Componentes Elementales - Ramos Departamento de...

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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Capítulo 2

COMPONENTES ELEMENTALES

2.1. Modelos de Componentes

Una componente eléctrica se describe por una relación entre sus variables terminales, la que

se denomina relación de equilibrio.

El voltaje y la corriente, de una componente no pueden variar de cualquier manera, deben

cumplir la relación de equilibrio que los define.

Los modelos de componentes de redes son abstracciones que permiten concentrarse en un

solo efecto del electromagnetismo.

Desde el punto de vista de la teoría de redes puede postularse la existencia de componentes

elementales de redes.

Las siguientes relaciones, entre variables terminales, definen modelos lineales idealizados

de las componentes eléctricas más empleadas.

Resistencia

v R i

Condensador

dv

dti C

Inductor

di

dtv L

(2.1) Fuente de tensión

( )v e t

Fuente de corriente

( )i j t

Se define un elemento llamado resistencia que modela la circulación de corrientes en

medios materiales, abstrayéndose de los efectos magnéticos y también de otros efectos debidos

al campo eléctrico.

Así también, se modela la condensación de líneas de campo eléctrico, debida a la

acumulación de carga en conductores, mediante un elemento denominado condensador. En

este elemento se consideran conductores ideales, sin efectos resistivos, dieléctricos o aisladores

perfectos y tal que las corrientes que circulan no produzcan efectos magnéticos.

La concentración de líneas magnéticas, debida a la circulación de corrientes en conductores

ideales se modela mediante inductores.

Los tres elementos anteriores representan la interacción del campo electromagnético con

medios materiales, y se denominan elementos pasivos.

2 Teoría de Redes Eléctricas


No menos importantes son los elementos activos, que se representarán como fuentes

independientes y controladas, y que permiten modelar dispositivos que transforman energías de

diferentes tipos en señales eléctricas.

En la fabricación de componentes de redes se intenta conseguir que su comportamiento sea

lo más cercano posible al ideal, descrito por el modelo. Se trata de que el dispositivo siga la

conducta dada por la relación de equilibrio idealizada que describe al elemento.

Si se definen adecuadamente los modelos de los elementos, cada uno de ellos incorpora un

aspecto de la realidad física. Así, entonces, una componente real podrá describirse, o

modelarse, como una interconexión de componentes elementales. Dependiendo de la exactitud

de los cálculos requeridos será la complejidad del modelo. Si los resultados obtenidos, con

determinada representación de las componentes reales por componentes elementales, coinciden

con buena aproximación con los resultados de mediciones, puede decirse que el modelo de red

es adecuado. En caso contrario, debe seguir refinándose el modelo, agregando otras

componentes elementales.

Los componentes elementales que se definan, también deben poder describir sistemas más

elaborados, como máquinas eléctricas, amplificadores y todos aquellos dispositivos creados por

el ingenio del hombre para cumplir propósitos determinados.

En la definición de los modelos se asumen condiciones. Por ejemplo, uno de ellos es que los

voltajes y corrientes no varían en el espacio. Es decir, se consideran puntuales o concentrados.

Esta condición deja de cumplirse cuando la frecuencia de cambio de las variables va

aumentando. Para estos casos se desarrolla una teoría con elementos distribuidos, y es la que

permite describir líneas de transmisión, guías de ondas, fibras ópticas y antenas. También se

desarrollan modelos que dependen del espacio para modelar las inductancias que forman los

devanados de las diferentes máquinas eléctricas.

La magnitud de las variables, los cambios de temperatura, el ambiente electromagnético y

otros aspectos también pueden cambiar la descripción de los elementos.

En lo que sigue se derivarán a partir de leyes físicas los modelos elementales, descritos en

(2.1).

Para cada componente elemental se obtendrá una relación de equilibrio y se le asociará un

símbolo que la representa.

2.2. Resistor

2.2.1. Definición

Cualquier componente que pueda ser descrita por una relación algebraica, no por una

ecuación diferencial o relación dinámica, en el plano v versus i, se denomina resistor.

Capítulo 2. Componentes Elementales 3


La relación de equilibrio, se describe por la relación:

R: ( , ) 0f v i (2.2)

La representación gráfica de esta relación en un plano (i, v) se denomina característica

terminal.

El siguiente símbolo representa a un resistor:

Figura 2.1. Símbolo del resistor.

2.2.2. Resistencia

La relación más simple para este tipo genérico de componentes es la siguiente:

v R i (2.3)

Con la siguiente descripción gráfica, o característica terminal:

Figura 2.2. Resistor lineal.

Y se emplea el símbolo:

a

b

v

i

R

i

v

R 1



Figura 2.3. Resistencia.

Esta componente elemental lineal se denomina Resistencia.

Si v se mide en Volts, i en Amperes, entonces R se mide en Ohms [ ].

Debe notarse que R es una constante, no depende de v ni de i, ni de coordenadas espaciales,

ni de la temperatura, ni de las frecuencias.

Modela el efecto que tiene la materia, para oponerse al movimiento de las cargas eléctricas.

El camino zigzagueante que se emplea en el símbolo gráfico, representa el hecho de que para un

voltaje dado, a mayor Resistencia se tiene menor corriente. Esta componente se resiste al paso

de la corriente, de allí proviene su nombre. El roce microscópico o colisiones entre las cargas

móviles (los electrones) y los núcleos de las estructuras que forman el material de que está

confeccionada la resistencia, producen un efecto calórico. Esta componente disipará la energía

eléctrica en forma de calor y/o luz.

2.2.3. Ley de Joule

Tenemos que la potencia que ingresa a la componente, definida por la relación (1.39), es:

p v i (2.4)

Aplicando la ecuación de equilibrio (2.3), en (2.4), se logra:

2p R i (2.5)

Relación que se conoce como efecto Joule o efecto calórico de la resistencia. Mide la

capacidad de disipar energía de esta componente.

Si R es mayor que cero, se tendrá transformación irreversible de la energía eléctrica en calor

o luz. En este caso se tendrá que p siempre será mayor que cero.

La relación de equilibrio (2.3), tal como ha sido planteada, permite conocer v, si se conocen

R e i.

En forma alternativa, si se desea conocer i, dado v, se emplea, como relación de equilibrio:

i Gv (2.6)

a

b

v

i

R



Donde:

G = conductancia [Siemens] 1 .ˆ ˆ mhos

Existe la siguiente relación entre los dos parámetros:

1G

R

(2.7)

Para v constante, a mayor conductancia se tendrá mayor corriente, esta es la razón del

nombre dado al parámetro. La relación (2.6) permite calcular i, si se conocen v y G.

Las resistencias reales difieren en varios aspectos de este modelo. La resistencia cambia con

la temperatura y la frecuencia. En la práctica existen otros aspectos que no se tratan en detalle:

diferentes materiales; diversas formas, tamaños y tolerancias de fabricación; el empleo de

códigos de colores para su identificación; cambios de largo debidos a dilatación, etc.

Casos particulares de esta componente se obtienen con valores extremos de R.

2.2.4. Modelo Físico

Para un trozo diferencial de material, con conductividad , la capacidad de conducir

corriente cuando existe un campo eléctrico a través del material, se describe por la Ley de

Ohm.

J = E (2.8)

Con: J, módulo del vector densidad de corriente en [A/m2]; E es el módulo del campo

eléctrico en [V/m].

Si a través del material conductor hay un campo eléctrico E, se produce movimiento de

cargas, debido a la fuerza eléctrica, definida en (1.20). Por la sección A[m2] de un conductor,

circula la corriente:

i = J· A (2.9)

De la definición de voltaje (1.18), y considerando que J y E tienen direcciones iguales, y que

el diferencial de camino tiene dirección opuesta a E, ver Figura 1.14, puede transformarse la

integral vectorial en escalar. Si E es constante a lo largo del camino l, se tendrá:

v E l (2.10)



Figura 2.4. Diferencial resistivo.

Entonces, reemplazando en (2.8) la expresión de J de (2.9), y la de E por la (2.10), se

obtiene:

i v

A l

(2.11)

Arreglando y despejando v, en (2.11), se obtiene:

lv i

A

(2.12)

Reconociendo el parámetro R en (2.3), se tiene:

lR

A

(2.13)

La resistencia R es directamente proporcional al largo del recorrido de las cargas. A mayor

recorrido, más colisiones; es decir, mayor dificultad de circulación.

A mayor área, hay más espacio entre los núcleos, y los portadores de cargas tienen menor

oposición a la circulación.

El tipo de material empleado está relacionado con la conductividad. A mayor conductividad,

menor resistencia.

Para recordar la relación obsérvese el filamento de una ampolleta: es delgado y para hacerlo

más largo se lo enrolla en espiral; ya que estas dos condiciones logran, además del material, una

alta resistencia. Esto implica una potencia elevada, necesaria para llevar al metal hacia la

incandescencia y producir luz.

2.2.5. Cortocircuito

Es un elemento de redes con la siguiente ecuación de equilibrio:

0v (2.14)

l

A

J

v



La corriente, a través del cortocircuito puede ser cualquiera, su valor depende del resto de la

red.

Modela a un conductor ideal, con conductividad infinita. La corriente que pasa por el

cortocircuito no lo calienta, ya que no disipa energía. En la mayoría de los casos es una buena

aproximación de un trozo de un alambre conductor. Los terminales de una componente pueden

considerarse cortocircuitos. También puede interpretarse como una resistencia con valor cero.

Figura 2.5. Cortocircuito.

2.2.6 Circuito Abierto

La Figura 2.6 muestra el símbolo de un resistor denominado circuito abierto.

Figura 2.6. Circuito abierto.

Ecuación de equilibrio:

0i (2.15)

La corriente es cero; esto lo recuerda el símbolo que ilustra que no hay un camino conductor

para la circulación de cargas.

El voltaje en los terminales del cortocircuito puede ser cualquiera; su valor depende del resto

de la red.

Puede interpretarse como una resistencia con valor muy alto, tendiendo a infinito.

2.2.7. Fusible

El siguiente símbolo se emplea para el elemento denominado fusible.

a

b

v

i

R=0

a

b

v

i

R =



Figura 2.7. Símbolo fusible.

Dimensionado adecuadamente la geometría y el material, puede lograrse una componente

que alcance su punto de fusión para una corriente determinada.

Figura 2.8. Esquema fusible.

2.2.8. Interruptor (Switch)

El siguiente símbolo se emplea para el interruptor. La ecuación de equilibrio depende si está

abierto o cerrado.

Si el interruptor está abierto es un circuito abierto; si está cerrado es un cortocircuito.


Abierto: 0i ; Cerrado: 0v (2.16)

Figura 2.9. Interruptor.

a

b

v

i

R

a

b

v

i



2.2.9. Oport (Open and Short)

Figura 2.10. Oport.


0v , 0i (2.17)

Simultáneamente, la corriente y el voltaje son ceros.

Por ejemplo, si debido al resto de la red, circula corriente cero a través de una resistencia,

ésta será un oport. Ya que, por su ecuación de equilibrio, se tendrá que también el voltaje será

cero.

2.2.10. Fuente de tensión independiente

Se suele emplear el siguiente símbolo para una fuente independiente de tensión o generador

de señal.

a

b

v

i

e(t) Ps

Figura 2.11. Símbolo fuente de tensión.

Figura 2.12. Fuente de tensión independiente.

a

b

v

i

oport

v

i e



El voltaje entre los terminales será igual a la tensión del generador.


v e (2.18)

La corriente, a través de la fuente ideal, puede ser cualquiera, su valor depende del resto de

la red. Como la tensión de la fuente no depende de la corriente que circula por ella, se dice que

es independiente.

Hemos definido la dirección de referencia de la corriente, saliendo de la polaridad positiva

de la fuente, de esta forma al hacer circular cargas desde potenciales bajos a superiores, la

fuente les está proporcionando energía.

Esta componente modela el proceso de conversión de energía, de algún tipo, en eléctrica.

La potencia suministrada es:

sP e i (2.19)

Ps es la potencia entregada por la fuente de tensión independiente, al resto de la red. Su

referencia se define en la Figura 2.11.

