5/17/2018 Columnas con cargas axiales exc ntricas - slidepdf.com

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Columnas con cargas axiales excentricas Analizamos columnas ideales en las que las cargas axiales actuaban en los centroides de las secciones

tranversales. En estas condiciones las columnas permanecen rectas hasta que se alcanzan las cargas

críticas, después de lo cual puede ocurrir flexión.

Ahora supondremos que una columna se comprime por cargas P que se aplican con una excentricidad e

pequeña, medida desde el eje de la columna.

Cada carga axial excéntrica es equivalente a una carga céntrica P y a un par de momentos M0=Pe.

Hacemos las mismas suposiciones que en las secciones anteriores ; es decir, la columna está

perfectamente recta al inicio, el material es linealmente elástico y el plano XY es un plano de simetría.

El momento flexionante en la columa a una distancia x del extremo inferior es:

M=M0+P(-v)=Pe-Pv

La ecuación diferencial de la curva de deflexión es:

EIv”=M=Pe-Pv

v”+k^2v=k^2e

En donde k^2=P/EI, igual que antes. La solución general de esta ecuación es:

v=C1(sen kx)+C2(sen kx)+e

En donde C1 y C2 son constantes de integración en la solución homogénea y es es la solución particular.

Las condiciones de frontera para determinar las constantes C1 Y C2 se obtienen de las deflexiones en los

extremos de las columnas

v(0)=0 v(L)=0

Estas condiciones dan

C2=-e C1=-[e(1-cos kl)]/sen kl = -e(tan kL/2)

Por lo tanto, la ecuación de la curva de deflexión es

v=-e(tan KL/2 sen kx+cos kx -1)

Para una columnas con cargas P y excentricidad e = conocidas, podemos utilizar esta ecuación para

calcular la deflexión en cualquier punto a lo largo del eje x.

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La deflexión máxima delta producida por las cargas excéntricas ocurre en la mitad de la columna y se

obtiene igualando x a L/2 en la ecuación

Delta=-v(L/2)= e(tan kL/2 sen kL/2+cos kL/2 -1)

O bien después de simplificar,

Delta=e(sec kL/2-1)

Esta ecuación se puede escribir de manera ligeramente diferente remplazando la cantidad k con su valor

equivalente en términos de la carga crítica:

k=(P/EI)^1/2 = (Ppi^2/PcrL^2)^1/2 = (pi/L)(P/Pcr)^1/2

Por tanto, el término adimensional kL se convierte en kL=pi(P/Pcr)^1/2

Y la ecuación para la deflexión máxima se transforma en

Delta=e(sec (pi/L)(P/Pcr)^1/2 -1)

El momento flexionante máximo en una columna cargada de manera excéntrica ocurre en el punto

medio donde la deflexión es un máximo:

Mmax=P(e+delta)

Al sustituir delta de las ecuaciones, obtenemos

Mmax=Pe sec kL/2 = Pe sec[(pi/2)(P/Pcr)^1/2]

La manera que Mmax varía como función de la carga axial P. Cuando P es pequeña, el momento máximoes igual a Pe, lo cual significa que el efecto de las deflexiones es despreciable. Conforme P aumenta, el

momento flexionante crece de manera no línea y en teoría se vuelve infinitamente grande cuando P

tiende a la carga crítica.

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Fo rmula de la secante para columnas