Col·legi 2n ESO Matemàtiques BEAT RAMON LLULL Apunts ...€¦ · 2. Els múltiples d’un nombre:...

Col·legi 2n ESO Matemàtiques BEAT RAMON LLULL Apunts enters i fraccions Inca

1

Cal recordar: 1. Relació de divisibilitat:

• Si a:b és exacte ⇒ a és múltiple de b i b és divisor d’a.

2. Els múltiples d’un nombre:

• Un nombre té infinits múltiples.

• Tot nombre és múltiple de si mateix i de la unitat aa =⋅1 .

• La suma de dos múltiples d’un nombre a és un altre múltiple d’a ( ) anmanam ⋅+=⋅+⋅ .

• Si a un múltiple d’a se li suma un altre nombre que no ho sigui, el resultat no és múltiple d’a.

3. Els divisors d’un nombre:

• Un nombre té una quantitat finita de divisors.

• Un nombre té almenys dos divisors: ell mateix i la unitat.

210:20 = 20→ és múltiple de 10 i 10 és divisor de 20

·

13=13, 26, 39,52, … multipliquem 13 per cadascun dels nombres naturals. Com els nombres naturals són infinits 13 té infinits múltiples. 13·1=13 13·2=26 13·3=39 13·4=52 …

( ) 42676434276

4224182446

1836

=⋅=⋅+→=⋅=+→=⋅

=⋅


2

4. Criteris de divisibilitat:

• Un nombre és divisible per dos, quan acaba en xifra parell o en 0.

• Un nombre és divisible per 5 quan acaba en 0 o en 5.

• Un nombre és divisible per 10 quan acaba en 0.

• Un nombre és divisible per 3 si la suma de les seves xifres és 3 o múltiple de 3.

• Un nombre és divisible per 9 quan la suma de les seves xifres és 9 o múltiple de 9. 5. Nombres primers i nombres compostos:

• Un nombre que no es pot descompondre en factors és un nombre primer.

• Un nombre primer només té dos divisors: ell mateix i la unitat.

• Els nombres que no són primers s’anomenen compostos.

• Els nombres primers menors de 100 són: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

6. Descomposició en factors primers:

• Per descomposar un nombre en factors primers, els dividim entre 2 tantes vegades com sigui possible; després, entre 3; després entre 5, ... i així successivament entre els següents nombres primers fins a obtenir 1 en el quocient.

7. Múltiples i divisors d’un nombre descompost en factors primers:

• Cada un dels múltiples d’un nombre conté, almenys, tots els factors primers d’aquest nombre.

340 2 El resultat de la descomposició: 170 2 85 3 340=22·3·17 17 17 1 340:2=170 170:2=85 85:5=17 17:17=1 17 és un nombre primer


3

• Els divisors d’un nombre estan formats per alguns dels factores primers d’aquest nombre.

8. Mínim comú múltiple de dos o més nombres:

• El mínim comú múltiple de diversos nombres a, b, c, ... és el menor des seus múltiple comuns i s’escriu mcm (a,b,c, ...)

• Es calcula de la següent manera: primer es descomponen tots els nombres en factors

primers; segon es prenen tots els factors primers comuns i no comuns de major exponent.

• El resultat és el producte dels factors elegits. 9. Màxim comú divisor:

• El màxim comú divisor de dos o més nombres a, b, c, ... és el major dels seus divisors comuns i s’escriu MCD (a,b,c, ...)

• Es calcula de la següent manera: primer es descomponen els nombres en factors

primers; segon es prenen els factors primers comuns de menor exponent. • El resultat és el producte de factors elegits.

40 2 1 2·5=10 20 2 2 22·5=20 10 2 22=4 23·5=40 5 5 23=8 1 5 40=23·5·1 Div (20)=1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40


4

1. NOMBRES ENTERS 1.1 Els nombres enters i la seva representació El conjunt dels nombres enters comprèn : Els nombres naturals, 1, 2, 3, 4, ... El zero, 0 Els nombres negatius corresponents, -1, -2, -3, -4, ... Queden ordenats sobre la recta numèrica:

54321012345 −−−−− 1.2 Operacions amb nombres enters SUMA 1) Sumem tots els nombres positius i els resultat és positiu + 2) Sumem tots els nombres negatius i els resultat és negatiu – 3) Restem i el resultat tindrà el signe del nombre que té major valor absolut. Exemples:

2410743)

11542)

416126712453)

=+++−=−−−

−=−=+−++−−

c

b

a

En el cas a) Seleccionem els nombre +: 3, 2, 1, 6 i els nombres -: -5, -4, -7. 1) La suma dels positius és 12 2) La suma dels negatius és -16. 3) El que té major valor absolut és 16, per tant el resultat serà negatiu. Procedirem de manera semblant en els altres casos.


