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CONTROL II T P Nº 1 Prof. Dr. Ing. Fernando di Sciascio – Prof. Adj. Elisa Perez – JTP. Emanuel Tello (2017) 1

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA

CARRERAS: BIOINGENIERÍA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA ÁREA: CONTROL ASIGNATURA: CONTROL II

GUÍA DE APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN Nº 1 Error de Estado Estacionario. Análisis de Estabilidad de los Sistemas de Control. Criterio de Routh-Hurwitz.


TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: Los problemas propuestos pueden ser resueltos mediante el empleo de algún software de computación. Sin embargo, es conveniente, resolver algunos, (los más simples), en forma analítica para un mejor entendimiento de los conceptos fundamentales y luego verificarlos con el empleo de programas de computación. Ejercicio Nº 1: Encuentre el error en estado estable debido a una entrada escalón unitario y una perturbación de escalón unitaria en el sistema de la figura siguiente: Ejercicio Nº 2: Para el sistema que se muestra en la siguiente figura, encuentre la constante apropiada de error estático, así como el error en estado estable, r(∞)—c(∞), para entradas escalón unitario, rampa y parábolicas. Ejercicio Nº 3: Dado el siguiente sistema, encuentre: (a) El tipo del sistema. (b) El valor de K para obtener 0.1% de error en el estado estable

R(s)

T(s)

+ + +

-

C(s)


Ejercicio Nº 4: Para el sistema ilustrado en la siguiente figura ¿Qué error en estado estable puede esperarse para una entrada de 15u(t), 15tu(t), 15t2u(t)? Ejercicio Nº 5: La siguiente figura muestra un diagrama de bloques simplificado de un piloto en un lazo para controlar la altitud de bamboleo de un helicóptero equipado con dos motores y un solo rotor principal. a) Encuentre el tipo de sistema. b) La respuesta del piloto determina K1. Encuentre el valor de K1 si se necesita un valor constante de error estático de 700. c) Un piloto cuya K1 es el valor hallado en b), ¿Sería contratado para pilotear el helicóptero? Nota: En el diagrama de bloques GD(s) es un retardo de unos 0.154 segundos y puede estar representado por una aproximación de Pade de GD(s)=-(s-13)/(s+13).

Sistema Nervioso l

Sistema Vestibular

Sistema Neuromuscular Ángulo comandado Фc(s)

Ángulo real Фo(s)

Φe(s


Ejercicio Nº 6: Sea el sistema de la figura (a): Como ,1=HK la )()( trtSr ≡ .-

eequivalentdiag.⇒ (a) (b) Ea(s)→ Transformada de Laplace de la señal activa.- E(s)→ Transformada de Laplace de la señal de error verdadero.-

Dónde: )100)(5(

)(++

=sss

KsG y )10(

10)(+

=s

sH ; 1=HK )()( trtSr ≡→

1) Determinar la función de transferencia del lazo del sistema de la figura (a). 2) Determinar la función de transferencia del sistema de la figura (a). 3) Calcular el rango del parámetro K para que el sistema sea estable. 4) La figura (b) muestra un diagrama de bloques equivalente de la figura (a). ¿Cuál debe ser la Función )(1 sH para que la figura (b) sea equivalente a la figura (a)? 5) ¿Cuál es el tipo del sistema?- 6) Determinar en función de K , los coeficientes de error y los errores de estado estacionario del Sistema, para las entradas: escalón rampa y aceleración unitarias.- 7) Para 62505000;2000 yK = , determinar los coeficientes de error aVP KyKK ; y los Valores de los errores de estado estacionario correspondientes. ¿Cuál es el significado del signo menos de algún coeficiente o en el error?- 8) Determinar los errores de estado estacionario para las tres entradas típicas unitarias, del Sistema, para 6250=K .Concuerdan con los obtenidos en el punto anterior? 9) Para 2000=K y )()( tuttr s= , graficar las siguientes señales:

).()(),(),(),( 1 tcytbteteatSr Determinar los valores finales para las señales: −).()(),( 1 tbytetea (Sugerencia: Usar Simulink de Matlab para graficar las señales, con el tiempo final de 5 seg.- Ejercicio N°7: Utilizando el criterio de Routh-Hurwitz determine la estabilidad de los sistemas que tienen las siguientes ecuaciones características. Calcular el número de raíces de cada ecuación que están en el semiplano derecho del plano s y en el eje ωj si las hubiera.- b) 04501025 23 =+++ sss

d) 0501025 23 =+++ sss

SR(s) Ea(s) G(s)

C(s)

B(s) H(s)

- +

B1(s)

E(s) Ea(s) G(s)

H1(s)

SR(s) + +

- -

C(s)


