Control II (2017) Fernando di Sciascio

1

Diseño de Compensadores de Adelanto de Fase

Mediante el Lugar de las Raíces

Problema 1) Un sistema de control posee el diagrama de bloques siguiente:

Figura 1

Se pide realizar el diseño de un compensador de adelanto de fase para que se cumplan las siguientes

especificaciones:

(%) 10%

(5%) 4 sege

Mp

T (1)

Paso 1 A partir de las especificaciones (1) se obtienen las posiciones del par de polos complejos conjugados

dominantes d d ds j .

2

1 (%) 4ln

100 1n

e

Mp aa

Ta

Con Matlab:

Te=4; Mp=10; a=-log(Mp/100)/pi, zeta=a/sqrt(1+a^2), wn=4/(zeta*Te)

0.73 0.59 1.69na (2)

21, 1 1.36d n d n (3)

1 1.36d d ds j j (4)

Planta G(s)

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2

Paso 2

Ya conocemos d d ds j , ahora obtendremos: i) El modelo de segundo orden deseado ( )dG s y ii) max

, la máxima fase que puede aportar un compensador de adelanto de una etapa.

i) Modelo de segundo orden deseado ( )dG s : Es importante entender que el concepto de “polos complejos

conjugados dominantes a lazo cerrado” implica que nuestro objetivo de diseño es encontrar el compensador ( )cG s

de la Figura 1 para que el sistema completo a lazo cerrado se comporte lo más parecido posible a un sistema de

segundo orden ( )dG s cuyos polos coinciden con los dominantes a lazo cerrado del sistema que estamos diseñando.

* 2 2

* 2 2 2

( )( ) ( )( )

( )( )( )( ) 2 ( )d d d d d d d d

dd d d dd d d d d

s s j jG s

s j s js s s s s s (5)

o el equivalente en coordenadas polares 2

2 2( )

2n

dn n

G ss

(6)

Luego idealmente se desea que: ( ) ( )

( ) ( )1 ( ) ( )

cd

c

G s G sT s G s

G s G s

Por lo tanto es importante siempre obtener ( )dG s para comparar mediante simulaciones con ( )T s .

Con ds se obtiene ( )dG s de la (5) mediante Matlab con: Gd=zpk([],[sd conj(sd)], abs(sd)^2)

o con zeta= ywn=n de la (6) con: Gd=tf([wn^2],[1 2*zeta*wn wn^2])

En ambos casos se obtiene: 2

2.8

2 2.86

6( )d

s sG s (7)

ii) El máximo adelanto de fase max que puede producir un compensador de adelanto de una etapa es:

1max tan

2d

d

(8)

Con Matlab:

phi_max = angle(sd)

Para nuestro problema

omax 2.20radianes 126 (9)

Observar que:

maxmax

max

para 02

2para

d

d

(nunca ds va a estar en el eje j ni en )

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3

Paso 3 Se calcula el adelanto de fase c que debe proveer el compensador para que el punto ds pertenezca al

lugar de las raíces de ( ) ( ) ( )cL s G s G s .

Aplicando la condición de fase a ( ) ( ) ( )cL s G s G s

( ) ( ) ( ) (2 1)

c

d c d dL s G s G s k (10)

Con #de ceros de ( ) #de polos de ( )

1 1

( ) ( ) ( )G s G s

d d i d ii i

G s s z s p (11)

Si se ajusta ( )dG s para que ( )dG s se tiene

( ) 0 2c d cG s (12)

Con Matlab lo calculamos de la siguiente manera ( ( )dG sfase_G )

fase_G = angle(evalfr(G,sd))

Con este comando la fase ya está ajustada entre . Si Z y P son los vectores con los ceros y polos de ( )G s

también se puede utilizar

fase_G=(sum(angle(sd-Z))-sum(angle(sd-P))); % en radianes

De esta manera la fase normalmente es un valor real cualquiera negativo.

Para nuestro problema

o1.76 radianes 1( 10)dG s = angle(evalfr(G,sd)) =

o o4.52 radianes 259 101( )dG s = ((sum angle(sd-Z) -sum(angle(sd-P))) = ( )

o( ) 1.38 79.16c dG s radianes (13)

Paso 4 Se calcula n, el número de etapas necesarias.

Si maxc con una etapa alcanza, en general

max

redondear hacia arriba cn (14)

y se utiliza para calcular las posiciones del cero y el polo de cada etapa *max

cc n

(15)

Con Matlab: n=ceil((phi_c)/phi_max), phi_c2=phi/n;

Para nuestro problema maxc , luego utilizamos una etapa.

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4

Paso 5 Se calcula el intervalo min 0c cz z

donde se puede colocar el cero del compensador de

adelanto.

min tan( )d

c dc

z (16)

Para nuestro problema min 1.27cz

El intervalo para colocar el cero es:

1.27 0cz (17)

Paso 6 Se coloca el cero del compensador y se calcula la posición del polo.