Esta fuente o manantial de energía eléctrica es ideal, ya que puede entregar toda la energía

que se le solicite, sin cambiar el voltaje entre los terminales, no importando el valor de i.

Dicho de otra forma, el proceso de conversión es ideal, sin pérdidas, y además el manantial

de energía del cual se extrae energía para transformarla en energía eléctrica es ilimitado. Es

evidente que este modelo de red idealizado no puede lograrse en la práctica.

La fuente de energía primaria puede ser química, es el caso de las pilas de los

electrodomésticos y las baterías de los automóviles. Puede ser una celda solar; o un par

bimetálico (se produce una tensión al calentar dos metales puestos en contacto); o un material

piezoeléctrico (que produce una tensión entre sus caras al ser sometido a presión); o un

generador electromecánico (que transforma energía mecánica en eléctrica a través de campos

magnéticos móviles).

Un micrófono, transforma las ondas acústicas en variaciones de voltaje; una cámara de video

transforma imágenes en voltajes. Un fotodiodo produce un voltaje al ser impactado por la luz.

Los eliminadores de baterías o fuentes de poder, transforman la energía eléctrica que se

distribuye en forma de variación sinusoidal en fuentes de tensión continua.

Los enchufes hembras (tomacorrientes) en los casas pueden ser considerados fuentes de

tensión alterna. Elementos activos como transistores pueden ser modelados empleando fuentes



de tensión. En fin, son innumerables las situaciones que pueden ser representadas por una fuente

de tensión.

En los laboratorios y simuladores suele disponerse de generadores de señal, que también

pueden modelarse como fuentes de tensión. Generalmente disponen de señales periódicas:

cuadradas, triangulares, sinusoidales. Por lo anterior, en el símbolo se muestra en forma

explícita la variación temporal de la tensión o señal generada.

El siguiente símbolo se emplea para fuentes continuas:

Figura 2.13. Fuente de tensión continua.

2.2.11. Fuente de tensión no ideal

Plantearemos la ecuación de equilibrio y el modelo de la fuente real, mediante la conexión

de dos componentes elementales. Luego obtendremos la relación de equilibrio a partir del

modelo.


v e R i (2.20)

Modelo de red:

Figura 2.14. Fuente de tensión real.

Observamos que la conexión de dos componentes ideales, en la forma en que se indica en la

Figura 2.14, establece una representación aproximada de un generador real.

Para obtener la relación de equilibrio (2.20), comenzaremos planteando LVK en la red de la

Figura 2.15:

a

b

v

i

E

e

v

i

R



0rfv v v (2.21)

Figura 2.15. Definición de variables.

Planteando LCK, en los nodos se advierte que, con las direcciones indicadas, las corrientes

en los elementos son iguales a la corriente en los terminales del generador real.

Las ecuaciones de equilibrio de las componentes elementales:

r

fe

v Ri

v

(2.22)

Reemplazando éstas en la ecuación LVK, se logra la relación (2.20), propuesta al inicio:

v e R i

Si se desprecian las pérdidas óhmicas, es decir, R igual a cero, se obtiene la ecuación de

equilibrio del generador ideal.

Graficando esta relación, en el plano (i, v) se obtiene la característica terminal:

Figura 2.16. Característica de fuente de tensión real.

Nótese que en la Figura 2.16, al aumentar la corriente, la tensión v, en los terminales del

generador, tiende a disminuir. Comparar con el caso ideal ilustrado en la Figura 2.12.

El modelo propuesto para el generador real no contempla el agotamiento de la energía

interna de otro tipo que se está convirtiendo en energía eléctrica.

e

v

i

R

vf

vr i

v

i

e

e/R



La Figura 2.16 es la representación gráfica de la característica terminal de la combinación de

los dos elementos ideales.

Notemos que la relación entre variables terminales, puede ser considerada una componente.

Esto se ilustra, con la siguiente ecuación de equilibrio:

R: ( )v i e R i (2.23)

Y el siguiente símbolo gráfico:

Figura 2.17. Resistor equivalente.

La relación anterior también se denomina característica de punto motriz (CPM), ya que

asociado al par de terminales a y b, se tiene un flujo de potencia p, hacia el resto de la red. Lo

cual se ilustra en la Figura 2.18.

Figura 2.18. Punto de alimentación.

2.2.12. Fuente independiente de corriente

Ecuación de equilibrio y característica terminal:

( )i j t (2.24)

a

b

v

i

R

a

b

v

i

R p



Figura 2.19. Símbolo fuente de corriente.

Figura 2.20. Característica fuente de corriente.

La fuente j(t) mantiene la corriente en los terminales, independiente de la tensión v. El valor

de la tensión v, depende del resto de la red.

El modelo es ideal, ya que no hay pérdidas de energía eléctrica por disipación.

2.2.13. Generador real de corriente

Para obtener la relación de equilibrio de la fuente real de corriente, aplicamos LCK, en un

nodo de la Figura 2.21, se obtiene:

j Rii i (2.25)

Aplicando las ecuaciones de equilibrio de la fuente y de la resistencia, se tienen:

j

R

j

vi

R

i

(2.26)

Reemplazando (2.26) en (2.25) se obtiene la ecuación de equilibrio para la fuente real de

corriente:

vi j

R

(2.27)

Modelo del generador real de corriente en términos de componentes elementales:

a

b

v

i

j(t)

v

i

j



Figura 2.21. Símbolo generador real de corriente.

Graficando la relación (2.27), se obtiene la característica de la Figura 2.22.

Figura 2.22. Característica de punto motriz (CPM)

2.2.14. Equivalencia entre fuentes reales

Comparando las descripciones de las fuentes reales de corriente y tensión, Figuras 2.15 y

2.21, llegamos a que ambos modelos son equivalentes si se cumple que:

e j R (2.28)

El resto de la red no puede darse cuenta si tiene conectado un generador real de corriente o

su equivalente generador real de tensión.

Ambos modelos son equivalentes por tener características terminales iguales.

2.2.15. Análisis de una red sencilla

Sea la siguiente red:

Figura 2.23. Red simple.

j

v

i

R

iR ij

v

i

jR

j

e

i1

R v1 v2

i2

p2

p1



Se tienen dos componentes, y se han identificado cuatro variables: v1, v2, i1, i2.

Se requieren cuatro ecuaciones para determinar los valores que deben tener las variables;

éstos corresponden a la solución del sistema de ecuaciones.

Por LVK, se tiene:

2 1v v (2.29)

Por LCK, se tiene:

2 1i i (2.30)

De las ecuaciones de equilibrio, se tienen:

2v e

11v R i

(2.31)

Resolviendo el sistema, se obtiene la solución de la red.

1 2 ev v

1 2

ei

Ri

(2.32)

Se consideran datos los valores que definen las componentes; en este caso los datos son: e y

R.

Efectuando un balance de potencias, aplicando Tellegen, resulta:

1 2p p (2.33)

Con:

1 1

2 2

1

2

i

i

p v

p v

(2.34)

La potencia que sale del generador fluye hacia la resistencia.

Reemplazando (2.32) en (2.34) se obtiene:

2

1 2

ep p

R

(2.35)

De las ecuaciones (2.32) y (2.35) se concluye que: al disminuir la resistencia, la corriente

aumenta; y también aumenta la potencia disipada en la resistencia.



También puede decirse que al aumentar la carga, el aumento de corriente al disminuir R, se

requiere que la fuente entregue más corriente.

Notemos que en el límite de disminución de R, la corriente tiende a valores elevados y

también la potencia entregada por la fuente y la disipada en la resistencia. Debido a esto último,

se tendrá una elevada temperatura en la resistencia, lo que terminará fundiéndola; quedando,

finalmente, como un circuito abierto.

En la práctica los generadores tienen pérdidas y no pueden proveer una energía infinita;

tampoco puede lograrse una resistencia cero, aunque se emplee un buen conductor.

El resultado anterior, para la red simple, se puede plantear como un teorema, que conviene

memorizar.

Para la red, de la Figura 2.24, la corriente i es igual a e

R.

Figura 2.24. Resultado del análisis

Ejemplo 2.1.

La interconexión de componentes elementales, no siempre origina una red eléctrica. La

conexión de una fuente independiente y un cortocircuito, no es una red eléctrica pues no se

cumple LVK. Esto se ilustra en la Figura 2.25.

El cortocircuito implica que 1 0v . La fuente de tensión implica que 2v e .

Se requiere, por LVK que: 1 2v v ; es decir que 0e , lo cual es una contradicción, salvo

que e sea cero.

Figura 2.25. No es red eléctrica.

Para que una interconexión de componentes sea una red, deben cumplirse simultáneamente

las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de equilibrio de las componentes.

e

i1

v1 v2

i2

e

ei

R

R



En caso que esto no sea posible, el modelo construido en base a componentes elementales es

incompleto, y no representa adecuadamente al sistema real.

Si se coloca un alambre conductor entre los terminales de una fuente real, el modelo de redes

que representa este sistema, contiene una fuente ideal, y dos resistencias; la de la fuente real, y

la pequeña del alambre.

El resultado del análisis, aplicando el resultado de la Figura 2.24, es una corriente elevada, la

cual posiblemente funda los fusibles de la fuente, o derrita el alambre conductor.

Esta es una de las razones para colocarle el nombre de cortocircuito a la componente

idealizada de un conductor perfecto o de resistencia cero.

2.2.16. Potenciómetro

Es una resistencia con tres terminales. Dos fijos en los extremos de la resistencia y uno

móvil. El valor de la resistencia, entre un extremo fijo y el móvil, puede variar entre cero y el

valor de la resistencia entre extremos.

Figura 2.26. Potenciómetro.

Usando esta componente se puede lograr una resistencia variable en el tiempo.

2.2.17. Diodo ideal


0v para 0i

0i para 0v

(2.36)

Figura 2.27. Símbolo diodo ideal.

R

a

b

c

a

b

v

i



Figura 2.28. Característica diodo ideal.

Se dice que está conduciendo, o en estado encendido, cuando 0i , en este estado es

un cortocircuito.

No conduce, o en estado apagado, si 0v , en este estado es un circuito abierto.

En el origen funciona como un oport.

Es ideal, o sin pérdidas, ya que siempre la potencia que ingresa a la componente es cero.

La flecha en el símbolo, recuerda la dirección en que circula la corriente, también se

denomina ánodo. La barra es el cátodo y representa un bloqueo para la corriente.

Como veremos, esta componente incorpora no-linealidades. Sólo permite circulación de

corriente en una dirección.

La característica de un diodo real:

Figura 2.29. Característica real.

Como se estudia en un curso de electrónica, la característica de un diodo real es de tipo

exponencial; y su manipulación numérica resulta compleja. Debido a esto ha sido tradicional

efectuar aproximaciones. Veremos dos de las más usadas, y que modelan la no linealidad en

base a la interconexión de componentes de redes idealizadas; en este caso una de las

componentes será el diodo ideal.

La característica de la Figura 2.29, puede ser aproximada por:

v

i

v

i



Figura 2.30. Aproximación 1.

Una aproximación más simple, pero más inexacta es la de la Figura 2.31.

Figura 2.31. Aproximación 2.

Como veremos, a través del ejemplo 2.2, pueden derivarse modelos de redes que tengan las

características de las Figuras 2.30 y 2.31.

Figura 2.32. Modelo aproximación 1.

Figura 2.33. Modelo aproximación 2.

v

i

1

1/R

E

v

i

E

a

b

v

i

E

R

a

b

v

i

E



Ejemplo 2.2.

A partir del modelo de aproximación 2, obtendremos la relación del resistor de la Figura

2.31. Para esto: en la Figura 2.33 definimos las variables voltajes de las componentes; luego

empleando las características terminales de las Figuras 2.12 y 2.28, pero ahora en términos de

v1 y v2. Se tienen:

Figura 2.34. LVK gráfica.

Puede lograrse la composición gráfica, de las características terminales de la fuente y el

diodo ideal de la Figura 2.34, sumando para un valor de i, los valores de v1 y v2; de esta forma

se logra la característica de la Figura 2.31. El procedimiento podría llamarse LVK gráfica.

