANSFERENCIA

Y(s)

U(s)G(s)

Entradas Escaln (Respuesta a un escaln unitario)

Figura 8.3 Respuesta adimensional de una salida en escaln de un proceso de primer orden.Figura 8.7 Respuesta al impulso para un proceso de primer orden, la salida adimensional es y(t)/kA.

Entradas Impulso (Respuesta al impulso)

EJEMPLOS DE PROCESOS AUTOREGULANTES:(8.1)

Tanque de MezcladoCSTR con reaccin de primer ordenCSTR con reaccin de segundo orden

Balance de materia

Concentraciones de estado estacionario, dC/dt = 0

Ec. cuadrtica, Utilizando una tcnica de linealizacin

En la forma de variables de desviacin

= V/F;k = 1;y = C - Cs; u = Ci - Cis

PROCESOS DE INTEGRACIN(8.1)

Para una entrada en escaln de magnitud u, resolviendo con la transformada de Laplace, se tiene,

Tomando la transformada inversa de Laplace:

Figura 8.13 Sistema de integracinFigura 8.14 Respuesta Adelanto-Atraso

MODELOS LEAD-LAG (ADELANTO-ATRASO)

Para una entrada en escaln de magnitud u, la respuesta en el tiempo es,

Tomando la transformada inversa de Laplace:

Modelos de segundo orden