ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE TRANSPORTE MOLECULAR. Acerca de los Fenmenos de Transporte en Ingeniera Qumica.La ingeniera qumica surge como rama de la ingeniera a fines del siglo XIX, y a partir de ah se hicieron muchos estudios y trabajos para acumular informacin acerca de propiedades de sustancias, caractersticas de sistemas y equipos, etc. En la industria se llevan a cabo procesos fsicos y qumicos. En los procesos fsicos no se efectan transformaciones en las molculas, solo se realizan cambios de estado, calentamientos, enfriamientos, transporte de materia, separaciones de fases, etc. En los procesos qumicos si se realizan rupturas de molculas, o bien conversiones de una molecula a otra y de esta forma es posible obtener productos mas valiosos, caros y utiles a partir de materiales de menor valor. Como ejemplo de procesos fsicos se citan la destilacin, la sedimentacion, el movimiento de solidos, liquidos y gases, la decantacin, el filtrado, la extraccin liquido liquido, la lixiviacin (extraccin liquido solido), la evaporacin, la sublimacin, etc. Como ejemplo de procesos qumicos se tienen las reacciones qumicas que se realizan en reactores qumicos, nucleares, etc.Los procesos fsicos y qumicos estn relacionados, pues antes de usar un reactor qumico es necesario preparar y acondicionar los materiales a travs de operaciones unitarias. Por ejemplo es necesario calentarlos, enfriarlos, reducirles impurezas, etc. En igual forma, los productos del reactor tambin deben ser purificados, enfriados, transportados, almacenados, etc. Para esto es necesario usar las operaciones unitarias, tales como destilacin, sedimentacin, transportes de materia, calor y masa, etc.En los primeros a;os de la ingeniera qumica se estudiaba cada operacin unitaria y equipo industrial en forma separada. Pronto fue evidente que existan caractersticas comunes a todos estos equipos y procesos y entender esta interrelacion podra simplificar el dise;o y estudio del equipo industrial. Se encontr que los transportes de masa, calor y momentum (masa x velocidad) ocurren en todos los procesos industriales. Algunas veces ocurren dos simultneamente, o bien alguno de ellos predomina, o eventualmente los tres ocurren al mismo tiempo.Por ejemplo en el secado de la ropa se necesita transferir calor y luego ocurre un cambio de fase en el agua, de liquido a vapor, el cual se transporta hacia fuera dentro de los poros del material, y se difunde al medio ambiente. En este caso hubo transporte de calor y masa. La destilacin y la evaporacin tambin constituyen ejemplos donde ocurren transportes de calor y masa.Cuando un fluido se transporta, el crudo de petrleo, desde el pozo petrolero de donde fue extraido hacia la refinera, ocurrirn perdidas de su energa debidas a la friccion con la pared del tubo pero tambin transferencia de calor debido a los cambio de temperatura que se sucitan durante el camino, que son varios kilmetros. Indudablemente, en la medida que el material se mueve, ocurre transferencia de masa.Entonces es mandatorio entender los procesos de transporte de calor, momentum y masa, lo cual invlucrara obtener modelos matematicos, el calculo de sus parmetros, el estudio del estado estacionario y dinamico, estudio de fenmenos de transporte dentro de una fase o bien en la interfase, el estudio del flujo laminar y turbulento, el dise;o de equipo en procesos en cascada, o bien en torres empacadas, etc.

1.1.- Estimacion de los parmetros de transporte molecular.En el transporte de propiedades dentro de una sola fase, sea liquida, solida o gaseosa, los parmetros correspondientes indican la magnitud de la facilidad con la que se efectua el transporte de la propiedad. Concretamente, el valor de la conductividad trmica refleja si esta se manifiesta con facilidad o dificultad. Un valor grande relativamente de la conductividad trmica dice que el transporte de calor se efectua con mucha facilidad, mientras que un valor peque;o dice que el transporte de calor se efectua con mucha dificultad y en este caso, el material es un excelente aislante, lo cual es necesario y til en muchos casos.En el mismo sentido, un valor grande de la difusividad de masa indicara que es fcil la transferencia de un material en otro, por ejemplo un perfume en el aire. Un valor grande de la viscosidad, parmetro del transporte de momentum, indicara que el deslizamiento de una capa de material sobre la otra es difcil, o sea que la adhesin de una capa con la otra es grande, por ejemplo, cuando se derrama aceite sobre el suelo, este se extender con dificultad sobre el suelo, en cambio, cuando se derrama agua con menor viscosidad, esta se extender mas fcilmente, dada la menor adhesin de sus capas.En sntesis, los parmetros de transporte molecular dentro de una fase son la conductividad trmica, la viscosidad y la difusividad de masa. Es necesario estimar los valores de estos parmetros, o disponer de medios para calcularlos. Las opciones son:a) Consultar en la literatura.b) Realizar experimentos en el laboratorio.c) Consultar la teora En las siguientes secciones se abordara el tratamiento de las ecuaciones deducidas de la teora que permiten estimar los valores de los parmetros de transporte.

