Societat Catalana de Matematiques

President: Joan de Sola-MoralesVicepres.: Joaquim Ortega-CerdaSecretaria: Merce Farre i CervelloTresorera: Mariona Petit i VilaVocals: Josep Grane i Manlleu

Josep M. Mondelo i GonzalezIgnasi Mundet i Riera

Carles Romero i ChesaAlbert Ruiz i Cirera

Oriol Serra i AlboEsther Silberstein

Manel Udina i AbelloEnric Ventura Capell

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iec.cat

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesJuliol 2011. Numero 31

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Enric Ventura Capell

enric.ventura@upc.edu

Disseny: Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

John Milnor, Premi Abel 2011.

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1Report d’activitats 1La nova revista NouBiaix 3

Cartes a l’editor 3

Internacional 5La columna de l’EMS 5Reunio dels presidents de les societats de l’EMS 6

Noticiari 7II Trobada de Societats d’Educacio Matematica 7Centenari del naixement de L. A. Santalo 8La Matefest-Infofest 2011 de la UB 10Les universitats informen 11

Activitats de la SCM 1514a Trobada Matematica 15La quımica i el futbol 16El Cangur a l’estiu 17L’avi que estimava les matematiques 20XLVII Olimpıada Matematica Espanyola 22

Agenda 24

Contribucions 25Entrevista a J. M. Brunat 25Algunes citacions matematiques 29

Premis 32Premi Abel 2011 32Societat Catalana de Matematiques 36Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer 38

Parlem de llibres 46Que en sabem, del pensament i

de la matematica grega? 46

Raco biografic 49

Webs de matematiques 56

Problemes 57

Tesis 63

La Junta informa

Report d’activitats

Aquest es el primer report de la nova JuntaDirectiva, en actiu des del 24 de novembre de2010 i presidida per Joan de Sola-Morales, ambQuim Ortega-Cerda, Mariona Petit i qui subs-criu aquest escrit, Merce Farre. Tots nosaltreshem iniciat amb molt d’entusiasme la tasca queens va delegar l’assemblea general de socis. Dis-posem de l’ajuda de Nuria Fuster, dels vocals id’altres col.laboradors sense els quals la majorpart del que descrivim a continuacio no hauriaestat possible. Recordem els vocals, tant els queestaven a la Junta anterior: Josep Grane, JoanGirbau (delegat de l’Institut d’Estudis Catalans(IEC)), Josep Maria Mondelo, Ignasi Mundet,Carles Romero, Oriol Serra, Manel Udina i EnricVentura, com els que s’han incorporat de nou:Albert Ruız i Esther Silberstein. Tots ells i elsmembres dels comites, cientıfic i de publicacionsson els actors principals de les activitats de lasocietat.

Destacarem algunes accions dutes a termeen aquest darrer perıode, sense pretendre serexhaustius. Comencem parlant de la conferenciainaugural del curs 2010-2011, a carrec de JoanGirbau, professor de la Universitat Autonomade Barcelona (UAB), pronunciada amb l’objec-tiu d’apropar-nos a �L’equacio d’Einstein delcamp gravitatori�, de la qual es va publicar unampli resum a la SCM/Notıcies 30. Aquest actei la posterior assemblea general de la Societat,organitzats per la Junta Directiva anterior, quepresidia Carles Perello, van marcar l’inici del’any academic i donaren el tret de sortida a lanova directiva.

Cal posar en relleu les activitats dirigidesa estudiants d’ensenyament secundari, pel seuvolum i pel seu impacte social i en els mitjansde comunicacio. El Cangur es l’activitat ambmes participacio i aplega cada any un grup moltnombros de participants, de voluntaris i de col-laboradors. El Cangur 2011 es va dur a termeexitosament el 17 de marc, data de la celebraciointernacional de Le Kangourou sans Frontieres,amb prop de vint mil participants a l’area deCatalunya i Andorra. La preparacio previa i larealitzacio de la prova requereixen un gran es-forc per part de tots, sobretot dels organitzadors.El dia 19 de maig de 2011, al Paranimf de la

Universitat de Barcelona (UB) tingue lloc unl’acte de lliurament de premis als alumnes mesdestacats de cada grup, acte molt lluıt i ambuna gran assistencia que va tenir la presencia,a la mesa presidencial, de la consellera d’Ense-nyament, Irene Rigau.

Tambe a final de marc, del 24 al 27, vacelebrar-se a Pamplona la XLVII OlimpıadaMatematica Espanyola (OME). L’equip catala,format pels nou alumnes seleccionats en la fasecatalana de l’Olimpıada, celebrada el desembrede 2010, va obtenir vuit medalles, dues d’or, qua-tre de plata i dues de bronze. Darıo NieuwenhuisNivela i Eric Milesi Vidal, els dos catalans quevan obtenir medalla d’or a l’OME, participaranaquest juliol a Amsterdam a la 52nd Interna-tional Mathematical Olympiad. Felicitem a totsels participants i animem especialment els re-presentants a Europa.

Paral.lelament, va tenir lloc el concurs deProblemes a l’Esprint, organitzat conjuntamentper la Societat Catalana de Matematiques(SCM), la Federacio d’Entitats per a l’En-senyament de les Matematiques a Catalunya(FEEMCAT) i el Creamat. Es una activitat com-plementaria del Cangur, en la qual es treballaper equips de centre i en lınia. S’inicia l’any 2000i en l’edicio d’enguany s’han agrupat els par-ticipants en quatre nivells. Els �esprints� vancomencar el 26 de gener per a batxillerat i aca-baren el 6 d’abril per als equips del cicle superiorde primaria. Enguany s’ha posat en marxa unainiciativa nova i diferent, i a un altre ritme, ano-menada Marato de Problemes; es tracta d’unaproposta de treball individual a casa, una ma-nera organitzada i constant d’abordar questionsmatematiques. A mes de treballar i col.laboraren totes aquestes i altres activitats, com l’Es-talmat, la SCM organitza les Sessions d’Apro-fundiment en Matematiques. Se’n fan a l’IESLa Sedeta, al Departament de Matematiquesde la UAB i a la Facultat de Matematiques iEstadıstica de la Universitat Politecnica de Ca-talunya (UPC). Al web www.cangur.org trobareumes informacio d’aquestes activitats.

De la mateixa manera que vol cuidar l’ense-nyament, la SCM vol fer arribar a la comunitatmatematica els avencos en la recerca, tant en

1

les arees de coneixement mes classiques com enles de desenvolupament mes recent, siguin pureso interdisciplinaries. La investigacio matematicaque podrıem considerar �vinculada a Catalu-nya� esta fortament globalitzada i al dia, repinputs i fa aportacions constants. S’articula engrups de recerca en universitats i centres d’inves-tigacio que duen a terme un seguit de projectescertament diversificats, en connexio permanentamb grups d’arreu del mon. Cada any, a les aca-balles de la primavera, la Trobada Matematicavol ser un punt de reunio de la recerca catalana.El 2011, la 14a Trobada Matematica va tenir llocel 20 de maig a l’IEC i tingue quatre conferenci-ants, triats pel Comite Cientıfic de la SCM, degran nivell cientıfic: Luis Dieulefait (UB) ens vaparlar de �Formes automorfes i grups de Galoislineals: un camı d’anada i tornada�, Marc Noy(UPC) ens explica l’�Enumeracio de grafs ensuperfıcies�, Frederic Utzet (UAB) ens introduıen el mon de les �Grans matrius aleatories i pro-babilitats lliures� i Gerard Gomez (UB) ens feusaber �Algunes questions relatives al transportde materia al sistema solar�. Els agraım l’es-forc per a fer-nos partıcips dels seus interessos iavencos en els ambits d’investigacio respectius.Son una bona pero petita mostra de la multitudde camps que inclou la recerca matematica deCatalunya i de la molta gent que hi participa.

Aixı mateix, la SCM vol incidir en la for-macio avancada en matematiques i en la sevadivulgacio, amb la vocacio dual de ser recep-tius a allo que ens envolta i d’obrir el nostremon a l’exterior. En aquest sentit, al mes demaig es van programar dues conferencies, en col-laboracio amb el Centre de Recerca Matematica(CRM). La primera, a carrec d’Agustı Lledos,catedratic de Quımica Fısica de la UAB, es vatitular �La quımica de la vida, l’energia i lasostenibilitat explicada a un professor de ma-

tematiques�. Amb la motivacio extra de l’AnyInternacional de la Quımica, es volien atansarels dos mons, dues ciencies classiques, la quımicai les matematiques. Tim Myers, investigador delCRM, fou el convidat a impartir la segona con-ferencia, �Does the football really matter?�,per apropar-nos a una aplicacio interessant deles matematiques. Ja al mes de juny, els dies 7i 9, Eduard Gallego (UAB) va impartir el curs�Geometria integral: de les probabilitats ge-ometriques a les valoracions�. Amb aquest curs,amb la reedicio d’un llibre i amb altres activitatsfutures, la SCM s’afegeix a la commemoraciodel centenari del naixement del professor LluısSantalo, que es considerat un dels pares de lageometria integral i un dels matematics catalansmes universals.

Els premis son un estımul mes, un reconei-xement de la feina ben feta i un marc per ala divulgacio del treball de cada dia. Al premiEvariste Galois 2011, convocat per la SCM, s’hipresentaren molt bons treballs de master. Eljurat concedı el premi a Joaquim Serra i Mon-tolı pel treball �Dos problemes de simetria enequacions de reaccio-difusio�.

Fins aquı hem volgut deixar constancia d’ac-tivitats ja realitzades, pero tambe volem esmen-tar les activitats que s’estan preparant per ala tardor. Al setembre es fara la conferenciaCSASC2011, organitzada per les societats ma-tematiques d’Austria, Eslovenia, Eslovaquia,Txequia i Catalunya, que enguany es fara aAustria i que tindra una participacio importantde matematics catalans. La 8a Jornada d’Ense-nyament de les Matematiques tindra com a eixvertebrador el tema de l’avaluacio. Tambe a latardor es dura a terme la 2a Jornada SCM deJoves Investigadors en Matematiques i es farannous actes, a Girona, en honor de Lluıs Santalo.

Merce FarreSecretaria de la SCM

2

La nova revista NouBiaix

Acaba de sortir a la llum el numero 1 de la revis-ta NouBiaix (corresponent al numero 30 de larevista Biaix ). Es el fruit de les negociacions en-tre la Societat Catalana de Matematiques —quecreia en la conveniencia de fer una revista d’a-questa mena— i la FEEMCAT —que ja editavala prestigiosa i coneguda Biaix— per disposard’una revista catalana adrecada als professors dematematiques de tot l’espectre docent, fonamen-talment el no universitari. Creiem sinceramentque coordinar esforcos i iniciatives es bo i quecaldria fer-ho mes sovint.

Entenem que la docencia es un proces conti-nu al llarg dels anys de formacio dels estudiantsi que es molt positiu que ensenyants de primaria,d’ESO i de batxillerat (i tambe caldria que s’hiincorporessin els d’universitat) comparteixin elsconeixements sobre la seva tasca docent, les se-ves inquietuds didactiques, les seves experiencies

a l’aula, les seves preocupacions metodologiques,etc. I un pas en aquesta direccio, potser no sufici-ent pero sı molt necessari, es precisament dispo-sar d’una revista conjunta que reculli aquestesquestions: el NouBiaix neix amb aquest objec-tiu.

La iniciativa —ja endegada, la llavor es vaplantar fa uns tres anys— es a punt de fruitar,pero sera una feina vana si vosaltres, membresde la Societat Catalana de Matematiques, no lafeu vostra i hi col.laboreu amb aportacions per-sonals. Fem, doncs, una crida a la participacio—tant a la positiva, amb articles, notes, acudits,fotografies, informacions, comentaris, com a lanegativa, amb crıtiques constructives— per afer que l’aventura —i l’esforc d’uns poquets—hagi valgut la pena.

Gracies per la vostra col.laboracio.

Josep Pla i Meque EdoDirectors de NouBiaix

Cartes a l’editor

Seguint el suggeriment de diversos socis i lec-tors habituals de la SCM/Notıcies, estrenem laseccio �Cartes a l’editor�, amb la idea d’oferira tots els socis i amics de la Societat Catala-na de Matematiques un espai on poder expres-sar publicament les seves opinions, inquietuds,preocupacions, suggeriments, idees, anuncis ofins i tot crıtiques, si son constructives i ade-quades. Tindran prioritat les cartes que trac-tin temes relacionats amb qualsevol ambit deles matematiques (recerca, ensenyament a totsels nivells, didactica, divulgacio, etc.), tant sison de professors com d’estudiants, d’universitato de secundaria... Pero tambe seran benvingutsels escrits d’altres temes, ja siguin academics, dellengua i cultura catalanes o, en fi, de qualsevolaltre que vulgueu tractar.

Com es logic, les cartes que aniran apareixenten aquesta nova seccio hauran d’anar signadesamb el nom i cognoms de l’autor, i les opinionsi comentaris que s’hi expressin es podran atri-buir unicament al sotasignat i no representarannecessariament cap opinio ni posicionament dela SCM ni de la seva Junta.

Encetem aquesta primera seccio amb unacarta molt interessant del nostre president. Comell mateix diu (i tal com ha de ser, segons el quediem al paragraf anterior), parla a tıtol perso-nal i no com a president de la SCM. Animemtots els socis, que esteu llegint aquestes lıniesa reaccionar i dir-hi la vostra, sobre aquests oaltres temes que us inquietin.

Esperem les vostres �Cartes a l’editor�

Enric VenturaEditor de la SCM/Notıcies

3

Benvolgut Enric,Com deus recordar, vam estar parlant de la con-veniencia que el president de la SCM tingui unespai mes o menys fix dins de la SCM/Notıciesper a dirigir-se als socis. Crec que es una bo-na idea, pero no se si prefereixo de momentescriure’t les meves opinions i les meves ideesen forma de carta i demanar-te que la inclo-guis en una seccio de cartes a l’editor en quealtres socis tambe puguin contribuir amb alloque creguin oportu. La veritat es que de vega-des es complicat demanar que la SCM tinguiopinions institucionals sobre certs temes de lanostra actualitat, especialment si son delicats odiscutibles, i jo em sento mes lliure si expressola meva opinio a tıtol individual que no pas sil’emeto com a president.

Un primer tema que m’inquieta i que vol-dria exposar aquı es el de la relativament es-cassa proporcio d’estudiants dels graus i de lesllicenciatures de Matematiques que s’interessena esdevenir professors d’ensenyament secundari,almenys a les universitats catalanes. Crec queaquest es un dels problemes estrategics mes im-portants que afecta la nostra comunitat i queposa en risc, en un termini relativament curtde temps, l’exit de la tasca de fomentar l’ense-nyament de la matematica, que com a SCM enshem proposat.

Vaig estar parlant d’aquest tema amb al-guns estudiants, ja fa uns mesos. Eren noiesi nois espavilats, bons estudiants i amb acti-tuds generoses. Pero em deien que no els atreial’ensenyament secundari, i em deien raons i co-mentaris que jo resumiria en dos. El primer, queles figures de professors que havien vist durantl’ESO i el batxillerat, llevat de certes excepcions,no eren majoritariament prou atractives o esveien enfrontades a situacions dins l’aula que noajudaven precisament a valorar-les positivament.La segona rao es que els estudis que estan cur-sant actualment, de llicenciatura o de grau, elsexigeixen esforcos grans per a un aprofundimentintens en moltes arees de la matematica, i tenenla impressio que aquest esforc quedaria malgas-tat si acaben fent de professors o professores enun institut o un col.legi.

Aquest tema dona per molt. Jo tindria mol-tes coses a comentar contradient o matisantaquestes dues raons, i ja les vaig dir al llargde la conversa a que em refereixo. Pero laSCM/Notıcies, amic Ventura, no es pas precisa-

ment una revista molt llegida per estudiants, ival la pena que pensi mes aviat en que es el quepodem fer els professors que no pas a canviarla mentalitat dels estudiants. Per exemple, crecque els professors universitaris transmetem devegades una idea esbiaixada de la matematica,en la qual nomes l’obtencio de resultats nousresulta atractiva o valuosa. En aixo ens equivo-quem, i segurament per falta de contacte ambla realitat, el defecte mes frequent i mes greude la comunitat matematica. Per a contrares-tar aquest biaix, en algunes converses que hetingut sobre aquest tema s’ha arribat a plante-jar, amb els seus pros i contres, la conveniencia,o la necessitat, de crear graus universitaris dematematiques dirigits explıcitament a formarprofessors d’ensenyament secundari.

Ja se que aquest biaix no es l’unica causadel problema del qual parlo. Pero ara no emvull estendre en mes comentaris sobre aquesttema, i m’aturo aquı. Queda dit que el problemaes important i que potser s’hauran de prendremesures amb ambicio i amb determinacio per aresoldre’l.

Tinc un segon tema sobre el qual vull dir-hila meva, i aquest format de carta em facilitaque pugui tractar els dos temes en el mateixescrit. Te a veure amb la presencia social de lamatematica, amb motiu del Premi Abel. Comtothom sap, la manca d’un Premi Nobel de ma-tematiques ha restat visibilitat i presencia a lanostra ciencia, en comparacio amb la fısica, perexemple, o amb d’altres. Els temes de recerca,quan son veritablement importants i profunds,de vegades no son facils d’explicar, ni al granpublic ni tan sols als especialistes d’altres disci-plines. Per aixo, l’existencia de premis prestigio-sos com els Nobel es cada any un motiu perqueel public en general, els mitjans de comunicacioi els cientıfics de diferents disciplines dediquinuna mica d’atencio a la recerca que ha estat fetaper les persones guardonades o pel seu entorncientıfic.

Es molt important que la matematica noquedi al marge d’aixo. Les medalles Fields sonenormement prestigioses, pero no compleixen elmateix objectiu perque es donen nomes cadaquatre anys i tambe perque no es donen a inves-tigadors madurs, com a colofo i resum de totauna carrera, sino que van dirigides a matematicsjoves, en el punt maxim de la seva productivi-tat. Hem d’admetre que si be sempre es difıcil

4

divulgar els resultats de la recerca, en termesgenerals encara es mes difıcil fer-ho en el casd’investigadors joves, perque, com es natural,els seus treballs no admeten altra lectura que lade la seva importancia i dificultat tecniques.

El Premi Abel ha tapat aquest buit. Perla seva dotacio economica, per la localitzaciotant de les entitats que l’atorguen com de lescerimonies d’anunci i entrega i pel gran prestigicientıfic dels que fins ara l’han obtingut, el Pre-mi Abel es com si fos un altre Premi Nobel. Nose si els matematics aconseguirem que es se’nparli com es parla cada any dels Nobel, pero esfeina nostra mirar d’aconseguir-ho. La nostrapresencia social es una de les causes per la qualestem mes necessitats de lluitar.

Des de fa anys, l’IEC organitza un cicle deconferencies dedicat als premis Nobel de cadaany. A peticio de la SCM, enguany el cicle in-cloura tambe una conferencia sobre el PremiAbel del 2011, John Milnor, sobre el qual aquestnumero de la SCM/Notıcies tambe inclou unarticle. Em permeto de convidar molt especial-ment tots els socis i amics de la SCM a aquestaconferencia, quan se celebri. M’agradaria queel nostre mon matematic entengues que ensfa molta falta que manifestacions com aquestaconferencia, dins d’un cicle dedicat a totes lesciencies, tinguin l’exit de convocatoria que esmereixen, i ajudin a augmentar la presencia iel prestigi de la matematica en el nostre mon.Agraint la teva atencio et saludo cordialment.

Joan de Sola-Morales

Internacional

La columna de l’EMS

Presentem en aquesta columna algunes de lesnovetats mes rellevants referents a l’EuropeanMathematical Society (EMS). S’acaba de ferpublic el primer anunci del Sise Congres Euro-peu de Matematiques que tindra lloc a Cracovia(Polonia) del 2 al 7 de juliol de 2012. Aquestcongres, com ja coneixeu be, s’estructura enuna serie de minisimposis (uns vint), xerra-des plenaries i xerrades convidades en paral-lel. Tindra lloc tambe l’entrega dels deu premisde l’EMS (per a matematics joves europeus),del Premi Felix Klein per a una aplicacio deles matematiques, i del Premi Otto Negebauerd’historia de les matematiques.

Estem particularment contents que tresmembres de la comunitat matematica catala-na han estat convidats a fer-hi una xerrada,es tracta de Vicent Caselles, de la UniversitatPompeu Fabra (UPF), Amadeu Delshams, dela Universitat Politecnica de Catalunya i DavidNualart, de la Universitat de Kansas.

S’ha fet una crida per a l’organitzacio deminisimposis, es poden presentar propostes finsal 31 d’octubre. Per a mes informacio podeuconsultar el web www.6ecm.pl.

El Comite Executiu de l’EMS va crear arafa un any el Comite d’Etica, que te com a pri-

mer encarrec crear un codi de conducta. Se n’haelaborat un primer esborrany el juny de 2011.Aquest codi se centra en el comportament desho-nest en les publicacions matematiques. Aixo in-clou, entre altres, plagi, publicacions duplicades,referencies inadequades, autocites exagerades iprocessos de revisio deshonestos. El codi incloutemes com la responsabilitat dels autors, delseditors i dels revisors.

Finalment, en el seu rol de �lobby�, l’EMSha creat un document en que fixa la seva posiciorespecte de la recerca a Europa i fa una seriede recomanacions a la Comissio Europea sobreaquest tema. Alguns dels punts mes destacatsson la sol.licitud que les matematiques consti-tueixin una prioritat independent en el properprograma marc (Framework Program), que esmantinguin algunes de les lınies de financamentexistents, especialment el programa d’accionsMarie-Curie. Es demana que la Comissio donisuport a la creacio d’un Institut Europeu de Ma-tematiques per a la Innovacio, que hauria de seruna plataforma de trobada entre la industria iel mon academic. Tambe es demana que la Co-missio consideri les bases de dades cientıfiquescom una eina estrategica per a la recerca i queen faciliti la preservacio i l’acces obert a la co-

5

munitat cientıfica. Tambe es fa una demandade simplificacio de procediments, tant de sol-licitud com de seguiment de les convocatorieseuropees. Finalment, es demana que s’incorpo-rin matematics a les comissions consultores dela Comissio Europea.

Aquest rol d’influencia en l’esfera publica esmolt rellevant ja que, en un context economicdelicat com l’actual, de vegades la pressio deles societats i de la comunitat matematica pottenir un paper no menyspreable, com en el casrecent de l’Institut Erwin Schodinger de Viena,

que va ser amenacat de tancament pel Governaustrıac el novembre passat. Finalment s’ha evi-tat el pitjor escenari i s’ha arribat a un acordque convertira l’Institut en un centre de recercade la Universitat de Viena, amb un financamentgarantit com a mınim fins al 2014.

Us podeu fer socis de l’EMS amb un preuespecial si sou socis de la Societat Catala-na de Matematiques. Els estudiants de docto-rat tenen la inscripcio gratuıta el primer any.Per a mes informacio: http://www.euro-math-soc.eu/membership.html#phdstudent.

Quim OrtegaUB

Reunio dels presidents de les societats matematiques de l’EMSBilbao, 7 i 8 de maig de 2011

Els participants davant el museu Guggenheim.

Un cop l’any, des d’en fa quatre, l’EMS orga-nitza una reunio dels presidents de les societatsmatematiques que en son membres. Aquest anys’ha realitzat a Bilbao, durant els dies 7 i 8de maig, per invitacio de la Real Sociedad Ma-tematica Espanola (RSME), que n’ha estat unaamfitriona acollidora i ben organitzada, ambmotiu de la celebracio del seu centenari. La reu-nio va aplegar una quarantena d’assistents querepresentaven unes trenta societats, entre ells elpresident de la SCM.

Sota la presidencia de Marta Sanz-Sole, lareunio va servir per a posar les societats al cor-rent de les activitats que duu a terme l’EMS entots els seus ambits d’actuacio i tambe per a es-tablir o reforcar els vincles tranversals entre les

societats. L’ordre del dia va ser intens, i es vantocar diversos temes que son importants per al’EMS i per a la comunitat matematica europea.La descripcio detallada dels temes tractats i lespresentacions que es van fer es pot trobar a lapagina web de l’EMS. Pero aquı en destacaremalguns, que poden ser d’interes mes general.

Es va donar informacio detallada sobre elposicionament de l’EMS amb relacio al properprograma marc (PM), i en general sobre les con-tribucions a la recerca de la Comissio Europea(CE). Aquest posicionament inclou dos puntsque volem comentar especialment. En primerlloc, la peticio que les matematiques apareguincom una prioritat independent en el proper PM.S’enten que un suport ampli a la recerca a Eu-

6

ropa no pot menystenir la ciencia que subminis-tra el llenguatge, els metodes i els instrumentsusats en la practica totalitat de les activitatscientıfiques i tecnologiques. I en segon lloc, lapeticio que la CE doni suport a la creacio d’unInstitut Europeu de Matematiques per a la In-novacio, una plataforma de cooperacio entre elmon academic i el mon industrial dirigida a fercreixer la innovacio industrial i la participacio enels reptes socials i a fomentar nous desenvolupa-ments i aplicacions d’arees basiques i emergentsde les matematiques.

Tambe es van explicar les accions de l’EMSdirigides a fer creixer el nombre de membres i afacilitar la comunicacio amb aquests. En aquestsentit s’ha fet arribar una invitacio a tots elsdepartaments de matematiques d’Europa per-que se’n facin membres institucionals. Com acontinuacio d’aquesta polıtica, tambe es el mo-ment de recordar la decisio recent de l’EMS deconvidar els estudiants de doctorat a fer-se’nsocis de manera gratuıta durant un any.

Rolf Jeltsch va fer una presentacio de l’In-ternational Council for Industrial and Applied

Mathematics (ICIAM), va anunciar la conferen-cia ICIAM 2011 i va explicar l’estat actual delgrup de treball ICIAM-IMU sobre mesures bibli-ometriques. Aquest es un tema polemic, sobreel qual l’esmentat grup de treball ja fa anysque emet opinions crıtiques. La relacio entreels ındexs d’impacte i altres factors de qualitat,com ara les enquestes entre usuaris, donen lloca resultats que produeixen mes interrogants queno pas respostes. La presidenta Sanz-Sole vaexpressar el desig de l’EMS d’involucrar-se enles discussions sobre aquest tema.

Finalment volem destacar la presentacio deStefan Jackowski, president de la Societat Polo-nesa de Matematiques, de l’estat de la prepara-cio del Sise Congres Europeu de Matematiques,que se celebrara a Cracovia (Polonia), del 2 al 7de juliol de 2012. En la seva presentacio va enco-ratjar els presidents presents a fer esforcos pera aconseguir la maxima participacio dels seusassociats en el congres, ja sigui amb la simpleassistencia individual o amb la preparacio deminisimposis o de conferencies satel.lit.

Joan de Sola-MoralesPresident de la SCM

Noticiari

II Trobada de Societats d’Educacio Matematica de parla catalanaBenicassim, 12 i 13 de marc de 2011

Els dies 12 i 13 de marc de 2011 va tenir lloc aBenicassim la II Trobada de Societats de Ma-tematiques de Parla Catalana. Hi van assistircompanys i companyes de la Societat Balearde Matematiques (SBM-XEIX), de la Societatd’Educacio Matematica Al-Khwarizmi de la Co-munitat Valenciana (SEMCV) (que n’eren elsorganitzadors), de l’Associacio de Barcelona pera l’Estudi i l’Aprenentatge de les Matemati-ques (ABEAM), de l’Associacio d’Ensenyantsde Matematiques de les Comarques Gironines(ADEMGI), Asociacio de Professors i Mestres deMatematiques (APAMMS), de l’Associacio deProfessors de Matematiques de les ComarquesMeridionals (APMCM) i de la FEEMCAT.

Els companys de la SEMCV ens havien pre-parat un programa ben atractiu en que tingue-ren cabuda els aspectes paisatgıstics, historics,matematics, gastronomics, etc.

Participants de la II Trobada.

7

A la reunio del dissabte la FEEMCAT vaconvidar la SEMCV Al-Kwarizmi i la SBM-XEIX a participar i a estendre la convocatoriadel Premi Maria Antonia Canals a tot l’ambit deparla catalana. La proposta va ser acceptada i esva decidir crear una comissio que en revisara lesbases amb l’objectiu de poder convocar el premien el marc de la 8a Jornada d’Ensenyament del2011 i atorgar-lo en la Jornada de 2012.

Tambe es va convidar la SEMCV Al-Kwarizmi a participar en les Jornades d’En-senyament de les Matematiques que organitzen,cada comencament de curs, la SBM-XEIX, laSCM i la FEEMCAT i que se celebren a l’IEC.La 8a Jornada d’Ensenyament se celebrara el17 de setembre i el tema de fons, a proposta dela SEMCV, sera l’avaluacio.

Aquests son els dos acords mes rellevantsa que es va arribar, pero a la reunio es vancompartir experiencies i maneres de fer sobrequestions que van des de l’organitzacio de con-cursos (Cangur, Marato, Problemes a l’Esprint,Olimpıades, etc.) o la participacio en el progra-

ma Profundiza del MEC i en la proposta �Venx mas matematicas� de la Federacion Espanolade Sociedades de Profesores de Matematicas(FESPM) fins a com estan organitzats en cadacomunitat els masters de formacio inicial delprofessorat.

Finalment, es va decidir convocar la III Tro-bada, que organitzara la FEEMCAT a Tarrago-na, a principi de 2012.

Un cop acabada la reunio varem anar a sopartots plegats i a l’hora dels cafes la professoraXaro Nomdedeu ens va sorprendre amb unaxerrada-activitat de papiroflexia-geometria queva ser el colofo perfecte del dia.

L’endema va ser un dia de lleure, els com-panys de Castello ens havien programat unaexcursio al desert de les Palmes, on FrancoisArago, el savi frances que tambe parlava catala(era nascut a l’Estagell) s’estigue durant sis me-sos, per culpa d’un error en l’orientacio delsreverbers del Puig Major a Mallorca (si Aragohagues tingut un mobil!) i un dinar de comiat.

Mariona PetitIES La Sedeta

Actes en commemoracio del centenari del naixementde Lluıs A. Santalo (Girona, 1911 - Buenos Aires, 2001)

Lluıs Santalo va neixer a Girona, en el numero15 de la placa de Sant Pere, el 9 d’octubre de1911. Es per aixo que aquest any celebrem elcentenari del seu naixement.

Despres d’estudiar en el �Grup Escolar�, onel seu pare era mestre, marxa a Madrid amb laidea d’estudiar enginyeria de camins, pero aviat

decideix estudiar tambe matematiques. Parti-cipa en el seminari organitzat per Julio ReyPastor. L’any 1934 obte la llicenciatura i mar-xa cap a Alemanya a estudiar amb WilhelmBlaschke.

El 1936 publica la seva tesi doctoral sobregeometria integral. Exiliat a Franca despres dela guerra, marxa a Buenos Aires, Argentina, onva arribar el 12 d’octubre de 1939. Obte unaplaca de professor a la Universitat del Litoral, ala ciutat de Rosario. En aquell moment es creal’Institut de Matematiques de la Universidaddel Litoral, dirigit per Beppo Levi, i Santalo escontractat com a sotsdirector.

El 1945 es casa amb Hilda Rossi. Tenen tresfilles: Maria Ines, Alicia i Claudia.

Els anys 1948–1949 es invitat a Princeton, ide retorn a Argentina, s’incorpora a la Univer-sitat de La Plata. Dirigeix la seva primera tesidoctoral, a Leticia Varela. Es dedica intensament

8

a la docencia i la recerca i alhora participa en laComissio Nacional d’Energia Atomica (CNEA)d’Argentina.

A Buenos Aires es consolida la fama de San-talo com a gran docent. Es preocupa intensa-ment pels problemes de l’ensenyament de lamatematica en tots els nivells educatius.

Amb el temps obte importants reconeixe-ments. Rep el doctorat honoris causa per deuuniversitats; el Premi Nacional de Cultura d’Ar-gentina, el 1954; el Premi Prıncip d’Asturiesd’Investigacio Cientıfica, l’any 1983; la MedallaNarcıs Monturiol a la Ciencia i a la Tecnologiade la Generalitat de Catalunya, el 1984; la Me-dalla de la Universitat de Valencia, el 1993; laCreu de Sant Jordi, de la Generalitat de Cata-lunya, el 1994; la Encomienda de Alfonso X (ElSabio) concedida pel rei Joan Carles, el 1996,etc.