Otra forma de razonamiento es considerar al diodo en uno de sus dos estados. Cuando el

diodo está abierto la corriente i debe ser cero, esto implica el segmento horizontal de la Figura

2.31. Cuando el diodo conduce, puede reemplazarse por un cortocircuito, entonces en la Figura

2.34, se observa que sólo queda la fuente, esto justifica el segmento vertical de la Figura 2.31.

Esto se denomina análisis por segmentos lineales.

De forma similar puede derivarse la Figura 2.30, a partir del modelo planteado en la Figura

2.32.

Ejemplo 2.3.

Linealización de características no lineales.

Otro modelo para representar a un diodo suele emplearse cuando el voltaje aplicado al diodo

es una señal constante más una señal variable en el tiempo:

( )psv V v t

Y se cumple que los máximos valores que toma psv son mucho menores que V. Se usa ps

por pequeña señal.

Si en la expresión para la serie de Taylor:

2 2

0 0 00 0 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ...

2

df x x x d f xf x f x x x

dx dx

(2.37)

a

b

v

i

E v1

v2

v 1

i E

v 2

i



Se reemplazan en la (2.37), f por i, x por v, y x0 por V, se obtiene:

2 2

2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ...

2

di V v V d i Vi v i V v V

dv dv

(2.38)

Si además se definen:

( ) ( )

( ) 1

ps

ps

d

i i v i V

v v V

di V

dv r

(2.39)

Y se reemplazan en la (2.38), se obtiene:

2 2

2

( ) ( )...

2

ps ps

ps

d

v v d i Vi

r dv

(2.40)

Las definiciones anteriores se ilustran en la Figura 2.35.

Figura 2.35. Modelo pequeña señal.

Si en un entorno pequeño de V, la aproximación por el término lineal de la serie de Taylor se

considera razonable, la relación entre psi y psv puede aproximarse por la pendiente a la curva.

En estas condiciones, se tiene:

ps

ps

d

vi

r

(2.41)

Si se está interesado en la corriente y voltaje a pequeña señal, puede modelarse al diodo

como una resistencia. Esto se muestra en la Figura 2.36.

v

i

V

vps

ips

1

1/rd

i(V)



Figura 2.36. Resistencia dinámica de diodo real.

rd se denomina resistencia dinámica y es la pendiente a la curva evaluada en v=V.

2.2.18. Fuentes controladas

2.2.18.1. Fuente de corriente controlada por corriente

La fuente de corriente depende de otra corriente, que se denomina corriente de control. Se

emplea además un parámetro k, constante.


ci ki (2.42)

Figura 2.37. Símbolo fuente controlada por corriente.

La relación (2.42) puede representarse gráficamente mediante una familia de rectas.

Figura 2.38. Fuente controlada por corriente.

a

b

vps

ips

rd

a

b

v

i

k ic

ic

v

i

k ic

ic= ic1

ic= ic2



Es una componente que tiene más de dos terminales. La corriente ic es la corriente de

control, y k es una ganancia de corriente.

Es una componente activa, ya que puede entregar potencia al resto de la red:

e cp ki v

Nótese que v depende del resto de la red, y que la potencia requerida para efectuar el control

es cero. Esto se debe a que en el modelo idealizado, la corriente de control circula en un

cortocircuito; y la potencia asociada será cero, debido a que el voltaje es cero.

Veremos que el modelo básico de un transistor, incorpora una fuente controlada por

corriente.

2.2.18.2. Fuente de tensión controlada por tensión


cv kv (2.43)

Figura 2.39. Símbolo fuente controlada por tensión.

Figura 2.40. Fuente controlada por tensión.

Es una componente activa. El valor de i depende del resto de la red. La potencia en la

puerta de control es cero.

Su representación gráfica es una familia de rectas.

a

b

v

i

k vc

vc

v

i

k vc

vc= vc1

vc= vc2



2.2.18.3. Amplificador operacional

La fuente dependiente de un voltaje, también suele tratarse como un amplificador

operacional, que es una componente básica en redes lineales activas.

Ecuaciones de equilibrio:

1 2( )sv k v v

1 2 0i i

(2.44)

Figura 2.41. Símbolo amplificador operacional.

Se denomina amplificador operacional, o amplificador diferencial.

Un caso más real, de un amplificador operacional, se ilustra en la Figura 2.42. Se aprecia

que el voltaje de salida no aumenta linealmente con el de entrada; se produce saturación de la

amplificación, lo cual limita el voltaje de salida a una constante A.

Figura 2.42. Característica amplificador operacional.

La variable de salida se satura en un valor A.

Pueden definirse fuentes de corriente controladas por tensión y fuentes de tensión

controladas por corriente; pero no se presentan a menudo en la práctica.

2.3. Elementos dinámicos

Quedan descritos por una ecuación diferencial.

vS

i1

v2 v1

i2

v1 – v2

vs

1

k

A

-A



2.3.1. Condensador

Están basados en dos placas conductoras aisladas entre sí por un material aislador o

dieléctrico.

Básicamente son dos placas cargadas, una con carga positiva q; la otra con –q.

Figura 2.43. Carga almacenada en condensador.

La carga total encerrada es cero y, por lo tanto, se cumple LCK.

Se forma un campo eléctrico intenso entre las placas. Por esto se llama condensador, ya que

condensa líneas de campo eléctrico.

Se tiene:

q Cv (2.45)

Donde C es la capacidad y se mide en Faradios [F], si la carga se mide en Coulomb [C] y el

voltaje en Volts [V].

Para v constante a mayor capacidad, mayor carga almacenada.

La relación anterior se desprende de la Ley de Gauss. Si se considera que el voltaje es una

medida integral del campo eléctrico; puede razonarse que si hay campo eléctrico es porque hay

cargas.

Si hay cargas acumuladas en las placas del condensador, habrá un voltaje en el condensador.

La ley de Gauss establece que emanan líneas de campo eléctrico de las cargas positivas, de

tal forma que la componente normal promedio del campo, en la superficie que encierra al

volumen que contiene la carga es igual a la carga partido por la permitividad , lo anterior se

puede escribir según:

qE da

(2.45a)

La capacidad puede calcularse conociendo la geometría y los materiales empleados.

a

b

v

i

C -q

+q



Se asume un par de placas conductoras cargadas y paralelas de superficies muy grandes,

entonces el campo será homogéneo entre las placas, y cero fuera de ellas, como se ilustra en la

Figura 2.43a.

+ + +

- - -

E

A l v

Figura 2.43a. Ley de Gauss en condensador.

Si se escoge un volumen que encierre un trozo de la placa con carga positiva, se tendrá

componente normal sólo en la superficie A entre las placas, y como el campo se asume

homogéneo, la integral resulta:

E da EA

(2.45b)

Reemplazando en (2.45a) se obtiene, despejando q:

q AE (2.45c)

Recordando la definición de voltaje vista en (1.18), para la Figura 2.43a, se obtiene:

v El (2.45d)

La que reemplazada en (2.45c), permite obtener:

Aq V

l

(2.45e)

Comparando la (2.45c) con (2.45) se tiene que, para un condensador de placas paralelas y

planas, la capacidad puede definirse:

AC

l

(2.46)

Con l la distancia entre placas y A el área de la placa. es la constante dieléctrica del

material y es mayor en algunos materiales formados por enlaces iónicos. Un papel aceitado es

buen dieléctrico, y se suele colocar entre dos láminas delgadas de aluminio; lo cual permite

tener gran área, pequeño l y razonable permitividad. Luego este emparedado se enrolla para

disminuir el volumen.



También se logran buenos condensadores con soluciones electrolíticas, pero en estos casos

sólo puede almacenarse carga positiva en el ánodo, y la negativa en el cátodo. En caso de

intentar hacerlo de otra forma, se produce una intensa reacción química que suele destruir el

dispositivo.

2.3.1.1. Ecuación de equilibrio

Si juntamos las ecuaciones de la conservación de la carga (1.9) con la proveniente de la Ley

de Gauss (2.45), se tendrán:

; q Cvdq

idt

Eliminando la carga, resulta la relación de equilibrio:

( )d Cvi

dt

(2.47)

Y si C no depende de v, ni de i, ni de t, se logra la ecuación diferencial de primer orden:

·dv

i Cdt

(2.48)

Relación postulada al inicio, en (2.1), pero ahora conocemos que esta relación contiene la ley

de la conservación de la carga y la ley de Gauss.

Nótese que si v es constante, la corriente es cero y el condensador se comporta como un

circuito abierto.

Si v aumenta en el tiempo, esto implica que 0dv

dt; por lo tanto i será mayor que cero. Y

puede decirse que la carga del condensador aumenta; o que el condensador está cargándose.

Si v disminuye en el tiempo, en ese intervalo dv

dt será negativo, y la corriente será negativa.

Esto se interpreta como cargas positivas que abandonan la placa superior; y negativas la

inferior. Entonces se dice que el condensador está descargándose.

2.3.1.2. Potencia y energía en un condensador

Se tiene reemplazando la corriente de la relación (2.48) en la (1.39) que:



p v i

dvCv

dt

(2.49)

De las reglas de derivación se tiene que:

2d(Cv / 2) dv

Cvdt dt

(2.50)

De la ley de la conservación de la energía, se tiene que la potencia que ingresa a un

condensador, en términos de la energía almacenada en éste es:

cdw

dtp

(2.51)

Entonces igualando las dos expresiones para p, en (2.49) y (2.51), se obtiene:

2d(Cv / 2) cdw

dt dt

(2.52)

Entonces, se reconoce la energía asociada al condensador como:

2 2

( )2 2

c

Cv qw t

C

(2.53)

Se ha empleado la relación (2.45), para expresar la energía en términos de la carga

almacenada. Puede observarse en (2.53) que wc será siempre positiva, a lo sumo cero.

Con 0p se carga; con 0p se descarga. No puede salir más energía de la que le ha sido

suministrada.

El condensador se emplea para almacenar energía en el campo eléctrico.

Note que la expresión para la energía (2.53), es similar a la energía potencial del resorte y a

la energía cinética de una masa.

La relación de equilibrio (2.48) permite calcular i si se conoce v.

2.3.1.3. Ecuación de equilibrio inversa

Para calcular v, conociendo i debe resolverse la ecuación diferencial (2.48), si se expresa

ésta, en forma diferencial, se obtiene:



1( ) ( )dv t i t dt

C

(2.54)

Si se integra, en forma definida, en ambos miembros, desde el tiempo t1 al tiempo t2, se

obtiene:

2 2

1 1

( )

( )

1( ) ( )·

v t t

v t tdv t i t dt

C

(2.55)

Pero la integral a la izquierda de la igualdad, es de un diferencial perfecto, y puede calcularse

según:

2

12 1

( )

( )( ) ( )( )

v t

v tt v tdv t v

(2.56)

Empleando (2.56) en (2.55), el voltaje en el tiempo t2, puede calcularse mediante:

2

1

2 1

1( ) ( ) ( )

t

tv t v t i t dt

C

(2.57)

Que muestra que si se conoce 1( )v t y la función ( )i t en el intervalo t1 a t2, puede calcularse

v en el instante t2.

Si deseamos que el tiempo t2 sea un tiempo cualquiera y t1 un tiempo de referencia o de

inicio del estudio, conviene reemplazar la variable t, de la integral del segundo miembro, por .

Esto para evitar confusiones, ahora t es un parámetro.

Entonces la solución general, puede expresarse según:

1( ) ( ) ( )

ref

t

reft

v t v t i dC

(2.58)

La misma metodología nos permite expresar la solución de (1.9), para la carga, en términos

de la corriente:

( ) ( ) ( )

ref

t

reft

q t q t i d (2.59)

También puede obtenerse, a través de un desarrollo similar, una expresión para determinar la

energía si se conoce la potencia; esto se logra integrando la relación (1.36). Se obtiene:



( ) ( ) ( )

ref

t

reft

w t w t p d (2.60)

En algunos textos, para simplificar más la solución general, se asume que no había nada

antes del instante de la creación, es decir en t tendiendo a menos infinito. Se tiene, considerando

que el instante de referencia se encuentra en menos infinito, que:

( ) ( ) 0refv t v

Reemplazando en (2.58), se logra:

1( ) ( )

t

v t i dC

(2.61)

Que permite expresar el voltaje en términos de la corriente y el valor del condensador.

Ejemplo 2.4.

Para el siguiente cambio de tensión en un condensador, se tendrá, empleando la relación

(2.48), que puede determinarse la corriente:

Figura 2.44. Variaciones en un condensador.

Mientras más pequeño es el intervalo, en que se aplica el cambio de la tensión, mayor será la

amplitud constante de la corriente en el intervalo.

Nótese que el área bajo la curva de la corriente es constante e igual a CV.

Si consideramos ahora que la causa es un pulso positivo de corriente, se tendrá como

resultado un cambio lineal del voltaje, como se aprecia en la Figura 2.44.

t1

v

t

V

t2

t1

i

t

CV/(t2-t1)

t2



Un pulso de corriente implica una carga del condensador y, por lo tanto, un cambio de

tensión.

Un cambio instantáneo de tensión requiere una corriente infinita aplicada en un intervalo

cero. Esto no se puede producir en la realidad. Veremos más adelante como tratar

matemáticamente este caso.

También debe notarse que, si la corriente aplicada es constante, se tendrá un voltaje que

crece linealmente en el tiempo. Esta es la forma de generar voltajes proporcionales al tiempo,

que se emplean en numerosas aplicaciones en electrónica. Por ejemplo, en los circuitos que

generan las bases de tiempo en osciloscopios.

2.3.1.4. Modelos con pérdidas

Nótese que se ha asumido que el aislador entre las placas del condensador es perfecto, por lo

cual no hay corrientes de conducción a través del condensador. En la práctica un condensador

tendrá pérdidas debidas a un dieléctrico real, lo cual puede modelarse según:

Figura 2.45. Modelo de condensador con R muy grande.

La Figura 2.45, idealiza que los conductores empleados son perfectos; en caso que no lo

fueran, las pérdidas de conducción podrían modelarse con una resistencia R2 adicional:

Figura 2.46. Condensador con pérdidas

R1 y R2 son elementos parásitos en el modelo. R2 es muy pequeña y R1 muy grande. No se

desea que estén presentes.

El modelo de la Figura 2.46 considera que las corrientes no producen campos magnéticos.

v

iC

C

iR

R

R2

iC

C

iR

R1



2.3.2. Inductor

Están basados en un conductor por el cual circula una corriente. Si el conductor se enrolla de

cierta forma, produce un campo magnético intenso en determinada región. Lo cual permite

inducir efectos magnéticos en las vecindades. Por esto se denomina inductor.

2.3.2.1. Flujo enlazado

Sea el flujo magnético asociado a una superficie que se apoya sobre un camino conductor,

por el cual circula una corriente.

Figura 2.47. Flujo magnético.

Se define el flujo magnético como:

adB

(2.62)

La referencia para medir el flujo es la dirección del diferencial de área, similar a la polaridad

que se emplea para el voltaje.

El flujo es un escalar, con valor positivo si la dirección del campo magnético coincide con la

dirección del diferencial de área. Es una medida de la componente normal promedio en la

superficie.

Si el devanado está formado por varias vueltas, se define el enlace de flujo como la suma

de los flujos individuales.

n

i

i

1

(2.63)

B

da



Figura 2.48 Flujo total enlazado.

La Figura 2.48 ilustra que los flujos de cada vuelta de un devanado o enrollado, dependen

de las áreas individuales. El flujo enlazado es un escalar asociado a todas las vueltas.

Si las N vueltas tienen igual área y orientación:

N (2.64)

Donde es el flujo asociado a una vuelta.

2.3.2.2. Ley de Ampère

Establece que se produce un campo magnético, que tiende a enrollarse en torno a la corriente

que lo produce. En la Figura 2.49, se tiene que el promedio de la componente tangencial del

campo magnético, en el camino que encierra a la corriente, está relacionado con ésta, según:

B dl i

(2.65)

Figura 2.49. Ley de Ampère.

Donde es la permeabilidad magnética.

Si se enrollan N vueltas de un alambre conductor, muy cercanas entre sí, el campo tenderá a

intensificarse en el centro de las vueltas. Si el devanado es muy largo, puede demostrarse que B

será homogéneo dentro de las vueltas y cero fuera del enrollado. Aplicando la ley de Ampère

1

2

3

i

dl B



(2.65) al camino rectangular de la Figura 2.50, de alto l, y considerando que el campo magnético

y el diferencial de camino tienen igual dirección, se tendrá, que para este caso, se obtiene:

Bl N i (2.66)

Figura 2.50. Cálculo de B en un solenoide.

Multiplicando ambos miembros de (2.66) por el área A del devanado, y dividiendo ambos

miembros de (2.66) por l, se obtiene:

NA

lBA i

(2.67)

Multiplicando por N, ambos miembros de (2.67) y utilizando (2.62) se obtiene:

2N A

lN i

(2.68)

Reemplazando (2.64) en (2.68) se obtiene:

2N A

li

(2.69)

Definiendo el grupo de constantes que dependen de la geometría y los materiales, como la

inductancia L, se tiene:

2N A

lL

(2.70)

La ley de Ampère, puede escribirse en forma escalar, reemplazando (2.70) en (2.69), según:

Li (2.71)

Donde L es la inductancia, se mide en Henrys [Hy].

i

B



La inductancia mide la capacidad de un artefacto, por el cual circula una corriente i, para

producir un campo magnético. Para igual corriente, a mayor L se tendrá mayor flujo enlazado.

La relación (2.71) es una forma práctica de la Ley de Ampère. La inductancia depende de la

geometría del enrollado o devanado y del material que esté formado el núcleo. Si se usa fierro

la inductancia será mucho mayor que si el núcleo es de aire.

Si existen dos devanados:

Figura 2.51. Devanados acoplados magnéticamente.

El flujo enlazado por el circuito uno, dependerá de i1 e i2 según:

1 1 1 2L i Mi (2.72)

Donde L1 es la autoinductancia o inductancia propia, y M se denomina inductancia mutua.

2.3.2.3. Fuerza electromotriz

Se define la fuerza electromotriz (fem) según:

ldE

(2.73)

Figura 2.52. Fuerza electromotriz.

Es decir, el promedio de la componente tangencial al camino. Mide si el campo eléctrico

tiene líneas circulares en la región.

1

i1 i2

dl E



Si existiera una fem, y si se colocara una carga q en el camino, ésta experimentará una fuerza

que la moverá a lo largo del camino. Produciéndose una corriente eléctrica inducida.

La dirección de referencia para medir la fem queda dada por la del sentido del diferencial de

camino. La fem tiene una dirección de referencia, la que es similar a la empleada para las

corrientes.

2.3.2.4. Ley de Faraday

La Ley de Faraday se plantea según:

d

dt

(2.74)

Si varía el campo magnético en el tiempo, se producirá una fem. Si se coloca un camino

conductor, en éste circulará una corriente, que se denomina inducida.

Figura 2.53. Ley de Faraday

Si el flujo aumenta, la fem será negativa y producirá una corriente inducida cuya dirección

será opuesta a la de la fem. Esta corriente produce un campo magnético inducido cuya

dirección será opuesta al campo magnético inductor que produjo la fem.

2.3.2.5. Voltaje generado

Si se aplica un campo magnético variable, a través del circuito formado por el conductor, se

producirá una fem asociada al camino cerrado.

La fem es un escalar asociado al camino cerrado y su dimensión se expresa en Volts. Puede

ser relacionada con el voltaje entre los terminales de un inductor, abriendo el camino conductor

según se muestra en la Figura 2.54. De esta forma se obtienen dos terminales, a y b, que se

ilustran alejados de la zona donde existe variación del campo magnético. Puede considerarse

que la separación en el camino conductor, para derivar los terminales, es infinitesimal.

En la zona donde se define el voltaje, entre los terminales a y b, no hay campos magnéticos

variables. Entonces las líneas del campo eléctrico no serán circulares, y puede definirse el

voltaje según fue visto en (1.18).

da



Figura 2.54. Voltaje generado.

Se tiene para la integral, a través del aire, entre b y a:

v

a

abb

E dl

(2.75)

Para el camino cerrado, puede definirse la fem según:

a b

b a

E dl E dl E dl

(2.76)

Reemplazando la primera integral de línea en (2.76), que se efectúa a través del aire, por

el voltaje de (2.75), resulta:

ab

b

a

v E dl

(2.77)

La integral de línea en (2.77), desde a hacia b, se realiza a través del camino conductor. En

el conductor, el campo eléctrico puede expresarse en términos de la densidad de corriente J

(2.8); a su vez ésta en términos de la corriente (2.9). Finalmente reconocemos la relación para la

resistencia del conductor (2.13), obteniendo:

b

a

J J A i lE dl E l l l R i

A A

(2.78)

Reemplazando (2.78) en (2.77), obtenemos:

abv Ri (2.79)

da

a b

vab

i



Empleando la Ley de Faraday (2.74), reemplazamos la fem por la variación del flujo

enlazado, en (2.79), obteniendo una relación entre el voltaje generado y el campo magnético

variable que lo produce:

vab

dR i

dt

(2.80)

La relación (2.80), puede considerarse la definición de un inductor con pérdidas.

Si se asume que el conductor que forma el enrollado es perfecto, se tendrá que R tendrá valor

cero en (2.80), y se obtiene:

vab

d

dt

(2.81)

Que es una forma alternativa de la Ley de Faraday.

La relación (2.81) también puede interpretarse como la variación magnética que se produce

al aplicar una tensión variable en el tiempo entre los terminales a y b.

La variación de voltaje causa una variación del campo magnético, y viceversa.

Si consideramos la ley de Faraday (2.81) y la ley de Ampère (2.71):

d

v Lidt

(2.82)

Y eliminamos, de las dos ecuaciones anteriores, el flujo enlazado, se llega al modelo de

redes de un inductor, postulado en (2.1).

2.3.2.6. Ecuación de equilibrio

Se define la relación entre el voltaje producido entre los terminales de un inductor a través

del cual circula una corriente, mediante:

( )d Liv

dt

(2.83)

El siguiente símbolo, que recuerda a un enrollado, o devanado, representa a un inductor:



Figura 2.55. Inductor.

Si L no depende de v, ni de i, ni de t, se logra:

div L

dt

(2.84)

Ecuación diferencial de primer orden, con coeficiente constante. L se mide en Henrys [Hy].

Nótese que si la corriente es constante, el voltaje será cero y el inductor se comporta como

un cortocircuito.

Si v es mayor que cero, la corriente aumenta. Esto implica un aumento del campo

magnético; y se dice que el inductor está magnetizándose.

2.3.2.7. Potencia y energía en inductores

A partir de la expresión (1.39), para la potencia que ingresa a una componente, se reemplaza

el voltaje de la relación (2.84), obteniéndose:

2

·

i

( )2

p v i

diL

dt

Lid

dt

(2.85)

Se ha empleado que:

2

( )2 i

Lid

diL

dt dt

(2.86)

Donde el numerador del término derecho de (2.86) es el diferencial exacto; la relación puede

derivarse del cálculo.

a

b

v

i

L



De la ley de la conservación de la energía (1.36), se tiene que la potencia que ingresa a un

inductor, en términos de la energía almacenada en éste, es:

Ldw

dtp

(2.87)

Comparando los diferenciales de los numeradores del lado derecho de (2.85) y (2.87) puede

expresarse la energía asociada al inductor, en términos de la corriente, por:

2 2

2 2L

Liw

L

(2.88)

Donde se ha empleado la relación (2.71), para obtener una expresión de la energía en

términos del flujo enlazado.

Nótese que la energía en el inductor en (2.88), debido a que depende del cuadrado de la

corriente, siempre será positiva. De la (2.87) observamos que con 0p el inductor se

magnetiza; y con 0p se desmagnetiza.

2.3.2.8. Ecuación de equilibrio en función del voltaje

Con un desarrollo similar al visto en 2.3.1.3 se puede obtener:

1( ) ( ) ( )

ref

t

reft

i t i t v dL

(2.89)

Y también la siguiente relación simplificada:

1( ) ( )

t

i t v dL

(2.90)

Ejemplo 2.5.

