Coleccion PuntoAparte LasEstructurasDeTensegrity

Las estructuras de Tensegrity

Juan Manuel Hoyos Mora

A lo largo de la historia de la arquitectura el problema de la separacin de esfuerzos en las estructuras, disminuyendo material y peso, para aumentar su eficiencia ha sido una constante preocupacin. En el ltimo siglo se han adelantado tecnologas en este sentido, logrando que los materiales trabajen de manera ms apropiada de acuerdo con su forma y cualidades. Ciertas estructuras se han desarrollado ms que otras (reticulados, cscaras, membranas), Otras han tenido pocas aplicaciones (tensegrity abierto), y otras como el tensegrity cerrado, no ha tenido casi ninguna aplicacin arquitectnica concreta por falta de investigacin en el tema enfocada a la arquitectura.

Mediante la elaboracin de modelos estructurales a escala se analiza su proceso constructivo, configuracin geomtrica, comportamiento estructural y dinmico. Las nuevas tecnologas constituyen una herramienta indispensable en este tipo de investigaciones.

Este trabajo ha sentado las bases para futuras investigaciones demostrando la aplicabilidad y versatilidad de las estructuras tensegrity cerrado.

Juan Manuel Hoyos Naci en Bogot y es arquitecto de la Universidad Nacional de Colombia, este trabajo de grado mereci la mencin de laureado bajo la tutora de la profesora Maria Claudia Villate. Ha participado en el grupo de investigacin de morfologa estructural. Actualmente adelanta la maestra Tecnologa en la arquitectura en la Universidad Politcnica de Catalua en la ciudad de Barcelona.

Coleccin Punto ApartePunto Aparte es la coleccin que abre la puerta a las publicaciones de las tesis de posgrado de la Facultad de Artes y en general del rea de las Artes de la Universidad Nacional de Colombia, y cierra un ciclo que inicia con la consolidacin de un amplio nmero de programas de posgrado en todas la reas de estudio, desde variados programas de especializacin y maestra hasta el doctorado en Arte y Arquitectura. Escribir para Punto Aparte es entonces una posibilidad que tienen los estudiantes de los programas de posgrado de mostrar al pblico el trabajo que durante dos o ms aos han desarrollado a partir de sus reflexiones y del dilogo acadmico con profesores y estudiantes. Es una invitacin a hacer parte de ste dilogo acadmico en el cual se debaten y argumentan muchos puntos de vista con el nico objetivo de construir por medio del arte, una sociedad ms igualitaria.

Juan Manuel Hoyos


Las estructuras de Tensegrity constituyen una alternativa para la arquitectura al permitir nuevas posibilidades espaciales, en gran medida por su capacidad para vencer luces grandes con estructuras de poco peso. Por esta razn el grupo de investigacin en Morfologa estructural en la Universidad Nacional, del cual forma parte Juan Manuel Hoyos, ha profundizado en el estudio del tensegrity, especialmente en su aplicabilidad arquitectnica.

Este trabajo de investigacin realizado se ha convertido en documento obligado de consulta por estudiantes de arquitectura, y sus conclusiones han servido de base para posteriores trabajos de fin de carrera. Es por esto que su publicacin constituye un merecido reconocimiento a la importancia de este documento desde el punto de vista formativo, al poner al alcance de un grupo mayor de estudiantes y arquitectos los conceptos bsicos necesarios para el desarrollo y aplicacin de estas estructuras.

Mara Claudia Villate

Tensgrity_cartula_DEF.indd 1 17/07/2009 11:50:32


hoyos armado_DEFinitivo3.indd 1 17/07/2009 11:55:44


Juan Manuel Hoyos Mora


Juan Manuel Hoyos Mora, 2009 Universidad Nacional de Colombia Facultad de Artes. Sede Bogot Coleccin Punto Aparte Primera edicin,junio de 2009 Impreso y hecho en Colombia ISBN: 978-958-719-209-4

La Facultad de Artes no se responsabiliza por las ideas emitidas por los autores.

Todos los derechos reservados.Esta publicacin no puede ser reproducida ni total ni par-cialmente, ni entregada o transmitida por un sistema de re-cuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sin el permiso previo del autor.

Rector: Moiss Wasserman Lerner Vicerrector Sede Bogot: Fernando Montenegro Lizarralde Decano Facultad de Artes: Jaime Franky RodrguezDirector Centro de Divulgacin y Medios: Alfonso Espinosa Parada

Tesis en Atquitectura. Direccin de tesis: Maria Claudia Villate. Diseo de identidad: Camilo Pez Diseo: Clara Forero y ngela Garca Correccin de estilo: Javier Correa Correa.

Catalogacin en la publicacin Universidad Nacional de Colombia

Hoyos Mora, Juan Manuel, 1976- Las estructuras de tensegrity / Juan Manuel Hoyos Bogot : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Artes, 2008 158 p. (Punto aparte) ISBN : 978-958-719-209-4

Presentada originalmente como la tesis del autor (Arquitecto, Universidad Nacional de Colombia, 2001) bajo el ttulo : Tensegrity : estudio de posibilidades arquitectnicas de las estructuras tensegrity cerrado

1. Estructuras de tensegridad 2. Teora de las estructuras 3. Estructuras espaciales I. Tt II. Ser.

CDD-21 721 / 2009


[6]

[10][11][18][23][37]

[40][41][66][86]

[100][102][106][120]

[134][146][147]

[148]

Introduccin

UNO. FundamentosConceptos bsicosAntecedentes Geometra espacialGeometra fractal

DOs. MorfologaMdulos tensegrityAgrupacinOpciones de movimiento y/o plegado.

TREs. AplicabilidadLa escala Construccin Aproximaciones arquitectnicas

Anexo: proceso constructivo de tensegrity en guaduaConclusionesGlosario

Biblografa


Intr

oduc

cin

[


A lo largo de la historia de la arquitectura, la separacin de esfuerzos en las estructuras, para disminuir la cantidad de material y peso y aumentar su eficiencia ha sido una constante preocupacin. En el ltimo siglo se han adelantado tecnologas en este sentido, logrando que los materiales trabajen de la mane-ra ms apropiada de acuerdo con su forma y cualidades. Ciertas estructuras se han desarrollado ms que otras, como es el caso de los reticulados planos (cerchas), espaciales, las cscaras de concreto, las membranas. Otras, han tenido pocas aplicaciones, como los tensegrities abiertos; y otras, como las estructuras re-cprocas y los tensegrities cerrados, no han tenido casi ninguna aplicacin arquitectnica concreta por falta de investigacin en el tema enfocada a la arquitectura.

Actualmente, en el mbito mundial no se tiene claridad en aspectos fundamentales acerca de este sistema estructural, como son: su definicin, clasificacin, aplicacin, quin los in-vent...etc. Fuller los llam Tensegrity; Snelson, compresin flotante, y Emmerich, sistemas auto-tensionantes. Aun cuan-do cada cual da un enfoque distinto y lo nombra diferente, acor-de con su oficio, siempre se trata del mismo sistema estructural. Cada uno, adems, se considera su inventor. Hasta este punto de desarrollo del tensegrity cerrado no se tiene informacin al-guna de planteamientos arquitectnicos integrales construidos, sino tan solo algunas propuestas aisladas que no alcanzan el nivel de proyecto arquitectnico.

Otro tema que guarda estrecha relacin con las estruc-turas livianas es el de la movilidad y adaptabilidad de la arquitec-tura, en un mundo que exige cada vez ms aportes y avances tecnolgicos, que nos permitan lograr mayor eficiencia, energtica, reciclabilidad, versatilidad y confort en nuestros planteamientos arquitectnicos.

El trabajo busca avanzar en el conocimiento de las es-tructuras tensegrity, mostrar sus posibilidades, restricciones y al-cances, proponiendo aplicaciones que las conviertan en una op-cin vlida y factible de hacer arquitectura. Para esto se parte de un anlisis geomtrico, formal y estructural, proponiendo posibi-lidades de movimiento y plegado de manera que se establezcan criterios bsicos en cuanto a su configuracin y funcionamiento.


8[juanmanuelhoyosmoRalaes estructuras de Tensegrity

Tambin se plantea una aproximacin a la ejecucin de este tipo de estructuras con un anlisis de materiales, y detalles de unio-nes para ciertas propuestas planteadas.

Este trabajo hace parte de una serie de investigaciones en el rea tecnolgica del departamento de construccin, con el que se espera generar inters en los estudiantes de arquitectura, e incluso en los profesionales, para promover la profundizacin en estos temas y su materializacin.

ObjetivOsGeneral

Avanzar en el conocimiento de las estructuras tensegri-ty, mostrar sus posibilidades, restricciones, alcances y proponer aplicaciones arquitectnicas que las conviertan en una opcin vlida y factible para hacer arquitectura.

Especficos- Explorar y analizar los fundamentos tericos del tensegrity, a

nivel geomtrico, estructural y constructivo, y el avance logra-do hasta el momento en esta tecnologa.

- A partir de la elaboracin de modelos de tensegrities y de su abstraccin geomtrica, analizar las posibilidades formales y de agrupacin.

- Establecer los criterios bsicos que permitan la plegabilidad de los tensegrities, y proponer algunas posibilidades.

- Identificar y proponer los materiales que permitan la realiza-cin de los tensegrities propuestos de manera ptima, identi-ficando sus cualidades y restricciones.

- Realizar varias propuestas arquitectnicas a manera de apli-cacin en tensegrity.


uno

Fund

amen

tos

[


11[Fundamentos

COnCeptOs bsiCOsDefinicin

El trmino tensegrity fue propuesto por el inventor ale-mn R. Buckminster Fuller al patentar en noviembre de 1959 las Tensile-Integrity Structures. Tensegrity es la conjuncin de las palabras tensional integrity (integridad de tensiones); sin embar-go, en la actualidad no se ha establecido con absoluta claridad cundo un sistema es tensegrity o no, y su definicin est todava en discusin. Fuller dice:

Todas las estructuras, debidamente entendidas, desde el sistema solar hasta el tomo son estructuras tensegrity (Fuller, 1975).

En el sistema solar existen unos elementos de masa (compresin) vinculados en el interior por energa en la perife-ria (traccin). Su funcionamiento es el mismo del tensegrity; no obstante, en la prctica resulta inmanejable pensar que todo es tensegrity. El mismo Fuller ms adelante dice:

Las estructuras neumticas son puramente tensegrities (Idem).

Aqu la disociacin del trabajo estructural, compresin interna y tensin externa es clara y se asemeja mucho ms al fun-cionamiento de los tensegrities. Sin embargo, las estructuras neu-mticas y los tensegrities son sistemas estructurales diferentes,

Figura 1. Fuller synergetics 641.01.



bsicamente por la forma y distribucin de sus elementos cons-titutivos. Y, finalmente, los define as:

Los tensegrities describen el principio de relacin estruc-tural en el cual la estabilidad de la forma se mantiene gra-cias a la continuidad de un sistema a traccin, mas no por el comportamiento aislado de elementos a compresin... En el tensegrity hay una confluencia de factores de ptimo traba-jo estructural (Idem).

Otra aproximacin es la de R. Conelly y A. Black en Mathematics and tensegrity, en el cual asocian la manera como trabajan en el rango elstico las telaraas (redes de cables) y los tensegrities, y su respuesta ante las deformaciones. Mencionan la ley de Hooke:

deformacin = carga/mdulo de elasticidady la convierten en trminos de energa, al plantear que:

la energa requerida para deformar cada cable es propor-cional al cuadrado de la longitud total de cables (Conelly y Allen, 1998).

De esta manera asocian el trabajo estructural de los tensegrities y lo califican como super estable teniendo en cuen-ta que la red exterior de los tensegrities tiene los mismos esfuer-zos y se deforma igual que las mallas de cables (telaraas).

Figura 2. Telaraa. Figura 3. Tensegrity en dos dimensiones.


13[Fundamentos

Todo esto con la diferencia de que las telaraas no poseen elementos a compresin como los tensegrities; en ese caso, los apoyos externos de las telaraas estaran prestando la funcin de las barras del tensegrity. Adems, el carcter estricta-mente espacial de los tensegrities los distingue de las mallas que pueden inscribirse dentro de una superficie.

Teniendo en cuenta lo anterior, se ha sintetizado la si-guiente definicin:

Tensegrity: es una malla espacial de cables, rigidizada por elementos aislados sometidos a compresin.

Clasificacin generalSe dividen en abiertos y cerrados:

AbiertosRequieren, para su estabilizacin y rigidez, elemen-

tos externos adicionales a los propios del tensegrity, como son: mstiles, anillos, tensores adicionales, cimentaciones con gran-des pesos muertos para ser sometidas a traccin, etc.

Todava est en discusin si estas estructuras se deben considerar tensegrities, ya que no estn enmarcadas claramente dentro de la definicin. Sin embargo, la mayora de aplicaciones en arquitectura pertenecen a este tipo.

Figura 4. Tensegrity abierto.



CerradosConservan su forma gracias a cierta disposicin de

sus elementos a compresin y traccin, que los hacen auto-tensionantes1, es decir que estos esfuerzos se resuelven dentro del mismo sistema y no requieren elementos adicionales a las barras y los tensores.

En adelante me referir exclusivamente a stos.

Restricciones y requisitosConfiguracin espacial

1D: es posible hacer la analoga de un tensegrity de una dimensin, conformando una estructura de dos elementos dispuestos sobre un eje que trabajen uno comprimido y otro traccionado. Este es el caso de las vigas post o pre-tensadas, en las que se aprovecha al mximo la resistencia del concreto a la compresin y del acero a la traccin.

2D: de la misma manera se puede aplicar el concep-to en dos dimensiones colocando dos barras articuladas, como una tijera, uniendo los extremos con tensores. De esta manera se logra un sistema estable e indeformable que separa los esfuer-zos de traccin y compresin.

1 Trmino propuesto por David Georges Emmerich. Ver captulos 1, 2, 3.

Figura 5. Tensegrity cerrado.

Figura 6. Una dimensin.


15[Fundamentos

3D: sin embargo, el tensegrity tiene como requisito in-dispensable el de ser tridimensional, ya que es la nica manera de aislar los elementos a compresin entre s. El mundo en que vivimos se rige por las leyes de las tres dimensiones y cualquier sistema lineal o plano tiene problemas de rigidez ante cargas per-pendiculares a su eje o a su plano; de esta manera, un trabajo estructural ptimo se logra estudiando la geometra del sistema en tres dimensiones y proponiendo estructuras espaciales que diso-cien traccin de compresin y aprovechen esta virtud estructural.

NudosCada barra debe estar sometida a compresin por m-

nimo tres tensores en cada extremo, de tal manera que la fuerza resultante generada por los tensores corresponda con la direc-cin de la barra. El ngulo ideal para los tensores al proyectarlo en un plano es de 120.

El esfuerzo de traccin que est soportando un cable depende de los ngulos entre l mismo y los otros tensores, y entre l y la barra o barras, as:

El esfuerzo es directamente proporcional a la sumatoria de los ngulos adyacentes al tensor, es decir que entre ms aleja-dos se encuentren los cables adyacentes mayor es el esfuerzo.

Del mismo modo, el esfuerzo es directamente propor-cional al ngulo entre el tensor y la barra.

Figura 7. Dos dimensiones.

Figura 8. Tres dimensiones.



En los nudos en los que existen barras articuladas solo son necesarios dos tensores para transmitir las fuerzas por las barras.

Figura 9. Nudos barras y tensores.


17[Fundamentos

BarrasLas barras pueden sufrir falla por pandeo, por lo cual

se recomienda que su seccin transversa sea mayor en el me-dio, preferiblemente huecas para concentrar el material en la pe-riferia y disminuir el radio de giro.

Cuando las barras, adems de los tensores de los extremos, poseen tensores intermedios (que lgicamente no introduzcan flexin en el elemento) las condiciones de pandeo cambian, por lo cual la seccin del elemento tambin vara.

En el caso A, la longitud de pandeo ser igual a la lon-gitud del elemento (L), y la seccin transversal se puede aproxi-mar a L/12.2

En el caso B, la longitud de pandeo del elemento vara en el eje y, es ahora la mitad (L/2), porque tiene dos tensores que restringen el pandeo en este plano; en el eje x la longitud de pandeo es la misma (L). As, en el eje y, la seccin transver-sal corresponde a (L/2)/12 = L/24.

En x las condiciones no cambian; siendo la longitud de pandeo L, la seccin transversal es L/12.

TensoresLos elementos a traccin deben pre-tensionarse, hasta

que el material se elongue lo necesario y pueda desarrollar la resistencia requerida y evitar deformaciones no deseadas en el sistema.

El uso de tensores elsticos puede generar cierta ines-tabilidad formal (ver glosario), no otorga rigidez en el sistema ante cargas y permite grandes deformaciones. El tema de su aplicacin a gran escala en arquitectura queda planteado para ser investigado, ya que existen algunas tipologas de tensegrity que requieren de elasticidad controlada de los tensores para po-der generar movimientos y/o plegabilidad.

2 Este es un valor aproximado que puede variar segn el material y esfuerzo.



AnteCedentes

Buckminster FullerFue el primero en idear los tensegrities como sistema

estructural, dentro de su investigacin geomtrica y filosfica acerca de la sinergia. La sinergia (sntesis - energa) busca gene-rar sistemas en donde la totalidad es mucho ms que la suma-toria de sus partes (Edmondson, 1987).

A partir de la exploracin de la manera de separar los es-fuerzos de compresin y traccin, Fuller lleg a la conclusin te-rica de generar una malla continua de cables, junto a una serie de elementos a compresin, de tal manera que estos ltimos fueran cortos, mientras que los tensores no tuvieran lmites de longitud.

El trabajo inicial estuvo enfocado a la construccin de domos geodsicos, logrando vencer la barrera de la escala en este tipo de estructuras; as se podran construir domos de cual-quier dimensin.

Pronto se generaron otras tipologas a partir de las aris-tas, lados y diagonales de diferentes poliedros.

Figura 10. Richard Buchminster Fuller.


19[Fundamentos

Kenneth SnelsonBajo la inspiracin de Buckminster Fuller y Joseph Al-

bers durante un curso en la universidad de Black Mountain en Carolina del Norte, Kenneth Snelson fue el primero en elaborar un modelo de tensegrity cerrado. Muchos autores como Tony Robins, Anthony Plug, Karl Erickson, John Braley lo catalogan como su inventor. El mismo Snelson afirma que Fuller se apoder de su idea acuando el nombre de Tensegrity al modelo que elabor.

Figura 11. Esculturas Tensegrity de Kenneth Snelson.



El primer modelo de tensegrity lo llam compresion flo-tante, en el cual unas barras se sostenan en el aire sin tocarse debido a la compresin ejercida por una malla de cables externa. Este ha sido el principio a partir del cual ha trabajado Snelson.

Sus esculturas evidencian el planteamiento de elemen-tos aislados a compresin y una red continua a traccin en la que es clara la eficiencia estructural que se desarrolla en cuanto a ahorro de material y reduccin de cargas.

Snelson ha sido de los pocos en desarrollar este sis-tema estructural a escala humana y su principal difusor en todo el mundo.

Las estructuras tensegrity de Snelson son recorribles en un primer piso, mas no en niveles superiores; es decir que sola-mente soportan su peso propio, consistente en barras y tensores, y tampoco tienen cerramiento alguno.

Exploraciones ms recientes se enfocan al tomo, cuya relacin con los tensegrities es muy grande y haba sido planteada por Fuller anteriormente; Snelson toma el magnetismo como medio para generar tensin o atraccin entre los elemen-tos. En este caso los elementos a compresin se localizan en la periferia, y son atrados o traccionados hacia el interior.

David Georges Emmerich(1925-1996). Arquitecto e ingeniero francs, represen-

tante de los estudios de morfologa estructural en arquitectura. De-sarroll los tensegrity de manera paralela a Fuller y Snelson, y los denomin estructuras auto-tensionantes (autotendantes) en 1958, en las cuales traccin y compresin se equilibraban para formar una configuracin polidrica ligera indeformable y autoes-table, preludio para una arquitectura sin cimentacin, desarrollada a partir de la combinacin geomtrica de sus componentes.

El principio de estas estructuras autotensionantes es el de la morfognesis: las formas son unos seres geomtricos en el espacio que se organizan segn sus propias leyes. Su auto constitucin se desenvuelve dentro del principio de la auto-construccin y la utopa de una sociedad dentro de la cual cada uno podra construir su propio hbitat. En fin, sus investigacio-nes llaman a profundizar su equivalencia con la prctica artstica


21[Fundamentos

contempornea, orientada a las investigaciones minimales, modulares y seriales de la forma (Emmerich).

Tiene una posicin no moderna: el poder se ha au-sentado de los castillos, concentrndose en la industria de don-de vienen ahora nuestras modernas habitaciones urbanas: unas mquinas para habitar segn una utilizacin optima del espacio,

Figura 12. Modelos tensegrity de David Georges Emmerich.



la vegetacin y la luz. En contraste a esta expansin tcnica, las maquetas de Emerich son contemporneas pero no modernas: ms que ser productos funcionales son Auto tensionantes. Ellas se pueden recoger y desplegar, transportarse: un nomadis-mo abierto a mltiples culturas.

Estos trabajos tienen muchas posibilidades para un nuevo arte de ocupar el espacio ms por el deseo de construir e instalarse en cualquier lugar que por el deseo de poseer.

Kwan y PellegrinoIntroducen el concepto de cables pasivos y activos, el cual

hace referencia a la posibilidad de aumento de longitud de los ca-bles activos con el propsito de generar inestabilidad en el sistema y hacerlo plegable hacia un plano. Y adems estudian la posibilidad de plegado mediante el acortamiento de las barras, lo que ofrece una disminucin mucho mayor del volumen del tensegrity plegado. Esto sugiere otra manera de aplicar las cualidades de liviandad de los tensegrities para hacerlos retrctiles y/o transportables.

Mouard Bouderbala y Ren MotroDe la escuela de arquitectura de Languedoc-Roussi-

llon en Montpellier, proponen dos modos de plegar los tense-grities aplicando el concepto de cables pasivos y activos de

Figura 13. Sergio Pellegrino.Figura 14. Tensegrity desplegable R.


23[Fundamentos

Kwan y Pellegrino, alargando los tensores. Desarrollan el sistema de alargamiento de los tensores para dos tensegrities: dipirmi-de de base cuadrada (diagonales) y cubo construido por sus aristas. En las figuras se muestra la plegabilidad de tensegrities agrupados linealmente (mstil) y de la agrupacin en un plano. Mediante la elongacin de los tensores se obtiene la inestabili-dad del sistema y su plegamiento en un plano. Un inconveniente es que la cantidad de cables activos es igual a la de mdulos agrupados.

GeOmetrA espACiAl

Definiciones bsicasPoliedro: slido conformado por caras planas. Es cn-

cavo cuando el volumen se situa a un mismo lado del plano de cualquiera de sus caras. Las intersecciones entre las caras se llaman aristas, y el punto en el cual se tocan las aristas se llama vrtice. Son poliedros:

Prismas y antiprismas infinitosPirmides, dipirmides y deltoedros infinitosSlidos platnicos 5Slidos arquimdicos 13Slidos catalanes 13Slidos de Johnson 92

Figura 15. Cuboctaedro.



Hiperslidos: son los slidos de cuarta dimensin. Son 6: hipertetraedro, hipercubo, hiperoctaedro, hiperdodecae-dro, hipericosaedro e hipercuboctaedro.

ngulo poliedro: es la sumatoria de los ngulos de las aristas que confluyen en un vrtice. En los slidos convexos este ngulo siempre es menor de 360o. Al desarrollar en un plano estas caras el ngulo formado por las aristas que no se tocan es el faltante que, sumado al ngulo poliedro (o diedro), da 360o.

El ngulo poliedro del icosaedro es 300o, faltan 60o para ser plano.

Cuando el ngulo poliedro es 360o se tiene un plano. Si ste es mayor de 360o se tiene una superficie anticlstica, no desarrollable en un plano con curvatura en sentidos opuestos.

Teorema de Euler: en todo poliedro convexo el nme-ro de las caras C ms el nmero de vrtices V es igual al nmero de aristas A mas dos.

C + V = A + 2

Nomenclatura: el prefijo tiene raz griega, y se refiere a la cantidad de caras que tiene el slido.Tettares tetra tresHexa hexa seisDodeka dodeca doceEikosa icosa veinteOkto octa ocho

Figura 16. Icosaedro. Figura 17. ngulo poliedro.


25[Fundamentos

El sufijo edro viene del griego hedra, que significa cara o base. El sufijo kis significa el nmero de subdivisiones ya sea de una cara o de una arista as un dodecaedro pentakis con-siste en dividir en 5 las 12 caras del dodecaedro dando como resultado 60 caras de tringulos isceles.

Truncacin: procedimiento a travs del cual se corta un polgono o slido, bien sea por un vrtice o por una arista.

Estelacin: en dos dimensiones es el procedimiento mediante el cual se le coloca un tringulo sobre cada uno de los lados de un polgono. En tres dimensiones consiste en la colo-cacin de una pirmide sobre las caras de un poliedro.

Figura 18. Dodecaedro pentakis.

Figura 19. Cubo truncado.

Figura 21. Pentgono truncado

Figura 20. Cubo estelado

Figura 22. Pentgono estelado



Frecuencia: consiste en la divisin de los lados de un polgono y su proyeccin en un crculo.

O bien en la divisin de las caras de un slido (po-liedro) y su proyeccin en una esfera, cuando se trata de tres dimensiones.

O tambin en la divisin de los volmenes de un hiper-slido y su proyeccin en una hiperesfera.

Primera frecuencia Segunda frecuencia Tercera frecuencia

Dualidad: es la particular correspondencia entre el n-mero de caras con el nmero de vrtices en dos poliedros. Es decir que cada centro de cada cara de un slido constituye un vrtice del poliedro dual.

Son duales:

El cubo y el octaedro

Figura 23. Frecuencia.

Figura 24. Dualidad.


27[Fundamentos

Los slidos catalanes son los duales de los slidos ar-quimdicos.

Figura 25. El dual del tetraedro es l mismo

Figura 26. El dodecaedro y el icosaedro

Figura 27. Las dipirmides son duales de los prismas

Figura 28. Los deltoedros son duales de los antiprismas

El dual del tetraedro es l mismo

El dodecaedro y el icosaedro

Las dipirmides son duales de los prismas

Los deltoedros son duales de los antiprismas



Prismas y antiprismasLos prismas son poliedros conformados por dos po-

lgonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, unidos por paralelogramos que conforman las caras laterales del prisma. Al extruir un polgono regular se obtiene un prisma.

Al extrur el mismo polgono y adems rotarlo se ob-tiene un antiprisma, que puede tener caras planas (tringulos) o alabeadas (paraboloides hiperblicos).

Pirmides y dipirmidesLas pirmides son slidos que tienen por base un po-

liedro cualquiera y, siendo sus caras triangulares, se juntan en un solo punto llamado vrtice. Al unir dos pirmides por el polgono de base el slido resultante es una dipirmide.

La apotema es la lnea perpendicular a uno de los la-dos de la base desde el vrtice de la pirmide.

Son regulares cuando la base es un polgono regular y las caras laterales son tringulos issceles iguales.

Figura 29. Prismas

Figura 30. Antiprismas

Figura 31. Pirmides y dipirmides


29[Fundamentos

Slidos platnicosSon aquellos cuyas caras estn constituidas por un

solo poliedro regular (todas las aristas tienen la misma longitud). Son 5:

1. Tetraedro (3,3) tres tringulos por vrtice2. Cubo (Hexaedro) (4,3) tres cuadrados por vrtice3. Octaedro (3,4) cuatro tringulos por vrtice4. Icosaedro (3,5) cinco tringulos por vrtice5. Dodecaedro (5,3) tres pentgonos por vrtice

Tetraedro Cubo Octaedro Icosaedro Dodecaedro

Poliedro Caras Aristas Vrticesngulo Poliedro

Tetraedro 4 6 4 180 3 x 360

Cubo 6 12 8 270 3 x 90

Octaedro 8 12 6 240 4 x 60

Icosaedro 20 30 12 300 5 x 60

Dodecaedro 12 30 20 324 3 x 108

Figura 32. Slidos platnicos



Slidos arquimdicosAquellos cuyas caras estn constituidas por polgonos

regulares diferentes. Surgen de la truncacin parcial y total de los vrtices y aristas de los slidos platnicos. Dependiendo del nmero de aristas que lleguen a un vrtice se determina el n-mero de lados del polgono o cara adicional. Los nombres de los slidos arquimdicos fueron propuestos por Johannes Kepler, as como el de los prismas y antiprismas. Son en total 13 y su obtencin se logra a travs de 4 mtodos: truncacin parcial, total, doble y snubbing.Truncacin parcial de los slidos platnicos

Se truncan los vrtices de los slidos platnicos, de tal manera que el slido quede conformado por dos polgonos regulares y aristas de la misma longitud. Son cinco:

Tetraedro truncado

Cubo truncado

Octaedro truncado

Icosaedro truncado

Dodecaedro truncado

Figura 33. Truncacin parcial de los Slidos arquimdicos.


31[Fundamentos

Truncacin completa de los slidos platnicosSon solo dos, ya que de la truncacin completa del

cubo y el octaedro se llega al mismo slido: el cuboctaedro. Lo mismo sucede con el dodecaedro y el icosaedro, que confor-man el icosidodecaedro. La truncacin total del tetraedro es el octaedro.

Poliedro Caras Aristas Vrticesngulo Diedro

Tetraedro truncado 8 18 12 300

Cuboctaedro 14 24 12 300

Octaedro truncado 14 36 24 330

Cubo truncado 14 36 24 330

Rombicuboctaedro 26 48 24 330

Cuboctaedro truncado 26 72 48 345

Icosidodecaedro 32 60 30 336

Icosaedro truncado

32 90 60 348

Dodecaedro truncado 32 90 60 348

Cubo SNUB 38 60 24 330

Romb-icosidodecaedro 62 120 60 348

Icosidodecaedro truncado

6 180 120 354

Dodecaedro SNUB 92 150 60 348

Cubocaedro

Inscrito en un cubo Inscrito en un octaedro

Icosidodecaedro

Figura 34. Truncacin completa de los Slidos arquimdicos.



Doble truncacin de los slidos platnicosSe truncan parcial o totalmente el cuboctaedro y el ico-

sidodecaedro. Si la truncacin es total se le antepone el prefijo rombi...; si la truncacin es parcial se le antepone gran rom-bi..., o simplemente el nombre del slido ms la palabra trunca-do. As se obtienen cuatro slidos ms:

De la truncacin parcial el cuboctaedro truncado y el icosidodecaedro truncado.

Cuboctaedro truncado


Figura 35. Doble truncacin de los Slidos arquimdicos.


33[Fundamentos

Y de la truncacin total el rombicuboctaero y el rombi-cosidodecaedro.

SnubbingSe obtiene a travs de la rotacin de las caras del te-

traedro, el cubo y el octaedro, de tal manera que cada polgono correpondiente a cada cara queda rodeado de tringulos

Rombicuboctaero

Rombicosidodecaedro

Cubo snub

Izquierdo Derecho

Dodecaedro snub

DerechoIzquierdo

Figura 36. Doble truncacin de los Slidos arquimdicos.

Figura 37. Snubbing.



Slidos catalanesSon los duales de los arquimdicos, 13 en total:

Tetraedro triakis Cubo tetrakis

Dodecaedro rmbico

Octeaedro triakis

Icositetraedro trapezoidal

Octaedro exakisFigura 38. Slidos catalanes.


35[Fundamentos

Octaedro exakis

Slido Arquimdrico

Slido Cataln Caras Aristas Vrtices

Tetraedro truncado Tetraedro triakis 12 18 8

CuboctaedroDodecaedro rm-bico

12 24 14

Octaedro truncado Cubo Triakis 24 36 14

Cubo truncado Octaedro triakis 24 36 14

RombicuboctaedroIcositetraedrotra-pezoidal

24 48 26

Cuboctaedro truncado

Octaedro hexakis 48 72 26

IcosidodecaedroTriacontaedro rmbico

30 60 32


Dodecaedropentakis

60 90 32

Dodecaedro truncado

Icosaedro triakis 60 90 32

Cubo SNUBIcositetraedro pentagonal

24 60 38

Rombicos idode-caedro

Hexacontaedro teapezoidal

60 120 62


Icosaedro hexakis 120 180 62

Dodecaedro SNUBHexacontaddro pentagonal

60 150 90



Triacontaedro rmbico

Icositetraedo pentagonal

Dodecaedro pentakis

Hexacontaedro trapezoidal

Icosaedro triakis

Icosaedro hexakis

Hexacontaedro pentagonalFigura 39. Slidos catalanes.


37[Fundamentos

GeOmetrA frACtAlEl trmino fractal fue propuesto por el matemtico fran-

cs Benoit Mandelbrot en la dcada de 1970, y se deriva del verbo latino frangere, que significa romper.

A comienzos del siglo XX, el matemtico Hausdorff in-trodujo un concepto antiguo, la dimensin, planteando que no solamente existan 1, 2 y 3 dimensiones, sino que haba dimen-siones intermedias, no enteras, para ciertos conjuntos. En 1974, con la reciente aparicin de las computadoras, Mandelbrot reto-m el estudio de Hausdorf y de otros como Henri Poincar, Pierre Fatou y Gastn Julia, para introducir las complicadas frmulas propuestas a comienzos de siglo. Como resultado de esta in-vestigacin surge la denominada geometra fractal, que plantea sustanciales diferencias con la geometra euclidiana.

Un fractal se forma gracias a la aplicacin de una fr-mula o patrn en un objeto, por infinito nmero de veces (itera-tivamente), de manera que genera una mutacin en el mismo, dependiendo del grado de iteracin a que se llegue. Esta frmula permite que se cumpla el principio de la autosemejanza, que puede darse cada cierto nmero de iteraciones o bien en cada una de ellas.

Figura 40. Geometra fractal.



Una peculiaridad de los objetos fractales es que su rea es un valor conocido pero su permetro es infinito. El ejemplo clsico es preguntarse cunto mide el permetro de una isla. De-pendiendo de la escala a que se mire, el valor vara. A medida que nos acercamos y medimos con ms detalle encontramos que las distancias se hacen cada vez mayores y tienden al infi-nito. Experimentos que se han hecho al iterar un fractal muchas veces llegan a la conclusin de que su rea aumenta hasta cierta iteracin a partir de la cual es constante, mientras que el perme-tro sigue aumentando de manera infinita.

Otra caracterstica es la dimensin fractal de estos ob-jetos, que se trata ms adelante en el captulo de agrupacin.

Estos entes geomtricos han servido para explicar mejor las estructuras de la naturaleza y su funcionamiento, ya que stas funcionan de manera conjunta, es decir que guardan una estrecha relacin entre ellas de manera que una depende de otra, y as todo tiene relacin con todo. As, el trmino fractal puede ser sustantivo en tanto es una parte, una fraccin de algo; o adjetivo en tanto est fraccionado en n nmero de partes.

Si nuestra arquitectura quiere partir de la observacin de la naturaleza, un camino interesante por analizar e introducir en el oficio es el de la fractalidad.

Figura 41. Conjunto de Mandelbrot.


39[Fundamentos

ConclusionesTensegrity es una malla espacial de cables, rigidizada

por elementos aislados sometidos a compresin. Hay separa-cin total de estos dos esfuerzos opuestos.

La manera ms econmica de transmitir esfuerzos es a travs de elementos a traccin; por tal razn, la virtud estructural del tensegrity se logra gracias a la gran cantidad de cables a traccin y pocos elementos a compresin.

Las ventajas del tensegrity se aprecian ms en los ten-segrity cerrados, ya que stos conforman una unidad estructural autnoma que se autocomprime y autotensa en cualquier posi-cin de manera independiente a la gravedad.

Requisito indispensable para aislar elementos a trac-cin y compresin es la tridimensionalidad.

Fuller patenta en 1959 las estructuras tensegrity (ten-sional integrity).

K. Snelson, un alumno ocasional de Fuller, estudiante de artes, elabora los primeros modelos de tensegrity.

D. G. Emmerich, francs, patenta en 1958 las estructuras autotensionantes, que en esencia son los mismos tensegrity.

La nica manera de entender la configuracin espacial de las estructuras es a partir de la geometra espacial.

Existen cinco slidos regulares llamados platnicos. A partir de la truncacin de stos se obtienen los 13 semi-regulares o arquimdicos. Los duales de esos ltimos son los slidos ca-talanes, tambin 13. A travs de su manipulacin se llega a los slidos de Johnson, que son 92.

Desde su invencin se han realizado investigaciones en el tema y propuestas tericas, pero casi ninguna aplicacin concreta conocida.


pUN La Librera Plazoleta de Las Nieves Calle 20 No. 7 15 Telfono 316 5000 Ext. 29490 29491UN La Librera Ciudad Universitaria Edificio Torre de Enfermera primer piso Telfono 316 5000 Ext. 17778TieNda de arTes Ciudad Universitaria Edificio 303, Arquitectura primer piso Telfono 316 5000 Ext. 12618.

www.lalibreriadelau.com

Este ttulo completo y todas las publicaciones de la Facultad de Artes se encuentran a su disposicin en los siguientes

puntos de venta:

Coleccion PuntoAparte LasEstructurasDeTensegrity

Documents

Transcript of Coleccion PuntoAparte LasEstructurasDeTensegrity