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ICE 2-13 Comunicaciones

Analógicas

6 Representación de sistemas lineales

Agenda para hoy

• Estudiar la clasificación de sistemas – Definiciones y propiedades importantes – Énfasis en sistemas lineales invariantes con el

tiempo (LTI) – Respuesta a impulso, convolución y respuesta

de frecuencia. • Requisitos para transmisión sin distorsión

– Tipos de distorsión

Transformada de Fourier

Definiciones x( t )

t ( ) ( )∫∞

∞−

−= dtetxfX tfj 2π

Transformada de Fourier

X( f )

f

frecuencia

tiempo Transformada inversa de Fourier

( ) ( ) dfefXtx tfj 2π∫∞

∞−

=Espectro

Notación

Para facilitar la descripción de las funciones y operaciones utilizaremos la siguiente convención:

( ) ( ){ } ( ) dfefXfXtx tfj 21 π∫∞

∞−

− =ℑ=

{ } ∫∞

∞−

−=ℑ= dtetxtxfX tfj )( )( )( 2π

Operación de calcular la transformada de Fourier de x(t)

Operación de calcular la transformada inversa de Fourier de X(f)

Definición de sistema lineal invariante con el tiempo

¿Qué es un sistema lineal?

Si y (t) = ℵ{ x(t) }

Sistema lineal

y(t) x(t) Entrada

Salida

Requisitos para sistema lineal: 1. ℵ{ x1(t) + x2(t) } = ℵ{ x1(t) } + ℵ{ x2(t) } 2. ℵ{ ax (t) } = a ℵ{ x (t) }

Operador del sistema

x(t)

t

¿Qué es invariante con el tiempo?

• El sistema lineal es invariante con el tiempo si el operador es el mismo en todo momento.

Sistema invariante t

y(t)

t

x(t - to)

t

y(t - to)

t

y(t)= ℵ{ x(t) } x(t)

x (t - to) y ( t-to)= ℵ{ x(t - to) }

Sistema LTI

• Sistema lineal invariante con el tiempo (“Linear time invariant system”). – Es lineal y... – También es invariante con el tiempo

• LTI significa “Linear Time Invariant” • Importancia de saber que es LTI;

– Podemos analizar su comportamiento utilizando técnicas basadas en las transformadas de Laplace y Fourier.

• Integral de convolución, función de transferencia, respuesta de frecuencia.

• ¿Y si no es LTI? – El análisis va a ser más complicado.

δ(t)

t

¿Qué es un sistema causal?

• El sistema lineal invariante con tiempo es causal si h(t) = 0 para t < 0.

• Causal -- responde después de ocurrir el estímulo.

h(t)

t

Sistema LTI

y(t) x(t)

• NO causal o anticipatorio -- responde antes de ocurrir el estímulo.

Un sistema no causal no es físicamente realizable.

δ(t)

t

¿Qué es un sistema causal?

• El sistema lineal invariante con tiempo es causal si h(t) = 0 para t < 0.

• En el caso de un sistema LTI causal, el integral de convolución simplifica a: h(t)

t

Sistema LTI

y(t) x(t)

∫ −=t

dtxhty0

) ( ) ()( λλλλ

h(λ)

t

Respuesta del sistema lineal invariante con el tiempo

Respuesta del sistema LTI

• La respuesta del sistema lineal invariante con el tiempo (LTI) está dada por su respuesta a impulso y el integral de convolución.

Sistema LTI

y(t) x(t) Entrada Salida

)()()( txthty ∗= ∫∞

∞−

−= λλλ dtxh ) ( )(

Respuesta a impulso del

sistema Operador de convolución

Integral de convolución

x(t)=δ (t)

t

¿Qué es la respuesta a impulso? • Si x(t) = δ(t) entonces la salida se conoce como la

respuesta a impulso del sistema lineal invariante con el tiempo, h(t) = ℵ{ δ(t) }.

Sistema LTI

y(t)=h(t) x(t)=δ (t) Entrada Salida

y(t)=h(t)

t

∫∞

∞−

−= λλλ dtxhty ) ( )( )(

∫∞

∞−

−= λλδλ dth ) ( )(

)( ) ( )()( thdtthty =−= ∫∞

∞−

λλδ

δ(t) aplicado en el origen

Importancia de convolución

• Basta con determinar la respuesta a impulso del sistema para con ello calcular al respuesta a cualquier otra entrada.