Para el siguiente cambio de corriente en un inductor, se tendrá, aplicando la relación (2.84):



Figura 2.56. Pulso de voltaje en inductor.

Sólo hay cambios de v, si i cambia en el tiempo. Cuando la corriente es constante, en el

tiempo, el voltaje en el inductor es cero.

Una discontinuidad finita de i implica una tensión o voltaje que tienden a infinito. Esto

puede observarse, considerando que el área del pulso de voltaje, en la Figura 2.56, es constante.

Y a medida que aumenta la pendiente de la corriente, disminuye el intervalo de tiempo, con lo

cual aumenta la amplitud del pulso.

Abrir un circuito que contiene una inductancia, produce una elevada tensión en ésta. Lo cual

se ha empleado para producir chispas en las bujías de los automóviles. Cuando la tensión es

muy elevada, entre dos conductores metálicos cercanos entre sí, se produce la ruptura del aire,

que normalmente es aislador, en forma similar a la que se produce al formarse un rayo en

tormentas eléctricas.

2.3.2.9. Inductores acoplados

Si tenemos dos devanados o bobinas, por las cuales circulan corrientes se producirán flujos

enlazados debidos a las dos corrientes, ver (2.72), según:

1 1 1 12 2L i M i

2 21 1 2 2M i L i

(2.91)

Un diagrama que muestra los campos magnéticos y las corrientes que circulan por los

devanados, se muestra en la Figura 2.57.

t1

i

t

I

t2

t1

v

t

LI/(t2-t1)

t2



Figura 2.57. Inductores acoplados.

Las referencias para las direcciones de las corrientes y de los enlaces de flujo para los

devanados, cumplen la definición vista en la Figura 2.51, que suele conocerse como regla de la

mano derecha. Si los dedos, de la mano derecha, siguen la dirección de la corriente, el pulgar

indica la dirección del campo magnético.

Es decir, el flujo enlazado por el inductor 1, en parte se debe a la corriente i1, y en parte a la

corriente i2. Similar situación ocurre en el devanado dos.

Se asume que existe un material ferromagnético (un núcleo), sobre el cual están enrollados

los devanados; de esta forma, gran parte de las líneas magnéticas producidas por la corriente i2

son guiadas a pasar a través del inductor uno; también las líneas magnéticas producidas por la

corriente uno pasan, casi en su totalidad a través del devanado dos.

Puede demostrarse que:

12 21M M M (2.92)

Reemplazando la (2.92) en la (2.91) y aplicando la Ley de Faraday (2.81), se logra la

relación de equilibrio para inductores acoplados magnéticamente:

1 21 1

1 22 2

di div L M

dt dt

di div M L

dt dt

(2.93)

En redes eléctricas no suele emplearse el diagrama físico que muestra el sentido de los

enrollados de la Figura 2.57, sino que se asocia el símbolo de red, de la Figura 2.58, a las

ecuaciones (2.93).

i1 i2

v1 v2

1

2



Figura 2.58. Modelo de redes de inductores acoplados.

Se ha dibujado un punto a cada inductor, y éstos se relacionan con M. Esta notación refleja el

sentido de los enrollados en el núcleo.

Existe otra posibilidad de sentidos relativos de enrollamiento entre dos devanados. Esto se

ilustra en la Figura 2.59:

Figura 2.59. Otro sentido de enrollamiento.

Los flujos enlazados quedan relacionados, aplicando la regla de la mano derecha, según:

1 1 1 2L i Mi

2 1 2 2Mi L i

(2.94)

Aplicando la Ley de Faraday (2.81), a (2.94), se obtiene:

1 21 1

di div L M

dt dt

1 22 2

di div M L

dt dt

(2.95)

Para la cual se emplea el siguiente modelo gráfico de redes:

i1

i2

v1 v2

1 2

a

b

v1

i1

L1

c

d

v2

i2

L2

M



Figura 2.60. Inductores acoplados.

Situación a la que podría haberse llegado, reemplazando i2 por –i2, y v2 por –v2 en las

ecuaciones (2.93) para el primer sentido de los enrollados.

Si ambas corrientes entran por las marcas, y los voltajes tienen la polaridad positiva hacia el

punto se tiene la relación (2.93).

Pueden existir varias parejas de inductores acoplados. Se requiere en estos casos, marcar

cada pareja de acoplamiento. La notación que recuerdan las marcas es el sentido relativo de

enrollamiento entre los devanados, y se emplea del siguiente modo: Si una corriente entra por

un punto, en un devanado, producirá una tensión inducida con polaridad positiva hacia el punto

en el otro devanado.

El dispositivo permite transferir energía del lado uno hacia el dos, y viceversa, lo cual se

emplea en transformadores. Nótese que el acoplamiento sólo se produce si las corrientes y

voltajes varían en el tiempo.

2.3.2.10. Modelo con pérdidas

En un transformador real se producen pérdidas por calentamiento del núcleo, debido a que

éste es conductor y al ser sometido a un campo magnético variable, circularán corrientes en el

fierro, que implican calentamiento. También en los conductores de cobre se producen pérdidas

al no ser ideales.

Se muestran las resistencias asociadas a la disipación por calentamiento de los conductores

con subíndice cu (por pérdidas de cobre) y con subíndice fe las resistencias que modelan el

calentamiento del fierro.

Figura 2.61. Inductores acoplados con pérdidas.

a

b

v1

i1

L1

c

d

v2

i2

L2

M

a

b

v1

i1

L1

c

d

v2

i2

L2

M

Rfe1 Rfe2

Rcu1 Rcu2



2.3.2.11. Transformador ideal

Las siguientes ecuaciones definen el modelo de redes de un transformador ideal, donde n1 y

n2 son las vueltas de los devanados:

1 1 1 2

2 2 2 1

; v n i n

v n i n

(2.96)

Para las cuales se emplea el siguiente símbolo gráfico:

Figura 2.62. Transformador ideal.

Se emplea un símbolo similar al de inductores acoplados, pero no se indican valores de

inductancias propias y mutuas; sólo la razón de vueltas entre devanados.

Nótese que en esta componente, se produce acoplamiento aún si las variables no varían en el

tiempo. Esto aleja a esta definición de la realidad física, ya que cómo se verá en (2.100), los

voltajes sólo existen asociados a campos magnéticos variables en el tiempo.

Multiplicando las relaciones (2.96) puede demostrarse que la suma de las potencias que

ingresan al dispositivo es cero. Se tiene:

1

2

1

2

1i

i

v

v

(2.97)

De (1.39) se tienen, para las potencias que entran por el lado uno y dos respectivamente:

1 1 1

2 2 2

p v i

p v i

(2.98)

Reemplazando (2.98) en (2.97), se obtiene:

1 2 0p p (2.99)

Que puede leerse: La potencia que entra por el lado uno es igual a la que sale por el lado dos;

es decir, no hay pérdidas en un transformador ideal.

a

b

v1

i1

n1:n2

c

d

v2

i2

ideal



La idealización consiste en asumir que en ambos devanados se produce un flujo común, no

existiendo dispersión magnética. De este modo aplicando la ley de Faraday (2.81) se obtiene:

1 1

2 2

dv n

dt

dv n

dt

(2.100)

Efectuando el cuociente de (2.100), se obtiene la primera ecuación de (2.96).

La segunda idealización, es que el medio magnético es perfecto, y que no existe oposición a

la producción de flujo magnético, esto puede derivarse de la (2.68)

NA

li

(2.101)

Que puede escribirse:

l

ANi

(2.102)

Reemplazando el término de la derecha, que se denomina ampere-vueltas, por las corrientes

y las vueltas de ambos devanados, se obtiene:

1 1 2 2

li n i

An

(2.103)

Para permeabilidad tendiendo a infinito, se obtiene:

1 1 2 2 0n i n i (2.104)

Que es la segunda ecuación de (2.96).

2.4. De las Leyes de Maxwell a las Leyes de Kirchhoff

La derivación de las Leyes de Kirchhoff a partir de las leyes del Electromagnetismo muestra

el alcance que éstas tienen y el ámbito en que pueden aplicarse.

El modelo matemático que fundamenta la teoría electromagnética presenta dos relaciones

fundamentales conocidas como: Ecuación de continuidad (2.105) y Ley de Faraday (2.106):



VS V

dJ da dvol

dt

(2.105)

SC S

dE dl B da

dt

(2.106)

La formulación integral de (2.105) muestra que la componente normal promedio de la

densidad de corriente, que emana a través de una superficie que define un volumen, es igual al

decremento temporal de la carga encerrada en el volumen. Se ha empleado para definir la

densidad espacial de carga en el volumen.

Si se define q, como la carga encerrada en el volumen, la relación (2.105) podría escribirse:

VS

dqJ da

dt

(2.107)

La formulación integral de (2.106) muestra que la componente tangencial promedio del

campo eléctrico, a través de un camino que define una superficie, es igual al decremento

temporal de la componente normal promedio del campo magnético que emana a través de la

superficie.

Si se define , como el enlace de flujo magnético en la superficie S, la relación (2.106)

podría escribirse:

SC

dE dl

dt

(2.108)

La Figura 2.63, muestra una componente de redes, junto al resto de la red.

Se ha identificado la superficie que encierra a un volumen SV, como la superficie externa de

la componente, lo cual lleva a identificar a q, como la carga asociada a la componente.

Se ha identificado el camino cerrado que define una superficie CS, como un camino que pasa

a través de la componente, lo cual lleva a identificar a , como el flujo enlazado por la

superficie que se apoya en el camino.

Al asociar al volumen SV una cantidad escalar, se está efectuando una abstracción que se

denomina de parámetros concentrados. Parámetros como: el color, la forma espacial, los

materiales con que está realizada la componente quedan dentro de una caja negra. El punto de

atención son las variables definidas en la interfaz, todo lo demás queda oculto.

Los modelos de parámetros concentrados focalizan los fenómenos físicos a las variables que

pueden ser observadas y medidas en los terminales de las componentes; lo que suceda en el

interior de éstas no queda representado en el modelo.



Figura 2.63. Modelo de parámetros concentrados.

Las componentes discretas no dependen de variables espaciales, y se las podría dibujar como

la abstracción geométrica de una línea o de un punto; sin embargo ha sido tradicional dibujarlas

como un pequeño rectángulo.

Para que puedan ser definidas una variable corriente que atraviesa la componente y un

voltaje entre los terminales es necesario que dentro del volumen encerrado por SV se cumpla

que:

0dq

dt

(2.109)

Y que en el área S, que está fuera de las componentes, definida por el camino CS se cumpla

que:

0d

dt

(2.110)

La relación (2.109) se denomina principio de conservación de la carga; la (2.110) se

reconoce como principio de conservación del enlace de flujo.

Si se aplican las condiciones de conservación (2.109) y (2.110) a la ley de continuidad

(2.107) y la ley de Faraday (2.108), se obtienen las fórmulas integrales de las Leyes de

Kirchhoff:

0

VS

J da (2.111)

0

SC

E dl (2.112)

a

b

q

SV

CS



De esta forma (2.112) implica que puede definirse un voltaje asociado a cada componente; y

que la suma orientada de los voltajes en un camino cerrado que pase a través de las

componentes debe ser cero; es decir La Ley de Voltajes de Kirchhoff.

Además (2.112) implica que las componentes que produzcan flujos magnéticos deben

mantenerlos confinados dentro de la componente.

La ecuación (2.111), permite definir una corriente a través de la componente.

Si la superficie SV, encierra a varias componentes, se obtiene La Ley de Corrientes de

Kirchhoff, como se muestra en la Figura 2.64; en ésta se muestra la referencia para efectuar la

integral de área, que es la que define los signos de la relación (2.113).

Figura 2.64. LCK

Aplicando (2.111) en la Figura 2.64 se obtiene:

1 2 3 0i i i (2.113)

Aplicando (2.109) a la Figura 2.64, se obtiene:

1 2 3( )0

q q q

t

(2.114)

En la Figura 2.65, se muestra un camino cerrado CS, indicando la referencia para el

diferencial de camino. Para la dirección de recorrido indicada, el diferencial de área para

calcular el enlace de flujo debe estar saliendo del papel; esto se ha marcado con un punto en la

referencia para .

