COMPARAR, IGUALAR, COMUNICAR EN PREESCOLAR ...

COMPARAR, IGUALAR, COMUNICAR EN PREESCOLAR: ANÁLISIS DE SITUACIONES D IDÁCTICAS David Block

ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL APRENDIZAJE DEL NÚMERO EN PREESCOLAR Ligia Ramírez, David Block

Clnvestav-Sede Sur

Departamento de Investigaciones

Educativas

Documento 59

Clnvestav-Sede Sur Departamento de Investigaciones Educativas

Jefe del Departamento David Block Sevilla

Documento DIE Comparar, igualar, comunicar en preescolar: análisis de situaciones didácticas David Block

Análisis de situaciones didáaicas para el aprendizaje del número en preescolar Ligia Ramírez David Block

Coordinación de publicaciones Ariadna Acevedo Rodrigo

Cuidado de edición Laura Reséndiz Susana Quintanilla Verónica Arellano

Diseño de portada e Interiores lván Ávalos

Composición tipográfica Patricia Jardón Dávila

Impresión y encuadernación Juan Manuel Montiel Jesús Esparza

Distribución y venta Alma Becerra Bulmaro Flores

1 •. Reimpresión, junio del 2008 1 •. Edición, septiembre del 2006

Cinvestav-Sede Sur Departamento de Investigaciones Educativas Calzada de los Tenorios 235, Col. Granjas Coapa C. P. 143 30, México D. F.

COMPARAR, IGUALAR, COMUNICAR EN PREESCOLAR: ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS* David Block

En este artículo se analizan algunas situaciones didácticas para favorecer

la construcción de ciertos aspectos de la noción de número en el nivel de

preescolar.

INTRODUCCIÓN:

APRENDER MATEMÁTICAS AL RESOLVER PROBLEMAS

Mariana tiene ocho años. Está iniciando su tercer grado de primaria. Un día me

dijo que me quería mostrar que ya sabía hacer divisiones. Planteó la división

32 : 2 y la resolvió como se muestra en la ilustración 1.

115

2(32 -2

30 '-----------------~ Ilustración 1

Le propuse: "vamos a repartir 32 tazos (pequeños discos de plástico con

una imagen grabada, que salen en las bolsitas de frituras) entre un per rito y un

osito. Tratemos de que les roque lo mismo" . Separamos los 32 tazos y represen

tamos los dos animales con un par de objetos. Le pedí que, antes de hacer el

reparto, tratara de averiguar cuántos le tocaban a cada uno. Pensó un momen

to, se tocó los dedos y contestó: 16. Cuando le pedí que me contara cómo lo

había hecho, tomó el lápiz y ano tó tres veces el número 1 O (ilustración 2).

'-------1_º ____ 1 º ___ l_º __ ___,I 11"'"""" ,

Me explicó: "diez, veinte, treinta, son tres dieces, uno para cada quien, y

del otro, cinco para cada quien, van 15. Más uno de los dos que quedan , 16".

Agregó que se podía hacer de otra manera y escribió lo que se muestra en la

ilustración 3 .

._ __ :_! ______ :_! __ ____,¡ 11""''"'" J

· Publicado en Básica. ReviJla de la escuela y drl maestro. Aiio lll . Núm . 11 . mayo/j unio . 1996, Fundación SNTE para la cultura del maestro mexicano.

pp. 21-33.

Dav id Block

Comparar, igualar, comunicar en preescolar : análisis de situaciones didácticas

Le pregunté si la división que hizo primero era otra

manera de encontrar el resultado. Dijo que no . Este

ejemplo es representativo de uno de los principales

tropiezos de la enseñanza de las matemáticas: se ha pri

vilegiado el aspecto sintáctico del lenguaje formal en

detrimento del aspecto semántico, de la significación.

Algunas veces, los alumnos resuelven los proble

mas matemáticos recurriendo a procedimientos no

formales como el anterior, pero pronto aprenden que

es incorrecto, que debieron haber puesto "la opera

ción''. En el mejor de los casos siguen utilizando tales

recursos a escondidas, y en el peor los dejan de hacer

y, si aún no dominan otro recurso, se quedan blo

queados o eligen una operación casi al azar (Block y

Dávila, 1993). Los mismos problemas que se esco

gen para resolver en clase suelen estar "mandados a

hacer" para que se aplique una operación específica.

Frecuentemente, la pregunta del alumno es ¿con qué

operación o fórm ula se resolverá este problema? La

búsqueda deja de ser una solución creativa que adap

ta los elementos con que ya se cuenta.

Los estudios en didáctica de las matemáticas con

orientación constructivista plantean una relación

esencialmente distinta: los conocimientos matemáti

cos son herramientas que se crean y evolucionan fren

te a la necesidad de resolver ciertos problemas. Los

problemas no son sólo el lugar en el que se aplican

los conocimientos, sino "la fuente misma de los co

nocimientos" (Vergnaud, 1981). Los alumnos apren-

• Reconocer que los alumnos pueden abordar

un problema que implica determinado conoci

miento antes de recibir una enseñanza específi

ca sobre el mismo.

• Reconocer que los procedimientos no formales,

p oco sistemáticos, incluso a veces erróneos, que

los alumnos ponen en juego al enfrentar por sí

mismos un problema nuevo para ellos son ex

presión de una verdadera actividad matemática

y forman parte del proceso que les permitirá

comprender el sentido de conocimientos más

formales.

Ante el objetivo de propiciar el aprendizaje de cier

tos aspectos de una noción matemática, un problema

didáctico que se plantea es responde r a las siguientes

preguntas: ¿Cuáles son las situaciones en las que esa

noción constituye una herramienta de solución? ¿qué

problema plantean al alumno, considerando su nivel

de desarrollo cognitivo y sus conocimientos previos?,

¿qué procedimientos iniciales puede poner en mar

cha y cómo propiciar que éstos evolucionen? A partir

de estas preguntas, revisaremos algunas situaciones

didácticas relativas al número y sus relaciones.

SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL

APRENDIZAJE DE C IERTOS ASPECTOS

DE LA NOCIÓN DE N ÚMERO

den matemáticas no sólo para resolver problemas, ¿Qué problemas se resuelven con ayuda de los nú

sino al resolverlos. Se cuestiona el hecho de separar meros y son adecuados para los alumnos del nivel en

el momento en que los niños aprenden las técnicas el que vamos a trabajar? Adecuados significa que los

del momento en que resuelven problemas con ellas educandos comprenden claramente lo que plantea el

(Brousseau, 1994). El significado que para los alum- problema y disponen de recursos para aproximarse

nos tienen los conocimientos matemáticos está dado , a la solución, pero no para encontrarla de manera

principalmente, por los problemas que pueden resol- sistemática, es decir, el problema les presenta una di

ve r con su ayuda, así como por los errores y los cami- ficultad, un reto.

nos largos, poco eficientes, que estos conocimientos El análisis de las situaciones en las que el núme-

evitan. Algunas implicaciones de este enfoque son: ro es funcional lleva a distinguir distintos usos, que

David Block

dan lugar a distintos significados: usamos los núme

ros para exp resar cantidades y operar con ellas , para

ordenar elementos (las personas en una fila, los gana

dores en una competencia, las páginas de un libro)

y para identificar elementos (los números de placas

de los autos, de los teléfonos, de los canales de tele

visión).

Analizaremos algunos problemas de la primera

familia: el número para expresar cantidades . Pueden

distinguirse las siguientes situaciones: las que lle

van a comparar e igualar cantidades, a comunicar la

cantidad de elementos de u na colección, y aq uéllas

en las que es necesario prever, anticipar el resultado

de transformaciones aplicadas a las colecciones, como

agregar o quitar elementos.

SITUAC IONES DE COMPARACIÓN

En muchas situaciones espontáneas o planeadas ex pro

feso se compara la cantidad de elementos d e dos o

más colecciones para saber cuál tiene más , por ejem

plo, quién ganó más puntos en un juego, qué hay

más (niños o niñas) o determinar si sobran o faltan

elementos (por ejemplo , saber si alcanzan los vasos

para los invitados, los lápices para los miembros de

un equipo, etcétera).

Algunas variables didácricas permiten generar y

complejizar situaciones de comparación: colecciones

formadas con objetos o dibujadas, colecciones físi

camente cerca o lejos una de la otra, cantidades de

objetos relativamente grandes o pequeñas, objetos es

paciados entre sí o no (unos muy apretados, otros muy

separados). Estas variables introducen distintas di

ficultades e influye n en los procedimientos que los

niños pondrán en juego.