Curs de geometria integral. Juny de 2011

La Societat Catalana de Matematiques va or-ganitzar els dies 7 i 9 de juny de 2011 un breucurs d’introduccio a la geometria integral, enel qual van participar trenta persones. El cursel va impartir el professor Eduard Gallego, delDepartament de Matematiques de la UAB, queha treballat amb el professor Santalo i que, avuidia, es considera una de les persones que coneixmillor la geometria integral en l’ambit mundial.

La geometria integral s’inicia amb l’estudide les probabilitats geometriques i planteja lanecessitat d’introduir mesures invariants delsobjectes geometrics involucrats.

Eduard Gallego

En la primera sessio es van presentar algunsproblemes classics en probabilitats geometriques,aixı com les formules de Crofton i Blaschke. Laprimera formula expressa la longitud d’una cor-ba en termes de l’esperanca del nombre de puntsd’interseccio de les rectes que la tallen. La sego-na ens dona la mesura dels moviments que fanque un convex n’intersequi un altre en termesd’invariants dels convexos.

A la segona sessio, a partir del polinomi deSteiner per a cossos paral.lels, es va explicar quees una valoracio a l’espai de convexos. Es vaexplicar el teorema de Hadwiger, que caracte-ritza les valoracions contınues i invariants permoviments rıgids i dona lloc a la nocio de vo-lum intrınsec d’un convex. Mitjancant aquestteorema es demostraren les generalitzacions adimensions superiors de les formules de Crofton,Santalo i Blaschke.

Es van comentar breument les tendenciesactuals en geometria integral i tambe la maneracom aquesta disciplina proporciona una baseper al’estereologia.

Al llarg del curs es van proposar problemesi exercicis per a ajudar a comprendre millor elstemes introduıts.

Pensem que ha estat un curs de gran interesi profit per a tots aquells que l’han pogut seguir.

Actes a Girona. Setembre-octubrede 2011

La Catedra Lluıs A. Santalo d’Aplicacions de laMatematica de la Universitat de Girona, ambmotiu del centenari del naixement de L. A. San-talo, organitza un cicle de quatre conferenciesamb el tıtol La Matematica, una Ciencia Omni-present. El calendari previst de les conferencieses el seguent:

• 29 de setembre: �El cervell vist matematica-ment�, a carrec del doctor Antoni GuillamonGrabolosa, del Departament de MatematicaAplicada I de la UPC.

• 6 d’octubre: �L’estereologia: un aspecte delllegat cientıfic de Lluıs A. Santalo�, a carrecdel doctor Luıs M. Cruz Orive, del Departa-ment de Matematiques, Estadıstica i Compu-tacio de la Universitat de Cantabria.

• 13 d’octubre: �Votar: no tan facil com sem-bla, pero podrıem fer-ho millor�, a carrec deldoctor F. Xavier Mora Gine, del Departamentde Matematiques de la UAB.

• 20 d’octubre: �Desxifrant l’escriptura de lescivilitzacions perdudes�, a carrec del doctorDavid Juher Barrot, del Departament d’In-formatica i Matematica Aplicada de la Uni-versitat de Girona.

Les conferencies tenen un caire divulgatiui estan obertes al public en general. Tindranlloc a les 20h a l’Aula Magna de la Casa de

9

Cultura Tomas de Lorencana, a Girona (Placade l’Hospital, 6).

La conferencia del dia 6 d’octubre aniraprecedida per un acte academic per a comme-morar oficialment el centenari del naixementde L. A. Santalo. En el decurs d’aquest ac-te es presentara el fons Lluıs Santalo, que espot consultar al portal DUGi Fons Especialsde la Biblioteca de la Universitat de Giro-na, que conte digitalitzats mes de dos-centsdocuments de la produccio cientıfica i divul-gativa de Santalo. Trobareu mes informacio ahttp://dugifonsespecials.udg.edu/handle/10256.2/8080.

Coincidint amb les conferencies hi haurauna exposicio per recordar la figura i el llegatcientıfic i docent de Santalo, que anira tambeacompanyada de l’exposicio �Model.litzacio ma-

tematica�, cedida gentilment pel Departamentde Matematiques de la UAB. Les exposicionsestaran situades en els accessos a l’Aula Magnade la Casa de Cultura.

Actes a Figueres. Febrer de 2012

La Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer, organit-za a Figueres, a principi del mes de febrer de2012, un acte en el qual es recordaran quatrematematics rellevants de les comarques gironi-nes nascuts durant la decada de 1911 a 1920:L. A. Santalo (1911, Girones), F. Sunyer (1912,Alt Emporda), A. Dou (1915, Garrotxa) i J.Teixidor (1920, Alt Emporda).

Els conferenciants previstos son, respectiva-ment, els professors Agustı Reventos, AntoniMalet, Manuel Garcia-Doncel i Montserrat Tei-xidor.

C. Barcelo, UdGA. Reventos, UAB

La Matefest-Infofest 2011 de la UB

El 13 d’abril de 2011 va tenir lloc una nova edi-cio de la Matefest-Infofest, festa divulgativa deles matematiques i la informatica que se celebracada any, a la Facultat de Matematiques de laUB.

Els objectius de l’esdeveniment son divulgari estimular una imatge social positiva d’aques-tes dues ciencies i posar-ne de manifest la sevapresencia i el paper important que tenen per ala nostra cultura i per al nostre progres. Es volcaptar l’atencio i la curiositat dels alumnes desecundaria, els quals son convidats directamenta traves dels centres educatius. No obstant aixo,el dia de la Matefest les portes estan obertes atothom.

Per a aconseguir aquests objectius es prepa-ren quatre conferencies que tracten conceptes,curiositats o aplicacions tant matematiques cominformatiques. La proposta d’aquest any ha es-tat la seguent:

• �Informatica: mites i realitats�, impartidaper Jordi Vitria, del Departament de Mate-matica aplicada i Analisi de la UB.

• �Pitagores a Xina?�, impartida per IolandaGuevara, professora de l’IES Badalona VII.

• �Magia i matematiques�, impartida per Ser-gio Belmonte, professor de l’IES Alt Penedes.

• �Fractals�, impartida per Alex Haro, del De-partament de Matematica Aplicada i Analiside la UB).

El pati de la Facultat el dia de la Matefest.

Com en les edicions anteriors, es van mun-tar estands en el pati de la Facultat, als qualses duien a terme activitats per a incentivar laparticipacio del public. Amb aquesta intencio,es proposaven petits enigmes o reflexions sobrefets propers i quotidians i s’explicaven les ma-tematiques que hi ha al darrere. Es feien servircom a pretext des de jocs d’atzar i logica fins alssistemes de codificacio que es fan servir per a laproteccio de dades a Internet. En aquesta seccio

10

hi va col.laborar el Museu de Matematiques deCatalunya (MMACA) aportant material.

El mateix dia de la Matefest es va fer la com-peticio final de robotica, que es el resultat deltaller d’intel.ligencia artificial que es duu a ter-me a la mateixa Facultat. El taller consisteix enquatre sessions guiades de tres hores cadascunaen que s’expliquen les tecniques i es fan activi-tats sobre els diferents aspectes que cal tenir en

compte per a fer un robot (la creacio del robot,l’adquisicio de dades i navegacio, la programaciode comportaments i la interaccio amb el monreal). Finalment es duu a terme una competicioentre tots els centres participants amb un pre-mi al millor treball. En aquesta edicio hi hanparticipat uns deu centres de tot Catalunya.

Es pot trobar mes informacio a la pagina webde la festa: www.ub.edu/matefest infofest2011.

Eva de la Fuente Pajuelo, organitzacioFrancisco Guillen Santos, UB

Les universitats informen

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB del curs 2010-2011

El tret mes destacat del curs academic 2010-2011a la Facultat de Matematiques de la UB ha estatla posada en marxa de la doble titulacio de Mate-matiques i Administracio i Direccio d’Empreses.Aquesta doble titulacio s’afegeix als ja implan-tats graus de Matematiques i Informatica, i ales dobles titulacions de Matematiques i Fısica,i Matematiques i Informatica. A la Jornada dePortes Obertes, celebrada el dia 8 d’abril, esva donar a coneixer tota aquesta oferta docent,aixı com els serveis i instal.lacions que ofereix laFacultat.

La Facultat posa un emfasi especial en lesactivitats de divulgacio cientıfica i, en particular,en les activitats adrecades a alumnes i professorsde secundaria. A les activitats ja implantadesdes de fa anys, que un cop mes s’han dut a ter-me amb exit de participacio, se n’afegeixen denoves. Les comentem breument tot seguit.

• Xerrades-taller. Els dies 3 i 10 de novembrede 2010 va tenir lloc la xerrada-taller �Nusos,enllacos i trenes�, impartida per Carles Cascu-berta i Ignasi Mundet. Els conferenciants vanexplicar com es representen matematicamentels nusos, els enllacos i les trenes, i fins a quinpunt s’han pogut classificar. Tambe es vandescriure algunes de les seves aplicacions a laciencia i a la tecnologia, com per exemple lacodificacio de missatges.

La segona xerrada-taller es va fer els dies 19i 26 de gener, a carrec de Maite Lopez i Inma-culada Rodrıguez, i es va titular �1 + 1 > 2:programant formigues�. En aquesta xerrada-taller es van donar idees per explicar com en

els sistemes complexos els individus fan acci-ons simples, pero que en combinar-se podentenir efectes sofisticats; es per aixo que devegades, la suma d’1 + 1 pot donar mes de 2.

Simulacio d’agents StarLogo TNG en que esmostren termites interactuant dins el seu entorn

(xerrada-taller del mes de gener).

Per al curs academic 2011-2012 ja hi haprogramades les dues xerrades-taller mes. Elsdies 9 i 16 de novembre 2011, coincidint ambla Setmana de la Ciencia, David Marquez par-lara de �Jocs d’atzar�, i els dies 18 i 25 degener de 2012 Sergio Escalera i Oriol Pujolfaran una introduccio a les �Maquines queanalitzen el comportament huma: la interaccioentre l’home i la maquina�.

• Trobada UB-secundaria. El dia 16 de marcvam fer la trobada anual entre professoratde matematiques i tecnologia de secundaria iprofessorat de la Facultat, en la qual es vanintercanviar opinions i es va presentar l’ofertaformativa de la UB i les activitats adrecadesa secundaria.

11

• Matefest-Infofest. Els detalls de la darrera edi-cio d’aquesta festa singular, organitzada pelsestudiants de la Facultat i celebrada el dia 13d’abril, els trobareu en un article a part enaquest mateix numero.

• Suport als treballs de recerca en matematiques.Aquest programa, adrecat a secundaria i ini-ciat fa vuit anys, te l’objectiu d’oferir suportdes de la Facultat tant al professorat tutor in-teressat a dirigir els treballs com a l’alumnatque els fa.

• Preparacio de l’Olimpıada Matematica. Persegon any consecutiu, la Facultat de Ma-tematiques de la UB ha ofert unes sessions depreparacio de resolucio de problemes per a lesproves de l’Olimpıada Matematica. Aquestessessions van adrecades a tots els estudiantsinteressats a participar en la fase catalana del’Olimpıada Matematica.

• Tallers d’Intel.ligencia Artificial. Aquests tallerspretenen apropar als futurs estudiants unatecnologia d’alt impacte de manera didacticai divertida i van adrecats a l’alumnat de bat-xillerat i de cicles formatius. Els centres in-teressats a participar-hi han de presentar unequip format per dos o tres alumnes i un tu-tor. Els tallers s’organitzen en quatre sessionsguiades de tres hores cadascuna en que s’expli-

quen i es desenvolupen activitats relacionadesamb els aspectes diversos de la fabricacio d’unrobot. Finalment, coincidint amb la Matefest-Infofest, es fa una competicio entre tots elscentres participants i s’atorga un premi almillor treball.

• Campus Cientıfics d’Estiu. La Facultat va col-laborar amb el programa Campus Cientıficsd’Estiu 2011, que la Fundacio Espanyola pera la Ciencia i la Tecnologia (FECYT) i el Mi-nisteri d’Educacio van iniciar l’estiu de 2010 ien el qual participa la Fundacio La Caixa desde 2011. La finalitat dels campus es potenciarl’interes de l’alumnat de 4t d’ESO i de primerde batxillerat per la ciencia, la tecnologia i lainnovacio. El projecte presentat per la nostrafacultat, anomenat Viatges celestes basics, vamostrar com les coniques (el.lipses, parabolesi hiperboles) son els models basics del movi-ment dels cossos celestes. Mitjancant aquestsmodels s’introdueix els participants en l’estu-di i descripcio d’alguns fenomens del sistemasolar i en el disseny de missions espacials.

Trobareu informacio sobre que cal fer perparticipar i els terminis de cadascuna d’aques-tes activitats, al web: http://www.mat.ub.es/futurs ub/activitats.

Antoni Benseny i Xavier MassanedaCoordinadors d’activitats per a secundaria

Facultat de Matematiques, UB

Dissabtes de les Matematiques i altres activitats de suport i divulgacio a la UAB

Com cada any, l’oferta divulgativa del Depar-tament de Matematiques de la UAB ha giratal voltant de l’activitat dels Dissabtes de lesMatematiques que han tingut lloc durant elsmesos de marc i d’abril. Iniciades l’any 2000,aquestes jornades han evolucionat fins a adquirirel format actual, un format molt participatiuen el qual s’ofereixen xerrades molt interessantssobre les diverses arees del coneixement de lamatematica, que es completen amb tallers d’ex-periments, jocs i concursos, del quals tots anemaprenent.

L’objectiu principal d’aquesta activitat con-tinua sent el mateix: difondre la presencia de lesmatematiques i les noves tecnologies en molts

aspectes de la vida diaria, obrint les portes aun public molt ampli: des d’alumnes d’ESO ibatxillerat a professors de secundaria, o als alum-nes de la mateixa llicenciatura, que col.laborenintensament a l’hora del taller fent de monitors.

En les darreres tres edicions, una d’aquestessessions s’ha organitzat conjuntament amb elDepartament de Fısica de la UAB. L’encarregatd’aquesta sessio d’enguany va ser el professorJose Gonzalez de la UAB, que amb el tıtol �Deprinceses fenıcies, herois grecs, ocells, abelles iproblemes de maxims i mınims�, ens va parlarde situacions que es presenten constantment a lavida diaria que plantegen problemes de maximsi mınims. La natura, guiada per una mena de

12

principi d’economia, sembla que triı en moltscasos les configuracions mes eficients, en el sen-tit que minimitzen la despesa de recursos i enmaximitzen la rendibilitat. Durant la xerradaes va fer un recorregut per alguns problemesclassics de maxims i mınims i les seves connexi-ons amb el mon natural, des del problema de laprincesa Dido fins al disseny del les cel.les de lesabelles. Aquesta xerrada seguia la conferencia�El grafe, una nova matriu per a la ciencia i lainnovacio� dels professors del Departament deFısica, Stephan Roche i Jordi Pascual.

L’encarregat de la sessio seguent que obria latemporada dels Dissabtes de les Matematiques2011 fou el professor Joan Girbau, que ens vadescobrir com les noves geometries aparegudesen el segle xix van sentar les bases perque, enla primera meitat del segle xx, la relativitatgeneral d’Einstein es pogues formular en llen-guatge matematic. Aquest es un dels exemplesal llarg de la historia de la ciencia en que, en elmoment de s’han necessitat, les eines matemati-ques han estat desenvolupades amb anterioritat,de manera independent, i estaven preparades. Altaller, el conferenciant ens va mostrar exemplesconcrets de com s’han d’aplicar les equacionsrelativistes per a calcular distancies i temps ambl’us del manipulador algebraic Maple.

La tercera jornada, �Disseny de missionsespacials�, va ser a carrec del professor JosepMaria Mondelo. En aquesta xerrada ens va ex-plicar els fets i descobriments clau del movimentdels astres des de l’antiguitat fins els nostresdies, les lleis basiques de l’astrodinamica i elproblema de dos i tres cossos, i alguns dels pro-jectes de les agencies espacials mundials, comel de la creacio d’autopistes espacials. El tallerva convertir les sales d’ordinadors en un gransimulador de vol amb un transbordador, on tots

vam gaudir fent maniobres de canvis d’orbita ireentrada a l’atmosfera.

Vam continuar l’edicio 2011 amb la professo-ra Susana Serna de la UAB. Les imatges com aobjectes digitals i els processos relacionats ambla seva manipulacio estan molt presents a lanostra vida quotidiana. Vam veure el paper quetenen diverses branques de les matematiquescom el calcul, la geometria i l’algebra lineal enel disseny d’algorismes que ens permeten recons-truir, restaurar, comprimir i ampliar imatges.Al taller els assistents van participar en el rep-te de reconstruir una imatge que havia estatpreviament manipulada, i de la qual no n’havi-en vist l’original.

Per a tancar el cicle, es va organitzar undissabte molt diferent, centrat a presentar i ana-litzar metodes de votacio. Una xerrada captiva-dora de Xavier Mora i, es clar, molt oportunaper a fer-nos reflexionar en un any intens d’elec-cions. Podrıem fer-ho millor i no caure en unaparadoxa darrere una altra? Un apassionantconcurs va acabar la jornada d’aquest dissabte.

Ara be, al voltant d’aquestes jornades esdesenvolupen altres activitats de suport i divul-gacio. Des del Departament i a traves del pro-grama Argo de la UAB es dona suport a treballsde recerca en matematiques. La tasca d’aquestprograma es posar en contacte els alumnes debatxillerat que ho sol.licitin amb el professor mesadient dins del departament. Al llarg del curs esfan xerrades divulgatives, tant en els institutscom dins del campus, per a aquells que el visiten.Tota la informacio practica sobre aquests progra-mes de divulgacio, suport i visites, aixı com larevista electronica de divulgacio Mat2, la podeuconsultar al web del Departament de Matema-tiques http://www.uab.cat/matematiques dinsl’apartat de �Divulgacio�.

Activitats de la FME de la UPC durant el quadrimestre de primaveradel curs 2010-2011

A la Facultat de Matematiques i Estadıstica(FME) de la UPC, el curs 2010-2011 ha estat elcurs Erdos, per Paul Erdos. Per aquest motiu,el matematic hongares ha estat protagonistaen alguns dels actes academics del curs i, enparticular, en els dos que han marcat l’inici i elfinal del quadrimestre de primavera: la Jorna-

da Erdos i la Jornada de Cloenda del curs. Enel primer d’aquests actes, celebrat el dia 2 demarc de 2011, es van impartir les conferencies�Grafos aleatorios: tema y variaciones� a carrecdel professor Gabor Lugosi, de la UniversitatPompeu Fabra, �Erdos y los enteros� a carrecdel professor Javier Cilleruelo, de la Universi-

13

tat Autonoma de Madrid i �Erdos i la teoriade Ramsey�, a carrec del professor Oriol Serra,de la Universitat Politecnica de Catalunya. LaJornada Erdos es va completar amb la projecciode la pel.lıcula sobre Erdos N is a number. Apunt d’acabar el quadrimestre, a la Jornada deCloenda del dia 11 de maig, vam poder escol-tar el professor Noga Alon de la Universitat deTel-Aviv, que ens va parlar de �Paul Erdos andprobabilistic reasoning�.

Es habitual que la Facultat ofereixi els seusespais per a la celebracio d’activitats adrecadesa professors i alumnes de secundaria. Aixı, perexemple, la FME ha estat de nou una de lesseus de les proves Cangur que organitza la So-cietat Catalana de Matematiques. Aixı mateix,algunes de les activitats del projecte Estalmat-Catalunya que organitzen la FEEMCAT i laSCM han tingut lloc a la Facultat, com arales proves de seleccio de la novena promocio(2011-2013), que es van fer el dissabte 4 de juny.

Al llarg d’aquest darrer quadrimestre, a laFacultat s’ha fet el curs Llicons d’algorısmia iprogramacio per a professors de secundaria ibatxillerat, impartit pels professors de la FMESalvador Roura i Jordi Petit i alguns estudiantsde la UPC. Aquesta iniciativa anava adrecadaal professorat de matematiques, fısica i tecno-logies i, en especial, als professors que formenestudiants per a concursos com les Olimpıadesd’informatica, de matematiques, de fısica, lesproves Cangur o la First Lego League.

Guardonats amb el Premi Poincare 2011.

Durant l’estiu, estudiants de quart d’ESOi primer de batxillerat d’arreu de l’Estat espa-nyol van venir a la FME per a participar enels Campus Cientıfics d’Estiu 2011 de la Funda-cio Espanyola per a la Ciencia i la Tecnologia(FECYT) el Ministeri d’Educacio i, des de 2011,la Fundacio La Caixa. Enguany, la FME ha pres

part en la segona edicio d’aquests campus ambel projecte Matematiques visibles i ocultes enun mon tecnologic, de l’area de matematiques,integrat en l’oferta del Campus Energia UPC.

El vestıbul de la Facultat va acollir l’expo-sicio itinerant Fotciencia8 del 23 de maig al 10de juny. Aquesta exposicio, d’interes per a unpublic general, esta formada per una seleccio decinquanta fotos de la vuitena edicio del Certa-men Nacional de Fotografia Cientıfica, convocatpel Consell Superior d’Investigacions Cientıfi-ques i la FECYT.

Al final del segon quadrimestre de cada curses donen a coneixer els guanyadors del PremiPoincare i del concurs Planter de Sondeigs iExperiments, dues activitats que la Facultat or-ganitza cada any per a estudiants d’ESO i debatxillerat.

L’acte de lliurament del Premi Poincare 2011es va celebrar el dia 13 de maig, com sem-pre, a la Sala d’Actes de la FME. Aquestaedicio, la vuitena, va comptar amb la partici-pacio de seixanta treballs de recerca de batxi-llerat i el jurat va concedir tres premis i sismencions. Podeu trobar tota la informacio ahttp://www.fme.upc.edu/premi-poincare.

El concurs d’estadıstica, el Planter de Son-deigs i Experiments, va celebrar la seva segonaedicio amb novetats importants. En primer lloc,aquest any el concurs va ser organitzat conjunta-ment per la Universitat Autonoma de Barcelona,la Universitat de Barcelona i la Universitat Po-litecnica de Catalunya. Mes concretament, vanconvocar-lo la FME de la UPC, la Facultat d’E-conomia i Empresa de la UB i la Facultat deCiencies de la UAB. S’hi van inscriure mes demil dos-cents estudiants, de manera individualo en grups de no mes de cinc, i els premis es vanlliurar el dia 10 de juny a la Facultat. L’altragran novetat del Planter va ser que els equipsmes ben valorats pel jurat van guanyar, a mesdels premis, el dret a participar en la primeraedicio de la fase nacional dels concursos tipusIncubadora de Sondeigs i Experiments. Aques-ta segona fase del concurs, convocada per laSocietat d’Estadıstica i Investigacio Operativai celebrada els dies 7 i 8 de juliol a la FME,va tenir la participacio d’equips de Catalunya,Madrid, Galıcia i Castella-Lleo. Trobareu mesdetalls a http://www.fme.upc.edu/planter.

Una activitat de caracter mes ludic, quetambe va tenir lloc a la Facultat, va ser la XXIX

14

edicio del Torneig de Go de Barcelona, celebradaa finals de febrer. A mes, com ja es tradicional enel segon quadrimestre de cada curs, els nostresestudiants van organitzar el Concert de Prima-vera i una obra de teatre. En aquesta ocasio, el

grup de teatre de la FME va adaptar la comediaEl Cosmonauta d’Artur Gonzalez Joseph.

Trobareu mes informacio, aixı com fotos ivıdeos, al web http://www.fme.upc.edu.

Bernat PlansVicedega de Relacions, FME

Activitats de la SCM

14a Trobada Matematica

El 20 de maig va tenir lloc a l’IEC la 14a Tro-bada Matematica, organitzada per la SocietatCatalana de Matematiques. Agraım a tots elsconferenciants les seves xerrades i als partici-pants la seva assistencia.

Aquest any la Trobada es va estructuraren dues xerrades al matı i dues a la tarda. Laprimera xerrada va ser a carrec de Luis Dieu-lefait, de la Universitat de Barcelona, amb eltıtol �Formes automorfes i grups de Galois line-als: un camı d’anada i tornada�. L’autor va feruna introduccio al programa de Langlands, queconsisteix en una col.leccio de conjectures quelliguen la teoria de nombres i la teoria de repre-sentacio de grups. En particular va parlar de lesconjectures de modularitat i de funcionalitat iva presentar algunes de les eines que s’utilitzenper a abordar i demostrar algunes d’aquestesconjectures.

La segona xerrada, a carrec de Marc Noy,professor de la Universitat de Politecnica de Ca-

talunya, va versar sobre �Enumeracio de grafsen superfıcies�. Va presentar resultats sobre elproblema d’enumeracio dels grafs plans i coms’han estes a l’enumeracio asimptotica de grafsde genere fixat. Va mostrar la importancia quetenen les eines d’una variable complexa, i tambeva presentar un component probabilıstic delproblema. Aquestes estimacions asimptotiquespermeten obtenir lleis lımits de probabilitat enl’estudi de grafs aleatoris. Aquesta xerrada vaconcloure la sessio del matı.

A la tarda, Frederic Utzet, professor de laUniversitat Autonoma de Barcelona, va impartirla xerrada �Grans matrius aleatories i probabi-litats lliures�. L’autor va parlar d’alguns delsproblemes en els quals treballa el grup d’analisiestocastica de la UAB. Va comencar fent unrecull historic d’algunes propietats de les ma-trius aleatories, que es caracteritzen per tenirentrades que son variables aleatories. Un pro-blema classic es l’estudi dels valors propis quan

15

la mida de la matriu es fa gran. D’altra banda,en el context de les algebres de Von Neumann,en Dan Voiculescu va introduir les probabilitatslliures. A finals del segle xx s’adona que lesmatrius aleatories de mida gran proporcionenun exemple de la independencia lliure. Un copconnectades les dues teories es produeix unafertilitzacio mutua i una explosio de resultats.

La darrera sessio de la tarda, �Algunes ques-tions relatives al transport de materia al sistemasolar� va ser a carrec de Gerard Gomez, de la

Universitat de Barcelona. Aquesta xerrada, moltsuggestiva, ens va exposar com l’estudi dels sis-temes dinamics, i mes particularment l’estudi deles connexions homoclıniques, i heteroclıniquesexplica el transport de massa dins del sistemasolar, responsable de fenomens com per exemplela formacio de craters d’impacte en la superfıciedels planetes i les seves llunes.

Amb aquesta xerrada vam concloure la 14aTrobada Matematica. Us esperem a tots a lapropera.

Quim OrtegaUB

La quımica i el futbol. Conferencies SCM-CRM

El 7 i el 14 d’abril es van celebrar les prime-res Conferencies SCM-CRM de Matematiques iCiencia a la seu de l’IEC. L’objectiu d’aquestainiciativa, coordinada per les dues institucions,es fer arribar a la comunitat catalana actes dedivulgacio cientıfica, tant de matematiques comde la relacio de les matematiques amb altresciencies.

La primera conferencia titulada, �La quımi-ca de la vida, l’energia i la sostenibilitat expli-cada a un professor de matematiques� va serimpartida pel professor Agustı Lledos, catedraticde Quımica Fısica de la UAB. La segona, titula-da �Does the football really matter?� va ser acarrec del professor Tim Myers, investigador delCRM. Ambdues conferencies van ser registradesen vıdeo, i es poden trobar a la videoteca del’IEC, accessible a traves del web.

Agustı Lledos Tim Myers

Com es sabut, l’any 2011 ha estat declaratAny Internacional de la Quımica, i l’objectiu dela primera conferencia fou mostrar, des del puntde vista d’un quımic pero fent-se comprensible auna audiencia de professors de matematiques, al-gunes pinzellades sobre l’estat actual d’aquestaciencia.

D’acord amb el professor Lledos, la quımicaque hem conegut durant el segle xx esta prepa-rada per a experimentar canvis molt importantsen els primers anys del segle xxi. D’alguna ma-nera, aquest canvi es podria assemblar al quees va produir en la fısica durant els primersanys del segle xx. Els instruments actuals dela quımica permeten manipular, controlar i ob-servar la materia a escala atomica i tambe elsprocessos d’agregacio i formacio de moleculesgrans. Igualment, les capacitats actuals de si-mulacio, en les quals la matematica te un paperimportant, permeten reproduir a l’ordinador re-accions complicades que involucren compostosmolt complexos.

Segons el conferenciant, aquesta revolucioen el camp de la quımica es produira, previsi-blement, al voltant de tres reptes: la quımicadels processos biologics, l’obtencio massiva denoves fonts d’energia i la necessitat d’adaptarels processos de produccio a requeriments desostenibilitat nous i mes estrictes.

Si la primera conferencia va representar laveu d’un quımic que es dirigia als matematics,la segona va ser la d’un matematic que es di-rigia a un public no matematic. En aquest cases dirigia ni mes ni menys que a entrenadorsde futbol. En un partit de futbol, d’acord ambles normes de la Federation Internationale deFootball Association (FIFA), l’equip local es quisubministra la pilota. Aixo pot fer que l’entre-nador es pregunti en cada cas si hi pot haveruna eleccio que afavoreixi el seu equip.

16

Aquesta pregunta la va fer, fa algun temps,un entrenador d’un equip de Johannesburg a ungrup de matematics reunits en un �grup d’es-tudi� a Sud-africa. Com es sabut, els �grupsd’estudi� son jornades de treball que s’orga-nitzen en molts paısos, i tambe en el nostre,en les quals empreses i institucions presentenproblemes susceptibles de rebre un tractamentmatematic. En aquest cas la resposta es va po-der donar rapidament, i va representar un canviimportant en els resultats obtinguts per l’equipesmentat, almenys quan jugava en camp propi.

La resposta es basava en les diferencies im-portants que es poden observar entre pilotes dediferent rugositat quan es juga en camps situatsa alcades molt diferents per sobre el nivell delmar, com es, per exemple, el cas entre Johannes-burg i Ciutat del Cap, a causa de les diferenciesde pressio. La quantificacio d’aquests efectes esva calcular mitjancant un model matematic amb

equacions diferencials ordinaries. Aquest modelse centrava a descriure les forces de sustentacio,perpendiculars a la seva trajectoria, que apa-reixen quan la pilota viatja a una velocitat derotacio alta. Aixo que de vegades es conegutamb el nom d’efecte Magnus, i que els jugadorsen diuen simplement efecte.

El professor Myers, hereu d’una tradicio moltbritanica tant en l’eleccio dels temes com en l’e-leccio dels metodes matematics de resolucio, nova fer pas una excepcio en aquesta conferencia.D’una banda, no va deixar de fer referenciesa jugades famoses en competicions importants,citant les opinions dels jugadors i entrenadorsinvolucrats. I de l’altra, va actuar amb el metodeclassic de la seva tradicio: utilitzar la modelitza-cio matematica per a simplificar el problema almaxim, fins a aconseguir que es pugui resoldrede manera analıtica.

Joan de Sola-MoralesPresident de la SCM

El Cangur a l’estiu

Quan ja s’estava enllestint l’edicio d’aquestnumero de la SCM/Notıcies hem conegut unfet que ens servira de fil conductor d’aquestanarracio. Segurament la majoria de lectors jatindran notıcia quan llegeixin aquest article queals �fulls d’estiu� de La Vanguardias’ha publi-cat cada dia, durant un mes i mig, un problemadiferent del Cangur, la solucio del qual es pu-blicava a l’endema. Tot seguit en fem algunespinzellades, que ens porten a comentar aspectesd’aquesta i altres activitats de la SCM per aalumnes de l’ensenyament secundari.

• Problema 1. Quin es el nombre maxim de pecescom les de la figura que es poden situar alhora

—sense superposar-se— en una quadrıcula 5× 5com la que es veu a la dreta?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 .

