Unidad 4 control2

03/06/2013

1

UNIDAD IV DISEÑO DE

CONTROLADORES

DIGITALES

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO

DISCRETO Existen dos formas generales de diseñar el

control de sistemas en tiempo discreto:

• Indirecto: consiste en diseñar el

controlador digital en el dominio de

tiempo continuo, utilizando las técnicas

analógicas y luego transformando el

resultado del dominio continuo al dominio

discreto.

• Directo: se diseña el controlador digital

en el dominio discreto directamente,

utilizando una función de transferencia z

del proceso a controlar. Se utilizan

técnicas de diseño en el dominio z.

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DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO

DISCRETO La estrategia de diseño es definir las

características de la respuesta del

sistema en el tiempo o en frecuencia;

como el sobre paso máximo, el tiempo de

asentamiento, el tiempo de levantamiento

márgenes de fase o magnitud, etc. Estas

características determinan la ubicación

de los polos de la función de

transferencia z de lazo cerrado. Entonces

se determina el periodo de muestreo T

teniendo en cuenta el teorema de Nyquist

y los criterios de elección, para que se

obtenga la función de transferencia

deseada.

ELECCIÓN DEL PERIODO DE MUESTREO

• El periodo de muestreo es un aspecto crítico en la discretización de compensadores continuos. Como norma general, cabe anotar que interesa es un periodo de muestreo lo mas pequeño posible, siempre que no condicione al sistema a dos aspectos importantes: su implementación y los errores de cuantificación. Los criterios se basan en los siguientes aspectos:

75 a 25

ientoestablecim de tiempo:

20 a 10

ntolevantamie subida, de tiempo:

banda de ancho

40 a 20 N

2 B

r

s

r

ss

r

r

r

rs

B

s

s

N

t

N

tT

N

t

N

tT

BWBWN

T

LAZO CERRADO

LAZO ABIERTO

ganancia de cruce de frecuencia :

80 a 04

2T

g

g

ggs

NN

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BIBLIOGRAFÍA

• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.

• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto

• BIBLIOGRAFÍA WEB

• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición

• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición.

• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición

• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición

• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.

CAPITULO 1

DISEÑO DIRECTO: BASADO

EN LA RESPUESTA EN EL

TIEMPO

0

* )()()(k

kTtkTxtx

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DISEÑO DIRECTO: BASADO EN EL LUGAR GEOMÉTRICO

DE LAS RAÍCES

Para el sistema mostrado la ecuación

característica es:

La cual es la misma que la encontrada

en el lugar geométrico de las

raíces en tiempo continuo (plano s)

0)()(1 zHzG

• CONDICIONES DE ÁNGULO Y MAGNITUD: en

muchos sistemas en tiempo discreto, la

ecuación característica puede tener

cualquiera de las dos siguientes formas

y

Para combinar esta dos formas en una,

definamos la ecuación característica

Donde:

o

0)()(1 zHzG 0)(1 zGH

0)(1 zF

)()()( zHzGzF )()( zGHzF


DE LAS RAÍCES

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5

Observe que F(z) es la función de

transferencia de lazo abierto. La

ecuación característica se puede escribir

de esta manera también:

Dado que F(z) es una cantidad compleja se

puede hallar la magnitud y el ángulo de

dicha cantidad, de esta manera:

Ángulo:

Magnitud

1)( zF

1)( zF

0,1,2,...N ),12(180 )( NzF


DE LAS RAÍCES

Los valores de “Z” que satisfacen tanto las

condiciones de ángulo como de magnitud se

encuentran en las raíces de la ecuación

característica, es decir en los polos de la lazo

cerrado.

Una gráfica de los puntos en el plano complejo que

satisface solamente la condición de ángulo es el

lugar geométrico de las raíces. Las raíces de la

ecuación característica que corresponden a un

valor dado de la ganancia pueden localizarse en el

lugar geométrico de las raíces mediante la

condición de magnitud.


DE LAS RAÍCES

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6

Diagrama del Lugar Geométrico de las Raíces de un Controlador Digital

Ahora se investigará los efectos de la

ganancia K y el periodo de muestreo T sobre

la estabilidad relativa de un sistema de

lazo cerrado.

Suponga el sistema de control siguiente

)(* sG D ZOH1

1

s+ _

Controlador

digital Gh(s) Gp(s)

r(t) c(t)

δ(t)

Donde el controlador digital es de tipo integral, es

decir

Se dibujará el lugar de las raíces para tres valores

del periodo de muestreo (T=0.5 seg, T=1 seg y T=2

seg), también se hallará el valor crítico de la

ganancia K para cada uno de los casos. Finalmente

localizaremos los polos en lazo cerrado

correspondiente a K=2 para cada uno de los tres

casos.

11)(

1

z

Kz

z

KzGD


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7

En primera medida obtenemos la transformada

Z de Gh(s)Gp(s).

De esta manera:


La función de transferencia pulso de la

trayectoria directa es

La ecuación característica

Es decir

0))(1(

)1(1

T

T

ezz

eKz

0)(1 zG


T

T

phDez

e

z

KzsGsGZzGzG

1

1)()()()(

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8

Para un periodo de muestreo T=0.5 seg

Observe ve que G(z) tiene polos z=1 y z=o,6065 y un cero en z=0

Primero grafiquemos los polos y los ceros en el plano “z” y luego hallamos los puntos de ruptura de entrada y de salida de acuerdo a:

)6065,0)(1(

3935,0)(

zz

KzzG

)(

)(

zB

zAK


Entonces:

Diferenciando la ecuación en función

de z obtenemos

De allí que:

Con esto se obtiene: z=0.7788 y z=-

0.7788

z

zzK

3935,0

)6065,0)(1(

6065,0

03935,0

6065,0

2

2

2

z

z

z

dz

dK


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9

Al reemplazar z=0.7788 en la ecuación

de K se obtiene un valor de K=0.1244,

en tanto que al reemplazar el valor

de z=-0.7788 obtenemos un valor de

K=8.041

Como K resultó positivo entonces, el

valor z=0.7788 es un punto de ruptura

de salida real y el valor z=-0.7788

es un punto de ruptura de entrada

real.


Para hallar el valor crítico de la

ganancia K se obtiene mediante la

condición de la magnitud de la función

de transferencia pulso de la

trayectoria directa, así:

Kezz

ezT

T 1

))(1(

)1(


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10

Para el caso de T=0.5 se obtiene

La ganancia crítica ocurre en z=-1, con

este valor se obtiene:

Con lo que K=8.165

Con un K=2 se obtienen dos polos

complejos conjugados en lazo cerrado

que son

)6065,0)(1(

3935,01

zz

z

K

)6065,01)(11(

)1(3935,01

K


6623.04098.0y 6623.04098.0 21 jzjz

Gráfica del lugar de las raíces con

un T=0.5 seg


Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

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11

• Para obtener la función de transferencia de lazo cerrado primero se halla la función de transferencia de la planta en Z, de esta manera

n=[1] ;

d=[1 1];

Gps=tf(n,d);

Gpz=c2d(Gps,0.5,'zoh') % FT de la Planta en Z

Gdz=tf([1 0],[1 -1],0.5) % FT del controlador %en Z

G=series(Gpz,Gdz) % función de trasferencia de %lazo abierto

M= feedback (G,1) %función de trasferencia de %lazo cerrado

1

1)(

ssGp

11

1)(

1

z

z

zzGD


• Después de obtener la función de transferencia de lazo abierto del sistema, se procede a graficar el LR en Matlab de la siguiente manera:

num=[0 0.3935 0];

den=[1 -1.6065 0.6065];

G=tf(num,den,0.5)

G2=tf(num,den,0.5,’variable’,’z^-1’) %potencia de z negativas

rlocus (G) % lugar de las raíces en z

rlocus (G2) % lugar de las raíces en z^-1

Sisotool (G) % diseño de compensadores y %controladores

)6065,0)(1(

3935,0)(

zz

KzzG


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• Respuesta en Matlab del L.R. Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

System: G

Gain: 2

Pole: 0.409 + 0.662i

Damping: 0.24

Overshoot (%): 46.1

Frequency (rad/sec): 2.09


EJERCICIO1: La ecuación obtenida para un

periodo de muestreo de 1 seg. es:

Con polos en z=1, 0.3679 y cero e z=0

El punto de ruptura de salida y el punto

de ruptura de entrada son z=0,6065 y

z=-0,6065 respectivamente con valores

correspondientes de ganancia K=0,2449

y K=4,083 respectivamente. El lugar de

las raíces se gráfica de esta manera.

)3679,0)(1(

6321,0)(

zz

KzzG


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El valor crítico de la ganancia

K es 4,328. Los polos de lazo

cerrado para K=2 son:

6043.005185.0y 6043.005185.0 21 jzjz



EJERCICIO2: La ecuación obtenida para un

periodo de muestreo de 2 seg. es:

Con polos en z=1, 0.1353 y cero e z=0

El punto de ruptura de salida y el punto

de ruptura de entrada son z=0,3678 y

z=-0,3678 respectivamente. Sus

valores correspondientes de ganancia

son K=0,4622 y K=2,164

respectivamente. El lugar de las

raíces se gráfica de esta manera.


)1353,0)(1(

8647,0)(

zz

KzzG

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14

El valor crítico de la ganancia

K es 2,626. Los polos de lazo

cerrado para K=2 son:


2169.02971.0y 2169.02971.0 21 jzjz


Conclusión: los efectos de un periodo de

muestreo grande pueden ser dañinos para la estabilidad relativa del sistema.

Una regla práctica es muestrear la

señal de ocho a diez veces durante un

ciclo de oscilaciones senoidales

amortiguadas de la salida de un sistema

subamortiguados. Para sistemas

sobreamortiguados prueba de ocho a diez

veces durante el tiempo de

levantamiento de la respuesta escalón.