Si la diferencia entre las cantidades es relativamen

te grande (digamos seis y diez) , o si las cantidades son

muy pequeñas (dos y tres), los niños pueden deter

minar cuál es mayor por percepción visual. Resultaría

artificial pedirles que establezcan correspondenc ias

uno a uno entre los objetos . En cambio, si las canti

dades son relativamente grandes y próximas entre sí

(seis y siete), el recurso de la correspo ndencia se dará

naturalmente en muchos niños y será adoptado por

otros. La forma de establecer la correspondencia va

riará: juntar los objetos por pares o , si las colecciones

están dibujadas, tachar alternadamente un objeto de

cada colección , trazar rayas, hacer corresponder los

objetos de dos en dos, etc . Un problema más difícil

se tiene cuando las colecciones no se pueden acercar,

por ejemplo, si se dibujan cada una en un lado dis

tinto de una hoja o si están alejadas y no se permite

acercarlas. Los niños tendrán que acudir a una tercera

colección que jugará el papel de intermediaria. En

la medida en que los niños funcionalicen el conteo,

tenderán a sustituir el recurso de la correspondencia

uno a uno por éste. Veamos algunos ejemplos.

En la actividad 1 que se plantea en la ilustrac ión 4, los

niños deben igualar varias colecciones. Para ello, pueden

recurrir a la correspondencia uno a uno o al conteo.

En el ejemplo de la ilustración 52, la tarea pue

de ir más allá de la comparación de colecciones al

realizar un trabajo inicial de análisis de la informa

ción. Se puede empezar con comentarios libres acerca

de lo que expresa la ilustración, de lo que sucede en

ella. Después se puede preguntar: ¿Cuántos años va

a cumplir la niña? , ¿alcanzarán las sillas para los am i

gos? Luego se puede pedir a los niños que planteen

preguntas que se respondan co n la informac ión de la

ilustración.

' Block, D .. l. Fuenlabrada , A . Carvajal, P. Marcínez, MatrmáticaJ Primer grado, SEP. México , 1993 . 1 ERMEL, ApprrntiuagtJ numiriqutJ tt résolution de problimes. Co urs l'réparatoirr , Hacier, Fra ncia, 1993 .

David Block

Comparar, igualar, comunicar en preescolar: análisis de situac iones did;icticas

Ilustración 4

SITUACIONES DE IGUALACIÓN

Se trata de construir una colección con la misma

cantidad de elementos que otra3. Muchas situaciones

pueden dar lugar a esta actividad: cuando se pone

la mesa, por ejemplo, se iguala la cantidad de cu

biertos y platos a la de lugares o personas que van a

comer. Cuando se reparte material (una unidad para

cada quien), se iguala la cantidad de unidades que

se reparten entre las personas indicadas, etc. Quizá

la variable didáctica más importante es la presencia

o ausencia de la colección que se va a igualar en el

momento de construir la otra colección.

Por ejemplo, supongamos que se van a repartir

lápices a los niños, uno a cada uno. Los niños están

se ntados en grupos de tres a ocho. Si la maestra en

trega a un niño de cada equipo un lote de lápices para

que reparta uno a cada quien, el niño dará uno a cada

uno de sus compañeros. No hay mayor herramienta

matemática pues ta en juego que la comprensión de

la tarea: uno a cada quien y no dos , ni ninguno a

cada quien. La situación se hace más compleja si el

niño debe buscar los lápices en algún lugar del salón.

Si le faltan, dará más viajes; si le sobran, tendrá que

regresados. Tenderá, en todo caso, a tomar más de los

necesarios. Si la maestra pone, en algún momento y

en calidad de juego, la condición de que sólo se podrá

hacer un viaje y que ganarán los equipos a los que no

les falten ni sobren lápices, entonces se habrá puesto

una dificultad que pone en juego una herramienta

matemática más elaborada: el número que indica la

cantidad de niños y que, por lo tanto , corresponde

a la cantidad de lápices . Dependiendo de su nivel

de desarrollo cognitivo y de sus conocimientos pre

vios, los niños pueden:

• Limitarse a estimar de manera gruesa la canti

dad, tomando un haz de lápices más o menos

grande y dejando a la suerte el atinarle o no.

• Subdividir física o visualmente la colección ini

cial en dos o tres subcolecciones cuyas cantida

des puede visualizar o contar: uno para mí, y

dos y tres .

' Est a id ea de "igualación" no debe confundirse con lo que se ve en el coniexw de los problemas adi tivos, en donde " igualar" remite a determinar lo que

le falta a una cantidad para que sea igual a otra.

David Block

Ilustración 5

• Apoyarse en una colección intermedia, con el

mismo número de elementos, por ejemplo, re

presentar con un dedo a cada niño o dibujar un

palito por niño.

• Intentar contar el número de elementos de la co

lección. En la medida en que lo logren, afirmarán

el carácter funcional e idóneo de ese recurso.

Este es un buen ejemplo de problema que implica

poner en juego el recurso que se quiere hacer apro

piar por los niños . Además:

• Admite varios procedimientos con distinto gra

do de complejidad y con distinta eficacia.

• Permite a los niños validar por sí mismos sus en

sayos. Al llegar a su mesa y repartir los lápices,

se darán cuenta no sólo de si hubo error, sino del

tamaño del error. Esto permite propiciar un

diálogo, entre los niños y la situación, más libre de

las expectativas que puede tener el adulto.

• Los niños pueden conocer los recursos que utili

zan sus compañeros, lo cual es importante en el

proceso de evolución de sus recursos .

El problema tiene un punto débil: dado que se

trata de entregar algo a los compañeros de equipo y


éstos son conocidos de nuestro niño, él puede pasar

por alto el aspecto cuantitativo, centrándose en las

personas: "Uno para Luisa, uno para Ernesto, etc."

No obstante, hay otras situaciones con la misma es

tructura, por ejemplo, los niños tienen cierta canti

dad de "platos" sobre su mesa y deben traer cucharas,

una para cada plato. El reparto también da lugar a

formar colecciones con la misma cantidad de objetos,

aunque va más allá de ello. Por ejemplo, repartir 15

objetos entre cinco niños, con la condición de que

a todos les toque lo mismo. La situación, al final,

implica construir cinco colecciones iguales , aunque

previamente requiere poner en marcha un procedi

miento para realizar la repartición, por ejemplo, la

distribución cíclica.

SITUACIONES DE COMUNICACIÓN

Estas situaciones presentan una gran riqueza desde el

punto de vista didáctico. Se utilizan para propiciar la

creación y uso de un lenguaje (oral, pictórico , o gráfi

co-simbólico). Al modificar la situación de los lápices

que se deben entregar a los integrantes de cada equi

po, se puede pedir a los alumnos que los soliciten al

encargado del depósito de lápices, de manera oral o

"por carta". Si es oral, los niños deberán contar la co

lección o las subcolecciones: "necesito uno, dos, tres,

cuatro lápices". Cuando la comunicación sea por es

crito, pueden dibujar cada lápiz o rayitas, escribir la

serie de números hasta el que corresponde a la canti

dad o anotar el número correspondiente.

Esta actividad da un sentido a la representación de

cantidades al hacerla funcional: los niños representan

una cantidad porque, en una situación de juego, ne

cesitan recibir esa cantidad y no como respuesta a la

demanda de un adulto. Quienes reciben el mensaje

(los que atienden el depósito) deberán interpretar

el mensaje, concretando la colección. Al recibir el

pedido, los niños tienen la posibilidad de verificar

Is David Block


el éxito de la comunicación. Los errores suelen ser

frecuentes porque los niños están aprendiendo a con

tar. La posibilidad de comprobar el error (¡faltaron

lápices! ) constituye una retroalimentación que los

ayuda a aprender.

Con un "caminito" se pueden hacer actividades

similares, más fáciles de organizar: se pone una ficha

en un casillero y se debe decir "cuánto se avanzó" a

otro equipo, para que éste sepa en qué casillero se

encuentra la ficha. No se vale decir los nombres de las

cosas dibujadas. Para verificar, el equipo que recibe el

mensaje dice lo que hay en ese casillero4

Por otra parte, en la comunicación espontánea

con los niños se transmiten también, constantemen

te, mensajes en los que subyacen nociones matemá

ticas relativas al número como cardinal (tráeme dos

láp ices , tengo cinco años), ordinal (¿ quién llegó prime

ro?) o código (mi casa es la siete, lo vimos en el canal

6) . Es provechoso tener presentes estas situaciones

para propiciarlas cada vez que sea posible.