Viscosidad.Se estudiara el flujo de fluidos viscosos. La propiedad fsica que caracteriza la resistencia al flujo de los fluidos sencillos es la viscosidad, la cual varia con la emperatura.La ley de Newton de la viscosidad.Considere un fluido, liquido o gas, contenido entre dos grandes placas planas y paralelas de area A, separadas entre si por una distancia muy pequea Y.Ver figura.Supongamos que el sistema esta inicialmente en reposo, pero a tiempo t igual a cero, la lamina inferior se pone en movimiento en la direccin del eje x, con una velocidad constante V. A medida que transcurre el tiempo, el fluido gana cantidad de movimientoy finalmente, se establece el perfil de velocidad en rgimen estacionario. Una vez alcanzado este estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F para conservar el movimiento de la lamina inferior. Esta fuerza viene dada por la siguiente expresin, suponiendo que el flujo es laminar.

Es decir, que la fuerza por unidad de area es proporcional a la disminucin de la velocidad de la velocidad con la distancia Y. La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad del fluido.

El esfuerzo cortante que se ejerce en la direccin x sobre la superficie de un fluido, situada a una distancia constante y, por el fluido existente donde en la regin donde y es menor, se designa por y el componente x del vector de velocidad del fluido , poe vx, entonces,

Es decir, que la fuerza de cizalla por unidad de area es proporcional al gradiente negativo de la velocidad local. Esta es la ley de Newton de la viscosidad, y los fluidos que la cumplen se denominan fluidos newtonianos. Todos los gases y la mayora de los liquidos sencillos se comportan de acuerdo con esta ecuacin. Los fluidos que no obedecen a esta ley sencilla son pastas, suspensiones y polmeros de elevado peso molecular.

Resulta tambin conveniente interpretar la ecuacin en otra forma. En las inmendiaciones de la superficie que se mueve, donde y = 0, el fluido adquiere una determinada cantidad de movimiento en la direccin del eje x. Este fluido comunica a su vez parte de su cantidad de movimiento a la capa adyacente de liquido, dando lugar a que se mantenga en movimiento en la direccin x. Por lo tanto, tiene lugar una transmisin de cantidad de movimiento x a travs del fluido en la direccin y, y por consiguiente, puede interpretarse tambin como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento x en la direccin y.La densidad de flujo viscos de cantidad de movimiento sigue la direccin del gradiente negativo de velocidad, es decir que sigue la direccin de velocidad decreciente. En otras palabras, la cantidad de movimiento va cuesta abajo, en el sentido de que desciende de una regin de alta velocidad a otra de baja velocidad de la misma forma que un trineo se desliza desde un lugar elevado hasta otro mas bajo y el calor fluye desde una zona caliente a otra mas fra. El gradiente de velocidad puede considerarse como una fuerza impulsora del transporte de cantidad de movimiento.

La viscosidad cinematica se define como , tiene unidades de

Un poise es

El factor tcnico gravitacional es Fluidos no Newtonianos.

La experiencia demuestra que para todos los gases y liquidos homogneos no polimerizados es directamente proporcional a . Sin embargo existen algunos materiales industrialmente importantes que no se comportan de acuerdo a la ecuacin 112. Se conocen a estas sustancias con el nombre de fluidos no newtonianos, lo cual es nun tema importante en reologia, es decir, la ciencia del flujo y la deformacin, que estudia las propiedades mecanicas de los gases, liquidos, plsticos, sustancias asflticas y materiales cristalinos. Por lo tanto, el campo de la reologia se extiende desde la mecnica de fluidos newtonianos hasta la elasticidad de Hooke.La regin comprendida entre ellas corresponde a la deformacin y flujo de todos los materiales pastosos y suspensiones.El comportamiento reologico en estado estacionario, de la mayor parte de los fluidos puede establecerse mediante una forma general:

En la que puede expresarse a su vez en funcin de o de indistintamente. En las regiones en que disminuye al aumentar el gradiente de velocidad -, el comportamiento se denomina pseudo plstico. Y dilatante en las que aumenta con dicho gradiente. Si resulta independiente del gradiente de velocidad, el fluido se comporta como fluido newtoniano y entonces . Se han propuesto numerosas ecuaciones empiricas o modelos para expresar la relacin que existe en estado estacionario entre y .