• El sistema queda completamente descrito por su respuesta a impulso.

( ) ( ) ( )txthty ∗= ∫∞

∞−

−= λλλ dtxh ) ( )(

λ es la variable de integración.

t es un parámetro

∗ es el operador de convolución

Sistema LTI

y(t) x(t)

Propiedades de convolución

• Conmutativa x(t)∗h(t) = h(t)∗x(t)

)()()( txthty ∗= ∫∞

∞−

−= λλλ dtxh ) ( )(

)()()( thtxty ∗= ∫∞

∞−

−= λλλ dthx ) ( )(

Importancia: puede optar por rotar y desplazar la función que sea más cómoda.

Sistema lineal

y(t) x(t) h(t)

Sistema lineal

y(t) h(t) x(t)

!igual! !igual!


• Asociativa x(t)∗h(t)∗g(t) = [ x(t)∗h(t) ]∗g(t) = x(t)∗[ h(t)∗g(t) ]

Importancia: El orden de los subsistemas no importa.

Sistema 1

y(t) x(t)

h1(t)

Sistema 2

h2(t)

Sistema 2

y(t) x(t)

h2(t)

Sistema 1

h1(t)


Importancia: puede utilizar superposición.

• Distributiva h(t)∗[ x1(t) + x2(t) ] = h(t)∗x1(t) + h(t)∗x2(t)

Sistema x1(t) + x2(t)

h(t)

y(t)

x1(t)

y(t)

x2(t) Sistema

Sistema

h(t)

h(t)

Respuesta de frecuencia de un sistema LTI

Respuesta de frecuencia

Utilizando el teorema de convolución

)()()( txthty ∗=

H ( f ) es la respuesta de frecuencia (“frequency response”) del sistema

∗ es el operador de convolución

Sistema LTI

y(t) x(t)

( ) ( ) ( )fXfHfY =

H ( f ) Y( f ) X( f )

¿Qué nos dice la respuesta de frecuencia?

• La respuesta de frecuencia es la representación de cómo el sistema responde a entradas sinusoidales con frecuencia variable. – Describe las diferencias en amplitud y fase que se observarían

entre la señal sinusoidal de entrada y la salida. – Solo se puede definir para sistemas LTI.

• En comunicaciones usualmente nos interesa una representación gráfica de la respuesta de frecuencia.

H ( f ) y(t) x(t)

| H( f ) |

f

arg { H( f ) }

f

H ( f ) nos muestra cómo el sistema modifica los componentes de frecuencia de la señal de entrada.

Propiedades de H ( f )

• Conmutativa X( f ) H( f ) = H( f ) X( f )

Importancia: Permite considerar otras alternativas cuando va a sintetizar una señal de salida.

Sistema lineal

Y(f) X(f) H(f)

Sistema lineal

Y(f) H(f) X(f)

!igual! !igual!

Propiedades de H( f )

• Asociativa H( f ) G( f ) X( f ) = G( f ) [ H( f ) X( f ) ] = H( f ) [G( f ) X( f ) ]

Importancia: El orden de los subsistemas no importa.

H ( f ) Y( f ) X( f )

G ( f )

G ( f ) Y( f ) X( f )

H ( f )

Propiedades de H ( f )

Importancia: puede utilizar superposición.

• Distributiva H( f )∗ [ X1 ( f ) + X2 ( f ) ] = H ( f ) X1 ( f ) + H ( f ) X2 ( f )

H ( f ) X1 ( f )+X2( f ) Y( f )

X1 ( f )

Y ( f )

X2 ( f ) H ( f )

H ( f )

Causalidad en dominio de f • La definición de causalidad está

expresada en términos de lo que ocurre en el tiempo.

• ¿Será posible reconocer la propiedad de causalidad en el dominio de frecuencia? – o sea, sin tener que convertir al

dominio de tiempo • Sí, el teorema de Paley-Wiener

establece que un sistema es causal solo si

( )∞<

+∫∞

∞−

1

ln 2 df

ffH

• Puesto de otra forma, si H ( f ) cumple con lo anterior, entonces h(t) tiene que ser causal.