Figura 2.65. LVK

i2

q2

i3

q3

i1

q1 SV

da

v2 v1

CS

dl



Aplicando (2.112) en la Figura 2.65 se obtiene, aplicando la definición (1.18):

2 1 0v v (2.115)

Para que se cumpla la LVK en (2.115), debe tenerse en la Figura 2.65, que:

0d

dt

(2.116)

Los conceptos de sumas orientadas que se emplean en las Leyes de Kirchhoff están

relacionados con las definiciones de referencia para el diferencial de área en (2.111) y el

diferencial de camino en (2.112).

La teoría electromagnética muestra que cuando las dimensiones físicas de los elementos

eléctricos son comparables con la longitud de onda de campos variables en el tiempo, deben

efectuarse modelos distribuidos y no concentrados. De esta forma los modelos matemáticos,

que representan componentes, serán ecuaciones diferenciales parciales, en las cuales se agregan

variaciones espaciales a las temporales.

Dicho de otra forma: La teoría de redes eléctricas con modelos de parámetros concentrados

no podrá emplearse cuando no puedan definirse corrientes y voltajes.



Problemas resueltos

En el Apéndice 2, se describen algunos comandos Maple que pueden emplearse para analizar

redes eléctricas.

Se ilustran soluciones Maple de problemas, mostrando el planteo y solución de los modelos

matemáticos que se derivan de aplicar la Teoría de Redes.

Se recomienda escribir los programas y analizar los resultados generados por los comandos,

directamente en un computador.

Problema 2.1.

Determinar I y p, para la red de la Figura P2.1.

Figura P2.1

Solución.

Se identifican variables:

Figura P2.2 Variables

Ecuaciones LCK:

1 2 2 3 3 40, ,i i i I i i i

Ecuaciones LVK:

B A C

D

E1

R1 R2

E2 R3

I

p

B A C

D

E1

R1 R2

E2 R3

I

p i1

i2 i3

i4

v1 v v4

v2 v3



1 2 3 4,v v v v v v


1 1 2 1 2 3 3 2 3 4 2, , , ,v E v R i v R I v R i v E

Se tienen 10 ecuaciones en las siguientes 10 incógnitas:

1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , , , , ,v v v v v i i i i I

Análisis: Debido a que 1 1p v i , para determinar lo requerido, se requiere resolver para las

variables: 1 1, , .v i I

Resultan:

2 1 1 2

1 2 2 3 3 1

R E R EI

R R R R R R

1 3 2 2 1 3 1

1 2 2 3 3 1

( )E R E R E R Ep

R R R R R R

Solución en Maple

> restart:

Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos.

> lck:={i1+i2 = 0, i2 = I5 + i3, i3 = i4};

Planteamos (e-v +1) ecuaciones LVK en mallas.

> lvk:={v1= v2 + v, v = v3 + v4};

>ecequilibrio:={v1=E1, v2=R1*i2, v=R3*I5,

v3=R2*i3, v4=E2};

Definimos las incógnitas, las variables en los elementos:

>voltajes:={v1,v2,v3,v4,v};

corrientes:={i1,i2,i3,i4,I5}; >ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk:

incógnitas:=voltajes union corrientes:

El siguiente comando resuelve el problema en general.

Debido a la gran cantidad de ecuaciones suprimiremos la salida, empleando dos puntos como

terminador del comando.

> sol:=solve(ecuacionesdelared,incógnitas):

Luego asignamos las soluciones a las incógnitas. De este modo podemos tener acceso a

cualquier variable por su nombre.

> assign(sol):

> v1*i1;

p = E1 ( )R2 E1 E2 R3 R3 E1

R2 R1 R2 R3 R1 R3



Problema 2.2.

Para la red de la Figura P2.3

a) Con: R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3, R4 = 4, calcular i, v y p.

b) Determinar relación entre E1, E2 y J para que p >= 0.

Figura P2.3

Solución:

a) Identificación de variables:

Figura P2.4 Identificación de variables


1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 2 6 7 1, , , , , ,v R i v R i v R i v R i v E i J v E

Ecuaciones LCK, nodo D de referencia:

1 7 1 6 2 2 5 5 4 4 6 30, , , ,i i i i i i i i i i i i

Ecuaciones LVK:

7 1 6 3 4 6 2 5, 0v v v v v v v v

Análisis:

Para determinar lo requerido, se requieren calcular: , , .i v p

7i i

4 6v v v ó 2 5v v v

B A C

E

E1

R1 R2

E2 J p

R4 R3

i

v

D F

B A C

E

E1

R1 R2

E2 J p

R4

R3

i7

v

D F

i1 i2

i3

i4

i5 i6 v6

v4



6 6p v i

Nos concentraremos en determinar: 6 4, , .i v v

Reemplazando ecuaciones de equilibrio en LVK:

1 1 1 6 3 3E R i v R i

4 4 6 2 2 2 0R i v R i E

Empleando ecuaciones LCK:

2 5 4i J i i i

3 4i i J

1i i

Se obtiene el sistema:

1 1 6 3( ) ( )E R i v R J i J

4 6 2 2( ) ( ) 0R J i v R j i E

Sistema del cual se obtienen 1i y 6v . Evaluando con los datos de las resistencias:

2 16

10

E J Ei

1 26

3 2 12

5

E E Jv

Para calcular v4, empleamos:

4 4 4 4( )v R i J i

Obteniendo:

1 24

2 2 8

5

E E Jv

Lo que nos permite determinar v:

1 24 6

4 4

5

E E Jv v v

Finalmente la potencia, en términos de los datos:

6 6 1 2(3 2 12 )5

Jp v i E E J

b) En la relación anterior, logramos la condición con:

0p



Se obtiene:

1 2(3 2 12 ) 0J E E J

Solución en Maple

> restart;

>ecequilibrio:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, v3=R3*i3,

v4=R4*i4, v5=E2, i6=J, v7=E1};

datos:={R1=1, R2=2, R3=3, R4=4}: Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos.

>lck:={i1+i7=0, i1+i6=i2, i2=i5, i5=i4, i4=i6+i3};


> lvk:={v7=v1-v6+v3, v4+v6+v2+v5=0};


> voltajes:={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7};

corrientes:={i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7}; >ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk:

incógnitas:=voltajes union corrientes: El siguiente comando resuelve el problema en general.

> sol:=solve(ecuacionesdelared, incógnitas);



> assign(sol):

Recién comienzan las ventajas de emplear procesadores matemáticos para el análisis de

redes.

Veremos algunas aplicaciones como ilustraciones

Como primer ejemplo, veremos la expresión asociada a i7.

> i7;

> v:=-v5-v2;

> p:=-i6*v6;

> eval(i7, datos);

> eval(v, datos);

> pot:=simplify(eval(p, datos));

> eval(v6, datos);

> eval(v4,datos);

Problema 2.3.

Para la red de la Figura P2.5:

a) Determinar potencias que ingresan a las resistencias.

b) Determinar potencias que salen de las fuentes.



Figura P2.5

Solución.

Identificación de variables:

Figura P2.6

Ecuaciones de la red:

1 1 1 2 2 2 3 4 5 6 7 8, , , , 0, 0, 0, 0v R i v R i v E i J v v v v

8 4 5 5 2 6 4 1 2 3 8 1 7, , ,i i i i i i i i i i i i i

3 1 7 3 2 6 4 5 2 4 8 10, 0, 0, 0v v v v v v v v v v v v

Reemplazando ecuaciones de equilibrio en LVK:

1 2 4, ,v E v E v E

Reemplazando ecuaciones de equilibrio en LCK:

2 13

2 1

v vi J

R R

Substituyendo v1 y v2, se obtiene:

1 2 1 23

1 2

( )R R E R R Ji

R R

Potencia que sale de la fuente de corriente:

R1 R2 J

E

R1 R2 J

E

i7 i6

i2

i1

i8 i5 i4

v4

i3

v3



4 4CP v i EJ

Potencia que sale de la fuente de tensión:

1 2 1 23 3

1 2

( )t

E R E R E R R JP v i

R R

Potencia que sale de la resistencia R1: 2

1 1 1

1

R

EP v i

R

Potencia que sale de la resistencia R2: 2

2 2 2

2

R

EP v i

R

No es necesario calcular i3 si se aplica conservación de la energía, ya que:

3 3 1 1 2 2 4 4v i v i v i v i

Solución en Maple

> restart;

>ecequilibrio:={i4=J, v3=E, v1=R1*i1, v2=R2*i2,

v5=0, v6=0, v7=0, v8=0};

datos:={R1=1, R2=1, J=1, E=1}: Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos.

>lck:={i8+i4=i5, i5=i2+i, i4+i1=i2+i3, i8=i1+i7};


>lvk:={v3-v1+v7=0, v3+v2+v6=0,

-v4+v5+v2=0, v4+v8+v1=0}; Definimos las incógnitas, las variables en los elementos:

> voltajes:={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8};

corrientes:={i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8}; >ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk:





> assign(sol):

Como primer ejemplo, veremos la expresión asociada a las potencias en las fuentes:

> v4*i4;

> v3*i3;

Expresiones asociadas a las potencias en las resistencias:

> v1*i1;

> v2*i2;



> simplify(v4*i4+v3*i3);

> simplify(v2*i2+v1*i1);

> p3:=simplify(v1*i1+v2*i2-v4*i4);

> simplify(v3*i3);

Problema 2.4.

Para la red eléctrica de la Figura P2.7, con J1 = 4 y p1 = 2, determinar p2 y v2.

Figura P2.7

Solución:

Se identifican variables:

Figura P2.8

Ecuaciones de la red.

1 1 2 1 3 3 3 4 4 4, , ,i J i J v R i v R i

3 2 2 4 1 30, 0,i i i i i i

1 2 3 4v v v v

Si es red eléctrica, para que se cumpla LCK, debe tenerse: 2 1J J

Puede calcularse v1, según:

2

J1 p1

1

v2

J2 p2

2

J1 p1

1

v2

J2 p2

v3

v4

v1

i3 i1

i2

i4



1 1 1 1 1 1 1

12 4

2p v i v J v v

Calculando v2:

2 1 3 4 3 3 4 4 1 1

1 1 1 252 1 8 4

2 2 2 2v v v v R i R i J J

Finalmente, puede determinarse p2:

2 2 2

25( )( 4) 50

2p v i

Solución en Maple

> restart;

>ecequilibrio:={i1=J1, v3=R3*i3, i2=-J1, v4=R4*i4};

datos:={J1=4, R3=2, R4=1}: Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos.

> lck:={i1=i3, i3+i2=0, i2+i4=0};


> lvk:={v1=v3+v2+v4};


> voltajes:={v1,v2,v3,v4};

corrientes:={i1,i2,i3,i4}; >ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk:


> sol:=solve(ecuacionesdelared,incógnitas);



> assign(sol):

Veremos la expresiones asociadas a p1 y p2:

De la ecuación, se puede resolver v2

> ecv2:=solve(p1=-v1*i1,v2);

> valv2:=eval(ecv2, datos union {p1 = 2});

> p2:=v2*i2;

> eval(p2, datos union {v2=valv2});

Problema 2.5.

Para la red de la Figura P2.9, determinar i(v).



Figura P2.9

Solución:

Identificación de variables:

Figura P2.10

Ecuaciones:

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5, , , ,v R i v R i v R i i J v E

2 4 2 5 5 3 3 1 4, , ,i i i i i i i i i i

4 2 5 3 4 1,v v v v v v v

Para encontrar la relación, eliminamos las variables internas:

4 1 2 3 5 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 1( )v v v v v v v R i R i E R i R R i E R i

2 3 1( )( )v R R i J E R i

Despejando i, obtenemos:

2 3

1 2 3

( )v E J R Ri

R R R

B

A

C

D

R2

E J

R3 R1

i

v

B

A

C

D

R2

E J

R3 R1

i

v

i2

i1 i3

i4 i5

v4

v5



Solución en Maple

> restart;

> ecequilibrio:={i4=J, v5=E, v2=R2*i2, v3=R3*i3, v1=R1*i1};

datos:={R1=1, R2=2, R3=3, J=4, E=5}: Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos.