5

RESTA Un signe negatiu davant d’un parèntesi canvia el signe del nombre que conté. Exemple:

( ) ( ) 94133452334523 =−=+−++=−−+−− -(-2) = 2 -(4-3) = -4+3 SUMA I RESTA COMBINADES

( ) ( )( ) 413177131071310)

461061071310)

=−=+−=−−=−=−=−−

B

A

En A hem llevat el parèntesi realitzant l’operació de dins aquest. En B hem desfet el parèntesi aplicant l’operació de resta. Exemples:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )( )[ ] [ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 56111151174511745117128592)8

5116116213628562856)7

51161166566562856)7

09211921118997115139637165)6

165651155745138)5

11819745138745138)5

111021102110202161110321)4

132152159111559615)3

1311245961559615)3

1141541581215)2

1112238121581215)2

145194354843548)1

−=−−−=−−−=−−−−=−−+−−=−−+−−−=−=−=−−=−+−=−+−

−=−=−=+−=+−=−+−=++−=−−−−−=−−−−−=−−−−−−−

=+−=−−−=−−−=−−−−=−=++−−=−−−−

=−=−=−−=++−−=−=−=−−=+−−

=−=−+−=+−−=−=−=−−

=−=+−=−−=−=++−+=+−−−−−++

PRODUCTE 1) Multipliquem els nombres. 2) Multipliquem els signes segons la següent regla de signes:

+·+ = + +·- = - -·+ = - -·- = +


6

Exemples:

( ) ( )( ) ( )

120304

30215253

18666631863

622232632

=⋅=⋅=⋅−⋅−

−=−−−=−⋅→−=−⋅−=−−−=⋅−→−=⋅−

QUOCIENT 1) Dividim els nombres. En cas que no doni divisió exacte ho deixarem indicat. 2) Dividim els signes segons la següent regla de signes:

+:+ = + +:- = - -:+ = - -:- = + Exemples:

( )

( ) 46:24

64:24

64:24

244666:24

=−−−=−

−=−=⋅→=

1.3 Operacions combinades amb nombres enters L’ordre que hem de fer servir per a calcular operacions combinades és el següent: 1) Realitzar les operacions de dins els parèntesis 2) Realitzar totes els productes i quocients 3) realitzar les sumes i les restes Exemples:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

13174

32124

3123422

251234752

−=−=→−−−=

=→−⋅+−−⋅+−⋅−==+−⋅+−−⋅+−⋅−

productes

parèntesis


7

Activitats resoltes:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16124124267:28252367:28

552367:28

4952367:28)

19103352

336112

3323112

1183753112)

0121226349761184)

432518551883518)

618123643)

12425424213:126421)

924153815)

182664

2:4162342:4216234)

7171071046725432)

−=−−=+−−=−⋅−−−=−⋅−−−==⋅−⋅−−−=

=−⋅−⋅−−−

−=+−=−⋅−⋅−=−⋅−−⋅−=

=−⋅−−⋅+⋅−==−⋅−−⋅+⋅−

=+−=−⋅−−⋅=−⋅−−⋅

=+=−⋅−=−⋅−

−=−=⋅−+−⋅−

=−=+−=+⋅−

−=−=⋅−

=+++==−−+⋅+−⋅−=−−+−⋅+−⋅−

−=−=−−+=−+⋅−+−⋅−

i

h

g

f

e

d

c

b

a


8

1.4 Potències de nombres enters La potència és una multiplicació de factors iguals:

Exemples:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 243333333

8133333

164444

5

4

22

−=−⋅−⋅−⋅−⋅−=−

=−⋅−⋅−⋅−=−

=⋅==+

Potències amb nombres negatius En elevar un nombre negatiu a una potència:

• Si l’exponent és parell el resultat és positiu

( ) ( ) ( ) 64888 2 =−⋅−=− • Si l’exponent és senar el resultat és negatiu

( ) ( ) ( ) ( ) 5128888 3 −=−⋅−⋅−=− Propietats de la potència

• Potència d’un producte

( )[ ] ( )( ) ( )

10001000

125810

52523

333

−=−⋅−=−

⋅−=⋅−

( ) nnn baba ⋅=⋅→

• Potència d’un quocient

( )[ ] ( )( ) ( )

88

125:10002

5:105:103

333

−=−−=−

−=−

( ) nnn baba :: =→

onentn

basea

aaaaaan

exp

...