• ¿es fácil de evaluar esto en el dominio de la frecuencia? – no necesariamente

Importancia de Paley-Wiener

• Cualquier H( f ) que sea cero sobre una banda de frecuencia no satisface el teorema.

Η( f )

f

Esto lo hace no causal

• Por lo tanto, no es posible obtener sistemas físicamente realizables que rechacen por completo una banda de frecuencias. – Lo mejor que podemos hacer es atenuar, no eliminar.

( )∞<

+∫∞

∞−

1

ln 2 df

ffH

En esa zona estaría evaluando ln (0)

¿Cómo se determina H ( f )?


• Depende de la información disponible. Su cálculo es similar a cómo se obtiene la función de transferencia utilizando transformada de Laplace.

• Si tiene el circuito que describe al sistema: – Reemplace al capacitor e inductor por las reactancias capacitivas e

inductivas, tal como hace un análisis por fasores.

fCjX C π2

1= fLjX L π2=

– Analice el circuito tal como lo hizo en Análisis de Redes. – Obtenga una expresión de la forma Y ( f ) = [ H( f ) ] X( f )

H( f )

Ejemplo 1: Circuito RC

• Calcular H ( f ) del siguiente circuito

R

C x(t)

+

_ y(t)

+

_

Aplicando LCK

i(t)

Ryxi −

=

reorganizando

dtdyRCyx +=

dtdyC =

transforme )( 2 )( )( ffRCYjfYfX π+=

[ ] 21 )( )( fRCjfYfX π+=

21 1

)( )()(

fRCjfXfYfH

π+==

Ejemplo 1: Circuito RC

• Calcular H ( f ) del siguiente circuito

R

C x(t)

+

_ y(t)

+

_

Utilizando fasores y divisor de voltaje

21

)( 2

1

)(R

fCj

fXfCjfY

+=

π

π

reagrupando

21 1

)( )()(

fRCjfXfYfH

π+==

fCj π21

Note que el resultado es el mismo. Vea el texto página 56 para el diagrama de respuesta de frecuencia


• Si tiene la ecuación diferencial que describe al sistema: – Utilice la propiedad de derivación

xydtdy

dtyd 5432

2

=++

[ ] )(5)( 4 )( 23 )( 2 2 fXfYfYfjfYfj =++ ππ

( ) 6 24 5

)( )()( 2 fjffX

fYfHππ +−

==

Sistema de transmisión ideal

Sistema de transmisión ideal

• Exigimos que un sistema de transmisión ideal debe preservar la forma de onda objeto de la transmisión.

• Pero hay que aceptar que... – la señal debe propagarse sobre una

distancia, – esto va a tomar tiempo, – no necesariamente podemos capturar

toda la energía transmitida. • Por lo tanto, aceptamos que la

salida esté dada por:

y (t) = Ho x ( t – to )

Sistema LTI

x (t) y(t)

Atenuación constante

Retardo constante

H ( f ) del sistema de transmisión ideal

• La salida esté dada por:

y (t) = Ho x( t – to )

Sistema LTI

x (t) y(t)

Atenuación constante

Retardo constante

• Aplicando la propiedad de retardo en tiempo obtenemos que: oftj

o efXHfY π2 )( )( −=• Por lo tanto, la respuesta de frecuencia del sistema ideal es:

( ) )( 2 fXeH oftjo

π−=

oftjo eHfH π2 )( −=

)( )( fXfH=

Retardo constante Atenuación

constante

H ( f ) del sistema de transmisión ideal

Sistema LTI

x (t) y(t)

• La respuesta de amplitud y fase del sistema ideal es:

oftjo eHfH π2 )( −=

| H (f) |

f

Ho

θ (f)

f -2πto

La misma ganancia o atenuación para toda frecuencia

Fase es función lineal para toda frecuencia

Pendiente es proporcional al retardo

¿Es posible retardo = 0? • El retardo es función de distancia

(d) y velocidad de propagación de la onda (v)

vdto =

Fuente Destino

d

• No es físicamente posible requerir que v > c (la velocidad de propagación de la luz en el vacío).

∴ Siempre existe algún retardo entre la entrada y la salida.

