SCM/Not́ıcies

Juliol 1999. Número 11

Report de la Junta

En aquest final del curs acadèmic ens pertocade fer una mica de balanç de les diferents activi-tats que s’han dut a terme i començar a treba-llar per intentar superar-nos el curs vinent, queestarà marcat per la commemoració de l’AnyMundial de les Matemàtiques i per la celebra-ció del 3ECM, però que també pot ser l’any enquè les proves Cangur arribin pràcticament a latotalitat dels centres de secundària de Catalu-nya.

Tot seguit destaquem breument alguns te-mes dels quals trobareu informació ampliada enaquest mateix exemplar:

• En la sessió de la Junta del dia 20 d’abril,el Comitè Executiu del 3ECM va informarde l’estat de l’organització d’aquest congrés,que avança satisfactòriament.

• La fase estatal de l’Olimṕıada es va celebrara Granada el dia 11 de març. Els vuit repre-sentants catalans van obtenir dues medallesde plata i tres de bronze.

• Les proves Cangur es van fer el dia 18 demarç, amb la participació de 4050 estudiantsde 232 centres. La sessió de lliurament depremis va tenir lloc el dia 18 de maig a la salaPrat de la Riba de l’IEC, i va ser en el decursd’aquest acte que Pere Solà va anunciar lavoluntat del Departament d’Ensenyament dedonar suport a l’organització d’una jornadaespecial per al Cangur 2000. Com a cloendadel Cangur-99, el dia 3 de juny es farà unareunió amb els responsables dels centres perfer la valoració de les proves d’enguany i co-mençar a preparar les actuacions per a l’anyvinent.

Pel que fa a altres qüestions, potser méspuntuals, volem fer esment de les següents:

• Estem en procés d’establir un conveni de re-ciprocitat amb la FEEMCAT. Quan aquests’hagi ratificat us farem arribar informaciómés detallada de les condicions.

• El professor Joan Cerdà representarà la SCMal subcomitè ICMI (International Comissionon Mathematical Instruction) del Comité Es-pañol ante la IMU. Com el seu nom indica,aquest és el subcomitè encarregat de les qües-tions relacionades amb l’ensenyament de lesmatemàtiques.

• Han sortit publicats els Proceedings de lesJornades de F́ısica i Geometria que van te-nir lloc a finals de l’any 1997.

2000Any Mundial de les Matemàtiques

Sens dubte, per a la nostra comunitat ma-temàtica, l’acte central de commemoració del’Any Mundial de les Matemàtiques serà la ce-lebració a Barcelona del 3ECM i, un cop més,des de la Junta volem encoratjar-vos a totsa participar-hi activament. Però també cre-iem que aquesta és una excel.lent oportunitatper arribar a amplis sectors de la societat ique hem de treballar en aquesta direcció. Peraixò, la SCM ha impulsat la creació de la Co-missió Catalana de l’Any Mundial de les Ma-temàtiques (CAMM), que presideix JoaquimOrtega i compta amb representació de les uni-versitats i de la FEEMCAT. Aquesta Comis-sió és l’encarregada de fer les propostes concre-tes dels actes que s’han de realitzar a Catalu-nya. Les seves activitats es coordinen amb lesdel 3ECM i les de la CEAMM-2000, comissióformada per representants de diverses societatsmatemàtiques de l’estat.

1

Amb l’objectiu esmentat d’aconseguir unfort ressò per a aquesta commemoració, la Jun-ta va acordar iniciar les gestions oportunes pertal d’obtenir suport espećıfic del Parlament deCatalunya i altres institucions catalanes. Amitjan març va tenir lloc una entrevista amb elpresident del Parlament, qui va acollir la ideafavorablement, i en aquests moments la propos-

ta segueix els tràmits parlamentaris pertinents.Quant a les activitats concretes que ja s’es-

tan duent a terme, podem citar la prepara-ció d’una exposició de pòsters de temàtica ma-temàtica i la recollida de propostes dels centresde secundària per desenvolupar en el marc deles proves Cangur i l’Olimṕıada.

Tercer Congrés Europeu de Matemàtiques

Entrevista a: Marta Sanz i Solé

Com sabeu, al juliol del 2000 es celebrarà a Bar-celona el Tercer Congrés Europeu de Matemàti-

ques organitzat per la Societat Catalana de Ma-temàtiques sota els auspicis de la Societat Eu-ropea de Matemàtiques. La gran importànciadel Congrés i la seva complexitat comportenque des de fa més de dos anys els organitza-dors estiguin desplegant una gran activitat. Perconèixer l’estat actual dels preparatius i detallsal voltant del Congrés parlarem avui amb ladoctora Marta Sanz i Solé, membre del Co-mitè Organitzador i encarregada de la Secre-taria Executiva del Congrés.

Marta Sanz i Solé, doctora en matemàtiquesper la Universitat de Barcelona, és catedràticade la Facultat de Matemàtiques de la Univer-sitat de Barcelona des de 1986. Persona moltorganitzada i incansable, ha sabut fer compa-tible la docència, la recerca i els càrrecs degestió propis de la vida universitària: Com adocent, ha estat professora de les universitatsPolitècnica de Catalunya i Autònoma de Bar-celona; com a investigadora és especialista enanàlisi estocàstica i ha publicat més d’una cin-quantena d’articles en revistes internacionals iha dirigit nombroses tesis doctorals; finalment,en l’aspecte de gestió només diem que ha estatdegana de la Facultat de Matemàtiques entre

2

1993 i 1996. Actualment és membre del ComitèExecutiu de l’European Mathematical Society.

Pregunta. En quin moment comences ainvolucrar-te en l’organització del congrés?

Resposta. Va ser justament després del Se-gon Congrés Europeu de Matemàtiques cele-brat a Budapest l’agost de 1996 que la Euro-pean Mathematical Society (EMS), en el seuConsell General, va adjudicar a la Societat Ca-talana de Matemàtiques (SCM) l’organitzaciódel tercer congrés. Hi havia diverses candida-tures però la de Barcelona va resultar guanya-dora. El president de la SCM, doctor SebastiàXambó, va crear de seguida un comitè organit-zador, del que em va demanar de formar part,que va tenir ja una primera reunió constituentel 3 de desembre de 1996. Des d’aleshores enshem reunit un cop al mes i hem anat treballanta un ritme fort i constant.

P. Quina és més exactament la teva tasca dinsd’aquest Comitè?

R. La meva principal preocupació és la coor-dinació i seguiment dels diversos grups. Portoun cronograma de totes les tasques a realitzarper controlar que es comencen, es fan i s’aca-ben en els terminis previstos. Mantinc un grancontacte amb el president, amb qui parlem delsdiferents temes i a qui ajudo a preparar l’ordredel dia de les reunions del comitè.

P. Has passat per moments de desànim en quèhas vist perillar l’organització del congrés?

R. Sempre hi ha moments dif́ıcils però les ga-nes de tirar endavant i el voluntarisme de lespersones involucrades han salvat tots els obsta-cles. El gran problema és que per a tots nosal-tres és una feina afegida: afegida a la recerca,a la docència i per a molts, a les tasques bu-rocràtiques pròpies de la Universitat. No hi hauna secretària exclusiva del Comitè. És cert queNúria Fuster, secretària de la SCM, ens ajudamolt, i comptem també amb dues persones mésque fan diverses feines, però tan sols per hores.A més no disposem d’un lloc on centralitzar lestasques del Comitè i això es veu dif́ıcil d’arre-glar ja que hi ha persones de tres universitats.Ara que entrem en la recta final potser hau-rem de pensar alguna solució que simplifiqui lagestió.

P. Quina quantitat de participants teniu pre-vist de rebre?

R. En aquest moments ja hi ha més de 900preinscrits i les previsions són d’arribar a 1.500participants. La tramesa del full informatiu3ecm Not́ıcies, núm. 1, va significar un incre-ment significatiu de preinscripcions. Aquestestiu sortirà el 3ecm Not́ıcies, núm. 2, queesperem que obtingui el mateix èxit. Totaaquesta informació es penja després a la webhttp://www.iec.es/3ecm/

P. Tinc entès que es celebrarà al Palau de Con-gressos. No fora més adient una Universitat?R. En principi vam pensar de fer-ho a les uni-versitats; després de diverses visites i estudisde viabilitat ens vàrem decantar per la UB,però fent els actes inaugurals i de cloenda alPalau de Congressos, únic lloc que podia aco-llir 1500 persones. Però això implicava utilitzartres facultats diferents i estar dos dies en unlloc (Montjüıc) i tres en un altre (Pedralbes).Els diversos expositors van posar problemes atanta mobilitat per la dificultat que representamuntar i desmuntar els estands, de manera quequan vam veure que el finançament ho permetiaens vàrem decidir pel Palau.

P. Col.laboren però les Universitats amb el3ECM?R. Les tres universitats on hi ha la carrera dematemàtiques, UB, UAB i UPC, hi col.laboreneconòmicament, amb infraestructura i amb ca-pital humà.

P. Serà adequat el Palau a les caracteŕıstiquesdel 3ECM?R. Entre els patrocinadors que hem aconse-guit hi ha Retevisión, que s’encarregarà de lainfraestructura tècnica d’informació, com aracàmeres de video, panells, connexions a In-ternet, etc. A més, el lloguer del Palau in-clou personal de suport amb molta experiènciaen aquest tipus d’esdeveniments. També te-nim el projecte d’engrescar estudiants de ma-temàtiques perquè col.laborin com a voluntarisen determinades tasques de l’organització. Abanda d’aquest aspecte de col.laboració, la par-ticipació dels estudiants de doctorat i darrerscursos de llicenciatura en el congrés pot ser, pera ells, una gran ocasió de tenir una visió de lamatemàtica en la veu d’especialistes de primerordre.

P. Hi ha altres patrocinis a part de Retevisión?R. De moment n’hi ha més d’una vintena. Al-gunes de les empreses ofereixen directament

3

la seva col.laboració, com ara Retevisión oLogic-Control, però moltes altres aporten di-ners. Aquestes quantitats es destinen entre al-tres coses a pagar conferenciants, a beques pera estudiants i per a participants de päısos del’Est (tema molt cuidat per l’EMS), a premisper a joves investigadors (concretament menorsde trenta-dos anys), etc. Aquests premis elsatorga formalment la EMS, encara que ho fa através nostre, i n’hi ha deu d’un milió de pes-setes cadascun.

P. La qualitat dels conferenciants marcarà lavàlua cient́ıfica del 3ECM. S’ha aconseguit uncartell prou atractiu?

R. Les nou conferències plenàries les faran ma-temàtics del màxim prestigi internacional, al-guns d’ells medalles Fields, o el mateix AndrewWiles, mundialment conegut pel problema deFermat. De tota manera aquests conferenciantsno han estat elegits directament per nosaltressinó per un comitè cient́ıfic nomenat per l’EMS.Cal dir que, a més del Comitè Organitzador,hi ha tres comitès: el Cient́ıfic, el de Premisi el de Taules Rodones, i llurs presidents, quesón Sir Michael Atiyah, Jacques-Louis Lions iMiguel de Guzmán respectivament, han estatnomenats per l’EMS però a suggeriment nos-tre. Continuant amb el tema dels conferenci-ants, també hi ha trenta conferències invitades,també escollides pel Comitè Cient́ıfic, que haapostat per matemàtics joves i brillants, totsd’un gran nivell i solvència. De manera quecrec que, des del punt de vista cient́ıfic, l’èxitestà més que assegurat.

