Compensadores de Adelanto y de Atraso de Fasedea.unsj.edu.ar/control2/Clase05b-Diseno.pdf · 1) Se...

Compensadores de Adelanto

y de Atraso de Fase

Compensadores de adelanto y de atraso de fase

La función de transferencia de los compensadores deadelanto o de atraso de fase tienen un polo y un cero enel semiplano izquierdo.

1( )( ) ( 1)

( )( ) ( 1) 1

( )

0 1

1

1 1, ,

c cc c c

c

cc c

c

sK s z Ts TG s K Ks p Ts

sT

compensador deadelantode fase

compensador deatrasode fase

zz p

T T p

La función de transferencia de los compensadores deadelanto o de atraso de fase tienen un polo y un cero enel semiplano izquierdo.

Compensadores de adelanto y de atraso de fase

1( )

( )1

( )c c

sTG s K

sT

Compensadores de Adelanto de Fase

Se utiliza compensación en adelanto de fasecuando la estabilidad o la respuesta transitoria esmala. El lugar de las raíces está muy volcado a laderecha. Hay que agregar ceros para traerlo hacia laizquierda.

Ejemplo

Ejemplo:

El cero está a laderecha del polo

1( )( ) ( 1)

( )( ) ( 1) 1

( )

0 1, /

c cc c c

c

c c c c

sK s z Ts TG s K Ks p Ts

sT

z p z p

Compensador de adelanto de fase

1 sin

1 sinm

m


1 1sin1m


Relación entre las especificaciones temporales

Tp, Ts, %Os y Tr con z y wn

1) A partir de las especificaciones de comportamiento, determine lalocalización deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.

Diseño de un compensador de adelanto de fase

Ejemplo: Se especifica el tiempo de establecimiento Ts y elporcentaje de sobreelongación %OS. Con las fórmulas quevimos anteriormente se obtiene z y wn

24 4 14n

n ss

s

a

TT

T a

2

2 2

( / 1 ) 1 %% 100 ln

11 100

a

a

OSOS e

a

Diseño de un compensador de adelanto de fase

2) Se comprueba en el lugar de las raíces del sistema originalsin compensar si el ajuste de la ganancia puede o no por sísolo proporcionar los polos en lazo cerrado adecuados.

Si no, se calcula la deficiencia de ángulo fc

Este ángulo fc debe ser la contribución del compensador de

adelanto al nuevo lugar de las raíces que va a pasar por laslocalizaciones deseadas para los polos dominantes en lazocerrado.


Geometría de la compensación en adelanto

3) El compensador de adelanto Gc(s) es:

1

( ) , 0 1,1

cc c c c

c

szT

G s K z pp

sT

Donde los parámetros del compensador a y T se determinana partir de la deficiencia de ángulo fc.

4) Determine el valor de la ganancia Kc del compensador deadelanto a partir de la condición de magnitud.


Método 1: Hay muchas formas de determinar la localización del cero ydel polo del compensador de adelanto. La figura muestra la forma deobtener el mayor valor posible para a.

Métodos para ubicar el cero y el polo

Método 2: Para una planta tipo 1 como la del ejemplo, se escoge el cero delcompensador de adelanto de forma que cancele el polo real de la planta máscercano al eje jω ubicado en s=-1/T (nunca un polo en el origen), entonces elpolo del compensador se debe colocar en pc=-1/aT. Para un sistema de tipo 0,

se debe cancelar el polo real con la segunda constante de tiempo (el segundomás cercano al eje jω).

Métodos para ubicar el cero y el polo

Ejemplo de compensación de adelanto de fase

Diseñar un compensador de adelanto de fase para que elsistema cumpla con las siguientes especificaciones:

Porcentaje de sobreelongación %Os = 16%Tiempo de establecimiento Ts=1.5seg

2

1 %, ln

1010.

