Con Cult a 1

ESCUELA POLITCNICA NACIONAL INGENIERA ELECTRNICA Y TELECOMUNICACIONES SISTEMAS DIGITALES

CONSULTA #1

TEMAS:

OTROS TIPOS DE LGICA SISTEMAS DE NUMERACIN

RUBEN FERNANDO SARANSIG TIXICURO

21- NOVIEMBRE-2007

CONTENIDO

1. Contenido 2. OTROS TIPOS DE LGICA 2.1 Lgica binaria 2.2 Lgica ternaria 2.3 Lgica difusa [Fuzzy Logic]

3. SISTEMAS DE NUMERACIN 3.1 Conversin de bases 3.2 Aritmtica binaria 3.3 Representacin de valores en complemento: Restringido y verdadero 3.4 Otros cdigo binarios 3.4.1 BCD 3.4.2 Gray 3.4.3 Offset 3.4.4 Todo complementado 3.5 Cdigos alfanumricos 3.5.1 EBCDIC 3.5.2 ASCII BIBLIOGRAFA

SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

2

SISTEMAS DIGITALES CONSULTA N 1 OTROS TIPOS DE LGICA LGICA BINARIA La lgica binaria trabaja con variables binarias y operaciones lgicas. As, las variables slo tomarn dos valores discretos: V (verdadero) y F (falso), s y no, 1 y 0 respectivamente. Una de las funciones de la Unidad Aritmtico Lgica (ALU), situada en el ncleo del procesador es la de realizar las operaciones lgicas con los datos contenidos en una instruccin del programa. Pero, qu es una operacin lgica? Historia El antiguo matemtico Indio Pingala present la primera descripcin que se conoce de un sistema de numeracin binario en el siglo tercero antes de Cristo, lo cual coincidi con su descubrimiento del concepto del nmero cero. Una serie completa de 8 trigrams y 64 hexagramas, analogos a 3 bit y nmeros binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clsico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias tambin han sido utilizados en sistemas de adivinacin tradicionales africanos como el If, as como en la geomancia medieval Occidental. Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un mtodo para generar el mismo, fue desarrollado por el erudito y filsofo Chino Shao Yong en el siglo XI. Sin embargo, no hay ningunas pruebas que Shao entendi el cmputo binario. En 1605 Francis Bacon habl de un sistema por el cual las letras del alfabeto podran reducirse a secuencias de dgitos binarios, la cuales podran ser codificados como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario. En gran medida para la teora general de codificacin de binario, l aadi que este mtodo podra ser usado con cualquier objeto en absoluto: "siempre que aquellos objetos sean capaces de solo una diferencia doble; como por Campanas, por Trompetas, por Luces y Antorchas, segn el informe de Mosquetes, y cualquier instrumento de naturaleza parecida." [2] (Ver el codigo de Bacon) El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo diecisiete, en su artculo "Explication de l'Arithmtique Binaire". Leibniz us el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeracin binario actual. En 1854, el matemtico britnico George Boole, public un artculo que marc un antes y un despus, detallando un sistema de lgica que terminara denominndose lgebra de Boole. Dicho sistema jugara un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrnicos. En 1937, Claude Shannon realiz su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba el lgebra de Boole y aritmtica binaria utilizando rels y conmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Anlisis Simblico de Circuitos Conmutadores y Rels, la tesis de Shannon bsicamente fund el diseo prctico de circuitos digitales. En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell, construy un ordenador basado en rels - al cual apod "Modelo K" (porque lo construy en una cocina, en ingls "kitchen")- que utilizaba la suma binaria para realizar los clculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacin a finales de 1938, con Stibitz al mando. El 8SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

3

de enero de 1940 terminaron el diseo de una Calculadora de Nmeros Complejos, la cual era capaz de realizar clculos con nmeros complejos. En una demostracin en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemticas, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logr enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Nmeros Complejos a travs de la lnea telefnica mediante un teletipo. Fue la primera mquina computadora utilizada de manera remota a travs de la lnea de telfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostracin fueron John Von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, el cual escribi acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzo diferentes logros. El lgebra lgica fue desarrollada a principios del siglo XIX por el matemtico George Boole para investigar las leyes fundamentales en que se basa el razonamiento humano. Este lgebra tiene una caracterstica especial: sus variables solo pueden adoptar dos valores, tradicionalmente denominados cierto y falso (es usual representarlos con 1 y 0 respectivamente), en estos casos, ambos dgitos pueden representar cualquier par de estados, con la condicin de ser mutuamente excluyentes [1]. Por esto se dice que no maneja cantidades en el sentido del resto de las matemticas, sino valores lgicos binarios y se la denomina lgebra o lgica binaria (o Booleana). Los circuitos elctricos digitales, los circuitos con fluidos (hidrulicos y neumticos), con luz (fibra ptica) y otros, se prestan muy bien a tratar este tipo de seales, porque es fcil construir circuitos que adopten tales valores, tensin no-tensin, conectado no-conectado, abierto-cerrado, encendido, apagado etc. La adaptacin del lgebra de Boole a los computadores digitales fue presentada en 1938 por Claude Shannon de los Laboratorios Bell. Hagamos hincapi que en estos casos, las cifras 0 y 1 no representan cantidades numricas. Son smbolos de dos estados mutuamente excluyentes. El hecho de que en este tipo de sistemas (de variables lgicas binarias) se utilice un sistema de numeracin binario (de base 2), es porque al tener este sistema de numeracin solo dos dgitos 0 y 1, es posible establecer una relacin biunvoca entre los valores numricos y los estados lgicos. Esta relacin se hace a veces tan ntima que la distincin tiende a desdibujarse, aunque el sistema de numeracin de base dos (o cualquier otra base) y la lgica binaria (representada por su lgebra) sean conceptos totalmente distintos. Tambin son conceptos distintos los dgitos 0/1 del sistema binario y los valores cierto/falso de las variables lgicas binarias. Existe un lgebra lgica de mas de dos estados, la lgica difusa, donde las cosas no son blancas o negras, pueden existir grados intermedios; los estados no son mutuamente exclusivos. Representacin Un nmero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dgitos binarios), que a su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente exclusivos. Las secuencias siguientes de smbolos podran ser interpretadas todas como el mismo valor binario numrico: 1010011010 |-|--||-|xoxooxxoxo ynynnyynyn


4

Un reloj binario podra usar LEDS para expresar valores binarios. En este reloj, cada columna de LEDS muestra un nmero cifrado por binario decimal del tiempo tradicional sexagesimal. El valor numrico representado en cada caso depende del valor asignado a cada smbolo. En un ordenador, los valores numricos pueden ser representados por dos voltajes diferentes; sobre un disco magntico, polaridades magnticas pueden ser usadas. "Un positivo", "s", o "sobre" el estado es no necesariamente el equivalente al valor numrico de uno; esto depende de la arquitectura usada. De acuerdo con la representacin acostumbrada de cifras que usan nmeros rabes, los nmeros binarios comnmente son escritos usando los smbolos 0 y 1. Cuando son escritos, los nmeros binarios son a menudo subindicados, prefijados o sufijados para indicar su base, o la raz. Las notaciones siguientes son equivalentes: 100101 binario (declaracin explcita de formato) 100101b (un sufijo que indica formato binario) 100101B (un sufijo que indica formato binario) bin 100101 (un prefijo que indica formato binario) 1001012 (un subndice que indica base 2 (binaria) notacin) %100101 (un prefijo que indica formato binario) 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, comn en lenguajes de programacin)

Operaciones lgicas De forma anloga al lgebra tradicional, en el lgebra binaria se definen operadores y relaciones con los que se pueden construir funciones (relaciones), que se llaman "lgicas" o "booleanas". Por ejemplo: s = a . b+b . c; en forma implcita: s = f(a, b, c) Donde s , a, b, c son variables lgicas. s es la variable dependiente (o funcin). a, b y c son las variables independientes. = es una relacin, + y . son operadores lgicos (no tienen ninguna relacin con los peradores "suma" y "producto" que estamos acostumbrados a ver en aritmtica). Tabla-2 En el lgebra tradicional, para que una operacin (otra manera de a b c s Tabla-1 llamar a una funcin) entre dos variables est perfectamente 0 0 0 0 a b s definida, es preciso definir el valor de la resultante (funcin) para 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 todo el mbito de existencia de las variables independientes. Del 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 mismo modo, para definir un operador entre dos variables lgicas, 1 1 1 1 es preciso definir el valor que adopta la variable dependiente para 1 0 0 1 0 1 1 todas las posibles combinaciones de las independientes. 1 1 0 1 1 1 1 1 Puesto que en el lgebra de Boole las variables (independientes y funcin) soloSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

5

pueden adoptar dos valores, aqu, la definicin de un operador entre 2 variables a y b, exige definir el resultado (0 o 1) para las 4 (22) combinaciones de valores posibles que a y b pueden presentar. Del mismo modo, para 3 variables hay que definir 23 resultados, y en genera 2n para n variables. Estas definiciones pueden expresarse cmodamente en forma tabular. Este tipo de representacin se denomina Tabla de Verdad de la funcin. Consiste en una tabla con tantas columnas como variables (contando la dependiente o funcin), y tantas filas como resultados hay que definir (tantos como combinaciones pueden hacerse con las variables independientes) es decir, 2n, siendo n el nmero de variables independientes. En la Tabla-1 se ha representado lo que podra ser la definicin (tabla de verdad) de una funcin de dos variables, y en la Tabla-2 la correspondiente a una funcin de tres variables. Observe que en el primer caso, es preciso definir el resultado (0 o 1) para las 22 = 4 combinaciones que pueden presentarse. Como estos resultados podran ser dos para cada combinacin, se pueden definir 2 4 = 16 funciones distintas para dos variables, lo que puede expresarse 22^2 (la que se ha representado en la Tabla-1 es una de las 16 funciones posibles). Del mismo modo, como hemos visto en la Tabla-2, para definir una funcin de tres variables hay que definir 23 = 8 resultados, pudiendo existir 28 = 22^3 = 256 funciones distintas.

Nota: Por conveniencia de la notacin, utilizamos aqu la expresin a^b como equivalente a: ab. Tabla-3 t v c 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 p 0 0 0 0 1 0 0 0 La lgica del asunto podra presentarse como sigue: n variables lgicas (a, b, c, d, Etc.) representan n situaciones (no tienen porque tener ninguna conexin entre si), cada una de las cuales puede tener dos estados mutuamente excluyentes. Una funcin entre n variables significa establecer una relacin de forma que a cada combinacin de las n situaciones (variables de entrada, o independientes) le corresponde uno de los dos valores posibles de una nueva variable (lgica) s, que denominamos salida (tambin puede ser llamada variable dependiente o funcin).