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15

Conclusión: De manera

alternativa, al reducir el

periodo de muestreo permite

que el valor crítico de la

ganancia K respecto a la

estabilidad sea mayor. Esto

hace que el sistema se

comporte mas como un sistema

continuo.


El factor de amortiguamiento

relativo de un polo en lazo

cerrado se puede determinar de

forma analítica a partir de la

localización del polo en lazo

cerrado en el plano z.

Sabiendo que

Al igual que z=esT

entonces

21 nn js

21 nn jT

ez


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16

De lo cual obtenemos

y

A partir de estas ecuaciones se puede hallar los parámetros de respuesta de “z”.

Por ejemplo en el caso del periodo de muestreo igual 0,5seg. tenemos un polo en lazo cerrado para K=2 y z=0,4098+j0,6623. Por lo tanto

resolviendo

Tnez

radTTzdn

1 2

7788,06623,04098,0 22 z

7788,0 Tnez


Con lo cual

También se halla

Dividiendo ambos resultados

radTz n 0167,14098,0

6623,0tan1 12

25,0Tn

0167,1

25,0

1 2

n

n

T

T


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17

Es decir

Con lo que nos queda

Cabe anotar que esta valor se

puede también obtener de forma

gráfica

2459,01 2

2388,0


La respuesta al escalón de la función de

transferencia de lazo cerrado del diagrama

de bloques del ejemplo es

Usando un valor de Periodo igual a 0,5 seg y

una ganancia de K=2 se obtiene una

respuesta para una entrada escalón unitario

Kzzz

Kz

zG

zG

zR

zC

3935,0)6065,0)(1(

3935,0

)(1

)(

)(

)(

121

1

1

1

6065,08195,01

7870,0

)(23935,0)6065,0)(1(

23935,0)(

zzz

z

zRzzz

zzC


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Se obtiene un ángulo de

Para completar un ciclo se halla 360°/58,25°

=6,16 muestras por ciclo de oscilación

amortiguada Con la cual se obtiene la

secuencia c(kT)

25,580167,1

4098,0

6623,0tan 1 radz

T=0.5

G=zpk([0],[1,.6065],[.393

5*2],T)

M= feedback (G,1)

step(M,0:T:15)

figure

stem(0:T:15,

step(M,0:T:15))

grid 0 5 10 15

0

0.5

1

1.5

kT

c(k

T)


0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de


dstep([0 .787 0],[1 -.8195 .6065])

hold on

stem(step(M))

grid

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Para periodos de muestreo de 1 y 2 seg las

gráficas son:

T=1;

Gps=tf([1] , [1 1]);

Gpz=c2d(Gps,T,'zoh')

Gdz=tf([2 0],[1 -1],T)

G=series(Gpz,Gdz)

M= feedback (G,1)

step(M,0:T:15)

figure

stem(0:T:15,

step(M,0:T:15))

grid

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

kT

c(kT

)

360°/85.10°=4,23 muestras por ciclo

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

kT

c(kT

)

360°/143,87°=2,5 muestras por ciclo


En Simulink • Comparación Función de

Transferencia Continua y con

función de transferencia ya

discretizada.

Zero-Order

Hold

1

s+1

Transfer Fcn

y2

To Workspace2

y1

To Workspace1

Step

Scope

K

Gain1

K

Gain

First-Order

Hold

z

(z-1)

Discrete

Zero-Pole1

.3935z

(z-1)(z-0.6065)

Discrete

Zero-Pole

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20

De las gráficas se sabe que para un periodo de muestreo pequeño la secuencia c(kT) en función de kT dará una imagen precisa de c(t). Sin embargo si no se utiliza un periodo de muestreo considerablemente pequeño la función kT no presentará una solución precisa.

Es importante seleccionar un periodo de muestreo adecuado basado en el teorema del muestreo y la dinámica del sistema. Una regla práctica es de ocho a diez muestras por ciclo de oscilación amortiguado, si el sistema es subamortiguado y presenta oscilaciones en la respuesta.


Comportamiento Estático

Ahora analizando el efecto del

periodo de muestreo sobre la

exactitud en estado permanente.

Por ejemplo para T=0,5 seg la

ganancia K=2. La función de

transferencia de lazo abierto

es

)6065,0)(1(

787,0)(

zz

zzG

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21

Con lo cual la constante de error

estática de la velocidad Kv es

Y su error en estado estable en

repuesta a una entrada rampa

unitaria es

25,04

11

v

ssK

e

4

)6065,0)(1(5,0

787,0)1()()1(lim

1

1

v

zv

K

zzz

zz

T

zGzK


Secuencia de la respuesta del sistema

a una entrada rampa unitaria, para

T=0,5 seg



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22

Para un periodo de T=1 seg se obtiene de

la misma manera la constante de error

estable de la velocidad Kv y error en

estado estable en repuesta a una

entrada rampa unitaria

Y su error en estado estable en repuesta

a una entrada rampa unitaria es

2

)6065,0)(1(5,0

6321,0)1()()1(lim

1

1

v

zv

K

zzz

zz

T

zGzK

5,02

11

v

ssK

e


Y por último para un periodo de

T=2seg se obtiene de igual forma la

constante de error estable de la

velocidad Kv y error en estado

estable en repuesta a una entrada

rampa unitaria, respectivamente.

1

1

)6065,0)(1(5,0

8647,0)1()()1(lim

1

1

ss

v

zv

e

K

zzz

zz

T

zGzK


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23

Y para T=1 seg y T= 2 seg

respectivamente



Conclusión: en los tres casos se observa que

al aumentar el periodo de muestreo la

estabilidad relativa del sistema se ve

afectada de forma adversa.

Es importante recordar que el factor de

amortiguamiento relativo de ζ de los polos

en lazo cerrado del sistema de control

Digital indica la estabilidad relativa solo

si el periodo de muestreo es lo

suficientemente alto. Si no lo es, como son

los casos anteriores, entonces predecir la

estabilidad relativa resultaría erróneo a

partir del factor de amortiguamiento


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Relación entre las especificaciones y el

lugar de raíces • Como ya se ha explicado, la respuesta transitoria

depende de la posición de los polos y los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado y del periodo de muestreo T. En general, las características de desempeño estarán especificadas como la respuesta a una entrada escalón. Los parámetros utilizados son los mismos que se utilizaban para caracterizar la respuesta en régimen transitorio de un sistema continuo, y son:

• El tiempo de retardo td.

• El tiempo de subida tr.

• El tiempo de pico tp.

• El sobreimpulso máximo Mp.

• El tiempo de asentamiento o asentamiento ts.

• Recordando

rt

pt

ptpeeMp

21

st

22 cos2)(

ezez

KzG

Si se posee un sistema con

dos polos complejo

conjugados el sistema se

puede expresar como:

jeep

e

1

1p

Relación entre las especificaciones y el lugar de raíces

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25

Relación entre Polos y Respuesta

Transitoria Al igual que en el caso continuo, la

posición de los polos de un sistema

determinan las características de

su respuesta en transitoria.

Para hallar regiones en el plano z que garanticen valores de sobre-

impulso, tiempo de asentamiento o

frecuencia natural no amortiguada,

se analiza la forma en como se

transforman las regiones

correspondientes del plano s

• Especificaciones del tiempo de asentamiento ts: para

garantizar un tiempo de asentamiento menor a cierto

valor en un sistema continuo, los polos deben estar

en la región sombreada de la derecha de la figura 1.

En la figura 2 se muestra su contraparte en Z,

obtenida mediante la transformación

Figura 1 Figura 2

Tsez


Transitoria


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26

• Especificaciones del Sobreimpulso - SP:

para garantizar un sobre pico pequeño

(SP<5%) los polos del sistema continuo,

deben estar en la zona sombreada de la

figura 1. En la figura 2 se observa su

contraparte en Z.

Figura 1 Figura 2


Transitoria


• Especificaciones de la Frecuencia natural no

amortiguada - wo: cuando se quiere garantizar que

la frecuencia se menor a cierta cantidad, esto

implica que los polos en un sistema de tiempo

continuo están a una distancia del origen, con el

fin de garantizar un tiempo de subida dado como en

la figura 1, se observa además su contraparte en

Z.

Figura 1 Figura 2


Transitoria


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Limitaciones • Características Hardware: El control digital

incluye muchos componentes que no se encuentran en los sistemas de control continuos, como son los convertidores A/D y D/ A, los prefiltros, etc.

El prefiltro analógico se suele situar entre el sensor y el convertidor A/D. Su tarea es reducir el ruido de alta frecuencia en la señal continua para prevenir el aliasing. En efecto, en los sistemas continuos, el ruido de alta frecuencia, estando fuera del alcance del ancho de banda del sistema, no da respuestas apreciables. En cambio en los sistemas digitales dicho ruido, por efecto del aliasing puede convertirse en ruido de baja frecuencia y dar respuestas significativas.

Limitaciones

• El ordenador: Es el aparato que hace todos los cálculos y aplica la ley de control. Su coste depende de la frecuencia de trabajo y del tamaño de las palabras de bits usadas.

• Elección de la frecuencia de muestreo: Es el compromiso de dos factores principalmente: el costo y la eficacia de control. Bajar la frecuencia significa dejar más tiempo para los cálculos de control, poder usar ordenadores más lentos o poder aplicar leyes de control más complicadas: en pocas palabras, el costo por función baja. Por eso hay que elegir la frecuencia de muestreo menor posible.