> lck:={i=i2-i4, i2=i5, i5=i3, i3=i1+i4};


> lvk:={v4=v2+v5+v3, v=v4+v1};

Tenemos 11 ecuaciones. Definimos las incógnitas, las variables en los elementos más la

variable i:

De este modo podrá obtenerse expresiones en función de v.

> voltajes:={v1,v2,v3,v4,v5};

corrientes:={i1,i2,i3,i4,i5,i}; >ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk:





> assign(sol):

La expresión buscada es i(v):

> i;

> restart;

> solve(i = -(-v+E+J*R3+J*R2)/(R1+R3+R2),{v});

Problema 2.6.

Para la red de la Figura P2.11, considerando constantes los valores de las resistencias.

a) Determinar valor de J para que la fuente de tensión entregue potencia mínima.

b) Relación entre E y J para que la fuente de tensión absorba energía.

Figura P2.11

E

R1

R2

J



Solución.

a) Identificando variables:

Figura P2.12

Se requiere determinar expresión para la potencia entregada por la fuente de tensión:

E Ep Ei

Entonces es preciso conocer Ei .

Se tienen las siguientes seis ecuaciones:

LVK+ ec. equilibrio fuente E: Jv E

LVK: 1 2Jv v v

LCK+ ec. Equilibrio fuente J: 2EJ i i

LCK: 2 1i i

Ecuaciones de equilibrio resistencias: 1 1 1 1 2 2,v R i v R i

Resultan: 1 2

1 2

Ei i

R R

Potencia entregada por la fuente de tensión:

1 22

1 2

( ( )( )E E

E E J R Rp Ei E i J

R R

La mínima entregada es cero; ya que si Ep es negativa, la fuente recibe energía.

Entonces para que la fuente entregue mínima potencia, se requiere:

1 2

EJ

R R

b) Para que absorba energía: 0Ep

E

R1

R2

J i2

iE

i1

v2

v1

vJ



Lo cual se logra con:

1 2( )E J R R

Problema 2.7.

En la red de la Figura P2.13, se tienen: C = 2, v(0) = 2,

i(t) = u(t-1) - u(t-2) - 2 (t-3) + 2u(t-4) - 3u(t-5) + u(t-8)

Figura P2.13

Dibujar la forma de onda de i(t)

Calcular v(t) y expresar en términos de escalones unitarios.

Solución.

Figura P2.14

Para calcular el voltaje, conociendo la corriente, empleamos:

Puede obtenerse integrando gráficamente la Figura P2.14, la forma de onda de v(t).

:= ( )v t d

0

t

( )i

22

v i(t) C

i

2

t



Figura P2.14

Expresando en términos de escalones unitarios, se obtiene:

Solución Maple. i:=Heaviside(t-1)-Heaviside(t-2)-2*Dirac(t-3)+2*Heaviside(t-4)-3*Heaviside(t-5)+Heaviside(t-8);

plot(i, t=0..10, y=-2..3);

v:=2+int(i/2,t);

plot(v, t=0..10, y=-1..3);

Problema 2.8.

Para la red, de la Figura P2.15, determinar relación entre el voltaje de entrada y el de salida.

Figura P2.15

Solución.

Para plantear ecuaciones en redes con amplificadores operacionales idealizados se tiene que

las corrientes que ingresan al amplificador operacional son nulas, y que el voltaje diferencial

también es nulo, considerando ganancia infinita.

( )v t1 ( )u t 1 t

2

1 ( )u t 1

2

1 ( )u t 2 t

2( )u t 2 ( )u t 3 ( )u t 4 t

4 ( )u t 43 ( )u t 5 t

2

15 ( )u t 5

2

1 ( )u t 8 t

24 ( )u t 8 2 ( )u t

vo

R1

vi

R2

v

t



Con la identificación de variables de la Figura P 2.16, estas condiciones pueden plantearse:

3

4

0

0

0d

i

i

v

Figura P2.16

Aplicando LVKs y las ecuaciones de equilibrio de las resistencias, se tienen:

1 1

2 2

0

0

i d

o d

v R i v

v R i v

Reemplazando las ecuaciones del amplificador operacional y empleando LCK, se obtienen:

1 1

2 1

i

o

v R i

v R i

Finalmente se obtiene:

2

1

o

i

v R

v R

Que es la ecuación de un amplificador inversor, con ganancia: 2

1

R

R

Problema 2.9.

Con C=1:

a) Determinar v(t) en términos de j(t).

b) Si v(2) =4 determinar el o los instantes en que v es cero.

vo

R1

vi

R2

vd

i1

i2

i3

i4



Figura P2.17

Solución:

a) Aplicando LCK y ecuaciones de equilibrio, se tiene:

( )( )

dv tj t C

dt

(1)

Despejando dv(t) en (1):

1( ) ( )dv t j t dt

C

(2)

Integrando (2), en forma definida, se obtiene:

0 0

0

( )

( )

0

1( )

1( ) ( ) ( )

v t t

v t t

t

t

dv j dC

v t v t j dC

(3)

b) Para t<0 la corriente a través del condensador es cero, por lo tanto su voltaje es constante.

Puede calcularse el voltaje constante antes de t=0, mediante:

0

2

0

1( ) (0) ( 1)

1

(2) (0) 1 (0) 2

(0) (2) 2 4 2 2

t

t

v t v d

v v v

v v

(4)

Entonces no hay valores de voltaje cero antes de t=2.

C v j(t)

j

t

1

-2

3 7

2



Después de t=2, la expresión para v(t1) con t1>2, se obtiene reemplazando los valores del

condensador y la expresión para la fuente en (3); se busca un valor de t1>3 que permita igualar a

cero el voltaje v.

1

1

3

1

2 3

3

1 12 3

1 1

1 1( ) 4 ( 1) ( 2)

1 1

( ) 4 1 2 11 2

( ) 0 para: 5,5

t

t

v t d d

v t t t t

v t t

(5)

En la zona t>7 se producirá otro valor cero para el voltaje:

2

1

2

7

2 1

7

7

2 25,5 7

2 2

( ) ( ) 2 2

( ) 0 2 2 2 17

( ) 0 para: 8,5

t

t

t

v t v t d d

v t t t t

v t t

(6)

Otra solución.

Puede determinarse la forma de onda de f(t), definida en (7), a partir de la forma de onda de

j(t), y que C es 1:

0

( ) ( )

t

t

f t j d (7)

La derivada de f(t) es j(t).

Para t<0, f es cero, ya que j es cero.

Para t>0 y t<3, f(t) = mt, donde m es la pendiente. La derivada de f(t) es j, entonces m=1.

En este tramo f(3)=3.

Para t>3 y t<7, f(t) =m(t-a).

La derivada de f debe se igual a j en el tramo, resulta m=-2. Entonces evaluando en (3,3) se

tiene: f(3)=3=-2(3-a), lo cual implica que a=9/2.

En este tramo: Se tiene que f(7) =-2(7-4,5)=-5.

Para t>7, f(t)=m(t-b). Derivando f, se obtiene m=+2.

Evaluando en (7,-5) resulta -5=2(7-b), lo cual entrega que b=19/2=8,5.



Figura P2.18

De (3) y la condición en el instante t=2, a la forma de f, de la Figura P2.18, se la desplaza

hacia arriba en dos unidades, para formar v(t). Se obtiene:

Figura P2.19

Determinado las ecuaciones de las rectas en la Figura P2.19 y sus interceptos en el eje v=0,

se obtiene iguales soluciones que en el primer método.

Problema 2.10.

Con L=2:

a) Determinar v(t)

b) Determinar el o los instantes en que la energía almacenada en la inductancia es 2.

Figura P2.20

f

t

-5

3

7

3 -2(t-9/2)

2(t-19/2)

t

v

t

-3

3

7

5

2

4

L v j

j

t

-2

3

6

2

9



Solución.

a) Aplicando LCK y ecuaciones de equilibrio, se tiene:

( )( )

dj tv t L

dt

(1)

Derivando j(t), en forma gráfica, se obtiene para v(t), aplicando (1):

Figura P2.21

En forma alternativa, si se define la forma de onda de j(t), por secciones lineales, según se

muestra en (2)

0 0

2 0 3

3

2( 6) 3 9

3

2 9

t

t t y t

j

t t y t

t

(2)

Puede obtenerse, derivando (2):

0 0

2 0 3

3

2 3 9

3

0 9

t

t y tdj

dtt y t

t

(3)

Aplicando el valor de L=2, en (1) y empleando (3), se obtiene la Figura P2.21.

b) Para la energía en el inductor:

v

t

3

6 1,33

9

-1,33



22( )

( ) ( )2

Li tw t j t

(4)

De la forma de onda de j(t), y empleando (2), se obtiene la gráfica de w(t), que está formada por

segmentos de parábolas.

Figura P2.22

Entre 0 y 3, se tiene: 2

2

11

1

2( )

3

2( ) 2

3

32,12

2

tw t

tw t

t

(5)

Entre 6 y 9, se tiene:

2

2

2 2 2

2

21 22

2( ) ( 6)

3

4( ) 12 36 2

9

3 26

2

8,12 3,88

w t t

w t t t

t

t t

(6)

t

w



Ejercicios propuestos

Ejercicio 2.1.

Para la red de la Figura E2.1:

Identificar variables: corrientes, voltajes y potencias.

Plantear ocho ecuaciones linealmente independientes.

Calcular los valores de las variables que son la solución de la red.

Figura E2.1

Ejercicio 2.2.

Con la identificación de variables, de la Figura E2.2: Demostrar que las corrientes se dividen

en forma inversamente proporcional a las resistencias:

1 2

2 1

i R

i R

Demostrar que las corrientes, en las resistencias, pueden calcularse, en términos de la

corriente i, según:

21

1 2

12

1 2

Ri i

R R

Ri i

R R

Figura E2.2 Divisor de corrientes.

e

i1

R1 v1 v3

i3

p3

p1

i2

R2 v2 p2

i

j1

R1

R2 j2



Ejercicio 2.3.


Identificar variables: corrientes, voltajes y potencias.

Plantear seis ecuaciones linealmente independientes.

Calcular los valores de las variables que son la solución de la red.

Figura E2.3 Divisor de Voltajes.

Con la identificación de variables, de la Figura E2.4: Demostrar que las tensiones se dividen

en forma proporcional a las resistencias:

1 1

2 2

v R

v R

Demostrar que las tensiones en las resistencias, pueden calcularse, en términos del voltaje e,

según:

11

1 2

22

1 2

Rv e

R R

Rv e

R R

Figura E2.4 Identificación de variables.

Ejercicio 2.4.


Calcular tensiones en las resistencias.

e

R1

R2

e

i1

R1 v1 v3

i3

p3

p1

i2 R2

v2

p2



Potencias suministradas por las fuentes.

Condición entre los parámetros de la red para que la fuente de corriente aumente su energía

interna.

Figura E2.5

Ejercicio 2.5.


Calcular corrientes en las resistencias.

Calcular potencias entregadas por las fuentes.

Condición entre los parámetros de la red para que la fuente de tensión e2, no absorba ni libere

energía. En esa condición calcular la potencia entregada por la fuente de tensión e1.

Si las fuentes son tensiones continuas, calcule el incremento de potencia en la resistencia R3,

cuando se duplican los valores de las fuentes.

Figura E2.6

Ejercicio 2.6.


Calcular corrientes en las resistencias.

Calcular tensiones en las fuentes.

Condición entre los parámetros de la red para que la fuente de corriente j2, no absorba ni

libere energía. En esa condición calcular la potencia entregada por la fuente de corriente j1.

Condición entre los parámetros de la red para ingrese potencia a la fuente de corriente j1.

e1

R1

R3

R2

e2

e

R1

R2 j



Figura E2.7

Ejercicio 2.7.

Determinar gráficamente la relación i(v), para la red de la Figura E2.8.

Figura E2.8

Ejercicio 2.8.

Para la red, de la Figura E2.9, determinar relación entre el voltaje de entrada y el de salida.

Figura E2.9

Ejercicio 2.9.

Para la red, de la Figura E2.10 determinar relación entre el voltaje de entrada y el de salida.

j1

R1

R2 j2

a

b

v

i

E

j

vo

R1

vi

R2



Figura E2.10

Ejercicio 2.10.