A continuacin se presenta un resumen de cinco modelos representativos. Todas las ecuaciones contienen parmetros empricos positivos cuyo valor numrico puede determinarse correlacionando los datos experimentales de frente a a temperatura y presin constantes.Modelo de Bingham.

mayor que cero.

Se utiliza el signo + si es positivo y con signo si es negativo. Toda sustancia que se comporta de acuerdo con este modelo de dos parmetros se denomina plstico de Bingham;

Permanece rigido mientras el esfuerzo cortante es menor de un determinado valor por encima del cual se comporta de forma semejante a un fluido newtoniano. Este modelo resulta suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones finas.Modelo de Ostwald de Waele.

Esta ecuacin de dos parmetros se conoce tambin con el nombre de ley de la potencia. Para n = 1, se transforma en la ley de la viscosidad de Newton, siendo m = ; por consiguiente, la desviacin del valor de n con respecto a la unidad es una medida del grado de desviacin del comportamiento newtoniano. Cuando n es menor que uno, el comportamiento es pseudo plstico, mientras que valores superiores a la unidad es dilatante.Modelo de Eyring.

Este modelo de dos parmetros deriva de la teora cinetica de los liquidosde Eyring. El modelo de Eyring predice el comportamiento pseudo plstico para valores finitos de y tiende asintticamente a la ley de la viscosidad de Newton cuando tiende hacia cero, siendo en este caso Modelo de Ellis.

Este modelo contiene tres parmetros ajustables . Si se toma para un valor mayor que la unidad, el modelo tiende hacia la ley de Newton para valores bajos de , mientras que si se elige para un valor menor que la unidad, la ley de Newton se establece para valores elevados de . El modelo presenta una gran flexibilidad y en el estn comprendidas, como casos particulares, tanto la ley de Newton (para ), como la ley de la potencia ( para ).Modelo de Reiner Philippoff

ecuacin 1-2-6

Este modelo contiene tambin tres parmetros positivos ajustables . Teniendo en cuenta que frecuentemente se ha observado que el comportamiento newtoniano se presenta tanto para valores muy bajos como muy elevados del gradiente de velocidad, la ecuacin 1-2-6 ha sido planteada con el fin de que se transforme en estos dos casos limite en la ley de Newton de la viscosidad, haciendo , respectivamente.

La figura 1-2-1 es una descripcin grafica del comportamiento reologico de los modelos que hemos expuesto. Tengase presente que estas ecuaciones no son mas que formulas empiricas de ajuste de curvas, y por consiguiente, es muy aventurado emplearlas fuera del intervalo de los datos experimentales utilizadosen su obtencin. Observese asimismo que los parmetros de algunos de estos modelos son funciones de la temperatura, presin, composicin, y generalmente tambin del intervalo de para el se ha ajustado la ecuacin; por lo tanto, al dar los valores de los parmetros reologicos, es preciso especificar cuidadosamente las condiciones en que han sido determinadas.

En estado no estacionario, pueden existir otras formas de comportamiento no newtoniano. Por ejemplo, los fluidos que presentan una disminucin limitada de eta con el tiempo, al aplicar repentinamente un esfuerzo cortante se denominan tixotrpicos, recibiendo el nombre de reopecticos los que dan lugar a un aumento de eta con el tiempo en estas condiciones. Los fluidos que recobran parcialmente la forma original al cesar el esfuerzo cortante se denominan visco elsticos. El estudio cuantitativo de estos y otros tipos, de comportamientos no newtonianos dependientes del tiempo, es uno de los importantes campos de la mecnica de fluidos.INFLUENCIA DE LA PRESION Y LA TEMPERATURA SOBRE LA VISCOSIDAD.Existen numerosos datos de viscosidad de gases y liquidos puros, reportados en la literatura. Cuando se carece de datos experimentales y no se dispone de tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede obtenerse por mtodos empricos, utilizando otros datos de la substancia en cuestin. Se presentan dos correlaciones que permiten efectuar dicha estimacin y que a su vez proporcionan informacin sobre la variacin de la viscosidad de los fluidos ordinarios con la temperatura y la presin. Estas correlaciones se basan en el anlisis de un gran numero de datos experimentales de diferentes fluidos, mediante la aplicacin del principio de los estados correspondientes.

