Coexistencia de Poblaciones:Modelos de Competenciay Depredación.

José Alberto Morales Escalante

Ecuaciones Diferenciales I.

Relación Presa-Depredador:

Modelo de Lotka - Volterra

Hipótesis Subyacentes:

•Entorno cerrado.

•Reproducción continua en el tiempo de ambas poblaciones.

•Poblaciones Homogéneas.

•Ambiente ideal para la presa (P) en ausencia del depredador (D).

•En ausencia de presas, la población de depredadores se extingue.

Presa:

r1: Tasa de crecimiento en ambiente ideal.

b: Respuesta funcional del depredador

bPDPrdtdP 1

Depredador:

r2: Tasa de crecimiento en ausencia de la presa.

q: Conversión de biomasa de una población a otra.

qPDDrdtdD 2

Resultados:

•Las soluciones son periódicas; su representación implícita rodea al punto de Equilibrio: (r1/b,r2/q).

Ley de Conservación del Valor Medio:

El valor promedio del número de individuos de cada especie es el mismo para cualquier número inicial de individuos, si los parámetros de crecimiento y ataque permanecen constantes.

Ley de Perturbación del Valor Medio:

El intento de destruir a los individuos de dos especies uniforme y proporcionalmente a su número lleva a un aumento del valor medio de las presas y a un decrecimiento del valor medio de los depredadores.

El aumento en la protección de la presa lleva a un aumento en ambos valores medios.

Biólogos vs. Teóricos:

Pulgón de los CítricosEl lince y la liebre

Fuera del Paraíso:

La tasa de crecimiento, aún en un ambiente sin depredadores, considera la competencia

entre individuos de la misma población.

))/1(( 1 bDKPrPdtdP

Cambios Cualitativos:

Existe un punto de equilibrio asintóticamente estable al cual convergen todas las soluciones

no triviales.

Modelos de Competencia

Los valores hi indican cómo el tamaño de una población determina la parte usada de la

capacidad de carga del entorno.

)1(

)(

)(

)(

2

1

2

1

iir

kkk

i

i

Nh

i

kkkiiN

N

r

Nhr

Conclusiones:

Una de las 2 poblaciones

se extingue.

2

2

1

1

2

1

2

1

1221

12212

1 ))exp((2

1

rry

rr

rr

trreNN k

G.F. Gause pone aprueba a Volterra.

Principio de exclusión competitiva:

Las especies con hábitos idénticos no pueden vivir juntas al mismo tiempo.

Bibliografía:

• Joseph Hofbauer, Sigmund. Evolutionary Games and Population Dynamics. Cambridge U.P. U.K., 2002; pp 11-21.

• Falconi, M. Una semblanza de Vito Volterra. Sánchez Garduño, et. al. Clásicos de la Biología Matemática. Siglo XXI. México, 2001; pp 92-109.

• Braun, M. Differential Equations and their Applications, Springer. E.U.A., 1993; pp 443-458.

Links:

•http://www.tu-dresden.de/fghhihb/petzoldt/models.html

•http://www.aw-bc.com/ide/index.html