UN COMENTARIO SOBRE LA ESCRITURA

DE LOS NÚMEROS

Los niños suelen tener contacto con la numeración

escrita fuera de la escuela y elaboran por su cuenta

conocimientos considerables sobre ésta. En un es

tudio con niños de seis años que inician su primer

grado de primaria (Lerner y Sadovsky, 1994), las in

vestigadoras ponen en evidencia algunos de estos

conocimientos: unos niños saben, por ejemplo, que

un número es más grande que otro si tiene más ci

fras que éste o si aparece después al recitar la serie

numérica. Otros saben que si dos números tienen la

misma cantidad de cifras la primera es "la que man

da", es decir, determina qué número es m ayor. Otros

más saben que los números que se pronuncian con

"cien" se escriben con tres cifras. Al mismo tiempo,

muestran una tendencia a escribirlos traduciendo la

numeración hablada, lo que los lleva a escribir, por

ejemplo, el dieciocho así: 108.

El estudio muestra el papel constructivo que

pueden jugar, a partir de cierto momento, los con

flictos entre ideas contradictorias de los niños acerca

de la numeración escrita. Las autoras mencionan el

caso de Nadia, quien sabe que 3000 australes es más

que 2350 australes. Sin embargo, al escribir las can

tidades pone: 3000 y 200030050. Se desconcierta al

observar que el número que consideró más pequeño

se escribe con más cifras . Luego comenta que hizo

todo mal y demuestra saber cómo se escriben núme

ros de dos cifras y más. Para 2558, por ejemplo, es

cribe primero 2000 y, sobre los ceros, anota 558. Al

considerar estos resultados, entendemos que hemos

avanzado mucho desde que comprendimos que la

noción de número va más allá de su representación

simbólica, pero la reacción contra aquellas prácticas

centradas en la representación (planas de números ,

series del 1 al 1000, etc.) nos llevó al extremo de

proscribir del aula preescolar todo contacto con la

escritura de los números.

Estudios como el mencionado no sugieren volver

a tales prácticas ni esperar que los niños sean capaces

de representar simbólicamente números al terminar

preescolar. Sólo plantean que multipliquemos las oca

siones en que los niños expresen y discutan lo que

piensan acerca de la numeración oral y escrita. Por

ejemplo, que digan y escriban el número más gran

de que se saben, que digan fragmentos de la serie que

han aprendido, que discutan cómo creen que se escri

be un número o cuál de dos números es más grande,

que pongan precios a distintas mercancías o digan

cuál es más cara.

'Ve r, por eje mpl o, "El camini rn", en Fichero de acrividadts didácticas. Maumáticas . !'rima grado, SEP. 1994.

David Block

SITUACIONES DE TRANSFORMACIÓN

Los nú meros o, más precisamen te, las operaciones

con los números constituyen un medio para prever,

anticipar, el resultado de cierras transformaciones so

bre las cantidades. Veamos "La caja"5: se meren cinco

objetos en una caja, todos los niños los ven, los cuen

tan. En seguida alguien saca algu nos y los muestra a

los demás . Se trata de averiguar cuántos quedaron en

la caja. Todos dicen su "apuesta" y se saca lo q ue hay

dentro para verificar.

UN COMENTARIO SOBRE EL CONTEO

El conreo es una herramienta útil para establecer di

versas re laciones entre cantidades, compararlas, igua

larlas, ordenarlas, comunicarlas, sumarlas.

No obstante, es conceptualmente complejo. Contar

implica, además de recitar la serie, establecer una re

lación uno a uno entre los términos de la serie y los

elementos de la colecció n que se cuenta y, lo m ás

difícil, identificar el último término pronunciado

como rep resentante de la cantid ad.

Seguramente rodos los maestros de preescolar han

visto más de una vez niños que, al "contar", pasan

más de un objeto por cada término que recitan, o di

cen va rios términos mientras pasan un solo objeto o,

incluso, cuentan correctamente una cantidad y, cuan

do se les pregunta por ésta, d icen otra. Es claro en ron

ces que saber recitar la serie no significa saber contar.

Sin embargo, para que los niños empiecen a utilizar

es te extraordinario recurso es necesario que, mientras

alcanzan cierta madurez, conozcan un pequeño tramo

de la serie y tengan oportunidades de usarlo.

Comparar, igualar, comunicar en preescolar: análisis de situaciones didácticas

Para memorizar pequeños tramos de la serie hay

numerosos recursos tradicionales adecuados (cancio

nes , por ejemplo) . Con el fin de funcionalizar dicha

serie como herramienta para trabajar con cantidades,

se necesita de experiencia y riempo6.

APERTURA DE LAS SITUACIONES

Y EXPECTATIVAS DEL MAESTRO

Las situaciones revisadas se caracterizan por propiciar

el uso de los números como herramienta de resolu

ción, pero también por admitir la puesta en juego de

este recurso en distin ros niveles de conceptualización

y formalización: la percepción gruesa de la cantidad a

nivel visual, la correspondencia uno a uno, el conteo,

el uso de representaciones gráficas de la cantidad.

Esta variedad de formas de abordar una situación es

lo que le da su carácter "abierto".

Así , se ofrece a los niños la posibilidad de acercar

se a las situaciones desde sus conocimientos previos,

informales , propiciando la evolución de éstos a partir

de la experiencia personal, al enfrentar los proble

mas , y de los aportes del grupo y del maestro. Estos

conocimientos informales, poco sistemáticos, lentos ,

incluso a veces erróneos, expresan la creatividad

matemática de niños y son la base que les permitirá

acceder a conocimientos más formales, con signifi

cado para ellos . Conforme los niños van dominando

un recurso sistemático de solución , la situación tien

de a cerrarse, es decir, deja de admitir acercamientos

diversos. Una misma situación puede ser cerrada para

unos y abierta para otros.

El grado de apertura de una situación depende

también de lo que el maestro espera, o exige, que los

' Ver Fichrro de actividadrs didácticas. Mattmdticas. l'rimrr grado, SEP. México, 1994 .

'' El conocimiento de los conceptos lógi cos que subyacen en la construcción de la noción de número (conservación , se riación, inclusión de clases) con

tribuvó a pone r de manifiesto el carác ter mecánico , poco significativo que tenían para los niños much as de las tareas que se planteaban en torno de esta

noción. Se consideró entonces que había que esperar al desarrollo de dichas capacidades para propo ner tareas que implicaban destrezas de cuantificación .

Si n em bargo, se ha mostrado que ciertas destrezas de cuantificación, en panicular el conteo, pueden contribuir al desarrollo de la noción de número

(Hieberc, 1989).

David Block

Comparar, igualar, comunicar en preescolar : anális is de situac iones didácticas

alumnos hagan. Si al plantear la situación el maestro

dice cómo debe resolverse, la cierra de inmediato,

evitando el proceso de creación personal de los ni

ños. De igual manera, si sólo valora una forma de

resolución, tenderá a cerrarla muy pronto.

Un típico problema de suma, como "La ardillita

tenía diez nueces. Llegó una niña y le regaló tres nue

ces más. ¿Cuántas nueces tiene ahora?", puede ser

adecuado para niños de preescolar si se considera

valioso que utilicen sus deditos para llevar la cuen

ta , y si se acepta que pueden no llegar al resultado.

Puede no ser adecuada si se espera que resuelvan

la cuenta por escrito con la técnica usual. Decidir

qué situación es conveniente o no para preescolar de

pende de lo que se espera de los niños. Puede ser con

veniente en la medida en que no esperemos la apli

cación de procedimientos formales , ni la obtención

de una respuesta específica, sino la pues ca en marcha de

un razonamiento frente a un problema.

PARA TERMINAR: ¿SITUACIONES

ESPONTÁNEAS O PLANEADAS?

Diseñar una buena situación didáctica no siempre es

sencillo. La situación debe implicar el conocimien

to que se desea apropiar, debe ser accesible pero a

la vez presentar un reto, debe permitir a los niños

validar por sí mismos el resultado de sus intentos

de resolución; algunas veces debe ser parte de una

secuencia de situaciones que se van complejizando

poco a poco. Por canto, es difícil obtener escas si

tuaciones de manera no planeada, exclusivamente a

partir de los sucesos espontáneos que se dan en el

desarrollo de "proyectos integradores'', pues se corre

el riesgo de obten er efectos no deseados: situaciones

pobres, mal aprovechadas, o la aparición de proble

máticas demasiado complejas para poder ser tratadas

o la creación de situaciones para enseñar matemáticas

Dav id Block 8

por separado, pero con un enfoque pobre, basado en

la repetición y en la memorización.

Las opciones "situaciones integradoras" y "situa

ciones específicas para matemáticas" son necesarias.

El maestro podría disponer de situaciones didácticas

de buena calidad para enseñar matemáticas y procu

rar, en la medida de lo posible, recrearlas a parcir de

los proyectos integradores. "Una situación didáctica

debe ser, anees que buena, posible", escribió una vez

un investigador en didáctica (Chevallard, 1999). Lo

mismo puede decirse, y con mayor razón, de una pro

puesta didáctica.

BIBLIOGRAFÍA

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ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL APRENDIZAJE DEL NÚMERO EN PREESCOLAR* Ligia Ramírez y David Block

INTRODUCCIÓN

La situación conocida en México como "Platos y Cucharas" 1 corresponde a lo

que se ha llamado en la Teoría de las Situaciones Didácticas (El Bouazzoui,

1982; Brousseau, 1986), "La Situación Fundamental del Número". Constitu

ye una situación de igualación y comunicación de cantidades que puede ser

abordada por alumnos que están en proceso de construir la noción de número

natural y que, mediante la manipulación de determinadas variables, permite

generar una secuencia didáctica amplia.

Dicha secuencia fue adaptada y aplicada a un grupo de alumnos de tercer

grado de preescolar en México, en un estudio exploratorio (Ramírez, 2003 ).

En este texto presentamos un avance de los resultados obtenidos. Previamen

te, hacemos una breve retrospectiva de la forma en que, los distintos aspectos

que componen la noción de número, han sido considerados en las sucesivas

propuestas para la enseñanza de esta noción a lo largo de lo años.

BREVE RETROSPECTIVA DE LA ENSEÑANZA

DEL NÚMERO NATURAL

Vamos a planteamos dos preguntas: ¿qué es el número? y ¿cómo se aprenden

los números? Y vamos a ver cómo fueron cambiando las respuestas a estas pre

guntas a lo largo de los años.

Las situaciones didácticas que se diseñan para enseñar una noción , depen

den de la manera en que se concibe esa noción, y de la manera en que se piensa

que se aprende (Block y Álvarez, 1999).

'Co nfere ncia p rese n tada en el 2º Foro Nac io nal de Educació n Preescolar. "Los co nt enid os en p reescolar y sus implicaciones en la prác t ica, un nuevo reto",

Aguascalien res, octubre del 2001 .

'Ve r SEP, 1994 , Fichrro de actividadn didácticas, Matemáticas. Primer grado, Méxi co, Comisión Nac io nal de los Libros de Texto G raruirns.

ligia Ramirez y David Block

Aná li sis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar

Primera definición: por la representación

La primera imagen que suele venir a la cabeza frente a

la pregunta ¿qué es un número? es, precisamente, un

número, por ejemplo, 2.

Oiríamos:

2

DOS

"esto es un número"

Saltan a la vista grandes limitaciones de esta de

finición :

• Es circular: el número es esto ("2 "), y ¿qué es

eso ?, es un número.

Lo que estamos señalando es nada más una

palabra o un garabato, y un número es más

que una palabra o un garabato.

Estamos sei'talando aquello que se usa para repre

sentar un número, para "vestirlo", para hacerlo visi

ble y audible; el continente, pero no el contenido; el

significante, pero no el significado; la representación

pero no lo representado.

Bajo esta definición pobre, la enseñanza sería tam

bién pobre: enseñar cada pareja "palabra-garabato" :

2 DOS

El aprendizaje consistiría en: memorizar la rela

ción "palabra garabato", y rambién en perfeccionar el

trazo del garabato mediante ejercicios (como el bo

leado) indicados por el maestro.

Ligia Ramírez y David Block

Segunda definición : por algunas propiedades

{sintácticas)

Podemos ampliar nuestra primera definición inclu

yendo las relaciones típicas que se establecen entre.

los números. Por ejemp lo, en primer lugar, refirién

donos al hecho de que se pueden seriar:

Los números son cosas que se recitan en determi

nado orden: "], 2, 3, 4, 5".

Podemos también considerar las operaciones que

se hacen con los números e incluir en la definición

frases como:

2 es el número que es igual a

1+1, o a 5 - 3, etcétera

Esto está un poco mejor, porque no nos limita

mos a dar la palabra y el garabato, ya estamos pro

porcionando las reglas que permiten relacionar esos

garabatos .

¿Qué le falta a es ta definición? , ¿por qué nos pare

ce incompleta? Porque los garabatos no representan

nada y las reglas para manipularlos tampoco. Es de

cir, los significados siguen ausentes .

Por ello, nunca se han enseñado así los números.

En todas las propuestas de enseñanza, por pobres que

sean, se ha considerado el significado. Veamos esto

más de cerca.

Tercera definición : incluyendo el s ignificado

¿Cuál es el significado de los números? y ¿cómo se

enseña?

Los significados de los conocimientos se encuen

tran, en gran medida, en los usos que hacemos de

ellos. Uno de los principales usos de los números es

expresar una cantidad de cosas. Los números sirven

para decir cuánto hay.

Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar

A partir de esta idea simple podemos tratar de en

riquecer la definición de los números y la forma de

enseñarlos.

¿Qué es el número dos?:

Es la cantidad de cosas que hay aquí:

I ~ o Se dice "dos" y se representa así: "2".

Pero aquí enfrentamos una dificultad: un alumno

podría confundir el dos con los ojos. Podemos enton-

mero de cosas. La dificultad radica en que el número

de cosas no se ve, como se ven los zapatos.

Pese a esta dificultad, tenemos aquí una definición

de número y una propuesta de enseñanza más viables

que las dos primeras:

• Cada número tiene un nombre y tiene un ga

rabato que hay que aprender.

• Los nombres se recitan en cierto orden que

también hay que aprender.

• Pero también tienen un significado: expresan

la cantidad de cosas que hay en diferentes co

lecciones de objetos (dos ojos, dos orejas, dos

manos, dos lápices).

ces poner también dos orejas , dos zaparas, dos casas, Para enseñar cada número, por ejemplo el 3 , po-

dos personas ... y decir, cada vez, "aquí hay dos" ... demos mostrar su nombre, mostrar su símbolo y

mostrar su significado, éste último mediante varias

.:--,_.\ ,7 r-··-- ->r/"'\'7 1 1

:

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¡ 2 1 [ ______ .

2 2 .. ,

~.,. ::"~

colecciones con tres cosas.

Intercalamos ejercicios:

Dada una colección, el alumno debe poner el número;

dado un número, el alumno debe dibujar la

colección;

dado el nombre de un número, debe poner el

numeral;

dado un numeral, debe repetirlo para mejorar

el trazo.

Esta fue más o menos la propuesta más antigua

que conocemos para la enseñanza del número a niños

pequeños. Es la que proponían los libros hasta 1970.

"Mi c uade rno d e trabajo de primer año''. - Debido a que es más fácil mostrar la palabra, el

(pág . 77). S EP. 1960 garabato, la serie, las reglas, etc., que mostrar el signi-

ficado , en las propuestas antiguas se le dio más impor

.. . con la esperanza de que después de un rato, el tancia a lo primero; es decir, se enfatizó el aprendizaje

alumno entienda que nos referimos a algo que no son de los nombres y los garabatos, de la serie y de las

los ojos, no son las orejas, ni los zapatos, sino el nú- operaciones con números.

Ligia Ramirez y David Block


La cuarta y la quinta definiciones:

Finalmente, con esos conceptos, se da la siguiente

En los años 70 ocurrieron grandes cambios en las definición que podemos considerar aquí como nues

propuestas para enseñar el número. Hubo dos pro- tra cuarta definición de número natural: un número

ragonistas: los matemáticos y los psicólogos. Ambos es un conjunto de conjuntos equipolentes.

aporraron formas nuevas de comprender el concepto

de número y el proceso de aprendizaje.

Los aportes de los matemáticos:

En la teoría matemática de los conjuntos, para defi

nir la noción de número natural, primero se define

la noción de correspondencia biunívoca (uno a uno)

entre dos conjuntos:

Es una relación en la que a cada objeto del primer

conjunto le corresponde un solo objeto en el segundo Esta definición es muy abstracta, pero aporta algo

y viceversa. importante: nos deja saber algo de la noción de nú

Después, se les llama conjuntos equipotentes a

dos conjuntos entre los cuales se puede establecer

una relación de este tipo:


mero más allá de las formas de representarlo, e inde

pendiente de las reglas de escritura y de orden de los

números.

Gracias a esta definición, por primera vez sabemos

que los alumnos pueden aprender algo de la noción

de número antes de aprender a recitarlos en orden y

antes de saber escribirlos. Pueden:

Comparar colecciones de objetos mediante

correspondencias uno a uno, es decir, deter

minar cuando hay más , cuando hay menos, y

cuando hay igual, antes de saber contar, for

mando parejas de objetos.

Construir un nuevo conjunto con tantos obje-

tos como los que otro t ie ne.