La figura 1-3-1 es una representacin grafica de la viscosidad reducida , que es la viscosidad a una determinada temperatura y presin, dividida por la viscosidad correspondiente al punto critico. En la figura se ha representado la viscosidad reducida frente a la temperatura reducida, y la presin reducida .Se observa que la viscosidad de un gas tiende hacia un valor limite definido, el limite de baja densidad, cuando la presin tiende hacia cero, a una determinada temperatura; para la mayor parte de los gases, este limite se alcanza prcticamente a la presin de 1 atmosfera. La viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que la de un liquido, disminuye al aumentar esta.

La figura 1-3-2 es una representacin grafica de que es la viscosidad a una determinada temperatura y presin, dividida por la viscosidad a la misma temperatura y a la presin atmosfrica. Las graficas de las figuras 1-3-1 y 1-3-2 concuerdan satisfactoriamente en el intervalo de Pr y Tr que es comn a ambos.Para calcular la viscosidad de una mezcla de n componentes mediante la figura 1-3-1, se utilizan las propiedades pseudocriticas, definidas empricamente por las ecuaciones.

Este mtodo no es muy exacto si las sustancias que forman la mezcla tienen distintas constituciones qumicas o sus propiedades criticas difieren notablemente.Ejemplo 1-3-1.Calcular la viscosidad de N2 a 50 C y 854 atm, siendo M = 28 g&gmol, Pc = 33.5 atm y Tc = 126.2K.Solucion.En este caso, hay que utilizar el mtodo de Watson Uyehara. Calculando la viscosidad critica mediante la ecuacin 1-3-2.

Los valores de la temperatura y presin reducida son

En la figura 1-3-1 se lee , por tanto, el valor estimado de la viscosidad es

El valor experimental es 455x10-6 y la concordancia en este caso es excepcionalmente buena.Ejemplo 1-32.La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3 C es 1800 x 10-7 poise. Estimar la viscosidad a 114.6 atm y la misma temperatura, utilizando la figura 1.3.2Solucion.La temperatura y la presin reducidas, correspondientes a las condiciones en las que se conoce la viscosidad son:

En la figura 1-3-2 se encuentra que , en estas condiciones; por tanto, La presin reducida en las condiciones deseadas es

y Tr es la misma de antes. En la figura 1-3-2 se lee , por tanto, el valor de la viscosidad a 114. 6 atm y 40.3 C es

El valor experimental es

Teoria de la viscosidad de los gases a baja densidad.Las viscosidades de los gases a baja densidad se han estudiado ampliamente, tanto en el aspecto experimental como en el teorico. Consideremos un gas puro, constituido por molculas esfricas, rigidas y que no se atraen, de dimetro d y masa m, con una concentracin de n molculas por unidad de volumen. Supongamos que n es suficientemente peque;o, de forma de que la distancia media entre las molculas sea mucho mayor que su dimetro. Al alcanzarse el equilibrio en estas condiciones, la teora cinetica establece que las velcidades moleculares relativas a la velocidad v del fluido, siguen direcciones al azar y tienen un valor promedio, que viene dado por la expresin.

En la que k es la constante de Boltzman. La frecuencia del bombardeo molecular por unidad de area, que actua sobre una cara de una superficie estacionaria en contacto con el gas viene dada por.

El recorrido libre medio es la distancia que recorre una molecula entre dos colisiones consecutivas, siendo

Las molculas que llegan a un plano han efectuado, como promedio, sus ultimas colisiones a una distancia a de este plano, siendo

Para determinar la viscosidad de este gas en funcin de las propiedades moleculares, veamos lo que ocurre cuando fluye paralelamente al eje x, con un gradiente de velocidad .La densidad de flujo de cantidad de movimiento x a travs de un plano situado a una distancia constante y, se obtiene sumando las cantidades de movimiento x de las molculas que cruzan en la direccin y positiva y restando las cantidades de movimiento x de las que cruzan en el sentido opuesto, por lo tanto.

Se supone que el perfil de velocidades vx(y) es esencialmente lineal en una distancia de varias veces el recorrido libre medio. Teniendo en cuenta esta ultima suposicin se puede escribir.