Nota: lo de "entrada" y "salida" viene de su utilizacin en circuitos electrnicos. Estas funciones pueden ser emuladas fsicamente mediante circuitos electrnicos ("puertas" lgicas) con tantos hilos de "entrada" como variables independientes, y un hilo para la "salida". Aplicando seales (por ejemplo tensin/no tensin) en los hilos de entrada del circuito, el de salida adopta el valor definido por la tabla de verdad. Podemos concretarlo en un caso: Imaginemos que una variable t representa el estado del tiempo en loSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

6

que a lluvia se refiere, otra variable v representa el estado del viento; una tercera c representa si sacaremos el coche. Podramos establecer una cuarta variable p que representa si llevaremos o no paraguas, y decimos que p depender del valor de las restantes variables (tcnicamente decimos que es funcin de t, v, y c), y se expresa: p = f(t, v, c). Recordemos que todas estas variables son binarias, solo pueden tener dos valores si/cierto (que representamos con 1) y no/falso (que representamos con 0). Nuestro criterio respecto a sacar el paraguas podra ser expresado por la tabla de verdad de la Tabla-3, que representara sin ambigedades el comportamiento que seguiremos al respecto. Relacin de igualdad Igualdad a b 0 0 1 1

Decimos que entre dos variables a, b hay una relacin de igualdad verdad es la que se adjunta (es una identidad). Notacin: a = b Propiedades: Reflexiva: a = a Simtrica: a = b b=a Transitiva: a = b y b = c a=c

cuando su tabla de

Ejemplo: Sea a una variable que define el estado meteorolgico de lluvia (1 = Cierto = llueve / 0 = falso = No llueve). Si en un caso es a = Llueve a = No llueve. Una operacin lgica asigna un valor (CIERTO o FALSO) a la combinacin de condiciones (CIERTO o FALSO) de uno o ms factores. Los factores que intervienen en una operacin lgica slo pueden ser ciertos o falsos. Y el resultado de una operacin lgica puede ser, tan slo, cierto o falso. Por ejemplo, imagnate el sistema de control del toldo de una cafetera, que se gobierna mediante una operacin lgica. Para que el motor que extiende el toldo se accione deber tener en cuenta dos factores: es de da? est lloviendo? Si estos dos factores son ciertos, el motor debe ponerse en marcha y extender el toldo. De dia Falso Falso Cierto Cierto Llueve Falso Cierto Falso Cierto Toldo Falso Falso Falso Cierto

Los resultados de una operacin lgica, para cada uno de los valores posibles de las variables, se fijan en una tabla denominada Tabla de Verdad, como la del ejemplo anterior. Las tablas de valores de verdad son una herramienta desarrollada por Charles Peirce en los aos 1880, siendo sin embargo ms popular el formato que Ludwig Wittgenstein desarroll en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1918 por Bertrand Russell. Se emplean en lgica para determinarSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

7

los posibles valores de verdad de una expresin o proposicin. O si un esquema de inferencia, como argumento, es formalmente vlido mostrando que, efectivamente, es una tautologa. Sus unidades mnimas se denominan proposiciones atmicas, y en un sistema lgico bivalente tiene dos posibles valores de verdad: verdadero y falso. Considerando dos proposiciones A y B y considerando su relacin "$" como variable de cualquier relacin sintctica posible que defina una funcin de verdad, podran suceder los casos siguientes: NOTA: Las proposiciones A, B, C,.... maysculas simbolizan cualquier proposicin, atmica o molecular, por lo que propiamente son expresiones metalingsticas respecto al lenguaje objeto de la lgica proposicional, generalmente simbolizadas con minsculas p, q, r, s...... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A B A$ A& A$ A$ A$ A$ A$ A$ A$ A$ A$ A$ A$ A$ A$ A$ B $ B B B B B B B B B B B B B B V V V V V V V V V V F F F F F F F F V F V V V V F F F F V V V V F F F F F V V V F F V V F F V V F F V V F F F F V F V F V F V F V F V F V F V F La tabla nos muestra los cuatro casos de combinacin posibles segn el valor de verdad de A y de B. Tenemos por tanto 4 lneas, y 16 columnas que representan todos los posibles valores que pueden darse segn se defina una funcin de verdad cualquiera. De esta forma podemos conocer mecnicamente, es decir mediante algoritmo, el valor de verdad de cualquier conexin lgica, siempre y cuando previamente la hayamos definido como funcin de verdad. Se hace necesario definir las relaciones establecidas por las conexiones en valores de verdad. Esta aplicacin hace posible la construccin de aparatos capaces de realizar estas computaciones a velocidades increbles, llamadas por lo mismo computadoras u ordenadores. El desarrollo de estos circuitos y su estructuracin merece verse en el artculo puerta lgica. La Tabla de la verdad es una herramienta imprescindible en la recuperacin de datos en las bases de datos como Internet con los motores de bsqueda o en una biblioteca con sus ficheros informatizados. Asimismo se utilizan para programar simulaciones lgicas de inteligencia artificial con lenguajes propios. Tambin en modelos matemticos predictores: meteorologa, marketing y otros muchos. lgebra de Boole lgebra de Boole (tambin llamada Retculas booleanas) en informtica y matemtica, son estructuras algebraicas que "capturan la esencia" de las operaciones lgicas Y, O y NO, as como el conjunto de operaciones unin, interseccin y complemento. Se denomina as en honor a George Boole, matemtico ingls que fue el primero en definirla como parte de un sistema lgico a mediados del siglo XIX. Especficamente, el lgebra de Boole fue un intento de utilizar las tcnicas algebraicas para tratar expresiones de la lgica proposicional. En la actualidad el lgebra de Boole se aplica de forma generalizada en diseo electrnico. Se aplic por primera vez en circuitos de conmutacin elctrica biestables por Claude Shannon en 1938. Los operadores del lgebra de Boole pueden representarse de varias formas. A menudo se representan simplemente como AND (Y), OR (O) y NOT (NO). En electrnica digital (vase puerta lgica) tambin se emplean la X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia) . En matemtica a menudo se utiliza + en lugar de OR y en lugar de AND, debido a que estas operaciones son de alguna manera anlogas a la suma y el producto en otras estructurasSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

8

algebraicas, y NOT se representa como una lnea o una comilla sobre la expresin que se pretende negar (NO A sera o A'). Se comenzar el estudio del lgebra de Boole introduciendo el concepto de clase. Se define como clase el total de los elementos que cumplen las caractersticas definidas por un criterio de pertenencia. En general, una subclase S de una clase dada C, es una clase cuyos elementos pertenecen a la clase C. A su vez, la clase C podra ser una subclase de una clase ms amplia que contuviera todos los elementos de C juntos con otros elementos distintos. E inversamente, la clase S puede contener sus propias subclases. Una clase especialmente importante es la denominada clase de referencia o clase universal, que es aquella que comprende a todos los elementos bajo estudio. Una vez definida la clase universal, se puede definir la clase complementaria de una clase cualquiera A perteneciente a la universal, como la clase que encierra a todos los elementos de la clase universal excepto aquellos que estn contenidos en la clase A. Finalmente, se define la clase vaca como la clase complementaria de la clase universal. De acuerdo con la definicin de clase universal, la clase vaca es aquella que no contiene ningn elemento. Se denomina funcin lgica o booleana a aquella funcin matemtica cuyas variables son binarias y estn unidas mediante los operadores del lgebra de Boole suma lgica (+), producto lgico () o negacin('). El lgebra de Boole es una retcula (A, , ) (considerada como una estructura algebraica) con las siguientes cuatro propiedades adicionales: 1. Acotada inferiormente: Existe un elemento 0, tal que a 0 = a para todo a perteneciente a A. 2. Acotada superiormente: Existe un elemento 1, tal que a 1 = a para todo a perteneciente a A. 3. Distributiva: Para todo a, b, c pertenecientes a A, (a b) c = (a c) (b c). 4. Con complemento: Para cualquier a perteneciente a A existe un elemento a perteneciente a A tal que a a = 1 y a a = 0. De esos axiomas se desprende que el elemento mnimo 0, el elemento mximo 1, y el complemento a de un elemento a estn nicamente determinados. Como cualquier retcula, el lgebra Booleana A, , ) da lugar a un conjunto parcialmente ordenado (A, ) definiendo a b si y slo si a = a b (que equivale a b = a b). distributiva A, ) (considerada como un conjunto parcialmente ordenado) con elemento mnimo 0, elemento mximo 1, en la que cada elemento x tiene un complemento x tal que Operaciones Se definirn las operaciones bsicas del Algebra de Boole, describindose a continuacin su aplicacin a los circuitos lgicos. Unin o adicin La unin de dos clases A y B se define como la clase formada por todos los elementos de la clase A, todos los elementos de la clase B, y ningn otro elemento. La clase unin se representa mediante la simbologa matemtica: A B Interseccin o producto La interseccin de dos clases A y B se define como la clase formada por todos los elementos que pertenecen simultneamente a las clases A y B. La clase interseccin se puede representar mediante los smbolos: A B Complementacin


9

La clase complementaria de una dada ya ha sido definida. Las notaciones simblicas empleadas para representar el complementario de A son: A' o bien A. Aqu se mencionarn dos propiedades importantes de la complementacin, que se pueden comprobar fcilmente: A + A' =U (clase universal) A ^ A' = 0 (clase vaca) considerado ==Leyes fundamentales==xupalo 1. El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es nico. 2. Ley de idempotencia: A + A = A | A A = A 3. Ley de involucin: (A')' = A 4. Ley conmutativa: A + B = B + A | A B = B A 5. Ley asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C | A (B C) = (A B) C 6. Ley distributiva: A + B C = (A + B) (A + C) | A (B + C) = A B + A C 7. Ley de absorcin: A + A B = A | A (A + B) = A 8. Ley de De Morgan: (A + B)' = A' B' | (A B)' = A' + B'

Para que un procesador pueda ejecutar las operaciones lgicas, es preciso asignar un valor binario a cada una de las condiciones posibles. Se suele asignar un UNO (1) al valor CIERTO y un CERO (0) al valor FALSO, con el criterio denominado lgica positiva. Las operaciones lgicas ms importantes son: EQUAL (idntico), NOT (negacin), OR (O), AND (Y), NOR (O negada), NAND (Y negada), OREX (O exclusiva) y NOREX (O exclusiva negada). Por otro lado algunas funciones pueden definirse como combinacin de otras. Por ejemplo la funcin A B es equivalente a la funcin combinada (A /\ B), como puede comprobarse haciendo la tabla de verdad. Este tipo de equivalencias son muy tiles para el establecimiento de reglas para el clculo deductivo, pues al ser equivalencias suponen una tautologa, como ley lgica. Desgraciadamente, como vemos en las definiciones, hay diversas formas de simbolizacin grfica de las funciones, si bien eso no es obstculo para su definicin.