P. Quin és l’interès de fer un congrés generalde matemàtiques?

R. En un congrés d’aquest estil es veuran lesgrans tendències de la matemàtica d’avui i lesĺınies de futur. Generalment els matemàtics as-sistim a congressos o cursos de la nostra espe-cialitat, cosa que està molt bé, però ara tin-drem l’oportunitat d’escoltar temes molt diver-sos que ens permetran tenir una visió global dela matemàtica. D’altra banda, l’intercanvi deconeixements amb especialistes d’altres campsés molt interessant; l’experiència demostra quetrafegar informació d’una àrea a una altra ésmolt enriquidor per a les dues parts.

A més, el 3ECM cuidarà aspectes de la re-lació entre ciència i tecnologia, que és molt im-portant. Hi ha un apartat dedicat al Softwa-

re matemàtic. També hi haurà taules rodo-nes, pensades per analitzar la relació entre lesmatemàtiques i altres aspectes, com l’educaciómatemàtica o la poĺıtica cient́ıfica. Finalment,es celebraran minisimposis sobre temes de lamàxima actualitat, com la matemàtica de lesfinances o el processament de senyals. Podeutrobar la informació a l’adreça de la web quehem dit abans.

P. I per què Europeu?R. A partir de la fi de la segona Guerra Mundi-al gran part de la força cient́ıfica i tecnològicaeuropea va passar als Estats Units. Però Eu-ropa (en un sentit ampli) té suficient entitat,tradició i història per impulsar i potenciar eldesenvolupament de tots els camps cient́ıfics.Són nombrosos els vincles culturals i socials en-tre els päısos europeus, que, a més, cada cop te-nen més contactes entre ells. Tot això afavoreixmolt la col.laboració i la realització d’activitatsintegradores com aquest congrés.

P. I el benefici esperat per a Catalunya?R. Hauria de servir de trampoĺı als matemàticscatalans per poder-se llançar a Europa. Talcom va demostrar el Report de la recerca a Ca-talunya el nivell de la matemàtica a casa nostraés força bo. No obstant això, el nivell reflectiten els articles cient́ıfics no es tradueix desprésen presència de matemàtics catalans en organis-mes internacionals de decisió, comitès editori-als, etc. El 3ECM ens ha de servir per mostrar-nos com a col.lectiu i adquirir pes en la comu-nitat cient́ıfica europea i internacional.

P. Però Catalunya acaba de disminuir les ho-res d’ensenyament de matemàtiques a l’ense-nyament secundari. No va això en direcciócontrària?R. Dissortadament, śı; aquest tema sortirà, es-pero, en una taula rodona. Cal dir, però, queno és l’únic páıs on passa això i que l’EMS estàfent gestions a Brusel.les davant del Govern dela Comunitat per pactar el que en diuen Re-ference Levels, que seria com un programa demı́nims que haguessin de complir tots els päısosde la Comunitat.

P. Vols afegir alguna cosa més?R. Voldria animar la comunitat matemàticacatalana a participar activament en el 3ECM.Això vol dir, en primer lloc, inscriure’s –la quo-ta serà de 23.000 pessetes per a membres de laSCM. Per donar a conèixer els nostres treballs

4

es poden presentar pòsters, però no comunica-cions ja que, com he dit, totes les conferènciessón per invitació.

Un altre aspecte que ens interessa potenciarés el de l’organització d’activitats satel.lit, és adir, activitats cient́ıfiques properes en temps illoc al 3ECM. De moment n’hi ha nou de pro-gramades, tres d’elles a Catalunya, i estaria béque aquest nombre s’incrementés. Aprofito perfer una crida, sobre tot als grups de recerca,molts dels quals tenen ja àmplia experiència en

l’organització de workshops i congressos, per-què s’animin a organitzar alguna cosa d’aquesttipus, ja que encara estan a temps per fer-ho.

Vull informar també que hi haurà una quo-ta molt especial de només 3.000 pessetes per aestudiants i que s’està gestionant que la sevaassistència comporti crèdits de lliure elecció.D’aquesta manera volem involucrar en el 3ECMals que seran els matemàtics del segle xxi.

Moltes gràcies i sort en el 3ECM

A. Reventós i F. UtzetUAB, març 1999

Reunió del Comitè Cient́ıfic

El Comitè Cient́ıfic del 3ECM es va reunirper segona (i última) vegada a Barcelona elsdies 9 i 10 d’abril de 1999, sota la presidènciade Sir Michael Atiyah. Varen prendre-hi parttambé el president del congrés, doctor Sebas-tià Xambó Descamps, i la responsable de pro-gramació i activitats, doctora Rosa Maria MiróRoig.

Durant aquesta reunió es varen decidir lamajoria dels noms dels trenta conferenciantsinvitats a les sessions paral.leles del congrés,que s’afegiran als nou conferenciants plenarisque ja us vàrem anunciar en el número 10de l’SCM/Not́ıcies. La llista completa delsconferenciants es farà pública quan es tinguiconfirmació que han acceptat.

L’altre punt important en la reunió del Co-mitè Cient́ıfic va ser la preparació dels minisim-posis del 3ECM. Donem a continuació la llistadels temes escollits i de les persones que els co-ordinaran.

Minisimposis

Els minisimposis es faran el dimarts, el dime-cres i el dijous (11, 12 i 13 de juliol del 2000),al final de cada mat́ı. Seran sessions de con-ferències curtes sobre temes molt actuals i inter-disciplinaris. Se n’han previst deu en paral.lel;els conferenciants seran seleccionats pels coor-dinadors de cada tema. La llista aprovada pel

Comitè Cient́ıfic és la següent:

• Quantum Chaology. Coordinador: SirMichael Berry (Bristol).

• Computer Algebra. Coordinador: Wol-fram Decker (Saarland).

• Population Genetics. Coordinador: PeterDonnelly (Oxford).

• String Theory and M-Theory. Coordi-nador: Michael Douglas (Rutgers).

• Mathematical Finance: Theory andPractice. Coordinador: Hélyette Geman(Paŕıs IX i ESSEC).

• Quantum Computing. Coordinador: San-du Popescu (Cambridge).

• Free Boundary Problems. Coordinador:José Francisco Rodrigues (Lisboa).

• Symplectic and Contact Geometry andHamiltonian Dynamics. Coordinador:Mikhail B. Sevryuk (Moscou).

• Algebraic Geometric Codes. Coordina-dor: Gerard van der Geer (Amsterdam).

• Wavelet Applications in Signal Pro-cessing. Coordinador: Andrew T. Walden(Londres).

5

Internacional

Escoles d’estiu de l’EMS

L’European Mathematical Society (EMS)ha organitzat amb molt èxit diverses escolesd’estiu aquests darrers anys. En el Newslet-ter podeu trobar per exemple informació de laSummer School a Hongria el 1996 sobre Geome-tria Algebraica [volum 20, p. 22] i de la Sum-mer School de 1998 sobre Wavelets a l’Anàlisii Simulació a França [volum 29].

Desitjaŕıem tenir almenys dues escoles d’es-tiu cada any, una de matemàtica pura i unaaltra de matemàtica aplicada. Amb aquestaactivitat, l’EMS vol encoratjar els matemàticseuropeus joves a trobar-se i estudiar plegats elsdesenvolupaments actuals de les matemàtiquesi les seves aplicacions.

El Comité de la Societat Europea per a lesSummer Schools considerarà les propostes depatrocini per a escoles d’estiu completament or-ganitzades per altres institucions.

Les expectatives de l’EMS són que cada es-cola hauria de tenir un nivell predoctoral, unesdues o tres setmanes de duració i entre 100o 200 participants —principalment estudiantsgraduats o joves matemàtics provinents de di-versos päısos europeus.

Els costos de participació haurien de ser bai-xos i (si és possible) hauria d’haver-hi bequesper aquelles persones de päısos que no podenoferir suport econòmic.

L’EMS donarà suport moral a les escolesseleccionades, i en farà propaganda dins de lacomunitat matemàtica europea; també farà elpossible per ajudar els organitzadors a obtenirfons.

Fóra convenient que els temes (que podenser simples o compostos) per a les escoles d’es-tiu, els llocs, i els organitzadors de les escolesvariessin d’any a any per tal de cobrir un ampliventall de possibilitats.

L’EMS demana propostes per almenys duesescoles d’estiu per al 2001. Aquestes proposteshan de contenir com a mı́nim: el tema (t́ıtol ibreu descripció), noms dels professors, lloc, da-tes, costos previstos, condicions per als partici-pants, membres del comitè organitzador i nomi adreça de la persona que presenta la proposta.

Les propostes s’han d’enviar a:

Professor D. A. Brannan,

Faculty of Mathematics and Computing,

The Open University,

Walton Hall,

Milton Keynes MK7 6AA,

United Kingdom

Fax: +44 1908-652140

A/e: d.a.brannan@open.ac.uk

Si és possible abans del 20 de setembre de1999. El Comitè decidirà les propostes en apro-ximadament un mes.

Entrevistes

Entrevista al doctor Josep Vaquer i Timoner

En motiu de la jubilació del doctor Josep Vaquer i Timoner, i per raó de la seva personalitat iinfluència sobre molts de nosaltres, hem considerat oportú mantenir una entrevista amb ell quereprodüım tot seguit.

L’entrevista s’ha dut a terme en dues etapes, la primera d’elles a la Facultat de matemàtiquesde la UPC, aprofitant la celebració de la XXXV Olimṕıada Matemàtica, i la segona al seu domiciliparticular on vàrem contar amb la col.laboració inestimable de la seva esposa Mercè. Li agräım desd’aqúı la seva amable invitació.

Bé, anem rememorant i les coses quedaran aqúıperò com que jo tinc poca memòria i no he apuntatmai res hi haurà moltes coses que potser no seranexactament com van ser.

6

Amb aquestes paraules vàrem començar una agradable conversa de la que reproduirem elsaspectes més interessants.

Olimṕıades

Vàrem començar fent una mica d’història del’Olimṕıada Matemàtica. El doctor Vaquer ensva explicar que la idea de l’Olimṕıada Matemà-tica va sorgir de la Real Sociedad MatemáticaEspañola (RSME), en una època en què hi ha-via pocs estudiants de matemàtiques i es va vo-ler fer alguna cosa per animar-ne més. Des dela RSME es van començar a organitzar aquestsconcursos per fer una mica de propaganda i do-nar un certs incentius perquè la gent estudiésmatemàtiques.

Es va organitzar per districtes universitaris,que en aquella època n’eren dotze, i a cada dis-tricte es feia l’Olimṕıada i els guanyadors tenienuna beca si estudiaven matemàtiques. A l’horade la veritat els guanyadors de vegades estudi-aven enginyeries i altres coses. Després els tresguanyadors de cada districte anaven a un con-curs que es feia a tot Espanya, que donava op-ció a tres premis que eren, aproximadament de5.000, 3.000 i 2.000 pessetes, cap dineral, fins itot per a l’època de què parlem. El premi localera millor que l’estatal.

En aquella època ja existia una Olimṕıadainternacional, però no hi havia relació. El con-curs s’acabava a Espanya.