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28

Aproximación Discreta de los Modos de

Control P, PI y PID

• Existen varios métodos de aproximación para lograr

la discretización de un PID continuo. El más

general consiste en aproximar la integral por el

integral del trapecio y la derivada por el método

de diferencia hacia atrás:

)()1(1

1

21)()()1(

1

1

21)(

obtiene se dosolucionan

112

1

)()(

1)(

1

1

1

1

1

1

0

zEzT

T

zT

T

T

TKzMzEz

T

T

z

z

T

TKzM

TieiTeT

TTieiTe

T

TkTeKkTm

dt

tdeTdtte

TteKtm

d

ii

d

i

dk

ii

d

t

i

Forma Posicional del PID

Integral

trapecio

Derivada hacia

atrás

Al ecuación anterior se puede

escribir también así:

• Si ahora definimos las constantes como

• Si seguimos solucionando la ecuación

T

KTK

T

KTK

T

TKK D

D

i

I

i

p

21

z

zK

z

zKKzK

z

KK

zE

zMDIpD

Ip

1

1)1(

1)(

)(

obtiene se doReemplazan

1

1

)1(

)2()(

)1(

)12()(

)(

)()(

2222

zz

KzKKKKKz

zz

zzKzKzzK

zE

zMzG

DDpDIpDIp

PID


Control P, PI y PID

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• Si ahora definimos las constantes como

que se conoce como forma de velocidad del PID, cuya ventaja principal es que elimina el problema del integral windup. El problema principal es que sólo el término de control integral incluye la entrada R(z), por lo que este último no se puede excluir del controlador digital si éste se utiliza en su forma de velocidad.

T

TKKqKKKq

T

T

T

TKKKKq

dDT

T

TT

Dp

d

i

DIp

d

i

2

2

21

0

y 1)2(

2

1

)1()( 21

2

0

zz

qzqzqzGPID

TkeqTkeqkTeqTkmkTm 211 210

Aproximación Discreta de los Modos de Control

P, PI y PID

Otro método usual es por

aproximación de Operadores

)()1(1

11)(

Zrmadaen transfo obtiene se dosolucionan

integral)(operador derivada)(operador si

)()(1

)()(

Laplace de ada transformaplicando

)()(

1)(

1

1

1s11

0

1

1

zEzT

T

zT

TKzM

s

ssETsEsT

sEKsM

dt

tdeTde

TteKtm

d

i

z

TTz

d

i

d

t

i


Control P, PI y PID

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30

• Continuando

Dicha expresión tiene la misma forma que la calcula anteriormente en la que varían q0, q1, q2. Estas diferencias son pequeñas si: T<< Td<<Ti en la primera representación.

1

2

2

1

10

1

21

1

1

1)(

)(

1

211

)(

)(

)1(1

11

)(

)(

z

zqzqq

zE

zM

z

zT

TKz

T

TK

T

T

T

TK

zE

zM

zT

T

zT

TK

zE

zM

ddd

i

d

i

Aproximación Discreta de los Modos de Control P,

PI y PID

AJUSTE DE CONTROLADORES P, PI Y PID: Método de

Ganancia Límite

• Se procede:

1.Eliminar las acciones integral y

derivativa del controlador

2.Colocar una ganancia pequeña, y

empezar a aumentarla hasta que

el sistema oscile, se anota como

(Ku).

3.Se mide el periodo de la

oscilación y se anota como (Tu).

03/06/2013

31

Método Ganancia Límite

Controlador K Ti Td

P 0.5KU - -

PI 0.45KU 0.83TU -

PID 0.6KU 0.5TU

0.125TU

C(t)

t

Tu

Una vez calculados K, Ti y Td se puede

obtener el algoritmo de control requerido

utilizando las ecuaciones de discretización

de Controladores PID.

Usando este método se obtiene un sistema de

lazo cerrado con coeficiente de

amortiguamiento bajo.

Método de la Curva de Reacción

• Este método fue propuesto por Ziegler y

Nichols, en donde se aproxima la función

de lazo abierto de la planta a una

función de primer orden de esta forma

𝑮𝒑 𝒔 =𝑲𝒄𝒆

−∝´𝒔

𝝉𝒔+𝟏 donde Kc es la ganancia, τ la

constante de tiempo y el α retardo.

• Los parámetros del controlador se estiman

a partir de una tabla, teniendo en cuenta

que:

∝=∝ ´ + 𝑻𝟐

Donde T es el periodo de muestreo

03/06/2013

32

Método de la Curva de Reacción

• El método de Ziegler y Nichols

es aplicable sí 0.1<α´/τ<1

Controlador K Ti Td

P 𝝉

𝑲𝒄𝜶 - -

PI 𝟎. 𝟗𝝉

𝑲𝒄𝜶 3.33α -

PID 𝟏. 𝟐𝝉

𝑲𝒄𝜶

2α

0.5α

Línea tangente

t

C(t)

K

α τ

Ajustes Mediante Criterios de error Mínimo

• Este método parte con la exigencia de que el error debe ser mínimo.

• A continuación se presentan algunos índices de desempeño basados en integrales del error y utilizados ampliamente en el diseño de sistemas de control, todos basados en la ecuación de primer orden de Ziegler y Nichols.

Control P ICE IAE IAET

𝐾 =𝑎

𝐾

𝛼

𝜏

𝑏

𝑎 = 1.411 𝑎 = 0.902 𝑎 = 0.94

𝑏 = −0.917 𝑏 = −0.985 𝑏 = −1.084

ICE: Integral de Cuadrado del error

IAE: Integral del Valor Absoluto del error

IAET: Integral del Valor Absoluto del error por tiempo

Ajustes del Controlador P

03/06/2013

33

Ajustes Mediante Criterios de error Mínimo

Control PI ICE IAE IAET

𝐾 =𝑎

𝐾

𝛼

𝜏

𝑏

𝑎 = 1.305 𝑎 = 0.984 𝑎 = 0.859

𝑏 = −0.959 𝑏 = −0.986 𝑏 = −0.977

𝑇𝑖 =𝜏

𝑎

𝛼

𝜏

𝑏

𝑎 = 0.492 𝑎 = 0.608 𝑎 = 0.674

𝑏 = 0.739 𝑏 = 0.707 𝑏 = 0.680

Control PID ICE IAE IAET

𝐾 =𝑎

𝐾

𝛼

𝜏

𝑏

𝑎 = 1.495 𝑎 = 1.435 𝑎 = 1.357

𝑏 = −0.945 𝑏 = −0.921 𝑏 = −0.947

𝑇𝑖 =𝜏

𝑎

𝛼

𝜏

𝑏

𝑎 = 1.101 𝑎 = 0.878 𝑎 = 0.842

𝑏 = 0.771 𝑏 = 0.749 𝑏 = 0.738

𝑇𝑑 = 𝑎𝛼𝛼

𝜏

𝑏

𝑎 = 0.560 𝑎 = 0.482 𝑎 = 0.381

𝑏 = 1.006 𝑏 = 1.137 𝑏 = 0.995

Ajustes del Controlador PI

Ajustes del Controlador PID

DISEÑO DE CONTROLADORES: Controladores P

Un regulador proporcional permite seleccionar la posición de los polos en bucle cerrado del sistema al desplazarse éstos por las ramas del lugar de raíces. Para su diseño, los pasos a seguir son:

• Fijar la posición de los polos dominantes del sistema final. A partir de las especificaciones dinámicas se pueden acotar las regiones del plano z en las que deben estar situados los polos dominantes para cumplir las especificaciones.

• Representar el lugar de raíces con el objetivo de comprobar si es posible situar las raíces en la región acotada de las especificaciones usando sólo una acción proporcional (regulador tipo P).

• En principio debe elegirse el valor de K que, cumpliendo las especificaciones, lleve al mínimo error en régimen permanente. Esto se consigue eligiendo el máximo valor de K que sitúa las raíces en el lugar de las especificaciones.

03/06/2013

34

Controladores PD

• La función de transferencia del controlador PD es:

donde

De esta expresión se puede deducir que el regulador PD introduce un polo en el origen y un cero en cd que está situado entre el origen y el punto (1, 0). Para obtener la posición del cero se utiliza generalmente el criterio del ángulo. Una vez fijada ésta, se puede determinar la ganancia mediante el criterio del módulo. Una vez calculada la ganancia hay que comprobar que los polos dominantes del sistema cumplen las especificaciones.

z

czKzG d

1

d

d

dTT

Tc

Controladores PD

• Matemáticamente también se puede obtener el PD a partir dela forma posicional del PID, excluyendo la parte integral

• Nota: El propósito de un compensador PD es mejorar la respuesta transitoria al mismo tiempo que mantiene la estabilidad deseada

z

zKK

z

KKKzzG

z

KzKzK

z

zKKzG

DP

D

KK

K

DPDDP

PD

DDPDPPD

)(

1)(


03/06/2013

35

Controladores PI • El efecto que produce el controlador PI es la

introducción en la función de transferencia en bucle abierto de un polo en z = 1 y un cero que en condiciones normales (Ti grande) estará próximo a ese polo, ya que en el caso de la aproximación trapezoidal su posición vendrá dada por:

y función de transferencia

Al introducir un polo en z = 1 aumenta el tipo del sistema en una unidad, con lo que se mejora el comportamiento en régimen permanente. Además, al encontrarse el par polo-cero muy cercanos entre sí hace que la forma del lugar de raíces del sistema original sin regulador no varía demasiado.

1

z

czKzG i

TT

TTc

i

i

i

2

2

Controladores PI

• De igual forma se puede obtener el controlador PI

a partir dela forma posicional del PID, excluyendo

la parte derivativa

• Nota: El propósito de un compensador PI es mejorar

la exactitud de estado permanente del sistema sin

degradar la estabilidad.

11)(

11)(


z

zKK

z

KKKzzG

z

zKKzK

z

zKKzG

IP

I

KK

K

IPIIP

PI

IPPIPPI

03/06/2013

36

Ejemplo: diseño de un regulador

discreto con LGR

Para un sistema cuya

calcular el regulador

Gc(z) más sencillo que cumpla las siguientes

especificaciones:

• Mp ≤ 20%

• ts ≥ 14 muestras

• ep ≤ 22%

9.07.0

1)(

zzzGp

• Solución: El primer paso es

establecer la región de validez de

las especificaciones. A partir de

las ecuaciones vistas con

anterioridad:

323,07435,0p

sistema del dominante polo elobtener puede se resultado esteCon

º48.2321.0

2.0

15

48,2321.0

1,2 jee

eM

t

j

p

s


discreto con LGR

03/06/2013

37

• Graficando el LGR de Gp(z)

encontramos: Root Locus

Real Axis

Imagin

ary A

xis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


discreto con LGR

Podemos

comprobar que

no nos vale con

un controlador

P.