La solucio d’aquest enunciat de l’any 2000es l’unica que es va publicar equivocada. Altresvegades s’han hagut d’acceptar dues solucionscorrectes d’un mateix enunciat a causa d’inter-pretacions no previstes, pero en aquest cas es vadir que la solucio correcta era la B) i no es pasaixı. Aquest record em suggereix explicar quin esel procediment de seleccio i edicio dels enunciatsdel Cangur. Actualment, per al Cangur 2012,els membres de la comissio catalano valencianobalear ja estem treballant en la proposta d’unsquants enunciats. Aquests problemes i els quehan proposat els diferents paısos que formenpart de Le Kangourou sans Frontieres, associa-cio en la qual la SCM te representacio nacional,s’envien a totes les persones que participen en lareunio internacional, que enguany tindra lloc aEslovenia el mes d’octubre de 2011. En aquestareunio, en intenses sessions de treball se selec-cionaran trenta problemes per a cada nivell delCangur. Quan la comissio de la SCM rebi elsenunciats se’n fara la traduccio, que es passaraa correccio linguıstica. Llavors es demanara aalguns assessors que ho revisin tot acuradament,i es portara a la impremta. I aixı es fa cada any!

17

• Problema 10. El retol seguent mostra els ho-raris dels vols entre dos paısos molt llunyans,donats amb les hores locals respectives. En condi-cions normals, aquests vols duren igual a l’anadaque a la tornada.

Sortida de A: 6.00 hores del dillunsArribada a B: 14.00 hores del dimarts

Sortida de B: 13.00 hores del dimecresArribada a A: 15.00 hores del dimecres

Quina hora sera en el paıs B en el momentque al paıs A comenci l’any 2012?A) 9.00 hores del dia 31 de desembre de 2011.B) 15.00 hores del dia 31 de desembre de 2011.C) Tambe en aquell mateix moment comencaral’any 2012.D) 9.00 hores del dia 1 de gener de 2012.E) 15.00 hores de l’1 de gener de 2012.

Que em suggereix aquest enunciat? Quequan es parla del Cangur sempre es diu quees una activitat que es fa �alhora� en moltspaısos. Actualment en son quaranta-sis, des deMongolia al Canada, des de Noruega al Paraguai,com podeu veure a http://www.math-ksf.org/.Aixo fa que sigui ben viu el sentiment d’unacomunitat que, com diuen els estatuts del Can-gur, participa en una activitat cientıfica multi-tudinaria, pero es clar que el Cangur no es potfer alhora en tots els paısos per les diferencieshoraries i per altres raons que fan que en algu-nes contrades es canviı la data. Per exemple acasa nostra, com que la data oficial del Cangures, sempre, el dijous de la tercera setmana demarc, interfereix amb les celebracions de SantJosep i aixo fa que molts anys sigui convenientfer una convocatoria diferenciada per al PaısValencia. Per sort (perque altrament hi ha unafeinada suplementaria d’adaptacio d’uns nousenunciats i seleccio d’altres de nous) en les duesproperes edicions es podra fer el Cangur el diainternacional, el 15 de marc de 2012 i el 22 demarc de 2013 respectivament.

• Problema 18. Una ciutat te una poblacio de100.000 habitants, la qual augmenta regularmentd’un 10 % cada any. D’aquı a 10 anys, el nombred’habitants d’aquesta ciutat sera, aproximada-ment:A) 110.000 B) 150.000 C) 180.000D) 200.000 E) 260.000 .

En el primer Cangur a Catalunya hi vanparticipar 1.313 alumnes de tres nivells esco-lars. En el segon Cangur hi van participar 2.110alumnes. Cada any, sense excepcio, l’augmentde participacio d’alumnes ha estat substancial;la majoria d’anys, com a la ciutat de l’enunciatanterior, s’ha acostat al 10 %; altres anys haestat fins i tot molt superior i aixı en el Can-gur de l’any 2011 a Catalunya i Andorra hanparticipat 18.464 alumnes. La participacio s’hamultiplicat per mes de catorze des del primerCangur al setze!

I si sumem la participacio de les tres zonesgeografiques del Cangur de la SCM, que actu-alment te organitzacions paral.leles a Catalu-nya/Andorra, les Illes Balears i el Paıs Valencia,el darrer Cangur ha arribat a 26.500 alumnes imes de 700 centres.

• Problema 2. Un pastıs te forma de quadrilateri el tallo per les diagonals, en 4 parts. Me’nmenjo una part. Peso les altres tres i els resul-tats son 120 g, 200 g i 300 g. Quants grams (x)pesava el tros que m’he menjat?

A) 120 B) 180 C) 280 D) 330 E) 500 .

Aquest es un enunciat del primer Cangur feta Catalunya. Es un problema d’arees i, encaraque potser no ho sembli a primera vista, de pro-porcionalitat. Des del primer any hem trobaten el Cangur enunciats que han suggerit ideesinteressants per a les nostres classes, idees pera fer matematiques a partir de la resolucio deproblemes (no d’exercicis rutinaris). Per aquestarao ha estat ben interessant la tria que hem fetper a La Vanguardia de l’estiu de 2011. Si hoheu vist, esperem que la idea us hagi semblantinteressant.

• Problema 42. Un cub 3 × 3 × 3 esta fet ambpetits cubs identics. Hi ha un pla que es perpen-dicular a la diagonal del cub gros i que passa pelseu centre. Quants cubs petits interseca aquestpla?A) 18 B) 21 C) 20 D) 17 E) 19 .

18

La col.leccio d’enunciats per a La Vanguardiaacaba amb l’anterior, que es el darrer proble-ma del nivell 4 del Cangur 2011. Enguany, comja es va fer els dos anys anteriors, s’ha editatla publicacio Cangur 2011 i altres activitats dela SCM, en que es presenten els enunciats, lesrelacions de participants mes destacats i les so-lucions comentades de les activitats de resoluciode problemes que la SCM ha convocat durantel curs 2010-2011: a mes del Cangur 2011, l’acti-vitat telematica previa a l’Olimpıada i la XLVIIOlimpıada Matematica (fase catalana), els Pro-blemes a l’Esprint per a primaria i secundaria ila nova proposta telematica Marato de Proble-mes (aquestes dues activitats convocades ambla FEEMCAT i el Creamat). Podreu trobaraquesta publicacio i les dels anys anteriors ala seccio de �Publicacions electroniques� delweb de la SCM pero, si per cas us interessa, enpodreu trobar una versio en fase de revisio ahttp://www.cangur.org/publicacions.

L’enunciat que acabem de transcriure ens hafet pensar en aquesta publicacio perque va serbonic poder-hi incloure la imatge de la seccioque el pla de l’enunciat produeix en el conjuntde cubs unitaris que formen el cub 3× 3× 3.

Veieu aixı quina es la solucio del problema?

• Problema 20. Sabem que 120 corredors hanacabat una cursa i que cap d’ells no ha arribatal mateix temps que un altre. Despres se’ls hapreguntat en quina posicio han arribat, i totshan contestat dient un numero entre l’1 i el 120.La suma de totes les respostes es 5.400. Quin esel nombre mes petit possible de respostes falses?

A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 17 .

Hi ha hagut diversos enunciats que parlende curses populars. Per la participacio que asso-leix, el Cangur es com una gran cursa popularde les matematiques. Potser per aixo hem pen-sat en denominacions atletiques per a altresactivitats. Ja hem comentat en altres numeros

de la SCM/Notıcies els Problemes a l’Esprint,una activitat telematica per a equips de cen-tre. Enguany s’ha renovat l’estructura de la fasetelematica previa a l’Olimpıada i, amb una or-ganitzacio semblant, s’ha convocat la Maratode Problemes per a alumnes dels darrers cur-sos de l’ESO. Al llarg de dos mesos s’han anatproposant problemes de resposta numerica con-creta, que els participants havien d’enviar pervia telematica; com que podien fer dos intents,una resposta correcta al primer intent o al segonatorgaven, logicament, mes o menys punts pera la classificacio. Per a acabar, es van propo-sar dos problemes dels quals s’havia d’enviaruna resposta raonada amb tot detall, que vanpuntuar tres professors.

Vist el desenvolupament de l’activitat, queva tenir mes de dues-centes inscripcions, creiemque es possible que sigui la primera edicio d’u-na proposta que pot creixer en el futur. I comque hem rebut missatges de participants sem-blants al que transcrivim seguidament, doncsaixo encara ens anima mes a seguir!

�Voldria agrair a tots els que han col.laboraten la creacio de la Marato el treball que hanfet perque fos el que ha estat! Que ens hagiudonat l’oportunitat de passar una bona estonaresolent problemes! Uns divendres d’intriga persaber quin sera el seguent problema i una bonadosi de nervis cada cop que enviava una respostaper despres rebre un bon alleujament. Moltesgracies.�

• Problema 8. El logotip de la figura esta dibuixata partir de semicercles de 2 cm, 4 cm i 8 cm deradi.

Quina fraccio del logotip esta ombrejada?A) 1/5 B) 3/4 C) 1/3 D) 2/3 E) 1/4 .

• Problema 14. En Francesc comenca a llegirun llibre de 290 pagines un diumenge. Cadadiumenge llegeix 25 pagines i els altres dies, 4pagines. Quants dies haura emprat per a llegirtot el llibre?A) 5 B) 46 C) 50 D) 35 E) 41 .

Amb aquests dos enunciats acabem les pin-zellades que han confegit aquest article. Nomes

19

queda per explicar que a redos del nostre Can-gur hi tenim tambe dues activitats interdisci-plinaries:• El Concurs de Cartells, que l’any 2012 arri-bara a la cinquena edicio. Els dissenys que hanestat guanyadors en edicions anteriors, cada undels quals esdeve el logotip del Cangur per unsquants anys, han rebut unanimes valoracionsmolt positives.• El Concurs de Relats de contingut relacio-nat amb el mon de les matematiques, que se-

gons les bases han de ser redactats en la llenguade les terres on la gent diu �Bon dia!� Cadaany hi ha una bona collita de narracions, que eljurat valora de bon grat. Despres d’aquest arti-cle incloem el relat guanyador del VII Concursde Relats-Cangur.

Seria bo que el professorat de secundaria quehagi llegit aquest article animi els seus alumnesa participar en aquestes activitats que hem anatcomentant mentre recordavem alguns enunciatsdel Cangur.

Antoni GomaComissio Cangur

L’avi que estimava les matematiquesRelat guanyador del VII Concurs de Relats-Cangurde Marc Felipe Alsina, 4t d’ESO, Escola Bell-lloc del Pla, Girona

Lema:�Les matematiques s’aprenen amb el cap i s’ensenyen amb el cor.�

En Josep feia els deures a la taula del menja-dor de l’avi. Premia els llavis i treia una micala llengua mentre feia la tercera de les sumesportant-ne de les deu que la senyoreta li haviaposat per fer.

L’avi se’l mirava somrient des del sofa. Decop i volta, en Josep, un nen despert i alegre devuit anys, va llancar, enfadat, el llapis a terra iamb la veu mes autoritaria que pogue, va dir:

—Avi, prou, aixo de sumar tant em cansamassa i m’avorreix. Plego. No en vull fer mes.Anem a la placa del poble a menjar aquell gelatque m’has dit.

L’avi se li acosta, recollı el llapis, el deixadamunt la taula i s’assegue al seu costat. Lipassa les mans pels cabells tot despentinant-loi li digue: mira Josep, les matematiques volenpaciencia, pero son molt importants... mira, t’ex-plicare el que em va passar a mi quan era moltjove, quan el teu pare encara no havia nascut.T’explicare quan, durant la guerra, les matema-tiques em van salvar la vida!

—Que dius, avi! —deixa anar en Josep, dis-posat a escoltar la historia amb molta atencio.

—Tal com ho sents. Els meus coneixementsde matematiques van fer que jo, ara i avui, esti-gui aquı amb tu.

El va agafar de la ma i el va fer seure al sofa.Alla estarien mes comodes, perque la historiano era curta...

—Fa molt temps, mes de quaranta anys, jo

feia de soldat a la guerra, hi havıem d’anar perforca, no ens podıem pas quedar a casa. Totsels nois de divuit anys o mes hi havıem d’anar,al front.

�A mi em va tocar el destacament de cava-lleria. Jo havia de cuidar els cavalls dels sergents,capitans i generals i, si tocava anar a algunabatalla, m’hi enviaven.

�Efectivament, un dia em van enviar a llui-tar a les muntanyes contra un comandamentque es veu que matava i saquejava pels poblesdel voltant. Pero les coses van anar malament ivaig caure presoner. Em van tancar en una cel.lamolt petita i nomes em donaven pa i aigua. Emvan dir que m’hauria de quedar alla fins quela guerra s’acabes... ni tant sols em deixarenescriure una carta a la teva avia, que llavors erala meva xicota, ni als meus pares!

�Ai, Josep! m’ho vaig passar molt malamenttancat alla dins... pero ja saps que es una guerra,un gran patiment, no se’n treu mai res de bod’una guerra, Josep...

�Els mesos anaven passant, mes de deu, peroun bon dia va entrar el capita dels de l’altrebandol, dels que m’havien fet presoner, vull dir,i, el que em va dir aquell oficial, ho he recordattota la meva vida:

—Estem perdent la guerra, quan arribin elsvostres reforcos ja no hi tindrem res a fer. Totsels oficials ens escapem d’amagat. Si ho femara, tindrem temps de fugir cap a Suıssa, que

20

es un paıs neutral i evitarem que ens executinpels crims de guerra que hem comes. M’han ditque hem de matar avui mateix els presoners ifugir dema a primera hora... ja tinc el carnetfalsificat i els bitllets de tren. La meva cons-ciencia —va continuar el capita— no em permetmatar-te aixı com aixı i he pensat donar-te unapossibilitat de salvar-te. Escolta’m be, —digue,i mirant-me als ulls, de fit a fit, em proposa elseguent:— et proposare dos enigmes matematics.Si els teus coneixements i la teva intel.ligenciaels superen, et deixare marxar avui mateix. Hiestas d’acord?

—I tu, avi, que vas contestar? —preguntaen Josep, intrigadıssim.

—Imagina-t’ho!... li vaig dir que sı de se-guida, sense pensar-m’ho! Podia estar lliure alcap d’unes hores! L’esperanca de poder viureva fer que li digues que sı de seguida. A mes,Josep, a escola jo escoltava sempre les classesde matematiques, sempre feia els deures i me’nsortia prou be!

�El capita va marxar un moment. Va tornaramb una corda que formava un cercle, lligadapels extrems, vull dir. Me la va passar per entreels barrots de la cel.la. Tambe em va passar qua-tre estaques, una de les quals estava una micacorcada. Vaig veure que la corda tenia dotzenusos en total. La distancia entre els nusos erala mateixa.

Primer enigma:

—Construeix un angle recte amb aquest ma-terial. Nomes disposes de mitja hora, em va diramb un to serios mentre premia un cronometrepetit que es va treure de la butxaca.

—Tu que haguessis fet, Josep? —va pregun-tar l’avi fent-li una ganyota per dissipar la tensioque s’anava creant.

—Hagues intentat fer un quadrat amb lesquatre estaques i la corda, avi —contesta enJosep, decidit— perque un quadrat te quatreangles rectes, oi?

—Jo tambe vaig pensar aixo mateix, un qua-drat amb tres unitats de longitud, perque tresper quatre son dotze, com els nusos que hi haviaa la corda. Pero quan ho anava a fer, vaig veureque no em quedava ben be un quadrat, sino mesaviat un rombe i no podia saber segur si els seusangles feien noranta graus.

�A mes, vaig tenir la mala sort que una deles estaques, la corcada, se’m va trencar i no lavaig poder fer servir mes. Pensant molt se’m vaacudir la solucio seguent:

�Sabent el teorema de Pitagores, a tu tel’explicaran d’aquı a uns anys, que diu que enun triangle rectangle (amb un angle recte) elcostat llarg al quadrat, vull dir multiplicat persi mateix, es igual a la suma dels quadrats delsaltres dos costats, es a dir, a2 = b2 + c2, vaigdescobrir la solucio.

�Vaig pensar en tres numeros que complis-sin el teorema de Pitagores i els primers quese’m van ocorrer van ser el tres, el quatre i elcinc. Perque la suma dels tres fan...

—Dotze! —va dir content en Josep.—Sı, just els nusos que tenia la corda. Vaig

clavar les estaques de manera que em quedessintres unitats, quatre unitats i cinc unitats entreelles.

�Va ser aixı, aplicant les matematiques quejo sabia, com vaig aconseguir l’angle recte... inomes en vint minuts, Josep!

—Molt be! Molt be!... va, avi, ara el segonenigma... —digue el nen, emocionat, intrigat isobretot orgullos de tenir un avi tan intel.ligent,mentre l’abracava i l’omplia de petons.

Segon enigma:—El segon enigma que em va proposar el

capita va ser molt diferent del primer.�Es va treure un paper de la butxaca de la

seva armilla i, com que no hi havia cap taula,va escriure unes lletres recolzant el paper a laparet de fora de la meva cel.la.

�Em dona aquell tros de paper i em digue:—Resol aixo, tens una hora que comenca

ara.—Has de pensar, Josep, que vaig llegir aquell

paper mes de quatre-centes vegades i que, cadacop que ho feia, havia d’agafar el paper moltfort perque si no em queia a terra dels nervisque tenia. Les mans em tremolaven!

21

—I que deia, el paper?... era molt llarg, l’e-nigma? —va preguntar en Josep amb cara depreocupat.

—No, no massa llarg. Deia el seguent:

Soc, i sere a molts definibleUs donare aviat nom propiQuocient diametral tothora immesurableSoc jo del cercolet rodo.

—El primer cop que ho vaig llegir no vaigentendre res: ja em veia mort, Josep. Pero laparaula diametral em va fer pensar, per fi, enel que seria la solucio: em va fer pensar en elnumero π?

�Aquest numero l’estudiaras mes endavant,pero perque ho entenguis una mica: digues, qui-na relacio hi veus, entre la longitud de la vorad’aquest plat que tenim aquı, —l’avi anava resse-guint la vora del plat amb els dits— i la distanciade punta a punta?

—La vora es mes gran —va respondre enJosep amb seguretat.

—Quantes vegades mes gran?—Tres o quatre...—Son exactament π vegades, o sigui 3,14

vegades mes gran. I aixo passa sempre, siguiquina sigui la mida del plat.

—Ah, avi!... ja ho entenc!—El capita, pero, em va dir que no era exac-

tament aquesta la solucio, perque volia que di-gues la xifra amb el maxim nombre de decimalspossible. Pero jo no me’ls sabia tots, Josep, jonomes sabia els dos decimals primers del numeroπ, l’u i el quatre. Encara faltaven vint minuts

i, ben be al final, als ultims deu minuts, hovaig veure clar: els decimals hi eren, pero enforma de lletres... nomes havia de comptar elnombre de lletres de cada paraula i tenia elsdecimals:

Soc, i sere a molts definible3, 1 4 1 5 9Us donare aviat nom propi2 6 5 3 5Quocient diametral tothora immedible8 9 7 9Soc jo del cercolet rodo. 3 2 3 8 4

Es a dir: 3,1415926535897932384, el nombre π.�La cara d’aquell capita obrint-me la cel-

la perque pogues marxar, Josep, no l’he pogutoblidar mai... despres de tot, ell em va salvar lavida, pero...

—Apa, va, prou de xerrameca! —va dir l’aviaixecant-se del sofa d’una revolada—, anem aprendre aquell gelat que t’havia promes. Ja n’hiha prou per avui!

—Ui no, avi, de cap manera, jo tinc una cosamolt important a fer. Jo he d’acabar els deuresde matematiques... i ara se que son importants.Tu m’ho has ensenyat. Gracies avi... per tot —vadir en Josep mentre agafava el llapis i s’asseiaun altre cop al seu lloc, a la taula del menjador.Encara va afegir: —Quan sigui gran vull ser tanintel.ligent com tu.

Feia les sumes portant-ne amb tantes ganesque no s’adona que alla, al sofa, el seu avi jano havia sentit les seves ultimes paraules. Haviaentrat en un petit son reparador i merescut.

XLVII Olimpıada Matematica Espanyola

Del 24 al 27 de marc de 2011 es va celebrar, a laUniversitat Publica de Navarra (UPNA) a Pam-plona, la fase final de la XLVII Olimpıada Ma-tematica Espanyola (OME). L’organitzacio d’a-questa edicio de l’OME ha estat a carrec del’UPNA, l’Ajuntament de Pamplona, el Gobier-no de Navarra, i de la Comissio d’Olimpıadesde la RSME, coordinats pel professor Gusta-vo Ochoa Lezaun, professor del Departamentde Matematica i Informatica de l’UPNA, i pelseu equip de col.laboradors. Trobareu mes in-formacio a http://www1.unavarra.es/olimpiada-matematica/

L’equip catala estava format pels guanyadorsde la XLVII Olimpıada Catalana de Matemati-ques, que se celebra el mes de desembre de 2010.

Primers premis: Eduard Vazquez Espin, Institutde Palleja (Baix Llobregat), 2n de batxillerat;Ferran Alet Puig, Aula Escola Europea (Bar-celona), 2n de batxillerat, i Darıo NieuwenhuisNivela, Aula Escola Europea (Barcelona), 1r debatxillerat.

Segons premis: Marc Felipe Alsina, Bell-lloc delPla (Girona), 4t d’ESO; Eric Milesi Vidal, Col-legi Pare Manyanet (Barcelona), 1r de batxille-

22

rat, i Marc Sanchez Alfonso, Aula Escola Euro-pea (Barcelona), 1r de batxillerat.

Tercers premis: Joan Estevez Estudis, InstitutJaume Vicens Vives (Girona), 2n de batxillerat;Julia Alsina Oriol, IES Jaume Callıs (Vic), 1rde batxillerat, i Jordi Barcelo Mercader, Col.legiJesus i Maria (Barcelona), 1r de batxillerat.

El mes important, sense cap dubte, han es-tat els participants que, procedents de tot Espa-nya, han competit per formar part dels equipsque representaran Espanya a l’Olimpıada In-ternacional (IMO) a Amsterdam (Holanda) eljuliol de 2011 i posteriorment a l’OlimpıadaIbero-americana a San Jose (Costa Rica) el se-tembre de 2011. La competicio ha consistit aresoldre sis problemes en dues sessions, els dies25 i 26 de marc. Un jurat format per exolımpicsi membres de la Comissio d’Olimpıades ha estatl’encarregat d’elaborar els criteris de correccio id’assignar les puntuacions a les solucions presen-tades pels concursants. No cal dir que, com cadaany, tot aixo ha estat coordinat per la Comissiod’Olimpıades de la RSME amb Marıa Gaspar,presidenta, al capdavant. La nostra sincera fe-licitacio i agraıment a tots ells per l’excel.lenttreball que han dut a terme desinteressadament.Tambe volem agrair la presencia del presidentde la RSME i de les autoritats autonomiques,provincials, locals i academiques que ens hanacompanyat en les cerimonies de lliurament depremis d’aquesta Olimpıada i que han fet pos-sible, amb el seu suport, que es pogues dur aterme.

Els problemes proposats van ser els seguents:

1. En un polıgon regular de 67 costats tracemtots els segments que uneixen dos vertexs,inclosos els costats del polıgon. Triem n d’a-quests segments i n’assignem a cada un uncolor d’entre 10 colors possibles. Troba elvalor mınim que garanteix que independent-ment de quins siguin els segments escollits ide com es faci l’assignacio de colors, semprehi haura un vertex del polıgon que pertanyia 7 segments del mateix color.

2. Siguin a, b, c numeros reals positius. Demos-

tra que

a

b + c+

b

c + a+

c

a + b+

√ab + bc + ca

a2 + b2 + c2≥ 5

2.

Quan s’assoleix la igualtat?

3. Siguin A,B, C, D quatre punts en l’espai, talsque no hi ha cap pla que passa pels quatrealhora. Els segments AB,BC, CD,DA sontangents a una mateixa esfera. Demostra queels quatre punts de tangencia son en un ma-teix pla.

4. Sigui ABC un triangle amb ∠B = 2∠Ci ∠A > 90 ◦. Sigui D el punt de la rec-ta AB tal que CD es perpendicular a AC,i M el punt mig de BC. Demostra que∠AMB = ∠DMC.

5. Cada nombre racional es pinta d’un color,utilitzant nomes dos colors, blanc i vermell.Es diu que una tal coloracio es santfermineraquan per a cada dos nombres racionals x, y,amb x 6= y, si es compleix una de les trescondicions seguents:

a) xy = 1,

b) x + y = 0,

c) x + y = 1,

llavors x i y estan pintats de diferent color.Quantes coloracions santfermineres hi ha?

6. Sigui (Sn)n≥0 la successio definida per:

a) Sn = 1 per 0 ≤ n ≤ 2011.

b) Sn+2012 = Sn+2011 + Sn, per n ≥ 0.

Demostra que per a tot enter no negatiu escompleix que S2011a−Sa, es multiple de 2011.

Els guanyadors de medalla d’or son Byoung-Tae Bae (Madrid), Darıo Nieuwenhuis Nivela(Barcelona), Oscar Rivero Salgado (Galıcia),Pablo Boixeda Alvarez (Madrid), Cassius Ma-nuel Perez de los Cobos Hermosa (Castella-laMancha) i Eric Milesi Vidal (Barcelona). Elsconcursants catalans Eduard Vazquez Espin,Ferran Alet Puig, Marc Felipe Alsina i Julia Al-sina Oriol van obtenir medalla de plata, i JordiBarcelo Mercader i Joan Estevez Estudis vanobtenir medalla de bronze.

Jose Luis Dıaz-BarreroUPC

23

Agenda

Advanced Course and Workshop: Large-Cardinal Methods in HomotopyData i lloc: de l’1 al 8 de setembre de 2011, al’IMUB.Coordinadors: J. Bagaria i C. Casacuberta.

http://www.imub.ub.es/hocard11/

index.php?carga=home

European Women in Mathematics

Data i lloc: del 5 al 9 de setembre de 2011, alCRM.Comite cientıfic: N. Uraltseva, V. Baladi, E.Bayer, C. Bernardi, C. Bessenrodt, A. Grassi,U. Hamenstaedt, D. McDuff, R. Piene, V. Sos,U. Tillmann, M. Vergne.

http://www.crm.cat/ewm

Kyoto-Paris-Barcelona Seminar in Arake-lov GeometryData i lloc: del 5 al 9 de setembre de 2011, al’IMUB.Comite organitzador: J. I. Burgos i M. Sombra.

http://www.imub.ub.es/kpb2011/index.html

IMAC Symposium on Dynamical Sys-tems, Trends and Perspectives

Data i lloc: del 14 al 16 de setembre de 2011 al’IMAC, Castello.Comite organitzador: B. Campos, F. Casas,C. Chiralt, J. Galindo i P. Vindel.

http://www.imac.uji.es/IMACSymp.html

III Jornadas Matematicas en la Sociedadde la Informacion

Data i lloc: del 16 al 17 de setembre de 2011 alCRM.Comite organitzador: J. Borges, M. Bras-Amoros,J. Gutierrez, M. Villanueva i J. Villar.

http://www.deic.uab.cat/JMatSI2011/

Joint Mathematical Conference of theAustrian, Catalan, Czech, Slovak and Slo-venian Mathematical Societies

Data i lloc: del 25 al 28 de setembre de 2011, aKrems (Austria).Comite cientıfic: M. Drmota, J. Kratochvil,B. Maslowski, K. Mikula, R. Nedela, M. Ober-guggenberger, T. Pisanski, P. Semrl, O. Serra iJ. de Sola-Morales.

http://www.dmg.tuwien.ac.at/OMG/OMG-Tagung/

International Conference on FunctionSpaces, Weights, and Variable ExponentAnalysis

Data i lloc: del 26 al 30 de setembre de 2011, alCRM.Comite organitzador: S. Tikhonov i K. Dyakonov.

http://www.crm.cat/Activitats/Activitats/

2011-2012/cspaces/web-cspaces/

Coloquio del Centenario de la RSME: Laconjetura de Hirsch

Data i lloc: el 19 d’octubre de 2011, a l’IMUB.Conferenciant: F. Santos.

http://www.imub.ub.es/coloquioRSME/

Optimization: Theory, Algorithms andApplications in Economics (OPT2011)

Data i lloc: del 24 al 28 d’octubre de 2011, alCRM.Comite cientıfic: A. Daniilidis, J. Dutta, A. Fer-rer i M. Kornafel.

http://mat.uab.cat/ opt2011/index.html

Advanced Courses on ApproximationTheory and Fourier Analysis

Data i lloc: del 7 a l’11 de novembre de 2011, alCRM.Comite organitzador: S. Tikhonov i K. Dyakonov.

http://www.crm.cat/Activitats/Activitats/

2011-2012/acfourier/web-acfourier/

Workshop on Computational SecurityData i lloc: del 28 de novembre al 2 de desembrede 2011, al CRM.Comite organitzador: J. Climent, S. Dıaz, V.Requena i V. Tomas.

http://www.crm.cat/wksecurity

ICREA Conference on ApproximationTheory and Fourier Analysis

Data i lloc: del 12 al 16 de desembre 2011, alCRM.Comite organitzador: S. Tikhonov i K. Dyakonov.http://www.crm.cat/Activitats/Activitats/2011-2012/

icreaapproximation/web-icreaapproximation/

24

Contribucions

Entrevista a Josep M. Brunat

Josep M. Brunat va serprofessor de batxilleratdurant quinze anys, alllarg dels quals va exer-cir a l’institut d’Errente-ria, al Paıs Basc; al deSueca, al Paıs Valencia,i al de Sant Andreu deBarcelona. Va ser direc-tor de l’institut d’Erren-teria i cap d’estudis del

de Sueca. Des de l’any 1989 es professor delDepartament de Matematica Aplicada II de laUPC. Ha estat director d’aquest departamenti vicedega cap d’estudis de la llicenciatura deMatematiques a la FME. Aquesta experienciallarga i variada ha fet pensar a la redaccio queles seves opinions sobre les matematiques, i par-ticularment sobre l’estat del seu ensenyament,podrien tenir un interes general.SCM: Bon dia, Josep M.JMB: Bon dia. Gracies per pensar que les me-ves opinions poden interessar els lectors de laSCM/Notıcies.SCM: La teva carrera professional com a ma-tematic es molt completa, has passat per gairebetots els ambits de les matematiques: docencia adiferents nivells, recerca, gestio tambe a moltsnivells...JMB: No tant, no tant. Per exemple, mai no hefet classes de nivell obligatori. Quan vaig passara la universitat, en els instituts nomes hi haviaestudiants de BUP i COU. Tampoc no sabriadir massa res de la formacio professional, que esun mon molt extens. Ara, sı que es veritat quefa trenta-set anys que estic en el mon academici matematic. Tant de temps dona per a molt.Basicament, he fet docencia, quinze anys a se-cundaria i la resta a la universitat. A l’etapauniversitaria, tambe he fet recerca. La gestio,en canvi, ha estat nomes ocasional. De tant entant, toca. Quan m’ha semblat que calia i podiahe assumit tasques de gestio, pero he procuratque fos per perıodes no gaire llargs.SCM: Com valores el moment actual de la ma-tematica, com a disciplina cientıfica?JMB: Segurament em falta perspectiva. Ara,

la impressio que tinc es que, sense perdre laseva unitat essencial, s’ha diversificat extraor-dinariament. Cada vegada hi ha mes ambitsen que les matematiques van prenent posicionsrellevants. Tradicionalment, les matematiqueshan estat part consubstancial de ciencies comla fısica o l’astronomia, pero avui aquest ventalls’ha ampliat molt i inclou ambits tan diversoscom l’economia, la biologia, la psicologia, i moltsd’altres. En particular, en un mon tan expansiucom el de les anomenades noves tecnologies, lesmatematiques tenen un paper essencial en temesde gran impacte social i economic. Penso en co-dificacio, criptografia, processament d’imatges,metodes de cerca i un etcetera molt llarg, queson claus en els enregistraments d’audiovisuals,en la banca o les compres per Internet, en eldiagnostic per la imatge, en els cercadors comGoogle, etc.SCM: Segueix sent veritat per als joves el velltopic que �les matematiques son molt difıcils�?De quina manera podem ajudar a canviar aques-ta percepcio?JMB: No se si ens hem d’esforcar a canviaruna percepcio que potser es la correcta. Des delpunt de vista d’un estudiant concret, la dificul-tat d’una o altra materia es una questio personalque te a veure amb la seva personalitat, amb lapreparacio previa necessaria, amb el professorque li ha tocat, i segurament amb unes quan-tes altres coses. Des del punt de vista general,en canvi, es una questio estadıstica. A mi emsembla raonable considerar tant mes difıcil unamateria com mes persones la considerin difıcil.Vist aixı, les matematiques son objectivamentdifıcils, possiblement la materia mes difıcil. Perono voldria que s’interpretes aixo com un �no hipodem fer res�. Hem de seguir pensant i pro-vant com podem fer-les mes atractives i mescomprensibles. Hem de despullar-les de dificul-tats artificials. Ens hi hem d’esforcar, com tantsi tants professionals ja s’hi esforcen. Ara, tam-poc no hem de sentir-nos culpables de la sevadificulat, ni hem de caure en la temptacio dedesnaturalitzar-les per fer-les mes facils del querealment son. Els professors de matematiquesno estem pedagogicament mes mal dotats que

25

els de filosofia, els de quımica o els d’historiade l’art. Hem passat els mateixos filtres, potserfins i tot mes exigents. Repeteixo: no hem dedimitir de fer-les mes atractives i comprensibles,no les hem de falsejar, i no ens hem de sentirculpables de la seva dificultat.SCM: Hi ha massa fracas escolar a secundaria?JMB: El terme secundaria es massa generic. Hiha una diferencia essencial entre l’ensenyamentobligatori i el que no ho es. A l’ensenyamentobligatori l’objectiu es obtenir de cada alumneel maxim de les seves capacitats. No es podendeixar nois marginats o abandonats. Cal aten-dre tothom, que tothom se senti integrat, provarde treure el millor de cadascu i premiar els quis’esforcen per millorar, encara que no assoleixingrans objectius. En canvi, a l’ensenyament noobligatori, sigui al batxillerat o sigui a la univer-sitat, hi ha un ingredient diferent. No n’hi haprou que l’estudiant s’esforci: ha d’assolir certsobjectius. L’aprovat es un �certificat� que diuque se saben certes coses. I, si tot i esforcar-se,l’estudiant no assoleix aquests objectius, doncsno ha d’obtenir el certificat. En aquest contextla paraula �fracas� s’empra malament. Un es-tudiant que esta en les condicions inicials deseguir un curs, per capacitat i coneixements, ique estudia i s’esforca, pero que no se’n surt,aquest ha fracassat. Pero d’aquests n’hi ha pocs.En canvi, el noi que l’unic acte academic que hafet es matricular-se, el noi que no estudia ni perequivocacio, el noi que no esta disposat a renun-ciar a cap de les seves activitats alternatives perestudiar tot el que cal, o el noi que, simplement,no te prou coneixements o capacitats, i, en plenalogica, suspen, d’aquest no es pot dir que hagifracassat. I d’aquests, deu n’hi do els que hi ha,al batxillerat i a la universitat.SCM: Per que una assignatura tan central comles matematiques no acaba de trobar un encaixestable en els plans d’estudis de secundaria?JMB: Un encaix estable implica que hi ha unabase estable on encaixar. Pero si alguna cosaha caracteritzat el mon de l’ensenyament se-cundari i universitari els ultims decennis es,precisament, la manca d’estabilitat en tots elssentits. Els canvis de plans d’estudis, de nor-matives, de calendaris, de model de selectivitat,etc., son continus. Mireu l’anomenat 1× 1, po-sat en marxa amb precipitacio i aturat amb lamateixa precipitacio. Aquesta pluja contınua delleis, normatives i reglaments canviants no son

un sımptoma d’actualitzacio i d’adaptacio alstemps, sino un sımptoma de manca de rumb ide claredat d’idees. Les matematiques, que sonuna materia que necessita el gota a gota, la pa-ciencia, la continuıtat, la concentracio i el gustpel pensament pausat, ho tenen malament. Esclar que es podrien prendre mesures en la bonadireccio: retirar de la circulacio alguns llibres detext que, en lloc de centrar-se en poques idees iclares, i en motius i arguments convincents, secentren en les receptes per decret, en l’ostenta-cio tipografica i a fer de les seves pagines unaorgia de la dispersio (en tecnicolor, aixo sı); oorganitzar de forma mes raonable els masters ensecundaria de manera que garanteixin un conei-xement suficient de la materia dels qui l’obtenen;o dedicar a les matematiques el temps d’aulaque cal; o facilitar als professors l’adquisicio deconeixements nous de la seva materia; o moltesaltres coses. Pero, vaja, el punt principal es fixarel rumb, saber que volem i que hem de fer perassolir-ho, i navegar en aquesta direccio. Pero noveig pas que les coses vagin per aquı. Els partitspolıtics no sembla pas que resisteixin la tempta-cio de tirar-se els plats pel cap amb qualsevolexcusa en un tema tan sensible com l’educacio,que pot donar tant de rendiment electoral.