→→

⋅⋅⋅⋅=


9

• Producte de potències de la mateixa base

( ) ( ) ( ) ( )( )

100000100000

1000100

10101010 53232

−=−−⋅

−=−=−⋅− +

nmnm aaa +=⋅→

• Quocient de potències de la mateixa base

( ) ( ) ( ) ( )( )

100100

1000:100000

101010:10 23535

=−−

−=−=−− −

nmnm aaa −=→ :

• Potència d’una potència

( )[ ] ( ) ( )( )

10000001000000

1000

1010102

62323

=−

−=−=− ⋅

( ) mnmn aa ⋅=→

1.5 Arrel quadrada de nombres enters L’arrel quadrada és l’operació inversa d’elevar al quadrat.

abba =⇔= 2

Els nombres l’arrel quadrada dels quals és un nombre enter s’anomenen quadrats perfectes. Exemples:

4002020400

4977492

2

=⇔=

=⇔=

49 i 400 són quadrats perfectes Un nombre positiu té dues arrels quadrades

( )( )

=−⇔−=−⇔=

1644

164416

2

2

Un nombre negatiu no té arrel quadrada

16− No existeix. Perquè no hi ha cap nombre el quadrat del qual doni un resultat negatiu.


10

1.6 Altres arrels de nombres enters Es poden obtenir arrels d’índex superior a dos.

abba nn =⇔= n és l’índex i a és el radicand

Exemples:

( )( )existeixNo_81

8228

813

813381

8228

4

33

4

44

33

→−

−=−⇔−=−

=−=

⇔±=

=⇔=


( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 20525:525:525:10)

1111_11)

10000101010000)

273327)

525)

11121)

1644:44:4414:44)

4977:7)

23232323)

62553:153:15)

777663232)

22222

676

44

33

281083774237

235

6624

4444

5555

=⋅=⋅=⋅=

−⋅−=−=−=−

=⇔=

−=−⇔−=−

=

=

=−=−−=−⋅⋅−=−⋅−

=−=−−

=−=−⋅−

=−=−=−

−=−=−⋅=−⋅

k

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a


11

2. FRACCIONS Una fracció és part d’una unitat. Les fraccions venen representades per:

b

a → a és el numerador i b és el denominador

El numerador representa el nombre de parts iguals que agafem de la unitat. El denominador representa el nombre de parts iguals en que es divideix la unitat. Exemples:

3

2

3

4

2.1 Fraccions equivalents Les fraccions equivalents són fraccions que sense tenir numerador i denominador igual, representen la mateixa quantitat i el mateix valor numèric.

4,05

2 = 4,010

4 =

5

2

10

4

→10

4

5

2són fraccions equivalents perquè tenen el mateix valor numèric i representen la

mateixa quantitat. Propietat fonamental de les fraccions Quan multipliquem o dividim el numerador i el denominador pel mateix nombre, s’obté una fracció equivalent.

nb

na

b

a

⋅⋅= sequivalentsóni

15

6

5

2

15

6

35

32

5

2 =⋅⋅=

rsimplificanb

na

b

a →=:

:

5

2

5:25

5:10

25

10 ==


12

2.2 Suma i resta de fraccions Cal recordar que si algun dels sumands és un nombre enter, el transformem amb una fracció amb denominador la unitat. Exemples:

1

33

1

22 −=−=

Tenim dos casos possibles: a) Suma de fraccions amb el mateix denominador Es posa el mateix denominador i es sumen els numeradors

2

1

2

78

2

753

2

7

2

5

2

3 =−=−+=−++

b) Suma de fraccions amb distint denominador 1) Busquem el mcm dels denominadors 2) Transformem cada fracció en una fracció equivalent que tingui el denominador comú

( )

( )

=⋅=

→==−⋅=

→−=−=⋅

=→=

=

=−=+−=+−+=+−+

933

38:24

24

9

8

32054

46:24

24

20

6

51628

83:24

24

16

3

2

248,6,324

5

24

2025

24

92016

24

9

24

20

24

16

8

3

6

5

3

2

mcm

Sumes i restes amb parèntesis

• Si se suprimeix un parèntesi precedit del signe més , els signes interiors no varien.