El siguiente

paso es probar

con un

controlador PD.

• Para calcular la posición del cero se hace uso del criterio del

ángulo. De esta forma

y, por tanto, el cero estará en

38,23)(tan3

329.82)(tan2

85.115)(tan1801 que sabiendo

º6,4112180321

7435.032.01

7.07435.032.01

7435.09.032.01

a

a

a

bnbaaa

38.06.41tan

323.07435.0 c

c


discreto con LGR

03/06/2013

38

El nuevo valor de la ganancia se puede calcular

mediante el método del lugar de raíces,

mediante la herramienta sisotool, o mediante

el criterio de Magnitud. En la siguiente

figura se ve que el nuevo lugar de raíces sí

pasa por los puntos establecidos mediante las

especificaciones, y que la ganancia

proporcional asociada será .

197.01281.5

1

0.0035j + 5.1281-

1

1)9.0)(7.0(

)38.0(

323.07435.0

K

zzz

zK

jz


discreto con LGR

Gráfica usando sisotool y encontrando el valor de la

ganancia K


discreto con LGR

03/06/2013

39

• De esta forma, nos vale con el regulador PD cuya función de transferencia en el dominio digital vendrá dada por:

• La última condición a comprobar tiene que ver con el error en estado permanente. Para comprobar si se cumple utilizamos el teorema del valor final:

%22%71.19071.41

1071.4lim

1

p

zp ezGzRK

z

zzR

38.0197.0


discreto con LGR

• Vemos que, efectivamente, el sistema propuesto

cumple con todas las especificaciones impuestas.

Su respuesta a una entrada escalón se muestra en

la siguiente figura:


discreto con LGR

03/06/2013

40

En Simulink

• Modelo montado en Simulink

y2

To Workspace2

t

To Workspace

Step

Scope1

k

Gain1

(z-0.38)

z

Discrete

Zero-Pole2

1

(z-.7)(z-0.9)

Discrete

Zero-Pole1

Clock

BIBLIOGRAFÍA









03/06/2013

41

CAPÍTULO 2

DISEÑO DIRECTO: BASADO

EN LA RESPUESTA EN

FRECUENCIA

DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN

FRECUENCIA TRANSFORMACIÓN BILINEAL Y EL PLANO w

En vista que la transformada Z transforma las franjas primarias y complementarias en el semiplano izquierdo del plano s al circulo unitario del plano z, los métodos convencionales de la respuesta en frecuencia, que se ocupan de la totalidad del semiplano izquierdo del plano, no se aplican en el plano Z.

Para resolver este problema es conveniente transformar la función de transferencia pulso en el plano Z en la correspondiente en el plano w.

03/06/2013

42

Una transformada comúnmente llamada

transformada w es decir

una de las transformadas bilineales

tiene la forma.

Donde T es el periodo de muestreo

involucrado en el sistema de

control en tiempo discreto

Su relación inversa sería

wT

wT

z

21

21

1

12

z

z

Tw


FRECUENCIA

Mediante la transformada Z y la transformada w, la

franja primaria del semiplano izquierdo del plano s

es primero transformada al interior del círculo

unitario en el plano Z y luego transformada a la

totalidad del semiplano izquierdo w.


FRECUENCIA


03/06/2013

43

EJEMPLO: considere la función de transferencia del sistema de la figura.

El periodo T se considera igual a 0,1seg.

Obtenga G(w).


FRECUENCIA


SOLUCIÓN: la transformada z de G(s)

es

Mediante la transformación bilineal

de w, se obtiene

w

w

wT

wT

z05,01

05,01

21

21

3679.0

6321.0

10

10)1(

10

101)(

1

z

ssZz

ss

eZzG

Ts


FRECUENCIA

03/06/2013

44

Entonces G(z) es transformada como G(w)

como:

Observe que la localización del polo en la

planta es s=-10 y que el polo en el plano

w es en w=-9,241. el valor de la ganancia

en el plano s es 10 y en el plano w es

9,241.

Sin embargo G(w) tiene un cero w=20, a

pesar de que la planta no tiene ningún

cero.

241,9

46205,0241,9

241,9

05,01241,9

0684,06321,0

)05,01(6321,0

3679,005,01

05,01

6321,0)(

w

w

w

w

w

w

w

wwG


FRECUENCIA

Para este ejemplo en particular

se puede observar que

Este hecho se puede considerar

para verificar cálculos

numéricos de G(s) en G(w)

)(lim)(lim00

sGwGsw


FRECUENCIA

03/06/2013

45

Observe que el diseño de controladores digitales

basado método de diagrama de Bode utiliza dos

transformaciones bilineales diferentes. Una es la

transformación de G(z) a G(w) con la transformación

bilineal definida por

donde T es el periodo de muestreo

empleado en sistema de control discreto.

Una vez que se tenga la función de transferencia de

la planta G(w), se puede diseñar el controlador

digital Gc(w) en la plano w.

wT

wT

z

21

21

DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA-TRANSFORMADA w MATLAB


La otra transformada usada en el proceso de diseño es transformar Gc(w) en Gc(z). La transformación del plano w en el plano z se efectúa de la siguiente forma

MATLAB utilizando el comando bilinear transforma G(w) en G(z) tal que:

Pero no transforma G(z) en G(w)

1

12

1

12

z

zf

z

z

Tw s

)1(

12|)()(

z

zfw s

wGzG

03/06/2013

46

Para este caso hay que hacer una ligera modificación para lograr la transformación.

Continuando con el ejemplo anterior se tiene:

y la transformación de z y w esta dada por:

Donde T=0,1 seg.

Como la instrucción bilinear usa:

Haciendo el cambio de variable anterior para definir a x como-0,05w y tomando a fs =0,5.

3679,0

6321,0)(

zzG

w

w

wT

wT

z05,01

05,01

21

21

1

12

1

12

x

xf

z

zfw ss



Se obtiene

Es similar a la transformación de G(w) a G(z)

1. Ahora en Matlab sustituir el valor de z por –z en G(z).

num=[0 0.6321];

den=[-1 -0.3679];

)05,01(

)05,01(

)05,01(

)05,01(

105,0

105,0

w

wz

w

w

w

wz

3679,0

6321,0)(

zzG

03/06/2013

47


2. Seguido se utiliza el comando

bilinear

%[numx,denx]=bilinear(num,den,fs)

[numx,denx]=bilinear(num,den,0.5)

numx =

-0.4621 -0.4621

denx =

1.0000 -0.4621

4621,0

4621,0621,4)(

x

x

denx

numxxG


3. Sustituir x=-0,05w en el numerador y en el denominador.

%numerador de w =[-0.4621(-0,05w ) -0.4621]

numw =[-0.4621 -0.4621].*[-0,05 1]

%denominador de w =[1.0000 (-0,05w ) -0.4621]

denw =[1.0000 -0.4621].*[-0,05 1]

numw =

0.023104759119819 -0.462095182396374

denw =

-0.050000000000000 -0.462095182396374

03/06/2013

48


La expresión que se obtiene es:

Aunque esta expresión es correcta, es conveniente que le coeficiente del término de mayor grado w del denominador sea uno. Se debe multiplicar el numerador y denominador por -20 para obtener:

numw =[numw]*(-20);denw =[denw ]*(-20)

numw =

-0.4621 9.2419

denw =

1 9.2419

462095,005,0

462095,0023105,0)(

w

wwG

2419,9

2419,94621,0)(

w

wwG


Con lo cual resulta el siguiente script en Matlab

% TRANSFORMAR G(z) EN G(w)

num= [0 0.6321];

den=[-1 -0.3679];

[numx,denx]=bilinear(num,den,0.5);

numw =[-0.4621 -0.4621].*[-0.05 1]

denw =[1.0000 -0.4621].*[-0.05 1]

numw=[numw]*-20

denw=[denw]*-20

03/06/2013

49


• EJERCICIO: transformar en

G(w), la función de

transferencia, usando la

transformación bilineal con un

T=0.2 seg.

)1(

1)(

sssG


• SOLUCIÓN: se obtiene primero la

transformada en z para G(s), con un

T=0.2 seg, usando ZOH.

num=[1];

den=[1 1 0];

GZ=c2d(tf(num,den),0.2,'zoh')

8187,08187,1

01752,001873,0)(

2

zz

zzG

03/06/2013

50


Continuando y sustituyendo z por -z:

numz=[0 -0.01873 0.01752];

denz=[1 1.819 0.8187];

[numx,denx]=bilinear(numz,denz,0.5);

%multiplicar ahora por los factores de

[(0.1)^2 -0.1 1] de la sustitución de

x=0,1w y por 100 para que el coeficiente de la potencia mas elevado sea uno

numw=[numx].*[(-0.1)^2 -0.1 1]*100

denw=[denx].*[(-0.1)^2 -0.1 1]*100

Se obtiene:

w

w

wT

wT

z1,01

1,01

21

21

ww

wwwG

9966,0

9966,009633,0000333,0)(

2

2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

Magnitude (

dB

)

TF s

TF w


Diferencia del diagrama de bode en

el plano “s” y el plano “w” nums=[0 0 1];dens=[1 1 0];

numw=[-0.000333 -0.09633 0.9966];

denw=[1 0.9969 0];

w=logspace(-1,3,1000);

bode(numw,denw,w)

hold

bode(tf(nums,dens),'r',w)

03/06/2013

51


Las Curvas de Magnitud son aproximadas en

el rango de frecuencias 0<w<6rad/seg.