Funcin EQUAL El resultado S de aplicar la funcin lgica equal, sobre una variable a, es muy simple: si a es CIERTO (1) S es CIERTO (1) y, si a es FALSO (0), S es FALSO (0). Estas dos resultados posibles se muestran en la tabla de verdad adjunta: a 1 0 S 1 0 Un ejemplo sencillo de aplicacin prctica de esta funcin lgica sera el encendido de las luces del alumbrado pblico. En algn lugar de la ciudad se instala un detector crepuscular, que detecta cundo es de noche y controla un interruptor que enciende las luces de las calles: si es de noche (1) se encienden las lmparas (1); si NO es de noche (0) NO se encienden las lmparas (0).SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

10

Un circuito elctrico capaz de implementar esta funcin lgica es el siguiente:

Principio de dualidad Todas las expresiones booleanas permanecen vlidas si se intercambian los operadores '+' y '', y los elementos '0' y '1'. As para obtener una expresin algebraica dual, se intercambian los operadores AND y OR y se reemplazan unos por ceros y viceversa. El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relacin o ley lgica le corresponder su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unin con los de interseccin, y de los 1 con los 0. Adicin Producto 1 A + A' = 1 A A' = 0 2 A+0=A A1=A 3 A+1=1 A0=0 4 A+A=A AA=A 5 A+B=B+A AB=BA 6 A + (B + C) = (A + B) + C A (B C) = (A B) C 7 A + B C = (A + B) (A + C) A (B + C) = A B + A C 8 A+AB=A A (A + B) = A 9 (A + B)' = A' B' (A B)' = A' + B' Funciones lgicas Hemos adelantado que la definicin de un operador entre 2 variables a y b, exige definir el resultado (0 o 1) para las 4 combinaciones de valores posibles que pueden presentar a y b (mostradas en la Tabla-1 ), y que pueden existir 16 de estas funciones. Para 3 variables hay que definir 23 = 8 resultados, y pueden existir 23 de estas funciones. En general, para definir una funcin entre n variables hay que definir 2n valores, y pueden ser definidas 2n^2 funciones distintas. As pues, el arsenal de funciones distintas en funcin del nmero de variables implicadas es el siguiente: 1 1^2 Para una variable: 2 combinaciones, 2 funciones. Este caso es el representado en la Tabla-4. En ella vemos que aparte de las dos seudo funciones (f0 y f3), f1 es una identidad (transforma la variable en si misma). Queda f2 como autntica funcin (la inversin ya estudiada anteriormente).

Tabla-4 de f0(a) f1(a) f2(a) f3(a) Valores a 0 1 Funcin 0 0 f(a) = 0 0 1 f(a) = a (identidad) 1 0 f(a) = a (inverso) 1 1 f(a) = 1SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

11

Nota: Esta tabla de verdad debe leerse de la siguiente forma: la funcin f0 aplicada sobre a produce un resultado 0 con cualquier valor (0 o 1) que tenga a. Por su parte f1 aplicada sobre a produce un resultado 0 o 1 segn el valor (0 o 1) que tenga a (en realidad no modifica el valor de a). La funcin f2 aplicada sobre a produce un resultado que es el inverso de a. Finalmente, f3 aplicada sobre a produce siempre un 1, independientemente del valor (0 o 1) de a.

Para 2 variables: hay 22 combinaciones 22^2 =16 funciones, que se han representado en la Tabla-5 (incluyen las 4 posibilidades correspondientes a 1 variable). Para 3 variables: 23 = 8 combinaciones. Las posibilidades de asignar 0/1 a estas combinacin es 23^2 = 256. Para n variables: 2n combinaciones. Las posibilidades de asignar 0/1 a estas combinacin es 2n^2.

A continuacin definimos las 16 operaciones posibles entre "dos" variables lgicas (denominadas conectivas). Vemos que estn incluidas algunas que no lo son realmente (resultados que no dependen de los valores de las variables independientes), y que estn tambin las de una sola variable. En la Tabla-5 se han sealado estas 16 posibilidades. Vemos que las funciones marcadas con 1, f0 y f15, no son realmente funciones, valen 0 y 1 (falso y cierto) respectivamente, con independencia de los valores a y b. Las marcadas con 2 son las de una variable ya comentadas. Es digno de destacarse que estas 16 funciones no son independientes entre s. Pueden expresarse en funcin de tres de ellas: AND, OR y NOT. A continuacin se comentan las mas interesantes, las tablas de verdad de cada operacin las dejamos referidas a esta tabla. Funcin NOT Es una operacin unitaria (afecta a una sola variable), que aplicada a una variable la transforma en otra segn la tabla de verdad que se adjunta. Notacin: s = not(a) = a * En realidad es una barra superior, aunque aqu, por necesidades tipogrficas la representemos como un subrayado. Teorema: Dos negaciones sucesivas de una variable producen la variable primitiva. Esto puede expresarse algbricamente mediante la expresin: NOT(a) = a. Nota: esta afirmacin, que parece "de cajn", y casi todos los teoremas y axiomas que se citen sobre lgebra binaria, tienen su demostracin mediante el uso de la tabla de verdad, dado que el pequeo nmero de casos a revisar, permite verificarlos todos. Funciones de negacin de implicacin, NOT implicacin. El resultado S de aplicar la funcin lgica NOT, sobre una variable a, es muy simple: si a es CIERTO (1) S es FALSO (0) y, si a es FALSO (0), S es CIERTO (1). Estas dos resultados posibles se muestran en la tabla de verdad adjunta. Se conoce tambin como funcin negacin: S equivale a a negada. a S 1 0SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

12

0

1

Un ejemplo sencillo de aplicacin prctica de esta funcin lgica sera el circuito que controla el acceso a una oficina bancaria, a travs de una puerta automtica equipada con un detector de metales que cierra un interruptor. Si el detector de metales SI nota que el cliente lleva objetos metlicos (1) y la puerta NO se abre (0); en cambio, si el cliente NO lleva objetos metlicos (0), la puerta SI se abre (1).

Observamos que estas funciones son la negacin de las anteriores. Notacin: F2: s = a b Debe leerse: a NOT implica b F4: s = b a Debe leerse: b NOT implica a Las tablas de verdad pueden construirse a partir de las anteriores (5.7), cambiando los ceros por unos y viceversa (negando los valores correspondientes) en la columna s.

Funcin OR La funcin OR equivale a la conjuncin disyuntiva O. El resultado S de aplicar la funcin lgica OR, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es cierto si a es CIERTO (1) o si b es CIERTO (1). Cuando se aplica una operacin lgica sobre 2 variables caben 4 combinaciones posibles. Los resultados de la operacin lgica OR, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta. La operacin Suma, inclusive-OR, Reunin, Unin (tiene todos estos nombres), se define mediante la tabla de verdad adjunta. En lenguaje coloquial diramos que la salida o resultante es cierta si lo es alguna de Inclusive OR las variables (entradas). a b s Notacin: 0 0 0 s=a+b 0 1 1 s = a OR b 1 0 1 1 La notacin utilizada puede ser cualquiera de las sealadas. Recuerde: el operador + 1 1 no tiene nada que ver con la suma tradicional (aritmtica). Propiedades: Conmutativa: s = a + b = b + a Asociativa: s = a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c


13

a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

S 0 1 1 1

Una aplicacin prctica sencilla de la operacin lgica OR, sera el circuito de sealizacin instalado en un comercio, en el que se puede entrar por dos puertas distintas, que avisara al dependiente al entrar un cliente por cualquiera de las dos puertas del establecimiento. Si un cliente entra por la puerta a (1) O si un cliente entra por la puerta b (1), el timbre suena (1). Si no entra ningn cliente por ninguna de las puertas a (0) ni b (0). El timbre NO suena (0). Un circuito elctrico compuesto por dos interruptores en paralelo, cumple la lgica OR. La lmpara SI se encender (1) si se acciona el interruptor a (1) O si se acciona el interruptor b (1) O si se accionan ambos interruptores. Si no se acciona ningn interruptor, la lmpara NO se encender (0). Funcin AND La funcin AND equivale a la conjuncin copulativa Y: El resultado S de aplicar la funcin lgica AND, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a es CIERTO (1) Y si b es CIERTO (1). Operacin Producto, AND, Interseccin: La salida es cierta si son simultneamente ciertas las dos entradas. Notacin: s = a . b = ab s = a AND b s=aYb Producto a b 0 0 0 1 1 0 1 1

s 0 0 0 1

Propiedades: Conmutativa: s = ab = ba Asociativa: s = (ab)c = a(bc) = abc Los resultados de la operacin lgica AND, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta. a b S 0 0 0SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

14

0 1 1

1 0 1

0 0 1

Una aplicacin de la operacin lgica AND, sera el sistema de control de los pasajeros en un aeropuerto. Cada pasajero debe pasar por tres controles: Tiene tarjeta de embarque? Tiene pasaporte en regla? No lleva objetos metlicos peligrosos? Una empleada del aeropuerto comprueba que tiene un billete vlido y le da una tarjeta de embarque; a continuacin, un agente de polica verifica que su pasaporte est en regla y no est en la lista de personas reclamadas y, finalmente, un grupo de agentes comprueban su equipaje de mano con un escner y un arco detector de metales. Un pasajero slo puede embarcar en el avin si tiene tarjeta de embarque (1), su pasaporte est en regla (1) y no lleva consigo objetos peligrosos (1). En los dems casos no puede embarcar. Es fcil construir un circuito elctrico que cumple la lgica AND: dos interruptores en serie, a y b, por ejemplo. La lmpara S se encender tan slo si se acta sobre el interruptor a (1) Y sobre el interruptor b (1). En todos los dems casos, la lmpara NO se encender. Funcin NOR La funcin NOR equivale a la funcin OR negada. El resultado S de aplicar la funcin lgica NOR, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a es FALSO (0) y si b es FALSO (0). Los resultados de la operacin lgica NOR, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta: a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 S 1 0 0 0

Operacin Not-Or, NOR: La salida es cierta si ninguna de las entradas lo es. Notacin: s = a b = a+b Propiedades: Conmutativa: s = a b = b a No asociativa: a (b c) (a b) c a+b+c


15

Una aplicacin prctica sencilla de la operacin lgica NOR, sera el sistema de seguridad de un puente levadizo. Un detector a se activa cuando entra un vehculo en el puente, por el carril derecho. Otro detector b se activa cuando entra otro vehculo por el carril contrario. Los motores que accionan el sistema de elevacin del puente slo deben ponerse en marcha si se da la condicin NOR: no hay ningn vehculo circulando por el carril derecho NI por el carril izquierdo. Un circuito elctrico compuesto por dos interruptores normalmente cerrados, en serie, cumple la lgica NOR: la lmpara SI se encender (1) si NO se acciona el interruptor a (0) NI se acciona el interruptor b (0). Si se acciona cualquiera de los dos interruptores, la lmpara NO se encender (0).