La correspondencia uno a uno constituye una

herramienta para comparar cantidades y para crear

cantidades iguales, que puede usarse antes de saber

recitar números y de saber escribirlos.

A partir de este aporre fundamental, en la ense

ñanza elemental se empezó a favorecer el trabajo con

los conjuntos. Por ejemplo, para comparar las can-


tidades de niños y niñas del salón, se pide que cada qué consecuencias tienen para la enseñanza. Cabe

niño tome de la mano a una niña... preguntarse, por ejemplo, que si la noción de número

no puede enseñarse directamente, ¿qué puede hacer

Los aportes de la psicología genética

Sin duda, el aporre más importante de la psicología

genética fue la explicación sobre cómo construyen los

sujetos sus conocimientos racionales.

Contra la idea de que todos los conocimientos

pueden transmitirse por mostración, es decir, pro

porcionando la información a los sujetos, las investi

gaciones en psicología genética demuestran que:

Hay cierro tipo de conocimientos que los su

jetos construyen por sí mismos.

Esta construcción se realiza a través de las in

teracciones complejas del sujeto con su medio,

al enfrentar situaciones que resultan proble

máticas para él.

Con respecto a la noción de número, en particular,

se sostiene que no es de naturaleza empírica, es decir,

no puede percibirse por lo sentidos, no es visible, no

pesa, no huele, etc. Es una estructura mental que el

niño construye a través de la abstracción reflexiva

de sus propias acciones mentales. Los conocimien

tos numéricos son ejemplos típicos de conocimientos

lógico-matemáticos que no pueden enseñarse en el

sentido de "mostrarse", sino que el niño lo constru

ye como parre de su desarrollo intelectual (Barocio,

1996). Estos elementos acusan una quinta definición

del número natural.

Empieza a ser claro que saber recitar y represen

tar los números no es más que una pequeñísima par

te del conocimiento de número. El conocimiento

de los números requiere del desarrollo de una estruc

tura mental, que incluye operaciones lógicas como la

seriación, la clasificación y la conservación.

Sin embargo, no es fácil comprender bien lo que

significan estas afirmaciones, y menos aún saber

la escuela?

Frente a esta pregunta, en los años 70, incluso 80,

se dieron respuestas muy diversas; después se demos

tró que muchas de ellas eran equivocadas. Veamos

rápidamente algunas:

• Considerando que la noción de número se

construye a partir de la síntesis de las operacio

nes lógicas de clasificación y seriación, y dado

que estas se desarrollan de manera espontánea

(sin enseñanza), en la escuela hay que esperar

a que esta síntesis ocurra para enseñar los nú

meros.

O bien:

• En la escuela solamente deben proponerse

actividades pre numéricas, de seriación y cla

sificación, para acelerar el desarrollo de estas

operaciones.

Aquí hubo un cambio en los propósitos mismos

de la enseñanza: ya no el aprendizaje de conocimien

tos matemáticos, sino el desarrollo de las estructuras

lógicas del pensamiento.

En resumen, en los años 70 y 80 las propuestas

orientadas por criterios de la psicología descalificaron

roda posibilidad de ayuda de la escuela para el apren

dizaje de la noción de número, o bien pretendieron

que la ayuda fuera en el desarrollo de las operaciones

lógicas, y no directamente en el desarrollo de destre

zas numéricas.

En ambos casos, la reacción a la vieja enseñanza

que enfatizaba demasiado lo mostrable fue el grito:

¡Fuera lápices del preescolar!

Se perdió de vista un factor fundamental plantea

do por la misma psicología piagetiana: las posibilida-


Anál isis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar

des de aprendizajes que ofrecen las .interacciones con

un medio favorecedor.

Años más tarde ...

• La idea de "medio favorecedor" se volverá cen

tral (sobre todo gracias a la didáctica).

En la psicología misma hubo cienos cambios

de postura: estudios más recientes demostra

ron que, contrariamente a lo que se pensó en un

principio, los niños pueden desarrollar desde

muy pequeños cierras habilidades numéricas,

el conteo por ejemplo, y el desarrollo de estas

habilidades puede incluso favorecer el desarro

llo de las operaciones lógicas (Hieberr, 1989).

Por lo tanto , se empezó a cuestionar la idea radical

de los 70 y 80 de que es necesario esperar a que cul

mine el desarrollo de ciertas operaciones lógicas para

poder propiciar aprendizajes numéricos.

Veamos en qué punto nos encontramos ahora.

Hacia la sexta definición: aportes de la didáctica

de las matemáticas

Hemos visto que los matemáticos y los psicólogos hi

cieron grandes aportaciones a nuestra comprensión de

la noción de número y de los procesos de aprendizaje.

Sin embargo:

Saber matemáticas no necesariamente implica

saber cómo enseñarlas a los pequeños.

• Y saber cómo se desarrollan las estructuras cog

nitivas generales del pensamiento, tampoco

implica saber cómo enseñar contenidos especí

ficos en la escuela.

• El desarrollo de la didáctica de las matemáti

cas, cuyo inicio data más o menos de los años

70, intenta suplir esta carencia.

En didáctica de las matemáticas hay varias corrien

tes. Hablaremos aquí de los aportes de una corriente

constructivista. En ésta se asume la consideración

piagetana de que:

el sujeto construye sus conocimientos me

diante interacciones con un medio favore

cedor, un medio que le presenta problemas,

dificultades.

Esta consideración implica, en la enseñanza de las

matemáticas, cuestionar la idea de que deben ense

ñarse primero los conocimientos para que después los

alumnos los apliquen en problemas. Ahora se trata

ría más bien de lo contrario: plantear primero deter

minados problemas, para que, al intentar resolverlos ,

los alumnos construyan poco a poco cienos conoci

mientos.

Surgen entonces preguntas como: ¿puede un alum

no resolver un problema cuando no se le ha enseñado

el conocimiento que lo resuelve?, ¿puede tratarse de

cualquier problema? Y si no, ¿qué características debe

tener el problema?, ¿qué es un medio favorecedor?

Éstas son algunas de las préguntas a las que in

tenta responder la didáctica de las matemáticas con

orientación constructivista. En lo que sigue veremos

algunas respuestas a estas preguntas para el caso espe

cífico de la noción de número.

Pero antes, esbozaremos lo que será nuestra sex

ta definición de número natural. Desde el punto

• Es decir, ni los matemáticos ni los psicólogos de vista de la didáctica, el número natural se define

so n especialistas en enseñanza escolar. por el conjunto de situaciones en las que funciona, por

Algunas de las dificultades y de los errores al ejemplo, situaciones en las que se comparan dos co

aplicar sus aporres en el salón de clases, se de- lecciones, en las que se construye una colección con la

ben a eso. misma cantidad de elementos que otra, en las que se

Lig ia Ramírez y David Block


necesita comunicar a alguien una cantidad para que

forme una colección, o en las que se necesita guardar

en memoria una cantidad de elementos para contro

lar si ésta no se altera; situaciones en las que las can

tidades se transforman y se quiere prever la cantidad

que habrá al final, situaciones en las que se desea orde

nar una colección, entre muchas otras. Esta es nues

tra sexta definición de número natural. Cabe precisar

que existen distintos tipos de situaciones, cada una

de las cuales hace funcionar al número de distintas

maneras y, en consecuencia, favorecen el aprendizaje

de distintos aspectos de la noción de número. Los

niños no aprenden "el concepto de número", sino as

pectos específicos de dicho concepto.

SECUENCIA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS:

"PLATOS Y CUCHARAS"

El juego 'platos y cucharas'

En las situaciones de la secuencia didáctica 'platos

y cucharas' el número es utilizado como una herra

mienta de comunicación para la construcción de una

colección con la misma cantidad de elementos que

una colección dada (colecciones equipotentes).

La primera versión del juego consiste en lo si

guiente: el grupo se organiza en equipos pequeños

de entre 2 y 4 alumnos. A cada equipo se entrega

determinada cantidad de platos. Un representante de

cada equipo debe traer, en un solo viaje, de un de

pósito (que se encontrará alejado de los equipos), la

cantidad de cucharas necesarias, para que a cada pla

to le corresponda una y solamente una cuchara, sin

que falten ni sobren cucharas a su equipo. Después

de traer las cucharas, el grupo verifica si ganaron o

perdieron los diferentes equipos, es decir, si alean-

zaron las cucharas para los platos, sin que faltaran ni

sobraran.

Así, la situación exige que los participantes pon

gan en juego, de alguna manera, ciertos aspectos de la

noción de número como herramienta para ganar.