Las curvas de fase son las mismas para el

rango de frecuencias 0<w<0,2rad/seg.

Para el rango de frecuencias

0,2<w<104rad/seg, aparece una diferencia

significativa, debido a que uno es un

sistema de fase mínima y el otro es de

fase no mínima (TF w tiene un cero en 10, parte derecha del plano complejo w); la contribución del ángulo del cero en el

semiplano derecho w es negativa (retardo de fase).

DISEÑO BASADO EN LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

Es importante notar que puede existir alguna

diferencia en las magnitudes de alta

frecuencia para G(j) y G(jv).

Por ejemplo, si tenemos G(w) como el anterior

ejercicio

La magnitud de alta frecuencia de G(jv) y de

G(jω)se halla como:

010

110lim)(lim

4621,0241,9

05,01241.9lim)(lim

jjG

jv

jvjvG

vv

241,9

05,01241.9)(

w

wwG

03/06/2013

52


• Algunos comentarios sobre la relación con tests de

respuesta en frecuencia en los sistemas de tiempo

discreto: al efectuar los tets de respuesta en

frecuencia sobre sistema de tiempo discreto, es

importante que el sistema tenga un filtro pasa

bajas antes del muestreador de forma que se

filtren las bandas laterales. En estas condiciones

la respuesta del sistema lineal en invariante en

el tiempo a una entrada sinusoidal preserva la

frecuencia y modifica solo la amplitud y la fase

de la señal de entrada. Así la amplitud y la fase

son las dos únicas cantidades que se deben tratar.


DIAGRAMA DE BODE: Los métodos

convencionales de respuesta en frecuencia

se aplican a las funciones de

transferencia en el plano w. Recuerde que el diagrama de bode utiliza dos gráficas

por separado la magnitud logarítmica de

|G(jv)| en función del logaritmo de v y el ángulo de fase de G(jv) de la función del logaritmo de v.

Mediante el uso del diagrama de bode se puede diseñar un compensador digital o un controlador digital a través de los métodos convencionales.

03/06/2013

53


VENTAJAS DEL DISEÑO DEL DIAGRAMA DE BODE

1. En el diagrama de BODE la asíntota de baja frecuencia de la curva de magnitud indica una de las constantes de error estático Kp, Kv, Ka.

2. Se pueden traducir las especificaciones de la respuesta en frecuencia en términos del margen de fase, margen de ganancia, ancho de banda, etc.

3. El diseño de un compensador digital (o controlador digital), para satisfacer la condiciones dadas (margen de fase y margen de ganancia), puede llevarse a cabo de forma sencilla siguiendo los pasos que se haría de forma continua.


TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN:

Compensación de adelanto: este se usa para mejorar los márgenes de estabilidad (aumenta el ancho banda es decir, aumenta la velocidad de respuesta). Sin embargo un sistema con esta compensación tiene problemas de ruido de alta frecuencia.

Compensación en atraso: reduce la ganancia del sistema en frecuencias mas altas (ancho de banda reducido con lo que disminuye la velocidad de respuesta, pero mejora la precisión en estado permanente). Atenúa cualquier ruido de alta frecuencia.

03/06/2013

54


FRECUENCIA • Forma habitual del controlador

adelanto y atraso.

00 )( zz

zz

zzKwG p

p

c

Controlador en Adelanto Controlador en Atraso

p

p

c zzzz

zzKwG

0

0 )(



FRECUENCIA

Compensador atraso-adelanto: con un compensador de estos se puede incrementar la ganancia en baja frecuencia (mejora la precisión en estado permanente), al mismo tiempo aumenta el ancho de franja y los márgenes de estabilidad.

Observe que el controlador PID es un caso especial de un compensador atraso-adelanto.

El controlador PD se comporta de una manera similar al compensador de adelanto.

El controlador PI se comporta de una manera similar al compensador de atraso.

03/06/2013

55


• Y para el controlador atraso-adelanto

• Los esquemas anteriores cubren a los controladores PID, en concreto el control PD (Adelanto con zp = 0), el control PI (Atraso con zp = 1) y el control PID (Atraso-Adelanto con zp1 = 0 , zp2 = -1), para el caso de discretización Euler hacia atrás.

)(

Atraso

2

02

1

01

p

Adelanto

p

czz

zz

zz

zzKwG


ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA

1.ESPECIFICACIONES ESTÁTICAS: Son

las mismas que en el diseño

temporal (con lugar de las

raíces), es decir, errores ante

una perturbación específica.

Para calcularlas se necesita

saber el tipo del sistema y la

ganancia estática. Esta

información se encuentra en la

parte de baja frecuencia del

diagrama de bode.

03/06/2013

56


2. ESPECIFICACIONES DINÁMICAS:

• Ancho de banda en lazo cerrado. Es la frecuencia en la que la magnitud en bucle cerrado ha bajado 3 dB respecto del valor a bajas frecuencias (que es siempre cercano a 0 db). Está relacionada con la velocidad de respuesta: a mayor ancho de banda, mayor rapidez de respuesta. Esto significa que el sistema puede seguir con poco error una señal de referencia que varíe rápidamente. Se puede decir que si el ancho de banda del sistema en lazo cerrado es mayor que el máximo contenido en frecuencias de la señal de referencia, ésta puede ser seguida por el sistema con poco error.


• Frecuencia de cruce de ganancia. Es la frecuencia en la que en lazo abierto la magnitud es 1 (0 db). En esta frecuencia es donde se mide el margen de fase. No es una especificación de respuesta, pero se utiliza de forma explícita en el diseño, y está relacionada con el tiempo de establecimiento en lazo cerrado, por lo que puede ser muy útil para el diseño de controladores. El tiempo que toma al sistema de lazo cerrado en alcanzar el 63% de su valor final en respuesta a una entrada escalón es aproximadamente igual wc.

03/06/2013

57


• Margen de fase. Define la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado, aunque se mide en el diagrama de lazo abierto. Está relacionada también con la sobreoscilación, ya que a menor margen de fase, menor amortiguamiento, y mayor sobreoscilación.

• Pico de resonancia. Es el valor del máximo de la magnitud. Está relacionado con la sobreoscilación. Cuanta más sobreoscilación, mayor pico de resonancia y viceversa.

• Frecuencia de resonancia. Es la frecuencia a la que la magnitud es máxima. Da la misma información que el ancho de banda (rapidez de respuesta).

• Margen de ganancia. Define también la estabilidad relativa

RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO Y LA FRECUENCIA

|Y(jw)|

Y(0)=1


03/06/2013

58

Procedimiento de Diseño en Plano w

1. Obtenga G(z), la transformada Z de la planta

precedida por el retenedor. A continuación

transforme G(z) en una función de transferencia

de G(w) mediante la transformada bilineal.

)(* sG D ZOH 1

1

ss+ _

Controlado

r

digital

Gh(s) Gp(s)

r(t) c(t)

δ(t)

wT

wT

z

21

21

wT

wT

z

zGwG

21

21

|)()(


2. Sustituya w por jv y trace el diagrama de BODE para G(jv)

3. Lea del diagrama de Bode las constantes de error estático, margen de fase y margen de ganancia.

4. Suponiendo que la ganancia en baja frecuencia de la función de transferencia del controlador digital GD(w) es la unidad, determine la ganancia del sistema al satisfacer el requisito para la constante de error estático. A continuación utilizando técnicas de diseño convencionales para sistemas de control en tiempo continuo, determine los polos y ceros de la función de transferencia del controlador digital.

03/06/2013

59


5. Transforme la función de

transferencia del controlador GD(w)

en GD(z) mediante la transformación

bilineal por la ecuación

Y esta es la función de transferencia

pulso del controlador

1

12

z

z

Tw

1

12|)()(

z

z

Tw

DD wGzG


EJEMPLO: considere el sistema de control

de la figura. Diseñe un controlador

digital en el plano w de tal forma que

el margen de fase sea 50°, el margen de

ganancia sea de por lo menos 10dB, y la

constante de error de velocidad estática

Kv sea de 2seg-1. Suponga un periodo de

muestreo igual a =0,2seg.

)(* sG D ZOH+ _

Controlador

digital Gh(s) Gp(s)

r(t) c(t)

δ(t) 1

1

ss

03/06/2013

60


SOLUCIÓN: Primero obtenemos la función de

transferencia a pulso con la ganancia

del sistema K (producto de la ganancia

del controlador y de la planta)

8187,08187,1

)01752,00187,0(

8187,08187,11

)0175,00187,0(

)8187,01()1(

))2,01()12,0(()1(

)1()1(

)1(

1)(

221

21

121

112,02,02,01

2

12,0

zz

zK

zz

zzK

zz

zzeeeKz

ss

KZz

ss

K

s

eZzG

s


A continuación, transformamos la función de

transferencia pulso G(z) en una función de

transferencia G(w) mediante la

transformación bilineal

Entonces:

w

w

wT

wT

z1,01

1,01

21

21

)1(

101

3001

)(

9969,0

)9966,009633,0000333,0(

8187,01,01

1,018187,1

1,01

1,01

)01752,01,01

1,010187,0(

)(

2

2

2

ww

wwK

wG

ww

wwK

w

w

w

w

w

wK

wG

Sistema de fase no

Mínima debido al cero

en w= 10 presente en

el semiplano derecho

03/06/2013

61


Probemos con un compensador digital

(compensador de adelanto) GD(w) con

ganancia unitaria y el cual tiene

forma (la mas sencilla).