La RSME va encarregar al doctor Sales, quellavors era vicepresident d’aquesta societat, queorganitzés l’Olimṕıada a Catalunya, i ell va de-manar al doctor Vaquer que l’ajudés. Aix́ı hovaren fer durant molts anys ajudats ocasional-ment per altres persones. La primera edició vaser l’any 1963 i, com s’ha fet cada any, ara soma la XXXV.

Les relacions amb la RSME sempre van serbones i els organitzadors van tenir sempre forçallibertat ja que, encara que des de Madrid, en-viaven problemes per a l’Olimṕıada, semprequedava clar que aqúı es podien posar els quees volguessin. Cada districte podia fer de més ide menys.

Fins i tot quan el doctor Vaquer va enviar aMadrid les actes en català (juntament, això śı,amb una carta molt amable en castellà), no vapassar res.

Més endavant, a l’època en què la Socie-tat Catalana de Matemàtiques (SCM) va ser

presidida pel doctor Castellet i posteriormentpel doctor Girbau, el doctor Vaquer els va de-manar ajut per organitzar l’Olimṕıada, i aix́ıd’una manera molt poc oficial la SCM va co-mençar a entrar en l’Olimṕıada. Des de llavorssempre hi ha participat. Ara recentment, eldoctor Xambó, en nom de la SCM va demanara la RSME la conformitat per escrit del que jaera un acord verbal, és a dir que l’Olimṕıadaa Catalunya l’organitzés la SCM, conformitatque es va obtenir de manera immediata i sensecap problema.

Una altra de les iniciatives del doctor Va-quer, va ser fer els exàmens de les Olimṕıades aGirona, Lleida i Tarragona amb la idea de des-centralitzar. Tot es feia a la capital del distric-te, Barcelona, però el districte era Catalunyai Balears, aix́ı que no hi havia mai candidatsde Mallorca, i per a molts de fora de Barcelo-na era també dif́ıcil desplaçar-se. Més tard hova voler estendre encara més, a Manresa, Vic,Tortosa, Mallorca, etc., però per diverses raons(com per exemple la creació de la Universitatde Mallorca) ja no es va fer.

A Girona, Lleida i Tarragona hi havia untribunal purament administratiu que va funcio-

7

nar força bé però es presentaven pocs estudiantsi per això no es va anar estenent més.

El que no sé és si l’Olimṕıada ha aconse-guit els seus objectius.

Com hem dit, l’objectiu era augmentar l’a-fició del jovent a estudiar matemàtiques.

Potser és dif́ıcil de saber si això s’ha acon-seguit. El que śı sabem és que els participants isobre tot guanyadors que després han estudiatmatemàtiques, han estat bons estudiants i bonsmatemàtics, i molts d’ells han estat professorsa la Universitat.

També és cert que no tots han estudiat ma-temàtiques. Però això no preocupa en absolutal doctor Vaquer, fins i tot en el cas d’estudi-ants que han fet exàmens brillants, ja que opinaque en aquesta vida cadascú ha de seguir el seucamı́, i que de cap manera ens pot saber greu ladecisió d’aquests estudiants. Ho diu molt clar:

A mi les coses no em poden saber greu.

Volem esbrinar què pensa el doctor Vaquersobre el futur de les Olimṕıades. Què hem defer de cara al futur. Ens contesta honradamentque no ho sap, però que és una cosa que hemde fer entre tots. Que no ens pensem pas queopina que no és el seu problema, perquè aques-ta expressió americana no li agrada gens. Laconsidera d’un egoisme i un individiualisme di-abòlic. I aix́ı acabem el tema de les olimṕıadesamb una consideració filosòfica:

Mentre els problemes dels altres no siguintambé els problemes teus, el món no potfuncionar.

Sobre el català

Encara que el doctor Vaquer reconeix haver uti-litzat l’anterior frase en una cosa: quan es vacansar de voler convencer la gent, que si vivi-en aqúı havien d’aprendre català, va arribar ala conclusió que si no el volien aprendre no l’a-prenguéssin i que si no l’entenien era problemaseu. I és que les dificultats amb el castellà livenen d’antic.

Pràcticament fins als 11 anys no vaig par-lar castellà.

La infància del doctor Vaquer va transcórrera Maó, ciutat on va néixer. Recorda que hi ha-via un noi que parlava castellà però amb el que

s’hi entenien perfectament tot i que ni ell par-lava català ni ells castellà. Va ser el primercontacte amb el castellà. No obstant això vaaprendre a llegir en castellà.

Recorda divertit l’anècdota de quan els vanensenyar el parenostre ell sempre l’acabava di-ent libranos de malament en lloc de libranos delmal, amén.

De fet fins cap als catorze anys no es va ente-rar que el català també s’escrivia. I això perquèva caure a les seves mans L’Atlàntida de Ver-daguer. Podeu pensar la seva sorpresa d’avantd’aquell català prenormatiu i arcäıtzant, ja queel llenguatge de L’Atlàntida no és pas el catalàde Folgueroles!

Després va trobar un llibre de narracions deRuyra, El rem de trenta-quatre, que va trobar,com L’Atlàntida, a casa de la germana de laseva mare.

Recorda amb nostàlgia quan va arribar perprimera vegada a Barcelona, quan tenia unstretze anys.

Quan vaig arribar a Barcelona i parlavacatalà la gent no m’entenia.

Va pensar que els barcelonins eren una micaximples ja que ell śı que els entenia. Reconeixque parlava dialecte menorqúı pur i dur, i evi-dentment, les coses no eren com ara.

Les primeres classes que ell va impartir encatalà, que van ser de l’assignatura de geome-tria diferencial de cinquè, li sembla que van co-mençar al curs 1965-1966.

Aquesta idea revolucionària i pionera, en-cara que avui no ho sembli!, va restar durantmolts anys com a prova testimonial ja que pocsprofessors més es van sumar a la seva iniciativa.

De fet, hi havia professors que eren catalansperò que els costava molt fer la classe en català,perquè tota la vida l’havien feta en castellà, jahavien estudiat en castellà, i no era el mateix elllenguatge habitual que el llenguatge de classe.

Però no solament no tenia seguidors sinóque també va tenir problemes pel fet de par-lar català. Potser l’incident més remarcable vaser quan va sortir el llibre blanc del ministreLora Tamayo. Des de la Facultat es va reco-manar que els professors fessin assemblees ambels nois. A l’assemblea amb el grup de primervaren anar-hi el doctor Mallol i el doctor Va-quer. El doctor Vaquer va començar a passejaramunt i avall tot parlant català, fins que un delspresents, molt educadament, li va dir:

8

—Escolti doctor Vaquer, podria parlar en cas-tellà ja que aqúı hi ha uns quants que no ente-nen el català?—Śı home śı —feu el doctor Vaquer— ja fareml’esforç, però disculpeu si en algun moment sen-se ni adonar-me’n passo al català; m’aviseu idonaré volta a l’interruptor i continuarem.

I en aquest moment s’aixeca un i diu:—En nombre del movimiento revolucionario, leexijo que hable en castellano.

Llavors el doctor Vaquer va dir:—Des d’aquest moment no diré una sola parau-la en castellà.

Llavors va començar una gran discussió, finsque un dels estudiants de primer es va aixecar iva dir que el que havia parlat en nom del movi-miento revolucionario no era membre d’aquellgrup. Es va iniciar un gran guirigall però final-ment aquell que havia parlat en nom del movi-miento es va aixecar amb tres o quatre més ise’n van anar.

Un cop fora, el doctor Vaquer va dir:—Ahora ya podemos hablar en castellano.

I va continuar l’assemblea en castellà.

Aquest noi no va fer geometria diferencial(el del movimiento) perquè va agafar una porcerval al doctor Vaquer, i després va canviar demanera de pensar i fins i tot va ser un catala-nitzador de la Facultat. . . , coses de la vida.

Aquesta és només una de les moltesanècdotes sobre el català que recorda el nostreentrevistat. Potser hi tornarem en una altraocasió.

Resolució de problemes

Un tema que ha apassionat sempre al doctorVaquer ha estat la resolució i producció de pro-blemes. Potser per això s’ha sentit sempre tanta gust treballant per a l’Olimṕıada.

L’afició a la resolució de problemes li ve aldoctor Vaquer de molt lluny.

Recorda que quan feia el batxillerat els pro-posaven problemes a classe i uns quants delsestudiants més interessats els resolien.

Això el porta a aquell llunyà any 1939 enquè s’havia acabat la guerra i recorda com elshi van regalar el primer curs de batxillerat,aprovant-los un examen del que no en sabienres.

Quan va fer segon, al 1939-1940, va tenircinc professors de matemàtiques en un sol curs,

de manera que ningú no va aprendre res.

A tercer va venir un professor al que re-corda vestit de soldat —en aquell temps, vahaver gent que va estar fent la mili set i vuitanys. Les classes eren de tres quarts d’hora irecorda com el primer dia de classe va consis-tir en una fiĺıpica del professor-soldat sobre queallà manava ell, i que no li prengués ningú elpèl. El segon dia va intentar començar a ex-plicar matemàtiques, però no el seguia ningúi va fer un altre principi d’autoritat dient ques’havien acabat els plans d’estudi i que a ter-cer farien aritmètica, a quart àlgebra i a cin-què geometria. Varen fer molts problemes d’unllibre petitet que es deia Nociones de álgebrai que era conegut com Bruñito i posteriormentvan agafar com a llibre de text els Elementos degeometŕıa racional de Rey Pastor i Puig Adam,escrit pensant en l’ensenyament a Argentina.

Recorda per exemple que aquella època varesoldre el problema de construir un triangle uncop conegudes les tres mitjanes, i altres de sem-blants. Tenia catorze anys i ho recorda com amolt formatiu i pensa que aquest tipus de cosess’haurien de continuar explicant i justament aaquestes edats tan importants per a la formacióde la persona.

Quan va acabar el batxillerat, als setze anys,se li va ficar al cap ser enginyer de camins. Enaquells temps no era com ara, que per ingres-sar a enginyer de camins s’ha de tenir una bonanota de selectivitat, sinó que s’havia de superarun examen d’ingrés, que venia a recollir el quea matemàtiques s’explicava a primer i segon dellicenciatura. L’examen constava de problemes,i en la preparació d’aquests problemes va trobarel gust per les matemàtiques, tot i que l’examenel va suspendre dues vegades.

De la preparació de l’examen d’ingrés aenginyers ve la meva vocació matemà-tica.

Després va tenir una malaltia greu que el vadeixar gairebé dos anys fora de joc, una tuber-culosi concretament. El van enviar a la munta-nya, a Vilada.

Quan ja estava gairebé curat el metge li vadir que ja podia començar a fer alguna cosa peròque no s’hi matés gaire. Va pensar que si no s’himatava gaire l’examen no el passaria, i va deci-dir fer matemàtiques, ja que pràcticament do-minava els coneixements dels dos primers cursos

9

de la llicenciatura. Ho va provar, i li va agra-dar tant i s’hi va trobar tant bé que ja s’hi vaquedar.