SCM: Has esmentat els masters de secundaria.Que en penses, de la substitucio del CAP i delCQP pels masters en educacio?

JMB: L’octubre de 2006 em van demanar departicipar en una comissio que havia de fer uninforme sobre com calia fer la formacio inicialdel professorat de secundaria. La comissio esta-va formada per unes quinze persones, la majoriaper rao del carrec (aquest no era el meu cas). Hihavia, per exemple, els directors dels instituts deciencies de l’educacio (ICE) de la UB, de la UABi de la UPC. Aquesta comissio va acabar fentunes recomanacions que, en general, no s’hanseguit. Una de les consideracions finals proposa-va que es tractes d’un master interuniversitari,reconegut per totes les universitats. Crec queaixo hauria evitat una especie de competenciaentre les universitats per a captar estudiants aforca de posar facil obtenir el master. Una altraconsideracio final deia que s’ha de fer una selec-cio molt acurada dels estudiants que cursin elmaster, atenent els coneixements disciplinaris.Aquest era el principal problema del CAP i esel principal problema dels masters actuals. Ambcomptadıssimes excepcions, tants entren, tants

26

surten. Tothom serveix per a professor especi-alista. Gregorio Luri en el seu llibre L’escolacontra el mon, remarca un fet que ens hauriade fer reflexionar. Es pregunta que tenen encomu els sistemes educatius dels estats millorsituats en les proves PISA. No es la capacitateconomica, perque n’hi ha de pobres molt bensituats. No es el sistema pedagogic, perque n’hiha de molt ben valorats que empren una atenciobastant personalitzada, al costat d’altres on lesaules molt poblades son la norma. No es el soudels professors, perque estats que paguen millorestan pitjor situats. I doncs? Resulta que el quetenen en comu es una seleccio del professoratmolt estricta i, com a consequencia, un bon reco-neixement social del professor. Els masters quetenim, com l’antic CAP, no trien. No se pas siles coses que estudien i practiquen els estudiantsdurant el master son les mes adients; tot i queen tinc dubtes, admetem que sı. Tot i aixı, hi hauna questio previa no resolta: els coneixements.En el cas de les matematiques, hi ha estudiantsque provenen d’estudis de farmacia, de quımica,d’arquitectura, d’economiques i d’altres, on lesmatematiques tenen poc pes i encara menysdespres de les adaptacions dels plans d’estudi al’EEES. Poden ser —i sovint ho son— personesamb capacitat i interessades en la docencia ien les matematiques, pero no han tingut ni lanecessitat ni l’ocasio d’estudiar totes les mate-matiques que calen per explicar-les amb garan-ties. Sembla natural que abans de discutir comcal explicar la geometria se sapiga alguna cosames de geometria que la que figura als llibres detext de batxillerat. Doncs no. Fem el master desecundaria en l’especialitat de matematiques iacreditem com a professors persones que no te-nen prou coneixements de l’especialitat. Aquesterror no el cometen els estats on l’educacio esde debo una prioritat. Per sort, a secundariahi ha un gruix important de professors moltcompetent que es mereixen un monument. Sorten tenim d’ells que, en un entorn poc favorable,fan la seva feina tan be com es possible donadesles circumstancies. No soc capac de quantificaraquest gruix, pero haurıem de fer per reconeixermes explıcitament la seva feina i per garantirque totes les noves incorporacions, i no nomesunes quantes, o la majoria, siguin igualmentcompetents.

SCM: Que et semblen els nous graus en mate-matiques?

JMB: Les dificultats que hi ha hagut peradaptar-se a l’EEES en alguns ambits on hi ha-via la carrera de grau mitja i la superior, no s’handonat a les matematiques. En alguns aspectes ladiscussio ha estat mes viva. En comentare tres.El primer es la durada, els quatre anys. El canvide cinc anys (on encara eren cinc) a quatre noem sembla que tingui massa importancia. Laformacio de debo, l’ofici, s’apren als primers cur-sos. Despres, que es facin mes o menys optativeso una assignatura mes d’analisi o d’algebra noem sembla tan greu. Els graduats, despres dequatre anys, han de poder aprendre per ells ma-teixos allo que els calgui o que els interessi. Elsquatre anys, doncs, no em semblen traumatics.El segon es l’adaptacio dels plans d’estudis alsestudiants que provenen del nou batxillerat. Sonestudiants que han fet menys matematiques iamb menys exigencia que la que demanava elBUP. Arreu s’han posat assignatures destinadesa suplir mancances de formacio i de maduresa.Tot un sımptoma que hi hagi hagut practica una-nimitat a considerar aixo necessari. Nomes tincinformacio parcial, pero sembla que s’ha optatper una assignatura conceptualment facil, peroen que es faci un cert emfasi a dir —i escriure—de forma matematicament correcta. El terceraspecte es la insistent predica dels experts sobreels nous metodes pedagogics que s’han d’em-prar. La majoria de coses que he sentit son lesmateixes que s’han dit els ultims trenta anyscada vegada que hi ha hagut un canvi de plansd’estudis del nivell que sigui —es a dir, cada dosper tres. De fet, no cal gaire experiencia per asaber que els metodes pedagogics a emprar de-penen de molts factors diferents: pots tenir sis oseixanta alumnes; pot ser una classe de master ode primer; pot ser de calcul numeric o d’algebraabstracta; pot ser per a estudiants d’informaticao de matematiques; poden ser classes d’una ho-ra, d’una hora i mitja o de dues seguides; potser una assignatura amb caracter de formaciocomplementaria o una assignatura essencial enl’esquema formatiu; etc. Cadascuna d’aquestescoses, i nomes n’he esmentat una petita propor-cio, condiciona el plantejament de la docencia ila tria de metodes que es faran servir. La crıticaindiscriminada a la classe magistral, quan potser la millor opcio en certes circumstancies, ola burla sistematica a les classes molt partici-patives, que poden ser la millor opcio en altrescircumstancies, no tenen gaire sentit. No hi ha

27

una recepta pedagogica universal per a totes lescircumstancies i condicionants.SCM: I les PAU, quina influencia tenen?JMB: Deixa’m comencar per dir dues coses bo-nes de les PAU. La primera, sobre l’organitzacio.Cada any m’admira com funciona de be tot elproces. Hi interve un munt de gent, coordina-dors, sotscoordinadors, presidents, correctors,vocals de centre, la gent de l’oficina de les PAU,etc. I s’examina una munio d’estudiants, desenesde milers. Es un miracle que hi hagi tan poquesincidencies. Aixo, i altres coses, com l’organitza-cio de les proves Cangur, que tambe involucramolta gent que treballa desinteressadament, ique es un exit any rere any, deixa en evidenciala crıtica generalitzada als funcionaris docents.

Una altra cosa bona es que es tractad’examens uniformes, es a dir, els mateixos pera tothom, externs i anonims, amb regles clares iconegudes amb antelacio. Les regles poden agra-dar mes o menys, pero son transparents i igualsper a tothom.

Responent, ara sı, a la teva pregunta, en elcas de les matematiques i em sembla que tambeen les altres materies, l’examen discrimina poc,no gradua prou be les qualificacions. Com quenomes consta d’exercicis (encara que se’n diguinproblemes, son exercicis), les notes mes altes lespoden treure alhora alumnes realment brillantsi tambe alumnes treballadors i voluntariosos,que no es poc, pero que no es el mateix que serexcel.lent. A l’examen d’entrada al Centre deFormacio Interdisciplinaria Superior de la UPCs’hi presenten uns setanta o vuitanta alumnesamb una nota de selectivitat generalment supe-rior al vuit. La nota de l’examen es distribueixdes de notes properes al zero fins a alguns deus.Es a dir, que les notes altes de la selectivitat ad-meten molts matisos. Pero vaja, selectivitat es elnom popular d’un proces que no te per objectiuseleccionar els qui poden anar a la universitat.El nom oficial es Proves d’Acces a la Universitat,i te com a objectiu ordenar els estudiants quevolen estudiar certes carreres quan hi ha mesdemanda que oferta.SCM: Es parla molt d’una baixada de nivell ala universitat. Que hi ha de cert, en aixo?JMB: Quan van comencar a arribar a la FMEels estudiants provinents de l’ESO i batxilleratde dos anys, vaig detectar que eren mes parti-cipatius, tenien menys vergonya de contestar aclasse, es mostraven mes desinhibits. Pero els

deficits de coneixements i, sobretot, la mancade costum d’estudi continu i intens, fan estralls.El primer curs ha esdevingut mes traumatic delque era. Certament, el primer curs de matemati-ques, com el d’altres carreres tecniques, ha estatsempre prou difıcil. Pero hi ha fets constatables.A la FME, la nota de tall s’ha mantingut sempreprou alta, es a dir, hem tingut un flux d’estu-diants de qualitat bastant homogenia al llargdels anys. Doncs be, els primers anys, en acabarprimer hi havia dos o tres abandonaments, a totestirar. Despres de l’arribada de les promocionsdel nou batxillerat, aixo es va disparar. No seque ha passat en altres ambits, pero per als es-tudis cientıfics i tecnics, el canvi d’organitzaciode la secundaria ha estat dolent. L’augment del’edat de l’escolaritzacio obligatoria era conveni-ent i inevitable, pero no necessariament s’haviade fer a cop d’uniformitzacio a la baixa. Massanois, davant d’una demanda d’esforc intens icontinuat, es queden perplexos, no ho entenen.�Si fins ara treia bones notes, ara que estudiomes que abans, com es que suspenc?�, semblenpreguntar-se. N’hi ha que poden i reaccionen,pero n’hi ha massa que l’esforc els supera oque no poden recuperar els deficits acumulats.Aquests problemes se centren sobretot a primer.Els professors d’altres cursos tambe es queixen,pero em sembla que, amb matisos si es vol, enels cursos superiors les coses no son tan dife-rents de com eren. Potser han estudiat menyscoses, pero, en general, obtenen la maduresai els coneixements suficients. El gruix dels ti-tulats seran bons professionals. A mes, a cadapromocio hi ha uns quants joves molt brillants,amb una enorme capacitat de treball i una cla-rividencia matematica extraordinaria que deixaastorat. Gent molt bona. Jo crec que el futur dela matematica del paıs esta garantit.

SCM: Que li diries a un jove que, sense coneixergaire aquest mon, decideix dedicar-se a les ma-tematiques simplement perque li agraden?

JMB: Que es un motiu excel.lent. Que tinguipresent que son difıcils i que s’ha de treballarfort, pero que si li agraden, endavant. Si des-pres veu que no son el que es pensava, ja tindratemps de canviar, pero que no es quedi ambla recanca. I si, en efecte, troba que son el seucamı, estudiant-les te diversio assegurada pera tota la vida. Al llarg dels anys m’he trobatamb unes quantes persones que m’han confessatque els hauria agradat estudiar matematiques,

28

pero que no ho van fer perque no volien serprofessors, i que per aixo van prendre una altraopcio. En tots ells m’ha semblat entreveure uncert penediment. Avui, l’excusa de la sortidaprofessional unica ja no val. Afortunadament,tal com deiem al comencament, les matemati-ques tenen un paper a molts ambits i, per tant,

avui el ventall de possibilitats professionals esmes ampli. Sı, que t’agradin les matematiqueses un motiu excel.lent per a dedicar-t’hi.SCM: Be, moltes gracies per aquestes interes-sants paraules. Esperem que facin reflexionar allector sobre aquests temes, i que contribueixina millorar el mon de la matematica catalana.

Algunes citacions matematiques

Fa uns anys, varem publicar l’article �Cita-cions al voltant de les matematiques� a Ma-terials Matematics vol. 2007, treball 2. Aquıincloem una seleccio d’algunes de les citacionsque contenia aquell treball, complementada ambunes quantes de noves. La nostra font princi-pal ha estat la pagina web de la Universitatde Furman, Mathematical Quotations Server:http://math.furman.edu/ mwoodard/mquot.html

Per aquest recull, hem classificat les citaci-ons en tres apartats. El primer agrupa les quetenen a veure amb la manera com han fet ma-tematiques els nostres mestres i per que sonimportants, el segon recull les citacions mes cu-rioses, mentre que al tercer hi trobareu les mesfamoses.

Esperem que aquesta lectura us resulti en-tretinguda i interessant.

Com i per que fer matematiques

�L’estudi de l’aritmetica i de la geometria nonomes fara mes clara i util la vostra ment per auna infinitat d’activitats humanes, sino mes in-tel.ligent el vostre esperit, i a vosaltres mes idonisper a dedicar-vos a la medicina�. (Hipocrates)�Per a Tales la questio mes primaria era no pasque sabem sino com ho sabem�. (Aristotil)�La ment no es un vas que s’hagi d’omplir, sinoun foc que s’ha d’encendre�. (Plutarc)�La meitat de la ciencia consisteix a fer-se lespreguntes adequades�. (Bacon)�Si una persona es perseverant, malgrat siguidura d’enteniment, es fara intel.ligent; i malgratsigui debil es transformara en forta�. (Leonardoda Vinci)�Com que la geometria es la veritable base de

la pintura, he decidit ensenyar-ne els fonamentsi principis a tots els joves il.lusionats per l’art�.(Durer)�[L’univers] no es pot llegir fins que no n’hemapres el llenguatge i ens hem familiaritzat ambels caracters amb els quals esta escrit. Esta es-crit en llenguatge matematic, i les lletres son elstriangles, els cercles i altres figures geometriques,sense les quals es humanament impossible en-tendre una simple paraula�. (Galileu)�Mesura el que es mesurable, i fes mesurable elque no ho es�. (Galileu)�La natura utilitza tan poc com li es possiblede totes les coses�. (Kepler)�Cada problema que resolc es transforma enuna regla que mes endavant pot servir per aresoldre altres problemes�. (Descartes)�Divideix les dificultats que examines en tantesparts com sigui possible per a trobar una soluciomillor�. (Descartes)�Normalment ens convencem mes facilment perraons trobades per nosaltres mateixos queper les que se’ls han acudit als altres�. (Pascal)�Res no es mes important que veure les fontsd’una invencio, que, en la meva opinio, son mesimportants que les invencions per si mateixes�.(Leibnitz)�La ciencia de la matematica representa el mi-llor exemple de com la rao pura pot ampliarsuccessivament el seu domini sense l’ajut del’experiencia�. (Kant)�En la seva major part, les questions mes impor-tants de la vida son finalment nomes problemesde calcul de probabilitats�. (Laplace)�L’estudi profund de la natura es la font mesfertil de descobriments matematics�. (Fourier)

29

�Sabeu que escric lentament. Aixo es deu prin-cipalment al fet que no estic satisfet fins que nohe dit el maxim possible amb poques paraules,i escriure breument pren molt mes temps queescriure amb tot detall�. (Gauss)�La teoria atrau la practica com l’imant atrauel ferro�. (Gauss)�Finalment, fa dos dies, vaig tenir exit —no acausa dels meus grans esforcos sino per la graciadel Senyor. Com un llampec sobtat, es va resol-dre el trencaclosques. No m’es possible dir quinva ser el fil conductor que va connectar el quesabia previament amb el que va fer possible elmeu exit�. (Gauss)�No hi ha cap branca de les matematiques, perabstracta que sigui, que un dia no pugui ser apli-cada a fenomens del mon real�. (Lobatxevski)�Malauradament, el que es poc reconegut es queels llibres cientıfics valuosos son aquells en quel’autor indica clarament el que no sap; encobrirles dificultats es el pitjor que pot fer un autorpels seus lectors�. (Galois)�Un matematic que no es tambe una mica poetano sera mai un bon matematic�. (Weierstrass)�A les matematiques els hi passa com a moltesaltres coses: la bellesa es pot percebre, pero noexplicar�. (Cayley)�Aıllar les matematiques de les necessitatspractiques de les ciencies es convidar una vaca al’esterilitat allunyant-la dels toros�. (Txebixev)�Hauria de rebutjar un bon sopar simplementperque no entenc el proces de la digestio? [enser criticat per usar manipulacions matemati-ques formals, sense entendre com funcionaven]�.(Heaviside)�Els descobriments matematics, grans o petits,mai no neixen per generacio espontania. Semprepressuposen un terra plantat amb el coneixe-ment preliminar i ben preparat amb el treball,tant conscient com subconscient�. (Poincare)�El pensament nomes es un llampec enmig dela nit, pero es aquest llampec el que ho es tot�.(Poincare)�L’art de fer matematiques consisteix a trobarquin es el cas especial que conte tots els germensde generalitat�. (Hilbert)�L’aplicacio practica es troba no buscant-la, ihom pot dir que tot el progres de la civilitzaciodescansa en aquest principi�. (Hadamard)

�Com pot ser que les matematiques, sent des-pres de tot un producte huma, independent del’experimentacio, s’adaptin admirablement alsobjectes de la realitat?�. (Einstein)�[La matematica] es un camp que sovint s’hacomparat amb els escacs, pero difereix d’aquestsen el fet que el mals moments no compten, sinonomes els bons. Una simple falta d’atencio potfer perdre una partida d’escacs, mentre quenomes una aproximacio reeixida a un proble-ma, entre moltes que han acabat a la paperera,atorga una reputacio de matematic�. (Wiener)

Citacions curioses

�Si em donen una formula i no en se el significat,no em pot ensenyar res; pero si ja en conec elsignificat, que m’ensenya?�. (Sant Agustı)�El bon cristia hauria d’anar amb compte ambels matematics i amb tots aquells que fan profe-cies buides. Ja hi ha el perill que els matematicshagin fet un pacte amb el diable per a enfosquirl’esperit i confinar-nos a les profunditats de l’in-fern�. (Sant Agustı)�Sis es un nombre perfecte, pero no pel fet queDeu hagi creat el mon en sis dies, mes aviates al contrari. Deu va crear el mon en sis diesperque aquest nombre es perfecte, i continuariaessent perfecte encara que el treball de sis diesno existıs�. (Sant Agustı)�La medicina fa la gent malalta, les matema-tiques els fan tristos, i la teologia, pecadors�.(Luter)�Els nombres perfectes son com els homes per-fectes, molt rars�. (Descartes)�On hi ha un problema, hi ha geometria�. (Ke-pler)�...seria millor per a la veritable fısica si no hihaguessin matematics a la terra�. (D. Bernou-lli)�El nombre imaginari es un recurs subtil i me-ravellos de l’esperit divı, quasi un amfibi entreel ser i el no ser�. (Leibnitz)�Quan demanem consell, el que busquem escomplicitat�. (Lagrange)�Els savis son els que busquen la saviesa, elsnecis pensen que ja l’han trobada�. (Napoleo)�La vida es bona nomes per dues coses, desco-brir matematiques i ensenyar matematiques�.(Poisson)

30

�La finalitat real de la ciencia es l’honor de lament humana�. (Jacobi)�Un matematic es un home cec en una habi-tacio fosca buscant un gat negre que no es al’habitacio�. (Darwin)�Un home es com una fraccio, amb numeradorel que es i amb denominador el que pensa d’ellmateix. Com mes gran es el denominador mespetita es la fraccio�. (Tolstoi)�La geometria es l’art de pensar be i dibuixarmalament�. (Poincare)�El camı mes curt entre dues veritats al dominireal passa pel domini complex�. (Hadamard)�Els joves haurien de demostrar teoremes, elsvells haurien d’escriure llibres�. (Hardy)�Un expert es algu que sap quins son els pitjorserrors que es poden fer en la seva especialitat, icom evitar-los�. (Heisenberg)�Una bona broma matematica es millor, i millormatematica, que una dotzena d’articles medio-cres�. (Littlewood)�Tots els grans teoremes son descoberts despresde mitjanit�. (Mathesis)�No hi ha teoremes profunds —nomes teoremesque no hem entes massa be�. (Goodman)

Citacions famoses

�Preferiria descobrir un fet cientıfic que sercoronat rei de Persia�. (Democrit)�No hi ha cap ruta reial cap a la geometria�.(Euclides)�El que sabem es una gota d’aigua, el queignorem, tot un ocea�. (Newton)�Si he aconseguit veure mes lluny ha estatperque he pujat sobre les espatlles de gegants�.(Newton)

�La ignorancia afirma o nega rotundament, laciencia dubta�. (Voltaire)�Ara tindre menys distraccions [Despres deperdre la visio de l’ull dret]�. (Euler)�Poc, pero madur [el lema de Gauss]�.�Els homes passen, pero els seus fets queden�.(Cauchy)�Hi ha tres tipus de mentides: mentides, gransmentides i estadıstica�. (Disraeli)�La casualitat afavoreix a les ments entrena-des�. (Pasteur)�Deu va crear els enters, la resta es obra del’home�. (Kronecker)�La ciencia es compon d’errors, que al seu tornson els passos cap a la veritat�. (Jules Verne)�Quan has eliminat el que es impossible, el quequeda, encara que sigui improbable, ha de serla veritat�. (Conan Doyle)�Es pot mesurar la importancia d’un treballcientıfic pel nombre de publicacions previes quees tornen superflues per aquest�. (Hilbert)�Si busques resultats diferents, no facis sempreel mateix�. (Einstein)�Tot hauria de ser tan simple com fos possible,pero no mes simple�. (Einstein)�Aquest principi es tan general que no te capaplicacio particular�. (Polya)�Un matematic es una maquina de transformarcafe en teoremes�. (Erdos)Amb un afegito (de Turner, un matematic vi-sitant a Barcelona) com a elogi del cafe decasa nostra �...but american coffee is only forlemmas�.

Armengol Gasull i Maria JolisUAB

31

Premis

John Milnor rep el Premi Abel 2011

Nascut el 1931, John Milnorva rebre la Medalla Fieldsl’any 1962 pels seus treballsen topologia diferencial, perotambe ha fet contribucionsessencials en topologia al-gebraica, teoria K, teoriade grups i sistemes dinamics(de variable real i complexa).En els seus articles i surveys,

la claredat d’exposicio va sovint acompanyadad’idees molt profundes. Molts dels seus treballshan estat determinants per al desenvolupamentposterior dels temes que ha tractat, i la sevainfluencia es fa sentir en molts camps de les ma-tematiques actuals. Intentare donar una visiodel treball de John Milnor.

Topologia diferencial

Els treballs de Milnor en topologia diferencial esconsideren els mes importants de la seva carrerai cal situar-los essencialment entre 1956 i 1965.

El primer resultat destacat va ser l’existenciad’estructures exotiques en esferes de dimensio 7.L’esfera estandard de dimensio n, Sn, es l’esferaunitat de l’espai euclidia Rn+1:

Sn = {x ∈ Rn+1 | |x| = 1}.

Milnor troba les primeres varietats diferencia-bles que son homeomorfes a l’esfera estandardS7 pero no difeomorfes, son el que s’anomenenesferes exotiques. Milnor explica que quan lesva trobar, ell fou el primer sorpres per la sevaexistencia.

Dono breument la construccio que fa Mil-nor d’una esfera exotica. Agafa dues copies delproducte de la bola de dimensio 4 per l’esferade dimensio 3 B4 × S3. Cada copia te fronteraun producte d’esferes S3 × S3 i identifica lesdues copies mitjancant un difeomorfisme. Per adescriure el difeomeorfisme, fa servir que S3 esl’esfera dels quaternions de Hamilton: envia elparell de quaternions unitaris (q1, q2) ∈ S3 × S3

a (q1, q21q2q

−11 ) ∈ S3×S3. Mitjancant l’estructu-

ra de grup facilment construım l’invers d’aquestdifeomorfisme, i obtenim una varietat diferenci-able de dimensio 7. Per a que no es difeomorfa

a S7, Milnor fa servir classes caracterıstiques idemostra que la varietat no te cap difeomorfis-me que inverteixi l’orientacio. Per a veure quees homeomorfa a S7, seguint una idea de Reeb,Milnor construeix una funcio amb nomes dospunts crıtics (un maxim i un mınim) que s’a-nomenen no degenerats (amb hessia diferent dezero), es a dir un tipus especial de funcions deMorse.

Observem que en aquesta demostracio vautilitzar dues eines, classes caracterıstiques ifuncions de Morse, que serien els temes respec-tiu de dos llibres que esdevindrien classics. Re-trobarem les esferes exotiques quan parlem desingularitats.

El descobriment d’estructures exotiques vaser l’inici d’un perıode molt intens de la topolo-gia diferencial. Aquest resultat justificava que lesestructures diferencials fossin un objecte impor-tant per a ser estudiat, i Milnor s’hi va posar, encol.laboracio sobretot amb M. Kervaire. Durantels anys seguents hi hague una extraordinariainteracccio entre matematics que treballaven endiversos camps de la topologia. Les tecniquesque es van desenvolupar s’apliquen a varietatsde dimensio 5 o superior. Aixı, Kervaire i Milnorvan poder calcular quantes estructures diferen-cials hi ha per les esferes de dimensio ≥ 5, es adir quantes varietats (orientades) homeomorfespero no difeomorfes hi ha a Sn. En dimensions5 i 6 n’hi ha nomes una, pero en dimensio 7 n’hiha 28, en dimensio 8 n’hi ha 2... De fet, en cadadimensio n > 4 aquestes estructures formen ungrup, que en molts casos es pot calcular a partirdels grups d’homotopia estable de les esferes.Ja veiem que tot aixo te molta relacio amb latopologia algebraica.

En dimensio 4 o inferior tota aquesta teoriano s’aplica. En dimensions 2 i 3 se sap que totavarietat admet una unica estructura diferencia-ble, pero en dimensio 4 no. De fet, la conjecturade Poincare topologica fou resolta per Freedmanel 1982: tota varietat homotopicament equiva-lent a S4 es homeomorfa a S4, pero encara quedapendent la versio diferenciable: hi ha alguna va-rietat homeomorfa pero no difeomorfa a S4?Equivalentment: Existeixen esferes exotiques de

32

dimensio quatre? El 1983 Donaldson caracte-ritza quines varietats de dimensio 4 simplementconnexes admeten una estructura diferenciable,pero no demostra que fossin uniques.

L’explosio de la topologia diferencial portaal desenvolupament de la teoria de cirurgia, elscobordismes (s-cobordisme, h-cobordisme), lesfuncions de Morse i la teoria de nanses. Aquestadarrera permete a Smale, Stallings i Zeemandemostrar la conjectura de Poincare en grandimensio.

Una altra contribucio importantıssima deMilnor fou establir quines esferes son paral.lelit-zables, es a dir tenen fibrat tangent trivial. Lesesferes de dimensio 1, 3 i 7 son paral.lelitzables,perque son l’esfera unitat, respectivament, delsnombres complexos, dels quaternions i dels oc-tonions de Cayley. Aixo dona una manera detrivialitzar-ne el fibrat tangent, mitjancant lamultiplicacio. Raoul Bott i John Milnor, i demanera independent Michel Kervaire, van de-mostrar el 1958 que aquestes son les uniquesesferes paral.lelitzables. De fet l’article de Botti Milnor al Bulletin of the Amer. Math. Soc. esun extracte de dues cartes que es van intercan-viar: �Milnor to Bott, December 23, 1957� i�Bott to Milnor, January 6, 1958�. Sembla quedurant aquelles vacances de Nadal les classesde Pontryagin treien fum! Cal mencionar queaquest resultat va ser subsumit pel treball d’A-dams el 1962, que determina el nombre maximde camps vectorials en una esfera que son line-alment independents en cada punt.