Caracterización de distorsión

¿Qué ocurre si H ( f ) no es ideal? • Como la transformada de Fourier es

única, cualquier H ( f ) que no sea la ideal será incapaz de transmitir una señal sin distorsionarla.

• Ejemplos

Próximamente veremos el filtro, sistema que se utiliza para remover componentes de frecuencia de una señal.

| H (f) |

f

Ho

θ (f)

f -2πto

ideal

ideal

No ideal

No ideal

¿Qué es distorsión?

• Modificación no deseada que sufre la forma de onda de la señal. – La salida del sistema no es una réplica de la entrada.

• Tres tipos de distorsión reconocidos: – Distorsión de amplitud – Distorsión de fase o retardo – Distorsión no lineal.

• Cuando la modificación es deseada decimos que estamos filtrando a la señal. – No decimos que estamos distorsionando la señal.

Distorsión de amplitud

• Distorsión atribuible a que H( f ) ≠ Ho para toda frecuencia.

| H ( f ) |

f

Ho

ideal

No ideal

Componentes en esta zona se amplifican más

Componentes en esta zona se amplifican

Componentes en esta zona se atenúan más

Se altera la proporción que existía entre los

distintos componentes de frecuencia en la

señal original.

¿Cómo se percibe distorsión de amplitud?

• En el caso de audio, notamos que la calidad del sonido empobrece. – Ejemplo: se pierde la

distinción entre instrumentos musicales.

• Compare la calidad del sonido de: – Una llamada telefónica

( hasta 3 kHz ) – Radio AM ( hasta 5 kHz ) – Radio FM ( hasta 15 kHz ) – CD/DVD ( >20 kHz )

• Solo nos interesa la distorsión que modifica la señal deseada. – Ejemplo: en el caso de audio no

nos importa perder componentes sobre 20 kHz. Comoquiera no podríamos escucharlos.

y(t)

t

¿Cómo se percibe distorsión de amplitud?

• En el caso de pulsos o señales digitales, notamos que se deteriora la transición entre niveles de voltaje.

• Esta distorsión limita la capacidad para reconocer los niveles lógicos. y(t)

t

Causa oscilaciones en las transiciones

x(t)

t

Usos de distorsión de amplitud

• Aunque distorsión de amplitud puede parecer un defecto, en sistemas de audio se introduce deliberadamente para hacer que el sonido suene “mejor”, “más natural”, …

• ¿Cómo? – Uso de igualadores (“equalizers”) para cambiar la

respuesta de frecuencia de un sistema de audio.

| H ( f ) |

f

Enfatizar frecuencias bajas

Enfatizar frecuencias altas

Distorsión de retardo

• Cuando la fase, θ ( f ) ≠ -2πfto

θ (f)

f

ideal

No ideal

)(

21)(

dffdfTg

θπ

=

Defina retardo de grupo (“group delay”) como:

Tg ( f ) = tiempo de propagación del componente de frecuencia f relativo al resto del grupo de componentes de frecuencia.

Tg mayor

Tg menor

Retardo de grupo

• Distorsión de fase es difícil de medir ya que requiere comparar la diferencia en fase entre la señal de entrada y la de salida. – Estos puertos pueden estar

separados por millas de distancia.

• Retardo de grupo (“group delay”) se define de manera relativa. – La referencia de cero retardo de

grupo puede ser el componente de frecuencia en la mitad de la banda del canal.

– Los demás componentes van a estar adelantados o atrasados con respecto al que se ha escogido como referencia.

– Todo esto se mide en la salida.

¿Cómo se percibe distorsión de retardo o distorsión de fase?

• Salvo casos extremos, en audio normalmente no se percibe efecto. – El sistema auditivo humano es

bien sensible a la presencia de las frecuencias pero no así a diferencias en fase entre diferentes frecuencias.

• En audio se hace mayor esfuerzo por limitar la distorsión de amplitud.


• Para pulsos o señales digitales este tipo de distorsión es muy importante.

• Provoca que los componentes de frecuencia que forman la forma de onda de la señal lleguen en diferentes momentos. – Los que lleguen primero se acaban

primero. – Los que lleguen últimos terminan

más tarde.