Ejercicio Nº 8: Dado el sistema realimentado unitariamente de la figura: Determine si dicho sistema es estable si,

a) )4)(3)(2)(1(

240)(++++

=ssss

sG b))48422(

8)( 23456 −−++−−=

ssssssssG

Calcule además el número de raíces de cada ecuación que están en el semiplano derecho del plano s, en el semiplano izquierdo y en el eje ωj si las hubiera.- Ejercicio Nº 9: Con el uso del Criterio de Routh-Hurwitz, investigue cuántos polos en lazo cerrado del sistema que se muestra en la figura se encuentran en el semiplano izquierdo, en el semiplano derecho y sobre el eje ωj .- Ejercicio Nº 10: Para cada ecuación característica de los sistemas de control realimentados proporcionados, determinar los límites de K para que el sistema sea estable. Determine, si es aplicable, el valor de K para que el sistema sea marginalmente estable y la frecuencia de la oscilación sostenida ( Cω ). a) 025105 234 =++++ KssKss b) 02)1()21()1( 23 =−−++++ KsKsKsK Ejercicio Nº 11: Dada la función de transferencia de la trayectoria directa de los sistemas de control con realimentación unitaria siguientes:

a) )278)(1(

)5()( 2 ++−+

=sss

sKsG b) )2(

)20)(10()( 2 +++

=ss

ssKsG


Aplique el criterio de Routh-Hurwitz para determinar el o los rangos del parámetro K para que los sistemas sean estables. También determinar el valor de K que causará oscilaciones sostenidas de amplitud constante en los sistemas, obteniendo la frecuencia de la oscilación.-

Ejercicio Nº 11:

Utilice el criterio de Routh-Hurwitz para hallar el margen de K para el cual los siguientes sistemas son estables: a) b) Ejercicio Nº 12: Una aplicación común de sistemas de control es para regular la temperatura de un proceso químico. El flujo de reactivos químicos en un proceso es controlado por un actuador y una válvula. El reactivo cambia la temperatura deseada de punto de ajuste en un lazo cerrado, donde el flujo de reactivo se ajusta para obtener la temperatura deseada. En la figura se ilustra el sistema de control antes de la adición de un controlador PID, el cual fue sustituido con una ganancia unitaria. Para este sistema, antes del diseño del controlador PID, encuentre el margen de ganancia del amplificador, K, para mantener estable el sistema.

Detector de Temperatura

Punto de ajuste de temperatura deseada

Controlador PID futuro

Actuador y válvula

Temperatura real

Amplificador

Proceso químico de calentamiento


Ejercicio Nº 13: Se puede usar un brazo de robot, llamado Soft Arm, como parte de un sistema para dar de comer a personas con discapacidad. El sistema de control guía la cuchara al alimento y luego a una posición cerca de la boca de la persona. El brazo utiliza un actuador especial controlado por presión de aire que se conoce como actuador de hule, que está hecho de tubos de hule cubiertos con cuerdas de fibra. El actuador contrae su longitud cuando se aumenta la presión de aire y se alarga cuando la presión se reduce. Esta expansión y contracción en longitud puede accionar una polea u otro dispositivo. Una cámara de video proporciona visibilidad para el robot y el rastreo para el lazo. Suponga el diagrama de bloques simplificado que se ilustra en la siguiente figura para regular la cuchara a una distancia desde la boca. Encuentre el margen de K para estabilidad. Ejercicio Nº 14: En la figura se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control:

T(s) +

R(s) + s

as )( + + )1()2(

2 −+

ssK C(s)

_

Encuentre la región en el plano )(afK = para que el sistema sea estable. Aplique Routh-Hurwitz.- Ejercicio Nº 15: Se necesita controlar una planta con función de transferencia:

,)3()2(

)(++

=sss

KpsGp

utilizando para ello un controlador que posee una dinámica de acuerdo con:

)1(

)()(++

=s

asKcsGc

Considerando además que:

Posición deseada de la cuchara

Controlador Actuador de hule y carga

Posición real de la cuchara

−= .KcKpK


a) Demarcar en el plano )(Kfa = la región para la cual el sistema sea estable. b) Si 6=K , ¿Cuál es el rango de a para que el sistema sea estable? Ejercicio Nº 16: La función de transferencia en lazo cerrado de un sistema es:

15)( 2

23

14

212

++++++

=ssKsKs

KsKssT

Determine el margen de K1 para que el sistema sea estable ¿Cuál es la relación entre K1 y K2 para asegurar la estabilidad? Ejercicio Nº 17 Dada la función de transferencia:

( )( 1)

KG ss s

=+

a) Aplique el criterio de Routh-Hurwitz para determinar el rango del parámetro K para el cual el sistema es estable. b) Si al sistema anterior se le adiciona un retardo pequeño 0.1segτ =

1

0.1

( )( 1)

sd

d

K eG s

s s

−

=+

Aproxime el retardo mediante Padé de primer orden, luego aplique nuevamente el criterio de Routh-Hurwitz para determinar el rango del parámetro

1dK para el cual el sistema es estable. c) Si al sistema anterior se le adiciona un retardo un poco mayor 0.2 segτ =

2

0.2

( )( 1)

sd

d

K eG s

s s

−

=+

Como antes, aproxime el retardo mediante Padé de primer orden y luego aplique el criterio de Routh-Hurwitz para determinar el rango del parámetro

2dK para el cual el sistema es estable. d) Compare los resultados anteriores y explique el efecto del retardo en el rango de estabilidad del sistema.


RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PLANTEADOS Ejercicio N º 1: a) Inestable, Z = 2 b) Estable, Z = 0 c) Estable, Z = 0 d) Inestable, Z = 2 (Caso especial) e) Inestable, Z = 2 (Casos especiales) f) Marginalmente Estable, Z = 0, dos (2) polos en el eje ωj en: ;j± (Caso especial).- Ejercicio N º 2: a)

Program: numg=240; deng=poly([-1 -2 -3 -4]); 'G(s)' G=tf(numg,deng) 'Poles of G(s)' pole(G) 'T(s)' T=feedback(G,1) 'Poles of T(s)' pole(T) Computer response: ans = G(s) Transfer function: 240 --------------------------------- s^4 + 10 s^3 + 35 s^2 + 50 s + 24 ans = Poles of G(s) ans = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 ans = T(s) Transfer function:


240 ---------------------------------- s^4 + 10 s^3 + 35 s^2 + 50 s + 264 ans = Poles of T(s) ans = -5.3948 + 2.6702i -5.3948 - 2.6702i 0.3948 + 2.6702i 0.3948 - 2.6702i System is unstable, since two closed-loop poles are in the right half-plane. b)

c)


Program: numg=8; deng=[1 -2 -1 2 4 -8 -4 0]; 'G(s)' G=tf(numg,deng) 'T(s)' T=feedback(G,1) 'Poles of T(s)' pole(T) Computer response: ans = G(s) Transfer function: 8 ----------------------------------------------- s^7 - 2 s^6 - s^5 + 2 s^4 + 4 s^3 - 8 s^2 - 4 s ans = T(s) Transfer function: 8 --------------------------------------------------- s^7 - 2 s^6 - s^5 + 2 s^4 + 4 s^3 - 8 s^2 - 4 s + 8 ans = Poles of T(s) ans = -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i -1.0000 2.0000 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i 1.0000 Thus, there are 4 rhp poles and 3 lhp poles. d)


Ejercicio N º 3:

Ejercicio Nº 4: (a) Sistema Inestable para todo K . Pues )22( −<> KyK , son las condiciones que se

deberían cumplir simultáneamente para que el sistema sea estable.- (b) 1314 <<− K 131=LK , −≅= ./477,5/30 segradsegradcω

(c) 031

<<− K 31

−=LK , −≅= ./4142,1/2 segradsegradCω

(d) 141 <<− K 14=LK , −≅= ./732,1/3 segradsegradCω Ejercicio Nº 5:

(a) 9470 << K

==

9470

2

1

L

L

KK

==

segradsegrad

c

c

/8/2

2

1

ωω

(b) ∞<< K3

14

314

=LK ./83,11/140 segradsegradc ≅=ω

(c)


(d)

(e)


(f)

Ejercicio Nº 6: (a)

(b)


(c)

Ejercicio Nº 7: Applying the feedback formula on the inner loop and multiplying by K yields


Ejercicio Nº 8:

Ejercicio Nº 9:


Ejercicio Nº 10:

Ejercicio Nº 11:


Ejercicio Nº 12:

Ejercicio Nº 13:


Ejercicio Nº 14: (a)

(b) 30 << a El a límite es: ;36/)60()6( KKKaLímite −+−= −= ./2 segradCω Ejercicio Nº 15:


Ejercicio N º 16:

Ejercicio N º 17:


Ejercicio Nº 18:

(a)


(b)


Ejercicio Nº 19:

Ejercicio Nº 20:

Program: numg1=[1 9];deng1=poly([0 -6 -12 -14]); 'G1(s)=' G1=tf(numg1,deng1) numg2=6*poly([-9 -17]);deng2=poly([-12 -32 -68]); 'G2(s)=' G2=tf(numg2,deng2) numh1=13;denh1=1; 'H1(s)=' H1=tf(numh1,denh1) numh2=1;denh2=[1 7]; 'H2(s)=' H2=tf(numh2,denh2) %Close loop with H1 and form G3 'G3(s)=G2(s)/(1+G2(s)H1(s)' G3=feedback(G2,H1) %Form G4=G1G3 'G4(s)=G1(s)G3(s)' G4=series(G1,G3) %Form Ge=G4/1+G4H2 'Ge(s)=G4(s)/(1+G4(s)H2(s))' Ge=feedback(G4,H2) %Form T(s)=Ge(s)/(1+Ge(s)) to test stability 'T(s)=Ge(s)/(1+Ge(s))' T=feedback(Ge,1) 'Poles of T(s)' pole(T) %Computer response shows that system is stable. Now find error specs. Kp=dcgain(Ge) 'sGe(s)=' sGe=tf([1 0],1)*Ge; 'sGe(s)' sGe=minreal(sGe) Kv=dcgain(sGe) 's^2Ge(s)=' s2Ge=tf([1 0],1)*sGe;