Determinar expresión para la energía acumulada en la red, de la Figura E2.11.

Figura E2.11

Ejercicio 2.11.

Para la red de la Figura E2.12, determinar relación de equilibrio entre v1 e i1.

Figura E2.12

Ejercicio 2.12.

Determinar las ecuaciones de equilibrio para la red de la Figura E2.13.

vo

R1

vi

C2

L

R

C

a

b

v1

i1

n1:n2

c

d

v2

i2

ideal

R



Figura E2.13

Ejercicio 2.13.

Para la red de la Figura E2.14, determinar la relación de equilibrio i(v).

Figura E2.14

a

b

v1

i1

L1

c

d

v2

i2

L2

M12

M13

e f

i3 L3

v3

M23

R2 i

R1 i

v



Índice general

CAPÍTULO 2 .......................................................................................................................... 1

COMPONENTES ELEMENTALES ................................................................................... 1

2.1. MODELOS DE COMPONENTES....................................................................................... 1 2.2. RESISTOR ...................................................................................................................... 2

2.2.1. Definición ............................................................................................................... 2 2.2.2. Resistencia .............................................................................................................. 3 2.2.3. Ley de Joule ............................................................................................................ 4 2.2.4. Modelo Físico ......................................................................................................... 5 2.2.5. Cortocircuito .......................................................................................................... 6 2.2.6 Circuito Abierto ....................................................................................................... 7 2.2.7. Fusible .................................................................................................................... 7 2.2.8. Interruptor (Switch) ............................................................................................... 8 2.2.9. Oport (Open and Short) ........................................................................................ 9 2.2.10. Fuente de tensión independiente .......................................................................... 9 2.2.11. Fuente de tensión no ideal ................................................................................. 11 2.2.12. Fuente independiente de corriente ..................................................................... 13 2.2.13. Generador real de corriente ............................................................................... 14 2.2.14. Equivalencia entre fuentes reales ...................................................................... 15 2.2.15. Análisis de una red sencilla ............................................................................... 15

Ejemplo 2.1. ............................................................................................................................................. 17 2.2.16. Potenciómetro ................................................................................................... 18 2.2.17. Diodo ideal ......................................................................................................... 18

Ejemplo 2.2. ............................................................................................................................................. 21 Ejemplo 2.3. ............................................................................................................................................. 21

2.2.18. Fuentes controladas .......................................................................................... 23 2.2.18.1. Fuente de corriente controlada por corriente ............................................................................. 23 2.2.18.2. Fuente de tensión controlada por tensión .................................................................................. 24 2.2.18.3. Amplificador operacional.......................................................................................................... 25

2.3. ELEMENTOS DINÁMICOS ............................................................................................ 25 2.3.1. Condensador ....................................................................................................... 26

2.3.1.1. Ecuación de equilibrio ................................................................................................................ 28 2.3.1.2. Potencia y energía en un condensador ........................................................................................ 28 2.3.1.3. Ecuación de equilibrio inversa .................................................................................................... 29

Ejemplo 2.4. ........................................................................................................................................ 31 2.3.1.4. Modelos con pérdidas ................................................................................................................. 32

2.3.2. Inductor ............................................................................................................... 33 2.3.2.1. Flujo enlazado ............................................................................................................................. 33 2.3.2.2. Ley de Ampère ............................................................................................................................ 34 2.3.2.3. Fuerza electromotriz ................................................................................................................... 36 2.3.2.4. Ley de Faraday ............................................................................................................................ 37 2.3.2.5. Voltaje generado ......................................................................................................................... 37 2.3.2.6. Ecuación de equilibrio ................................................................................................................ 39 2.3.2.7. Potencia y energía en inductores ................................................................................................. 40 2.3.2.8. Ecuación de equilibrio en función del voltaje ............................................................................. 41



Ejemplo 2.5. ........................................................................................................................................ 41 2.3.2.9. Inductores acoplados .................................................................................................................. 42 2.3.2.10. Modelo con pérdidas ................................................................................................................. 45 2.3.2.11. Transformador ideal .................................................................................................................. 46

2.4. DE LAS LEYES DE MAXWELL A LAS LEYES DE KIRCHHOFF ....................................... 47 PROBLEMAS RESUELTOS .................................................................................................... 52

Problema 2.1. ................................................................................................................. 52 Solución en Maple ................................................................................................................................... 53





Problema 2.6. ................................................................................................................. 62 Problema 2.7. ................................................................................................................. 64 Problema 2.8. ................................................................................................................. 65 Problema 2.9. ................................................................................................................. 66 Problema 2.10. ............................................................................................................... 69

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 72 Ejercicio 2.1. .................................................................................................................. 72 Ejercicio 2.2. .................................................................................................................. 72 Ejercicio 2.3. .................................................................................................................. 73 Ejercicio 2.4. .................................................................................................................. 73 Ejercicio 2.5. .................................................................................................................. 74 Ejercicio 2.6. .................................................................................................................. 74 Ejercicio 2.7. .................................................................................................................. 75 Ejercicio 2.8. .................................................................................................................. 75 Ejercicio 2.9. .................................................................................................................. 75 Ejercicio 2.10. ................................................................................................................ 76 Ejercicio 2.11. ................................................................................................................ 76 Ejercicio 2.12. ................................................................................................................ 76 Ejercicio 2.13. ................................................................................................................ 77

ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................ 78

Índice de figuras.

Figura 2.1. Símbolo del resistor. .................................................................................................. 3 Figura 2.2. Resistor lineal............................................................................................................. 3 Figura 2.3. Resistencia. ................................................................................................................ 4 Figura 2.4. Diferencial resistivo. .................................................................................................. 6 Figura 2.5. Cortocircuito. ............................................................................................................. 7 Figura 2.6. Circuito abierto. ......................................................................................................... 7



Figura 2.7. Símbolo fusible. ......................................................................................................... 8 Figura 2.8. Esquema fusible. ........................................................................................................ 8 Figura 2.9. Interruptor. ................................................................................................................. 8 Figura 2.10. Oport. ....................................................................................................................... 9 Figura 2.11. Símbolo fuente de tensión. ....................................................................................... 9 Figura 2.12. Fuente de tensión independiente. ............................................................................. 9 Figura 2.13. Fuente de tensión continua. .................................................................................... 11 Figura 2.14. Fuente de tensión real. ............................................................................................ 11 Figura 2.15. Definición de variables. ......................................................................................... 12 Figura 2.16. Característica de fuente de tensión real. ................................................................. 12 Figura 2.17. Resistor equivalente. .............................................................................................. 13 Figura 2.18. Punto de alimentación. ........................................................................................... 13 Figura 2.19. Símbolo fuente de corriente. .................................................................................. 14 Figura 2.20. Característica fuente de corriente. .......................................................................... 14 Figura 2.21. Símbolo generador real de corriente. ..................................................................... 15 Figura 2.22. Característica de punto motriz (CPM) ................................................................... 15 Figura 2.23. Red simple. ............................................................................................................. 15 Figura 2.24. Resultado del análisis ............................................................................................. 17 Figura 2.25. No es red eléctrica. ................................................................................................. 17 Figura 2.26. Potenciómetro. ....................................................................................................... 18 Figura 2.27. Símbolo diodo ideal. .............................................................................................. 18 Figura 2.28. Característica diodo ideal. ...................................................................................... 19 Figura 2.29. Característica real. .................................................................................................. 19 Figura 2.30. Aproximación 1. ..................................................................................................... 20 Figura 2.31. Aproximación 2. ..................................................................................................... 20 Figura 2.32. Modelo aproximación 1. ....................................................................................... 20 Figura 2.33. Modelo aproximación 2. ........................................................................................ 20 Figura 2.34. LVK gráfica. .......................................................................................................... 21 Figura 2.35. Modelo pequeña señal. ........................................................................................... 22 Figura 2.36. Resistencia dinámica de diodo real. ....................................................................... 23 Figura 2.37. Símbolo fuente controlada por corriente. ............................................................... 23 Figura 2.38. Fuente controlada por corriente.............................................................................. 23 Figura 2.39. Símbolo fuente controlada por tensión. .................................................................. 24 Figura 2.40. Fuente controlada por tensión. ............................................................................... 24 Figura 2.41. Símbolo amplificador operacional. ........................................................................ 25 Figura 2.42. Característica amplificador operacional. ................................................................ 25 Figura 2.43. Carga almacenada en condensador. ....................................................................... 26 Figura 2.43a. Ley de Gauss en condensador. .............................................................................. 27 Figura 2.44. Variaciones en un condensador. ............................................................................. 31 Figura 2.45. Modelo de condensador con R muy grande. .......................................................... 32 Figura 2.46. Condensador con pérdidas ..................................................................................... 32 Figura 2.47. Flujo magnético. ..................................................................................................... 33 Figura 2.48 Flujo total enlazado. ............................................................................................... 34 Figura 2.49. Ley de Ampère. ...................................................................................................... 34 Figura 2.50. Cálculo de B en un solenoide. ................................................................................ 35 Figura 2.51. Devanados acoplados magnéticamente. ................................................................. 36



Figura 2.52. Fuerza electromotriz. ............................................................................................. 36 Figura 2.53. Ley de Faraday ....................................................................................................... 37 Figura 2.54. Voltaje generado. ................................................................................................... 38 Figura 2.55. Inductor. ................................................................................................................. 40 Figura 2.56. Pulso de voltaje en inductor. .................................................................................. 42 Figura 2.57. Inductores acoplados. ............................................................................................. 43 Figura 2.58. Modelo de redes de inductores acoplados. ............................................................. 44 Figura 2.59. Otro sentido de enrollamiento. ............................................................................... 44 Figura 2.60. Inductores acoplados. ............................................................................................. 45 Figura 2.61. Inductores acoplados con pérdidas. ....................................................................... 45 Figura 2.62. Transformador ideal. .............................................................................................. 46 Figura 2.63. Modelo de parámetros concentrados. ..................................................................... 49 Figura 2.64. LCK ....................................................................................................................... 50 Figura 2.65. LVK ....................................................................................................................... 50 Figura P2.1 .................................................................................................................................. 52 Figura P2.2 Variables .................................................................................................................. 52 Figura P2.3 .................................................................................................................................. 54 Figura P2.4 Identificación de variables ....................................................................................... 54 Figura P2.5 .................................................................................................................................. 57 Figura P2.6 .................................................................................................................................. 57 Figura P2.7 .................................................................................................................................. 59 Figura P2.8 .................................................................................................................................. 59 Figura P2.9 .................................................................................................................................. 61 Figura P2.10 ................................................................................................................................ 61 Figura P2.11 ................................................................................................................................ 62 Figura P2.12 ................................................................................................................................ 63 Figura P2.13 ................................................................................................................................ 64 Figura P2.14 ................................................................................................................................ 64 Figura P2.14 ................................................................................................................................ 65 Figura P2.15 ................................................................................................................................ 65 Figura P2.16 ................................................................................................................................ 66 Figura P2.17 ................................................................................................................................ 67 Figura P2.18 ................................................................................................................................ 69 Figura P2.19 ................................................................................................................................ 69 Figura P2.20 ................................................................................................................................ 69 Figura P2.21 ................................................................................................................................ 70 Figura P2.22 ................................................................................................................................ 71 Figura E2.1 .................................................................................................................................. 72 Figura E2.2 Divisor de corrientes. ............................................................................................... 72 Figura E2.3 Divisor de Voltajes. ................................................................................................. 73 Figura E2.4 Identificación de variables. ...................................................................................... 73 Figura E2.5 .................................................................................................................................. 74 Figura E2.6 .................................................................................................................................. 74 Figura E2.7 .................................................................................................................................. 75 Figura E2.8 .................................................................................................................................. 75 Figura E2.9 .................................................................................................................................. 75 Figura E2.10 ................................................................................................................................ 76



Figura E2.11 ................................................................................................................................ 76 Figura E2.12 ................................................................................................................................ 76 Figura E2.13 ................................................................................................................................ 77 Figura E2.14 ................................................................................................................................ 77

Componentes Elementales - Ramos Departamento de...

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