0504

a OScon a

a

4 45.3 /

0.504

4

1.5ssn

n rT ad segT

El lugar no pasa porz= 0.504wn = 5.3 rad/seg

Lo mejor que se puedehacer sin compensar esajustar K=43.35 (polosen verde ubicados en -1.2j06 y -7.6).

43.35( )

( 4)( 6)G s

s s s


z = 0.504, wn = 5.3 rad/seg


Colocamos el cero del compensador en el polo de la plantaque esta en -4. 1 1

4 0.254cz T

T

-qpc- 54.34-120 =-180 qpc = 5,664.6

tan(5, 66 ) 0.12.7

48.7

o

pc

pc

Buscamos con la condición de fase la posición del polo delcompensador

43.351 32

5.66 5.3 46.23c

c

KK

Finalmente se ajusta Kc (K=1) para cumplir con la condiciónde módulo.

El compensador es entonces:

La planta compensada es:

32( 4)( )

( 48.7)cs

G ss

1387( ) ( ) ( )

( 6)( 48.7)cL s G s G ss s s


43.35( )

( 4)( 6)G s

s s s

2

43.35( )

( 7.6)( 2.41 5.7)T s

s s s

Sistema original sin compensar

1387( )

( 6)( 48.7)L s

s s s

Sistema compensado L(s)=Gc(s)G(s)

Observar que el polo a lazo cerrado en -49.35 esta muy alejado a la izquierda de losotros dos que están en -2.6760 ± j4.5770 . Esto se debe al polo del compensador en-48.7. ¿Qué ocurre cuando lo despreciamos?

Si despreciamos el polo del compensador en -48.7 elcompensador es de la forma:

( ) ( 4)c cG s K s


Esto es uncontroladorPD

Se ajusta de nuevo Kc. Con la condición de módulo en s=-2.7+j4.6

La planta compensada ahora es:

43.3543.35( ) ( ) ( ) ( 4)

( 4)( 6) ( 6)

cc c

KL s G s G s K s

s s s s s

2.7 4.62.7 4.6

43.35 ( 6)1 0.7

( 6) 43.35

cc

s js j

K s sK

s s

El compensador PD es:

La planta compensada con el PD es:

( ) 0.7( 4)PDG s s


30( ) ( ) ( )

( 6)PD PDL s G s G ss s

2

( ) ( ) 30( )

1 ( ) ( ) 6 30PD

PDc

G s G sT s

G s G s s s

La función de transferencia a lazo cerrado es:

Compensador de Adelanto Compensador PD

2 2

32( 4)( ) ( ) 0.7( 4)

( 48.7)

1387 30( ) ( )

( 6)( 48.7) ( 6)

1387 30( ) ( )

( 49.35)( 5.35 28.11) 6 30

L PD

L PD

L PD

sG s G s s

s

L s L ss s s s s

T s T ss s s s s


Ahora verificamos el comportamiento del sistema con elcompensador en adelanto y con el compensadorsimplificado (PD).

Se cumplen lasespecificaciones:Ts=1.5seg%OS=16%

Compensador Derivativo Ideal

en Cascada (PD)

( )c P DG s K K s

Compensador Derivativo Ideal en Cascada (PD)

El compensador derivativo ideal (PD) mejora la respuesta

transitoria del sistema pero tiene dos desventajas:

1) Se debe utilizar circuitos activos para implementar la

derivación (amplificadores operacionales).

2) La diferenciación es un proceso ruidoso ya que es

básicamente un filtro pasaaltos. Normalmente el ruido es de

bajo nivel comparado con la señal, pero de ancho de banda

mucho mayor. Diferenciación de altas frecuencias puede

llevar a señales espurias de gran amplitud que saturan los

amplificadores y otros componentes.

El compensador de adelanto de fase que vimos anteriormente

es una red pasiva utilizada para superar las desventajas de la

diferenciación ideal pero manteniendo la capacidad de

mejorar la respuesta transitoria.

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