El ≪Teixidor-Vaquer≫

Abans de guanyar la càtedra, cosa que va suc-ceir l’any 1961, el doctor Vaquer ja pensava quel’ensenyament de les matemàtiques s’havia demodernitzar. Donava un curs de primer, peròno s’atrevia ell sol a fer aquest canvi. De ma-nera que quan el doctor Teixidor, que ja era ca-tedràtic, li va suggerir d’iniciar aquest canvi enl’ensenyament de les matemàtiques, de seguidas’hi va apuntar. No obstant això, va demanaral doctor Teixidor que agafés ell també un cursde primer per fer-ho entre els dos i sentir-se aix́ımés recolzat.

Van iniciar aix́ı la seva revolució particular,introduint la matemàtica moderna, amb la guiade Bourbaki que s’estava fent també en aquellsmoments, i aix́ı va néixer el llibre que tots co-neixem tant, el ≪Teixidor-Vaquer≫. Tot aixòdevia ser cap al curs 1959-1960.

Potser no varen ser conscients de la magni-tud del que estava passant ja que, per exemple,ells no es varen plantejar mai que aquest tipusde matemàtica es pogués estendre al batxilleratcom aix́ı va passar amb uns resultats si més nodiscutibles.

De tota manera, fins i tot ara que sabem elsresultats, el doctor Vaquer no sap pas si vanfer bé o si ho tornaria a fer. El que śı queens comenta és que l’ensenyament que es fa ala universitat ha de tenir en compte certamentaquells estudiants que després seran catedràticsd’universitat, però ha de tenir en compte tambéque la gran majoria no ho seran i faran una altralabor tal vegada millor que la dels catedràticsd’universitat, com per exemple ensenyar ma-temàtiques a la joventut.

Avui, que també es presenten reptes impor-tants per als ensenyants, el doctor Vaquer con-tinua pensant en la importància de la geometriaclàssica.

Geometria

De fet, quan li preguntem què creu que hem defer els que ens dediquem avui a l’ensenyament,contesta potser exagerant una mica:

S’ha d’explicar semblança de triangles.

Sobre si els problemes de geometria s’han deresoldre amb mètodes sintètics o algebraics, eldoctor Vaquer és partidari d’una solució equi-librada. El que hi ha és un problema i s’ha deresoldre com es pugui. Això śı, s’ha de saberquè s’ha trobat o què no s’ha trobat, i creu queensenyar això sobre tot als nois i noies més jovesés molt important.

A més creu que els alumnes haurien de di-buixar més, ja que això els ajudaria a resoldreels problemes. De fet actualment hi ha duesassignatures, àlgebra lineal i geometria lineal,i aix́ı com hi ha professors als quals a àlgebraels falta temps i a geometria els en sobra, a ella àlgebra li sobra temps i a geometria li’n fal-ta. No obstant això tampoc voldria caure enun purisme sintètic.

En relació a si a la universitat s’han d’ex-plicar coses bàsiques i fonamentals o si s’hand’explicar coses més d’última generació, l’opi-nió del doctor Vaquer és clara:

Jo crec que és un fet absurd que la uni-versitat ensenyi especialitzacions, la uni-versitat ha d’ensenyar matèries bàsiquesde manera que els que en surtin siguincapaços durant la seva vida d’estudiar iaprendre el que necessitin.

Pensa que pot ser força interessant fer unaespecialització, però a més a més. L’argumentessencial és que quan s’acaba la carrera quedenencara uns trenta anys de vida activa i totes lescoses aplicades que serveixen ara no servirand’aqúı a vint anys.

Recorda per exemple com, durant la guerra,Witt, que era un home de matemàtica pura, vaestar encarregat de desxifrar codis. Els codisdeuen haver canviat molt, però la matemàticasubjacent, (cossos finits, geometria algebraica,etc.) és la mateixa. A més, on es donarà l’en-senyament bàsic si no es dóna a la universitat?Com no és rentable a curt termini, cap empresaprivada se’n voldrà fer càrrec mai.

El record del professor Witt ens porta a l’es-tada del doctor Vaquer a Alemanya, on va se-guir dos cursos, just després de l’estada del doc-tor Teixidor. Malgrat que no estava matriculat,ja que no tenia diners, va seguir regularment unseminari i sobre tot un curs de topologia generali algebraica impartit pel professor Witt, seguintparcialment el llibre de Steenrood.

10

Els mestres

Però a l’hora de considerar quins varen serels seus mestres per obtenir una formació ma-temàtica bàsica, el doctor Vaquer recorda ambuna gran veneració el seu mestre doctor Torro-ja, catedràtic de geometria projectiva i descrip-tiva.

Els meus mestres han estat els professorsTeixidor, Linés, Torroja, Orts, Augé. . .

Els doctors Linés i Torroja eren molt di-ferents però tots dos molt precisos explicant,preocupats per donar a cada paraula exacta-ment el seu significat. Van estudiar els llibresde Puig Adam i Rey Pastor. Recorda per exem-ple que, amb el doctor Torroja, considerat commolt dur a la universitat, no es podia dir ≪unacircumferència que passa per tres punts≫ ja quenomés n’hi ha una i per tant s’ha de dir ≪lacircumferència que passa per tres punts≫. Fe-ia teatre explicant, posava un problema, anavafent i deia ≪no em pensava que fos tant compli-cat≫ i no l’acabava. No obstant això pel camı́havien après molt.

Un altre professor que recorda és el doctorOrts, que li va explicar la variable complexa po-sant molta passió i que es preocupava més pelmètode que no pas pels continguts concrets, ex-plicava el Goursat.

Més endavant el doctor Vaquer recorda comdesprés de molts anys a la universitat no ha tin-gut mai problemes amb els col.legues. Això noés fàcil i ell ho atribueix en part al seu humorcàustic i en part a una capacitat per tirar-se lescoses a l’esquena, sobre tot aquelles en les queno hi pots fer res.

Potser śı que a vegades li han criticat que téel costum de contestar una pregunta amb unaaltra pregunta. Però això ho fa ben expressa-ment, ja que opina que primer de tot s’ha d’es-brinar on està la dificultat, per poder contestarde manera que el que pregunta pugui enten-dre la resposta. Aplica el mètode socràtic deldiàleg.

La Mercè

També ens agradaria saber més coses de la vidadel doctor Vaquer fora de la Universitat, peròaixò és un terreny que ell vol preservar. Ac-cedeix, això śı, a recordar com va conèixer laseva dona, quan ell tenia 21 anys i va entrara la Universitat. Ella feia un curs més peròvan coincidir en alguna assignatura de docto-rat i es varen prometre sobre el 1954-1955 i esvaren casar durant el peŕıode d’estada a Alema-nya l’any 1957. Posteriorment van tenir l’ocasiód’ocupar, un dels dos, una plaça de professor alPatronat de l’Hospitalet. Va ser llavors quanvan decidir que l’ocupés la Mercè i ell es vaquedar a la Universitat.

Una d’aquelles petites decisions que impli-quen grans conseqüències.

La Mercè va restar a l’Hospitalet durantquinze anys, després dels quals va anar a l’Ins-titut de Cornellà on va estar sis anys més, finsque va passar a Montcada i Reixac on es vajubilar després de quinze anys d’extraordinàriadedicació als seus estudiants.

A. Reventós (UAB) i S. Xambó (UPC)

Matemàtiques i ensenyament: Les Proves Cangur-99

Presentació

El dia 18 de març de 1999, al mat́ı, es va rea-litzar la quarta edició del Cangur de la SCMque enguany, sota els auspicis de l’Institut JoanLlúıs Vives, que aplega les universitats de par-la catalana, ha estat catalano valencià i tambés’ha celebrat a les Illes Balears.

Si bé més avall es donen dades estad́ıstiquesmés completes, destaquem en aquesta presenta-

ció que dels 103 centres que van participar l’any1996 hem passat als 245 d’enguany i que el nom-bre de participants ha augmentat de 1.313 finsa 4.142. Sembla, doncs, que el Cangur va arre-lant en els centres de secundària per la desin-teressada col.laboració de les professores i delsprofessors de l’educació secundària.

El dia 18 de maig es va celebrar a la salaPrat de la Riba de l’IEC l’acte de repartiment

11

de premis del Cangur-99 presidit pel doctorManuel Castellet. Durant aquest acte, el se-nyor Pere Solà, Subdirector General d’Ordena-ció Curricular, va anunciar que atès que l’any2000 és l’Any Mundial de les Matemàtiques,el Departament d’Ensenyament volia impulsaruna gran festa de les matemàtiques en tots els

centres de secundària, en el marc de la qual espodria celebrar el Cangur. La resposta rebudafins ara i el repte de l’any 2000 ens animen acontinuar el nostre esforç per a la preparació idesenvolupament del ≪nostre≫ Cangur.

La Comissió Cangur-99

Crònica i estad́ıstica del Cangur-99

• Inscripció

En les Proves Cangur-99 de la SCM es vaninscriure un total de 4.475 alumnes de 239centres d’educació secundària d’arreu de Ca-talunya i 131 alumnes de 8 centres del PáısValencià.

Els centres inscrits corresponen a les zonesgeogràfiques següents:

– 37 centres de la ciutat de Barcelona(BCN),

– 126 centres de la resta de la prov́ıncia deBarcelona (B), amb un augment de parti-cipació del 87% respecte l’any anterior,

– 8 centres de la prov́ıncia de Castelló (C),que s’han incorporat a la nostra organit-zació,

– 33 centres de la prov́ıncia de Girona (GI),

– 20 centres de la prov́ıncia de Lleida (L),

– 23 centres de la prov́ıncia de Tarragona(T), on el nombre de participants ha aug-mentat d’un 93% en relació a l’any 1998.

• Realització de la prova

La prova es va realitzar el dijous dia 18 demarç, al mat́ı.

Enguany la majoria dels participants han re-alitzat la prova en el seu propi centre. Aques-ta decisió, que es va prendre per poder cele-brar la prova simultàniament als altres päısosque prenen part en el Cangur, ha compor-tat algunes opinions favorables i moltes al-tres que –a més de comprensives i construc-tives, totes elles– ens han fet arribar el sen-timent que, d’aquesta manera, es perdia enpart el caràcter de festa col.lectiva de les ma-temàtiques que es vol donar al Cangur. Tin-drem molt en compte totes aquestes opinions,que us agräım, per al proper any.

• Participació

El gràfic següent mostra l’evolució del nom-bre total de participants i el de centres, queja s’han comentat.

12

La distribució de la participació per nivellsen el Cangur-99 i els augments respecte del’any anterior han estat els següents:

1.663 de nivell 1, augment del 100% (!!!)1.323 de nivell 2, augment del 53%742 de nivell 3, augment del 29%414 de nivell 4, augment del 26%.

Com l’any anterior, s’han estudiat les dadesde participació per sexes, que mostren unarealitat ben diferent a aquella que configurales nostres aules. Deixem als lectors i a leslectores l’anàlisi del gràfic següent.

• Els premis

El fet que cada participant pagui una quo-ta d’inscripció té com a objectiu fonamentalconscienciar els participants en el concurs ques’han compromés a fer una tasca d’aprenen-tatge que els motiva i els il.lusiona.

Tanmateix, les quotes també contribueixen asufragar les importants despeses d’organitza-ció, com és ara la tramesa d’informació iniciala tots els centres; l’edició i la tramesa de lapublicació Recull de problemes Cangur ques’actualitza cada any; la preparació de tot elmaterial per a la prova: quaderns d’enunci-ats, el llapis i el pin Cangur que queden coma record per a tots els alumnes, fulls de res-postes, etiquetes, etc.; gravació informàticade les respostes per a establir els resultats;tramesa dels resultats i dels diplomes de par-ticipació a tots els centres participants.