El 1908 Steinitz i Tietze havien formulatl’anomenada Hauptvermutung, segons la qualdos complexos simplicials homeomorfs haviende ser combinatoriament equivalents (semprellevat de subdivisio). Milnor troba un contrae-xemple el 1961, utilitzant l’anomenada torsio deReidemeister. Cal dir que el contraexemple noes una varietat i va caldre esperar fins al finalde la decada perque Edwards, Casson, Kirby iSiebenmann en trobessin un que fos una varie-tat. A partir d’aquı Milnor va seguir estudiantaquesta torsio i va descobrir que el polinomid’Alexander tambe es una torsio de Reidemeis-ter. Aixo permete (a ell i a altres autors) donararguments molt senzills per a resultats que invo-lucren el polinomi d’Alexander. Sobre la torsio,cal destacar el survey �Whitehead torsion�, enel qual dona una aproximacio unificada de lesdues torsions, la de Whitehead introduıda el

1950 i la de Reidemeister, de 1935, aixı com larelacio amb els cobordismes, l’homotopia simplei la teoria K algebraica.

Topologia algebraica

Els treballs de Milnor en topologia diferencialutilitzen moltes eines de topologia algebraica,com ara les classes caracterıstiques que ja hemmencionat. El 1957 Milnor va oferir un curs declasses caracterıstiques, publicat el 1974 conjun-tament amb James Stasheff, que n’havia presnotes. Tot i esperar disset anys a ser publicat, vaser un llibre molt influent, i de fet continua sentmolt citat actualment (per exemple, el 2010 tetrenta-nou cites al Mathscinet). He seleccionatquatre contribucions especialment rellevants entopologia algebraica.

1. Els espais classificants son molt importantsper al desenvolupament de la teoria d’homo-topia, incloent la classificacio de fibrats, i del’algebra homologica. Els primers espais clas-sificants s’havien construıt mitjancant grass-manianes, va ser Milnor qui en dona unaconstruccio per a un grup topologic en gene-ral amb tecniques diferents.

2. A la decada dels anys cinquanta es desenvo-lupaven metodes simplicials en topologia, iMilnor va donar una construccio que perme-tia associar un CW-complex a un complexsemi-simplicial. Milnor va contribuir a impul-sar la idea que en topologia algebraica elsCW-complexos son els espais mes adients pera treballar.

3. El 1953 Steenrod havia introduıt unes ope-racions en cohomologia, que afegien una no-va estructura a la cohomologia d’un espaia coeficients Z/pZ. Autors com Jose Ademo Henri Cartan n’estudiaren les propietats.Milnor va demostrar que les algebres de Ste-enrood en cohomologia tambe son algebresde Hopf (es a dir, a mes d’un producte te-nen un coproducte amb certa compatibilitati estructura), la qual cosa oferia una visiomes general dels resultats d’Adem i Cartan.El treball de Milnor va tenir un paper moltinfluent en el desenvolupament de la succes-sio espectral d’Adams, clau en l’estudi del’homotopia estable i el cobordisme (que enstornen a la part de topologia diferencial).

4. Un altre treball molt significatiu es la caracte-ritzacio del tipus d’homotopia de les varietats

33

de dimensio 4 simplement connexes. Per auna varietat tancada i orientada, la formad’interseccio del segon grup d’homologia

H2(M4)×H2(M4) → Z

es una forma bilineal, simetrica i no degene-rada. Basat en treballs de Whitehead, Mil-nor demostra que aquest invariant classificael tipus d’homotopia de les varietats de di-mensio 4 simplement connexes. A la partd’algebra tornarem a trobar una connexioamb el tema de les formes quadratiques.

Algebra

Milnor te treballs molt significatius en teoria Kalgebraica i formes quadratiques. Els desenvo-lupaments de topologia algebraica i diferencialen els quals Milnor participava involucraven elK0 i el K1 algebraics. Cap al 1960, es coneixiauna definicio pel K0 i K1 d’un anell, pero no elsgrups superiors de teoria K. Milnor va trobarla definicio adequada pel K2 d’un cos i va pro-posar definicions per a tots els grups superiors.Quillen fou qui va trobar posteriorment la defi-nicio correcta per a tots els grups de teoria K.Com a part d’aquest treball, Milnor formula unaconjectura, la resolucio de la qual li va valdre aVladimir Voevodsky rebre la Medalla Fields el2002.

Relacionat amb el desenvolupament de lateoria K, Milnor feu contribucions importantsen el calcul de grups de Whitehead, i en el pro-blema del subgrup de congruencia, es a dir, dedecidir si tot subgrup d’ındex finit d’un gruparitmetic conte un subgrup de congruencia. Perexemple, si A es l’anell d’enters d’un cos de nom-bres, aleshores SLn(A) es un grup aritmetic i ungrup de congruencia es el nucli d’una projeccio

SLn(A) → SLn(A/I),

sent I un ideal de A. Aquı cal mencionar tambenombroses contribucions en el tema classic deformes quadratiques, en particular la resoluciocompleta de la teoria dels productes simetricssobre un cos de caracterıstica 2.

A mes de la teoria K, Milnor va fer con-tribucions a les algebres de Hopf i a la funciode creixement de grups. Expliquem els seustreballs sobre la funcio de creixement, que sonanteriors als treballs de Cannon i Gromov de ladecada dels vuitanta, considerats fundacionals

per a la teoria geometrica de grups. L’any 1968Milnor va introduir la funcio de creixementd’un grup G finitament generat respecte a unsistema de generadors. Per a tot n ∈ N, c(n)es defineix com el nombre d’elements de G quees poden expressar en una paraula de longitud≤ n respecte al sistema de generadors. Diemque G te creixement de tipus:

– polinomic de grau d, si c(n) ≤ and per a certa > 0,

– exponencial, si c(n) ≥ bn, per a cert b > 1.

El tipus de comportament de c(n) no dependel conjunt de generadors, nomes del grup G.Milnor n’estudia el comportament pel grupfonamental de varietats amb restriccions en lacurvatura, en un article de 1968. El mateixany, en una nota demostra que si G es un grupresoluble, aleshores o be G te creixement expo-nencial, o be G es virtualment nilpotent (i enparticular G te creixement polinomic). Aixo elporta a preguntar:

1. El creixement d’un grup finitament generatha de ser necessariament polinomic o expo-nencial?

2. Conjectura: tot grup finitament generat decreixement polinomic es virtualment nilpo-tent.

La resposta a la primera pregunta es no, ambun contraexemple trobat per Grigorchuk el 1983.La demostracio de la conjectura 2 la va donarGromov el 1981.

Singularitats

En l’apartat de topologia diferencial he parlatde les esferes exotiques, construıdes per Milnorel 1956. El 1966 Brieskorn va donar una cons-truccio de les 28 estructures exotiques de S7,com la interseccio d’una hipersuperfıcie de C5

amb una esfera petita centrada en l’origen:

{z ∈ C5 | z21 + z2

2 + z23 + z3

4 + z6k−15 = 0}∪

∪ {z ∈ C5 | |z| = ε},

per a ε > 0 prou petit. De fet per a k =1, 2, . . . , 28 obtenim les 28 estructures diferenci-ables possibles de S7.

Segons B. Teissier, �Milnor certament vadonar a la teoria analıtica de singularitats moltmes del que en rebe; a canvi d’una descripcioconcreta d’esferes exotiques, John Milnor va ofe-rir als geometres de singularitats les eines per a

34

entendre el comportament geometric d’una fun-cio analıtica (de diverses variables complexes)en un entorn d’un punt crıtic�.

Els treballs de Milnor van portar al desen-volupament de l’estudi local topologic de lessingularitats en geometria analıtica mitjancantmetodes de geometria diferencial, per oposicio al’estudi global mitjancant geometria algebraicao cohomologia que havia dominat fins alesho-res. Les nocions de fibra de Milnor i nombre deMilnor son actualment unes de les nocions mesimportants en l’estudi de singularitats comple-xes.

Sitemes dinamics

En els darrers anys, Milnor ha tingut un rolprominent en el desenvolupament dels sistemesdinamics de baixa dimensio, tant de variablereal com complexa. El seu treball capdavanteramb Thurston establı els fonaments combinato-ris per a la dinamica de l’interval, mitjancantla kneading theory. Em referixo a un article deMilnor i Thurston que fou publicat el 1988, peroque ja circulava des del 1977, en que desenvolu-pen una teoria que ha estat en el focus d’unaintensa recerca durant decades. La conjecturade Milnor i Thurston sobre la monotonicitat del’entropia ha unit la dinamica real i l’holomorfad’una manera profunda, portant a avencos subs-tancials. A mes, el seu llibre Dynamics in OneComplex Variable, de 1999, rapidament esdevin-gue la porta d’entrada mes popular en aquestcamp.

Geometria diferencial

El primer article de Milnor, publicat quan teniadinou anys, es de geometria diferencial i par-la de la curvatura total d’una corba a l’espai.Segons la llegenda, Milnor prova el teorema acci-dentalment, perque es va pensar que en comptesd’una conjectura era un problema que formavapart �dels deures assignats�. Cal dir que unademostracio independent havia estat donada perI. Fary poc temps abans.

Considerem una corba llisa parametritzadaa l’espai C : [0, L] → R3. Suposarem que la cor-ba es tancada, amb C(0) = C(L), i que totes lesderivades coincideixen C(n)(0) = C(n)(L). Aixıtambe la podem pensar com una aplicacio llisadel cercle S1 → R3. Tambe suposarem que esmou a velocitat 1, es a dir que el seu vector

tangent es unitari: |C ′(t)| = 1. La curvatura esdefineix com la norma de la segona derivada:

κ(t) = |C ′′(t)|.

Definim la curvatura total com:

κ(C) =∫ L

0κ(t)dt =

∫ L

0|C ′′(t)|dt .

El teorema de Fary-Milnor diu que si la corbafa un nus, aleshores

κ(C) > 4π.

Que la corba faci un nus vol dir que no es potdeformar per una famılia contınua d’aplicacionsinjectives S1 → R3 en el cercle pla. Observemque pel cercle pla, la curvatura total es 2π.

Un altre resultat remarcable de Milnor con-sisteix a trobar una obstruccio perque un fibraten plans sobre una superfıcie tingui una conne-xio plana. L’obstruccio te a veure evidentmentamb classes caracterıstiques: si el fibrat te unaconnexio plana, aleshores el modul de la classed’Euler ha de ser (estrictament) menor que elgenere de la superfıcie. Aquest treball va serrepres per John Wood pels fibrats en cercles, iactualment aquest tipus de desigualtats rebenel nom de desigualtats de Milnor-Wood.

Tambe cal destacar una nota de menys d’unapagina als Proceedings of the National Academyof Sciences of the United States of America,on dona dos exemples de varietats de Riemannamb el mateix espectre del Laplacia que noson isometriques, a partir d’un exemple de dossubgrups discrets de R16 de Witt. Aixo estarelacionat amb els coneixements que te Milnordels treballs de Witt, sobretot per les formesquadratiques, que han aparegut en els treballsd’algebra. Posteriorment s’han obtingut moltsresultats de varietats isospectrals.

Milnor tambe te surveys excel.lents de geo-metria diferencial, com per exemple un sobremetriques invariants en grups de Lie, un altresobre els �150 primers anys de la geometriahiperbolica� i el llibre de teoria de Morse.

Conclusions

Encara que no ho sembli, m’he deixat molts tre-balls de Milnor per citar. Cobrir-ho tot es moltdifıcil. La conclusio que en trec es que Milnor hatingut una visio unificada de les matematiques,ha fet contribucions molt rellevants en temesdiferents i ha establert molts ponts entre camps

35

allunyats, com ara l’aplicacio d’algunes ideesde geometia riemanniana a la teoria de grups,la interaccio entre topologia diferencial i alge-braica, o entre topologia i algebra. Finalment,

vull mencionar que la majoria de treballs deMilnor han resistit molt be el pas del temps, ique actualment encara es pot gaudir i aprendrellegint-los.

Joan PortiUAB

Societat Catalana de Matematiques

Convocatories de 2012

La Societat Catalana de Matematiques ha convocat enguany una ediciomes, dins el cartell de premis de l’IEC, del premi

Premi Evariste Galois

Instituıt l’any 1962 i convocat per quaranta-novena vegada, s’ofereix aun treball d’investigacio, bibliografic o d’assaig sobre matematiques. Estadotat amb mil euros (1.000e).Termini per a la presentacio de candidatures: 2 de desembre de 2011 ales 13 h.

Mes informacio: http://scm.iec.cat

Guardonats en la convocatoria de 2011

• El Premi Evariste Galois ha estat atorgat a Joa-quim Serra i Montolı pel treball �Dos problemesde simetria en equacions de reaccio-difusio�.

Aquest premi fou lliurat el passat 28 d’a-bril en l’acte de lliurament de premis i borsesd’estudis de l’Institut d’Estudis Catalans.

Ressenyes d’obres guardonades

• Joaquim Serra i Montolı, �Dos problemes de simetria en equacions de reaccio-difusio�. Premi Evariste Galois 2011

Les equacions de reaccio-difusio estacionaries,tambe anomenades equacions el.lıptiques semili-neals, apareixen en moltes arees de les matema-tiques i la fısica, com per exemple en fenomensfısics de transicio de fase en ciencies dels ma-terials, en dinamica de poblacions o en l’estudide les superfıcies minimals en geometria dife-rencial. En aquesta lınia de recerca hi ha hagutmolta activitat en la comprensio de difusionsfraccionaries que modelen processos estocasticsde Levy estables, en lloc de moviments browni-

ans. Aquest camp de recerca ha atret molts ma-tematics reconeguts com Caffarelli, Nirenberg,Berestycki o Brezis, entre altres, i continua moltactiu en l’ambit internacional. Una de les propi-etats mes rellevants de les solucions d’aquestesequacions es que tenen una certa simetria. Parti-cularment, la coneguda com a conjectura de DeGiorgi sobre simetria 1−D de les solucions d’unmodel de transicio de fases va ser estudiada peraquesta comunitat durant molt de temps.

36

El treball de Joaquim Serra, titulat �Dosproblemes de simetria en equacions de reaccio-difusio�, fet sota la direccio de Xavier Cabre iguardonat en la 48a edicio del Premi EvaristeGalois de la SCM, s’emmarca dins d’aquest te-ma candent de recerca en equacions en derivadesparcials.

A la primera part del treball es demostra lasimetria radial de les solucions positives d’equa-cions semilineals amb nolinearitats discontınues,de la forma −∆u = f(u) en una bola de Rn iamb condicions de Dirichlet a la frontera. Esmillora un metode concebut i usat per P. L. Li-ons (1981) per a demostrar simetria radial endimensio 2. El metode introduıt en el treballtambe permet obtenir resultats en dimensionsmes altes. S’estableix un nou resultat de sime-tria radial en qualsevol dimensio major o iguala 3 sota una hipotesi d’afitacio de l’oscil.lacio dela no-linearitat. Resultats semblants es podendemostrar tambe per al cas del p-laplacia.

El segon resultat del treball esta relacionatamb una conjectura de De Giorgi (1978) per l’e-quacio d’Allen-Cahn, −∆u = u−u3, que modelaproblemes de transicions de fase. Aquesta con-jectura afirma que, en dimensio menor o igual a8, tota solucio monotona de l’equacio d’Allen-Cahn a tot l’espai te simetria 1 − D, es a dir,tots els seus conjunts de nivell son hiperplans.La motivacio de la conjectura rau en l’estretarelacio existent entre aquest problema i la teo-ria de superfıcies mınimes. Com a consequenciad’un resultat important de classificacio de Si-mons (1968), en dimensio menor o igual a 7, lesuniques hipersuperfıcies de l’espai que son grafsd’una funcio entera son els hiperplans. En canvi,en dimensions superiors existeixen grafs entersque minimitzen localment el funcional d’area.Aixo dona la dimensio crıtica per a la conjecturade De Giorgi.

En la segona part del treball s’estudial’analeg de la conjectura de De Giorgi, en di-mensions baixes, per a una equacio de tipusAllen-Chan en que l’operador de difusio es unasuma de laplacians fraccionaris. En els ultimsanys s’han fet progressos importants en la teoriad’aquests operadors fraccionaris. Caffarelli i Sil-vestre (2006) van establir una nova formulaciodels laplacians fraccionaris que permet treballaramb un problema local d’equacions en derivadesparcials en una dimensio mes. D’altra banda,Silvestre (2007) va establir resultats de regulari-tat per a solucions de la versio fraccionaria delproblema de l’obstacle, i Caffarelli, Roquejoffrei Savin (2010) van desenvolupar una teoria deregularitat per a superfıcies mınimes no locals,les quals s’interpreten com una versio no infini-tesimal de les superfıcies mınimes classiques.

Molt recentment, la simetria 1 − D de lessolucions de l’equacio (−∆)su = u−u3 ha estatprovada en dimensio 2 i 3 sota alguna restric-cio de regularitat en Cabre-Sola-Morales (2005),Cabre-Sire (preprint) i Cabre-Cinti (preprint).En el treball es generalitzen aquests resultats perincloure tambe la suma de diferents potencies dellaplacia o, mes en general, l’operador que s’obtecom una integral de fraccions del laplacia res-pecte d’una mesura de Radon —que associa unadistribucio de massa positiva, possiblement nodiscreta, a les diferents fraccions. Paral.lelament,se simplifiquen alguns dels arguments usats pelproblema amb una unica fraccio del laplacia i,per tant, s’obtenen noves demostracions d’al-guns resultats anteriors. En particular, el fet deconsiderar el funcional d’energia no local asso-ciat al problema original, en lloc de passar aconsiderar un funcional local pel problema as-sociat en una dimensio mes, introdueix algunsavantatges i simplificacions que s’han volguttenir en compte.

Jose A. CarrilloICREA-UAB

37

Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer

Convocatories de 2012

Premi Ferran Sunyer i Balaguer de Matematiques

• Ofert a una monografia escrita en angles que exposi els resultats mes destacatsd’una area de les matematiques en la qual s’hagin produıt avencos recentment.L’obra ha de tenir un mınim de cent cinquanta fulls, no pot estar subjectaa copyright i no ha d’haver estat sotmesa a cap empresa editorial per a serpublicada.

• La dotacio del premi es de 15.000e, i l’obra guanyadora sera publicada en lacol.leccio �Progress in Mathematics�, de l’editorial Birkhauser Verlag.

Termini per a la presentacio de candidatures: 2 de desembre de 2011 a les 13 h.

Premi Matematiques i Societat

• Ofert a autors de reportatges o activitats en qualsevol llengua, de caractergeneralista, sobre qualsevol aspecte de les matematiques (ensenyament, recer-ca, divulgacio, presencia en la societat), produıts als Paısos Catalans en elsdotze mesos anteriors a la data de resolucio.

Termini d’admissio de candidatures: 29 de febrer de 2012.

Borses Ferran Sunyer i Balaguer

• Ofertes als millors projectes d’estudi o de recerca matematica relacionatsamb la tesi doctoral. Els sol.licitants han de ser estudiants de doctorat dematematiques d’una universitat dels Paısos Catalans, en el tram final de latesi doctoral.

• L’objectiu d’aquestes borses es reforcar la formacio en recerca dels estudiantspremiats mitjancant l’estada d’entre un i tres mesos d’estudi o de recerca enuna institucio fora de l’ambit geografic de la universitat d’origen.

Les sol.licituds s’han de trametre abans del dia 28 de febrer de 2012 a les 14hores. La resolucio de la convocatoria es fara durant la segona quinzena de marcde 2012.

Mes informacio: http://ffsb.iec.cat

Guardonats en la convocatoria de 2011

• El Premi Ferran Sunyer i Balaguer de Matemati-ques ha estat atorgat a Jayce R. Getz, de la Uni-versitat McGill, de Montreal, i Mark Goresky, del’Institut d’Estudis Avancats, de Princeton, perla monografia titulada Hilbert modular formswith coefficients in intersection homology andquadratic base change.

• El Premi Matematiques i Societat ha estat ator-

gat al capıtol �La revolucio de l’astronomia� delprograma �En guardia�, dirigit per Enric Cal-pena i emes per Catalunya Radio.

• Les Borses Ferran Sunyer i Balaguer han es-tat atorgades a Francesc Fite Naya, per a dura terme una estada de recerca de tres mesosal Robinson College, Universitat de Cambridge(Regne Unit), sota la tutela de Tim Dokchit-

38

ser; M. Elena Rodrıguez Jorge, per a dur aterme una estada de recerca de dos mesos al’Institut de Matematiques de la Universitat deVarsovia (Polonia), sota la tutela de Jan Ok-ninski; M. Pilar Silvestre Albero, per a dur aterme una estada de recerca de dos mesos a laUniversitat de Karlstad (Suecia), sota la tutelade Viktor Kolyada, i a Daniel Ramos Guallar,

per a dur a terme una estada de recerca detres mesos a l’Institut Fourier, Universitat Jo-seph Fourier (Franca), sota la tutela de GerardBesson.

Els premis i borses de la Fundacio foren lliu-rats el passat 28 d’abril en l’acte de lliuramentde premis i borses d’estudis de l’IEC.

Ressenyes d’obres guardonades

Hilbert modular forms with coefficients in intersection homology and quadraticbase change, Jayce R. Getz i Mark Goresky. Premi FSB de Matematiques 2011

El resultat principal d’aquesta monografia esuna generalitzacio d’un dels resultats mes relle-vants en el camp de les varietats i formes modu-lars de Hilbert: el teorema de Hirzebruch-Zagier.Les formes modulars de Hilbert son generalitza-cions de les formes modulars classiques, i handespertat un gran interes al llarg de les darreresdecades en la comunitat de teoria de nombres.Per exemple, ocupen un paper destacat en el pro-grama de Langlands, un ambicios entramat deconjectures entre les quals hi trobem, com a casparticular, la conjectura de Shimura-Taniyama,demostrada per Wiles el 1995 en el darrer pasde la prova del darrer teorema de Fermat. Aixono obstant, l’interes de les varietas modulars deHilbert no es exclusivament aritmetic; de fet,son objectes d’una estructura realment rica, i enel seu estudi hi conflueixen arees com l’analisi,la topologia algebraica, la geometria algebraicao la teoria de representacions.

Comencant pel cas classic, recordem que to-

ta matriu γ =(

a bc d

)∈ SL2(Z) actua en

el semipla superior de Poincare H = {z ∈ C |Im(z) > 0} per transformacions lineals fraccio-naries: z 7→ γz = az+b

cz+d . El quocient SL2(Z)\H,un cop compactificat adientment, es una su-perfıcie de Riemann que anomenem la corbamodular principal.

De fet, es habitual considerar aquesta cons-truccio per a certs subgrups de SL2(Z). Per acada enter positiu N , Γ0(N) denota el conjutde matrius de SL2(Z) tals que la seva reduc-cio modul N es triangular superior. AleshoresΓ0(N)\H tambe es pot compactificar i dotard’estructura de superfıcie de Riemann. Es elque s’anomena la corba modular de nivell N ,denotada habitualment per X0(N). Una forma

modular de nivell N es una funcio holomorfaf : H → C tal que ωf = 2πif(z)dz s’esten auna forma diferencial de X0(N). Una propietatmolt important de les formes modulars es queson periodiques i es poden desenvolupar en seriede Fourier. Es a dir, admeten una expressio deltipus f(z) =

∑∞n=0 anqn(z), on an ∈ C son els

coeficients de Fourier i qn(z) = e2πinz.Les varietats i formes modulars de Hilbert

son generalitzacions de les construccions anteri-ors. Sigui F un cos de nombres totalment real degrau n amb anell d’enters OF i nombre de clas-ses estricte 1. Utilitzant que hi ha n immersionsde cossos de F en R es pot fer actuar SL2(OF )

en Hn: cada γ =(

a bc d

)∈ SL2(OF ) actua

en la component i-esima com z 7→ aiz+biciz+di

, onai, bi, ci, di denoten les imatges de a, b, c, d pera la i-esima immersio de F en R. El quocientSL2(OF )\Hn es pot compactificar i desingula-ritzar, i te estructura de varietat algebraica dedimensio n: es la varietat modular de HilbertX0(OF ). En particular, si n = 1 es recupera lacorba modular principal, mentre que si n = 2s’obtenen les superfıcies modulars de Hilbert.

Les funcions holomorfes f : Hn → C talsque ωf = (2πi)nf(z1, . . . , zn)dz1 · · · dzn donenpeu a una forma diferencial regular en X0(OF )s’anomenen formes modulars de Hilbert sobreF . Tambe admeten desenvolupament en seriede Fourier, pero aquest cop els coeficients es-tan indexats pels elements totalment positiusde OF :

f(z1, . . . , zn) =∑

n

anqn(z1, . . . , zn),

on an ∈ C son els coeficients de Fourier iqn(z1, . . . , zn) es un producte d’exponencials.

39

El teorema de Hirzebruch-Zagier proporcio-na un metode per a produir formes modularsclassiques, a traves d’una construccio geometricaen superfıcies modulars de Hilbert sobre cossosquadratics reals. Mes concretament, per p un pri-mer congruent amb 1 modul 4, Hirzebruch i Za-gier van definir una famılia de subvarietats 1-di-mensionals {Zn}n∈Z≥0

de X0(OQ(√

p)). Aquestessubvarietats tenen dimensio real 2, i defineixenelements en el segon grup d’homologia singu-lar H2(X0(OQ(

√p))) de la superfıcie X0(OQ(

√p)).

En particular, per a tot β ∈ H2(X0(OQ(√

p))) elproducte d’interseccio 〈β, [Zn]〉 es un nombreenter.

El teorema de Hirzebruch-Zagier afirmaque, per a tot β ∈ H2(X0(OQ(

√p))) la funcio∑

n≥0〈β, [Zn]〉e2πinz es una forma modularclassica de nivell p. Dit d’una altra manera,els enters {〈β, [Zn]〉}n∈Z≥0

son els coeficients deFourier d’una forma modular classica de nivellp (de fet, i per ser mes precisos, es una formamodular amb caracter de conductor p).

Tal com els mateixos autors expliquen a laintroduccio de l’article, aquest resultat fou moti-vat per una observacio de Serre i ha estat objectede diverses generalitzacions i reinterpretacions.Per exemple, fou redemostrat pel guanyador dela Medalla Fields Richard Borcherds. Tambe sen’han donat versions aritmetiques en treballsde matematics com Stephen Kudla i MichaelRapoport o Jan Bruinier, Jose Ignacio Burgos iUlf Kuhn.

En el treball de Jayce Getz i Mark Goresky,se’ns presenta una generalitzacio del teoremade Hirzebruch-Zagier en una direccio diferent.Els autors parteixen d’una extensio quadraticaL/E, on L es un cos totalment real de grau2n sobre el cos Q dels nombres racionals, i in-trodueixen certs cicles en la varietat modular

2n-dimensional X0(OL). El resultat fonamentaldel seu treball es la construccio d’una teoriad’interseccio adequada que els permet mostrarque els nombres d’interseccio d’aquests cicles po-den interpretar-se com els coeficients de Fourierd’una forma modular de Hilbert sobre E.

Un dels punts clau d’aquesta construccio esque en lloc de treballar amb l’homologia sin-gular de la varietat ambient, els autors utilit-zen l’homologia d’interseccio. Aquesta teoriahomologica va ser desenvolupada als anys se-tanta pel matematic Robert MacPherson i elmateix Mark Goresky i va ser dissenyada per apoder treballar amb espais singulars.

Mes concretament, Getz i Goresky defi-neixen un subespai IHE

n (X0(OL)) del grupd’homologia d’interseccio IHn(X0(OL)) gene-rat per classes propies per les correspondenciesde Hecke. Tambe construeixen una famılia decorrespondencies de Hecke {Tn} indexada perelements n ∈ E× totalment positius. Una ver-sio simplificada del resultat de Getz i Goreskydiu que, per a qualsevol γ ∈ IHE

n (X0(OL))i per a qualsevol β ∈ IHn(X0(OL)), la serie∑

n〈β, Tn(γ)〉qn es una forma modular, on qn esun producte explıcit adequat de funcions expo-nencials.

La monografia esta redactada de maneraraonablement autocontinguda. En els primerscapıtols s’exposen, de manera concisa peroprou completa, temes com ara les construcci-ons classiques de Hirzebruch-Zagier, les teoriesd’homologia i cohomologia singular i d’inter-seccio, la integracio de formes diferencials, lesvarietats i formes modulars de Hilbert o les cor-respondencies de Hecke. Aquestes son algunesde les eines emprades en la construccio i demos-tracio dels resultats originals de Getz i Goresky,que apareixen en els darrers capıtols.

Xavier Guitart i Vıctor RotgerUPC

�La revolucio de l’astronomia�. Premi Matematiques i Societat 2011

El Premi Matematiques i Societat de la Fun-dacio Ferran Sunyer i Balaguer corresponent al’any 2011 fou concedit al capıtol �La revoluciode l’astronomia� del programa �En guardia� deCatalunya Radio, emes el dia 4 de juliol de 2010.Els programes d’aquesta serie consisteixen en

una tertulia d’una durada aproximada d’una ho-ra, amb la participacio d’Enric Calpena, director,de Josep Maria Sole i Sabater, assessor sobreaspectes historics, i d’un convidat especialistaen el tema concret que aquell dia es objecte delprograma. En el cas que ens ocupa, el convidat

40

vaig ser jo mateix. Uns dies abans el guionistaes va posar en contacte amb mi per explicar-mede que es tractava. Em va dir que volien dedicarel programa a Copernic i a la revolucio que vasuposar el fet de considerar que la Terra giravaentorn del Sol. Jo li vaig dir que per a explicarbe aquest canvi s’havia de parlar del que hi ha-via abans, es a dir, de la concepcio de l’universdels grecs i les teories de Ptolomeu, i tambe delscientıfics que van desenvolupar la idea coperni-cana: Galileu, Kepler i Newton. Tambe em vadir que no es tractava que fes una exposicio comuna conferencia, sino que m’havia de limitar arespondre les preguntes que em faria el director

del programa. Nomes amb aquest breu intercan-vi previ d’idees, vaig anar a l’emissora a gravarel programa el dia convingut. Despres de l’en-registrament, vaig sortir d’alla amb la sensacioque la tertulia havia sortit molt be, amb mol-ta �naturalitat�, i que l’Enric Calpena s’haviapreparat molt be el tema, perque havia sabutconduir l’entrevista sense sortir-se del guio encap moment i tallar-me sense que es notes quanjo m’enrotllava massa. Resumint: crec que vaquedar un programa interessant, adrecat al granpublic, que podeu escoltar ıntegrament quan hodesitgeu a traves del web de Catalunya Radio.

Joan GirbauUAB

Francesc Fite Naya, �Paritat del rang de superfıcies abelianes isotıpiques�.Borsa Ferran Sunyer i Balaguer 2011

El dia 13 d’abril de 2011 vaigfer la defensa de la meva tesi,titulada L-functions and Artinrepresentations attached to twis-ted abelian varieties i dirigida pelprofessor Joan-Carles Lario de laUniversitat Politecnica de Cata-lunya. El dia 26 del mateix mesmarxava cap a la Universitat de

Cambridge per fer-hi una estada de recerca detres mesos gracies a una borsa de viatge de laFundacio Ferran Sunyer i Balaguer.

La meva tesi doctoral s’emmarca en el campde la teoria de nombres i de la geometriaaritmetica. Aquesta part de les matematiquess’ocupa de l’estudi dels punts de varietats al-gebraiques definits sobre cossos aritmeticamentinteressants (per exemple Q o el cos finit Fp dep elements). Es especialment interessant el casd’una corba el.lıptica E (suposem definida so-bre Q), ja que el seu conjunt de punts racionalsE(Q) adquireix de manera natural una estruc-tura de grup abelia. El teorema de Mordell-Weilassegura que aquest grup es finitament gene-rat. No obstant aixo, l’estudi del seu rang es unproblema obert. De fet, la conjectura de Birchi Swinnerton-Dyer preten comprendre aquestrang en termes del nombre de punts |E(Fp)| dela corba el.lıptica E definits sobre Fp, per a cadaprimer p.

Escrivim L(E, s) per la funcio L de E, quees una funcio analıtica, construıda a partir delnombre de punts |E(Fp)| per a cada primer p.Mes concretament, la conjectura de Birch iSwinnerton-Dyer afirma que el rang de E(Q)coincideix amb l’ordre del zero de L(E, s) en 1.Aquesta conjectura ha esdevingut un dels pro-blemes oberts mes importants de la teoria denombres i, de fet, figura com un dels set pro-blemes del mil.lenni. Tanmateix, esta demostratmodul 2. En altres paraules, per una corba el-lıptica definida sobre un cos de nombres k, elstreballs de Tim i Vladimir Dokchitser demostrenque la paritat del rang de E(k) coincideix amb laparitat de l’ordre del zero de L(E, s) en 1, si unassumeix la finitud del grup de Tate-Shafarevic.

