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Objetivos

Conceptos Basicos de Conjuntos

Carlos A. Rivera-Morales

Algebra

Rivera-Morales, Carlos A. Conjuntos: Conceptos Basicos

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Tabla de Contenido

Objetivos

1 ConjuntosNocion de ConjuntoFormas de expresar un conjuntoConjunto Nulo o VacıoConjuntos iguales, conjuntos equivalentes, conjuntosdisjuntosSubconjunto, Subconjunto Propio


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Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

que es un conjunto

formas de expresar un conjunto

notacion de conjuntos

conjunto nulo o vacıo, conjuntos equivalentes, conjuntosiguales, conjuntos disjuntos

subconjunto, subconjunto propio


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Nocion de ConjuntoFormas de expresar un conjuntoConjunto Nulo o VacıoConjuntos iguales, conjuntos equivalentes, conjuntos disjuntosSubconjunto, Subconjunto Propio

Conjuntos

Nocion de Conjunto:

Un conjunto es una coleccion de objetos relacionados entresı por una caracterıstica comun.

A cada objeto que pertenece alconjunto se llama elemento o miembro del conjunto.

Para que exista un conjunto se debe cumplir lo siguiente:

1 La coleccion de elementos debe estar bien definida.

2 Ningun elemento del conjunto se debe contar mas de unavez. En general, los elementos de un conjunto deben serdiferentes. Si alguno de ellos se repite, se contara solo unavez.

3 El orden en que se listen los elementos carece deimportancia.


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Nocion de Conjunto:

Un conjunto es una coleccion de objetos relacionados entresı por una caracterıstica comun. A cada objeto que pertenece alconjunto se llama elemento o miembro del conjunto.

Para que exista un conjunto se debe cumplir lo siguiente:

1 La coleccion de elementos debe estar bien definida.

2 Ningun elemento del conjunto se debe contar mas de unavez. En general, los elementos de un conjunto deben serdiferentes. Si alguno de ellos se repite, se contara solo unavez.

3 El orden en que se listen los elementos carece deimportancia.


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Nota: Una coleccion de objetos esta bien definida si se puededecidir sin lugar a dudas si un objeto es o no parte de lacoleccion.

Las siguientes colecciones no estan bien definidas:

1 La coleccion de los numeros bonitos.

2 La coleccion de los animales bien inteligentes.

3 La coleccion de las canciones favoritas.


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Formas de expresar un conjunto:

1 Mediante una descripcion verbal: se describe enpalabras la caracterıstica que define al conjunto.Ejemplo: El conjunto A de las vocales de nuestro alfabeto.

2 Enumeracion o listado: se listan los elementos queconforman al conjunto encerrados entre llaves, separadospor comas.Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}

3 Usando notacion de construccion de conjuntos: seescribe entre llaves { } la caracterıstica que define elconjunto. Se usa el formato = {x|x tiene la propiedad p}Ejemplo: A = {x|x es una vocal de nuestro alfabeto}


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Formas de expresar un conjunto:1 Mediante una descripcion verbal:

se describe enpalabras la caracterıstica que define al conjunto.Ejemplo: El conjunto A de las vocales de nuestro alfabeto.




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Formas de expresar un conjunto:1 Mediante una descripcion verbal: se describe en

palabras la caracterıstica que define al conjunto.

Ejemplo: El conjunto A de las vocales de nuestro alfabeto.




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palabras la caracterıstica que define al conjunto.Ejemplo: El conjunto A de las vocales de nuestro alfabeto.




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2 Enumeracion o listado:

se listan los elementos queconforman al conjunto encerrados entre llaves, separadospor comas.Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}



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2 Enumeracion o listado: se listan los elementos queconforman al conjunto encerrados entre llaves, separadospor comas.

Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}



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3 Usando notacion de construccion de conjuntos:

seescribe entre llaves { } la caracterıstica que define elconjunto. Se usa el formato = {x|x tiene la propiedad p}Ejemplo: A = {x|x es una vocal de nuestro alfabeto}


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3 Usando notacion de construccion de conjuntos: seescribe entre llaves { } la caracterıstica que define elconjunto.