La secuencia presenta diferentes variantes, que

también llamamos juego?. Cada juego presenta una

mayor dificultad con relación al anterior, con el fin

de que los niños utilicen procedimientos cada vez

mejores para controlar una cantidad de objetos y su

comunicación a otros niños. La secuencia los lleva,

paulatinamente a la utilización del número (oral y

escrito) como medio privilegiado para esta comuni

cación.

Al final de cada jugada, se lleva a cabo un momen

to de verificación, en el que los alumnos corroboran

si tuvieron éxito o no en el juego. Durante la verifi

cación o después de ella, la educadora destaca algu

nos de los procedimientos que se quieren enfatizar y

algunos errores interesantes.

Para que la actividad no fuera monótona en al

gunos juegos se cambiaron los elementos: de platos

y cucharas por transportes con cierta cantidad de

asientos y pasajeros, perros y huesos y, por último,

helados y cucharas.

Después de los primeros juegos se incluyeron al

gunas actividades adicionales para que los niños,

individualmente, reafirmaran los procedimientos uti

lizados. A estas actividades las llamamos juegos de

afirmación.

Condiciones de la implementación

de la secuencia

La secuencia de situaciones didácticas fue puesta en

práctica por una educadora con su grupo de tercer

' D istinguiremos el término juego, que se refiere a la variante de la situación d idáctica, del término j ugada, referido aquí a la pues ta en prácti ca de un

juego.

15 Ligia Ramirez y David Block

Anális is de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar

grado de preescolar (alumnos de entre 5 años y 5

años 11 meses). Se aplicó a lo largo de once sesiones

de máximo una hora, durante cinco semanas. Cada

versión del juego se aplicó en promedio cuatro veces

a lo largo de dos sesiones.

La secuencia se dio a conocer a la educadora a

través de un conjunto de fichas de trabajo (una por

cada juego) con las cuales se intentó proporcionar

las herramientas necesarias para llevar a cabo el jue

go, conservando su enfoque didáctico. Los aspectos

que contienen las fichas son: en qué consiste el juego,

los materiales necesarios, la organización espacial y

grupal sugerida, las reglas del juego (incluyendo las

consignas), un apartado en el que se especifican los

procedimientos que se pueden esperar de los alum

nos, así como algunas sugerencias de lo que con

vendría destacar. Se consideró también un apartado

con algunas adaptaciones del juego en caso de haber

alumnos con necesidades educativas especiales.

Cada una de las fichas se entregó a la educadora

con anticipación y se revisó con ella en una sesión pre

via al juego. En esta sesión se leía la ficha en cuestión y

la educadora planteaba sus dudas o comentarios acer

ca del contenido. Además, se utilizaron las mismas se

siones para hacer comentarios sobre el desarrollo y las

respuestas de los niños y niñas al juego anterior.

Variables didácticas

Las principales variables didácticas que se controla

ron fueron:

La cantidad de platos: fue variando del rango

entre 4 y 7 platos a, rango entre 7 y 10 y, en

los últimos juegos, hasta 15 platos.

La forma de comunicación: autocomunica

ción, comunicación oral, comunicación grá

fica y comunicación gráfica con apoyo en una

tira numerada.


• La forma de organización del grupo se fue

modificando, por un lado, para que la maestra

pudiera tener el control de la situación, en tér

minos de poder identificar los procedimientos

utilizados por los alumnos y hacer las eleccio

nes pertinentes para resaltar los que fueran

necesarios. Por otra parte, se buscó que los

alumnos tuvieran un rol activo, no solamente

mientras fuera su turno de jugar, sino también

interviniendo en el juego de sus compañeros

de equipo y en el momento en que se verifi~aban los resultados (actividad grupal).

El juego se planeó inicialmente para ser juga

do por el grupo entero (30 alumnos), en equi

pos de entre 3 y 4 niños y niñas. Sin embargo,

después de la primera puesta en escena, vimos

que era muy difícil lograr una participación

de los alumnos al mismo tiempo que un con

trol suficiente de su trabajo por parte de la

educadora. Decidimos entonces realizar los

juegos siguientes con la mitad del grupo (un

día con una mitad, otro día con la otra mitad;

solamente se hizo el seguimiento de una de las

mitades).

La organización espacial fue modificándose a

lo largo de la experiencia, en los últimos jue

gos se optó por sentar a los niños de dos en dos

en cada mesa y una mesa frente a otra (equipo

emisor y equipo receptor del mensaje).

E: emiso res ; R: receptores


El desarrollo de la secuencia

En lo que sigue describiremos algunos de los proce-

O: Tenía siete platos ... los conté ( ... )después

agarré las cucharas, como tenía los platos.

dimientos utilizados por los niños en los diferentes El segundo ejemplo muestra una descomposición

momentos de la secuencia. aditiva:

En la primera versión, como ya se explicó (ver pá- (El equipo 5 manipula los platos mientras la

gina 15), los niños deben hacer un ejercicio de auto- maestra verifica con otro equipo).

comunicación, es decir, el niño que va por las cucha-

ras debe recordar por sí mismo, de alguna manera,

la cantidad de cucharas que deberá traer para que su

equipo gane. Para tener éxito los niños pueden utili

zar algún procedimiento que les permita controlar la

colección de platos que la maestra les asigna.

Hemos identificado varios procedimientos a los

que los niños recurren con frecuencia. Algunos de

éstos son:

El conreo. Contar los platos y después contar

la misma cantidad de cucharas.

• El conreo con descomposición aditiva. Contar

los platos en dos o más subcolecciones (por

ejemplo, en vez de contar 7 platos, se cuentan

4 y 3).

En cambio el siguiente procedimiento que se es

peraba, no se observó: hacer una correspondencia 1 a

1 con una colección intermedia. En este caso pueden

utilizarse los dedos para recordar la colección de los

platos y construir la colección de cucharas en base a

ésta).

Esto nos deja ver que los niños pequeños ya han

construido conocimientos que les permiten resolver

problemas de este tipo.

Veamos algunos ejemplos de los procedimientos

usados por los niños en esta primera versión del jue

go. Primero mostramos un procedimiento de conreo

verbalizado por una niña3.

S: Son cuatro ... son cuatro y cuatro.

E: ¡No! uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete,

ocho.

S: (Toma dos platos) son dos (toma otros dos)

E: Otros dos, son cuatro.

S: (Pone otros dos).

E: Otros dos son cinco, seis y otros dos son ocho ...

siete.

S: (Vuelve a tomar los platos) Uno, dos, tres, cua-

tro, cuatro.

El primer alumno (S), utiliza descomposiciones

aditivas como procedimiento para representarse la

cantidad. El segundo niño (E), en un primer mo

mento, niega que el procedimiento de su compañero

sea el correcto y expresa la cantidad de platos por

medio del conreo en voz alta. Cuando el primer niño

(S) reitera su necesidad de hacer una descomposición

aditiva, esta vez de dos en dos, el segundo (E) intenta

seguir esa lógica, pero va nombrando los números de

la serie que están incluidos en la descomposición.

Veamos, ahora, una segunda versión del juego.

Los niños de un equipo deberán pedir oralmente

a los niños de otro equipo, que está alejado, las cucha

ras necesarias para que cada plato tenga la suya, sin

que les falten ni les sobren cucharas. Este juego im

plica un ejercicio de comunicación oral, que también

puede ser resuelto con diversos procedimientos.

' Los nombres de los niños se indican co n la inicial (D, S, E .. ) . Cuando no se tiene el nombre se escribe Na o No. Cuando participan varios a la vez Ns .

Las interaccio nes de las maesuas se indican con M.


Anál isis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar

Los equipos que tienen los platos en principio

pueden:

Contar y decir el número.

Contar subcolecciones y dictar los números.

Reconocer visualmente la cantidad, en caso de

ser cantidades muy pequeñas (1, 2 ó 3 platos y

en algunos casos hasta 4).

• Recitar la serie numérica hasta el número to

tal de la colección de platos, y dictar uno por

uno.

Y en los equipos de las cucharas:

Construir la colección con el número dado,

contando.

Construir la colección uno a uno, mientras

el otro equipo les dicta la serie (o dicta uno,

otro, otro, otro ... ).

Este juego, entonces, llevaría a buscar el proce

dimiento más efectivo: el número oral. Notemos

que hay aquí cuatro subsiruaciones implicadas: el

emisor debe cuantificar y comunicar la cantidad.

El receptor debe formar la colección a partir del nú

mero dado. Luego, ambos deben comparar la canti

dad de cucharas con la de los platos, poniendo cada

cuchara sobre un plato.

