COLABORATIVO 1- 2015 APORTE.docx

7/21/2019 COLABORATIVO 1- 2015 APORTE.docx

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Indique si son lineales o no lineales y el orden de la ED

A.dy

dx+sen (y )=0

no lineal, de primer orden

B. y' '+y '+y=0. Lineal de segundo orden

C.d

2y

d x2+

dy

dx5y=ex

lineal de segundo orden

D. (2y+1 ) dx+(y2xyx ) dy no es ecuacin diferencial

E. x y'y=x2 lineal de primer orden

F. Muestre que y = 1/x es una solucin de la ecuacin diferencial

dy

dx +y2

+y

x1

x2=0y=

1

x y1

=1

x2

Sustituyo

1

x2+( 1x )+

( 1x )x

1

x2=0

1

x2+

1

x2+ 1

x2

1

x2=0

0=0

Resuelva la siuiente ecuacin diferencial !or el "#todo de varia$les se!ara$les%

A. Solucione por separacin de variables

dy

dx=2x

y

ydy=2x dx

ydy=2x dxy

2

2=

2x2

2 +c

y2=2x2+c


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Deter"ine si la ecuacin dada es exacta. &i lo es' resu#lvala

B. Determine si es exacta, si lo es resulvala

2xydy

dx+y22x=0

2xydy=(2xy2)dx

(y22x ) dx+2xy dy=0

m

y=2y

n

x=2y como

m

y=

n

x

Por tanto Si es exacta, entonces

(y22x ) dx

x y2x2+h (y )

y[x y 2x2+h (y )]

2xy+h'(y )=2xy

h' (y )=0,h (y )=c

x y

2

x

2

=c

esolver la si!uiente ecuacin di"erencial #allando el "actor inte!rante$

%. (3xy+y2 ) dx+(x2+xy ) dy=0

m

y=3x+2y

n

x=2x+y

mymxn

=3x+2y2yy

x2+xy

= x+y

x(x+y )=

1

x

(x )=e 1

xdx

=elnx=x &


3/8

(3x2y+x y 2 ) dx+(x3+y x2 ) dy=0

m

y=3x2+2xy

n

x=3x2+2xy

(3x2y+x y2 ) dx

x3y+

x2

2 y

2+h (y )

y=x3+x2y+h '(y )

x3+x2y+h '(y )=x3+y x2

h' (y )=0

h (y )=c

x3y+

x2

2 y

2=c

D. esuelva la ecuacindy

dx=

y

x+

x

yV=

y

x xV=y v+x

dv

dx=

dy

dx

Sustituyo

v+xdv

dx=v+v1

x

dv

dx =

1

v

vdv= 1x

dx

v2

2=ln|x|+c


4/8

v2=2 ln|x|+c

(yx)=2Lnx+cy=2xLnx+cx

E. esuelva la ecuacin4

yx+y'=0y (1 )=1

(yx )1

4+dx

dy=0

dy

dx=y

1

4 x1

4

dy

y1

4

=x1

4 dx

y14 dy=x

1

4 dx

4

3y

3

4=45

x5

4

( c

y3

4=35

x5

4+c

o=c

y

3

4=35

(1 )5

4

y(1 ) no esta en el dominio de la solucion de laecuacion diferencial .

)na f*$rica est* situada cerca de un rio con caudal constante de 1++++" ,/s que vierte sus auas

!or la -nica entrada de un lao convolu"en de +++ "illones de ",. &u!ona que la f*$ricae"!e a funcionar el 1 de enero de 1000' y que desde entonces' dos veces !or da' de 2a de la "a3ana y de 2 a de la tarde' $o"$ea conta"inantes al ro a ran de 4 ",/s.


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&u!ona que el lao tiene una salida de 5+++",/s de aua $ien "eclada. Es$oce lar*fica de la solucin y deter"ine la concentracin de conta"inantes en el lao des!u#sde un da' un "es 6,+ das7' un a3o 6,8 das7.

'os datos conocidos de los e(ercicios son los si!uientes$

Caudalde entrada=10000m

3

s

Caudalde salida=8000m

3

s

Concentracin contaminante=2

m3

s

8000m3

s

=0.00025=0.025

Volumenlago (tanque )=6000106m

3

s

Esquema$

Este e(ercicio es un modelo de e(ercicio del caso de me)clas que tiene al!unas

consideraciones importantes para tener en cuenta$

Durante el d*a solo se va a presentar entrada del contaminante en + #oras

lue!o eso implicar*a tener ecuaciones que traba(aran por intervalos lo cual

ser*a ms complicado. Para solventar este problema vamos a considerar una

entrada promedio por d*a del contaminante as*$

Tasade entrada de contaminante=2m

3

s


6/8

Tasade entrada de contaminante por dia=2

m3

s60 s

1min60min

1h 4h=28.800m

3

Tasade entrada de contaminante=28800m

3

dia

-. El volumen del la!o se mantiene constante ya que los caudales de

entrada y salida son i!uales.

.

caudal de salida=8000

m3

s60 s

1min 60min

1h 24h

1dia

=691200000 m

3

dia

Volumenlago (tanque )=6000106m

3

s

'ue!o de presentar las anteriores consideraciones vamos a plantear la

ecuacin que relaciona la cantidad de contaminante en el tiempo. esta se

representa por$

dQdt=QiQo

dQ

dt=ViVo

A#ora vamos a reempla)ar

dQ

dt=28800

691200000Q (t)

6000106

Simpli/cando$

dQ

dt=288000.1152Q (t)


7/8

dQ

dt+0.1152Q (t)=28800

=e0.1152dt

=e0.1152 t

e0.1152 tdQ

dt +e0.1152 t0.1152Q (t)=e0.1152 t28800

d

dt(e0.1152 tQ ( t))=e0.1152 t28800

d(e0.1152tQ (t))= (e0.1152t28800 ) dt

e0.1152 tQ ( t)=28800 e0.1152 tdt

e0.1152tQ ( t)=

28800

0.1152e

0.1152+C

e0.1152tQ ( t)=250000 e0.1152t+C

Q (t)=250000e

0.1152 t+C

e0.1152 t

Q (t)=250000+C e0.1152t

0enemos la cantidad de contamiente en el la!o. A#ora sustituimos las

condiciones iniciales$

Q (0 )=0

0=250000+C e0.1152(0 )

0=250000+C

C=250000


8/8

Q (t)=250000250000 e0.1152t

%on esta ecuacin se puede #allar una expresin para determinar la

concentracin de contaminante en el la!o

C( t)=Q (t)V(t)

=250000250000 e0.1152t

6000106

Entonces$

t=1da

C(1 )=250000250000e0.1152 (1)

6000106 =0.00000453=0.000453

t=30da

C(30 )=250000250000e0.1152(30 )

6000106 =0.0000403=0.00403

t=365da

C(365 )=250000250000e0.1152 (365)

6000106 =0.0000416=0.00416

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