La función de transferencia de lazo

abierto del sistema compensado es:

10 1

1)(

w

wwGD

ww

wwK

w

wsGwG PD

9969,0

)9966,009633,0000333,0(

1

1)()(

2

2


La constante de error de velocidad

estática Kv es 2seg-1, entonces:

Definamos K igual a 2, trazamos el

diagrama de BODE de G(w), como:

2)()(lim)(lim00

KwGwwGssGK Dws

v

)1(

101

30012

)(

9969,0

)9966,009633,0000333,0(2)(

2

2

ww

ww

wG

ww

wwwG

03/06/2013

62

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

System: sys

Gain Margin (dB): 14.3

At frequency (rad/sec): 3.22

Closed Loop Stable? Yes

Magnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

System: sys

Phase Margin (deg): 31.6

Delay Margin (sec): 0.439



Phase (

deg)


En matlab se procede de igual manera como se

hace con la función de Transferencia de

lazo Abierto en Laplace

num=[-0.000666 -0.19266 1.9932];

den=[1 .9969 0];

w=logspace(-1,3,100);

Bode(num,den,w)


De la gráfica se obtiene los valores para la función de transferencia de G(jv):

Margen de Fase = 30°

Margen de ganancia= 14,5dB

El diseño exige un margen de ganancia de por lo menos 10dB y un margen de fase de 50°, de allí que el ángulo adicional de adelanto de fase necesario para satisfacer este requisito es 20°. Un compensador en adelanto debe cumplir con las especificaciones sin modificar el valor de K.

Al agregar el compensador modificará la curva de magnitud del diagrama de bode, de allí que la frecuencia de cruce se desplazará hacia la derecha.

03/06/2013

63


Si se considera un corrimiento de frecuencia de cruce

de ganancia, y suponemos un ángulo de corrimiento φM, el cual es el máximo ángulo de adelanto de fase.

En vista que:

(Se observa que se han agregado de mas para

compensar el corrimiento de la ganancia, en la

frecuencia de cruce). Entonces para un φm=28°

corresponde un factor de atenuación de α=0,361

Ya determinado esto, el siguiente paso es encontrar la

frecuencia de esquina del compensador.

1

1)sin( M

1y 1

vv

2883050cdm

MfMf

8


Este se determina mediante la utilización de la

media geométrica ya que allí se encuentra el

ángulo de adelanto de fase máximo vb en la frecuencia de cruce de ganancia, entonces:

A continuación

Buscamos la magnitud del sistema del punto de

la frecuencia de cruce de ganancia del

sistema no compensado , de allí

que:

1

1

1

1

1)(

1

bvb

b

b

jv

jv

w

wjvG

dBdBjvGb

425,46643,1log20361,0

1log20)(

10

)(log2010 b

jvG

03/06/2013

64


Para encontrar este punto -4,425

sustituimos w por jv y encontramos la

magnitud de G(jv).

Mediante su desarrollo o directamente de la gráfica de bode en este punto, encontramos que para un valor de v=1,7 la magnitud se convierte en alrededor de -4,4dB

dBvv

vv

jvG 425,41

101

30012

log20)(log202

22

1010


Se observa que en el punto de magnitud

igual -4,4dB se encuentra en una

frecuencia de 1,7rad/seg

100

101

-240

-210

-180

-150

-120

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

System: sys


Magnitude (dB): -4.4

Magnitu

de (

dB

)

Bode para las frecuencia de entre 1 y 10 rad/seg

03/06/2013

65


Si tomamos ahora el valor de la frecuencia obtenida como la frecuencia de cruce de ganancia vc entonces:

Obtenemos: y

Por lo que el Compensador en adelanto es:

7,11

cv

979,0361,07,1

1

7,1

1

3534,0361,0979,0

0,3534w1

0,979w1

1

1)(

w

wwGD


• Ahora se procede a graficar y observar los resultados obtenidos, para así compararlos con las especificaciones de diseño

num=[-0.000666 -0.19266 1.9932];den=[1 .9969 0];

G=tf(num,den) %función de transferencia lazo abierto

q=logspace(-1,3,100);

Gc=tf([.979 1],[.3534 1])% función de transferencia compensador

GcG=series(Gc,G);%función de transferencia lazo abierto sistema

bode(G,’b’,GcG,’r’,q)

03/06/2013

66


• Resultados de Diagrama de bode de lazo abierto en el

plano w del sistema G, y del controlador + sistema

GcG. Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

102

103

90

135

180

225

270

System: GcG





System: G





Phase (

deg)

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

System: G




System: GcG




Magnitu

de (

dB

)

G

GcG


Transformando ahora esta

ecuación al plano Z mediante la

transformada Bilineal, se

obtiene

Compensador

1

1)-10(z

1

1

2,0

2

1

12

zz

z

z

z

Tw

5589,0

9387,13798,2

3534,01

)0,979(1)(

1z

1)-10(z

1z

1)-10(z

z

z

zGD

03/06/2013

67


La función de transferencia pulso de lazo

abierto del sistema es entonces

Y la función de transferencia de lazo

cerrado es

4576,08352,13776,2

0679,00108,00891,0

)8187,0)(1(

)9356,0(03746,0

5589,0

9387,13798,2)(

23

2

zzz

zz

zz

z

z

zzGD

)3196,07379,0)(3196,07379,0)(8126,0(

)8145,0)(9357,0(081,0

5255,08462,12885,2

0679,00108,00891,0

)(

)(23

2

jzjzz

zz

zzz

zz

zR

zC


Se observa que la función de transferencia lazo cerrado del sistema implica 2 ceros localizados e z=-0,9357 y z=0,8145. Este cero prácticamente se cancela con un polo en lazo cerrado que se encuentra e z=0,8126.

El efecto del otro cero sobre el transitorio y la respuesta en frecuencia es pequeño, ya que se encuentra sobre le eje real negativo del plano z entre 0 y -1 y está próximo al punto z=-1 de la círculo unitario.

Con esto el sistema se comporta como si se tratara de un sistema de segundo grado.

03/06/2013

68

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta a un escalón unitario


Con este periodo de muestreo se puede

dibujar la respuesta escalón unitario

en Matlab como sigue con horizontal k: num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];

den=[1 -2.2885 1.846 -0.5255];

x=ones(1,41);

axis([0 40 0 1.6]);

k=0:40;

y=filter(num,den,x);

plot(k,y,'o');

grid

title('Respuesta a un escalón unitario

en función de k');figure

Dstep(num,den)

k muestras(periodo de muestreo igual 0.2)

Respuesta a un escalón unitario en función de k

Time (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: sys

Peak amplitude: 1.19

Overshoot (%): 19.1

At time (sec): 8

System: sys

Settling Time (sec): 17.9


• Se obtendría una gráfica similar si usamos el

comando dstep podemos graficar la misma ecuación

como función de k como eje horizontal y obtener

num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];

den=[1 -2.2885 1.846 -0.5255];

k=41;

dstep(num,den)

grid

title('Respuesta a un

escalón unitario en

función de k')

03/06/2013

69


• También podemos graficar la misma

ecuación como función de kT como eje

horizontal y obtener

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

kT segundos, con periodo de muestreo de 0.2 seg

Am

plitu

d

Respuesta al escalón Unitario

num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];den=[1 -2.2885

1.846 -0.5255];

M=tf(num,den,.2)

kT=0:.2:8;

title('Respuesta a un

escalón unitario en

función de kT‘)

stem(kT,step(M,kT))

Grid

figure

Step(M)

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: M


System: M


Overshoot (%): 19.1

At time (sec): 1.6


num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];

den=[1 -2.2885 1.846 -0.5255];

kT=0:.2:8;

M=tf(num,den,.2)

step(M)

grid

title('Respuesta a un escalón

unitario en función de kT')

Se obtendría una gráfica similar si usamos

el comando step podemos graficar la misma

ecuación como función de kT como eje

horizontal y obtener

03/06/2013

70


Se observa de la gráfica obtenida el

impuso es del 20% y el tiempo de

levantamiento es de aproximadamente

de 0.4seg. También podemos observar

que el número de muestras por ciclo

senoidal es de 15 aproximadamente, lo

que significa que la frecuencia de

muestreo ws es 15 veces la frecuencia

natural amortiguada wd. Por lo tanto

el periodo de muestreo de 0,2seg es

satisfactorio en este sistema.


DISEÑO COMPENSADOR EN ATRASO:

1. La función de transferencia de un compensador en atraso es:

La función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es,

Determinando la ganancia de KD que satisfaga el requisito de la constante de error de velocidad

1 1

1)(

w

wKwG DD

(w)Gw

wG(w)

w

wKwGwG DD 1

1

1

1

1)()(

03/06/2013

71


2. Si el sistema no compensado G1(w) no satisface las especificaciones referentes a los márgenes de fase y ganancia, entonces encuentre el punto de frecuencia donde el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto sea igual -180° mas el margen de fase requerido. El margen de fase requerido es el margen de fase especificado mas una corrección de entre 5° y 12°. Escoja esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.


3.Para evitar errores, el polo y

cero del compensador deberán

estar localizados bastante

alejados, debajo de la nueva

frecuencia de cruce de ganancia.

Por lo tanto escoja la frecuencia

de esquina v=1/τ (correspondiente al cero del compensador) una

decena por debajo de la nueva

frecuencia de cruce de ganancia

wc

03/06/2013

72


4. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud hacia abajo hasta 0dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Notando que esta atenuación es de -20log(β), determine le valor de β. Entonces la otra frecuencia de esquina es (que corresponde al polo del compensador de atraso) queda determina por 1/τβ.

Otra forma es trazar una línea de pendiente -20dB/década por el lugar del cero del atraso y proyectarla hacia arriba ala izquierda hasta que corte la asíntota de baja frecuencia. Esta intersección determina el polo del compensador por atraso.

5. Una vez diseñado el compensador de atraso en el plano w, deberá transformarse al plano z

BIBLIOGRAFÍA









03/06/2013

73

CAPÍTULO 3

MÉTODOS DE DISEÑO INDIRECTO, DE CONTINUO A DISCRETO - LGR

DISEÑO INDIRECTO

• En esta parte se desarrollará el diseño de controladores a partir del Lugar de la Raíces y Diagramas de Bode en el tiempo continuo y luego se procederá a analizar los mapeos del dominio s al dominio del plano z.