Combinando las ecuaciones 1-4-2, 5 y 6,

Esta ecuacin corresponde a la ley de la viscosidad de Newton, siendo la viscosidad,

Esta ecuacin fue obtenida por Maxwell en 1860.Combinando las ecuaciones 1-4-1, 3 y 8.

1-4-9Que corresponde a la viscosidad de un gas a baja densidad, constituido por esferas rigidas. La deduccin anterior proporciona una descripcin cualitativamente correcta de la transferencia de cantidad de movimiento en un gas a baja densidad. La prediccin de la ecuacin 1-4-9 de que es independiente de la presin esta en buena concordancia con los resultados experimentales para presiones de hasta unas 10 atmosferas. En cambio, la dependencia con respecto a la temperatura es menos satisfactoria. Para predecir con exactitud la variacin de con la temperatura hay que substituir el modelo de la esfera rigida por un campo de fuerzas moleculares mas realista.La teora de Chapman Enskog da expresiones para los coeficientes de transporte en funcin de la teora potencial de interaccion entre dos molculas del gas. La energa potencial esta relacionada con la fuerza de interaccion f mediante la ecuacin.

Donde r es la distancia entre las molculas. La forma exacta de la funcin ( r ) no se conoce, pero afortunadamente, se ha comprobado mediante una investigacin copiosa que una funcin empirica muy satisfactoria de la energa potencial es el potencial de Lennard Jones.

1-4-10Donde es un dimetro carcteristico de la molecula (el dimetro de colision) y es una energa caracterstica de interaccion entre las molculas (la energa de atraccin mxima entre dos molculas). Esta funcin se representa en la figura 1-4-2 que pone de manifiesto los caracteres tpicos de las interecciones moleculares: dbil atraccin para grandes separaciones ( prcticamente proporcional a r-6) y fuerte repulsin para separaciones peque;as (aproximadamente proporcional a r-12) Esta ecuacin resulta muy satisfactoria para numerosas molculas no polares Los valores para sigma y epsilum se conocen para muchas sustancias y se reportan en tablas. Se dispone de las siguientes ecuaciones empiricas.

Donde c es condiciones criticas, b es punto de ebullicin y m es punto de fusin del solido.

Donde estn dadas en grados Kelvin, sigma en Amstrongs, V en gramo cm 3mol-1 y Pc en atmosferas.El coeficiente de viscosidad de un gas monoatmico puro de peso molecular M, a la temperatura T, viene dado por la siguiente ecuacin.

En la que es una funcin ligeramente decreciente del numero adimensional cuyos valores se dan en un apndice.Aunque esta formula se ha deducido para los gases monoatmicos, se ha encontrado que resulta tambin muy adecuada para los gases poliatomicos. Observar que la viscosidad de los gases a baja diensidad aumenta con temperatura y la viscosidad es independiente de la presin.La teora de Chapman Enskog ha sido ampliada por Curtis y Hirschfelder para incluir las mezclas gaseosas de varios componentes, En la mayor parte de los casos, resulta muy adecuada la ecuacin empirica de Wilke.

Donde.

En estas ecuaciones, n es el numero de especies qumicas existentes en la mezcla, xi y xj son las fracciones molares de las especies i y j. i y j son las viscosidades de i y j a la temperatura y presin del sistema, Mi y Mj son los pesos moleculares correspondientes. Observar que ij es un numero adimensional, y que ij = 1 cuando i = j.Ejemplo 1-4-1.- Calcular la viscosidad del CO2 a 1 atmosfera y 200, 300 y 800 K

Se utiliza la ecuacin 1-4-18. En la tabla B 1se encuentra que las constantes de Lennard = Jones para el CO2 valen . El peso molecular del CO2 es es 44.01. Sustituyendo esto, se obtiene.

Donde . Los dems clculos se indican en la tabla siguiente.T(K)

de la tabla B-2

Viscocidad calculada Ec.1-4-21

Viscocidad observada

2001.0531.54814.141.013x 10-41.015x10-4

3001.581.28617.321.494x 10-41.495x10-4

8004.210.959528.283.269x 10-4

En la ultima columna se indican los datos experimentales con fines comparativos Ejemplo 1 4 2.Predecir la viscosidad de las siguientes mezclas gaseosas a 1 atm y 293 K, a partir de datos de los componentes puros a 1 atm y 293 K.SubstanciaFraccion molar xPeso Molecular MViscosidad

1=CO20.13344.011462x 10-7

2=O20.03932.02031x10 -7

3=N20.82828.0161745x 10-7

Solucion.Se utilizaran las ecuaciones 1-4-20, y 1 4 19 por este orden, En la siguiente tabla se indican las principales etapas del calculo.ij

Ecuacion 1-4-20

11111

21.3750.720.730.763

31.5710.8340.727

210.7271.3891.394

21111.057

31.1421.1581.006

310.6371.21.37

20.8760.8640.9931.049

3111

La ecuacin 1 4 19

El valor experimental es 1793, mismas unidades.