Després de tot això, encara queda una partdels ingressos que es dediquen ı́ntegrament,juntament amb les subvencions que es rebenper part de les institucions col.laboradores,als premis que tot seguit es detallen.

En l’edició de 1999 (amb les adaptacions quehan estat necessàries a causa dels empats)

s’havia establert que el primer, segon i ter-cer premis de cada nivell fossin un viatge iestança de tres dies per a l’alumne o alumnapremiats i un acompanyant a Futuroscope,amb la possibilitat d’un altre viatge a preuredüıt per un altre acompanyant. EL quart,cinquè i sisè premis, en cada nivell han estatvals de 50.000 PTA en material informàtic.El conjunt de premis es completa amb cal-culadores gràfiques d’altes prestacions i totsels premis s’acompanyen d’uns llibres relacio-nats amb la temàtica del premi: L’home quecalculava de Malba Tahan i el Recull Can-gur o bé, segons el nivell d’edat, L’enigmade Fermat de Simon Singh i les Sessions depreparació per a l’Olimṕıada.

• Premiats i premiades de primer nivell

1. ex aequo: Ignasi Abió Roig, del Col.legiDauradell (Badalona), Carles Basallo Pla-za del Col.legi Claver (Lleida), Laura BoschFarrés de l’IES Montserrat (Barcelona) i Da-niel Roig Barba de l’IES de l’Arboç (BaixPenedès), amb 150 punts.

5. Heura Llaquet Bayo, IES del Vallès (Sa-badell), 147 punts.

6. Arnau Clot Razqúın, Col.legi Claver (Llei-da), 146,25 punts.

7. ex aequo: Manel Bernadó Solé, IES Fran-cesc Ribalta, (Solsona), Mari Carmen BladéVidal, Col.legi Santa Teresa, (Móra d’Ebre),Núria Calafell Cardenal, Escola Pia de San-ta Anna, (Mataró), David Fàbrega Sabaté,Col.legi Episcopal, (Lleida), Albert GascónVallbona, IES Jaume Huguet, (Valls), AdriánGiménez Pastor, IES Màrius Torres, (Llei-da), David Manzano Soler, IES Francesc Ri-balta, (Solsona), Śılvia Miras Marroyo, IESJ. V. Foix, (Rub́ı), Śılvia Rodŕıguez Ferré,San Ramón Nonato, (Barcelona) i PlamenaStoyanova Boikova, IES Mart́ı i Franquès,(Tarragona), amb 145 punts.

• Premiats i premiades de segon nivell

1. ex aequo: Mart́ı Prats Soler, de l’IESMontserrat (Barcelona), i Albert TresserrasFerrer, de l’IES Pere Calders (Cerdanyola delVallès), 135 punts.

3. Josep Planelles Bort, de l’IES Jaume I(Borriana), 127,50 punts.

13

4. Neus Isern Sardó, del Col.legi Sant Miquel(Torroella de Montgŕı), 126 punts.

5. ex aequo: David Ibáñez Alonso d’AulaEscola Europea (Barcelona), i Artur LatorreMusoll, de l’IES Guillem de Berguedà (Ber-ga), 125 punts.

7. Iván Vera Aguilera, de l’IES Estela Ibèrica(Santa Perpètua de Mogoda), 123,75 punts.

8. Ramon Farreny Gaya, de l’IES AlfonsCostafreda (Tàrrega), 123,50 punts.

9. Oriol Larrondo Pàmies, de l’IES MàriusTorres (Lleida, Segrià), 122 punts.

10. Margarida Joanmiquel Peraferrer, de l’I-ES Vicens Vives (Girona), 121,25 punts.

• Premiats i premiades de tercer nivell

1. Enoc Altabàs Felipo, de l’IES Ramon Cid(Benicarló), 128,75 punts.

2. Xavier Mart́ınez Palau, de l’IES Torras iBages (L’Hospitalet), 116,75 punts.

3. Albert Herrero Casas, de l’IES Samuel Gilii Gaya (Lleida), 115,0 punts.

4. Judit Julià Carulla, de l’IES Manuel dePedrolo (Tàrrega), 114,0 punts.

5. Joan Alemany Flos, d’Aula Escola Euro-pea (Barcelona), 113,75 punts.

6. ex aequo: Domènec Mart́ın Mart́ınez, del’IES Alt Penedès (Vilafranca del Penedès) iJordi Rius Pascual, de l’IES Antoni Torroja(Cervera), 112,0 punts.

8. Josep M. Tamayo Palau, Maristes Sants-les Corts (Barcelona), 108,75 punts.

9. Mònica Mart́ınez Alonso, de l’IES Caste-llarnau (Sabadell), 107,25 punts.

10. Angel Garćıa Rodŕıguez, de l’IES Caste-llarnau (Sabadell), 106,25 punts.

• Premiats i premiades de quart nivell

1. Edgar González Pellicer, col.legi MadresConcepcionistas (Barcelona), 107,5 punts.

2.- Ivan Barenys Garćıa, de l’IES SalvadorVilaseca (Reus), 102,75 punts.

3. Fèlix Campelo Aubarell, IES Eugeni d’Ors(Vilafranca), 93 punts.

4. Pere Clemente Mart́ın, de l’IES JaumeVicens Vives (Girona), 88,5 punts.

5. Miquel Moretó Planas, d’Aula (Barcelo-na), 88,25 punts.

6. Axel Mart́ınez Möller, d’Aula, (Barcelo-na), 88 punts.

7. Daŕıo Mora Portela, IES Barcelona-Congrés (Barcelona), 87 punts.

8. ex aequo: Pere Llorens Ardèbol, de l’IESMàrius Torres (Lleida) i Juan Murcia Del-so, d’Aula Escola Europea (Barcelona), 85,75punts.

10. Francesc Torradeflot Curero, de l’IESPius Font i Quer (Manresa), 83 punts.

• Aspectes a destacar

– Amb la desinteressada col.laboració del’ONCE, els enunciats del Cangur de pri-mer nivell s’han adaptat i tradüıt al Brai-lle, cosa que ha permès la participació del’alumne David Abad, de l’IES SalvadorEspriu de Salt (Gironès).

– Per primera vegada al Cangur de la SCMs’han encertat totes les preguntes. La nos-tra enhorabona a l’alumna i als tres alum-nes de primer nivell que ho han aconseguit!

– Pel fet d’haver obtingut premi en els qua-tre nivells, Edgar Gonzàlez (que ha gua-nyat el primer premi tots quatre anys) iIvan Barenys van rebre el pin de platadel Cangur, la màxima distinció honoŕıficaque ha establert la SCM.

• Quelcom que no trobem a la relació depremis

A França, s’anomena Premi a la Constànciala distinció que obtenen aquells participantsque han encertat un nombre més gran de pre-guntes sense fallada, des de la primera enendavant. A casa nostra, en el 2n, 3r i 4tnivell, serien Artur Latorre, de l’IES Gui-llem de Berguedà (Berga), 24 encerts; AngelGarćıa, de l’IES Castellarnau (Sabadell), 18encerts i Edgar González, Madres Concepci-onistas (Barcelona), 11 encerts.

També és interessant saber qui ha tingutmenys errades. En el 2n nivell no han tingutcap errada: Neus Isern, Col.legi Sant Miquel(Torroella de Montgŕı) i Artur Latorre IESGuillem de Berguedà, que han contestat 25preguntes; Oriol Larrondo, IES Màrius Tor-res (Lleida), 24 respostes; Vı́ctor D́ıez, IES

14

Campclar (Tarragona), 21 respostes i AdriánAlcalà (IES Bellvitge), amb 18 respostes. Enel 3r nivell Pau Fraces, IES Joan Coromines(Barcelona) tampoc no ha tingut cap erradai ha contestat 17 preguntes. Finalment, en elnivell dels més grans, Ivan Barenys, de l’IESSalvador Vilaseca (Reus), només ha tingut 2errades de 21 preguntes que ha contestat.

Finalment, com que les Proves Cangur estanestructurades per terços, pot ser interessantestudiar aquest aspecte.

426 alumnes de primer, 58 alumnes de segoni 11 de tercer han encertat totes les preguntesdel primer terç! En el segon terç, 172 alum-nes de primer i 11 de segon han encertat to-tes les preguntes. I pel que fa al tercer terç,únicament han encertat totes les preguntes10 participants del primer nivell.

• Qualitat de les respostes

Si estudiem globalment les respostes tots elsparticipants, trobarem un 48,9% de respostescorrectes, un 29,7% han estat incorrectes i elnombre de preguntes no contestades arriba al21,4%.

Podem afegir-hi algunes curiositats. Si en al-tres edicions les preguntes de ≪lògica≫ no te-nien gaire nivell d’encerts, enguany la pre-gunta del terç ≪dif́ıcil≫ amb més encert haestat la 24a pregunta de primer:

Quan plou, el nostre gat és al menjador o al so-terrani. Quan el gat és al menjador, les rates sónal seu cau i el formatge a la nevera. Quan el for-matge és a la taula i el gat és al soterrani, lesrates són al menjador. Ara plou i el formatge ésa la taula. Podem deduir que...

(A) El gat és al menjador

(B) Les rates són al seu cau

(C) O el gat és al menjador o les rates són al seucau

(D) El gat és al soterrani i les rates són al men-jador

Per l’altre costat, sorprèn el fet que la pri-mera pregunta de tercer ha tingut un 60,5 %d’errades i només un 25,6% d’encerts...

Un ≪cubcangur≫ és un cub amb tres cares de

color vermell i tres de color verd. Quants ≪cubs-

cangur≫ diferents hi ha?

. . . i que la pregunta 6 de quart ha tingut mésdel 58% d’errades.

En obrir-se el mercat de divises ahir de bon mat́ı,el tipus de canvi de tres monedes respecte l’euroera el mateix. El tipus de la primera moneda vapujar un 5% al mat́ı i després va baixar un 5%al vespre. La segona moneda va baixar un 5% almat́ı i després va pujar un 5%. El tipus de la ter-cera moneda no va variar en tot el dia. Quina oquines monedes tenien el tipus de canvi més baixrespecte de l’euro al final del dia?

(A) Cap d’elles

(B) Només la primera

(C) Només la segona

(D) La primera i la segona

(E) Només la tercera

Per altra banda, una de les preguntes que haprodüıt més ≪abstencions≫ (quasi el 70%) haestat la 29a de tercer.

Els angles d’un triangle estan en la proporció 1 :

5 : 6. La longitud del costat més llarg és 6 cm.

Quina és, en cm, la longitud de l’altura correspo-

nent a aquest costat?

Ai! Quin mal que fan la visió de l’espai, lesproporcions i els tants per cent!

• Anàlisi de les puntuacions totals

En el primer nivell la mitjana ha estat de96,45 punts, amb una desviació estàndard de23,0 punts.

La puntuació mı́nima 27,5 i la màxima 150.

Els quartils han quedat situats respectiva-ment a 80,50 punts, 96,75 punts (la mediana)i 113 punts.

En el segon nivell la mitjana ha estat de 66,78punts, amb una desviació estàndard de 18,8punts.