Se usa el formato = {x|x tiene la propiedad p}Ejemplo: A = {x|x es una vocal de nuestro alfabeto}


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3 Usando notacion de construccion de conjuntos: seescribe entre llaves { } la caracterıstica que define elconjunto. Se usa el formato = {x|x tiene la propiedad p}

Ejemplo: A = {x|x es una vocal de nuestro alfabeto}


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Ejemplos:

1 El conjunto A de los primeros 5 numeros primos.

A = {2, 3, 5, 7, 11}.A = {n ∈N|n es uno de los primeros cinco numeros primos}

2 N = {1, 2, 3, ...} = {n ∈N|n es un numero entero positivo}3 B = {n ∈N|5 ≤ n < 100} = {5, 6, 7, ..., 99}.4 C = {n2|3 < n ≤ 7, n ∈N} = {16, 25, 36, 49}.5 D = {x|x es una vocal en la palabra calabozo} = {a, o}


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Ejemplos:

1 El conjunto A de los primeros 5 numeros primos.A = {2, 3, 5, 7, 11}.

A = {n ∈N|n es uno de los primeros cinco numeros primos}2 N = {1, 2, 3, ...} = {n ∈N|n es un numero entero positivo}3 B = {n ∈N|5 ≤ n < 100} = {5, 6, 7, ..., 99}.4 C = {n2|3 < n ≤ 7, n ∈N} = {16, 25, 36, 49}.5 D = {x|x es una vocal en la palabra calabozo} = {a, o}


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1 El conjunto A de los primeros 5 numeros primos.A = {2, 3, 5, 7, 11}.A = {n ∈N|n es uno de los primeros cinco numeros primos}



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Ejemplos:


2 N = {1, 2, 3, ...}

= {n ∈N|n es un numero entero positivo}3 B = {n ∈N|5 ≤ n < 100} = {5, 6, 7, ..., 99}.4 C = {n2|3 < n ≤ 7, n ∈N} = {16, 25, 36, 49}.5 D = {x|x es una vocal en la palabra calabozo} = {a, o}


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Ejemplos:


2 N = {1, 2, 3, ...} = {n ∈N|n es un numero entero positivo}

3 B = {n ∈N|5 ≤ n < 100} = {5, 6, 7, ..., 99}.4 C = {n2|3 < n ≤ 7, n ∈N} = {16, 25, 36, 49}.5 D = {x|x es una vocal en la palabra calabozo} = {a, o}


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2 N = {1, 2, 3, ...} = {n ∈N|n es un numero entero positivo}3 B = {n ∈N|5 ≤ n < 100}

= {5, 6, 7, ..., 99}.4 C = {n2|3 < n ≤ 7, n ∈N} = {16, 25, 36, 49}.5 D = {x|x es una vocal en la palabra calabozo} = {a, o}


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2 N = {1, 2, 3, ...} = {n ∈N|n es un numero entero positivo}3 B = {n ∈N|5 ≤ n < 100} = {5, 6, 7, ..., 99}.

4 C = {n2|3 < n ≤ 7, n ∈N} = {16, 25, 36, 49}.5 D = {x|x es una vocal en la palabra calabozo} = {a, o}


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2 N = {1, 2, 3, ...} = {n ∈N|n es un numero entero positivo}3 B = {n ∈N|5 ≤ n < 100} = {5, 6, 7, ..., 99}.4 C = {n2|3 < n ≤ 7, n ∈N}

= {16, 25, 36, 49}.5 D = {x|x es una vocal en la palabra calabozo} = {a, o}


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Ejemplos:


2 N = {1, 2, 3, ...} = {n ∈N|n es un numero entero positivo}3 B = {n ∈N|5 ≤ n < 100} = {5, 6, 7, ..., 99}.4 C = {n2|3 < n ≤ 7, n ∈N} = {16, 25, 36, 49}.

5 D = {x|x es una vocal en la palabra calabozo} = {a, o}


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2 N = {1, 2, 3, ...} = {n ∈N|n es un numero entero positivo}3 B = {n ∈N|5 ≤ n < 100} = {5, 6, 7, ..., 99}.4 C = {n2|3 < n ≤ 7, n ∈N} = {16, 25, 36, 49}.5 D = {x|x es una vocal en la palabra calabozo}

= {a, o}


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Conjunto Nulo o Vacıo:

Definicion: Un conjunto es nulo o vacıo si no contieneelemento alguno. Se denota por φ o {}.