Todas las técnicas desarrolladas para compensar sistemas continuos pueden ser aplicadas a sistemas de datos muestreados. Se tendrán que hacer algunas modificaciones en ciertos casos, pero en general las técnicas son las mismas

Nota: La retención de orden cero está presente en el sistema de datos muestreados, pero no el sistema continuo. Se debe tener en cuenta de incluir el efecto del convertidor digital a analógico (DAC) diseñado con los retenedores.

03/06/2013

74

DISEÑO INDIRECTO Diseño LGR

Estos método se basa en diseñar el

controlador o el compensador en el

dominio del Plano s, utilizando los

métodos de diseño clásicos o modernos

para los controladores o compensadores.

Luego de tener dicho controlador o

compensador diseñado en el plano complejo

s, se procede a mapearlo en el plano z con cualquier método de discretización ya

vistos, como por ejemplo la transformada

Bilineal, ZOH, etc.

• La forma mas fácil de entender este tipo

de diseño es resolviendo un ejercicio.


Ejemplo: Considere el sistema de datos

muestreados de la figura

Se desea diseñar un compensador que

satisfaga las especificaciones:

Tiempo pico ≤ 1.5seg

Máximo pico≤20%

Factor de amortiguamiento≤0.7

)(* sG c ZOH 1

1

ss+ _

Controlador

digital Gh(s) Gp(s)

R(s) C(s) E(s)

E*(s)

03/06/2013

75


• Diagrama de bloques en el plano s

La frecuencia natural amortiguada y la

atenuación se obtiene con valores de

tiempo pico de 1.5 y usando un valor muy

inferior a 20% de sobre impulso, por

ejemplo 4% para cumplir con un

R(s) )(sGc+ _ Gp(s)

C(s)

209.25.1

p

dt

7.0

%6.4046.022

7.01

7.0

1

eeMp


De lo anterior obtenemos los polos dominantes deseados del sistema, con valor igual a

El compensador a utilizar debe ser en adelanto para satisfacer las condiciones señaladas con una función de transferencia igual a:

22 jjs d

p

ccccc

ss

ssK

s

s

Ks

sKsG

1

1

1

1)(

2049.22218.3

2218.3)04.0ln()ln(

d

Mp

03/06/2013

76


1

O

P=-

2+j2

A B -

1

jw

σ

23

De acuerdo a la condición de fase tenemos

Si ahora elegimos el cero del compensador en el

punto -2 tenemos entonces las contribuciones de

los dos polos del sistema y del cero del

compensador, con lo cual:

180321

435.18

270565.116135

18090tan180tan180

3

3

3121

221


• Teniendo ya el ángulo de contribución al LGR del sistema, del polo del compensador, se procede hallar la posición de polo del compensador, de la siguiente manera:

• El compensador hasta ahora tendría la forma

8

43.18tan

22 B

8

2)(

s

sKsG cc

03/06/2013

77


• Para obtener la ganancia del sistema en el polo deseado se

obtiene de condición de

magnitud en el punto deseado:

• De allí que el compensador en adelanto sea

20

2

81

22

s

sss

js

cK

8

220)(

s

ssGc


• El siguiente paso es la elección del

periodo de muestreo; utilizando los

criterios empíricos de selección de

periodo de muestreo o utilizando la regla

empírica de las diez muestras por ciclo

de oscilación senoidal el cual está dado

por la frecuencia natural amortiguada wd

de 2rad/seg.

Utilizando los siguientes dos criterios

obtenemos que:

seg31416.020

2T

rad/seg2010

s

ds

Hz

BWs

10f

0.1segseg12.0844.50

2T

rad/seg844.502711.14040

s

s

03/06/2013

78


• Terminada la selección del periodo de

muestreo (Ts=0.1) se mapea el compensador

en el plano z hallado, utilizando la

transformación bilineal de Tustin. Con lo

cual se obtiene:

• También debe obtenerse la función de la

planta discretizada por el retenedor de

orden cero, resultando:

4286.0

8182.071.15

8

220)(

1

1102

z

z

s

szG

z

zs

c

9048.01

)9672.0(004837.0

)1()1(

))1,01()11,0(()1(

)1(

1)1(

)1(

11)(

11,021

111,01,01,01

2

12,0

zz

z

zez

zzeeez

ssZz

sss

eZzG

s


• Se procede a continuación la

obtención de la función de

transferencia de lazo abierto y

cerrado del sistema compensado,

para analizar sus respectivos

resultados tanto en s como en z:

8) + 4s + (s 5)+(s

2)+(s 20

)(

)(

8)+(s 1)+(s s

2)+(s 20

2

sR

sC

(s)(s)GG pc

).z) (z.(z-

).) (z. (z-.

zR

zC

z).) (z-.(z-

).) (z-. (z. (z)(z)ZOHGG pc

67340592.166520

96720818200706230

)(

)(

14286090480

81820967200759890

2

03/06/2013

79


• Se observa el lugar de las raíces del

sistema sin compensar (azul) y el sistema

compensado (verde), dominio s. Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-15

-10

-5

0

5

10

15

0.060.120.190.270.360.5

0.66

0.88

0.060.120.190.270.360.5

0.66

0.88

2

4

6

8

10

12

14

2

4

6

8

10

12

14

System: g3

Gain: 1.01

Pole: -2.01 + 2.02i

Damping: 0.704

Overshoot (%): 4.43



• Vale la pena señalar que las ubicaciones reales de los polos de lazo cerrado NO son las que resultan del mapeo s=-2±j2 en el plano z=esT. Con el mapeo z=esT los polos de lazo cerrado dominantes estarían en:

La razón de esto es que el compensador inicialmente fue diseñado en el plano s ignorando los efectos del retenedor de orden cero, y luego transferido al plano z con un mapeo diferente, el mapeo bilineal.

Los polos dominantes en el plano s están el línea de relación de amortiguación constante en 0.7 en s=-2±j2 .

1627.08024.01.022 jez j

03/06/2013

80


Pero los polos dominantes reales del sistema

(0.796±j0.1995) en el plano z están sobre la

línea del factor de amortiguamiento en 0.6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0

0.5

1

0.1/T

0.2/T

0.3/T

0.4/T0.5/T

0.6/T

0.7/T

0.8/T

0.9/T

/T

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1/T

0.2/T

0.3/T

0.4/T0.5/T

0.6/T

0.7/T

0.8/T

0.9/T

/T

System: Gz

Gain: 0.982

Pole: 0.8 - 0.196i

Damping: 0.629

Overshoot (%): 7.88


Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis


• La respuesta escalón unitaria del sistema continuo

controlado por un compensador digital, casi

satisfaces las especificaciones establecidas. Por

lo tanto que no es muy perjudicial ignorar los

efectos del ZOH, por lo menos en este ejemplo. Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4System: Mzc


Overshoot (%): 23.1

At time (sec): 1

System: Msc


Overshoot (%): 16.4

At time (sec): 1.06

Ms

Msc

Mz

Mzc

03/06/2013

81


• Ahora se volverá a diseñar el compensador

teniendo en cuenta la contribución del

ángulo del ZOH mas no la contribución de la

magnitud, ya que ocasionaría que el sistema

se comporte oscilatorio al variar la

ganancia del sistema

5.12

27091.5565.116135

18090tan180tan180

3

3

221

3121

221 2.02.0

j

ee j

180321 ZOH


• Teniendo ya el ángulo de

contribución al LGR del sistema,

del polo del compensador, se

procede hallar la posición de

polo del compensador, de la

siguiente manera:

• El compensador hasta ahora

tendría la forma

11

5.12tan

22 b

11

2)(

s

sKsG cc

03/06/2013

82


• Para obtener la ganancia del sistema en el polo deseado se obtiene de condición de magnitud en el punto deseado:

• De allí que el compensador en adelanto sea

El cual es ligeramente diferente al hallando anteriormente sin tener en cuenta la contribución del ZOH.

292.29

2

111

22

s

sss

js

cK

11

229)(

s

ssGc


• Terminada la selección del periodo de

muestreo (Ts=0.1) se mapea el

compensador en el plano z hallado, utilizando la transformación bilineal

de Tustin. Con lo cual se obtiene:

• La función de la planta discretizada

por el retenedor de orden cero,

anteriormente hallada:

2903.0

8182.058.20

11

229)(

1

1102

z

z

s

szG

z

zs

c

9048.01

)9672.0(004837.0)(

zz

zzG

03/06/2013

83


• Se procede a continuación la

obtención de la función de

transferencia de lazo abierto y

cerrado del sistema compensado,

para analizar sus respectivos

resultados tanto en s como en z:

7.395) + 4.157s + (s 7.843)+(s

2)+(s 29

)(

)(

11)+(s 1)+(s s

2)+(s 29

2

sR

sC

(s)(s)GG pc

).z + . - ) (z.(z-

).) (z-. (z+.

zR

zC

)) (z-.) (z-.(z-

).) (z+. (z-. (z)(z)ZOHGG pc

63460557153810

81820967200995570

)(

)(

19048029030

96720818200995570

2


Se observa el lugar de las raíces del sistema

sin compensar (línea derecha) y el sistema

compensado (parte Izq), dominio s.

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0.060.120.20.280.380.52

0.68

0.88

0.060.120.20.280.380.52

0.68

0.88

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

System: M1

Gain: 0.969

Pole: -2.01 + 1.73i

Damping: 0.758

Overshoot (%): 2.61


03/06/2013

84


• Se observa el lugar de las raíces del sistema sin

compensar (azul) y el sistema compensado (verde),

dominio z.