Esto significa sencillamente que en un momento dado, una variable binaria puede adoptar un valor u otro (no ambos a la vez). En las lgicas de ms de dos estados la variable podra optar entre ms de dos valores. Por ejemplo, en la lgica ternaria podra ser "cierto", "falso" y "desconocido" (no definido, etc). Existe un tipo de lgica de ms de dos estados, la lgica difusa, en la que las variables pueden adoptar mltiples valores, intermedios entre dos posiciones extremas. Estos valores intermedios representan estados no excluyentes. Por ejemplo, entre "cierto" y "falso" cabran todo tipo de situaciones intermedias: "casi completamente cierto", "medianamente cierto", etc. En estos casos, la variable tiene, en mayor o menor proporcin, una componente de los valores extremos. En cierto sentido podramos decir que la lgica binaria es absolutamente maniquea, mientras que la difusa se acercara ms al mundo real.

Funcin NAND La funcin NAND equivale a la funcin AND negada. El resultado S de aplicar la funcin lgica NAND, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a es FALSO (0) o si b es FALSO (0) o si son FALSAS ambas variables. Los resultados de la operacin lgica NAND, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta: a b S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

16

Operacin Not-And, NAND: La salida es cierta siempre que no sean simultneamente ciertas las dos entradas. Notacin: s = a b = ab a.b Propiedades Conmutativa: s = a b = b a No asociativa: a (b c) (a b) c abc a a = a = aa Una aplicacin prctica sencilla de la operacin lgica NAND sera, por ejemplo, el control del aire acondicionado de un edificio inteligente. Supongamos que el edificio est equipado con un detector crepuscular, que se activa al llegar la noche. Durante el da el detector est desactivado (0) y durante la noche el detector est activado (1). Supongamos tambin que en la entrada del edificio hay un sistema de recuento de personas que se pone a CERO (0) cuando hay alguien en el edificio y se pone a UNO (1) cuando todo el mundo ha salido ya. Cmo controlar la puesta en marcha del aire acondicionado? Muy fcil, con un circuito que siga la lgica NAND: el aire acondicionado se parar cuando sea de noche y no quede nadie en el edificio. Un circuito elctrico compuesto por dos interruptores normalmente cerrados, en paralelo, cumple la lgica NAND: la lmpara SI se encender (1) si NO se acciona el interruptor a (0) o si NO se acciona el interruptor b (0) o si NO se accionan ambos interruptores.

Funcin OREX La funcin OREX se nombre de OR Operacin Exclusivees cierta cuando solo una de las entradas es cierta. Notacin: s = a b Propiedades: Conmutativa: s = a b = b a Asociativa: a (b c) = (a b) c = a b c

conoce tambin con el EXCLUSIVA. OR, EOR: La salida

El resultado S de aplicar la funcin lgica OREX, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO solo si a es CIERTO (1) o si b es CIERTO (1), pero no si ambas variables son ciertas. Los resultados de la operacin lgica OREX, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta: a b S 0 0 0 0 1 1 1 0 1SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

17

1

1

0

Un circuito elctrico como el del esquema siguiente, compuesto por dos pulsadores dobles NA + NC, cumple la lgica OREX: la lmpara S se encender (1) EXCLUSIVAMENTE si se acciona el pulsador a o si se acciona el pulsador b, pero NO se encender si se accionan simultneamente ambos pulsadores. Tampoco se encender si no se acciona ninguno de los dos pulsadores.

Funcin NOREX La funcin NOREX se nombre de OR NEGADA.

conoce tambin con el EXCLUSIVA

El resultado S de aplicar la funcin lgica NOREX, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a y b son ciertos O si a y b son falsos. Es decir, si ambas variables tienen el mismo valor. Los resultados de la operacin lgica NOREX, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta: a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Operacin Exclusive-Not-OR, ENOR: Esta funcin es la negacin de la anterior. Se llama tambin Equivalencia, porque segn puede verse en su tabla de verdad, mantiene en la salida un 1 lgico solo cuando a = b. Notacin: s = a b 5.7 F11/F13 Funcin Implicacin. s=ab a b s 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

s=ba a b s 0 0 1 0 1 0 1 0 1SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

18

Notacin: 1 1 1 s = a b Debe leerse: a implica b s = b a Debe leerse: b implica a Si una variable s est definida respecto a otras dos mediante una expresin de implicacin de este tipo: s = a b, debe entenderse que a implica a b en el sentido siguiente: Supongamos que la variable lgica a representa si un ser vivo pertenece a la raza humana, y que la variable b representa si un ser vivo es de sangre caliente (1) o fra (0). La variable s, definida mediante la ecuacin s = a b representa la condicin que podra enunciarse mas o menos as: "Si es ser humano su sangre debe ser de caliente necesariamente". La variable s representa esta implicacin, indicndonos en cada caso si puede ser cierta o no cada una de las combinaciones de valores a y b, en el supuesto de que la implicacin sea consistente. Veamos las posibilidades en este ejemplo analizando la tabla de verdad: a no es humano (a=0), b no es de sangre caliente (b=0) Podra ser cierto? Si (s = 1) a no es humano (a=0), b si es de sangre caliente (b=1) Podra ser cierto? Si (s = 1) a si es humano (a=1), b no es de sangre caliente (b=0) Podra ser cierto? No (s = 0) a si es humano (a=1), b si es de sangre caliente (b=1) Podra ser cierto? Si (s = 1)

Un circuito elctrico como el del esquema siguiente, compuesto por dos pulsadores dobles NA + NC, cumple la lgica NOREX: la lmpara S se encender si se accionan ambos pulsadores o si no se acciona ninguno de ellos.

Otro ejemplo de aplicacin de la funcin lgica NOREX es la correccin automtica de textos: si una persona escribe una palabra en su procesador de textos, el corrector ortogrfico la comparar con todas las palabras semejantes de su diccionario aplicando una funcin NOREX entre ellas. Si alguna letra no coincide, detectar que hay un error, porque el resultado de la funcin NOREX no entrega unos en todos los bit. Por ejemplo, si escribimos con una falta de ortografa la palabra lobo: Palabra Cdigo ASCII lovo 6C6F766F lobo 6C6F626F Funcin NOREX: Cdigo binario 01101100011011110111011001101111 01101100011011110110001001101111 11111111111111111110101111111111

de este modo, el procesador es capaz de detectar que el error est en el tercer carcter.


19

Tablas de verdad de las principales operaciones binarias AND

Resumiendo, el resultado siempre dar 0 a menos que ambas variables valgan 1. (Equivale a la multiplicacin) OR

Resumiendo, el resultado arrojado ser siempre 1 si al menos una de las variables tiene por valor 1. NOT

El not es una inversin del valor como se ve. (Equivale a restar el valor inicial de 1) Siguiendo el lgebra de Boole se pueden combinar estas operaciones empleando varias variables y obteniendo resultados ms complejos. A continuacin una tabla de verdad de una operacin lgica compuesta. Ejemplo: A and (B or C) = A (B + C) A B C Resultado 000 0 001 0 010 0 011 0 100 0 101 1 110 1 111 1

Modos de representacin Existen distintas formas de representar una funcin lgica, entre las que podemos destacar las siguientes: AlgebraicaSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

20

Por tabla de verdad Numrica Grfica El uso de una u otra, como veremos, depender de las necesidades concretas en cada caso. Algebraica Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuacin se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma funcin de tres variables. a) F = [(A + BC) + ABC] + ABC b) F = ABC + ABC + ABC + ABC c) F = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) d) F = BC + AB e) F = (A + B)(B + C) f) F = [(BC) (AB)] g) F = [(A + B) + (B + C)] La expresin a) puede proceder de un problema lgico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones cannicas de suma de productos (sum-of-products, SOP, en ingls), la b), y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en ingls), la c); su caracterstica principal es la aparicin de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos. Las d) y e) son funciones simplificadas, esto es, reducidas a su mnima expresin. Las dos ltimas expresiones tienen la particularidad de que exclusivamente utiliza funciones NO-Y, la f), o funciones NO-O, la g). Por tabla de verdad Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una funcin lgica dependiendo del valor de sus variables. El nmero de combinaciones posibles para una funcin de n variables vendr dado por 2n. Una funcin lgica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero slo tiene una tabla de verdad. La siguiente tabla corresponde a la funcin lgica del punto anterior. A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 La forma ms cmodo para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresin algebraica es cuando esta ltima se da en su forma cannica. As, la funcin cannica de suma de productos F = ABC + ABC + ABC + ABC nos indica que ser 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendr por lo tanto cuatro combinaciones que lo sern (010 para ABC, 100 para ABC, 101 para ABC y 110 para ABC) siendo el resto de combiaciones 0. Con la funcin cannica de producto de susmas se puede razonar de forma anloga, pero en este caso observando que la funcin ser 0 cuando lo sea uno de sus productos. Tambin es fcil obtener la tabla de verdad a partir de la funcin simplificada, pero no as a la inversa. Numrica La representacin numrica es una forma simplificada de representar las expresiones cannicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el trmino, ya sea una suma o un producto, por un nmero decimal equivalente al valorSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

21

binario de la combinacin. Por ejemplo, los siguientes trminos cannicos se representarn del siguiente modo (observe que se toma el orden de A a D como de mayor a menor peso): ABCD = 10112 = 1110 A + B + C + D = 01002 = 410 Para representar una funcin cannica en suma de productos utilizaremos el smbolo n (sigma) y en producto de sumas n (pi), donde n indicar el nmero de variables. As, la representacin numrica correspondiente a la tabla de verdad del punto anterior quedar como: F = 3(2, 4, 5, 6) = 3(0, 4, 6, 7) Matemticamente se demuestra, que para todo trmino i de una funcin, se cumple la siguiente ecuacin: F = [n(i)]' = n(2n-1-i ) A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de sumas a partir de la suma de productos del ejemplo anterior: F = 3(2, 4, 5, 6) = [3(2, 4, 5, 6)]' ' = [3(0, 1, 3, 7)]' = 3(0, 4, 6, 7) Grfica La representacin grfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrnicos. En la siguiente figura se representan grficamente dos funciones algebraicas, una con smbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (vanse los smbolos de las puertas lgicas)

Representacin grfica de dos funciones lgicas Mtodos de simplificacin Por simplificacin de una funcin lgica se entiende la obtencin de su mnima expresin. A la hora de implementar fsicamente una funcin lgica se suele simplificar para reducir as la compejidad del circuiuto. A continuacin se indican los modos ms usuales de simplificar una funcin lgica.SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

22

Algebraico Para la simplificacin por este mtodo no slo bastar con conocer todas las propiedades y teoremas del lgebra de Boole, adems se debe desarrollar una cierta habilidad lgico-matemtica que se adquiere fundamentalmente con la experiencia. Como ejemplo se simplificar la siguiente funcin: F = AC + ABC + BC + ABC + ABC Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los sumandos 2 con 5 y 4 con 5 que conllevan simplificacin: F = AC + BC + BC(A + A) + AC(B + B) Note que el trmino 5 se ha tomado dos veces, de acuerdo con la propiedad que diceque A + A = 1. Aplicando las propiedades del lgebra de Boole, queda F = AC + BC + BC + AC Repitiendo nuevamente el proceso, F = A( C + C) + B( C + C) = A + B No siempre las funciones son tan fciles de simplificar como la anterior. El mtodo algebraico, por lo general, no resulta cmodo para los no expertos, a los cuales, una vez simplificada una ecuacin le pueden quedar serias dudas de haber conseguido la mxima simplificacin. Grfico de Karnaugh Este mtodo consiste en formar diagramas de 2n cuadros, siendo n el nmero de variables. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar de un cuadro a otro en las direcciones horizontal o vertical, cambiando nicamente una variable, ya sea en forma negada o directa. Este mtodo se emplea fundamentalmente para simplificar funciones de hasta cuatro variables. Para un nmero superior utilizan otros mtodos como el numrico. A continuacin pueden observarse los diagramas, tambin llamados mapas de Karnaugh, para dos, tres y cuatro variables.