Para nuestro problema se adopta: 1cz (18)

Este valor coincide con d y el primer polo de ( )G s distinto del integrador.

Se calcula la posición del polo con

tan( )d

c dz c

p (19)

Con Matlab:

theta_z=angle(sd-zc); theta_p=theta_z-phi_c;

pc=sigma_d+w_d/tan(theta_p);

Para nuestro problema se tiene: 7.95cp (20)

Paso 7 Finalmente se calcula la ganancia del compensador cK utilizando la condición de módulo.

( ) ( ) 1c d dG s G s (21)

( )( ) , #etapas

( )

nc c

c nc

K s zG s n

s p

( ) c d cc d

d c

K s zG s

s p

2

2

( )1c d c d

d c

K s z G s

s p

( )d c

cd c d

s pK

s z G s (22)

Para nuestro problema se tiene: 6.95cK (23)

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5

De (18), (20) y (23) se tiene el controlador:

6.95( 1)

( )( 7.95)cs

G ss

(24)

La planta compensada es:

111.2( 1.5)( ) ( ) ( )

( 2)( 3)( 4)( 7.95)c

sL s G s G s

s s s s s (25)

El sistema compensado a lazo cerrado es:

2 2

111.2( 1.5)

(

(

1.212)( 13.73 48.11)(

) ( )( )

1 ( ) ( ) 2 2.862)c

c

G s G sT s

G s G s

s

s s s s s (26)

En la figura se muestra la respuesta al escalón de ( )dG s y ( )T s . Se observa que ( )T s cumple con las

especificaciones (1) y tiene un comportamiento razonablemente parecido al del sistema de segundo orden deseado

( )dG s .

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6

En la figura siguiente se muestra el lugar de las raíces de ( ) ( ) ( )cL s G s G s . Los dos polos en d d ds j

son aproximadamente dominantes ya que el polo real en -1.21 influencia un poco la respuesta. Los dos polos

complejos alejados en 6.87 j ejercen muy poco efecto.

Problema 2) Un sistema de control posee el diagrama de bloques siguiente:

Figura 1

Se pide realizar el diseño de un compensador de adelanto de fase con las mismas especificaciones del problema 1,

(%) 10%Mp y (5%) 4 segeT . Los polos dominantes deseados serán los mismos del problema 1 al igual que

( )dG s y max .

1 1.36d d ds j j

2

2.8

2 2.86

6( )d

s sG s

omax 2.20radianes 126

Planta G(s)

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7

Paso 3 Se calcula el adelanto de fase c que debe proveer el compensador para que el punto ds pertenezca al

lugar de las raíces de ( ) ( ) ( )cL s G s G s .

#de ceros #de polos

1 1

o0.548 radia( ) ( ) ( nes 31.4)d d i d ii i

G s s z s p

o0.548 radia( ) nes 31.4dG s = angle(evalfr(G,sd)) =

o( ) 2.6radianes 148.6c dG s

Paso 4 Se calcula n, el número de etapas necesarias. En este caso maxc será necesario más de una

etapa.

max

2.6redondear hacia arriba 2

2.2cn Luego utilizamos dos etapas.

* o2.6 radianes

1.3 radianes 74.32

cc n

Paso 5 Se calcula el intervalo min 0c cz z .

Para nuestro problema min 1.38cz

El intervalo para colocar el cero de cada etapa es: 1.38 0cz

Paso 6 Se coloca el cero del compensador y se calcula la posición del polo.

Para nuestro problema se adopta: 1.3cz

Se calcula la posición del polo con 24.88tan( )

dc d

z c

p

Paso 7 Se calcula la ganancia del compensador cK utilizando la condición de módulo.

( ) ( ) 1c d dG s G s

Ahora 2

2

( )( )

( )c c

cc

K s zG s

s p porque se tienen dos etapas

2

2( ) c d cc d

d c

K s zG s

s p

2

2

( )1c d c d

d c

K s z G s

s p

2

2( )

380d cc

d c d

s pK

s z G s

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El compensador de adelanto de dos etapas será:

2

2

380( 1.3)( )

( 25)c

sG s

s

La planta compensada es:

2

2

9110( 1.3)

( 4)( 3)( 2)( 1)( 25( ) ( )

)( )c

s

s sL

s s sG s s

ss G

El sistema compensado a lazo cerrado es:

2

2 2

9110( 1.3)

( 25.73)( 23.92)( 5.75)( 2.362 1.526)( 2 2

( ) ( )( )

1 ( .85)) ( )c

c

s

s s s

G s G sT s

G s G s s s s s

En la figura se muestra la respuesta al escalón de ( )dG s y ( )T s . Se observa que ( )T s cumple con las

especificaciones (1) y tiene un comportamiento razonablemente parecido al del sistema de segundo orden

deseado ( )dG s .