Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación

A. 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑠𝑒𝑛 (𝑦) = 0 no lineal, de primer orden

B. y ′′ + y′ + y = 0. Lineal de segundo orden

C. 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = 𝑒𝑥 lineal de segundo orden

D. (2𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (𝑦2𝑥 − 𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 primer orden, no lineal

E. 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥2 lineal de primer orden

F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦2 +

𝑦

𝑥−

1

𝑥2 = 0 𝑦 = 1

𝑥 𝑦1 = −

1

𝑥2

Sustituyo

−1

𝑥2 + (1

𝑥) +

(1𝑥

)

𝑥−

1

𝑥2 = 0

−1

𝑥2 +1

𝑥2 +1

𝑥2 −1

𝑥2 = 0

0 = 0

Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

A. Solucione por separación de variables

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−2𝑥

𝑦

𝑦𝑑𝑦 = −2𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑦𝑑𝑦 = ∫ −2𝑥 𝑑𝑥

𝑦2

2= −

2𝑥2

2+ 𝑐

𝑦2 = −2𝑥2 + 𝑐

Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala

B. Determine si es exacta, si lo es resuélvala

2𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦2 − 2𝑥 = 0

2𝑥𝑦𝑑𝑦 = (2𝑥 − 𝑦2)𝑑𝑥 (𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝜕𝑚

𝜕𝑦= 2𝑦

𝜕𝑛

𝜕𝑥= 2𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜

𝜕𝑚

𝜕𝑦=

𝜕𝑛

𝜕𝑥

Por tanto Si es exacta, entonces

∫(𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥

𝑥𝑦2 − 𝑥2 + ℎ(𝑦)

𝜕

𝜕𝑦[𝑥𝑦2 − 𝑥2 + ℎ(𝑦)]

2𝑥𝑦 + ℎ′(𝑦) = 2𝑥𝑦

ℎ′(𝑦) = 0, ℎ(𝑦) = 𝑐

𝑥𝑦2 − 𝑥2 = 𝑐

Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

C. (3𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0

𝜕𝑚

𝜕𝑦= 3𝑥 + 2𝑦

𝜕𝑛

𝜕𝑥= 2𝑥 + 𝑦

𝑚𝑦 − 𝑚𝑥

𝑛=

3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑦 − 𝑦

𝑥2 + 𝑥𝑦=

𝑥 + 𝑦

𝑥(𝑥 + 𝑦)=

1

𝑥

𝜇(𝑥) = 𝑒∫1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑙𝑛𝑥 = 𝑥)

(3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥3 + 𝑦𝑥2)𝑑𝑦 = 0

𝜕𝑚

𝜕𝑦= 3𝑥2 + 2𝑥𝑦

𝜕𝑛

𝜕𝑥= 3𝑥2 + 2𝑥𝑦

∫(3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥

𝑥3𝑦 +𝑥2

2𝑦2 + ℎ(𝑦)

𝜕

𝜕𝑦= 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + ℎ′(𝑦)

𝑥3+𝑥2𝑦+ ℎ′(𝑦) = 𝑥3 + 𝑦𝑥2

ℎ′(𝑦) = 0

ℎ(𝑦) = 𝑐

𝑥3𝑦 +𝑥2

2𝑦2 = 𝑐

D. Resuelva la ecuación

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥+

𝑥

𝑦 𝑉 =

𝑦

𝑥 𝑥𝑉 = 𝑦 𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Sustituyo

𝑣 + 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥= 𝑣 + 𝑣−1

𝑥 𝑑𝑣

𝑑𝑥=

1

𝑣

∫ 𝑣𝑑𝑣 = ∫1

𝑥𝑑𝑥

𝑣2

2= 𝐿𝑛|𝑥| + 𝑐

𝑣2 = 2𝐿𝑛|𝑥| + 𝑐

(𝑦

𝑥) = 2𝐿𝑛𝑥 + 𝑐

𝑦 = 2𝑥𝐿𝑛𝑥 + 𝑐𝑥

E. Resuelva la ecuación

√𝑦𝑥4 + 𝑦′ = 0 𝑦(1) = 1

(𝑦𝑥)14 +

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= − 𝑦

14 𝑥

14

𝑑𝑦

𝑦14

= −𝑥14 𝑑𝑥

∫ 𝑦−14 𝑑𝑦 = ∫ −𝑥

14 𝑑𝑥

4

3𝑦

3

4 = −4

5𝑥

5

4 + c

𝑦34 = −

3

5𝑥

54 + 𝑐

𝑜 = 𝑐

𝑦34 = −

3

5(1)

54

𝑦(1) 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙.

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas

por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m 3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

Los datos conocidos de los ejercicios son los siguientes:

𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 10000𝑚3

𝑠

𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 8000𝑚3

𝑠

𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 =2

𝑚3

𝑠

8000𝑚3

𝑠

= 0.00025 = 0.025%

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 (𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒) = 6000 ∗ 106𝑚3

𝑠

Esquema:

Este ejercicio es un modelo de ejercicio del caso de mezclas que tiene algunas consideraciones

importantes para tener en cuenta:

Durante el día solo se va a presentar entrada del contaminante en 4 horas luego eso implicaría

tener ecuaciones que trabajaran por intervalos lo cual sería más complicado. Para solventar este

problema vamos a considerar una entrada promedio por día del contaminante así:

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2𝑚3

𝑠

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 = 2𝑚3

𝑠∗

60 𝑠

1 𝑚𝑖𝑛∗

60 𝑚𝑖𝑛

1 ℎ∗ 4 ℎ = 28.800 𝑚3

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 28800𝑚3

𝑑𝑖𝑎

1. El volumen del lago se mantiene constante ya que los caudales de entrada y salida son

iguales.

2. 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 8000𝑚3

𝑠∗

60 𝑠

1 𝑚𝑖𝑛∗

60 𝑚𝑖𝑛

1 ℎ∗

24 ℎ

1 𝑑𝑖𝑎= 691200000

𝑚3

𝑑𝑖𝑎

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 (𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒) = 6000 ∗ 106 𝑚3

𝑠

Luego de presentar las anteriores consideraciones vamos a plantear la ecuación que relaciona la

cantidad de contaminante en el tiempo. esta se representa por:

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝑄𝑖 − 𝑄𝑜

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝑉𝑖 − 𝑉𝑜

Ahora vamos a reemplazar

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 28800 − 691200000 ∗

𝑄(𝑡)

6000 ∗ 106

Simplificando:

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 28800 − 0.1152𝑄(𝑡)

𝑑𝑄

𝑑𝑡+ 0.1152𝑄(𝑡) = 28800

𝜇 = 𝑒∫ 0.1152𝑑𝑡 = 𝑒0.1152𝑡

𝑒0.1152𝑡 ∗𝑑𝑄

𝑑𝑡+ 𝑒0.1152𝑡 ∗ 0.1152𝑄(𝑡) = 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800

𝑑

𝑑𝑡(𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄(𝑡)) = 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800

∫ 𝑑 (𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄(𝑡)) = ∫(𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800)𝑑𝑡

𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄(𝑡) = 28800 ∫ 𝑒0.1152𝑡𝑑𝑡

𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄(𝑡) =28800

0.1152𝑒0.1152 + 𝐶

𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄(𝑡) = 250000𝑒0.1152𝑡 + 𝐶

𝑄(𝑡) =250000𝑒0.1152𝑡 + 𝐶

𝑒0.1152𝑡

𝑄(𝑡) = 250000 + 𝐶𝑒−0.1152𝑡

Tenemos la cantidad de contamiente en el lago. Ahora sustituimos las condiciones iniciales:

𝑄(0) = 0

0 = 250000 + 𝐶𝑒−0.1152(0)

0 = 250000 + 𝐶

𝐶 = −250000

𝑄(𝑡) = 250000 − 250000𝑒−0.1152𝑡

Con esta ecuación se puede hallar una expresión para determinar la concentración de

contaminante en el lago

𝐶(𝑡) =𝑄(𝑡)

𝑉(𝑡)=

250000 − 250000𝑒−0.1152𝑡

6000 ∗ 106

Entonces:

𝑡 = 1 𝑑í𝑎

𝐶(1) =250000 − 250000𝑒−0.1152(1)

6000 ∗ 106 = 0.00000453 = 0.000453%

𝑡 = 30 𝑑í𝑎

𝐶(30) =250000 − 250000𝑒−0.1152(30)

6000 ∗ 106 = 0.0000403 = 0.00403%

𝑡 = 365 𝑑í𝑎

𝐶(365) =250000 − 250000𝑒−0.1152(365)

6000 ∗ 106 = 0.0000416 = 0.00416%