Teoria de la Viscosidad de los Liquidos.El conocimiento que tenemos de la viscosidad de los liquidos es fundamentalmente empirico, ya que la teora cinetica de los liquidos se ha desarrollado tan solo en forma parcial. No obstante, tiene inters la teora aproximada desarrollada Eyring y colaboradores en 1941 porque explica el mecanismo que tiene lugar, y permite estimar aproximadamente la viscosidad a partir de otras propiedades fsicas.En un liquido puro en reposo, las molculas estn constantemente en movimiento, pero debido al compacto empaquetamiento, el movimiento queda reducido prcticamente a la vibracin de cada molecula dentro de una jaula formada por las molculas mas prximas. Eyring sugiri que un liquido en reposo sufre rerdenaciones continuas, durante las cuales una molecula escapa desde una jaula a un hueco adyacente y que de esta forma, las molculas se mueven en cada una de las direcciones de las coordenadas cartesianas, dando saltos de longitud a y frecuencia por molecula k, dada por la ecuacin de velocidad.

K y h son las constantes de Boltzman y Plank, R es la constante universal de los gases, delta G es la energa libre de activacin molar, del fluido estacionario.

Si el fluido circula en la direccin x con un gradiente de velocidad , la frecuencia de las velocidades moleculares aumenta, pues la barrera de energa potencial se distorsiona a causa del esfuerzo aplicado.Se ha obtenido la siguiente ecuacin empirica.

V es el volumen de un mol de liquido, N es el numero de Avogadro, Tb es la temperatura normal de ebullicin.La viscosidad disminuye exponencialmente con la temperatura, lo que esta de acuerdo con el comportamiento observado para la mayor parte de los liquidos. Estas ecuaciones no son muy exactas, dando frecuentemente errores de hasta un 30 %, son utiles especialmente para una estimacin aproximada y sirven de gua para la interpolacin y extrapolacin de datos incompletos de viscosidad.Ejemplo.Estimar la viscosidad del benceno liquido a 20 C.Solucion. Se utiliza la ecuacin 1 5 12, junto con los siguientes datos.Sustituyendo en la ecuacin 1-5-12 se obtiene.

El valor experimental de la viscosidad es 0.647 y esta discrepancia pone de manifiesto el carcter aproximado de la teora.Conductividad calorfica y mecanismo del transporte de energa.La conductividad calorfica k es una propiedad que interviene en la mayor parte de los problemas de transmisin de calor. Su importancia en el transporte de energa es anlogo a la de la viscosidad en el transporte de cantidad de movimiento. El numero de datos de conductividad calorfica existentes en la bibliografa esta aumentando rpidamente.Ley de Fourier de la conduccin del calor.Consideremos una placa de un material solido de superficie A, comprendida entre dos grandes laminas planas y paralelas separadas por una distancia Y. Supongamos que inicialmente, (para t menor que cero) el material solido esta en su totalidad a la temperatura T0. En el instante T0 = 0, la lamina inferior se pone bruscamente a una temperatura T1, ligeramente superior, que se mantiene constante. A medida que transcurre el tiempo, varia el perfil de temperatura en la placa y finalmente se alcanza una distribucin lineal de temperatura en estado estacionario y se verifica una velocidad constante de flujo de calor.Q a travs de la placa para que se mantenga la diferencia de temperatura T1 T0. Se ha encontrado que para valores de delta T suficientemente peque;os se cumple la siguiente relacin.

Es decir, que el flujo de calor por unidad de area es directamente proporcional a la disminucin de la temperatura con la distancia Y, y la constante de proporcionalidad k es la concuctividad especifica de la placa.La ecuacin anterior se cumple tambin para liquidos y gases situados entre las laminas, siempre que se tomen las precauciones necesarias para evitar la conveccin y radiacion. Esta ecuacin por lo tanto, describe los procesos de conduccin que tienen lugar en solidos, liquidos y gases.En su forma diferencial, el flujo local de calor por unidad de area, (densidad de flujo de calor) que tiene lugar en la direccin y positiva se designa por qy. Entonces,

Esta ecuacin es la forma unidimensional de la ley de Fourier de la conduccin del calor, que es valida cuando T = T(y). Establece que la densidad de flujo de calor por conduccin es proporcional al gradiente de temperatura, o dicho de una forma mas grafica, el calor se desliza cuesta abajo, en la representacin grafica de la temperatura frente a la distancia.En un medio isotrpico en que la temperatura varia en las 3 direcciones del espacio, las ecuaciones son.