's^2Ge(s)' s2Ge=minreal(s2Ge) Ka=dcgain(s2Ge) essstep=100/(1+Kp) essramp=100/Kv essparabola=200/Ka Computer response: ans = G1(s)= Transfer function: s + 9 ------------------------------- s^4 + 32 s^3 + 324 s^2 + 1008 s ans = G2(s)= Transfer function: 6 s^2 + 156 s + 918 ------------------------------ s^3 + 112 s^2 + 3376 s + 26112 ans = H1(s)= Transfer function: 13 ans = H2(s)= Transfer function: 1 ----- s + 7 ans = G3(s)=G2(s)/(1+G2(s)H1(s) Transfer function: 6 s^2 + 156 s + 918 ------------------------------ s^3 + 190 s^2 + 5404 s + 38046 Solutions to Problems 7-13 ans = G4(s)=G1(s)G3(s) Transfer function: 6 s^3 + 210 s^2 + 2322 s + 8262 ------------------------------------------------------ s^7 + 222 s^6 + 11808 s^5 + 273542 s^4 + 3.16e006 s^3 + 1.777e007 s^2 + 3.835e007 s ans = Ge(s)=G4(s)/(1+G4(s)H2(s)) Transfer function: 6 s^4 + 252 s^3 + 3792 s^2 + 24516 s + 57834 ------------------------------------------------------- s^8 + 229 s^7 + 13362 s^6 + 356198 s^5 + 5.075e006 s^4 + 3.989e007 s^3 + 1.628e008 s^2 + 2.685e008 s + 8262 ans = T(s)=Ge(s)/(1+Ge(s)) Transfer function: 6 s^4 + 252 s^3 + 3792 s^2 + 24516 s + 57834 ------------------------------------------------------- s^8 + 229 s^7 + 13362 s^6 + 356198 s^5 + 5.075e006 s^4 + 3.989e007 s^3 + 1.628e008 s^2 + 2.685e008 s + 66096 ans = Poles of T(s) ans = -157.1538 -21.6791 -14.0006 -11.9987 -11.1678 -7.0001


-5.9997 -0.0002 Kp = 7 ans = sGe(s)= ans = sGe(s) Transfer function: 6 s^5 + 252 s^4 + 3792 s^3 + 2.452e004 s^2 + 5.783e004 s -------------------------------------------------------- s^8 + 229 s^7 + 1.336e004 s^6 + 3.562e005 s^5 + 5.075e006 s^4 + 3.989e007 s^3 + 1.628e008 s^2 + 2.685e008 s + 8262 Kv = 0 ans = s^2Ge(s)= ans = s^2Ge(s) Transfer function: 6 s^6 + 252 s^5 + 3792 s^4 + 2.452e004 s^3 + 5.783e004 s^2 -------------------------------------------------------- s^8 + 229 s^7 + 1.336e004 s^6 + 3.562e005 s^5 + 5.075e006 s^4 + 3.989e007 s^3 + 1.628e008 s^2 + 2.685e008 s + 8262 Solutions to Problems 7-15 Ka = 0 essstep = 12.5000 essramp = Inf essparabola = Inf

Ejercicio Nº 21:


Ejercicio Nº 22:

3) 0945,65500 << xK 4) )10(

)(1 +−

=s

ssH

5) Tipo uno (1) para 5000≠K y Tipo dos (2) para −= .5000K


6) ;10

5000)(;5000

10;0)(,K

KeK

KKeK VP−

=∞−

==∞∞=

.5000155)(155

.5000)(0 ==∞=≠∞=∞= KsiK

eyKKKsieyK aa

7) Para .)(0.15,0)(3/20.0)(,2000 ∞=∞→=−=∞→=−=∞→∞== eKeKeKK aVP

Para 1555000;0)(.0)(;5000 ==∞→∞=−=∞→∞== aVP KeKeKK .031,0)( =∞→ e

Para ∞=∞→=−−=∞→−=−=∞→∞== )(0.02,0)(50.0)(;6250 eKeKeKK aVP . El error negativo significa que: −∞<∞ ).()( crs 9) )(∞ea → 0.25, )(∞e → 0.15 y )(∞a → -0.10.-

E Ea

B1

SR

-s

s+10

s +105s +500s3 22000

C

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