4

3

7

6

5

4

4

3

7

6

5

4 +−=

+−+

• Si se suprimeix un parèntesi precedit del signe men ys, els signes interiors es

transformen; més en menys i menys en més.

4

3

7

6

5

4

4

3

7

6

5

4 −+−=

+−−


13

Exemples: Resolució suprimint prèviament el parèntesis:

6

1

12

2

12

3133

12

29131624

6

1

4

3

12

13

3

4

1

2

6

1

4

3

12

13

3

42 ==−=−+−−=−+−−=

+−−

−

Resolució operant dins dels parèntesis:

6

1

6

34

2

1

3

2

12

6

3

2

12

6

3

2

12

915

3

2

12

2913

3

46

6

1

4

3

12

13

3

42

=−=

=−=−=

−=

−−=

+−−−=

+−−

−


1)

( ) 126,4,34

1

12

3

12

1316

12

101234

6

51

4

1

3

1

=

==−=−+−=−+−

mcm

2)

10

1

10

56

2

1

5

3

6

3

5

3

6

3

5

3

6

41

5

3

3

2

6

1

5

3

10

1

30

3

30

2023

30

20518

3

2

6

1

5

3

3

2

6

1

5

3

=−=−=−=

−+=

−+=

−+

==−=−+=−+=

−+

3)

20

9

20

312

20

3

5

3

20

25

5

3

10

1

4

1

5

3

20

9

20

514

20

2512

10

1

4

1

5

3

10

1

4

1

5

3

=−=−=

−−=

−−

=−=+−=+−=

−−

4)

36

5

36

2227

36

61627

6

1

9

4

4

3

6

56

9

59

4

14

6

51

9

51

4

11

36

5

36

4550

36

3020936

6

5

9

5

4

11

6

5

9

5

4

1111

6

51

9

51

4

11

6

51

9

51

4

11

=−=−−=−−=

−−

−−−=

−−

−−

−

=−=++−−=

=++−−=++−−−=+−+−−=

−−

−−

−


14

5)

2

1

12

6

12

137

12

13

12

7

12

112

12

7

12

11

12

7

12

11

12

7

12

981

12

7

4

3

3

21

12

7

−=−=−=−=

=

+−=

+−=

−−−=

−−−=

−−−

2.3 Multiplicació de fraccions El resultat del producte de dues o més fraccions és una altre fracció, el resultat de la qual té per numerador el producte dels numeradors i per denominador el producte dels denominadors.

db

ca

d

c

b

a

⋅⋅=⋅

Exemples:

15

8

5

4

3

2 =⋅

( )

( ) 7

3

28

12

272

341

2

3

7

4

2

1 =−−=

−⋅⋅⋅−⋅=

−⋅

−⋅

2.4 Divisió de fraccions El resultat del quocient de dues fraccions és un altra fracció, el resultat de la qual té per numerador el producte creuat del primer numerador i el segon denominador, i per denominador el producte creuat del primer denominador per el segon numerador.

cb

da

c

d

b

a

d

cb

a

d

c

b

a

cb

da

d

c

b

a

⋅⋅=⋅==

⋅⋅=

:

:

A la fracció c

ds’anomena fracció inversa de la fracció

d

c.

El producte de la fracció d

c per la seva fracció inversa

c

d és igual a la unitat:

1=⋅⋅=⋅cd

dc

c

d

d

c


15

2.5 Operacions combinades L’ordre que hem de fer servir per a calcular operacions combinades és el següent: 1) Realitzar les operacions de dins els parèntesis. 2) Realitzar totes els productes i quocients. 3) Realitzar les sumes i les restes. Simplificar sempre que es pugui les fraccions per a facilitat les operacions. Exemples:

4

5

4

23

2

1

4

3

12

6

2

3

2

1

3

4:

3

2

6

9

2

1

3

4:

3

2

6

514

2

1

3

62:

3

2

6

5212

2

12

3

2:

3

2

6

5

3

12

2

1

=+=+=+⋅=

−−

⋅=

=

−−

−⋅=

−−

−+⋅=

−−

−+⋅

( ) ( ) ( )