Estas 3 relaciones corresponden a las componentes de la ecuacin vectorial.

Que es la forma tridimensional de la ley de Fourier. Establece que el vector densidad de flujo de calor q es proporcional al gradiente de temperatura , y de sentido contrario. Por lo tanto, en un medio istropo, el calor fluye por conduccin en la direccin en que el descenso de temperatura es mas pronunciado. Para un fluido en movimiento, q representa la densidad de flujo de energa calorfica relativa a la velocidad local del fluido.Existe una semejanza entre la densidad de flujo unidimensional de energa y la ecuacin de la densidad de flujo unidimensional de cantidad de movimiento. En ambos casos, la densidad de flujo es proporcional al gradiente negativo de una variable macroscpica y los coeficientes de proporcionalidad son propiedades fsicas que dependen de la substancia y de los valores locales de la presin y la temperatura. La energa es un numero escalar mientras que la cantidad de movimiento es un vector. Por esta razn, la densidad de flujo de energa es un vector con 3 componentes y en cambio, la densidad de flujo de cantidad de movimiento es un tensor con nueve componentes. Ademas de la conductividad calorfica, se utiliza frecuentemente la difusividad trmica que se define mediante la siguiente expresin.

Variacion de la Conductividad Calorifica de Gases y Liquidos con la Temperatura y la Presion.Debido a la escasez de datos de garanta de la conductividad calorfica de fluidos, frecuentemente es preciso estimar k a partir de otros datos de la sustancia en cuestin. A continuacin se presentan dos correlaciones que permiten efectuar dicha estimacin y que al mismo tiempo indican como varia la conductividad calorfica de los fluidos puros con la presin y la temperatura. Estas correlaciones estn basadas en los principios de los estados correspondientes y son anlogas a las que se han expuesto para el caso de la viscosidad.

La figura 8-2-1 es una representacin grafica de la conductividad calorfica reducida, que es la conductividad calorfica a una determinada temperatura y presin, dividida por la conductividad calorfica correspondiente al punto critico. .

Esta magnitud se ha representado en funcin de de la temperatura reducida y la presin reducida, . Aunque se ha desarrollado para los gases monoatmicos, puede utilizarse tambin para los gases poliatomicos.En la figura 8-2-1 se observa que la conductividad calorfica de un gas a bajas presiones tiende hacia una funcin limite de la temperatura T, para la mayor parte de los gases, este limite se alcanza ya prcticamente a la presin de 1 atmosfera. La conductividad calorfica de los gases a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que para la mayor parte de los liquidos disminuye al aumentar dicha variable.

La figura 8-2-2 es una representacion grafica de que es la conductividad calorfica a una determinada temperatura y presin, dividida por la conductividad calorfica a la misma temperatura y presin atmosfrica Esta grafica se utiliza de la misma forma que la correspondiente a la viscosidad. Para el caso de gases poliatomicos, ninguna de las dos correlaciones es muy exacta.Ejemplo 8 2-1.Estimar la conductividad calorfica del etano a 67.2 C y 191.9 atm, sabiendo que a esta temperatura y a la presin atmosfrica,

Solucion.- El procedimiento mas sencillo consiste en utilizar la figura 8-2-2. Primero calcularemos las coordenadas necesarias utilizando, las propiedades criticas de la tabla B1.

De la figura 8-2-2, se encuentra que y por lo tanto,

Un valor experimental es . Esta discordancia pone de manifiesto que no debe tenerse mucha confianza en esta correlacion en el caso de sustancias poliatomicas o para condiciones prximas a las del punto critico.Otra solucin.Este problema puede resolverse tambin mediante la figura 8-2-1. Para las condiciones en que se conoce k0, (Pr = 0, Tr = 1.115), se encuentra que kr = 0.36. Por tanto,

Para las condiciones de estimacin (Pr = 3.8, Tr = 1.115) se lee kr = 2.07. El valor que se obtiene para la conductividad calorfica es por tanto,

El resultado es algo menos exacto que el que se obtiene mediante la figura 8-2-2.Teoria de la Conductividad Calorifica de los Gases a Baja Densidad.Las conductividades calorficas de los gases monoatmicos diluidos se conocen muy bien y pueden predecirse con exactitud mediante la teora cinetica. En cambio, la teora de los gases poliatomicos se ha desarrollado tan solo de una forma parcial. Comenzaremos con el calculo de la conductividad calorfica de un gas monoatmico a baja densidad. Suponemos que las molculas son esferas rigidas, que no se atraen, de masa m y dimetro d. Se supone tambin que gas en conjunto esta en reposo (v = 0), pero en cambio se tiene en cuenta el movimiento molecular.Como en el caso anterior, se usaran los siguientes resultados de la teora cinetica molecular, para el caso de un gas diluido, constituido por esferas rigidas, en el que los gradientes de temperatura, presin y velocidad son peque;os.

. Valor medio de la velocidad molecular.

Frecuencia de colision de la pared por unidad de area.

Recorrido libre medioLa nica forma de energa que pueden intercambiar las esferas rigidas durante la colision es la energa de traslacin, cuyo valor medio por molecula, en condiciones de equilibrio, viene dado por:

El calor especifico molar, a volumen constante, del gas que estamos considerando, es

Siendo R la constante de los gases.Para un tratamiento mas exacto de los gases monoatmicos volvemos a aplicar la teora rigurosa de Chapman Enskog. La formula de Chapman Enskog para la conductividad calorfica de los gases monoatmicos a baja densidad y a la temperatura T(K) es

es idntica a la funcionde colision usada en la teora de la viscosidad.

Hasta aqu solo hemos considerado los gases monoatmicos, pero ahora vamos a tratar una generalizacin aproximada para el caso de los gases poliatomicos. Esta generalizacin es necesaria puesto que las molculas poliatomicas, adems de la energa cinetica de traslacin poseen tambin energa de rotacin y vibracin, y todas estas formas de energa pueden intercambiarse en la colision.Eucken desarrollo un mtodo semiempirico sencillo para el tratamiento de intercambio de energa en los gases poliatomicos. Su ecuacin para la conductividad de los gases poliatomicos a baja densidad es

En esta ecuacin esta incluida, como caso especial la formula ce los gases monoatmicos, puesto que para los gases,

La ecuacin 8-3-15 constituye un mtodo sencillo para la estimacin del numero de Prandtl, que es un numero adimensional de gran importancia en la transmisin de calor por conveccin.

, para un gas poliatomicos, a baja densidad.La conductividad calorfica de las mezclas gaseosas a baja densidad puede estimarse por un mtodo anlogo al descrito para la viscosidad.

Ejemplo .Calcular la conductividad calorfica del neon a 373.2 K y 1 atm.Las constantes de Lennard Jones para el neon, segn la tabla B1son:

En la tabla B2 se encuentra que . Fue necesario hacer interpolacin lineal.Sustituyendo en la ecuacin 8 3-13,

El valor experimental en estas condiciones es 1.35x10-4, mismas unidades.EjemploEstimar la conductividad calorfica del oxigeno molecular (gas poliatomico) a 300 K y baja presin.

El peso molecular M = 32, calor especifico Cp = 7.019 ,

En la tabla B2, haciendo interpolacin lineal se encuentra que.Sustituyendo en la ecuacin de la viscosidad.

La conductividad calorfica, segn la formula de Eucken

Este valor estimado concuerda satisfactoriamente con el experimental de 6.35 x 10-5, mismas unidades.Ejemplo.Predecir la conductividad calorfica de la siguiente mezcla gaseosa a 1 atm y 293 K, a partir de los datos que se indican para los componentes puros a 1 atm y 293 K.SubstanciaFraccion molar xPeso Molecular MViscosidad

Conductividad trmica

1=CO20.13344.011462x 10-7383x 10-7

2=O20.03932.02031x10 -7612 x 10-7

3=N20.82828.0161745x 10-7627 x 10-7

SolucionSe utilizaran las ecuaciones 8-3-17 y 18. Recordemos que ij para esta mezcla, en las mismas condiciones, se utilizo ya en el calculo de la viscosidad, en el que se evaluaron las siguientes sumatorias, que intervienen tambin en la ecuacin 8-3-17.I = 1I = 2I = 3

0.7631.0571.049

Sustituyendo en la ecuacin 8-3-17, se obtiene.

No se dispone de datos experimentales en estas condiciones para poder comparar el resultado.