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary Ax

is

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

System: GzGcz

Gain: 1.01

Pole: 0.778 + 0.171i

Damping: 0.724

Overshoot (%): 3.68

Frequency (rad/sec): 3.150.1/T

0.2/T

0.3/T

0.4/T0.5/T0.6/T

0.7/T

0.8/T

0.9/T

/T

0.1/T

0.2/T

0.3/T

0.4/T0.5/T0.6/T

0.7/T

0.8/T

0.9/T

/T

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

Gz

GzGcz


• De la ecuación en lazo cerrado en

el plano z se puede obtener los

polos dominantes del sistema y

compararlos con los polo deseados

con un factor de amortiguamiento

que se puede obtener de la figura

del LGR en el plano z.

sistema del polos 1689.07785.0

deseados polos 1627.08024.01.022

jz

jez j

03/06/2013

85

DISEÑO INDIRECTO - Diseño LGR

• La relación de amortiguación de los polos

dominantes mejoró, lo mismo que el desempeño, se

observa además que el impacto del ZOH depende de la

frecuencia de muestreo, mientras mas alta es la

frecuencia menor es el impacto.

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: Mzc


Overshoot (%): 18.8

At time (sec): 0.9

System: Mz


Overshoot (%): 18.4

At time (sec): 3.6

Mz

Mzc

BIBLIOGRAFÍA









03/06/2013

86

CAPÍTULO 4

MÉTODOS DE DISEÑO INDIRECTO,

DE CONTINUO A DISCRETO - BODE

DISEÑO INDIRECTO Diseño BODE

• Otro método para diseñar un compensador digital en el dominio s es el método de bode. Al diseñar compensadores que finalmente serán transferidos al plano z, el método de Bode tiene ventajas, ya que proporciona un medio para seleccionar una taza de muestreo adecuada y por la facilidad con que considera el efecto del ZOH.

• La contribución a la fase negativa de la retención de Grado cero a la frecuencia de cruce donde se mide el margen de fase es:

cruce de frecuencia la es donde 22

cc

ZOH

TT

03/06/2013

87


EJEMPLO: considere el sistema de la figura.

Se quiere diseñar un compensador para el

sistema de tipo 1, de modo que la

constante de error estático de velocidad

Kv sea de 20seg-1 , margen de fase sea al

menos de 50° y el margen de ganancia sea

al menos 10 decibelios.

)(* sG D ZOH)2(

4

ss+ _

Controlador

digital Gh(s) Gp(s)

r(t) c(t)

δ(t)


SOLUCIÓN EN S

USAREMOS UN COMPESADOR DE ADELANTO,

con la forma anteriormente descrita

Sistema compensado T

s

Ts

KTs

TsKsG ccc

1

1

1

1)(

+ _ C(s) R(s)

)2(

4

ssT

s

Ts

KsG cc

1

1

)(

03/06/2013

88


El sistema compensado se define

Lo primero a encontrar es la ganancia K, de

acuerdo a las especificaciones de diseño del

comportamiento estacionario o de acuerdo al

error de velocidad en estado estacionario.

Como la constante de error de velocidad

requerido es 20 seg-1, y el sistema posee un

error de velocidad estático de 2 seg-1

entonces:

)2(

4)()(con )(

1

1

)(1

1)(

1

1)()(

11

ss

KsKGsGsG

Ts

Ts

sGTs

TsKsG

Ts

TsKsGsG cc


Hallando

De allí que

Produciendo el diagrama de Bode del

G1(jw) en Matlab, obtenemos

10 202

2

4lim

)(1

1lim)()(lim

0

100

KKss

Ks

sGTs

TsssGssGK

s

sc

sv

)2(

40)(1

sssG

03/06/2013

89


Grafica de BODE de G1(s)

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Magnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

-180

-135

-90

System: sys

Phase Margin (deg): 18




Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


De la gráfica se observa el margen de fase de 18° y el margen de ganancia es +∞.

Las especificaciones buscan un MFd de 50°, el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer el requisito es de 32°.

Tomando en cuenta que la adición de un compensador de adelanto modifica la curva de magnitud del diagrama de Bode, la frecuencia de cruce de ganancia se moverá a la derecha.

Debemos compensar el atraso de fase incrementado de G1(jw), debido a este incremento en la frecuencia de cruce de ganancia. Considerando el cambio de la frecuencia de cruce de ganancia, suponemos que φm , adelanto de fase máximo requerido, es de aproximadamente 38°. (Esto significa que se han agregado 6° para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia.)

03/06/2013

90


De la anterior corrección podemos hallar el valor de α de acuerdo a la expresión:

Donde φm es 38°; con este valor se obtiene un α=0,2379

Luego de haber obtenido la atenuación a partir del ángulo de fase requerido, procedemos a obtener las frecuencia de cruce de ganancia como:

1

1)sin( m

Tw

b

1


La cantidad de la modificación en la curva de

magnitud en debido a la inclusión

del término es:

Observe que la magnitud en el punto de la

frecuencia de cruce de ganancia es entonces:

Tw

b

1

1

1

Ts

Ts

1

11

11

1

1)(

1 Tj

Tj

Tjw

TjwjwG

Tbwb

b

b

dBjwGb

2,624,0

1log20

1log20)(

1010

03/06/2013

91


Buscamos ahora el punto de frecuencia, al añadir el

compensador, donde la magnitud total es de 0dB.

Buscamos en la gráfica de bode de G1(s) el rango de

valores en donde se encuentra la magnitud de -

6,2dB. Esta ganancia ocurren en el rango de

frecuencias de 1 y 10 rad/seg. Graficando bode de

G1(s) en este rango obtenemos:

-10

0

10

20

30

Magnitu

de (

dB

)

System: sys


Magnitude (dB): -6.16

100

101

-180

-150

-120

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


La ganancia ocurre en la frecuencia

de w=9rad/seg. Seleccionamos esta

frecuencia para que se a nueva

frecuencia de la ganancia de cruce

o wb=9 rad/seg. A este frecuencia

corresponde a:

Y también:

409,424,0991

91

TT

wb

371,1824,0

991

T

03/06/2013

92


El compensador en adelanto así

determinado es

Donde Kc se determina como:

De allí que el compensador sea:

10544,0

1227,0

371,18

409,4)(

s

sK

s

sKsG ccc

667,4124,0

10

KKKK cc

371,18

409,4667,41

371,18

409,4)(

s

s

s

sKsG cc


La función de transferencia de lazo abierto

del sistema compensado es:

El diagrama de Bode del sistema compensado

es

sss

s

sss

ssGsGc

742,36371,20

839,734668,166

)2(

4

371,18

409,4667,41)()(

23

-100

-50

0

50

Magn

itude

(dB)

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

Phas

e (de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

03/06/2013

93


La respuesta al escalón unitario:


cerrado del sistema original es


cerrado del sistema compensado es

42

4

)(

)(2

1

1

sssR

sC

839,73441,203371,20

839,734668,166

)(

)(23

2

2

sss

s

sR

sC


Respuesta del Sistema a una Entrada Escalón

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: M


System: M


Overshoot (%): 16.3

At time (sec): 1.8

System: M


Overshoot (%): 21.7

At time (sec): 0.327

System: M


System: M

Rise Time (sec): 0.135

System: M

Rise Time (sec): 0.822

Sistema sin compensar

Sistema Compensado

03/06/2013

94


El siguiente paso es la elección del

periodo de muestreo; utilizando los

criterios empíricos de selección de

periodo de muestreo o utilizando la

regla empírica de las diez muestras por

ciclo de oscilación sinusoidal, donde

wd=2rad/seg.

Utilizando los siguientes los criterios

del tiempo de establecimiento y ancho de

banda en lazo cerrado obtenemos que:

seg31416.020

2T

rad/seg2010

s

ds

Hz

rBWs

5.12f

seg08.026.76

2T

ad/seg26.76542.23030

s

s


• Terminada la selección del periodo de muestreo

(Ts=0.08) se mapea el compensador en el plano z

hallado, utilizando la transformación bilineal de

Tustin. Con lo cual se obtiene:

• También debe obtenerse la función de la planta

discretizada por el retenedor de orden cero,

resultando:

1528.0

7002.02536.28

371.18

409.4667.41)(

1

15.122

z

z

s

szG

z

zs

c

)8521.0829.1(

)948.0(0121.0

)8521.0829.1(

)01149.00121.0(

)2(

4)1(

)2(

41)(

22

2

108,0

zz

z

zz

z

ssZz

sss

eZzG

s

03/06/2013

95


• Se procede a continuación la obtención de

la función de transferencia de lazo

abierto y cerrado del sistema compensado,

para analizar sus respectivos resultados

tanto en s como en z:

113.4) + 13.89s + (s 6.48)+(s

4.409)+(s 166.668

)(

)(

2)+(s 18.31)+(s s

4.409)+(s 166.668

2

sR

sC

(s)(s)GG pc

)z) (z.(z-

)) (z (z.

zR

zC

)z) (z.(z-

)) (z (z. (z)(z)ZOHGG pc

5909.0034.16050

7002.0948.0342380

)(

)(

8521.0829.115280

7002.0948.0342380

2

2


Respuesta del sistema en S Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: M


Overshoot (%): 16.3

At time (sec): 1.8

System: Mts


Overshoot (%): 21.7

At time (sec): 0.327

System: Mts


System: M


M

Mts

03/06/2013

96


Respuesta del sistema en Z Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

System: Mtz


Overshoot (%): 56.2

At time (sec): 0.32

System: Mz


Overshoot (%): 16.3

At time (sec): 1.84

System: Mz


System: Mtz


Mtz

Mz


Aunque no se tuvo en cuenta el

contribución del retenedor de orden cero

sabiendo que sus efectos son mínimos, se

observa que el sistema responde conforme

se le añade le compensador señalado.

Hay que tener en cuenta que para observar

las características indicadas de la

respuesta en frecuencia se debe

desarrollar la transformada en el plano

w, aunque existe una analogía entre la respuesta en frecuencia con la respuesta

en el tiempo observa da en la gráfica,

expuesta anteriormente.

03/06/2013

97

BIBLIOGRAFÍA









EJERCICIOS

Unidad 4 control2

Education

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