Mapas de Karnaugh para dos, tres y cuatro variables Es una prctica comn numerar cada celda con el nmero decimal correspondiente al trmino cannico que albergue, para facilitar el trabajo a la hora de plasmar una funcin cannica. Para simplificar una funcin lgica por el mtodo de Karnaugh se seguirn los siguientes pasos: 1) Se dibuja el diagrama correspondiente al nmero de variables de la funcin a simplificar. 2) Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los trminos cannicos que forman parte de la funcin. 3) Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes siguiendo estrictamente las siguientes reglas: a) Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian nicamente en el estado de una sola variable.SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

23

b) Cada lazo debe contener el mayor nmero de unos posible, siempre que dicho nmero sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.) c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadrculas que pertenezcan a dos o ms lazos diferentes. d) Se debe tratar de conseguir el menor nmero de lazos con el mayor nmero de unos posible. 4) La funcin simplificada tendr tantos trminos como lazos posea el diagrama. Cada trmino se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado en el mismo lazo. A modo de ejemplo se realizan dos simplificaciones de una misma funcin a partir de sus dos formas cannicas: F = 3(0,2,3,4,7) = 3(1,2,6) De acuerdo con los pasos vistos anteriormente, el diagrama de cada funcin quedar del siguiente modo:

Simplificacin de una funcin de tres variables ATENCIN: ERROR EN EL MAPA. EN EL PRODUCTO DE SUMAS, SE DEBEN MIRAR LOS CEROS, NO LOS UNOS. La funcin simplificada tendr tres sumandos en un caso y dos productos en el otro. Si nos fijamos en el mapa correspondiente a la suma de productos, observamos que en el lazo 1 cambia la variable A (en la celda 0 es negada y en la 4 directa), en el lazo 2 es la C y en el lazo 3 vuelve a ser A. por lo tanto, la ecuacin simplificada es: F = BC + AB + BC Razonando de modo similar en el mapa de productos de sumas, nos quedar: F = (B + C)(A + B + C) Numrico de Quine-McClouskey El algoritmo de Quine-McClouskey permite la simplificacin de funciones lgicas de cualquier nmero de variables y es el que se utiliza para disear aplicaciones informticas en las que se necesite obtener funciones simplificadas. A continuacin se indican los pasos a seguir en este mtodo a partir de un ejemplo. 1) Se expresa la funcin a simplificar en su forma cannica de suma de productos. Sea la siguiente funcin a simplificar: F = 4 (0,1,2,3,5,9,11,12,13,15) 2) Se forma una tabla con el valor decimal de la combinacin, el estado de las variables y el ndice (nmero de unos que contiene el estado de las variables). Comb. Estado ndice 0 0000 0SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

24

1 0001 1 2 0010 1 3 0011 2 5 0101 2 9 1001 2 11 1011 3 12 1100 2 13 1101 3 15 1111 4 3) Se agrupan las combinaciones cuyos estados difieren en una sola variable, sustituyndola por un guin bajo (_). Las combinaciones utilizadas se marcan con un aspa (X). Hay que fijarse en las combinaciones cuya diferencia entre sus respectivos ndices es la unidad.

Agrupacin de las combinaciones 4) Se repite el proceso anterior las veces que sean necesarias y se van eliminando estados idnticos.

Nueva agrupacin de las combinaciones 5) Se forma una tabla con las combinaciones y jodance finales y las no agrupadas. Se toman como filas las combinaciones finales y las no agrupadas y como columnas los valores decimales de dichasSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

25

combinaciones. Cada celda que contenga el valor decimal de una combinacin se marca con un aspa. A continuacin nos fijamos en aquellas columnas con una sola aspa; sus combinaciones sern esenciales. Finalmente se toman aquellas combinaciones de los valores decimales no seleccionados, teniendo precaucin de no tomar aquellas combinaciones cuyos valores decimales hayan sido ya tomados en otras combinaciones. La funcin simplificada final viene dada por las combinaciones esenciales y estas ltimas.

Funciones incompletas Hasta ahora todas las funciones estudiadas tienen definido un valor lgico, 0 1, para cada una de las posibles combinaciones. Estas funciones se denominan completas o totalmente definidas. Tambin existen funciones con una o varias combinaciones no definidas, llamadas funciones incompletas. Esta situacin puede deberse por las dos causas siguientes: 1. Hay combinaciones de entrada que no existen, por lo que a la salida se le puede asignar indistintamente el valor 0 o el 1. 2. En ciertas combinaciones de entrada la salida del sistema lgico est inhibida, siendo por lo tanto su valor indiferente. En la tabla de verdad de una funcin incompleta, los trminos indiferentes se designan mediante una equis (X). En cuanto a la forma cannica se separan los trminos definidos de los que no lo son (indicados mediante el smbolo ). A la hora de simplificar una funcin incompleta, los trminos indiferentes servirn como comodines a la hora de tomar lo lazos, esto es, si nos interesa que sea un 1 porque as el lazo es mayor, lo tomaremos como 1, y en caso contrario como 0.


26

LGICA TERNARIA Una lgicaternaria , tres-valorada o trivalente es un trmino para describir cualesquiera de varios sistemas multi-valued de la lgica en los cuales haya valor verdadero, falso yun cierto tercer el indicar de tres valores de verdad. Esto se pone en contraste con las lgicas bivalentes ms comunmente sabidas (tales como lgica boleana) que preven solamente verdad y falso. Representacin de valores Como con lgica bivalente, los valores de verdad en lgica ternaria se pueden representar numricamente usando varias representaciones del sistema de numeracin ternario. Algunos de los ejemplos ms comunes son: [1] 1 para verdad, 2 para falso, y 0 para desconocido, inaplicable, o ambos. 0 para falso, 1 para verdad, con el tercer valor siendo smbolo del no-nu'mero entero por ejemplo # o .[ 2 ] Aplicaciones ternarias equilibradas -1 para falso, 1 para verdad y 0 para el tercer valor; estos valores se pueden tambin simplificar -, +, y 0, respectivamente.[ 3 ] Este artculo ilustra principalmente un sistema de la lgica ternaria del propositional usando los valores de verdad {falso, desconocido, y verdad}, y extiende conectadores boleanos convencionales a un contexto trivalente. Las lgicas ternarias del predicado existen tambin[citacin necesitada]; stos pueden tener lecturas del cuantificador diferente de lgica (binaria) clsica del predicado, y pueden incluir cuantificadores alternativos tambin. Como lgica ternaria nosotros querremos decir un sistema L cuyos elementos llamaron proposiciones o declaraciones se valora en el juego {0, 1, 2}. Esto puso nosotros denotamos a travs de Z3. Si x es una proposicin, el valor de x puede verse como una cartografa _: L! {0, 1, 2} tal que;

De esto, nosotros tenemos que si _(x) = 1 (verdadero) bajo las reglas de lgica binaria entonces tambin _(x) = 1(true) bajo las leyes de la lgica ternarias. Anlogamente para el valor falso. En el otro d, para las mismas consideraciones constituidas caso de la lgica binario, nosotros podemos evitar _ haciendo _(x) = x. Entonces encima de L se define los funcionamientos bsicos siguientes, [1]; o La negacin (funcionamiento del unary "no") o La disyuncin _ (funcionamiento binario "o") o La conjuncin ^ (funcionamiento binario "y") o La implicacin! (funcionamiento binario "si ...then") El sistema L est cerrado bajo cualquiera de estos cuatro funcionamientos, en el sentido que si x, y 2 L entonces x 2 L, x _ y 2 L, x ^ y 2 L, y x! y 2 Aviso de L. que la implicacin, en esto, caso, no se deriva de de otros tres funcionamientos bsicos cuando pasa en la lgica binaria. 7


27

El valor de x, x _y, x ^y, y x! y y otros funcionamientos compuestos dependen adelante el valor de cada componente x y y. Estos valores pueden ser obtenidos usando la verdadera mesa como la Mesa 7 muestras. Tambin en tal Mesa 7 se muestra el funcionamiento de la equivalencia que puede ser derivado de la conjuncin y implicacin. Otra manera de describir los funcionamientos bsicos anteriores est considerndolos como funciones. La negacin de operador de unary es una funcin f: Z3! Z3, y operador binario como el la disyuncin es una funcin f: Z23 ! Z3. En general, nosotros podemos definir funciones lgicas ternarias como cartografas f: Zn3 ! Z3. Cuando n = 1 nosotros tenemos uno-inconstante funciona f(x), y hay 331 = 27 de estas funciones, entre ellos es, la Identidad o id(x de Afirmacin), la negacin N(x), la Tautologa _ (x) y la contradiccin (x). Todos estas 27 funciones tambin se llaman funciones modales de x y ellos se muestran en la Mesa 8 Cuando n = 2 nosotros tenemos dos-inconstante funciona f(x, y), y hay 332 = 19683 de ellos. Es imposible, en una sola pgina, para mostrar la verdadera mesa para cada uno. 8


28

De la misma manera nosotros podemos computar eso hay 333 = 7625597484987 tres-inconstante diferente funciones. En general all exista 33n funciones f(x1 lgicas ternarias diferentes, x2. . . , xn) de n variables. Ejemplo 6 Algunas funciones o proposiciones de uno inconstante Permita a x ser la declaracin simple "est lloviendo", entonces nosotros mostramos 6 de los 27 uno-inconstante ternario funciona f(x) o f1(x) = el id(x) = est lloviendo (afirmacin) o f20(x) = N(x) = x = no est lloviendo (negacin) o f8(x) = _ (x) = x! x = si est lloviendo entonces que est lloviendo (tautologa) o f22(x) = (x) = (x! x) = no es verdad que si est lloviendo entonces que est lloviendo (contradiccin) o f2(x) = x _ x = est lloviendo, o no est lloviendo. Esta funcin no es una tautologa cuando pasa en el caso de la lgica binario. Tambin esto 9 muestras del ejemplo que condicionan 9 de la definicin de Algebra de Boole no pueden ser ningn sostenimiento por el sistema de la lgica ternario. Por consiguiente, el sistema de la lgica ternario no puede tener un Boolean Estructura de lgebra. o f19(x) = x ^ x = est lloviendo, y no est lloviendo. Esta funcin no es una contradiccin cuando pasa en el caso de la lgica binario. Tambin esto muestras del ejemplo que condicionan 10 de la definicin de Algebra de Boole no pueden ser ningn sostenimiento por el sistema de la lgica ternario. Por consiguiente, el sistema de la lgica ternario no puede tener un Boolean Estructura de lgebra. Ejemplo 7 Algunas funciones o proposiciones de dos variables Permita x, y es las proposiciones "est lloviendo" y "el sol est brillando", respectivamente. Entonces nosotros escriba algunas de las 19683 funciones dos-inconstantes o _ (x, y) = (x _ y) $(x ^ y) =It no es verdad que est lloviendo o el sol est brillando, si slo si no est lloviendo y el sol no est brillando. Haciendo m11(x, y) = (x _ y) y m12(x, y) = x ^ y que nosotros podemos verificar en la Mesa 9 que esto es que una tautologa llam la primera ley del De Morgan. Anlogamente paraSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

29

m21(x, y) = (x ^ y), y m22(x, y) = x _ y que nosotros podemos ver que la segunda ley del De los sostenimientos de Morgan en lgica ternaria. o _(x, y) = x _ y = no est lloviendo o el sol est brillando. La verdadera mesa de esta funcin se muestra juntos en la Mesa 10 la verdadera mesa del la implicacin y nosotros podemos verificar all, ese _(x, y) y imp(x, y) no es equivalente cuando pasa en lgica binaria o _(x, y) = y! x = Si el sol no est lustrndolo no lloviendo entonces. Nosotros podemos verificar en la Mesa 10 que es equivalente con la implicacin como el binario caso. 10

o _(x, y) = (x! y) ^ (y! x) = Si l no lloviendo el sol entonces est brillando, y si el sol est brillando entonces que est lloviendo. Nosotros podemos ver en la Mesa 11 que es equivalente al "equivalente" la funcin. 5 conclusiones Nosotros hemos mostrado que, por lo menos, a este nivel elemental que all existe cuatro propiedades principales de lgica ternaria; 1. la lgica ternaria es una generalizacin del binary(classic) el caso. Tal generalizacin est en el sentido de cada proposicin que es verdad bajo las reglas de la lgica binaria quiera sea verdad bajo las reglas del caso trivalente. Anlogamente para las proposiciones falsas. 2. en lgica ternaria la construccin de tautologas est ms difcil que en lgica binaria. Peor para la construccin de contradicciones. 3. para la lgica ternaria, la implicacin (x! y) el funcionamiento de dos proposiciones x, y puede


30

o se derivado de los funcionamientos bsicos (), (_), y (^) cuando pasa en el binario caso. 4. la lgica ternaria no puede tener una Boolean lgebra estructura considerando que la lgica binaria pueda tener. La prueba de esta conclusin es dada por las funciones f2 y f19 de la Mesa 8.SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

31

Tabla de verdad bsica Debajo est una tabla de verdad que demuestra los resultados de algunas operaciones de la lgica para un sistema del estado de true/false/unknown. A B AOB AYB NO A Verdad Verdad Verdad Verdad Falso Verdad Desconocido Verdad Desconocido Verdad Falso Verdad Falso Desconocido Verdad Verdad Desconocido Desconocido Desconocido Desconocido Desconocido Desconocido Desconocido Falso Desconocido Falso Falso Verdad Verdad Falso Verdad Falso Desconocido Desconocido Falso Falso Falso Falso Falso En esta tabla de verdad, el estado DESCONOCIDO se puede metaphorically pensar en como una caja sellada que contiene un valor inequvoco VERDADERO o inequvoco FALSO. El conocimiento de si cualquier estado DESCONOCIDO particular representa secretamente VERDAD o FALSO en todo momento en tiempo no est disponible. Sin embargo, ciertas operaciones lgicas pueden rendir un resultado inequvoco, incluso si implican por lo menos un operando DESCONOCIDO. Por ejemplo, puesto que los iguales VERDADEROS O VERDADEROS VERDAD, y VERDAD O FALSO tambin iguala VERDAD, uno puede deducir que VERDAD O DESCONOCIDO iguala VERDAD, tambin. En este ejemplo, puesto que cualquier estado bivalente podra ser subyacente el estado DESCONOCIDO, solamente cualquier estado tambin rinde el mismo resultado, los resultados VERDADEROS definitivos en los tres casos. Llgica ternaria en usos de la base de datos El lenguaje de interrogacin de la base de datos SQL pone lgica en ejecucio'n ternaria como los medios de manejar el contenido NULO del campo. El SQL utiliza la FALTA DE INFORMACIN para representar datos que falta en una base de datos. Si un campo no contiene ningn valor definido, el SQL asume que ste significa que existe un valor real, pero que ese valor no est registrado actualmente en la base de datos. Observe que un valor que falta no es igual que un valor numrico de cero, o un valor de la secuencia de la longitud cero; ambos de las cuales represente los valores bien conocidos. Comparando cualquier cosa Nulo-uniforme otros Nulo-resultados en un estado DESCONOCIDO de la verdad. Por ejemplo, considere la expresin siguiente del SQL: City = 'Paris' En el SQL, un valor NULO en el campo de la ciudad representa un valor que falta que podra hacer tericamente la expresin resolver a VERDAD (e.g. la ciudad contiene ' Pars) o a FALSO (e.g. la ciudad contiene ' Philadelphia '). La expresin del SQL de la muestra se resuelve segn las reglas siguientes: El resultado es VERDAD para cualquier expediente con la secuencia literal la ' Pars en el campo de la ciudad El resultado es DESCONOCIDO para cualquier expediente con una FALTA DE INFORMACIN en el campo de la ciudad El resultado es FALSO en el resto de los casos En lengua de manipulacin de datos del SQL, un estado de la verdad de VERDAD para una expresin (e.g. en WHERE una clusula) inicia una accin en una fila (e.g. vuelva la fila), mientras que no lo hace un estado de la verdad de DESCONOCIDO o de FALSO.[ 4 ] De esta manera, la lgica ternaria se pone en ejecucio'n en el SQL, mientras que se comporta como lgica binaria al usuario del SQL.SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

32

Los apremios del cheque del SQL SQL se comportan diferentemente, sin embargo. Solamente un estado de la verdad de resultados FALSOS en una violacin de un constreimiento del cheque. Un estado de la verdad de VERDAD o del DESCONOCIDO indica que una fila se ha validado con xito contra el constreimiento del cheque[ 5 ]. Una discusin profundizada de la puesta en prctica del SQL de la lgica ternaria est disponible en el artculo sobre la falta de informacin. Electrnica Muchas herramientas de la simulacin del idioma descriptivo del hardware (HDL), tales como verilog y VHDL, apoyan un valor desconocido como eso demostrada arriba durante la simulacin de la electrnica digital. El valor desconocido puede ser el resultado de un error del diseo, que el diseador puede corregir antes de sntesis en un circuito real. Las herramientas de la sntesis de HDL producen generalmente los circuitos que funcionan solamente en lgica binaria. La forma lo ms extensamente posible puesta en ejecucio'n de lgica del tres-estado se encuentra en electrnica digital. Es muy importante observar que sta no es lgica ternaria verdadera. Se menciona aqu para lo completo, siendo el nico sistema extenso del tres-estado en uso. Las salidas pueden tener uno de tres estados, con todo las entradas pueden reconocer solamente dos. Por lo tanto la clase de relaciones demostradas en la tabla arriba no ocurre. Designado comnmente [ las 6 ] lgicas de triple estado (una marca registrada del semiconductor nacional), abarca los estados verdaderos y falsos generalmente, con un tercer alto estado transparente de la impedancia (o ' off-state ') que desconecte con eficacia la salida de la lgica. Esto proporciona una manera eficaz de conectar varias salidas de la lgica con una sola entrada, donde todos sino una se ponen en el alto estado de la impedancia, permitiendo que la salida restante funcione en el sentido binario normal. Esto se utiliza comnmente para conectar los bancos de la memoria de computadora y otros dispositivos similares con un mnibus de datos comn; una gran cantidad de dispositivos pueden comunicar el excedente que el mismo canal asegurando solamente uno se permite simplemente a la vez. Aunque podra ser discutido que el estado high-impedance es con eficacia un "desconocido", no hay absolutamente disposicin en la mayora extensa de electrnica normal de interpretar un estado highimpedance como estado en s mismo. Las entradas pueden detectar solamente verdad y falso; highimpedance se describe lo ms mejor posible como invisible. Tpicamente, la mayora de las configuraciones electrnicas de la lgica omiten un estado verdadero cuando no detectan ninguna entrada - tambin interpretan as una alta impedancia en una entrada como estado verdadero, aunque ste es de ninguna manera universal. La lgica ternaria verdadera se puede poner en ejecucio'n en electrnica, aunque la complejidad del diseo hasta el momento ha hecho poco econmico perseguir comercialmente y el inters se ha confinado sobre todo de investigar, puesto que la lgica binaria ' normal ' es mucho ms barata poner en ejecucio'n y en la mayora de los casos puede ser configurado fcilmente para emular sistemas ternarios. Sin embargo, hay usos tiles en la correccin de la lgica confusa y de error, y se han fabricado varios dispositivos de lgica ternarios verdaderos (vase los acoplamientos externos). la lgica del Multi-valor se define como lgica no-binaria e implica la conmutacin entre ms de 2 estados. Asumiremos que los dispositivos de lgica del multi-valor sern limitados a 2 funciones de salida de inputs/single. Una funcin ternario o de la lgica 3-value es una que tiene dos entradas que puedan asumir tres estados (la opinin 0, 1 y 2) y genera una seal de salida que pueda tener uno de estos tres estados. Un dispositivo ternario ' ter ' mira simblicamente igual que binario con dos entradas y uno hecho salir.SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

33

La tabla de verdad de las miradas binario pues hay un ms estado a demuestra la tabla de verdad de una

ternarias de un dispositivo diferentes tratar de. La figura siguiente funcin ternaria de la lgica.

Esta funcin es conmutativa pues no importa si intercambiamos las entradas de ' a ' y de ' b '). Bonita mucho mira igual que lgica binaria, pero hay algunas diferencias importantes. La lgica binaria tiene 16 diversas (funciones. La lgica ternaria tiene 3x3x3x3x3x3x3x3x3 = 19.683 diversas funciones de las cuales 729 sean comutativos. Para los propsitos ilutrativos

el programa bsico visual siguiente puede ser utilizado. Ejecuta una funcin ternaria no conmutativa de la lgica. Las entradas pueden ser cambiadas y el programa generar los estados correctos de la salida. La tabla de verdad identificar el estado correcto. Hacer la distincin entre el valor e indicar las seales de la entrada y de salida son color cifrado.

El

programa de VB se puede descargar en forma del CIERRE RELMPAGO chascando aqu o en el screenshot.SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

34

Sistema de numeracin ternario Ternario o trinary es la base-sistema de numeracin 3. Los dgitos ternarios se conocen como trits (empujeinary del trl), con un anlogo del nombre "mordidos". Aunque es ternario refiere lo ms a menudo posible a un sistema en el cual los tres dgitos, 0, 1, y 2, estn todos los nmeros enteros no negativos, el adjetivo tambin presta su nombre al sistema ternario equilibrado, usado en lgica de la comparacin y computadoras ternarias. Comparado a decimal y a binario Las representaciones de los nmeros del nmero entero en ternario no consiguen incmodo muy largas tan rpidamente como en binario. Por ejemplo, el decimal 365 corresponde a 101101101 binarios (9 dgitos) y a 111112 ternarios (6 dgitos). Sin embargo, siguen siendo menos compactos lejano que las representaciones correspondientes en bases tales como decimal - vea abajo para una manera compacta de codificar usar ternario nonary y septemvigesimal. Los nmeros ponen a cero twenty-seven en ternario estndar Terna 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 102 110 111 rio Binari 0 1 10 11 100 101 110 111 100 100 101 101 110 110 o 0 1 0 1 0 1 Deci 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 mal Terna rio Binari o Deci mal 112 120 121 111 111 100 0 1 00 14 15 16 122 100 01 17 200 100 10 18 201 100 11 19 202 101 00 20 210 101 01 21 211 101 10 22 212 101 11 23 220 110 00 24 221 110 01 25 222 110 10 26 100 0 110 11 27

Energas de tres en ternario Ternario 1 10 Binario 1 11 Decimal 1 3 0 Energa 3 31

100 1001 9 32

1 000 1 1011 27 33

10 000 101 0001 81 34

Ternario 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 Binario 1111 0011 10 1101 1001 1000 1000 1011 1 1001 1010 0001 100 1100 1110 0011 Decimal 243 729 2 187 6 561 19 683 Energa 35 36 37 38 39 En cuanto a nmeros racionales, ofertas ternarias una manera conveniente de representar un tercio (en comparacin con su representacin incmoda como cadena infinita de dgitos que se repiten en decimal); pero una desventaja importante es que, alternadamente, ternario no ofrece a representacin finita para la fraccin ms bsica: una mitad (y as, ni unos ni otros para un cuarto, un sexto, un octavo, un dcimos, etc.), porque 2 no es un factor primero de la base. Fracciones en ternario Terna 0.111111111 0.1 0.020202020 0.012101210 0.011111111 0.010212010 rio 111... 202... 121... 111... 212...SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

35

Binari o Deci mal Fracci n Terna rio Binari o Deci mal Fracci n

0.1 0.5 el 1/2

0.010101010 101... 0.333333333 333... 1/3

0.01 0.25 1/4

0.001100110 011... 0.2 1/5

0.001010101 01... 0.166666666 666... 1/6

0.001001001 001... 0.142857142 857... 1/7

0.010101010 101... 0.001 0.125 1/8

0.01 0.000111000 111... 0.111111111 111... 1/9

0.002200220 022... 0.000110011 001... 0.1 1/10

0.002110021 100... 0.000101110 100... 0.090909090 909... 1/11

0.002020202 020... 0.000101010 101... 0.083333333 333... 1/12

0.002002002 002... 0.000100111 011... 0.076923076 923... 1/13

Representacin ternaria del acuerdo: base 9 y 27 Nonary (la base 9, cada dgito es dos dgitos ternarios) o septemvigesimal (la base 27, cada dgito es tres dgitos ternarios) se utiliza a menudo, similar a cmo los sistemas octales y hexadecimales se utilizan en lugar de binario. Ternario tambin tiene una unidad similar a un octeto, el tryte, que es seis dgitos ternarios. Uso prctico Un sistema de la base-tres se utiliza en Islam para contar a 100 en una sola mano para contar rezos (como alternativa para el rosario en catholicism). La ventaja - aparte de permitir que una sola mano cuente hasta 100- es que la cuenta no distrae la mente demasiado puesto que la cuenta contraria de la necesidad solamente a tres. Un punto ternario raro se utiliza para denotar partes fraccionarias de un turno en bisbol. Puesto que cada turno consiste en 3 salidas, cada uno hacia fuera se considera (un tercio) de un turno y se denota como 1. Por ejemplo, si un jugador echara todos los 4tos, 5tos y 6tos turnos, ms 2 salidas del 7mo turno, sus turnos la columna echada para ese juego sera enumerada como 3.2, significando . (en este uso, solamente la parte fraccionaria del nmero se escribe en forma ternaria.) Los nmeros ternarios se pueden utilizar para transportar las estructuras self-similar como un tringulo de Sierpinski o un cantor fijado convenientemente. Computadora ternaria Lgica tres-valorada uso ternario de las computadoras en sus clculos. La historia tiene varios ejemplos de esta forma de computar. Una de las mquinas calculadoras ms tempranas, construido por Thomas Fowler enteramente de la madera en 1840, era una computadora ternaria. La computadora ternaria ma's grande-todavi'a (llamada Setun) fue construida en los ltimos aos 50 en la Soviet-unio'n en la universidad de estado de Mosc, y ella tena ventajas notables a las computadoras binarias que la substituyeron eventual. Con el advenimiento de los componentes binarios producidos en serie para las computadoras, las computadoras ternarias han disminuido a una nota al pie de la pgina pequea en la historia de computar. Sin embargo, la elegancia de la lgica ternaria y la eficacia es predicha por Donald Knuth para traerlas nuevamente dentro del desarrollo en el futuro. Se sabe que la aritmtica ternaria tiene ventajas esenciales con respecto la binaria que se utiliza en computadoras actuales. En la conexin con este Donald Knuth asumi que suceder el reemplazo delSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

36

"flip-flop" para el "mover de un tiro'n-aleta-fracaso" uno un "buen" da sin embargo [ 1 ]. Ahora, cuando predominan las computadoras binarias, es duro creer en una realidad de tal asuncin, pero si sucediera no solamente la aritmtica de la computadora, pero la informtica en el conjunto lleg a ser el ms simple y el ms perfecto. El tercer valor (Aristotle lo nombr . el asistente) cul es muy real pero ocultado en lgica binaria, har obvio y directo manipulado. La lgica ternaria tiene acuerdo mejor con la naturaleza y el pensamiento informal humano [ 2 ]. Desafortunadamente, el moderno investiga de la lgica (no-binaria) multivalued es formal y no se asocia a peticiones prcticas. Una exclusin notable es la experiencia de crear las computadoras ternarias "Setun" y "Setun 70" en la universidad de estado de Mosc [ 3.4.5.6 ]. Esta experiencia confirma convincentemente preferencias prcticas de la tcnica digital ternaria. El diseo de la mquina digital pequea "Setun" (Setun es el pequeo ro que fluye en el ro "Mosc" cerca de la universidad) fue iniciado por el miembro de la academia de ciencias S. L. Sobolev en 1956. Fue asumido para crear la computadora, simples pequeos, baratos en uso y servicio para las escuelas, laboratorios de investigacin, oficinas conceptoras y para el control de la fabricacin. Para tal meta en el centro de computadora de la universidad se form un grupo de hombres jvenes (4 el MS y el BA 5). El seminario comn para los ingenieros y los programadores fue organizado y S. L. Sobolev, K. A. Semendjev, M. R. Shura-Bura, I. S. Berezin era sus participantes permanentes. Los problemas de la optimizacin de la arquitectura de computadora y de la realizacin tcnica fueron examinados y las variantes de la computadora futura fueron discutidas. debido a la confiabilidad baja de los elementos de la computadora en los tubos de vaco y de la inaccesibilidad de transistores los elementos rpidos en corazones miniatura de la ferrita y diodos del semiconductor fueron diseados. Estos elementos trabajan como transformador corriente controlado y eran una base eficaz para la puesta en prctica de la lgica del umbral y su versin ternaria en el detalle [ 7 ]. Los elementos ternarios de la lgica del umbral con respecto los binarios proporcionan ms velocidad y la confiabilidad, requiere menos equipo y energa. stas eran razones de disear una computadora ternaria. "Setun" es una computadora secuencial que contiene el multiplicador rpido, gracias a la velocidad de la operacin como en dispositivos paralelos se alcanza. (3 pginas de 54 palabras) El ESPOLN pequeo de la ferrita que tiene intercambio de la pgina con la memoria de tambor magntica principal trabaja como efectivo. "Setun" tiene una arquitectura de una direccin con una i'ndice-se coloca. El contenido de l, en la dependencia del valor (+.0, -) del trit de la modificacin de la direccin, se puede agregar a o restar de la pieza de direccin de instruccin. El sistema de instruccin consiste solamente en 24 instrucciones incluyendo la ejecucin de la normalizacin de la mantisa para el clculo floating-point, la cambio, la multiplicacin combinada y la adicin. Tres instrucciones son reservadas pero nunca no se han utilizado debido a la carencia de la necesidad. La simplicidad, la economa y la elegancia de la arquitectura de computadora son la consecuencia directa y prcticamente muy importante del ternarity, ms exactamente. de la representacin de datos y de instrucciones por cdigo (equilibrado) simtrico, es decir por cdigo con los dgitos 0, +1, -1. En contrario al cdigo binario no hay diferencia entre "el nmero firmado" y "sin firmar". Consecuentemente la cantidad de instrucciones condicionales es disminucin dos veces y es posible utilizarlas ms fcilmente; las operaciones aritmticas permiten la variacin libre de la longitud de operandos y se pueden ejecutar con diversas longitudes; el redondeo ideal es alcanzado simplemente por el truncamiento, es decir el truncamiento coincide con el redondeo y hay la mejor aproximacin el nmero de redondeo por redondeado. La experiencia de crear, de la programacin y del uso de "Setun" confirm inequvoco las preferencias significativas del ternarity. A pesar del hecho de que los diseadores del primeros eran muy jvenes y el grupo era pequeo, el espcimen de "Setun" era listo en diciembre de 1958, es decir en dos aosSISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

37

desde el principio. "Setun" trabajado correctamente inmediatamente sin eliminar errores uniforme y comenz a ejecutar los programas existentes. En 1960 era suficiente cantidad de programas y era posible presentar "Setun" para la prueba oficial. Tal prueba fue pasada en abril 1960 muy con xito. El inusual demostrada computadora para se mide el tiempo de confiabilidad y de la estabilidad de la operacin en amplia gama del voltaje ambiente de la temperatura y de fuente. Fue encontrado que la computadora es algo simple en la fabricacin y en servicio, conveniente para la amplia gama de usos. "Setun" fue recomendado para la produccin. Desafortunadamente los funcionarios de la produccin de la computadora en la URSS tenan posicin negativa sobre la "fruta no-planeada e inusual de la fantasa de la universidad". En vez de apoyar la innovacin y de tomar a un beneficio posible los procuraron permanentemente aniquilar el "anadn feo". Haba muchas rdenes de "Setun", incluyendo unos para la exportacin, pero solamente 10-15 computadoras fueron producidas anualmente y no se export ningunos de ellos a bordo. La fabricacin prevista de "Setun" en Checoslovaquia tambin estuvo rota. En 1965 la fabricacin de "Setun" fue parada a pesar de peticiones insatisfechas. Fue substituida por una computadora binaria el mismo funcionamiento pero ms de 2.5 veces de ms costosos. En total se produjo 50 computadoras (especmenes incluyendo). 30 fueron instalados en las universidades y las universidades, el resto. en los laboratorios y las plantas de investigacin. Geogrficamente "Setun" fue dispersado todo sobre el pas. de Kaliningrad a Jakutsk y de Ashkhabad a Novosibirsk. Fue encontrado que la computadora ternaria es muy favorable para agarrar y el uso. La simplicidad de la programacin en los cdigos (era decidido para no hacer un ensamblador) permiti para disear a algunos intrpretes sobre todo en la notacin inversa polaca (del posfijo). En tal base era posible programar las diversas tareas de los clculos de la ingeniera y de los resultados experimentales que procesaban al control de fabricacin y a la enseanza de la informtica. En la base de la experiencia positiva de "Setun.s" fue diseado y determinado exhaustivo adentro ALGOL-COMO lenguaje de programacin la arquitectura de la otra computadora ternaria [ 5 ]. Esta computadora nombrada "Setun 70" fue introducida en 1970 [ 6 ]. A "Setun 70" las particularidades del ternarity se incorporan con ms comprensin y lo completo: el formato ternario para la codificacin de los smbolos. el "tryte" (anlogo del octeto binario) que consiste en 6 trits (pedacitos ~9.5) se establece; el sistema de instruccin es actualizado de instrucciones ternarias auxiliares de la lgica y del control; las instrucciones aritmticas ahora permiten ms variacin de la longitud del operando. la longitud de 1. 2 y 3 trytes y del resultado pueden ser hasta 6 trytes. La posibilidad para variar la longitud de los palabra-operandos se ampla a las palabra-instrucciones. Ms exactamente, en "Setun 70" que no lo hace el concepto tradicional de la instruccin de computadora como palabra existe. El programa es una secuencia de tryte-operaciones y tryte-trata. Las combinaciones ejecutadas de tales trytes se pueden interpretar como instrucciones virtuales. Pero no hay necesidad para que un programador piense de esto. l las construcciones (ella) posfija expresiones directamente de los operandos y de las operaciones por manera similar mientras que se hace en matemticas. "Setun 70" es dos-apila la computadora. El apilado de operandos es la evolucin del acumulador de "Setun de una direccin". El apilado de vuelta es la base del los autmatas que controla el nesting de subprogramas. La mejora simple de tal mecanismo [ 8 ] permite para transformar "Setun 70" en un poco de computadora para la programacin estructurada E.W. propuesta de Dijkstra. Una realizacin adecuada de las ideas de Dijkstra [ 9 ] nombr el "procedimiento que programaba", enteramente probado sus esperanzas sobre la mejora radical de la programacin (la meta no alcanzada en la "revolucin estructurada" [ 10 ]). La construccin y el modificatin de los programas sobre la "computadora de programacin del procedimiento" se convirtieron ms fcilmente (en 3-5 veces) y se ha alcanzado la correccin perfecta.SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

38

Sin embargo "Setun 70" era el "ternac pasado". Despus de ella la investigacin fue parada. En "Setun 70" fue puesto en ejecucio'n el sistema "Nastavnik" del CAI, las versiones binarias de el cual son el ejemplo perfecto de la realizacin eficaz de la computadora didctica hasta ahora [ 11 ]. El "procedimiento que programaba" fue transformado en el sistema de dilogo de la programacin estructurada (DSSP). DSSP de hecho emula la arquitectura de "Setun 70" en las computadoras binarias: as satisface las ventajas del "procedimiento que programa" [ 12 ]. DSSP existe y se desarrolla, en su base se origina una "construccin de alto nivel que programa" [ 13 ] que permitan en detalle para realizar el sistema de dilogo muy simple y eficaz de la lgebra boleana [ 14 ]. El computar ternario se pone en ejecucin comnmente en trminos de ternario equilibrado, que utiliza los tres dgitos -1, 0, y +1. El valor negativo de cualquier nmero ternario equilibrado puede ser obtenido substituyendo cada + por a - y viceversa. Es fcil restar un nmero invirtiendo + y - los dgitos y despus usando la adicin normal. Valores negativos expresos de la lata ternaria equilibrada tan fcilmente como positivo unos, sin la necesidad de una muestra negativa principal como con nmeros decimales. Estas ventajas hacen algunos clculos ms eficientes en ternario que binario. "reflejo a menudo que tenido el ternario en vez de la notacin binaria adoptado en la infancia de la sociedad, trabaja a mquina algo como el presente deseara ere esto ha sido comn, pues la transicin de mental al clculo mecnico habra sido tan muy obvia y simple." (Fowler, 1840) Las computadoras ternarias en cultura popular En Roberto tiempo de la novelade s de A. Heinlein ' bastante para el amor, las computadoras sentient, incluyendo Minerva, utilizan un sistema ternario, aunque no se especifica si su matemticas es equilibrada. Circuitos de lgica ternarios con los circuitos integrados del Cmos Se observan los elementos ternarios del almacenaje usando operadores ternarios y los circuitos fundamentales, diseados para hacer el uso prctico de los circuitos integrados del Cmos (o COS/MOS). Las clulas de memoria word-organized y trit-organizadas se disean para la construccin de un arsenal ternario de la al azar-acceso-memoria (TRANVA). Varios flip-flop (tri-fracasos) se construyen y se describen detalladamente, incluyendo un PZN (fije el positivo, sistema cero y fije la negativa), un PZN registrado, un D-tipo y un T-tipo. Los registros de cambio y los contadores de anillo ternarios se forman por medio de estos tri-fracasos. Un T-tipo amo-esclavo tri-fracaso se utiliza para la construccin de un contador ascendente ternario que pueda contar a partir de la 0 a 3.sup.n usando el cdigo ternario normal o de -- (3.sup.n -1)/2 a +(3.sup.n -1)/2 cuando se emplea el cdigo firmarternario. Con una poca modificacin, abajo un contador ternario puede tambin ser construido. A dividir-por-M el contador ternario que puede ser programado se describe. Se presentan un decodificador y un codificador ternarios, que son los elementos de una leer-solamente-memoria ternaria completa (TROM). Un inversor ternario modificado (MTI) se toma como clula de la unidad de una matriz ternaria de la memoria.

Las encarnaciones de la invencin en la cual se demanda una caracterstica exclusiva o un privilegio se definen como sigue: 1. Un operador tres-valorado de la lgica que tiene valores discretos del positivo, cero y negativos de salida de la seal para los valores discretos de la negativa, cero y positivos de entrada de la seal, respectivamente, abarcando:SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

39

un terminal de la entrada conectado con las puertas de un p-tipo complementario del par o y el n-tipo dispositivos de semiconductor del xido de metal, por lo menos las fuentes de el cual son cada uno conectada respectivamente con igual y las fuentes de alimentacin opuestas de positivo y el valor negativo, respectivamente, y los drenes de el cual son cada uno conect con uno de un par de resistores igual-valorados; par dicho de resistores igual-valorados que tienen una conexin comn el uno al otro en los finales de cada uno enfrente de los drenes del p-tipo y del n-tipo respectivos dispositivos de semiconductor del xido de metal; y un primer terminal de salida conect con la conexin comn del par dicho de resistores igualvalorados; por el que para cada uno de los valores positivos y negativos dichos de la seal de entrada, solamente uno de los dispositivos de semiconductor dichos sea conductor producir el valor respectivo de la seal de salida; y cuando el valor de la seal de entrada est en el nivel cero, ambos dispositivos de semiconductor dichos son conductores. 2. El operador tres-valorado de la lgica de la demanda 1 donde las fuentes y los substratos del p-tipo y del n-tipo comlementary dichos dispositivos de semiconductor del xido de metal estn conectados respectivamente con las fuentes de alimentacin positivas y negativas dichas. 3. Est el terminal el operador tres-valorado de la lgica de la demanda 2 donde dicho primer terminal de salida de salida de un inversor ternario simple; y teniendo una segunda salida ternaria positiva del inversor en la conexin del dren del p-tipo dicho dispositivo de semiconductor del xido de metal y su resistor respectivo; y una tercera, negativa salida ternaria del inversor en la conexin del dren del n-tipo dicho dispositivo de semiconductor del xido de metal y su resistor respectivo. 4. Una clula de memoria tres-valorada que abarca a un par cruz-juntar-conectado de operadores tresvalorados de la lgica de la demanda 2; donde el primer terminal de salida del primer del par dicho de operadores tres-valorados est conectado con el terminal de la entrada del segundo del par dicho de operadores tres-valorados, y el primer terminal de salida del segundo del par dicho de operadores tres-valorados est conectado con el terminal de la entrada del primer del par dicho de operadores tres-valorados. 5. Un operador tres-valorado de la lgica que tiene la dos-entrada, entrada tres-valorada y teniendo ternario NI salida, por el que los valores de la seal de la entrada y de salida tengan niveles discretos del positivo, cero y negativos, el abarcar: dos pares del p-tipo y de n-tipo complementarios dispositivos de semiconductor del xido de metal, donde el primer y segundo p-tipo dispositivos est conectado en la serie y el primer y segundo n-tipo dispositivos estn conectados en paralelo; un par de terminales de la entrada, el primer de cul est conectado con la puerta del primer p-tipo dicho dispositivo de semiconductor del xido de metal y con la puerta del segundo n-tipo dicho dispositivo de semiconductor del xido de metal, el segundo de los terminales dichos de la entrada que son conectados con la puerta del segundo p-tipo dicho dispositivo de semiconductor del xido de metal y con la puerta del primer n-tipo dicho dispositivo de semiconductor del xido de metal;SISTEMAS DIGITALES CONSULTA #1

40

la fuente del primer p-tipo dicho dispositivo de semiconductor

Con Cult a 1

Documents

Transcript of Con Cult a 1