UNIVERSIDAD DE CORDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA

curso de topologa : LUIS GUILLERMO PEREZ VERBEL

ESPACIOS COMPACTOS

EJERCICIOS.

1. Demuestre que la union finita de subespacios compactos de X es tambien compacto.

Demostracion : Sea X un espacio topologico y sea {Ai}ni=1 una coleccion de conjuntocompactos de X. Sea I un conjunto de indices cualquiera y sea {U}I una coleccion deconjuntos abiertos que cubren a

Z =

ni=1

Ai

Veamos que Z es compacto.

Como cada Ai es compacto, podemos escoger una subcoleccion finita de {U}I quecubrira a Ai y tomando la union de los subcubrimientos finitos de cada Ai, nos dara un

cubrimiento finito de Z, esto es, para cada Ai sea {aj}kij=1 un cubriminto finitos de Aientonces

U =ni=1

{Uj}kij=1

Es un subcubrimiento finito de conjuntos abiertos de {U}I que cubre a Z.Por lo tanto Z es compacto.

2. Sean A y B dos subespacios compactos disjuntos es un espacio de Hausdorff X.

Demuestre que existen abiertos disjuntos U y V conteniendo a A y B, respectivamente.

Demostracion: Sean A y B dos subespacios compactos disjuntos de un espacio de Haus-

dorff X. Como B es compacto en X y AB = , para cada x A se tiene que x / B,entonces por el lema 26.4 existen abiertos disjuntos Ux y Vx de X, tal que x UxB Vx. Note que la coleccion {Ux} es un cubrimiento de A por conjuntos abiertos de X,como A es compacto la coleccion finita

U =nx=1

{Ux}

es un subcubrimiento de A, luego el conjunto abierto U contiene A. Por otra parte como

B Vx entoncesV =

ni=1

{Vx}

es un conjunto abierto que contiene a B porque es la interseccion finita correspondiente a

los conjuntos abiertos que contienen a B, y por ultimo note que U y V son disjuntos ya

que

U V =Ui V

Ui Vi =

Por lo tanto existen conjuntos abiertos U y V tal que A U y B V .

3. Sea p : X Y una aplicacion continua, sobreyectiva y cerrada tal que p1{y} escompacto para cada y Y . Demuestre que si Y es compacto entonces X es compacto.Demostracion: Sea {U} un cubrimiento de X. Veamos que {U} tiene un subcubri-miento finito de X. Entonces para cada y Y , como p1{y} es compacto puede ser cubiertopor una subcoleccion finita {Ui : i = 1, ......., ny} del cubrimiento {U}. Consideremos losconjuntos

Uy = U1 .... Uny y Wy = Y p(X Uy)

Asi tenemos que :

i) Wy es abiero pues p es cerrado.

ii) y Wy ya que p1{y} Uy, entonces y / p(X Uy)iii) p1(Wy) = p1(Y p(X Uy)) = X p1(p(X UY )) X (X Uy) = Uyp1(Wy) es abierto porque p es continua.

De (i) y (ii) se tiene que {Wy : y Y } es un cubrimiento abierto de Y . Como Y escompacto existe un subcubrimiento finito {Wyi : i = 1, ..., n}, entonces por (iii)

X = p1(Y ) = p1(ni=1

Wyi) =

ni=1

p1(Wyi) ni=1

Uyi

Como cada Uyi es una union finita de conjuntos abiertos en {U}, implica que el cubri-miento abierto {U} tiene un subcubrimiento finito de X. Por lo tanto X es compacto.

4. Demuestre que si Y es compacto, entonces la proyeccion pi1 : X x Y X es unaaplicacion cerrada.

Demostracion: Sea A un conjunto cerrado en X x Y veamos que pi1(A) es cerrado,

que es equivalente a mostrar que X pi1(A) es abierto. Sea x (X pi1(A)), note que(x, y) / A para algun y Y y (X x Y )A es abierto. Ahora para cada y Y escojamoslas vecindades Ux,y de x y Vy de y satisfaciendo

(x, y) Ux,y x Vy (X x Y )A

note que {Vy : y Y } es un cubrimiento abierto de Y , y como Y es compacto existe unsubcubrimiento finito {Vyi : i = 1, ...., n} tal que Y =

ni=1 Vyi .Sea

U = Ux,y1 ...... Ux,yn

U es entonces una vecindad de x tal que U x Y (X x Y ) A as se tiene queU pi1(A) = es decir U es una vecindad abierta de x que no intersecta a pi1(A)as X pi1(A) es abierto, luego pi1(A) es cerrado. Por lo tanto se tiene que pi1 es unaaplicacion cerrada.

5. Demuestre que si f : X Y es continua, donde X es compacto e Y es de Hausdorffentonces f es una apliaacion cerrada.

Demostracion: Sea A un conjunto cerrado en X veamos que f(A) es cerrado. En efecto,

como X es compacto se tiene que A es compacto ( por teorema 26.2), ahora como f es

continua se tiene que f(A) es compacto (por teorema 26.5), luego como Y es de hausdorff

se tiene que f(A) es cerrado ( por teorema 26.3). Por lo tanto se tiene que f : X Y esuna apliacion cerrada. ( f lleva conjuntos cerrados a conjuntos cerrados).

6. Sea X un espacio compacto y de Hausdorff. Sea A una coleccion de subconjuntoscerrados y conexos de X que esta simplemente ordenada por la inclusion propia entonces

Y =AA

A

es conexo.

Demostracion: Supongamos que Y no es conexo, entonces existen conjuntos no vacos C

y D en Y tal que C D = y C D = Y . Note que C y D son abiertos y cerrados enY , como Y es una inteseccion de conjuntos cerrados se tiene que C y D son cerrados en

X. Entonces por teorema 26.3 C y D son compactos ya que X es de Hausdorff. Entonces

por ejercicio 5 de esta seccion podemos encontrar conjuntos abiertos disjuntos U y V tal

que C U y D V . Ahora la coleccion {A (U V ) : A A} es una coleccion deconjuntos cerrados ordenados por la inclusion propia por lo cual o {A (U V )} = paraalgun A A o la coleccion {A (U V )} tiene la propiedad de la interseccion finita, enel primer caso U y V forman una separacion para A lo cual es una contradiccon pues

pues A es conexo. En el ultimo caso como estamos en un espacio compacto la interseccionAAA (U V ) 6= en este caso U V no separan a Y . Por lo tanto Y es conexo.