En los ejemplos que se muestran a continuación,

además de encontrar algunos de estos procedimien

tos también podremos observar algunas estrategias

y errores en el conteo. En general, niños y adultos

buscamos algunas estrategias para poder controlar

que se estén considerando todos los elementos de

la colección sin que falten algunos por contar ni se

cuente más de una vez alguno, sobre todo cuando la

colección es grande. Estas estrategias, así como los

errores que con más frecuencia cometen los niños al

contar han sido estudiados por distintos investigado

res y sistematizados por Fuson ( 1988) .

Ligia Ramirez y Dav id Block

En el primer ejemplo podemos ver una estrategia

de conteo utilizada por una niña.

I: (1 O platos) (Le toca pedir las cucharas. Su

compañera de equipo comienza a contar

los platos al mismo tiempo que ella. Le

pide que la deje contar sola. Cuenta los

platos de manera ordenada, tratando de

localizar líneas verticales de platos , como

se muestra enseguida.) ¡Diez.'

1

2

3 4

5 6

7

8

9

10

J: (Toma 1 O cucharas, de una en una las vaco

locando en su mano. Después las pone

sobre los platos).

En el siguiente ejemplo vamos a observar un error

en el conteo por falta de una estrategia eficiente del

emisor (L) . No obstante, el receptor (S) logra ver los

platos desde su lugar con lo cual logran ganar.

L: (Tiene 7 platos. Los ve y los señala con un

dedo que pone cerca de su cara. Al parecer

los está contando, pero no se escucha lo

que dice. No pide las cucharas. Tarda un

rato sin responder)

M: ¿Sabes lo que tienes que hacer Luis?

L: (as iente)

C: Contarlas.

S: (Espera el pedido y, mientras , cuenta los pla

tos desde su lugar).

L: (Vuelve a ver los platos y al parecer los

cuenta con la vista, sin tocarlos). Son once.

Necesito cucharas.

Na: Once

S: (Toma siete cucharas, una por una y las lleva

a los platos).

Ns: ¡Ganaron.'


Pasemos a la tercera versión . En este juego se

cambiaron los objetos de platos y cucharas por trans

portes y pasajeros. Los transportes se representaron

en una hoja (coche, camioneta o autobús) con cua

dros (asientos) y los pasajeros se representaron con

tíchas.

~ ~ ra o

o

D D D D D D D D

DDDD

Coche Camionera Autobús

La variante que caracteriza a este juego es la si

guiente: la educadora pide a los equipos que tienen

los transportes que soliciten por carta, a los equipos

que tienen a los pasajeros, los q ue necesitan para que

en cada asiento haya un pasajero, sin que falten ni

sobren pasajeros.

Ahora el ejercicio implicado es de comunicación

escrita. Los procedimientos posibles son, para los

equipos de los transportes:

• Contar y escribir el número [ l ].

Construir una colección gráfica intermedia

(tantas bolitas o palitos como pasajeros se so

licitan) [2].

Escribir la serie de los números desde el l has

ta el número que se solicita, porque aún no

asocian el último núm ero a la cantidad que

corresponde [3] .

• Escribir varias veces el número q ue se solicita

[4].

Dibujar una colección intermedia para decir

la cantidad [5] .

2 3 4 5 6 7 1 ~

D 9

[3]

111111111 f. 111111111 ¡ s s 5 5 5

[I] [2] [4] (S]

Y para el equipo de los pasajeros:

• Interp retar el número, construyendo la colec

ción que se solicita.

Contar los dibujos y construir la colección.

Construir uno a uno la colección (por cada

objeto dibujado), mientras un integrante del

equipo va dictand o.

Los cambios en los mensajes de una sesión a o tra

fueron notorios. En la primera sesión solamente 4

niños utilizaron números en sus cartas y ninguno de

ellos utilizó un solo número, sino la serie del 1 hasta

el número que querían comunicar.

., r- e w e r r- í ...... .

\ >o e l 8 'o r- H ""' -( 341S o-~

En el primer ejemplo vemos algu nas inversiones

en la escritura de los números y en el segundo una

omisión (el 4) que fue identificada y corregida por el

emisor del mensaje.

Las producciones de los niños que no escribieron

números fueron de varios tipos:

Reproducen el modelo del transporte (tal y

como está dibujado en la hoja que se les dio),

lo que hace suponer que el niño o niña pres

cindió del conteo de los asientos e hizo una

correspondencia término a término, mientras

dibuja.

!) ¡ _,

[.I

e


Anális is de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar

Dibujan los asientos u otros objetos alineados

en la parte superior de la hoja para represen

tar los pasajeros que se solicitan. Para esto úl

timo, es más probable que se haya recurrido

al conteo.

\_j \ / l:

Al final de la primera sesión la educadora pregun

tó a los niños y niñas si creían que podrían escribir su

mensaje más rápido. Una de las niñas dijo que podría

hacerse escribiendo un solo número. La educadora le

d io una hoja de transporte y le pidió que enseñara a

los demás la manera de hacerlo.

Al parecer, esta intervención de la educadora in

fluyó en el tipo de producciones que se realizaron en

juegos posteriores. En la segunda sesión, por ejem

plo, solamente 4 niños utilizaron dibujos o marcas y

6 niños utilizaron un solo número, los demás conti

nuaron usando la serie de números.

En los siguientes ejemplos observaremos algunas

de estas características y veremos además un caso sin

gular: la reproducción de los asientos junto con el

número que representa la cantidad (ejemplo 3 ). Al

parecer, para el autor de este mensaje, el escribir un

so lo número no fue suficiente para asegurar un punto

más para su equipo. Sin embargo el niño omitió un

asiento al dibujarlos. Esta producción causó confu

sión en el receptor del mensaje, quien consideró cada

elemento trazado en el mensaje (tanto los asientos

co mo el numeral ) como elementos que representan a

los pasajeros solicitados. Así, el asiento omitido fue


suplido por el número, lo que permitió al equipo

ganar esa jugada.

1) para 5 pasajeros

o OCJ

ºº 3) para 6 pasajeros

4) para 10 pasajeros

5) para 8 pasajeros

2) para 4 pasajeros

La cuarta versión y última que se experimentó

es una variante ligera del úlrimo juego de comunica

ción escrita. La diferencia aquí fue que la maestra les

entregó una tira numerada del 1 al 12 a cada par de

niños y les pidió que procuraran usar un solo núme

ro en sus mensajes.

En la primera sesión de este juego solamente eres

niños usaron dibujos o marcas arbitrarias , un niño

dibujó la colección y escribió el número y 10 niños

usaron un solo número.

El niño que en el juego anterior dibujó la co

lección y el número, en este juego lo vuelve a hacer,

pero con un cambio (1). Esta vez no reproduce la

configuración de los asientos, ahora los dibujó ali

neados y al final escribió el número. Nuevamente su-


cedió que el niño que interpretó el mensaje contó el sucedió en un ejemplo de la última sesión que se pre

numeral como un elemento más de la colección, por senta más adelante.

lo que perdieron. El ejemplo 6 solicita la cantidad de pasajeros me-

1) para 7 pasajeros

lO'P)O\O\O 2) para 5 pasajeros

.to 5 4. para 1 O pasajeros 3) para 12 pasajeros

5) para 5 pasajeros

6) para 1 O pasajeros

Otro ejemplo interesante, más en su interpreta

ción que en la producción, es el 2, donde el niño

dibuja 5 series de un "palito" con una "bolita" para

solicitar 5 pasajeros. El receptor del mensaje empezó

contando cada elemento como unidad, pero al ver

que el segundo par está unido en un punto, regresó

y empezó a cuantificar cada pareja de "bolita-palito"

como una unidad.

En el ejemplo 3, el niño que escribió el mensaje

invirtió y deformó los números, lo que provocó que

el receptor no supiera cómo interpretar. Lo mismo

diante el número, pero incluye cuatro soles que, al

parecer, fueron elementos decorativos. La niña ase

gura, cuando se le pregunta, que ella escribió "1 O"

y trata de justificarlo contando los soles varias veces

hasta llegar a 1 O. Como se le sigue preguntando opta

por escribir los números para completar la cantidad

de elementos (soles más numerales) a 1 O.

En la última sesión solamente un niño dibujó "pa

litos", tres escribieron la serie de números y los demás

pusieron un solo número, aunque no todos eran in

terpretables como números, lo vemos en el ejemplo

5 del siguiente grupo de producciones, donde la niña

escribió dos letras (er) para representar un 6, que fue

interpretado como 9, y en el ejemplo 4 en el que una

' E' es interpretada como un 3.

Presentamos también los ejemplos 1 y 2, porque

éstos fueron producidos atinadamente por dos niños

que desde el inicio de la experiencia mostraron gran

dificultad en la utilización de los números. Aunque

en otras de sus producciones el niño del ejemplo 2

utilizó números escritos o colecciones intermedias,

ésta fue la primera ocasión que su producción corres

pondió a la cantidad de objetos solicitados. Lo mis

mo sucedió con el alumno del ejemplo 1, quien, por

sugerencia de su pareja de equipo, esta vez no utilizó

pares de 'palito-bolita' sino solamente 'paliros'.