• Ejemplo del caso digital:

• Si se envían pulsos en intervalos consecutivos, la cola del pulso previo invade el espacio que le corresponde a otro pulso.

y(t)

t

Causa alargamiento de la duración del pulso.

x(t)

t

Distorsión no lineal

• Esta es la modificación causada a una señal por un sistema que no es lineal.

• Si { } )( )( txty ℵ=es no lineal, superposición deja de ser válida. • El efecto observable será la posible aparición en la salida de componentes de frecuencia que no estaban presentes en la entrada.

• Ejemplo: curva de transferencia de un amplificador.

y

x

lineal

NO lineal

Ejemplo 3: Distorsión no lineal

• Determine el espectro de la salida si el operador del sistema es y = ax + bx2

y la entrada es x(t) = X1 cos(2πf1t) + X2 cos(2πf2t) • Solución: Sustituya la expresión para la entrada en la función que

describe al operador. [ ] ++= )2cos( )2cos( )( 2211 tfXtfXaty ππ

[ ] 22211 )2cos( )2cos( tfXtfXb ππ ++

[ ]++= )2cos( )2cos( 2211 tfXtfXa ππ

+++ )2( cos )2( cos 222

2122

1 tfXbtfXb ππ)2cos( )2cos( 2 1121 tftfXXb ππ+

Y(f)

f

Ejemplo 3: Distorsión no lineal

• Simplificando

++= )2cos()2cos()( 2211 tfaXtfaXty ππ

• Espectro

0 f1 f2 f2- f1 f2+ f1 2f1 2f2

+++++ )4cos(22

)4cos(22 2

22

221

21

21 tfXbXbtfXbXb ππ

])(2cos[])(2cos[ 12211221 tffXbXtffXbX ++−+ ππ

Comentario

• Este ejemplo muestra una de las características de la distorsión no lineal. – Aparecen frecuencias en la

salida que no estaban presentes en la entrada.

– Algunas de estas frecuencias son armónicas de las presentes en la entrada (distorsión armónica)

– Otras son sumas y restas de las frecuencias presentes en la entrada. (distorsión de intermodulación)

– Puede aparecer un componente DC

Compresores de audio

• Existen situaciones en las que se introduce deliberadamente distorsión no lineal.

• Compresión de audio – Objetivo es reducir el rango

dinámico de una señal. – Darle más fuerza a las

amplitudes más débiles. – Amplificar menos a las

amplitudes muy fuertes.

• ¿Por qué? – Combatir ruido de

fondo. – Evitar recorte de la

señal por exceso de amplitud.

¿Laplace o Fourier?


• En este punto en el curso puede parecerle que las transformadas de Laplace y Fourier hacen esencialmente lo mismo.

• Esto no es correcto. Veamos: – Con Fourier puedo obtener la respuesta estacionaria de un sistema

pero no así la respuesta transitoria. Laplace le permite conseguir ambas.

– Fourier me permite conseguir la respuesta de frecuencia de un sistema de una manera relativamente sencilla. Con Laplace debo recurrir a cambios de variable o a utilizar los diagramas de Bode.

– Fourier le permite conocer el contenido de frecuencia real de una señal. Laplace no.

– Laplace le permite conocer mucho más sobre las propiedades de un sistema como por ejemplo la estabilidad y todo lo que tenga que ver con respuesta transitoria. Con Fourier esto no es posible.


• Lo anterior significa que debe dominar ambas herramientas de análisis pues: – existen situaciones donde cualquiera de las dos

resuelve lo que buscamos pero, – hay situaciones donde una de ellas es más apropiada y – también existen casos donde solo con Laplace puede

resolver el problema.

Al completar esta lección …

Usted debe ser capaz de: • Reconocer y clasificar los sistemas en

términos de linealidad y causalidad y variabilidad con el tiempo.

• Dado un sistema LTI debe poder – Determinar su respuesta a impulso y

respuesta de frecuencia – Evaluar la respuesta del sistema tanto en el

dominio del tiempo como de frecuencia • Conocer los requisitos para transmisión sin

distorsión • Reconocer el efecto de la distorsión sobre

la transmisión de una señal.

Para obtener más información

Sección 2.7 de Ziemer y Tranter Página del curso: En construcción.

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