A la meva tesi vaig estudiar relacions entreles funcions L de varietats abelianes torcades.Les varietats abelianes son generalitzacions na-turals de les corbes el.lıptiques en dimensio su-perior i diem que dues varietats abelianes Ai A′ definides sobre un cos de nombres k sontorcades si esdevenen isogenes sobre una certaextensio finita de k. El tipus de relacions ques’obtenen entre les funcions L(A, s) i L(A′, s)son exactament analogues a les que hom empraper a relacionar la paritat dels rangs de corbesel.lıptiques torcades. Durant l’estada a la Univer-sitat de Cambridge, sota la tutela del professorTim Dokchitser, el principal objectiu es utilitzar

41

les relacions obtingudes a la tesi per a relacionarla paritat dels rangs de A(Q) i A′(Q).

No vull deixar de mostrar el mes sinceragraıment a la Fundacio Ferran Sunyer i Ba-laguer per haver-me ofert la possibilitat de tre-

ballar al costat del professor Dokchitser, aixıcom per haver-me permes de realitzar una esta-da de tres mesos en un lloc tan emblematic pera la ciencia i el coneixement en general com esCambridge i la seva Universitat.

Daniel Ramos Guallar, �κ-solucions del flux de Ricci en varietats amb singularitatsconiques�. Borsa Ferran Sunyer i Balaguer 2011

L’eleccio del tema de tesi d’unmateix no sempre es facil ni im-mediata. En el meu cas, vaigacabar la carrera el 2006 i vaigentrar en el master amb un pro-jecte que, com succeeix a moltsestudiants de tesi, no es el ma-teix tema en el qual he acabattreballant.

La meva tesi, que espero acabar en un ter-mini no massa llarg, tracta del flux de Ricci i devarietats coniques. Vaig descobrir el flux de Ric-ci el 2007 en unes conferencies a Granada, quanes va posar de moda. La historia es prou conegu-da: la conjectura de Poincare era un problematopologic famos sobre varietats de dimensio 3que datava de 1904 i que es resistia a ser de-mostrat amb les eines topologiques disponibles.La conjectura de geometritzacio de Thurston hoconvertia en un problema de geometria diferen-cial, i el 1982 R. Hamilton va idear una eina, elflux de Ricci, que consisteix a deixar evolucionarla forma d’una varietat riemanniana (el tensormetric) segons una equacio de difusio analoga al’equacio de difusio de la calor en una varietat.L’equacio es ∂

∂tgij = −2Ricij , on g es el tensormetric i Ric es el tensor de Ricci, que codifica lacurvatura i, per tant, depen de les segones deri-vades de g. Estudiar aquesta EDP no es senzill,i molts analistes, com el mateix Hamilton, esvaren dedicar a extreure propietats i interpre-tacions geometriques. Pero va ser un geometreriemannia, G. Perelman, qui el 2003 va aprofitarexitosament l’eina del flux de Ricci per a resol-dre la conjectura de geometritzacio. La clau dePerelman, entre d’altres, va ser utilitzar einesgeometriques que difıcilment sorgirien des d’unpunt de vista de l’analisi (com ara geometria decomparacio, successions de varietats, etc.) pera definir funcionals i quantitats que mesuren

propietats geometriques molt subtils, l’evoluciode les quals determina el comportament quali-tatiu de la varietat que evoluciona. La historiaes tambe coneguda per la seva part de roman-ticisme novel.lesc, ates que era un matematicque treballava en solitari, va resoldre un proble-ma que portava un segle obert, va publicar aInternet de manera poc convencional, va refusartot premi en reconeixement de la seva tasca idespres va desapareixer de la vida publica.

Fos com fos, les tecniques i les idees del fluxde Ricci em van captivar i vaig comencar, ambel meu director, a estudiar la complexa demos-tracio de Perelman. El comportament del fluxde Ricci en superfıcies compactes va ser estu-diat i establert pel mateix Hamilton. Tanma-teix, les ulteriors tecniques de no-enfonsament(κ-noncollapsing) i l’estudi de les singularitatsintroduıdes per Perelman per al cas de dimensio3 poden ser utilitzades per a simplificar signifi-cativament la demostracio original de Hamiltonen superfıcies, com he vist en el meu treball.

I quan penses que t’estas dedicant a un altretema, recordes els cursos de doctorat que teni-es oblidats. Un dels cursos que vaig fer el meuprimer any va ser de 3-varietats i orbifolds. Elsorbifolds son espais modelats localment com elquocient d’una varietat per l’accio d’un grup; enparticular, un grup cıclic d’ordre n produeix enuna superfıcie un quocient que te forma de conamb angle 2π

n . Una varietat conica es analogapero amb angles no necessariament submultiplesde 2π. Aixı, quan tenıem els conceptes de fluxde Ricci assimilats vam pensar que podrıemadaptar les tecniques a orbifolds i a varietatsconiques. Les tecniques de Perelman poseeixencerta robustesa que m’ha permes la generalit-zacio de la demostracio del flux en superfıciesa superfıcies no llises sino amb singularitats detipus conic.

42

L’estudi del flux en superfıcies coniquesesta relacionat amb el problema del flux ensuperfıcies llises no compactes. En aquest sen-tit, hi ha treballs sobre existencia i unicitat deflux en n-varietats completes no compactes assu-mint certes fites per a la curvatura. Fent serviraquests resultats, L. Bessieres, G. Besson i S.Maillot van ser capacos de dur a terme una pro-va analoga a la geometritzacio de Perelman peral cas de 3-varietats completes no compactes,amb certes hipotesis addicionals de geometriacontrolada (curvatura seccional afitada i radid’injectivitat minorat) i de curvatura escalaruniformement minorada (R ≥ c > 0). El resul-tat es una descomposicio de la varietat en sumaconnexa de S2×S1 i varietats esferiques. Aquestresultat va encaminat a una uniformitzacio deles 3-varietats no compactes.

Recentment m’ha estat concedida una borsa

de la Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer ambl’objectiu de fer una estada de tres mesos al’Institut Fourier de Grenoble, Franca, sota lasupervisio de Gerard Besson. Alla espero analit-zar el treball de Besson i els seus col.laboradorsi estudiar els casos que no satisfan les hipotesisaddicionals que ells requereixen, adaptant lestecniques que ja he utilitzat en el cas compacte.

El flux de Ricci, i en general els fluxos ge-ometrics, s’han convertit en un camp de recercapropi amb molts investigadors que hi treballen.Aixo d’una banda fa que hi hagi multitud deseminaris, resultats a l’abast, i lınies obertes pera investigar; pero d’altra banda fa que la recercasigui competitiva i que les idees d’un ja les hagitingut un altre. En qualsevol cas, la diversitatde tecniques i la quantitat de branques que es-peren introduir aquests resultats fan que siguiun camp interessant per a posar-s’hi.

M. Elena Rodrıguez-Jorge, �Semigrupos que satisfacen ciertas identidades�.Borsa Ferran Sunyer i Balaguer 2011

Soc llicenciada en matemati-ques per la Universitat de La La-guna (Tenerife, Illes Canaries),on vaig estudiar la llicenciaturaentre setembre de 2002 i juny de2006. El setembre de 2006 emvaig traslladar a Barcelona percursar el master oficial de Mate-matica Avancada de la Univer-

sitat Autonoma de Barcelona, i fer el doctorata continuacio. El juliol de 2007 vaig presentar eltreball de fi de master, titulat �Anells zip�, sotala direccio del professor Ferran Cedo, en el quales recopilen molts dels resultats coneguts, nonomes sobre anells zip, sino tambe sobre anellsrelacionats, com ara els anells amb la condi-cio de Beachy-Blair o els anells amb condicionsde cadena sobre els anul.ladors, entre d’altres.Aixı, el setembre de 2007 vaig comencar elsestudis de doctorat propiament dits sota la di-reccio del professor Cedo, dins el grup de teoriad’anells de la Universitat Autonoma de Bar-celona. Despres d’una mica mes de tres anysdedicats ıntegrament a la investigacio i amb latesi practicament acabada, vam decidir que erael moment adequat per a fer una estada de re-

cerca a l’estranger, on podria treballar en altreslınies de recerca i col.laborar amb matematicsde renom.

Durant els mesos d’abril i maig de 2011 vaigfer una estada d’investigacio a l’Institut de Mate-matiques de Varsovia (Polonia), sota la supervi-sio del professor Jan Okninski, expert reconeguten algebra, especialment en les arees d’anellsno commutatius, teoria de semigrups i teoria dematrius. L’objectiu principal de l’estada sempreva ser aprendre el maxim possible sobre algunesde les lınies de recerca en les quals es treballaactualment en aquest Institut.

El projecte de recerca triat per a desenvolu-par durant l’estada va ser l’estudi de semigrupsde matrius que satisfan certes identitats. Mesconcretament, l’objectiu de la investigacio foucaracteritzar els semigrups de matrius que satis-fan una identitat de la forma

Zm(x1, . . . , xm) = W (x1, . . . , xm)

per a algun m ≥ 2, on W (x1, . . . , xm) es una pa-raula en les lletres x1, . . . , xm i Zm(x1, . . . , xm)denota la paraula Zimin de grau m. Les paraulesZimin es defineixen recursivament de la manera

43

seguent:

Z1(x1) = x1,

Zm+1(x1, . . . , xm+1) == Zm(x1, . . . , xm)xm+1Zm(x1, . . . , xm).

Aquest problema te relacio amb el problemade Burnside. El primer que ens vam plantejarva ser el cas particular de semigrups completa-ment zero simples. Sabem que aquests semigrupsson isomorfs a semigrups de Rees de la formaS = M(G, X, Y, P ) on G es un grup, X i I sonconjunts no buits i la matrix sandwich P es unamatriu de mida |I| × |X| amb entrades a G ique no te cap fila ni columna nul.la. En aquestcas, el problema es redueix a caracteritzar elsgrups G que satisfan aquesta identitat i trobarpropietats sobre les matrius sandvitx P perqueels semigrups S satisfacin la identitat, suposantque el grup G la satisfa. En aquests mesos, hemaconseguit petits avencos sobre aixo.

Des del punt de vista de les matrius sandvitx,sabem que si G satisfa una identitat equilibradaZm(x1, . . . , xm) = W (x1, . . . , xm), es a dir, elsgraus de cadascuna de les variables xi a Zm

i W coincideixen, llavors, si W es de la for-ma (∗), es a dir, W ≡ x1xj1x1 . . . x1xj2m−1+1

x1

(denotem u ≡ v quan les paraules u i v sonidentiques lletra a lletra) amb jk ∈ {2, . . . ,m}per a tot 1 ≤ k ≤ 2m−1 +1, tenim que qualsevolmatriu sandvitx P (que no tingui cap fila nicolumna nul.les) es valida. No obstant aixo, sila paraula W no es de la forma (∗), llavors Pno pot tenir cap entrada nul.la i, a mes, per atot (x, y) ∈ X × I, es compleix que pn

ix = 1,on n ≤ 2m−1 − 1, es a dir, les entrades de Ppertanyen a un subgrup periodic de G d’ordrefitat. D’altra banda, en l’estudi de les identi-tats balancejades de paraules Zimin en grups,el resultat mes important es deu a Sapir, que vademostrar que si un grup G satisfa una identi-tat balancejada de la forma Zm = W , llavors G

es, almenys, (m− 1)-nilpotent. En les ultimessetmanes d’estada, vam poder demostrar queel recıproc no es cert. Si be, per a m = 2, ungrup G satisfa una identitat balancejada de laforma Z3 = W si i nomes si G es 2-nilpotent,es demostra que per a m = 4, el grup lliure 3-nilpotent no satisfa cap identitat no trivial de laforma Z4 = W . Despres d’estudiar moltes de lespossibles paraules W per a m = 4, tot semblaindicar que poc mes es pot dir, en general, delsgrups que satisfan una identitat balancejada dela forma Z4 = W .

A partir d’aquı, el seguent pas es plantejarel problema en semigrups de matrius arbitraries.Actualment seguim treballant en la caracterit-zacio dels semigrups que satisfan una identitatde la forma Zm = W per a algun m ≥ 2 i enaltres preguntes transversals que se’ns han anatacudint al llarg de l’estada. Gracies a aquest pro-jecte he pogut familiaritzar-me amb molts con-ceptes de teoria de grups, especialment aquellsrelacionats amb grups nilpotents i periodics, jaque tenen un paper important en el nostre pro-blema. Tambe m’he familiaritzat amb conceptesde teoria de semigrups, com la descomposiciod’aquests en components uniformes, el calculi propietats de les clausures completament ze-ro simples (en la topologia de Zariski), etc. Totaixo no es mes que una petita part del que he ex-perimentat i apres en aquests mesos a Varsovia.Durant l’estada vaig tenir tambe l’oportunitatde participar activament en el seminari del grupd’algebra, on vaig exposar part dels resultatsde la meva tesi. Aquest seminari em va resul-tar molt enriquidor de cara a coneixer nousproblemes oberts en els quals poder seguir de-senvolupant la meva activitat investigadora enel futur, despres d’acabar el doctorat.

Per a dur a terme aquest projecte em fouconcedida una beca de mobilitat de la FundacioFerran Sunyer i Balaguer, la qual agraeixo.

44

Maria Pilar Silvestre i Albero, �Desigualtats de Sobolev i isocapacitaries, i la seuaoptimalitat�. Borsa Ferran Sunyer i Balaguer 2011

Abans de comencar vull enviar lameua salutacio mes cordial a totsels lectors i interessats pel monfascinant de les matematiques.Tambe vull agrair a tots els quecontribueixen, encara que siga demanera molt simbolica, a fer pos-sible l’estudi i la recerca en aques-ta disciplina.

Soc Maria Pilar Silvestre i Albero, natural deBanyeres de Mariola, un poble de l’interior nordd’Alacant. Aquest any 2011, la Fundacio FerranSunyer i Balaguer m’ha atorgat una borsa deviatge per a fer estudis doctorals/postdoctoralsa l’estranger. Abans d’explicar quin estudi pre-tenc dur a terme alla, explicare quina ha estatla meua trajectoria professional.

Practicament tota la meua formacio inicialla vaig fer a Alacant amb l’ajuda i motivaciod’alguns dels professors de la llicenciatura, i ambel recolzament dels meus pares i germans. Socllicenciada en matematiques per la Universitatd’Alacant.

Quan vaig acabar la llicenciatura vaig ha-ver de trasladar-me a la Universitat de Mur-cia per cursar el programa de doctorat en Ma-tematiques. Allı vaig obtenir el Diploma d’Estu-dis Avancats en la branca d’Analisi Funcional,amb la maxima qualificacio. Tot i que alla vaigcomencar una tesi doctoral, no la vaig acabarper multiples raons.

Des de fa quasi tres anys soc professora aju-dant del Departament de Matematica Aplicada iAnalisi de la Universitat de Barcelona. Guanyaraquesta posicio m’ha enriquit molt com a perso-na, i com a professional de les matematiques. Ladecisio de trasladar-me a un lloc completamentdesconegut per mi fou molt difıcil, i els primersmesos, podrıem dir que el primer any, fou dur iamb molts moments de soledat, moments forcahabituals en la vida d’un matematic. No obstantaixo, eixa decisio arriscada m’ha aportat moltessatisfaccions i m’ha permes comencar de nou latesi doctoral de la ma de dues grans persones,el catedratic d’Analisi de la UB, el doctor JoanCerda, i el pofessor titular de la UAB, el doc-tor Joaquim Martın. Aprofite aquest escrit perexpresar el meu agraıment mes sincer als dos.

Una de les meues il.lusions sempre ha estat

poder arribar a ser doctora en Matematiques, iespere que en un futur proper puga obtenir eltıtol de doctora en Ciencies Matematiques de laUniversitat de Barcelona. Mai m’hagues pensatque arribaria a fer la tesi doctoral a Catalunyapero, si Deu vol i tot el camı va per la bonasenda, el meu esforc i dedicacio, aixı com el re-colzament i guia dels meus directors, em durana la defensa.

En teoria del potencial, s’enten per capaci-tat una funcio de conjunt creixent amb menyspropietats que les d’una mesura d’un conjunt.Un exemple classic de capacitat el trobem a l’e-lectrostatica. Siga K ⊂ R3 un conductor. Consi-derem una distribucio de carrega en K i deixemque es moga fins arribar a l’equilibri. Siga µ ladistribucio d’equilibri. El potencial newtonia dela mesura µ pren valor constant V en K, i lacapacitat de Wiener de K es

C(K) =µ(K)

V=

={‖∇f‖2

2; 0 ≤ f ≤ 1, f = 1 en K}.

Si pensem que la frontera de K i una esferaque conte a K son les plaques del condensador,aleshores fent tendir a infinit el radi de l’esfera,obtenim un condensador ideal, i la capacitat deWiener ha de ser entesa com la capacitat d’eixecondensador ideal. Un altre exemple forca cone-gut de capacitat es el de la capacitat analıticaque es relaciona amb el problema de les singula-ritats evitables.

La meua tesi doctoral te per objectiu estu-diar les propietats d’espais capacitaris —espaisfuncionals modelats sobre espais de capacitat encomptes d’estar definits sobre espais de mesura—en relacio amb propietats d’immersio de Sobo-lev.

En un primer moment, s’estudiaren les pro-pietats topologiques i analıtiques dels espaiscapacitaris, cosa que va permetre l’estudi de lateoria d’interpolacio sobre espais de capacitat.

En el passat mes proper he estudiat les desi-gualtats isocapacitaries classiques i, amb la guiadels meus directors, hem estes part dels resultatsmes moderns. Concretament a [CMP] presen-tem una desigualtat integral que relaciona lacapacitat del conductor associat amb una funcioLipschitz amb la mida del gradient de la fun-

45

cio, es a dir, amb la quasi-norma del gradientde la funcio. Aquesta estimacio dona una ca-racteritzacio de desigualtats de tipus Sobolevenvoltant dues mesures, condicions necessariesi suficients per a desigualtats de tipus Sobolevisocapacitaries, i millores en la integrabilitat defuncions Lipschitz.

El professor Viktor Kolyada, de la Univer-sitat de Karlstad (Suecia), te resultats forcainteressants de tipus Sobolev i d’estimacionsde la transformada de Fourier en espais de So-bolev (vegeu [K,K1]). En particular, ha estu-diat en [KL] inclusions d’espais de Besov encasos lımits, aixı com teoremes d’inclusio i es-timacions de la transformada de Fourier pera funcions en l’espai fraccional anisotropic deSobolev-Liouville (vegeu [K2]).

Del 15 d’agost al 17 d’octubre marxare, fi-nancada per la Fundacio Ferran Sunyer i Ba-laguer, a la Universitat de Karlstad per apren-dre de l’experiencia del professor Viktor Kolya-da. Pretenc entendre els seus estudis, coneixerels resultats mes actuals i els problemes obertsen aquesta branca de la ma d’un matematicexcel.lent. A mes, com a segon objectiu, m’he

plantejat intentar estendre algunes de les desi-gualtats isocapacitaries que es coneixen per lesp-capacitats de Maz’ya, aixı com estudiar-nel’optimitzacio.

Referencies

[CMP] Cerda, J.; Martın, J.; Silvestre, P.Conductor Sobolev type estimates and isocapaci-tary inequalities, preprint.

[K] Kolyada, V. I. �On an embedding of Sobo-lev spaces�, Mat. Zametki, 54:3 (1993), 48–71.Traduccio anglesa a Math. Notes, 54 (1993).

[K1] Kolyada, V. I. �Estimates of Fouriertransforms in Sobolev spaces�, Studia Math.,125:1 (1997), 67–74.

[K2] Kolyada, V. I. �Embeddings of fractio-nal Sobolev spaces and estimates for Fouriertransformation� (en rus) Mat. Sb., 192:7 (2001),51–72. Traduccio anglesa a Sb. Math, 192:7-8(2001), 979–1.000.

[KL] Kolyada, V. I., Lerner, A. K. �Onlimiting embeddings of Besov spaces�, StudiaMath. 171:1 (2005), 1–13.

Parlem de llibres

Que en sabem, del pensament i de la matematica grega?

Fa un parell d’anys em van demanar que obrısun cercle de conferencies de la Facultat de Fi-losofia dedicades al pensament grec, adrecadesa filosofs, que parlaven de la matematica grega.Em vaig trobar, doncs, l’estiu de 2009, a Ta-mariu, rellegint textos de Plato, d’Aristotil, deProcle, de Pappos, i tambe textos de filosofia imatematica grega.

Curiosament, ara fa dos mesos, a l’Ateneubarcelones es va presentar la traduccio catala-na d’un classic de la filosofia grega antiga —dels �presocratics�, encara que l’autor refusavaaquesta denominacio—; em refereixo a L’aurorade la filosofia grega,1 de John Burnet que, amb

Alfred Edward Taylor, inicia el que es coneixcom l’escola escocesa de filosofia grega.

Es d’algun d’aquests textos que us voldriaparlar en aquest �Parlem de llibres�.

Em vaig trobar, doncs, rellegint The greeks.Crucible of civilizations2 de Paul Cartledge. Esun llibre que la Margarida i jo varem descobrirprecisament quan feiem la ruta del Pelopones,en automobil. Es una d’aquestes petites joies dela divulgacio de la cultura que en podrıem dir�britanica�. Mostra un gran coneixement de lamateria i alhora una enorme capacitat de sıntesii una simplicitat expositiva que amaga, de mane-ra aparent, la profunditat del missatge. A traves

1Col.leccio �Akademia�. Barcelonesa d’Edicions. Barcelona, 2010.2Traduccio castellana Los griegos. Crıtica. Barcelona, 2001.

46

de quinze personatges —i, molt important, vuithomes i set dones— i de la seva personalitat,Cartledge va desvetllant la historia de la Greciaclassica —d’Homer a Alexandre. Els exits, elsfracassos, els errors polıtics, les esperances, avoltes truncades, la lluita per a l’establimentde la democracia i la llibertat personal, etc. Es,realment, un text exemplar i que no nomes calllegir sino que, a mes, cal recomanar.

I tambe vaig rellegir Beppo Levi, Leyendoa Euclides,3 que ja havia llegit sent estudiantde matematiques a mitjan anys seixanta. Es unintent —i diria que molt reeixit— d’apropar alsno matematics els conceptes fonamentals de lageometria grega —en particular, la dels Eele-ments d’Euclides—, pero, alhora fent-ne unalectura filosofica que tan sovint manca en aques-ta mena de presentacions. Les raons son simples:o be s son l’obra d’un filosof poc coneixedor dela matematica com a disciplina autonoma, o beels autor son matematics que no tenen gaireinteres per les questions filosofiques: no tots elsmatematics son Poincare o Hilbert, per esmen-tar dos casos ben singulars i, d’alguna manera,contraposats. El text es, salvant a distancia deltemps amb tot el que aixo comporta, semblantals Comentaris al llibre primer de Procle. Coma exemple, us fare solament una pregunta que fareferencia a una questio que gairebe clou el text:Que tenen en comu la quadratura de la parabolad’Arquimedes i la curvatura de la piramide d’Eu-clides? I, si tenen quelcom en comu, per que sontan diferents les demostracions?

Pero tambe vaig descobrir llibres nous:Platon,4 d’Alfred Edward Taylor. Quan el

llegeixes et preguntes: com es poden dir tan-tes coses en tan poc espai d’un pensament tancomplex i ric en matisos com es el del mestrePlato? Es clar que nomes un gran coneixedor del’obra de Plato —un especialista, com es el casde Taylor; recordem que tambe ha escrit una deles obres indispensables per a entendre Plato,Plato, the man and his work5— pot elaborar unpot de confitura —pel que te— tan petit comsaboros. Fa bona la sentencia �En el pot petithi ha la bona confitura�. De quina manera, en elcapıtol segon, ens porta a copsar la profunditat

del pensament de Plato —amb totes les limita-cions que conte i totes les suggerencies crıtiquesque planteja— pel que fa a �el coneixement iels seus objectes�; es a dir, el �Mon platonic deles idees�.

Sailing the wine dark sea: why the greeksmatter6 de Thomas Cahill. Es una visio culturalde Grecia que va de la literatura i la poesia, ala filosofia, l’art i l’arquitectura, feta amb petitsesbossos literaris introductoris que permeten al’autor fer una presentacio sintetica d’allo queens vol dir. L’originalitat d’aquest text es que esfa des d’una concepcio personal judeocristiana,quelcom que, atesa la nostra formacio culturalcom a civilitzacio europea, no deixa de tenir uncert interes que, naturalment, hem d’acompa-nyar en cada moment de la lectura d’una posiciocrıtica, pero amb un esperit obert.

L’excel.lent El nacimiento de la matematicaen Grecia7 de Conrado Eggers Lan. Si aquest au-tor hagues estat frances, angles o nord-america,no en tinc cap mena de dubte, se’n parlaria ar-reu i seria un dels referents de molts textos sobrematematica grega. Quina profunditat analıtica—des del vessant epistemologic— te aquest bri-llant filosof argentı! Com analitza, per exemple,el paper de Plato i Aristotil en l’axiomatica eu-clidiana —quelcom que trobem en molts textosdels Elements, com ara el de Sir Thomas Heathi el recent de Jean Vitrac, o l’analisi del pitago-risme, tant en Epicarm com en la descoberta del’irracional. Li manca, potser, aquella claredatcartesiana que trobem en el text de Levi, perotambe hem de dir que es tracta d’un text ambuna ambicio molt mes filosofica en el sentit mespur de la paraula, al meu entendre.

I, per fi, Ancient mathematics,8 de S. Cuomo.Sortosament sempre hi ha, en la ment, prou es-pai per a la sorpresa i per a la fruıcio intel.lectual,i aquest petit opuscle n’es un cas. Quan parlemde la matematica grega ho fem gairebe sempreamb la boca grossa —que bons matematics queeren i que excel.lents que foren les seves conques-tes en aquest camp!, i aixo es ben cert—, o perla boca filosofica —com en foren, d’importants,l’ontologia, l’epistemologia i la metodologia dela matematica, en particular la geometria, l’arit-

3Libros del Zorzal. Buenos Aires, Argentina, 2001.4Tecnos. Madrid, 2005.5Methuen. Londres, 1960.6Traduccio castellana, Navegando por el mar de vino. Edigrabel. Barcelona, 2008.7Eudeba. Editorial Universitaria de Buenos Aires. Buenos Aires, 1995.8Routledge. Londres, 2001.

47

metica i l’astronomia gregues!— Pero oblidemgairebe sempre la matematica de la boca petita:la matematica en l’arquitectura i en l’enginye-ria, en l’art, en el comerc i en el dret. Cuomo,en un exercici molt interessant de lectura delstextos no matematics, en el sentit estricte dela paraula, fa aquesta feina i la fa realment be.El llibre s’articula per parelles de capıtols: elprimer planteja les preguntes i el segon en donales respostes. Es realment tot un exercici demetodologia expositiva, d’analisi acurada delstextos i dels fets. A mi, en particular, em vafascinar —potser per mes desconegut— el pri-mer capıtol. Com a simple exemple: sabıeu resdel tunel epalı, datat el 600 a. de C., i de lesdificultats que comporta fer un tunel comencantper les dues puntes i aconseguir trobar-se? Elsgrecs ho feren. �Com?� em direu. �Llegiu-hoal text de Cuomo� us respondre.

Tunel epalı, construit el 600 a. de C., aprox.

Fruit d’aquestes —i d’altres— lectures vaigescriure Una aproximacio a la filosofia de la ma-tematica grega des d’un punt de vista matema-tic.9 No em pertoca pas de fer-ne cap comentaripero les coses son com son aquest fou el fruitd’aquelles lectures i que ara, amb la gosadia ambque sempre escric aquestes lınies, us he volgutrecomanar.

El cuc de la curiositat intel.lectual es comles idees matematiques que creem: un cop cre-ades tenen vida propia i demanen mes i mesatencio. Aixo ha fet que seguıs llegint —amb notanta intensitat, es clar!— textos de matematicai filosofia gregues, i com a cloenda us en vullrecomanar tres:

Pitagoras,10 de Juan Bergua. Un text irregu-lar, com acostuma a passar quan mirem de ferun text de divulgacio amplia —es una professiodifıcil, la bona divulgacio—, pero que permetfer-nos una idea molt acurada de tots els as-pectes de la figura d’aquest personatge mıticque es Pitagores. Es un text complet i molt bencommutat, curull de cites dels textos classics iamb set-centes seixanta-tres notes de l’autor. Eltext conte �Els versos d’or�.

Introduccio a la Ilıada11 de Jaume Portulas.Es una reflexio increıble sobre el fenomen que su-posa la Ilıada en el context de la Grecia antiga iclassica. Es cert que es un text molt especialitzati que, potser a molts de vosaltres us pugui sem-blar excessiu. Pero, des que l’any 1962 —jo feiavint anys, qui se’n recorda?— em van regalar,tambe de la �Bernat Metge� les Vides paral.lelesde Plutarc i la subscripcio a aquesta col.lecciotan prestigiosa, amb el doble text, i vaig poderfruir d’aquells textos, d’aquells grans pensadorsi literats, no he pogut estar-me d’apropar-m’hisempre que n’he tingut ocasio i encara ara m’in-teressen. Per aixo, em va interessar moltıssimaquest text.

I fa uns mesos, parlant amb Carles d’Alibri—abans Herder— em va dir: �No has llegit Lesorigines de la pensee grecque, de Jean-PierreVernant?� —i me’l va recomanar. Em va faltartemps per comprar-lo i comencar-ne la lectura,que tot just he encetat, pero el llibre em semblarealment d’un interes indiscutible. I li ho vullagrair. Potser podrıeu fer-me cas i llegir-lo pro-perament: aixı compartirem aquesta lectura, ames de compartir aquest text.

Josep Pla i CarreraUB

9Barcelonesa d’Edicions. Barcelona, 2010.10Ediciones Ibericas. Madrid, 1995.11�Bernat Metge�. Barcelona, 2009.

48

Raco biografic

Augustin-Louis Cauchy (Parıs 1789-Sceaux 1857)

Cauchy considerava que elsprocediments de calcul di-ferencial emprats pels ma-tematics del segle xvii i delxviii que feien us de quan-titats infinitament petites iinfinitament grans no teni-en cap rigor, i va veure queel concepte de �lımit� erauna eina adequada per aorganitzar el calcul infini-

tesimal de manera rigorosa. Cauchy va desenvo-lupar la seva idea en els cursos que va impartira l’Escola Politecnica entre 1817 i 1830.

Juntament amb la faceta de fonamentaciometodologica, Cauchy va fer grans aportacionsal corpus teoric de la matematica, de les qualsdestaca especialment la seva teoria de funci-ons complexes, pero tambe obtingue resultatsnotoris en geometria de poliedres, nombres poli-gonals, permutacions —les quals va tractar perprimera vegada com a un grup de substitucions—teoria de determinants, equacions diferencialsordinaries i parcials, etc. Aixı mateix, obtinguemolts resultats en el camp de la matematicaaplicada, especialment en la fısica de l’elastici-tat i en astronomia, camp en el qual va donarbons algorismes de calcul. Publica desaforada-ment i obtingue tal quantitat de resultats queavui es difıcil llegir un llibre de matematiquesi no trobar-hi el seu nom. Ara be, ja que ensproposem parlar de la seva vida, hem de dirque tot allo que tingue d’innovador en el ter-reny de la matematica ho tingue de conservadoren el terreny de les idees polıtiques i religioses.Polıticament es mantingue sempre fidel a l’es-perit de l’antic regim monarquic absolutista, i,pel que fa a la religio, era catolic tradicionalista,sempre al costat d’allo que defensava l’Esglesiacatolica oficial, fins a l’extrem d’oposar-se a cer-tes teories cientıfiques innovadores pel fet queposaven en perill principis morals de l’Esglesia.D’altra banda, Cauchy, com a cristia, va fer mol-tes obres de caritat, des de l’assistencia basicaals mes desafavorits fins a la fundacio d’escolesper als mes necessitats.