3

19

3

109

3

103

3

1443

3

14

3

4

2

6

3

72

3

42

2

3

3

342

3

42

2

31

3

42

3

475

2

3

−=−−=−−=−+−=

=−+−=⋅−+−⋅=

+⋅−+−⋅=

+⋅−+−⋅

Activitats resoltes

1) 45

20

1

10

5

210

5

2 ==⋅=⋅

2) 205

1:

1

4

5

1:

2

1:2 ==

3) 6

1

60

10

12

5

5

2

12

49

5

2

3

1

4

3

5

2 ==⋅=

−⋅=

−⋅

4)

15

4

15

106

3

2

5

2

36

24

5

2

4

3

9

8

5

2

4

3

9

19

5

2

4

3

9

11

5

2

4

3

18

21

5

2

4

3

6

1

3

21

5

2

4

3

6

23

3

21

5

2

4

3

3

1

2

1

3

21

5

2

−=−=−=−=⋅−=⋅−−=⋅

−−=

=⋅

−−=⋅

⋅−−=⋅

−⋅−−=⋅

−⋅−−

5) 5

6

10

12

5

4

2

3

4

52

3

4

832

12

24

32

11

−=−

=−

⋅=−

=−

+

=−

+


16

6) 8

3

40

15

2

15

20

1

15

220

1

15

101220

1516

3

2

5

44

3

5

4

==⋅==−

−

=−

−

7) 2

1

6

3

16

3

3

4

4

35

3

6

5

3

4

4

1

2

15

3

3

1

2

1

===⋅

⋅=

⋅

+

⋅

+

8) ( ) 39

35

78

70

13

10

6

7

10

136

7

10

1126

34

10

1

5

62

1

3

2

25

1

3

1:

5

22

3

3

1

3

2

==⋅==+

+

=+

+=

−⋅−

⋅+

9)

5

1

5

6

5

7

5

6

512

127

5

6

12

5:

12

7

5

6

12

49:

12

7

5

6

3

1

4

3:

12

7

5

6

15

5

4

3:

12

7

5

6

8

5

15

8

4

3:

12

7

5

6

8

16

15

53

4

3:

12

310

5

6

8

1

4

3

3

1

5

1

4

3:

4

1

6

5

=−=−⋅

⋅=−=−−=−

−=−

−=

=−

⋅−=−

−⋅

+−−=−

−⋅

+−

−

2.6 Potències i fraccions

• Potència d’una fracció

9

4

3

2

3

2

9

4

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

==

=⋅=

=

n

nn

b

a

b

a

• Potència d’un producte de fraccions

8

1

2

1

6

3

5

3

6

5

5

3

6

533333

=

=

=

⋅=

⋅

⋅

=

⋅nnn

d

c

b

a

d

c

b

a


17

• Potència d’un quocient de fraccions

16

1

4

1

12

3

60

15

5

6:

10

3

5

6:

10

3

::

222222

=

=

=

=

=

=

nnn

d

c

b

a

d

c

b

a

• Potència d’exponent zero

1:

1

03333

0

=

=

=

=

−

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

• Potència d’exponent negatiu

3352

5

3 1

1

aaa

a

a

aa

nn

===

=

−−

−

Activitats resoltes

1) 8135

15

5

15 44

4

4

==

=

2) ( )

1629

18

9

36

9

36 44

4

4

4

44

==

=⋅=⋅

3) ( ) 523232

3 :1

: xxxxx

x ===

−−−

4) 333

33

3

33

31

1::

bab

aa

b

aa

b

a =⋅

==


18

2.7 Problemes de fraccions • Fracció d’una quantitat CÀLCUL D’UNA FRACCIÓ En una marató han pres la sortida 1155 participants, però durant la prova n’han abandonat 330. Quina fracció del total dels inscrits ha arribat al final?

7

5

7

2

7

7

7

2

1155

330

'

'

=−=−→

==→

ntsabandonameFracciótotalFracciófinalitzaqueFracció

inscritsdtotal

ntsabandonamedtotalabandonaqueFracció

CÀLCUL DE LA PART (PROBLEMA DIRECTE)

En una marató han pres la sortida 1155 participants. Durant la prova han abandonat 7

2

dels corredors. Quants han arribat a la meta?