El ejemplo 3 muestra la serie del 1 al 1 O con

la omisión del 7, y después el número diez debajo

de la serie. Este fue interpretado por el número 10

solamente, lo que no ocurrió en otro ejemplo donde

el niño sólo escribió la serie también omitiendo un

número y al ser contados los números, se le entrega

ron menos pasajeros.

Por último, en el ejemplo 6, vemos la producción

de un niño al que la maestra le dio una cantidad (18)

por arriba del rango con el que estaban jugando todos.


Aná li sis de situaciones didácti cas para el aprend izaje del número en preescolar

1231 1) para 4 pasajeros 2) para 4 pasajeros

3) para 1 O pasajeros

er 4) para 3 pasajeros 5) para 6 pasajeros 6) para 18 pasajeros

Así, puede verse que las variables "cantidad de

los platos asignados" y "tipo de co municación que se

exige" complejizan la resolución de los juegos , propi

ciando el desarrollo de diferentes con'ocimientos por

parte de los niños. Cabe destacar que la resolución

de estas si tuaciones no requiere que los alumnos ya

sepan de antemano utilizar los números convencio

nales, como se vio, los alumnos pueden desarrollarlos

durante los juegos, en el intercambio que van hacien-

do co n sus pares.

Deben permitir una resolución inicial con

los conocimientos que los alumnos ya tienen ,

pero deben llevarlos a buscar respuestas más

eficaces y más económicas.

• Deben permitir a los alumnos avanzar en su

co nocimiento, y acercarlos a un conoci miento

matemático.

• Por sí mismas deben proporcionar a los alum

nos elementos para verificar y validar el resul

tado de sus acciones (por ejemplo, en el juego

de platos y cucharas, los niños pueden darse

cuenta si ganaron o perdieron , al poner las cu

cha ras sobre los plaros).

El papel de la educadora

La situación en sí misma propicia la búsqueda de

soluciones por los niños , pero no garantiza que ésta

funcione como una situación de aprendizaje. Por es to

creemos importante resaltar el papel que la educado

ra debe jugar en el planteamiento de una situación de

este tipo, para que permita a los alumnos y alumnas

avanzar en su conocimiento.

Los m aes tros tendemos a decir directamente a los

niños cómo se resuelven los problemas, con qué co

nocimiento. En esos casos, los n iños d eberán aplicar

lo que el maestro dice y, si bien es cierto que tal vez

aprendan un poco , no tendrán la oportunidad de en

contrar por sí mismos la solución, o la pertinencia de

determinado conocimiento, con lo cual aprenderían

mucho más . Por ejemplo, ¿qué pasaría si la m aestra,

Caracterís ticas de la situación didáctica en lugar de la consigna del juego (traer las cucha-

ras necesarias para que cada plato tenga la suya, sin

Destacaremos ahora algunas de las características de que fa lten ni sobren cucharas, y haciéndolo en un

este tipo de si ruaciones de aprendizaje: so lo viaje), dijera: "Cuenta los platos y trae las cucharas

• Se plantean a los alumnos en forma de 'pro

blema a resolver' individualmente o en grupos

pequeños (de entre 2 y 4 alumnos).

Li gia Ram irez y Dav id Block 221

que necesitas", o "¿cuántos platos tienen? Ahora traigan

las cucharas que necesitan", o bien , "les doy 9 platos,

¿cuántas cucharas tienen que traer?''


El rol que as ume la maestra es muy distinto en

un caso y en el otro. Mientras en estos últimos ejem

plos la educadora, da en la consigna la solución al

problema; en el ejemplo que presentamos antes, la

educadora:

Devuelve el problema a los niños, es decir, les

plantea el 'problema a resolver', pero no les di

ce cómo hay que resolverlo, de manera que

ellos deban hacerlo.

Durante el juego, su papel es animar y facilitar

ayuda tratando de no eliminar el problema, por

ejemplo: si el niño hace una colección inter

media con sus dedos y no puede tomar las cu

charas, la maestra puede pedir a otro niño que

saque las cucharas que el niño le va pidiendo.

Procura que los niños se den cuenta por sí

mismos de que sus estrategias son insuficien

tes (si lo son), en el momento de verificación.

Al finalizar el juego propicia un momento

de puesta en común en el que resalta algunas

estrategias utilizadas por los alumnos, tanto

exitosas como no exitosas, con el fin de que

los alumnos reflexionen en las estrategias más

efectivas y más económicas, y por otro lado,

desechen las estrategias poco efectivas o muy

complicadas .

• Poco a poco, aumenta las exigencias de la si

tuación. Por ejemplo, en algún momento se

puede poner como condición "ahora sólo se

vale usar números", al tiempo que les facilita

la tira numerada.

D ificultade s e ncontradas

Algunas de las dificultades encontradas en el proce

so de la puesta en práctica de la secuencia didáctica,

fueron:

De la educadora:

• Encontró dificultad para recordar la consigna

en las primeras sesiones.

• Sus participaciones, sobre todo en las primeras

sesiones, orientaban el tipo de respuesta de los

niños , al validar prematuramente las respues

tas de algunos alumnos más adelantados que

contaban y usaban el número desde el prin

cipio. Esto llevó a los niños a seleccionar res

puestas que la maestra pudiera aprobar.

El momento de la verificación, en muchos de

los juegos, tomó mucho tiempo, pues la edu

cadora trataba de indagar cada procedimiento

utilizado. Los niños no siempre sabían expli

car lo que habían hecho y esto hizo la activi

dad más larga y más pesada.

• Esta misma situación provocó poca participa

ción de los alumnos en las verificaciones de los

juegos de los otros equipos.

En la organización:

• Los niños preescolares, cuando tienen mate

rial en sus manos, tienden a jugar con él. En

el caso de los platos y cucharas, el material los

llevó a iniciar juegos paralelos distrayendo la

atención del momento de verificación de los

otros equipos. En el caso de la tira numera

da, aunque también distrajo la atención de la

actividad grupal, el juego libre que los niños

hicieron con ésta, favoreció el uso de los nú

meros y su aprendizaje.

La cantidad de niños jugando dificultó el se

guimiento de los procedimientos y procesos

de los alumnos, por parte de la educadora y

observadoras. Esta misma situación, además,

hizo muy extensos y cansados los tiempos de

las sesiones y los tiempos de espera del turno

de los alumnos que jugaban. Por esta razón


Anál isi s de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar

la organizac1on tanto de espacio como de los

turnos se fue modificando a lo largo de la ex

periencia.

• El uso de un mismo material para jugar a lo

largo de las sesiones resultó monótono pa

ra los niños, por haber sido éstas muy seguidas

una de otra. Sin embargo, consideramos que

si esta secuencia se alterna con otras, puede

resultar menos cansada y dar más tiempo

a los niños para utilizar los conocimientos

que van aprendiendo en cada sesión. Además,

la utilización de dos o más secuencias alter

nadas permite ir abordando otros aspectos

del número, por ejemplo, el aspecto ordinal o

las transformaciones aditivas.

COMENTARIO FINAL

La experiencia que hemos descrito constituye un ejem

plo de que, efectivamente, es posible propiciar que los

alumnos de preescolar desarrollen importantes cono

cimienros sobre el número natural al interactuar con

determinado ripo de situaciones problemáticas; de

que es posible considerar sus conocimientos previos, al

permitir que éstos aporten las primeras soluciones

a un problema, y al mismo tiempo apuntalarlos para

propiciar su desarrollo; también muestra que es posi

ble considerar ciertos errores como parte inherente de

un proceso de aprendizaje, e incluso, a veces, hacerlos

visibles para quienes los cometen de manera que ren

gan mayores posibilidades de superarlos.

Al mismo tiempo, la experiencia permite ver al

gunas de las condiciones que se requieren para llevar

a cabo esra empresa -que los pequeños de preesco

lar participen en procesos de construcción de cono

cimientos maremáricos- las cuales no son triviales :

disponer de situaciones adecuadas, trabajar con un

ligia Ramirez y David Block

número no muy grande de alumnos, contar con for

mas ágiles de organización del grupo, circunscribir

las actividades y los momentos de espera en el tiempo

en que los pequeños mantienen el interés, preparar

previamente y de manera minuciosa cada situación,

conducir con destreza las puestas en común, entre

otras.

Esperamos que los resultados de la experiencia

descrita contribuyan a convencer de que el esfuerzo

que implica crear estas condiciones vale la pena.

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