Primera part, del 1789 al 1815: els inicisde Cauchy

El pare de Cauchy, que era de Rouen, feia d’ad-vocat en aquesta ciutat i va fer amistat ambLouis Thiroux, un alt funcionari administratiu,que, el 1785, va ser cridat a Parıs per a ocuparla placa de lloctinent de la policia d’aquestaciutat. Thiroux es va emportar Louis-FrancoisCauchy com a ajudant. A Parıs, Louis-Francoisva coneixer Marie-Madeleine Desestre, filla d’u-na famılia rica que tenia carrecs importants al’administracio de l’Estat, i s’hi va casar l’octu-bre de 1787. En aquells moments Franca estavasota una monarquia catolica de caire absolutis-ta en la qual regnava el borbo Lluıs XVI, i elsCauchy, catolics i monarquics, hi estaven bensituats. El 1789, pero, esclata la Revolucio Fran-cesa. El 14 de juliol, dia en que el poble de Parısprengue la fortalesa de la Bastilla, ha quedatcom a sımbol del comencament de la Revolucio.Al cap d’un mes, el 28 d’agost de 1789, naixiaAugustin-Louis Cauchy. Havia nascut al mateixtemps que aquella revolucio que havia de cap-girar tots els valors tradicionalistes compartitsper la seva famılia.

El perıode de la Revolucio Francesa va durardeu anys. Primerament va transformar la mo-narquia absoluta en monarquia constitucional(1789–1792), sota el regnat del mateix monarca,Lluıs XVI. Despres, pero, es va radicalitzar lasituacio, es va abolir la monarquia i el 21 desetembre de 1792 es va establir una republica, laprimera a Franca. Dins aquesta nova etapa revo-lucionaria es jutja i condemna a mort Lluıs XVI,que fou guillotinat el 21 de gener de 1793, i, apartir d’un cert moment, per fer front a suposa-des o reals conspiracions contrarevolucionaries,els jacobins, capitanejats per Robespierre, vanportar a l’extrem els principis revolucionaris i esva establir allo que s’ha anomenat �el regim delterror� (1793–1794). La monarquia i l’esglesiavan perdre totes les prerrogatives que tenienen l’antic regim i unes trenta mil persones vanser executades a la guillotina, entre elles LouisThiroux, cap i amic del pare de Cauchy. Llavors,la famılia Cauchy va decidir amagar-se a la casade camp que tenien a Arcueil, una petita vila

49

al sud de la capital. Durant aquest perıode elsCauchy van sobreviure amb dificultats, fins i totels faltava menjar, el petit Cauchy tenia llavorscinc anys. Amb el temps una part importantde la burgesia que estava en contra del governjacobı es va organitzar per tirar endavant el copd’estat del �9 de Termidor� (27 de juliol de1794). Es va establir un nou govern, el Directori,amb el qual es donava un gir cap a la moderacio.Llavors, els Cauchy van tornar a Parıs i el parerapidament va aconseguir una bona feina. ElDirectori va transcorrer entre seriosos conflictessocials i aixo va portar un jove general de nomNapoleo Bonaparte, victorios en la guerra queFranca mantenia contra les monarquies europe-es, a donar el cop d’estat del �18 de Brumari� (9de novembre de 1799). S’iniciava aixı el perıodedel Consolat (1799–1804) amb Napoleo com aprimer consol. Aquest perıode va acabar quanel mateix Napoleo es va erigir emperador delsfrancesos, concentrant tot el poder en les sevesmans. Aquest primer Imperi Frances va durardeu anys (1804–1814) . En aquest temps Napo-leo va portar a cap moltes reformes a Franca,mentre a l’exterior feia trontollar tot Europa.

El pare de Cauchy, que s’anava adaptant alscanvis polıtics, va ser anomenat secretari gene-ral del Senat, un lloc influent i molt ben pagat,que li va permetre fer amistat amb els consellersPierre-Simon Laplace i Joseph-Louis Lagrange.La bona situacio social dels Cauchy va permetreque Cauchy fill pogues gaudir d’una bona forma-cio secundaria i d’una bona formacio superior.Les primeres etapes escolars de Cauchy havienestat cobertes pel seu pare, que el va iniciar enel cultiu de les llengues i la poesia. Quan vatenir tretze anys el va portar a l’Ecole Centraledu Pantheon, on va rebre una bona formaciohumanıstica. Va aprendre llatı i grec amb moltaaficio i li agradava molt escriure poesies pero,a diferencia dels seus altres dos germans, quevan estudiar per a advocats, ell va escollir l’engi-nyeria, i per aquesta rao va ingressar a l’EscolaPolitecnica. En aquesta escola, durant dos anysi abans d’anar a les especialitzacions, els fu-turs enginyers eren preparats en matematiquesi fısica. Cauchy va seguir el curs d’analisi ambLacroix, el curs de geometria descriptiva ambLachette i el de mecanica amb Prony i tambe vatenir de professor Ampere, que feia d’ajudantde Lacroix. A final del 1807 Cauchy va entrara l’Escola de Ponts i Camins, on durant quatre

mesos es donaven classes teoriques i a la restadel curs es feien practiques sobre el terreny. Enles primeres practiques Cauchy va treballar enla construccio de l’aqueducte de Saint-Denis aParıs. Totes les practiques i projectes els realit-zava amb gran exit i rebia sempre felicitacionsefusives dels seus professors. Abans d’exercircom a enginyers professionals, els futurs engi-nyers havien de fer un treball com a �aspiranta enginyer�; a Cauchy, amb vint-i-un anys, li vatocar anar a Cherbourg per participar en unagrandiosa obra que s’hi feia per engrandir elport i construir una gran base naval. Napoleo,enemistat amb Anglaterra, tenia molt interes enaquest punt estrategic del canal de la Manega.

Era la primera vegada que Cauchy s’allunya-va dels seus pares i de Parıs, i, se sap que en elseu equipatge portava quatre llibres: Theorie desfonctions analytiques de Lagrange, Mecaniqueceleste de Laplace, Imitatio Christi de TomasKempis i una edicio llatina de les obres de Vir-gili. A Cauchy la seva estada a Cherbourg liva resultar esgotadora. Passava moltes horestreballant d’enginyer i despres es dedicava al’estudi de les matematiques. Al desembre de1810 va escriure als seus pares dient que haviadissenyat un pla per aprofundir en el seu conei-xement de les matematiques, que consistia a fer�Un estudi coherent de totes les branques de lesmatematiques, de l’aritmetica a l’astronomia,mirant d’aclarir tots els punts foscos, intentantsimplificar demostracions i, tambe, tractar dedescobrir nous teoremes�. En els tres anys queCauchy va estar a Cherbourg va enviar diver-sos articles de matematiques a l’Academia deCiencies de Parıs, i, en aquests primers arti-cles ja hi havia resultats notoris sobre poliedres,nombres poligonals, teoria de substitucions, de-terminants i integracio.

A Cauchy no li agradava anar a festes desocietat, el molestava la frivolitat de les perso-nes que hi trobava i, sobretot, el molestavencertes converses anticlericals: mes d’una vegadas’havia alterat defensant els principis catolics.Cauchy va decidir abandonar la vida social ila va substituir per la contemplacio de la na-tura; acostumava a fer llargues passejades queexplicava per escrit als seus pares.

Va arribar un moment que Cauchy no vapoder aguantar mes aquell sobreesforc que lisuposava treballar d’enginyer i fer recerca ma-tematica sense parar i va emmalaltir. Llavors

50

la seva mare va anar a Cherbourg i va decidirque se l’emportava a Parıs. Aixo passava a finaldel 1812 i Cauchy ja no tornaria mes a Cher-bourg; durant un any va sofrir un estat precaride salut. Per aquesta epoca va decidir que jano tornaria a treballar com a enginyer i quees dedicaria per complet a les matematiques,ara be, per a poder-ho fer havia d’obtenir unaplaca en alguna institucio superior i en aquellsmoments tot estava ocupat. Aixo va fer que en-cara acceptes alguna feina mes com a enginyer,feina que va aconseguir a Parıs mateix gracies ales moltes influencies que tenia el seu pare qui,encara que monarquic, sempre procurava tenirbones relacions amb el govern de torn.

A principi del 1813 va sol.licitar un lloc coma professor assistent a l’Escola de Ponts i Ca-mins, pero no li van concedir. L’abril de 1813morı Lagrange i llavors Cauchy va pensar queaquella era l’ocasio per a entrar al Bureau desLongitudes, una institucio creada el 1795 ambla finalitat d’estandarditzar les mesures i fer es-tudis de geodesia i astronomia. Cauchy estavamolt interessat per l’astronomia, pero tampoc livan concedir la placa. Tambe va intentar entrara l’Academia de Ciencies i tampoc va tenir exit.Una negativa darrere l’altra, tot i que anavarecomanat per figures de la talla del matematicLaplace o de l’anatomista i paleontoleg Cuvier.

Segona part, del 1815 al 1830: Cauchyufanos

La continuada expansio europea de Napoleova provocar que les monarquies estrangeres for-messin una coalicio per derrotar-lo. Napoleo vahaver d’abdicar a l’abril del 1814 i llavors, pres-sionada pels vencedors, Franca va haver d’ac-ceptar el retorn dels borbons. A qui havia estatl’ultim rei, Lluıs XVI, el va succeir el seu germapetit Lluıs XVIII, qui, en menys d’un any, vahaver d’abandonar Franca rapidament, ja queel marc de 1815 Napoleo va tornar a conquerirel poder. Pero el retorn de Napoleo nomes vadurar cent dies, va acabar amb la derrota deWaterloo i el seu posterior desterrament a l’i-lla de Santa Elena. Despres d’aquests fets LluısXVIII va poder tornar a Franca i continuar elseu regnat. Nobles, clergues i altres exiliats es-peraven recuperar l’antic ordre de coses, peroLluıs XVIII va mirar de ser prudent i mantenirun equilibri de forces.

Amb el retorn de la monarquia borbonicaCauchy se sentia d’allo mes be, ja que Francarecuperava l’unic govern que ell consideravalegıtim. A mes, ja comencaven a quedar llocsvacants a les institucions a causa, d’una banda,de jubilacions, i de l’altra, de certes depuraci-ons de persones que havien estat involucradesen la Revolucio i l’Imperi napoleonic. Cauchyestava ben preparat per a ocupar un d’aquestsllocs. Ja que tenia publicats un bon gruix deresultats importants i, a mes, acabava d’enviar al’Academia (13 de novembre de 1815) la demos-tracio d’una conjectura de Fermat que s’haviaresistit als intents d’Euler, Lagrange i Gauss,aquella que diu que �tot nombre natural es lasuma, com a molt, de n nombres poligonals den costats�.

Va comencar guanyant una placa de pro-fessor assistent a l’Escola Politecnica el novem-bre de 1815, i, just un any despres, passavadirectament a catedratic d’analisi i mecanicasense passar per una votacio de l’organ perti-nent. Tambe va exercir de professor al prestigiosCollege de France i a la Facultat de Ciencies dela Sorbona. La seva admissio a l’Academia deles Ciencies l’any 1816, pero, va ser especialmentdelicada. El prestigios geometra Gaspard Mon-ge, fundador de l’Escola Politecnica i creadorde la geometria descriptiva, va ser depurat perla seva participacio destacada en la Revolucioi el govern napoleonic. Llavors, per ordre reialdirecta, i no pas per votacio dels membres del’Academia, com era propi, la placa va ser adju-dicada a Cauchy, qui no va tenir cap escrupol aocupar-la. Despres d’aquesta entrada de Cauchya l’Academia de les Ciencies molts dels seusmembres li van fer boicot.

Cauchy havia assolit una bona posicio soci-al, i el seu pare va pensar que havia arribat elmoment de casar-lo. Li va presentar Aloıse deBure, una jove de vint-i-tres anys filla d’una ricafamılia d’editors i llibreters. El casament es vacelebrar amb tota la pompa el 4 d’abril de 1818i hi van ssistir representants polıtics, eclesiastics,aristocrates i membres de l’alta burgesia. Entreels convidats hi havia el marques de Laplace.

El matrimoni va tenir dues filles, una el 1818i l’altra el 1823. Va ser precisament en aquestperıode del 1815 al 1830 que Cauchy va poderdesenvolupar el seu pla de reforma del calculinfinitesimal. Una vegada va tenir la catedraa l’Escola Politecnica, el primer que va fer va

51

ser proposar una reforma dels cursos d’analisi imecanica. Cauchy proposava dedicar tot el pri-mer curs a l’analisi diferencial i integral i deixarl’estatica i la dinamica pel segon curs. El claus-tre no va acceptar la proposta de Cauchy perque,segons deia, hi havia massa matematiques i, ames, poc adequades a la formacio tecnica d’unenginyer. Tanmateix Cauchy va tirar endavantla seva reforma metodologica i el curs d’analisique donava estava replet de matematica teorica,utilitzant els lımits de funcions en substitucio deles quantitats infinitament petites i infinitamentgrans. Cauchy definia aixı el concepte de lımit:�quan els successius valors atribuıts a una va-riable aproximen indefinidament a un valor fixtant que al final difereixen d’aquest tan poc comun vol, aquesta ultima quantitat es denominael lımit de totes les altres�, i afegia �quan elssuccessius valors d’una variable disminueixenindefinidament, de tal manera que arriben aser mes petits que qualsevol quantitat donada,d’aquesta variable en direm un infinitesim. Ellımit d’aquesta variable es zero�. Al llarg delsanys professors i alumnes de la Politecnica vancontinuar manifestant la seva oposicio al rigor ifonamentacio amb que Cauchy exposava el cursd’analisi, i, a mes, hi havia moltes queixes per lamanera desordenada en que exposava les llicons.

Per apaivagar les continuades crıtiques querebia Cauchy es va acordar que escriuria unllibre de text. Aquest es l’origen del Cours d’a-nalyse (1821), pero, una vegada publicada laprimera part de les dues que havia de tenir esva parar el projecte ja que es considerava queel llibre no era adequat pels alumnes. LlavorsCauchy va decidir que reuniria en un altre llibreuns resums que tenia de les llicons impartidesi aquest va ser l’origen del llibre Resume deslecons donnees a l’Ecole Royale Polytechniquesur le calcul infinitesimal (1823), que es on estroba la definicio de derivada que avui es usual ila integral que avui diem de Cauchy. Tenia pen-sat escriure un segon volum que inclogues lesllicons sobre equacions diferencials, pero aquestapart mai va sortir.

Fora de la tasca d’ensenyament, Cauchy por-tava una vida academica molt activa i no paravade publicar encara que, com a desordenat queera, mes d’una vegada repetia coses que ja ha-via dit. El 1826 va fundar la seva propia revista,Exercises de Mathematiques, que practicamentomplia amb els seus articles. Tambe li toca-

va revisar molts dels articles que arribaven al’Academia. Aixo feia que tingues informacioprivilegiada sobre la recerca mes capdavantera,i, es donava el cas que, a vegades, tardava molta informar l’Academia d’allo que havia rebut, i,algunes vegades, ho feia despres que ell haguespresentat treballs seus relacionats amb allo quehavia avaluat. A mes, Cauchy no acostumavaa ser massa generos en la citacio de les fonts itot plegat va portar conflictes sobre la prioritatde certs descobriments. Un d’aquest casos es vadonar el 1823 amb dos treballs sobre elasticitatpresentats per Claude Navier, pero hi haguealtres casos com el de Brisson, el d’Ostrogadski,el de Fourier, el de Poisson i mes.

Tambe va resultar penos el que va passaramb N. Abel (mort als vint-i-set anys) i E. Ga-lois (mort als vint-i-un anys). El cas de Galoisfou com segueix: el jove Galois treballava pel seucompte en el problema de la resolucio de les equa-cions polinomiques per radicals, que en aquelltemps estava obert. El 1829 Galois va lliurara Cauchy un primer treball sobre aquest temaperque en presentes un informe a l’Academia,pero Cauchy mai ho va fer.

Pel que fa al jove Abel, l’octubre del 1826va enviar a l’Academia el seu treball manuscritsobre funcions el.lıptiques, que havia de revisarLegendre. Pero Legendre, que llavors ja teniasetanta-quatre anys, no entenia la lletra d’Abeli el va passar a Cauchy perque se’n fes carrec;pel que sembla, l’article va quedar abandonat enalgun calaix. Tres anys despres, el marc de 1829,el matematic Jakob Jacobi, que estava treba-llant en funcions el.lıptiques i havia llegit algunsarticles que Abel havia publicat sobre el tema alJournal de Crelle, va preguntar a Legendre peltreball que Abel havia dipositat a l’Academiai que segur que havia de contenir resultats ex-traordinaris sobre funcions el.lıptiques. LlavorsCauchy va haver de donar comptes del treballd’Abel, pero, malauradament, Abel moria el 16d’abril de 1829. El treball d’Abel sobre funcionsel.lıptiques no va ser publicat per l’Academiafins el 1841.

Es dona el cas que el jove matematic noru-ec Niels Abel era molt crıtic amb la falta derigor que hi havia a les matematiques del seutemps i per aixo tenia una gran admiracio capa Cauchy, per l’esforc que feia en aquest sen-tit. Pero quan l’estiu del 1826 va anar a Parısi va coneixer Cauchy, va escriure al seu amic

52

professor Holmboe d’Oslo el sorprenent comen-tari seguent: �Cauchy es boig i no hi ha resa fer amb ell, encara que en aquests momentses el matematic que sap com s’han de tractarles matematiques�. D’altra banda, Abel va de-tectar certes fallades en el tractament rigorosde Cauchy i va trobar resultats que no tenienvalidesa general, com l’enunciat del primer teo-rema del capıtol vi del Cours d’analyse que diuaixı: �quan els diferents termes d’una serie defuncions d’una mateixa variable x son continusrespecte d’aquesta variable en un entorn d’unvalor particular en el qual la serie es conver-gent, la suma de la serie es tambe una funciocontınua de x en l’entorn d’aquest valor parti-cular�. Abel en dona un contraexemple amb laserie sin x− 1/2 sin 2x + 1/3 sin 3x− . . .

La preocupacio per construir les matemati-ques amb fonaments rigorosos ve de lluny. Lesprimeres tasques en aquest sentit van tenir llocen el perıode grec en el camp de la geometria,pero despres no va ser fins el segle xix que elsmatematics van tornar a la tasca de construiruna fonamentacio rigorosa d’allo que tenien en-tre mans. Durant els segles xvii i xviii els ma-tematics es van trobar amb problemes sorgitsdel desenvolupament cientıfic que requerien ha-ver de treballar amb coses molt petites, mespetites que qualsevol quantitat imaginable, peropassava que, precisament pel fet de ser coses,no podien no ser res, es a dir, la seva quantitatde cosa no podia ser zero. Aquesta manera depensar va conduir cap a un atzucac difıcil de su-perar des del punt de vista de la fonamentacio,tot i que no va dificultar la resolucio efectivadels problemes; pensem, per exemple, en la granquantitat de questions que es van resoldre lli-gades a la resolucio d’equacions diferencials. El1797 Lazare Carnot va escriure un llibre sobre lafonamentacio del calcul infinitesimal, pero teniaun caire mes filosofic que matematic. El primerintent matematic per a trobar una fonamenta-cio de l’analisi que no requerıs les quantitatsinfinitesimals prove de Lagrange, qui va pensarque mitjancant els coeficients dels desenvolu-paments de Taylor podia definir formalmentles derivades de totes les funcions, i aixı evitarquestions de proximitat. Pero aquest pla estavaabocat al fracas, com Cauchy va demostrar ambel contraexemple de la funcio exp(−1/x2) queno coincideix amb el seu desenvolupament deTaylor en un entorn del zero.

El matematic de Praga Bernard Bolzano, el1817, quatre anys abans que Cauchy publiquesel Cours d’analyse, va publicar en una revistade Praga un treball en el qual fonamentava elcalcul infinitesimal a partir del concepte de lımit.Aquesta revista de Praga es rebia a la BibliotecaImperial de Parıs i Cauchy la podia haver llegit,pero Cauchy mai va citar el matematic txec,i, per tant, ens queda el dubte de si Cauchyconeixia la fonamentacio de Bolzano.

Ara be, per a una fonamentacio rigorosade l’analisi tal com avui l’exigim, faltaven duescoses: faltava acabar d’alliberar el calcul infinite-simal de certes indefinicions provinents del pen-sament geometric —aixo ho va resoldre mes tardK. Weierstrass amb les seves famoses epsilonsi deltes—, i faltava per fer el mes basic, do-nar existencia matematica als nombres reals—aquesta tasca la realitzaren Georg Cantor i Ric-hard Dedekind cap a l’ultim terc del segle xix.

Tercera part, del 1830 al 1838: l’exili vo-luntari

El 1824 va haver-hi un canvi de rumb en lamonarquia francesa. Carles X va succeir el seugerma Lluıs XVIII i va fer un gir brusc capal conservadorisme mes ranci. Va fer mans imanigues per recuperar els valors de l’AnticRegim, va destituir ministres lliberals i es vaenvoltar de seguidors ultraconservadors com elduc de Polignac. El duc de Polignac era de laCongregacio de la Santa Verge, una associacioseglar ultrareialista iniciada el 1801 que voliarecuperar per a l’Esglesia catolica francesa l’es-tat de privilegi que gaudia en l’Antic Regim.Cauchy en va ser un membre actiu, aixı comtambe el mateix rei Carles X.

La supressio continuada de molts dels dretscivils conquerits en el perıode revolucionari vaportar a l’aixecament popular del juliol de 1830.Carles X es va haver d’exiliar i el va substituirLluıs Felip de la Casa d’Orleans (1830–1848).A Franca els borbons ja no tornarien a regnar.S’encetava aixı una monarquia de caire lliberal,que es va dotar d’una nova constitucio que re-coneixia la sobirania nacional. El rei de Francaja no ho era per dret divı sino per la volun-tat dels francesos. Cauchy, fidel als borbons, nova reconeixer mai la legitimitat d’aquesta novamonarquia i es va negar a fer el jurament defidelitat al nou regim que s’exigia als funcionaris.

53

Amb aquesta actitud Cauchy va perdre el llocsoficials que ocupava tret del de l’Academia deles Ciencies, on no era obligatori el juramentde fidelitat.

Cauchy va decidir marxar de Franca per untemps curt, pero que es va prolongar vuit anys.No es del tot clar perque se’n va anar, una ex-plicacio podria ser que s’ho exigıs ell mateixper solidaritat amb Carles X, pero tambe potser que tingues por de les represalies que grupsextremistes duien a terme contra monarquicsborbonics i catolics tradicionalistes, i tambe caltenir en compte que s’havia quedat en una si-tuacio desafavorida del tot en perdre les sevesplaces com a professor.

El fet es que Cauchy, amb quaranta-un anys,deixava Franca i no hi tornaria per quedar-s’hifins el 1838. En aquests vuit anys Cauchy va ferdiverses coses, primerament va passar un tempsa Friburg (Suıssa) amb els jesuıtes, despres va vi-atjar per Italia i va passar un altre temps donantclasses a la Universitat de Torı. Durant aquesttemps va publicar dos articles importants sobreintegracio en el camp complex que es trobena les Actes de l’Academia de Ciencies de Torı.En un d’aquests surt per primera vegada el queavui anomenem Formula de Cauchy.

A l’estiu del 1833 va succeir que Carles Xva demanar a Cauchy si podia fer-se carrec del’educacio del duc de Bordeus, un net del reique havia de succeir-lo el dia que els borbonstornessin a Franca. Cauchy va sentir l’obligaciomoral d’acceptar la peticio reial i va haver demarxar a Praga, al castell Hrad, que es on s’a-llotjava la famılia reial a l’exili. L’estada a Pragava durar cinc anys i Cauchy ho va passar forcamalament intentant explicar matematiques a unjove malcriat que no li feia cap cas i li gastavabromes pesades.

Mentre Cauchy era a Praga, Bolzano li vasol.licitar una entrevista. La cita va ser concedi-da pero no se sap de que van parlar.

El 1835 l’Academia de les Ciencies va iniciarla publicacio Comptes Rendus Hebdomadairesdes Seances de l’Academie des Sciences i Cauchyva comencar a enviar-hi treballs i mes treballs,en tal quantitat que la revista no donava l’abasta publicar-los, i llavors va limitar l’extensio delsarticles a cinc pagines, limitacio que encara avuies vigent. El 1838, en complir el duc de Bordeusels divuit anys, es va donar per acabada la sevaformacio i Cauchy va quedar alliberat del seu

compromıs. Carles X, en senyal d’agraıment, liva atorgar el tıtol de baro. Cauchy va decidirinstal.lar-se de nou a Parıs.

Quarta part, del 1838 al 1857: el retorn,noves dificultats i final

Quan el baro Cauchy va tornar a Franca teniaquaranta-nou anys complerts. Va intentar recu-perar les places que havia abandonat el 1830,pero no va tenir exit. A mes, Cauchy continuavanegant-se a complir amb el jurament de fidelitatal regim de Lluıs Felip i aquesta actitud nomesli va portar problemes, per exemple, no va poderser oficialment acceptat al Bureau des Longitu-des el 1843, quan ja feia quatre anys que erainterı. El seu lloc el va acabar ocupant el ma-tematic L. Poinsot. Durant aquests quatre anysd’interinitat al Bureau, Cauchy havia col.laboratamb Leverrier desenvolupant tecniques de calculaplicades a l’astronomia. Leverrier va ser qui, el1846, nomes a partir de les lleis de Newton i con-sideracions matematiques, va predir l’existenciadel planeta Neptu.

L’estiu del 1843 Cauchy va intentar obteniruna placa al College de France, pero hi haviados candidats mes, un era J. Liouville i l’altreG. Libri. Liouville es va retirar quan va saberque es presentava Cauchy i llavors semblavaque Cauchy tenia assegurada la placa, pero eltribunal va votar a favor de Libri. Va ser unadecisio polıtica. En aquells moments hi haviaa Franca un intens debat sobre la participaciode l’Esglesia a l’ensenyament i Cauchy estava alcostat dels jesuıtes, els quals cada vegada mesanaven guanyant terreny. El College de Fran-ce no volia que l’Esglesia s’infiltres a la sevainstitucio i Libri, que en un cert temps haviaestat protegit per Cauchy i que, a mes, era amicdel jesuıta Moigno, va veure clar que en aques-ta ocasio li convenia posar-se en contra delsjesuıtes.

El regnat de Lluıs Felip va durar fins alfebrer de 1848, any en que un nou movimentrevolucionari es va aixecar contra la monarquiai el va fer abdicar el 24 de febrer per evitarmes vessaments de sang. Al dia seguent es vaproclamar la Segona Republica, pero els alda-rulls van seguir fins a provocar seriosos enfron-taments (juny 1848), que no es van apaivagarfins a les eleccions del desembre, en les qualsva sortir elegit Lluıs Napoleo, nebot de Napo-

54

leo Bonaparte, con a president de la SegonaRepublica. La republica no exigia el juramentde fidelitat i llavors, el 1849, Cauchy, uns mesosabans de complir seixanta anys, va ser nomenatcatedratic d’astronomia matematica de la Facul-tat de Ciencies de la Sorbona. A la universitat,Cauchy va poder desenvolupar la seva teoria defuncions amb tot detall i entre els seus alumnescal destacar C. Hermite, V. Puiseux, C. Briot,J. C. Bouquet i C. Meray.

Al voltant del 1850 es va tornar a convocaruna placa al College de France. Era la placa quehavia deixat vacant Libri en marxar rapidamentde Franca quan va caure el regim de Lluıs Felip,que el protegia. Libri estava acusat d’haver sos-tret una gran quantitat de llibres valuosos dediverses biblioteques franceses.

Cauchy i Liouville s’hi van tornar a presen-tar, aquesta vegada Liouville no es va retirar,i d’aquesta manera es van haver d’enfrontarels qui en aquells moments eren considerats elsdos millors matematics francesos. Dues absten-cions en una primera votacio en la qual Cauchyva obtenir onze vots i Liouville deu van obli-gar a fer una segona votacio ja que Cauchy notenia majoria absoluta. A la segona volta Liou-ville va obtenir dotze vots i Cauchy onze i comque Liouville tenia majoria absoluta va guanyar.Cauchy va protestar al ministeri dient que lesdues abstencions de la primera votacio no s’ha-vien d’haver comptat i el ministeri va exigir unanova votacio. Cauchy es va es oposar al fet que hihagues una nova votacio pero es va fer, i aquestavegada Liouville va obtenir setze vots i Cauchyset. Cauchy va continuar pensant que tot aquellafer era una injustıcia mes en contra seu. Coma consequencia d’aquest enfrontament, la bonarelacio que fins llavors havien tingut aquellesdues eminencies de la matematica francesa esva acabar.

El 1852, al cap de tres anys de republica,Lluıs Napoleo, mitjancant un cop d’estat, es vaproclamar emperador dels francesos amb el nom

de Napoleo III (1852–1871) aixı es va iniciar elsegon Imperi Frances. Llavors, Lluıs Napoleo vatornar a fer obligatori per als funcionaris el jura-ment de fidelitat al regim i Cauchy, una vegadames, s’hi va negar. En consequencia, va haverde deixar les classes a la Sorbona i durant unany ningu el va substituir. Despres, cap a finaldel 1853, gracies a una carta que el mariscalVaillant, membre de l’Academia de les Ciencies,va escriure al ministre Fortoul demanant-li quees fes una excepcio amb Cauchy, ja que si noestaven fent fora de la Sorbona una personaque era considerada en aquells moments el mi-llor matematic d’Europa, que Cauchy era d’unarectitud exemplar, que no era pas opositor alregim sino que... etc, Lluıs Napoleo va accedira disculpar Cauchy del jurament de fidelitat iaixı Cauchy es va poder reincorporar a la sevacatedra de la Sorbona, on ja no va deixar dedonar classes fins a la seva mort quatre anysmes tard.

En aquesta ultima etapa de la seva vidaCauchy va continuar publicant notes i memoriesals Comptes Rendus, va continuar com a ava-luador de molts dels treballs que es rebien al’Academia i anava a totes les sessions d’aquestainstitucio on intervenia activament per recol-zar o criticar les memories presentades. Unavegada mes, va discutir per questions de prio-ritat, aquesta vegada contra Duhamel, per unassumpte relacionat amb el problema del xocinelastic.

En el seu vessant religios va continuar exer-cint moltes practiques de caritat cristiana, entremoltes altres va participar activament en la so-cietat de Saint-Vincent-de-Paul i fou fundadorde l’Oeuvre des Ecoles d’Orient.

Una de les ultimes preocupacions de Cauchyva ser posar ordre en la seva extensa i dispersaobra matematica, pero, tot i l’ajuda de l’estudi-ant jesuıta Michel Jullien, no ho va aconseguir.Cauchy moria el 23 de maig de 1857, quan lifaltaven dos mesos per complir seixanta-vuitanys. L’any 1876 l’Academia de les Ciencies vadecidir iniciar l’edicio de tota la seva obra, queno s’acabaria fins el 1974, amb la publicacio del’ultim volum, el vint-i-sete.

Per a llegir

Cauchy va viure un perıode molt interessantde la historia de Franca i la seva vida es plena

55

d’esdeveniments. M’ha resultat difıcil escriureen aquest petit espai del �Raco biografic� unasıntesi de tot plegat, m’han quedat fora moltescoses; es per aixo que per a obtenir un perfilmes ajustat de la figura de Cauchy recomanovivament la lectura dels dos llibres que he uti-

litzat. El primer es Cauchy. Un mathematicienlegitimiste au XIX siecle de Bruno Belhoste, foupublicat per Belin l’any 1985 i l’altre, Cauchy.Hijo rebelde de la revolucion d’Antonio J. Duran,publicat per Nivola l’any 2009.

Eduard Recasens GallartUPC

Webs de matematiques

Dos blocs i un web util sobre TEX

Com sabeu, d’uns anys enca, la nostra venerableWorld Wide Web ha evolucionat cap al que s’haanomenat Web 2.0. En aquesta versio, la web haevolucionat des de la seva primitiva unidireccio-nalitat —es a dir, algu creava el contingut (undiari o web de notıcies, per exemple) un fabri-cant hi posava informacio dels seus productes, il’usuari el consumia sense participacio directa—cap a una primera versio d’interactivitat. LaWeb 2.0 es caracteritza perque es el mateix usu-ari el qui crea el contingut i el posa a disposiciodels altres usuaris, en una mena d’universalitza-cio del contingut d’Internet que fa que tothompugui publicar qualsevol cosa, ser llegit, i fins itot assolir fama i notorietat. La Web 2.0 te dosgrans exponents avui dia: els blocs i les xarxessocials.