8253301155

3307

211551155

7

2'

=−→

=⋅=→

acabenquedelsNombre

dentsabandonamedNombre

CÀLCUL DEL TOTAL (PROBLEMA INVERS)

En una marató han arribat a meta 825 corredors, la qual cosa ocupa 7

5 dels que van

prendre la sortida. Quants de corredors van prendre la sortida?

corredorssóntotalel

sóntotaldel

sóntotaldel

115571657

7

1655:8257

1

8257

5

=⋅→

=→

→

Solució: 1155 corredors hi participen en total.

• Càlcul de la fracció CÀLCUL DE LA FRACCIÓ


19

Un agricultor sembra 5

2del seu hort de melons i

3

1 de síndries. Quina part del terreny

queda encara lliure?

terrenydelquedenSolució

sembradaFraccióTotal

síndriesFracciómelonsFracció

15

4:

15

4

15

11

15

1515

11

15

56

3

1

5

2

=−=−

=+=+=+



2 del seu hort de melons i

3

1 de síndries. Si l’hort té 3000 m2,

quina superfície queda sense sembrar?

280015

430003000

15

415

4

15

11

15

15

15

11

15

56

3

1

5

2

mdelliureSuperfície

LliureSembrat

=⋅=→

=−→=+=+→

Solució: queden sense sembrar 800m2. CÀLCUL DEL TOTAL (PROBLEMA INVERS)


2 del seu hort de melons i

3

1 de síndries. Si encara li queden 800

m2 lliures, quina és la superfície de l’hort?

2

2

2

300015200'15

15

2004:800'15

1

800'15

415

4

15

11

15

15

15

11

15

56

3

1

5

2

mtotalelocupenhortlde

mocupenhortlde

mocupenhortlde

LliureSembrat

=⋅→→

=→

→

=−→=+=+→

Solució: la superfície són 3000m2.

• Multiplicació i divisió de fraccions PRODUCTE


20

Un flascó de perfum té la capacitat de 20

3 de litre. Quants de litres es necessiten per

omplir 30 flascons?

2

14

2

1

2

8

2

9

20

9030

20

3 +=+===⋅

Solució: es necessiten 4 litres i mig per omplir 30 flascons. QUOCIENT

Un flascó de perfum té la capacitat de 20

3 de litre. Quants de flascons s’omplen amb un

bidó la capacitat del qual són quatre litres i mig?

306

180

20

3:

2

92

9

2

14

==

=+→ lmigilitresQuatre

Solució: 30 flascons.

• Fracció d’una altra fracció CÀLCUL DE LA FRACCIÓ

D’un dipòsit de reg que estava ple, s’han extret durant un dematí 3

2 del contingut, i a

l’horabaixa, 5

3 del que quedava. Quina fracció de dipòsit queda al final del dia?

=⋅→

15

2

3

1

5

2

3

1

5

2'

3

1

5

3'

'

3

1'

3

2'

dequedenhin

deextrethanshorabaixalA

quedenhin

extrethansmatíAl

Solució: Al final del dia 15

2 del dipòsit.


21


D’un dipòsit de reg de 90000 litres que estava ple, se’n treuen durant el dematí 3

2 del

contingut, i l’horabaixa, 5

3 del que hi quedava. Quants de litres queden al dipòsit?

Fracció extreta

Fracció restant

Matí 3

2

3

1

Horabaixa 3

1

5

3de

15

2

3

1

5

2 =de

lldequedenHi 1200015

90000290000

15

2 =⋅=

Solució: al final hi queden 12000 litres al dipòsit CÀLCUL DEL TOTAL (PROBLEMA INVERS)

D’un dipòsit de reg que estava ple, se’n treuen durant el dematí 3

2 del contingut, i

l’horabaixa, 5

3 de la resta. Si al final del dia encara hi queden 12000 litres, quina és la

capacitat total del dipòsit?

Fracció extreta

Fracció restant

Matí 3

2

3

1

Horabaixa 3

1

5

3de

15

2

3

1

5

2 =de

ltotalelsóndipòsitdel

lsóndipòsitdel

lsóndipòsitdel

9000015600015

15

60002:1200015

1

1200015

2

=⋅→→

=→

→

Solució: el dipòsit té una capacitat de 90000 litres.

Col·legi 2n ESO Matemàtiques BEAT RAMON LLULL Apunts ...€¦ · 2. Els múltiples d’un nombre:...

Documents

Transcript of Col·legi 2n ESO Matemàtiques BEAT RAMON LLULL Apunts ...€¦ · 2. Els múltiples d’un nombre:...