La puntuació mı́nima ha estat de 20,5 puntsi la màxima 135.

Quartils: 53,75 punts, 65,50 punts (la media-na) i 78,25 punts.

15

En el tercer nivell la mitjana ha estat de 58,55punts, amb una desviació estàndard de 19,6punts.

Mı́nim: 5,0; màxim: 128,75; quartils: 44,19;57,0 (mediana) i 72,1 punts.

En el quart nivell la mitjana ha estat de 49,98

punts, amb una desviació estàndard de 14,1punts.

Mı́nim: 11,5; màxim 107,5; quartils: 40,00,47,12 (mediana) i 57,25 punts.

Podem veure, doncs, que si hom ha deconsiderar ≪fàcil≫ allò que se sap fer i≪dif́ıcils≫ les coses que no se saben fer, laprova de primer nivell ha estat fàcil (o pot-ser, fins i tot, massa fàcil) i la de quart nivellha estat dif́ıcil. La comissió Cangur ho tindràen compte per a properes edicions.

Si algun lector o alguna lectora vol tenir unainformació més exhaustiva del desenvolupa-ment i resultats de les Proves Cangur-99, potdemanar a la SCM un dossier informatiu ques’ha editat.

Premis i concursos

Premi Ferran Sunyer i Balaguer

L’Institut d’Estudis Catalans ha conceditper setena vegada el premi internacional Fer-ran Sunyer i Balaguer. El guanyador ha estat:

Professor Patrick DehornoyUniversitat de Caen (França)

per l’obra

Braids and Self-Distributivity

• La monografia guanyadora del premi, queserà publicada per Birkhäuser-Verlag dins lasèrie Progress in Mathematics, constitueixuna valuosa i original aportació a l’estudi delsgrups de trenes i les seves connexions ambl’àlgebra autodistributiva. Els grups de tre-nes són d’una importància creixent en dife-

rents camps de la matemàtica, com ara lateoria de nusos, la combinatòria algebraica iels grups quàntics.

• Patrick Dehornoy és professor de Ma-temàtiques a la Universitat de Caen(França), on dirigeix també el laboratori derecerca sobre Estructures Discretes i AnàlisiDiofàntica, adscrit al CNRS. Cursà estu-dis a l’École Normale Supérieure de Paŕıs,on es doctorà en Matemàtiques l’any 1975.Les seves àrees de recerca són actualmentàlgebra i topologia de baixa dimensió i lateoria d’àlgebres autodistributives.

L’acte de lliurament del premi va tenir llocel passat 22 d’abril a la seu de l’Institut d’Es-tudis Catalans.

16

Convocatòria

El premi, creat per la Fundació Privada Fer-ran Sunyer i Balaguer i l’Institut d’Estudis Ca-talans és dotat amb 10.000 euros.

Ferran Sunyer i Balaguer fou un matemàticcatalà, tetraplègic, que moŕı el 1967. Ha estatsens dubte un dels millors investigadors en ma-temàtiques que ha tingut el páıs i, malgrat laseva discapacitat, va publicar nombrosos arti-cles de recerca valorats internacionalment.

Per prendre part en aquesta convocatòrias’ha de presentar una monogafia escrita enanglès que exposi els resultats més destacatsd’una àrea de les matemàtiques en la quals’hagin prodüıt avenços recentment i en la que

l’autor hagi tingut importants contribucions.L’obra ha de tenir un mı́nim de cent cinquantapàgines, i no pot estar subjecta a copyright nihaver estat sotmesa a cap empresa editorial pera ésser publicada.

La ponència serà formada per cinc investi-gadors en matemàtiques, un d’ells proposat perla Fundació.

L’obra guanyadora serà publicada en la col-lecció “Progress in Mathematics”, de l’editorialBirkhäuser.

Termini d’admissió dels originals: 10 dedesembre de 1999, a les 13 hores. Lliuramentdels premis: 26 d’abril del 2000.

Premi Évariste de Galois de la SCM

El Premi Évariste de Galois d’enguany haestat concedit a Silvia Cuadrado Gavilán, pel tre-ball Un model d’equacions integrodiferencialsper a la dinàmica evolutiva de l’edat de madu-ració. El tribunal també va valorar molt posi-tivament el treball Construccions homotòpiquesidempotents en grups simplicials, presentat perGemma Bastardas Ferrer.

La nostra enhorabona!

Convocatòria

Poden prendre part en aquesta convocatòriaestudiants universitaris i persones tituladesd’ençà de l’1 de febrer del 1996.

Els treballs que vulguin aspirar al premi hand’ésser redactats en català i han d’haver es-tat elaborats abans d’aquesta convocatòria. Noes podran considerar treballs que ja hagin es-

tat premiats anteriorment o subvencionats perl’Institut o per una altra institució. Els treballss’han de presentar mecanografiats a doble espaien format ISO A4, han d’estar enquadernats ihan d’anar acompanyats d’un certificat d’estu-dis.

Les obres aspirants a cada premi han d’ésserpresentades mitjançant exemplar triplicat a laseu de l’Institut (carrer del Carme, 47, 08001Barcelona), amb les indicacions següents: nom,adreça, telèfon i NIF de l’autor o autora, premia què aspira l’obra i declaració que el treballs’ajusta a aquestes condicions.

Termini d’admissió dels originals: 10 dedesembre de 1999, a les 13 hores. Lliuramentdels premis: 26 d’abril del 2000.

La dotació del premi és de 100.000 pessetes(brutes).

Premi Iberdrola

David Nualart i Rodón, catedràtic d’es-tad́ıstica de la Universitat de Barcelona, ha ob-tingut el Premi Iberdrola de Ciència i Tec-nologia 1999, un dels més importants que esconcedeixen a Espanya, atorgat per un presti-giós jurat que inclou tres premis Nobel de F́ısicai Qúımica. Aquest jurat va destacar les aporta-

cions de David Nualart al Càlcul de Malliavini a les equacions estocàstiques.

Ens congratulem que aquest premi hagi re-caigut en un matemàtic i a més en un ma-temàtic català. Felicitem doncs a David Nua-lart i fem extensiva la nostra felicitació al seuequip.

17

XXXV Oĺımpiada Matemàtica Espanyola, celebrada a Granada

E ynaugne’dçramed31i21seidstassapsl-O’ledVXXXóicide’ladanarGararbelecavseadaztinagro,aloynapsEacitàmetaMadaı́pmilbmaaloñapsEacitámetaMdadeicoSlaeRalrep

el suport de la Universidad de Granada.Hi van participar en total 171 estudi-

ants que provenien de totes les ComunitatsUOCednereairojamaL.tatsE’ledsemonòtuA

(o equivalent), ja que només 26 eren de 3r deBUP (o equivalent) i 2 de 4t d’ESO. Segons lesdades donades per la RSME a Granada, a la

latotóicapicitrapanurevahavih,esafaremirpde 2.358 concursants a tot Espanya.

Els representants catalans foren els classi-ficats a la primera fase del concurs: Edgar

oı́raD,ladiVareloMmiuqaoJ,recillePzeláznoGMora Portela, M. Vinyes, Pere Menal Ferrer,Oscar Barenys Garćıa, Fèlix Llopart

Miquel i Domènec Mart́ın Mart́ınez. Anavenacompanyats pel professor Carles Romero. En-cara que no es va aconseguir cap medalla d’or,

seeuqaj,tixènargnurilossaavàlatacpiuqe’lvan obtenir un bon nombre de medalles de pla-ta i bronze. Els concursants Daŕıo Mora i Ed-

slei,atalpedallademrinetnavzeláznoGragconcursants Joaquim Molera, Domènec Mart́ıni Pere Menal van tenir bronze.

Val la pena consignar que, segons els acordsóicide’ledesafanogesal,adanarGasoserp-radalacrollaMedamlaPacollàrdnitIVXXX.0002yna’ledçramedsemledanamtesarer

Tots els estudiants de 1r i 2n de batxillerat del!stadivnocnósiheveuqsruc

J. GranéUPC

NoticiariEl passat 11 de maig el professor Pierre-Louis Lions, medalla Fields 1994, professor de la UniversitéParis-Dauphine, CNRS, va impartir la conferència Mathematical analysis, models and simulati-ons .acitàmetaMacreceRedertneCleptaztinagroiCEI’leduesala

• edslarenegseinı́lselàtneserpaicnèrefnocaLrecerca del professor Lions, els problemes ma-

,óiculoseredsuonsedotèmiscissàlcscitàmet-acilpaselbmastseuqa’dóicaleralmocı́xia

.óicalumisióicaztiledomnesnoic

• Pierre-Louis Lions va rebre la medallaFields el 1994 entre d’altres premis interna-

neacreceredairòtcejartavesalrepslanoic

-esselneuqatsedno,adacilpaacitàmetamves contribucions en el camp de les equacions

ed,citsàcotsesupitedslaicrapsedaviredneHamilton-Jacobi, de Boltzmann, de Navier-

spmacsleertnE.mitpòlortnocnei,sekotSd’aplicacions que ha treballat, es podendestacar diversos de f́ısica (de part́ıcules,de fluids), les finances i el processamentd’imatges.

La Segona Trobada Matemàtica

tateicoSaledacitàmetaMadaborTanogeSaLemretarudavseseuqitàmetaMedanalataC

el 12 de març d’enguany, a la seu de l’Institut.:resnavstnaicnerefnocsle,óisacoatseuqanE

• ,allegaFairúN de la UB, que va parlar delconjunt de Mandelbrot i altres plans de bi-

.óicacruf

• ,oñaBledàitsabeS de l’Institut Max Plank de

-rocediludomediapse’ledàlrapeuq,nnoBbes.

• Gabriel Navarro, de la Universitat de València,.stinfispurgedsretcàracedralrapaveuq

• Xavier Cabré, de la UPC, que va parlar d’e-quacions en derivades parcials, geometria i

.citsàcotselortnoc

18

També hi havia al programa una interessantxerrada de Ricardo Pérez Marco, de Berkeley,que duia el t́ıtol de ≪Estructures conformes idinàmica holomorfa: dues històries paral.leles≫,però no es va poder dur a terme per raó de cau-ses imprevistes.

A més de l’interès cient́ıfic innegable de lesconferències que es van realitzar, convé tambédestacar l’agradable ambient de companyonia

que aquesta Trobada, com la de l’any passat, vasaber despertar entre el assistents. Cal agrairals participants la seva assistència, i als con-ferenciants l’esforç que van fer per oferir-nosunes xerrades del més alt nivell, però, al ma-teix temps, amb un contingut de divulgació ci-ent́ıfica que les va fer especialment entenedores.

Jaume AguadéUAB

Agräım a la Montserrat Bruguera la cessió de la fotografia.

Llibres

Three-dimensional geometry and topology

Autor: William P. Thurston,Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1997, v. 311 p.

La publicació d’aquest llibre ha estat moltesperada, ja que té origen en unes notes escritesa finals dels anys setanta. William P. Thurstonés el millor topòleg en dimensió tres i els seustreballs han tingut un pes decisiu en el desenvo-lupament del tema durant els darrers vint anys.A més, l’estil en què està escrit fa que es tractid’un llibre encara més remarcable.

A finals dels anys setanta, Thurston revo-lucionà la topologia en dimensió tres. Els seustreballs oferien un punt de vista del tema to-talment innovador, que el portaren a enun-ciar la famosa conjectura de geometrització,també anomenada conjectura d’uniformització.

Si aquesta conjectura fos certa, tindŕıem unadescripció de les varietats de dimensió tres ini-maginable a principis dels setanta. A més, varelacionar temes que estaven tan allunyats comels grups Kleinians i la topologia de varietats dedimensió tres. El 1982 rebé la medalla Fieldspels seus treballs en dimensió tres i en foliaci-ons.

Dels treballs de Thurston sobre la geome-trització de varietats de dimensió tres, noméshi ha dos articles publicats: un article d’expo-sició al Bulletin of the Amer. Math. Soc. i unarticle als Annals of Mathematics, que és la pri-mera part de la demostració que la conjectura

19

de geometrització és certa per a les varietats deHaken. La principal referència que serveix d’in-troducció a tot aquest món creat per Thurstonsón les notes d’un curs de postgrau impartit aPrinceton durant el peŕıode 1978-1980. Aques-tes notes van ser redactades en la seva majorpart per Bill Floyd i Steve Kerckhoff i malau-radament no es van publicar mai. Tot i aixòvan tenir una amplia difusió, d’acord amb laseva importància.

Aquest és el primer d’una sèrie de volumsque ha donar una nova versió de les notes origi-nals, i és una introducció al programa de geome-trització de Thurston. Han passat molts anysdes de les notes fins a l’aparició d’aquest llibre.Cal dir que la transformació entre les notes i elllibre publicat és considerable i va més enllà deser només una nova versió. El material ha estatrevisat, ampliat i retreballat per Thurston ambl’assistència editorial de Silvio Levy.

Amb el temps que feia que les notes cir-culaven, molts autors havien completat i am-pliat diverses parts de les notes. Podem ci-tar entre altres: Benedetti-Petronio, Canary-Epstein-Green, Kapovich, Bonahon, etc. Aixòno treu cap interès al llibre. Tot i tractar lapart més elemental de les notes i no presentarresultats nous, l’estil del llibre és molt intüıtiui l’autor ens introdueix d’una manera molt ori-ginal i personal a les varietats de dimensió tresi a les estructures geomètriques.

Aquest llibre, que com hem dit és una in-troducció a les estructures geomètriques sobre

varietats de dimensió tres, està dividit en qua-tre caṕıtols. El primer es titula ≪What is amanifold≫ i és una introducció intuitiva i ambmolts exemples a les varietats de dimensionsdos i tres. Observem que la definició de varie-tat no apareix fins al tercer caṕıtol. El segon ésuna introducció a la geometria hiperbòlica endimensions dos i tres, i a les altres geometriesde curvatura constant. El tercer caṕıtol defi-neix les estructures geomètriques, com sempreamb molts exemples, i al final presenta i clas-sifica les vuit geometries en dimensió tres ques’utilitzen en la conjectura de geometrització.

El quart caṕıtol tracta sobre els grups dis-crets i culmina amb la relació entre el grup fo-namental i el tipus de geometria d’una varie-tat de dimensió tres. Més concretament, si unavarietat de dimensió tres admet una estructurageomètrica, aleshores el tipus de geometria estàdeterminat per les caracteŕıstiques algebraiquesdel seu grup fonamental (caracteŕıstiques comper exemple ser finit, virtualment abelià, virtu-alment nilpotent, etc.). Aquest resultat, junta-ment amb la classificació de les vuit geometries,és la principal fita del llibre. Malgrat tractar-se de resultats força especialitzats de la teoriad’espais homogenis, el llibre els demostra ambdetall tot i que comenci a un nivell força ele-mental de geometria i topologia.

La primera frase dels prefaci diu: ≪The sty-le of exposition in this book is somewhat ex-perimental≫, i realment està escrit d’una ma-nera extraordinària. Aquest llibre s’allunya del’esquema Definició-Teorema-Demostració i del’ordre d’exposició que segueix el raonamentlògic, el paradigma del qual són els llibres deN. Bourbaki. L’autor segueix un ordre més psi-cològic, més proper al pensament i per tant nogens lineal. Aix́ı doncs posa molts exemples iconstruccions, encara que no sempre es puguincompletar els detalls formals, i deixa les defini-cions per més endavant o per un glossari quehi ha al final del llibre. Es troben a faltar defi-nicions més completes d’alguns conceptes fona-mentals. Per exemple, la noció de Geometria deRiemann està donada molt breument al glossaridel final i no es defineix la curvatura seccional.

La pregunta natural és si aquest mètoded’exposició funciona. Si el lector té prou noci-ons de geometria i topologia, aquest és un llibreexcel.lent, que ofereix un coneixement aprofun-dit i que motiva al lector a aprendre, proba-

20

blement més que no ho faria un llibre escritde manera clàssica. En canvi, si es vol llegiraquest llibre partint només dels coneixementsde geometria i topologia de la llicenciatura (queen principi hauria de ser possible) aleshores caluna dedicació i un esforç considerables. El lli-bre és molt més accessible que les notes, quedemanen un gran esforç encara que es tinguinmolts prerequisits. Malgrat els canvis, el pre-sent llibre encara demana molt treball al lectordebutant.

Cal assenyalar que la bibliografia es irregu-lar. Es citen referències detallades de temessecundaris i s’obliden autors importants comE. Cartan i A. Preissmann. Tampoc no es citaP. Scott, el qual havia escrit un article expo-sitori el 1983 que conté gran part del materialdel llibre (aleshores inèdit).

Per acabar, vull citar R. E. Greene, que fauna ressenya del mateix llibre al Bulletin of theAmer. Math. Soc.: “En conjunt es tracta d’unllibre d’un valor remarcable, fins i tot únic. Ésdif́ıcil trobar un altre llibre de matemàtiquescontemporani que mostri amb tanta profun-ditat com l’autor pensa la matèria. Tots elsmatemàtics tenen un món privat, i les demos-tracions i teoremes que presenten públicament

només són una representació formal d’aquestmón. (Una vegada Einstein va escriure com livenien els descobriments, en forma d’estranyesimatges visuals, sense sentit per als altres, quehavien de ser tradüıdes en el llenguatge ordinaride f́ısics i matemàtics abans de ser presentadesen públic.) En aquest llibre, un té la sensa-ció de poder veure com pensa l’autor, que evi-dentment té una visió única del tema, les vari-etats de dimensió tres. Molts llibres ens donenaccés a un autor en una sala de conferències.Aquest ens permet una visita a casa seva, ma-temàticament parlant. En aquest primer vo-lum només es tracta matèria relativament ele-mental, molta de la qual ja era accessible en laliterarura d’exposició, encara que no en el ma-teix sentit d’estar present en part de la crea-ció. El resultat és un treball fascinant que, amés de matemàtiques interessants, ofereix, mit-jançant l’exemple, noves idees de com escriu-re matemàtiques. Si els propers volums podenaportar al lector el mateix nivell de compren-sió i intuició sobre matèries més dif́ıcils o menysconegudes (o fins i tot desconegudes abans?), elresultat serà un autèntic clàssic de l’escripturamatemàtica.”

Joan PortiUAB

Probabilitat i estad́ıstica. Exercicis I

Autor: Vladimir Zaiats, M. Luz Calle i Rosa PresasEditorial Eumo. Col.: Tecnociència 16, 1998.

Aquest primer volum inclou problemes delstemes bàsics d’estad́ıstica descriptiva i càlculde probabilitats. El contingut del darrer caṕıtolpertany a l’àmbit de l’estad́ıstica inferencial,però només abarca el tema d’estad́ıstics i distri-bucions mostrals, deixant els intervals de confi-ança i els tests d’hipòtesis per a un segon volum.

És una bona selecció de problemes. Ca-da apartat comença amb un breu recordato-ri dels conceptes, fórmules i idees essencials.El segueix un ampli llistat de problemes ambuna resolució detallada i raonada, i finalmentun seguit de problemes proposats. L’esque-ma de la solució dels problemes proposats ésa l’apèndix B. L’apèndix A conté taules es-tad́ıstiques.

21

A més de destacar la claredat que carac-teritza els resums de teoria i la resolució ex-plicada dels problemes, hem de valorar positi-vament que estigui escrit en català i que s’ha-gi procurat utilitzar dades actualitzades i quepertanyen al nostre entorn. És apropiat coma bibliografia suplementària d’un curs de Des-

criptiva i Càlcul de Probabilitats impartit enun primer cicle de nombroses titulacions. Fal-taria la part de tests d’hipòtesis i intervals deconfiança per cobrir completament el contingutde la majoria d’assignatures introductòries a lainferència estad́ıstica. Esperem el Volum II pertenir-ho cobert.

Mercè FarréUAB

Problemes

Recordeu que podeu trobar les solucions dels problemes de les Olimṕıades a l’adreça:

http://pie.xtec.es/recursos/mates/aqui/agenda.htm#OLIMP

on, per cert, hi trobareu una col.lecció interessant́ıssima de problemes.Us recomanem també que visiteu la web de la SCM on trobareu els enunciats i solucions de les

proves Cangur-99 celebrades el passat mes de març a Catalunya, les Illes Balears i Castelló.

http://www.iec.es/societat/scm/CAT/cangur_c.htm

També preguem als nostres lectors que si fan servir Tex o Latex per escriure les seves solucions, lesenvïın per correu electrònic a l’adreça:

pelegri.viader@econ.upf.es

aix́ı com qualsevol proposta o suggeriment.

Problemes proposats

Aquesta vegada només hem rebut un suggeriment per un problema. Us el proposem junt amb tresproblemes de competicions escolars soviètiques.

A36. (Proposat per Josep Pla de la UB.) Unamica de papiroflèxia. En un full blanc de paperdibuixeu-hi un punt. Trieu una vora del full iporteu el punt sobre la vora, tot doblegant elfull i marcant bé el doblec. Repetiu l’operacióamb diferents llocs de la mateixa vora. Podŕıeucaracteritzar la famı́lia de rectes (doblecs) quequeden marcades al full?

A37. (Competició nacional russa. Final 1984.Nivell setze anys.) Sense utilitzar càlcul dife-rencial, qui és més gran 2/201 o ln(101/100)?

A38. (Competició nacional russa. Final 1962.Nivell setze anys.) Quina és la màxima àrea quepot tenir un triangle si els costats a, b, c han decomplir 0 < a ≤ 1 ≤ b ≤ 2 ≤ c ≤ 3?

A39. (Competició nacional russa. Final 1965.Nivell setze anys.) Un turista arriba a Moscouen tren. Durant tot el dia passeja a l’atzar pelscarrers de la ciutat. Sopa a prop de la plaçaRoja i decideix tornar a l’estació caminant peraquells carrers per on només ha passat un nom-bre imparell de vegades. Pot fer-ho?

22

Solucions

Problemes proposats a SCM/Not́ıcies 9

A30. (Proposat per Anton Montes de la UPC.)Volem organitzar una lliga de futbol entre mequips, de manera que cada equip jugui contratots els altres. A continuació volem agrupar elspartits en jornades, de tal manera que en cadajornada juguin tots els equips un únic partit (sim és imparell, un equip descansa). Doneu unalgorisme per aconseguir-ho.

Solució: (Esteve Casas Juncà, de Sant Celo-ni). Suposem m parell, tal i com l’enunciat sug-gereix. Farem servir una matriu A = (aij), onaij = k significarà que l’equip i ha jugat ambl’equip k la jornada j. Inicialitzem la matriu a0. Quan s’hagi d’emparellar un equip i en lajornada j caldrà:

a) Mirar que aij = 0.

b) Buscar el primer ai+s,j, (s 6= 0) tal queai+s,j = 0 i que anteriorment no s’hagienfrontat amb l’equip i. Això últim espot comprovar de vàries maneres, una se-ria recórrer la fila i + s des de 1 fins a j − 1i veure que ai+s,ℓ 6= i, 1 ≤ ℓ ≤ j − 1.

Fixada la columna, recorrem les files buscant,per cada equip que no està emparellat el primersota seu que tampoc ho està i amb el qual no hajugat encara. Marquem aij corresponentment icontinuem el procés fins que tothom està em-parellat (podem tenir una variable emparellats,inicialitzada a zero per cada jornada, que es va-gi incrementant després de cada emparellamentfins a que prengui el valor m/2). Incrementemla jornada i tornem a començar.

Altres idees: (Solució d’A. Montes). Donatun conjunt de m equips formem el graf que téper vèrtexs els equips i per arestes els partits.Constrüım aix́ı el graf complet Km. El proble-ma d’agrupar els partits en jornades corresponara a colorejar les arestes del graf Km amb m−1colors. Cada color correspondrà a una aresta.Com és obvi, si m és senar, això no serà possibleamb m − 1 colors però si ho és amb m colors.

La solució és la següent:Considerem els vèrtexs numerats {v0, v1,

. . . , vm−1}. Si considerem m parell, tal icom l’enunciat suggereix, posem el vèrtexvm−1 al centre d’un cercle i els restants

vèrtexs, v0, . . . , vm−2, sobre el cercle formantun poĺıgon regular de m − 1 vèrtexs. Co-lorejarem amb el color i l’aresta radi vm−1vii totes les paral.leles a l’anterior, és a dirvi−j mod m−1 vi+j mod m−1, per j de 1 fins a

m/2 − 1.

És obvi que cada color s’aplica a m/2 ares-tes i que s’utilitzen m − 1 colors. El graf K2pqueda d’aquesta manera colorejat amb 2p − 1colors.

Posem un exemple de colorejat per m = 8.

t7

t

0

t1

t2

t3

t6

t5

t4

color 1

t7

t

0

t1

t2

t3

t6

t5

t4

,,eee

eeeeee

color 2

t7

t

0

t1

t2

t3

t6

t5

t4

``����

�����

���

color 3

t7

t

0

t1

t2

t3

t6

t5

t4

AA

��

����

!!!

color 4

t7

t

0

t1

t2

t3

t6

t5

t4

��

HHHHHHHHH

color 5

t7

t

0

t1

t2

t3

t6

t5

t4

DDDDD

DDD

DDDD

color 6

t7

t

0

t1

t2

t3

t6

t5

t4

ll%%%

%%%% %%

color 7

A31. (IMTT) Una màquina dóna canvi de cincduros en duros. Passa, però, que està espatlla-da i quan introdüım un duro, ens dóna 5 mo-nedes de cinc duros. En Pere té un duro. Pot,d’alguna manera, usar la màquina fins acabartenint el mateix nombre de monedes de les duesclasses?

23

Solució: (Esteve Casas Juncà de Sant Celo-ni). Anomenem s i t el nombre de vegades queen Pere introdueix una moneda de duro a lamàquina i una moneda de cinc duros respecti-vament. Si en Pere acaba amb el mateix nom-bre de monedes en algun moment determinat,

1 + 5t − s︸ ︷︷ ︸# mon. 5 pta

= 5s − t︸ ︷︷ ︸# mon. 25 pta

⇒

⇒ 1 + 6t = 6s, impossible.

A32.(Un conte embolicat de Lewis Carroll).Dos viatgers surten de casa a les 3 de la tarda itornen a les 9 del vespre després de recórrer untros pla, pujar una muntanyeta i desfer aquestmateix camı́ per tornar. En el tros pla han ca-minat a una velocitat de 4 km/h i en pujar ibaixar la muntanyeta, a 3 km/h i 6 km/h res-pectivament. Trobeu la distància recorreguda

i, amb un error de menys de 1/2 hora, calculeul’hora en què arriben al cim de la muntanyeta.

Solució: (Jaume Sans Ciurana de l’Hospita-let). Si el tram pla té x km i el pendent té ykm, podem escriure

2x

4+

y

3+

y

6= 6 ⇒

x

2+

y

2= 6 ⇒

⇒ x + y = 12.

Recorren doncs, 24 km.

El temps del viatge d’anada ha d’estar comprèsentre 3 h si no hi hagués gens de pujada i 4 hsi tot fos pujada. 3 1/2 h és doncs la duradadel camı́ d’anada amb error de menys de 1/2 h.Les 6 h 30 min seria el resultat.

Altres idees: Hem rebut solucions, essencial-ment iguals, d’Esteve Casas Juncà, de St. Celo-ni i de Joaquim Mart́ı i Marquès de Begues.

Altres solucions

Hem rebut solucions a problemes de la XXXIVOlimṕıada Matemàtica dels següents socis: Es-teve Casas Juncà de Sant Celoni les de tots elsproblemes; Blanca Augusta Costa López, pro-blema 4; Jaume Sans Ciurana de l’Hospitalet,problema 5.

José Luis Yebra de la UPC ens ha enviat novessolucions als problemes A21 i A23. Recordemel problema A21:

A21. Un tauler d’escacs 6 × 6 s’omple ambfitxes de dòmino (2 × 1) ben col.locades, és adir ocupant dos quadradets. Demostreu quesempre és possible tallar el tauler en dues partsmitjançant una ĺınia recta que no talli cap fitxa.

Solució: (Solució de J. L. Yebra). Cada una deles 10 ĺınies que marquen els quadrats del taulersepara el tauler en dos trossos amb un nombreparell de quadres. Aix́ı, el nombre de fitxes quetravessen una ĺınia qualsevol, tapant un quadrede cada costat ha de ser necessàriament parell.Amb 18 fitxes, com a molt podrem travessar 9ĺınies i, per tant, en quedarà almenys una quepermetrà separar el tauler en dues parts sensetallar cap fitxa.

Recordem el problema A23:

A23. A l’illa de Camelot viuen 13 camaleonsgrisos, 15 de color marró i 17 de color lila. Sidos camaleons de diferent color es troben, can-vien simultàniament al tercer color (per exem-ple, si es troben un camaleó gris i un de marró,tots dos canvien a lila). És possible que totsels camaleons de l’illa tinguin alhora el mateixcolor?

Solució: (Solució de J. L. Yebra). El canvide color de dos camaleons, un de cada color, altercer color, equival a passar de l’estat (a, b, c)a l’estat (a−1, b−1, c+2). Les diferències a−b,c− b i c−a, mòdul 3, no varien. Aix́ı per tal depoder arribar a un dels estats (a + b + c, 0, 0),(0, a + b + c, 0) o (0, 0, a + b + c), les diferènciesa− b, c− b i c−a han de coincidir mòdul 3 amba+b+c, 0 i −a−b−c. La condició necessària isuficient per tal que tots els camaleons tinguinel mateix color és que almenys dos dels valorsinicials (a, b, c) siguin congruents mòdul 3, cosaque en el cas del problema (13, 15, 17), no escompleix.

24

Tesis

• Anna Cuxart i Jard́ı va llegir la seva tesi, dirigida per Manuel Mart́ı Recober, titulada Modelsestad́ıstics en avaluació educativa: les proves d’accés a la universitat, el dia 26 de novembre de1998. La tesi correspon al Departament d’Estad́ıstica i Investigació Operativa de la UniversitatPolitècnica de Catalunya.

La tesi s’inscriu en un doble àmbit de recerca, elde l’estad́ıstica i el de la pedagogia. El treballha consistit en el desenvolupament i aplicacióde tècniques estad́ıstiques adreçades a l’estudide les Proves d’Aptitud per a l’Accés a la Uni-versitat i al seu seguiment en el futur. En unmoment de controvèrsia i d’aplicació d’una no-va legislació, els resultats d’aquesta tesi apor-ten elements d’objectivitat que poden orientarla presa de decisions.

Un dels objectius centrals de la tesi ha es-tat l’anàlisi estad́ıstica de la validesa i fiabilitatdels exàmens de COU i PAAU, amb una aten-ció especial a les principals fonts de variació: elscentres de secundària i el procés de correcció.

La metodologia desenvolupada, basada engran part en els models de coeficients aleato-ris, ha confirmat (i quantificat) les diferènciesexistents en els estàndards aplicats en el COU

pels centres. Es presenten nous indicadors peravaluar l’efecte centre, més eficients i establesque els actuals, segons es desprèn de l’anàlisid’una mostra de centres, al llarg de tres cursosescolars.

La modelització proposada per a l’anàlisii seguiment de la qualitat de la correcció hapermès avaluar el seu impacte en termes de lavariància deguda a la severitat i de la variànciagenerada per la inconsistència. Es desenvolu-pen una sèrie de tècniques de revisió i diagno-si del model que han estat especialment útilsen la detecció de ≪fonts de discrepància≫. Elsexperiments dissenyats en aquesta tesi són unprototipus dels que, de manera sistemàtica i enel marc d’una estratègia de millora, es podri-en anar realitzant en les PAAU del batxilleratLOGSE.

• Miquel Angel Andreu Barrieras va llegir la seva tesi, dirigida per Gerard Gómez i CarlesSimó, titulada The quasi-bicircular problem, el dia 19 de febrer de 1999. La tesi correspon alDepartament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi de la Universitat de Barcelona.

La tesi estudia l’entorn dels punts col.linealsde libració del sistema Terra-Lluna. R. Farqu-har (1970) proposà la utilització d’òrbites halotranslunars per establir un enllaç de comunica-cions permanent entre la Terra i la cara ocul-ta de la Lluna. Fins ara, no s’havien trobatòrbites d’aquest tipus per a intervals de tempsllargs (per exemple, 20 anys). Això s’ha acon-seguit introduint un nou model pel movimentd’una nau espacial al sistema Terra-Lluna-Sol:el problema quasibicircular (QBCP).

El QBCP és un problema de quatre cossosamb tres primaris, Terra-Lluna-Sol movent-seen òrbites quasicirculars coherents amb la lleide la gravitació universal de Newton. El quartcos té massa suficientment petita per a no in-fluir en el moviment dels primaris. El caṕıtolI està dedicat a la deducció de les equacions

del moviment del model, que és un sistema ha-miltonià amb tres graus de llibertat i depenentperiòdicament del temps. El caṕıtol II tractasobre el càlcul d’òrbites periòdiques al QBCP.

Al caṕıtol III, usant el mètode de Lindstedt-Poincaré, s’estudien òrbites quasiperiòdiques enel QBCP al voltant de L1 i L2. Es troben tambéòrbites halo quasiperiòdiques usant el mètodede refinament anaĺıtic, cercant els coeficients deFourier d’una solució de les equacions diferenci-als del moviment usant un mètode de Newton.Al caṕıtol IV, mitjantçant la reducció del ha-miltonià a la varietat central, es dóna una des-cripció completa dels diferents tipus d’òrbitesen un entorn