Malgrat la manca (fins el dia d’avui, quejo sapiga) d’una xarxa social de matematiques(quan se’n creara una?), els blocs, molt popu-lars, son tambe un mitja perque els matematicspuguin divulgar els seus coneixements. La pa-raula bloc es una catalanitzacio (aprofitant unaparaula catalana ja existent) de blog, abrevia-tura anglesa de weblog, que es podria traduircom �diari a la web�. I efectivament, els pri-mers blocs eren diaris de gent que publicava lesseves vivencies diariament, i que tambe s’ano-menaven quaderns de bitacola, pels antics diarisdels capitans de vaixell. En la segona decada delsegle xxi, com el lector ja sabra (potser en teun o mes d’un!), s’han convertit en mitjans decomunicacio de gran importancia.

Avui us volia parlar de dos blocs de mate-matics que m’han semblat forca interessants. Elprimer es el bloc �What’s new�, de Terence

Tao, l’adreca es http://terrytao.wordpress.com.Terry Tao es professor a la Universitat de Ca-lifornia Los Angeles, i treballa en combinatoria,teoria analıtica de nombres, analisi harmonica iteoria de representacions. Com es ben sabut, varebre la Medalla Fields al Congres Internacionalcelebrat a Madrid el 2006, a la jove edat detrenta-dos anys. Vaig coneixer el bloc perque unalumne em va dirigir a una entrada (del 18 defebrer de 2010) en que Tao dona una demostra-cio alternativa del famos teorema de Gromov(un grup te creixement polinomic si i nomessi es virtualment nilpotent), basada en analisiharmonica. A partir d’aquı, fent una ullada albloc, em va semblar forca interessant, encaraque es d’un nivell bastant elevat.

En el bloc, Tao es dedica a la divulgaciode temes matematics per a matematics. Encaraque els temes s’esbiaixen logicament cap a lesseves especialitats, veureu que divulga resultatsinteressants, articles nous i qualsevol cosa quetingui a veure amb les matematiques. Nomesmirant la columna esquerra de �Selected arti-cles� podreu trobar: com Einstein va deduir laformula E = mc2, un article sobre mecanicaquantica aplicada al joc d’ordinador Tomb Rai-der, o un article sobre el pressupost federal delsEUA. Malgrat aixo, la majoria d’articles tenenun profund contingut matematic i son forcainteressants per a la comunitat matematica.

L’altre bloc del qual volia parlar es el de Pe-ter Cameron, professor (emerit) al Queen Mary,Universitat de Londres. Cameron es especialistaen teoria de grafs, combinatoria i grups finits,i ha visitat Barcelona en diverses ocasions. Elseu bloc, http:// cameroncounts.wordpress.com,

56

te un nivell mes assequible que el de Tao, i estames dedicat a la divulgacio. Per exemple, te unaserie molt interessant de dotze articles sobre lespropietats del grup simetric Sn.

Finalment, us vull recomanar una paginaa la qual he arribat a traves del bloc de Tao,titulada Detexify, que us pot ser de gran ajudaen les vostres aventures amb el TEX. No us heutrobat mai que voleu escriure un determinat

sımbol matematic en TEX i no sabeu la coman-da? Abans, havies d’anar a les llargues llistesde comandes publicades als llibres de TEX o awebs especialitzades. Aquesta web permet es-criure el sımbol amb el ratolı i et mostra a ladreta una llista de les comandes de TEX com-patibles amb el sımbol que s’ha escrit. Proveu-ho. Es espectacular i molt util! Ah, l’adreca eshttp://detexify.kirelabs.org/classify.html.

Josep BurilloUPC

Problemes

En el numero anterior de la SCM/Notıcies deiem que la festa del problema cente no era completaperque els problemes B47 (SCM/Notıcies 14) i A64 (SCM/Notıcies 20) encara no havien estatresolts. Una agradable sorpresa, pero: en el punt de tancar la seccio d’aquest numero hem rebutuna solucio del problema B47, la qual, mancats de temps per a fer-hi un treball rigoros ara, serapublicada en el proper numero de la SCM/Notıcies. Algu s’anima amb l’A64?

En aquest numero, per deferencia dels nostres amables col.laboradors Jose Luis Dıaz-Barrero, iXavi Ros Oton, tots dos de la UPC; Barcelona, Joaquim Nadal i Vidal, de l’Institut de Cassa de laSelva, i Miquel Amengual Covas de Cala Figuera, Mallorca, tenim quatre reptes mes, de l’A105 al’A108, dirigits a estimular les habilitats i coneixements dels nostres fidels lectors.

Tambe publiquem les solucions dels problemes del numero anterior de la SCM/Notıcies: XaviRos Oton es l’autor de l’unica solucio rebuda del problema A101. Gerard Planes i Conangla (FME,UPC, Barcelona) ens envia la solucio del problema A102 que apareix mes avall; Joaquim Nadal iVidal i Xavi Ros Oton tambe n’han aportat sengles solucions i, finalment, Bruno Salgueiro Fanego(Viveiro, Lugo) ens n’envia varies, amb notes bibliografiques i webgrafiques, que tambe publiquem.Del problema A103 n’hem rebut tres solucions, de Joaquim Nadal i Vidal, Bruno Salgueiro Fanegoi Miquel Amengual Covas, respectivament, i publiquem la del primer. Finalment, del problemaA104 en publiquem una solucio de Bruno Salgueiro Fanego, que fa un us intensiu dels nombrescomplexos com a objectes geometrics. Tambe hem rebut solucions de Joaquim Nadal i Vidal ide Ramon Gonzalez Calvet, de l’Institut Pere Calders de Cerdanyola del Valles, que fan servir,tambe intensament, l’algebra geometrica, mentre que Miquel Amengual Covas ens en dona notesbibliografiques. Aquest redactor, pero, no ha pogut resistir la temptacio de mostrar una solucio quenomes usa geometria metrica elemental.

Acabem aquest preambul expressant el nostre agraıment als col.laboradors de la seccio, tant alsproponents com als resolvents i recordant-vos que els fitxers TEX o LaTEXens faciliten molt la feina,tot i que les aportacions en qualsevol altre format, tambe manuscrits, son igualment ben rebudes.Les adreces de correu per a enviar-nos-les son cromero@xtec.cat, o be, carles.romero.c@gmail.com.Fins la propera!

57

Problemes proposats

A105. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Siguin a, b, c i d quatre nom-bres reals i positius que compleixen que abcd = 1.Demostreu que

a9 + b7

b2 + c2 + d2+

b9 + c7

c2 + d2 + a2+

c9 + d7

d2 + a2 + b2+

d9 + a7

a2 + b2 + c2≥ 8

3.

A106. (Proposat per Xavi Ros Oton, FME,UPC.) Sigui {an} una successio de nombres re-als i positius. Proveu que si la serie

∑an es

convergent, aleshores tambe ho es la serie∑

bn,en la qual

bn =an√∑k≥n ak

.

A107. (Proposat per Joaquim Nadal i Vidal, del’IES de Cassa de la Selva.) Demostreu que, pertot nombre natural a > 1 d’expressio decimalamb xifra de les unitats 1, 3, 7 o 9 i per totnombre natural n, hi ha k ∈ N de manera queak, expressat en base 10, te com a darreres xifresn zeros i un u.A108. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.) ABCD es un qua-drilater convex en el qual ABC = 90◦ i, a mes,

AD

BC=

CD

AB=

BD

AC

Provau que aquest quadrilater es un rectangle.

Solucions

A101. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Siguin a, b i c tres nombrespositius amb ab + bc + ca = 1. Demostreu que(

a2 + b2 + c2)4

(a2 3

√a

b + c+

+ b2 3

√b

c + a+ c2 3

√c

a + b

)3

≥ 12

.

Solucio: (Solucio de Xavi Ros Oton, FME-UPC.) En primer lloc observem que

a2 + b2 + c2 − ab− ac− ca =

=(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2

2≥ 0

i, aleshores,

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca = 1 .

Per tant, n’hi ha prou a demostrar que

a2 3

√a

b + c+ b2 3

√b

c + a+ c2 3

√c

a + b≥ 1

3√

2(∗)

Per fer-ho, establirem primer la desigualtatseguent: siguin p ≥ 1 i α ≥ 0; aleshores

ap

(a

b + c

)α

+ bp

(b

c + a

)α

+

+ cp

(c

a + b

)α

≥ (a + b + c)p

3p−12α. (∗∗)

En efecte, definim s = a + b + c i

f : (0, s) −→ R

f(x) = xp

(x

s− x

)α

.

Aleshores,

f(a) = ap

(a

s− a

)α

= ap

(a

b + c

)α

f(b) = bp

(b

s− b

)α

= bp

(b

c + a

)α

f(c) = cp

(c

s− c

)α

= cp

(c

a + b

)α

i

f

(a + b + c

3

)=

(a + b + c)p

3p2α=

13

(a + b + c)p

3p−12α

i la desigualtat (∗∗) es equivalent a

f(a) + f(b) + f(c)3

≥ f

(a + b + c

3

). (∗∗∗)

Fent us de la desigualtat de Jensen, la certesa de(∗ ∗ ∗) quedara demostrada si aconseguim pro-var que la funcio f es convexa. Fent uns quantscalculs, resulta

f ′′(x) =(

x

s− x

)α xp−2

(s− x)2(p(p− 1)x2−

−2s(p− 1)(p + α)x + s2(p + α)(p + α− 1))

58

i per veure que, en el domini (0, s), la segonaderivada es positiva, nomes cal demostrar que

p(p− 1)x2 − 2s(p− 1)(p + α)x+

+ s2(p + α)(p + α− 1) ≥ 0 .

Ara be, l’expressio anterior es una equacioquadratica i, si fem uns quants calculs mes, n’ob-tenim aquest afitament pel discriminant

∆ = 4s2(p− 1)2(p + α)2−− 4p(p− 1)s2(p + α)(p + α− 1) =

= 4s2(p− 1)(p + α)((p− 1)(p + α)−− p(p + α− 1)) =

= −4αs2(p− 1)(p + α) ≤ 0 .

Resulta, doncs, que efectivament,

p(p− 1)x2 − 2s(p− 1)(p + α)x+

+ s2(p + α)(p + α− 1) ≥ 0

i, per tant, f ′′(x) ≥ 0 i la funcio f es convexa, larelacio (∗∗∗) no es res mes que la desigualtat deJensen i la desigualtat (∗∗) queda demostrada.

Finalment, posant p = 2 i α =13

i tenint encompte que

(a + b + c)2 − 3(ab + bc + ca) =

= a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca ≥ 0

obtenim

a2 3

√a

b + c+ b2 3

√b

c + a+ c2 3

√c

a + b≥

≥ (a + b + c)2

3 3√

2≥ 3(ab + bc + ca)

3 3√

2=

13√

2.

tal com volıem demostrar.A102. (D’una Olimpıada de fa molts, moltsanys.) Sigui a un nombre real fixat i siguif : R → R una funcio que compleix

f(x + a) =12

+√

f(x)− (f(x))2

per tot nombre real x. Demostreu que f es unafuncio periodica i doneu-ne un exemple pel casa = 1.Solucio: (Solucio de Gerard Planes i Conangla,FME-UPC.) Busquem l’expressio de f(x + 2a):

f(x + 2a) =12

+√

f(x + a)− (f(x + a))2 =

=12

+

√12

+ A−(

12

+ A

)2

=

=12

+

√12

+ A−(

14+f(x)−(f(x))2 + A

)=

=12

+

√12

+ A− 14− f(x) + (f(x))2 −A =

=12

+

√14− f(x) + (f(x))2 =

=12

+

√(f(x)− 1

2

)2

= f(x) ,

on A =√

f(x)− (f(x))2. Per tant, f(x) es 2a-periodica. Un exemple en seria una ona quadra-da definida a tot R amb

f(x) =

=12, si x ∈ [0, a)

= 1, si x ∈ [a, 2a)

i estenent-la periodicament.

Notes: (Bruno Salgueiro, Viveiro, Lugo.)Una cronica de la desena International Math-

ematical Olympiad (IMO), celebrada a Moscouel 1968, en que hi ha els enunciats i les soluci-ons dels sis problemes que s’hi van proposar latrobareu a http://www.imo-register.org.uk/1968-report-st.html . Aquest problema en fou el cin-que.

Igualment, el problema i la solucio aparei-xen a les pagines 18 i 19 de l’article de Dani-el Lasaosa �Algunas tecnicas de resolucion deecuaciones funcionales en problemas de Olimpi-ada (I): Funciones reales de variable real�, a laRevista Escolar de la Olimpıada Iberoamericanade Matematica, num. 30, marc-abril de 2007.L’esmentada revista es publica nomes en lıniahttp://www.oei.es/oim/revistaoim/.

Tambe podreu trobar l’enunciat i solucionsd’aquest problema a:• Greitzer, Samuel L. International MathematicalOlympiads 1959-1977. Washington, D.C.: TheMathematical Association of America, 1978, a lapagina 10 l’enunciat, i a la 109 i 110 la solucio.• Reiman, Istvan. International MathematicalOlympiads 1959-1999, London: Anthem Press,2001, a la pagina 14 l’enunciat, i a la 133 i 134dues solucions.• Becheanu, Mircea. International MathematicalOlympiads 1959-2000. Freeland, Maryland: The

59

Academic Distribution Center, 2001, a la pagina66 i 67.A103. (Proposat per Xavi Ros Oton, FME-UPC.) Siguin R i r els radis de les circumferen-cies inscrita i circumscrita a un triangle. Proveuque

R

2r≥ A

H,

expressio en que A i H representen, respec-tivament, la mitjana aritmetica i la mitjanaharmonica dels costats del triangle.Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal i Vidal, del’IES de Cassa de la Selva.) Necessitem un lemaprevi: si B, C i D son els angles d’un triangle,aleshores

z = sinB sinC + sinB sinD+

+ sin C sinD ≤ 94

(∗)

En efecte: fixem l’angle D i posem K = 180◦−D;aleshores

C = 180◦ −B −D = K −B .

Considerem ara u = sinB sinC = sinB sin(K−B) i derivem u respecte de B per buscar-nemaxims:

u′ = cos B sin(K −B)− sinB cos(K −B) == sin((K −B)−B) = sin(K − 2B)

u′′ = −2 cos(K − 2B) .

Per tal que u′ = 0, ha de ser sin(K − 2B) = 0,i K = 2B dona el punt estacionari

B =K

2= C

i, com que

u′′(

K

2

)= −2 cos

(K − 2

K

2

)=

= −2 cos 0 = −2 < 0

es tracta d’un maxim.Estudiem ara v = sinB + sinC = sinB +

sin(K −B) i, de la mateixa manera, busquem-liun maxim:

v′ = cos B − cos(K −B)v′′ = − sinB − sin(K −B) .

Per B = K −B, es a dir, per

B =K

2= C

tenim un punt estacionari en el qual la segonaderivada val

v′′(

K

2

)= − sin

K

2− sin

(K − K

2

)=

= −2 sinK

2< 0

perque 0◦ <K

2< 180◦. Tambe es un maxim. Si

u i v maximitzen el seu valor en el mateix lloc,quan B = K

2 = C, aleshores, per a cada D, elvalor de

z = u + v sinD

sera maxim quan B = C. Tenim, doncs,

z = sin2 B + 2 sinB sinD

i, com que, D = 180◦ − 2B,

z = sin2 B + 2 sinB sin 2B =

= sin2 B + 4 sin2 B cos B =

= sin2 B(1 + 4 cos B) .

Busquem ara els extrems de z(B):

z′(B) =

= 2 sin B cos B(1 + 4 cos B)− 4 sin3 B =

= 2 sin B(cos B + 4 cos2 B − 2 sin2 B

)=

= 2 sin B(cos B + 6 cos2 B − 2

)z′′(B) = 2 cos B

(cos B + 6 cos2 B − 2

)−

− 2 sinB(sinB + 12 cos B sinB) =

= 2(cos B

(cos B + 6 cos2 B − 2

)−

− sin2 B(1 + 12 cos B))

.

Per a z′(B) = 0 les possibilitats son:

a) Que sinB = 0, cosa impossible si el trianglees no degenerat.

b) Que 6 cos2 B + cos B − 2 = 0, amb la solucio

impossible cos B = −23, que implica que B = C

son obtussos, i la solucio cos B =12, que implica

B = C = 60◦ i, per tant D = 60◦. En aquestescondicions

u′′(60◦) = 2(

12

(12

+ 614− 2

)−

− 34

(1 + 12

12

))= −21

2< 0

i B = C = D = 60◦ fa un maxim.

60

Tenim, en definitiva, que el valor maxim dez es

z(60◦) =34(1 + 4

12) =

94

i aixo acaba la demostracio del lema (∗).Passem ara a la demostracio de la desigual-

tat inicial: siguin b, c i d els tres costats deltriangle, oposats respectivament als angles B,C i D. Tenim que

A =b + c + d

3

H =3

1b

+1c

+1d

=3bcd

bc + cd + db

b

2 sinB=

c

2 sinC=

d

2 sinD= R

[4BCD] = bc sinD = bd sin C =cd sinB = (b + c + d)r

2r =2bc sinD

b + c + d=

2bd sinC

b + c + d=

2cd sinB

b + c + d.

Ara, a partir del lema (∗), podem escriure

2[4BCD]9− 4(sinB sinC + sinB sinD + sin C sinD)

4 sinB sinC sinD≥

≥ 0

o sigui,

3− 4 sinB sinC

4 sinB sinC sin Dbc sinD+

+3− 4 sinB sinD

4 sinB sinC sinDbd sinC+

+3− 4 sinC sinD

4 sinB sinC sinDcd sinB ≥ 0

es a dir

bc

(3

4 sinB sinC− 1

)+ bd

(3

4 sinB sinD− 1

)+

+ cd

(3

4 sinC sinD− 1

)≥ 0

i, aleshores,

3b

2 sinB

c

2 sinC+ 3

b

2 sinB

d

2 sinD+

+ 3c

2 sinC

d

2 sinD≥ bc + bd + cd

que dona

3R2 + 3R2 + 3R2 = 9R2 ≥ bc + bd + cd .

Ara substituım R perb

2 sinB:

9b2

4 sin2 B≥ bc + bd + cd

i dividim per 3bcd:

3b

4cd sin2 B≥ bc + cd + db

3bcd=

1H

.

Finalment, multipliquem per la mitjana aritme-tica A i obtenim:

A

H≤ 3Ab

4cd sin2 B=

b(b + c + d)4cd sin2 B

=

=

b

2 sinB2cd sinB

b + c + d

=R

2r

que es la desigualtat demanada.A104. (Proposat per la redaccio.) Tenim unquadrilater en el pla i construım quadrats sobreels seus costats a l’exterior d’aquest quadrilater.Demostreu que els segments que uneixen els cen-tres de quadrats construıts sobre costats oposatsdel quadrilater son perpendiculars i de la matei-xa longitud.Solucio 1: (Solucio de Bruno Salgueiro Fanego,Viveiro, Lugo.) Assignem als vertexs consecu-tius i donats en sentit antihorari, A, B, C i D,del quadrilater i als centres A′, B′, C ′ i D′ delsquadrats construıts sobre els costats AB, BC,CD i DA els nombres complexos a, b, c, d, a′, b′,c′ i d′ respectivament. El vector

−−→A′A, represen-

tat pel nombre complex a− a′, s’obte en girarun angle recte en sentit antihorari el vector

−−→A′B,

representat pel nombre complex b−a′. Per tant,

a− a′ = i(b− a′

)es a dir

a′ =a + b

2+ i

a− b

2.

De la mateixa manera,

b′ =b + c

2+ i

b− c

2, c′ =

c + d

2+ i

c− d

2i

d′ =d + a

2+ i

d− a

2.

Aleshores,

c′ − a′ =c + d

2− a + b

2+ i

(c− d

2− a− b

2

)=

61

=d− a

2− b− c

2+ i

(b + c

2− d + a

2

)=

= i

(b + c

2− d + a

2+ i

(b− c

2− d− a

2

))=

= i(b′ − d′

)mostrant que el vector

−−→A′C ′ s’obte en girar el

vector−−−→D′B′ un angle recte en sentit antihorari,

cosa que implica que els segments A′C ′ i D′B′

son perpendiculars i de la mateixa longitud.Solucio 2: (Solucio de la redaccio.)

Siguin A, B, C i D els vertexs del quadri-later, P , Q, R i S els centres dels quadratsconstruıts sobre els seus costats, AC una deles diagonals del quadrilater, M el punt mitjad’aquesta diagonal, sigui K el vertex oposat aA en el quadrat construıt sobre el costat AB iL el vertex oposat a C en el quadrat construıtsobre el costat CB.

Considerem els triangles 4KBC i 4ABL.Com que son costats de sengles quadrats, BK =BA i BC = BL. D’altra banda,

CBK =π

2+ ABC = ABC +

π

2= ABL

i, en consequencia, els triangles4KBC i4ABLson congruents i, a mes, les parelles de costats

homolegs son perpendiculars. En resulta

KC = AL i KC ⊥ AL .

Considerem ara els triangles 4KAC i 4ACL.Com que QM es la paral.lela mitjana relativa ala base KC del triangle 4KAC i MR es la pa-ral.lela mitjana relativa a la base AL del 4ACL,tenim

QM =12

KC =12

AL = MR i

QM ‖ KC ⊥ AL ‖ MR

i un raonament del tot paral.lel porta a que

PM = MS i PM ⊥ MS

Considerem, finalment, els triangles 4QMS i4RMP . D’una banda, ja tenim que MQ = MRi que MS = MP . Ara be,

QMS =π

2+ RMS = RMS +

π

2= RMP

i els triangles 4QMS i 4RMP son congruentsi, a mes, les parelles de costats homolegs sonperpendiculars. En resulta

QS = PR i QS ⊥ PR .

Notes: (Miquel Amengual Covas, Cala Figuera,Mallorca.) El problema A104 l’he trobat resoltde tres maneres diferents: una solucio euclıdia iuna amb nombres complexos apareixen al llibre:• Diego Martın, Braulio Luis de & Gordillo Flo-rencio, Elıas Jose.: Problemas de Oposiciones1986-1987. Madrid: Ed. Deimos, 1988, 206–209.

La tercera solucio aplica rotacions i simetriesi es a:• Yaglom, I., M.: Geometric Transformations I.The Mathematical Association of America, 1962.(New Mathematical Library). A les pagines 39–40 l’enunciat i a la 95 i 96 la solucio.

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

62

Tesis

En aquesta seccio de la SCM/Notıcies, que gairebe es tan antiga com la mateixa revista, hempublicat resums de la majoria de les tesis en matematiques que s’han llegit al llarg dels anys a lesdiverses universitats catalanes.

I ho continuarem fent. Pero com que amb els nous plans d’estudis que ja estan vigents, elsalumnes dels diferents masters en matematiques han de fer un treball de fi de master, hem pensatenriquir la seccio incloent-hi tambe resums d’aquests treballs a partir del proper numero. Fem unacrida, doncs, a tots els estudiants que hagueu llegit els vostres treballs, en qualsevol tematica dematematiques, durant aquests ultims anys, perque ens envieu els vostres resums. Tots els que rebrema temps seran inclosos en el proper numero de la SCM/Notıcies.

Ajuts per a tesis doctorals en catala

La Generalitat de Catalunya (a traves de l’AGAUR) dona ajuts especialsper a escriure les tesis en catala.

Els poden sol.licitar tots aquells a qui els falti poc per escriure i defensarla tesi doctoral.

L’ultima convocatoria es va tancar el 15 de juliol passat, pero es preveuque es tornara a obrir el proper curs.

L’objectiu dels ajuts era atorgar ajuts per a tesis doctorals escrites encatala que s’haguessin defensat durant l’any 2010, per tal de contribuir ales despeses i taxes administratives associades amb la finalitzacio de latesi doctoral i amb el tramit d’obtencio del tıtol de doctor o doctora.

Podien sol.licitar l’ajut totes les persones que haguessin defensat la tesidurant l’any 2010, que haguessin obtingut el tıtol de doctor en unauniversitat del sistema universitari de Catalunya o de fora de l’Estatespanyol, i que haguessin escrit la tesi en catala, d’acord amb la base 1de la convocatoria.

Mes informacio:http://www10.gencat.cat/agaur web/AppJava/catala/

a beca.jsp?categoria=altres&id beca=17741

63

Jacqueline Stedall (University of Oxford, UK)From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections: filling a gap in the history of algebra (Heritage of European Mathematics)

ISBN 978-3-03719-092-0. 2011. 236 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 68.00 Euro

This book is an exploration of a claim made by Lagrange in the autumn of 1771 as he embarked upon his lengthy Réflexions sur la résolution algébrique des équa-tions: that there had been few advances in the algebraic solution of equations since the time of Cardano in the mid sixteenth century. That opinion has been shared by many later historians. The present study attempts to redress that view and to examine the intertwined developments in the theory of equations from Cardano to Lagrange. A similar historical exploration led Lagrange himself to insights that were to transform the entire nature and scope of algebra.The book is written in three parts. Part I offers an overview of the period from Cardano to Newton (1545–1707) and is arranged chronologically. Part II covers the pe-riod from Newton to Lagrange (1707–1770) and treats the material according to key themes. Part III is a brief account of the aftermath of the discoveries made in the 1770s. The book attempts throughout to capture the reality of mathematical discovery by inviting the reader to follow in the footsteps of the authors themselves.

Yurii A. Neretin (University of Vienna, Austria; Institute for Theoretical and Experimental Physics and Moscow State University, Moscow, Russia)Lectures on Gaussian Integral Operators and Classical Groups (EMS Series of Lectures in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-080-7. 2011. 571 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 58.00 Euro

This book is an elementary self-contained introduction to some constructions of representation theory and related topics of differential geometry and analysis. Topics covered include the theory of various Fourier-like integral operators as Segal–Bargmann transforms, Gaussian integral operators in L2 and in the Fock space, integral operators with theta-kernels, the geometry of real and p-adic classical groups and symmetric spaces. The heart of the book is the Weil representation of the symplectic group (real and complex realizations, relations with theta-functions and modular forms, p-adic and adelic constructions) and representations in Hilbert spaces of holomorphic functions of several complex variables.The book is addressed to graduate students and researchers in representation theory, differential geometry, and operator theory. The reader is supposed to be familiar with standard university courses in linear algebra, functional analysis, and complex analysis.

Individual members of the EMS, member societies or societies with a reciprocity agreement (such as the American, Australian and Canadian Mathematical Societies) are entitled to a discount of 20% on any book purchases, if ordered directly at the EMS Publishing House.

European Mathematical Society Publishing HouseSeminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum FLI C4

Fliederstrasse 23CH-8092 Zürich, Switzerland

orders@ems-ph.orgwww.ems-ph.org

New books published by the

Damien Calaque (ETH Zurich, Switzerland) and Carlo A. Rossi (Max Planck Institute for Mathematics, Bonn, Germany)Lectures on Duflo Isomorphisms in Lie Algebra and Complex Geometry (EMS Series of Lectures in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-096-8. 2011. 114 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 24.00 Euro

Duflo isomorphism first appeared in Lie theory and representation theory. It is an isomorphism between invariant polynomials of a Lie algebra and the center of its universal enveloping algebra, generalizing the pioneering work of Harish-Chandra on semi-simple Lie algebras. Later on, Duflo’s result was refound by Kontsevich in the framework of deformation quantization, who also observed that there is a similar isomorphism between Dolbeault cohomology of holomorphic polyvector fields on a complex manifold and its Hochschild cohomology. The present book, which arose from a series of lectures by the first author at ETH, derives these two isomorphisms from a Duflo-type result for Q-manifolds.The book is well-suited for graduate students in mathematics and mathematical physics as well as for researchers working in Lie theory, algebraic geometry and deformation theory.

Noncommutative Geometry and Physics: Renormalisation, Motives, Index Theory (ESI Lectures in Mathematics and Physics)Alan Carey (Australian National University, Canberra, Australia), Editor

ISBN 978-3-03719-008-1. July 2011. 281 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 58.00 Euro

This collection of expository articles grew out of the workshop “Number Theory and Physics” held in March 2009 at the The Erwin Schrödinger International Institute for Mathematical Physics, Vienna. The common theme of the articles is the influence of ideas from noncommutative geometry on subjects ranging from number theory to Lie algebras, index theory, and mathematical physics.Contributors to this volume are Matilde Marcolli, Jorge Plazas and Sujatha Ramdorai, Alan Carey, John Phillips and Adam Rennie, Alain Connes and Dirk Kreimer, Dominique Manchon, Christoph Bergbauer, and Sylvie Paycha.

Shmuel Onn (Technion – Israel Institute of Technology, Haifa, Israel)Nonlinear Discrete Optimization. An Algorithmic Theory (Zurich Lectures in Advanced Mathematics)

ISBN 978-3-03719-093-7. 2010. 147 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 32.00 Euro

This monograph develops an algorithmic theory of nonlinear discrete optimization. It introduces a simple and useful setup which enables the polynomial time solution of broad fundamental classes of nonlinear combinatorial optimization and integer programming problems in variable dimension. An important part of this theory is enhanced by recent developments in the algebra of Graver bases. The power of the theory is demonstrated by deriving the first polynomial time algorithms in a variety of application areas within operations research and statistics, including vector partitioning, matroid optimization, experimental design, multicommodity flows, multi-index transportation and privacy in statistical databases.The monograph is intended for graduate students and researchers. It is accessible to anyone with standard undergraduate knowledge and mathematical maturity.

Kenji Nakanishi (Kyoto University, Japan) and Wilhelm Schlag (University of Chicago, USA)Invariant Manifolds and Dispersive Hamiltonian Evolution Equations (Zurich Lectures in Advanced Mathematics)

ISBN 978-3-03719-095-1. July 2011. Approx. 260 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 40.00 Euro

The notion of an invariant manifold arises naturally in the asymptotic stability analysis of stationary or standing wave solutions of unstable dispersive Hamiltonian evolution equations such as the focusing semilinear Klein–Gordon and Schrödinger equations. This is due to the fact that the linearized operators about such special solutions typically exhibit negative eigenvalues (a single one for the ground state), which lead to exponential instability of the linearized flow and allows for ideas from hyperbolic dynamics to enter. These lectures are suitable for graduate students and researchers in partial differential equations and mathematical physics. For the cubic Klein–Gordon equation in three dimensions all details are provided, including the derivation of Strichartz estimates for the free equation and the concentration-compactness argument leading to scattering due to Kenig and Merle.

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: scm@iec.cat Adreca web: http://scm.iec.cat

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant (cal acreditacio*) Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Desitjo fer-me soci en reciprocitat de: EMS RSME

Nom i cognoms:o institucio

Adreca: Codi postal:

Poblacio: NIF:

Correu electronic: Telefon: Fax:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio bancaria

El sotasignat autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana de

Matematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi / el compte corrent / la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’entitat, oficina i dıgits de control:

Numero de compte o llibreta:

Targeta de credit: Caducitat:

Data: NIF:

Signat:

SignaturaLes quotes per a l’any 2010 son les seguents: 36 euros socis ordinaris, 18 euros socis estudiants i membres de

societats amb conveni de reciprocitat, 72 euros institucions, 23 euros EMS i 25 euros RSME, les dues ultimes

pagant la quota a traves de la SCM.

D’acord amb la Llei organica 15/1999, del 13 de desembre, de proteccio de dades de caracter personal, us informem

que les vostres dades seran incorporades en un fitxer que es responsabilitat de l’Institut d’Estudis Catalans, amb la

finalitat de gestionar els socis i d’enviar comunicacions de les activitats i publicacions de la Societat i de l’Institut

d’Estudis Catalans (IEC). Podeu exercir els drets d’acces, rectificacio, cancel.lacio i oposicio de les vostres dades

personals adrecant-vos per escrit a l’Institut d’Estudis Catalans (carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona) o be

enviant un correu electronic a l’adreca lopd@iec.cat.

*Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula.