COLEGIO AMERICANO DE BARRANQUILLA

PREICFES PREUNIVERSITARIO 2009ÁREA DE MATEMÁTICAS

DOCENTES: YANAY RODRÍGUEZ ROJAS

BELISARIO BETANCOURT BARRAZA

TEORÍA DE FUNCIONES

SE DEBE PARTIR DEL CONCEPTO

DE RELACIÓN

ASOCIACIÓN O ASIGNACIÓNENTRE LOS

ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS

EL PRIMER CONJUNTO SE LLAMA

DOMINIO DE LA RELACIÓN

EL SEGUNDO CONJUNTO SE LLAMA

CODOMINIO DE LA

RELACIÓN

Definida como

EN UNA RELACIÓN CADA ELEMENTO DEL DOMINIO PUEDE TENER ASOCIADO UNO O VARIOS ELEMENTOS

DEL CODOMINIO

CONCEPTOS DE FUNCIÓN

• Es toda relación donde a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del codominio

• Una Función f de un conjunto X en otro Y es una correspondencia que asigna a cada elemento x de X exactamente un elemento y en Y. Diremos que y es la imagen de x bajo f denotado f (x), el Dominio de f es el conjunto X, y su Rango o Recorrido consta de todas las imágenes f (x) de los elementos x de X

CONCEPTO DE FUNCIÓNSE LLAMA

FUNCIÓN DE UN CONJUNTO A

EN OTRO B, ATODA

ASOCIACIÓN O ASIGNACIÓNENTRE LOS

ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS

EL PRIMER CONJUNTO SE LLAMA

DOMINIO DE LA FUNCIÓN

EL SEGUNDO CONJUNTO SE LLAMA

CODOMINIO DE LA

FUNCIÓNEN UNA FUNCIÓN CADA ELEMENTO DEL DOMINIO

SOLO PUEDE TENER ASOCIADO UN ELEMENTO ÚNICO DEL CODOMINIO

Términos Básicos de una Función

• Dominio: Es el primer conjunto que intervienen en la función (conjunto A o X) también se le llama conjunto de partida. Se denota por DOM(f)

• Codominio: Es el segundo conjunto que intervienen en la función (conjunto B o Y) también se le llama conjunto de Llegada. Se denota por COD(f).

• Rango: los elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado Rango o Recorrido de la Función. Se denota por Ran(f)

• Imagen: si x es un elemento del Dominio, la notación f (x) se utiliza para designar el elemento en el recorrido que corresponde a X en la función f, y se denomina Imagen de X. NOTA: TODA FUNCIÓN ES UNA RELACIÓN, PERO NO TODA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN.

DOMINIO Y RANGO

• Los elementos: m,n,r,s del Dominio se llaman

Preimágenes de la función

• Los elementos 2,3,4 y 5 del Rango se llaman

Imágenes de la función

FORMAS DE REPRESENTAR FUNCIONES

x

y

2: (0,0), (1,1), (2,4), (3,9),...

: ( , ) R /

f

f x y y x

POR FÓRMULAS O ECUACIONES

POR TABLAS DE VALORES

POR DIAGRAMAS SAGITALES

POR DIAGRAMAS CARTESIANOS

POR EXTENSIÓN

POR COMPRENSIÒN

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

SEGÚN LA FORMADE RELACIONARSUS ELEMENTOS

INYECTIVA O UNO A UNO

(1-1)

SOBREYECTIVASUPRAYECTIVA

O SOBRE

BIYECTIVA

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES:

SE CLASIFICAN EN

Inyectiva o Uno a Uno (1-1)

• Si f es una función de A en B, entonces f es inyectiva (Univoca o 1-1) si cada elemento del Rango de f es el asociado de un ÚNICO elemento del Dominio . Simbólicamente:f de A en B es 1-1 si para cada

1 2 1 2, ( ), ( ) ( )x x Dom f f x f x

Sobreyectiva

• Una función f es sobreyectiva si y solo si todo elemento del Codominio es imagen, al menos, de un elemento del Dominio. También así: una función f es sobre si el Rango es el mismo Codominio. O sea: f de A en B es Sobreyectiva si y solo si Ran(f)=Cod(f)

Biyectiva

• Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir:

f: A → B es Biyectiva si y solo si, f es 1-1 y sobreyectiva a la vez.

RESUMIENDO:

1. Inyectiva o Uno a Uno (1-1): • Si f es una función de X en Y, entonces f es inyectiva

(Univoca o 1-1) si cada elemento del Rango de f es el asociado de un UNICO elemento del Dominio.

2. Sobreyectiva: • Una función f es sobreyectiva si y solo si todo

elemento del Codominio, es imagen al menos de un elemento del Dominio. También así: una función f es sobre si el Rango es el mismo Codominio. Ran(f)=Cod(f)

3. Biyectiva: • Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva

a la vez, es decir: f: A → B es Biyectiva si y solo si, f es 1- 1 y sobre a la vez

SITUACIONES ESPECIALES

Función Biyectiva

Función No Inyectiva y No Sobreyectiva

Función Sobreyectiva no

Inyectiva

Función Inyectiva No Sobreyectiva

SEGÚN SU ESTRUCTURA

O SU CONFORMACIÒN

ALGEBRAICAS TRASCENDENTES ESPECIALES

SE CLASIFICAN EN

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

FUNCIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS

1. Función Lineal.

2. Función cuadrática.

3. Función Cúbica.

4. Función Polinómica.

5. Función Radical

6. Función Racional.

Otras Funciones Algebraicas

• Función Potencia: su forma es

• Función Idéntica: su forma es

• Función Constante: su forma es

• Función Múltiplo Constante:

• Función Suma: su forma es

• Función Producto: su forma es

• Función Cociente: su forma es

ny xy x

, ( R)y k k ( )y k f x

( ) ( )y f x g x ( ) ( )y f x g x ( ), ( ) 0

( )

f xy g x

g x

ALGUNAS FUNCIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS

• Función Lineal o Afín: es de la forma f (x)= mx + b, su grafica es una línea recta donde b es el punto de corte en el eje Y y m es la pendiente de la recta, la cual es ascendente si m > 0 y descendente si m < 0.

• Función Cuadrática: es de la forma f (X) = • cuyo dominio es el conjunto de los números Reales • Función Polinomica: es de forma f (X) = C0 + C1x +

C2 X +... Cn X, donde C0, C1, C2... Cn son los coeficientes del polinomio, y el entero no negativo N es su grado (si Cn ≠ 0).

ALGUNAS FUNCIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS

(Continuación)• Función Racional: es de la forma

f (X) = P(x)/ q(x), donde P(x) y q(x) son polinomios. El dominio esta formado por todos los valores de X tales que q(x) ≠0.

• Función Cúbica: la función cúbica se define como polinomio de

• 3er Grado, tiene la forma Donde a es distinto de cero

• Función Potencia: las funciones potenciales de exponente entero positivo las escribimos de la forma: ( ) ny f x x

3 2( )f x ax bx cx d

Funciones Transcendentales.

• Son aquellas que no pueden ser expresadas mediante un número finito de polinomios: son las siguientes

1. Funciones Trigonometricas y las trigonométricas inversas.

2. Funciones Exponenciales.

3. Funciones Logarítmicas

Funciones Transcendentales

1. Funciones Trigonométricas: se pueden definir sobre un triangulo rectángulo, pero están definidas de una forma más general sobre el círculo; de ahí que también se conozcan como funciones circulares.

x

y

FUNCIÓN Y=SEN (X)

x

y

FUNCIÓN Y=COS (X)

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS