Concavidad y puntos de inflexión

La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el

comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

Definición de concavidad

Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un

intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente

sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo

A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el

intervalo y cóncava hacia abajo en el intervalo

Teorema 5

Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica

de f es cóncava hacia arriba sobre .

Demostración:

Si y como , entonces se tiene que es

creciente sobre por lo que de acuerdo con la definición de concavidad

de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre .

Teorema 6

Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica

de f es cóncava hacia abajo sobre .

Demostración:

De la hipótesis: , y como , se obtiene que es

decreciente sobre por lo que según la definición dada sobre concavidad,

la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre .

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación

Si entonces , y,

Luego, si y, si .

Como , entonces es creciente en los intervalos , pues

en ellos es positiva. Además es decreciente en el intervalo pues en

el es negativa.

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo y cóncava hacia abajo

en el intervalo .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Representación gráfica de la función

Observe que es creciente en y y decreciente en .

Representación gráfica de la función f:

Representación gráfica de la función f

Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos y cóncava hacia

abajo en el intervalo .

Damos ahora la definición de punto de inflexión

Definición

Se dice que es un punto de inflexión de la gráfica de una función f,

si existe un intervalo tal que , y la gráfica de f es cóncava hacia

arriba sobre , y cóncava hacia abajo sobre , o viceversa.

Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:

Ejemplos: 1.

El punto es un punto de inflexión de la curva con ecuación ,

pues es positiva si , y negativa si , de donde f es cóncava

hacia arriba para , y cóncava hacia abajo para .

Gráficamente se tiene:

2.

Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación

Se tiene que por lo que

Resolvamos las desigualdades

Como si entonces la gráfica de f es cóncava hacia

arriba en esos intervalos.

La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo pues en él

.

Luego los puntos y son puntos en los que cambia la concavidad y

por tanto son puntos de inflexión.

La gráfica de la función f es la siguiente:

Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es

cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo.

En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de

inflexión. Gráficamente:

Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra

parte bajo ella.

Teorema 7

Si es un punto de inflexión de la gráfica de f y si existe,

entonces

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplo:

Considere la función f con ecuación .

La segunda derivada de f es .

Note que si , y, si

Luego, f es cóncava hacia arriba para , y cóncava hacia abajo para

Se tiene entonces que es un punto de inflexión.

Evaluando la segunda derivada de f en resulta que con lo que se

verifica lo expresado en el teorema anterior.

En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.

Teorema 8

Si:

i.

f es una función continua sobre un intervalo I,

ii.

es un punto interior de I tal que , ó existe, y

iii.

Si existe un intervalo con , tal que:

1. cuando y cuando , entonces

es un punto de inflexión de la gráfica de f.

2. cuando y cuando , entonces

es un punto de inflexión de la gráfica de f.

3. cuando y cuando , o

bien, cuando y cuando

entonces no es un punto de inflexión de la gráfica de f.

Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4,

sustituyendo f por , y por .

Ejemplos:

1. Sea f una función con ecuación con . Note quef es

una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La

segunda derivada de f es , que es igual a cero si y solo si

ó .

Así

Observemos la solución de las desigualdades , y por medio de

la siguiente tabla:

2. Como para y para

entonces es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8.

De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como para

y para , entonces es un punto de inflexión.

3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:

, con

Como se tiene que nunca se hace cero y que no existe.

Además es mayor que cero para , por lo que f siempre es cóncava

hacia arriba en su dominio, y por lo tanto no es punto de inflexión.

Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos

y

los valores mínimos de una función

Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una

función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor

máximo o un valor mínimo.

El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.

Teorema

Sea f una función con dominio D.

Si está definida para donde y si

con entonces:

a.

es un valor máximo relativo de f si se cumple

que

b. es un valor mínimo relativo de f si se cumple

que

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los

valores mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:

1. ,

Note que la función f no está definida en

La derivada de f está dada por ,

Los valores críticos de f se obtienen cuando . En este caso, si

y solo si , ó .

Ahora, la segunda derivada de f es

Vamos a evaluar en y en

a. ; como entonces es un valor

mínimo relativo de f.

b.

; como entonces es un valor

máximo relativo de f.

Gráficamente se tiene en el intervalo

2.

Se tiene que

La primera derivada de g está dada por

Como cuando y cuando entonces estos son los valores

críticos de g.

La segunda derivada de g es

Evaluando en se tiene que

que es mayor que cero, por lo que es un valor mínimo relativo de g.

Observe que no puede evaluarse en pues hace cero el denominador

por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera

derivada.

Analizando se obtiene que para

y para por lo que al no existir cambio de signo resulta

que no es ni máximo ni mínimo. El gráfico de g se muestra a

continuación.

Gracias a: http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-

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