Ejemplo 1: A = {n ∈N|n2 es negativo} = φ = {}

Ejemplo 2: B = {n ∈N|4 < n < 5}= φ = {}


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Ejemplo 1: A = {n ∈N|n2 es negativo}

= φ = {}

Ejemplo 2: B = {n ∈N|4 < n < 5}= φ = {}


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Ejemplo 1: A = {n ∈N|n2 es negativo} = φ =

{}

Ejemplo 2: B = {n ∈N|4 < n < 5}= φ = {}


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Ejemplo 2: B = {n ∈N|4 < n < 5}

= φ = {}


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Ejemplo 2: B = {n ∈N|4 < n < 5}= φ =

{}


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Ejemplo 2: B = {n ∈N|4 < n < 5}= φ = {}


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Notacion: Para describir si un elemento pertenece o no a unconjunto, se utiliza el sımbolo de pertenencia o es elemento de,∈ ; en caso contrario, se usa el sımbolo /∈.

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3}, entonces

2 ∈ A - Se lee: 2 es elemento del conjunto A

5 /∈ A - Se lee: 5 no es elemento del conjunto A


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Cardinalidad o Numero Cardinal de un Conjunto:

Definicion: La cardinalidad o numero cardinal de unconjunto A es la cantidad o numero de elementos del conjunto.Se denota por n(A).

Ejemplos:

1 Si A = {-1, 0, 1, 2, 3}, entonces n(A) = 5.

2 Si A = φ , entonces n(A) = 0.

3 Si A = {2, 4, 6, ...., 50}, entonces n(A) = 25.


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Ejemplos:

1 Si A = {-1, 0, 1, 2, 3}, entonces n(A) =

5.


3 Si A = {2, 4, 6, ...., 50}, entonces n(A) = 25.


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Ejemplos:

1 Si A = {-1, 0, 1, 2, 3}, entonces n(A) = 5.


3 Si A = {2, 4, 6, ...., 50}, entonces n(A) = 25.


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Ejemplos:

1 Si A = {-1, 0, 1, 2, 3}, entonces n(A) = 5.

2 Si A = φ , entonces n(A) =

0.

3 Si A = {2, 4, 6, ...., 50}, entonces n(A) = 25.


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Ejemplos:

1 Si A = {-1, 0, 1, 2, 3}, entonces n(A) = 5.


3 Si A = {2, 4, 6, ...., 50}, entonces n(A) = 25.


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Ejemplos:

1 Si A = {-1, 0, 1, 2, 3}, entonces n(A) = 5.


3 Si A = {2, 4, 6, ...., 50}, entonces n(A) =

25.


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Ejemplos:

1 Si A = {-1, 0, 1, 2, 3}, entonces n(A) = 5.


3 Si A = {2, 4, 6, ...., 50}, entonces n(A) = 25.


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Conjuntos Iguales:

Definicion: Dos conjuntos cualesquiera A y B son iguales sitodo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B eselemento de A. Se denota por A = B.

Ejemplo: Si A = {x|x es una letra de la palabra casa} y B ={s, a, c}, entonces A = B.

Ejercicio: Si A = {2n+ 1|n ∈N} y B = {2n− 1|n ∈N}, ¿es A= B?


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Conjuntos Equivalentes:

Definicion: Dos conjuntos cualesquiera A y B sonequivalentes si ambos tienen la misma cardinalidad. Se denotapor A ≈ B.

Ejemplo: Si A = {x|x es una letra de la palabra casa} y B ={2, 5, 7}, entonces A ≈ B.


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Conjuntos Disjuntos:

Definicion: Dos conjuntos cualesquiera A y B son disjuntos siningun elemento de A es elemento de B y ningun elemento de Bes elemento de A.

Ejemplo: Si A = {x|x es una letra de la palabra casa} y B ={2, 5, 7}, entonces A y B son conjuntos disjuntos.


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Subconjunto:

Definicion: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Entonces,A es subconjunto de B si todo elemento de A es tambienelemento de B. Se denota por A ⊆ B.

Nota: El conjunto nulo o vacıo φ se considera subconjunto detodo conjunto.

Ejemplo: Si A = {2, 5, 7}, entonces: {2, 7} ⊆ A; {2, 3} * A.

Ejercicio: Si A = {2, 5, 7}, entonces A tiene 8 subconjuntos.Construyalos.


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Cantidad de Subconjuntos de un Conjunto:

Nota: Si un conjunto A tiene n elementos, entonces tiene 2n

subconjuntos, incluyendo el conjunto mismo A y el conjuntovacıo, denotado por φ.

Ejemplo: Si n(A) = 10, entonces A tiene 210 = 1024subconjuntos.

Nota: Al conjunto formado por todos los subconjuntos de unconjunto A se le llama el conjunto potencia de A. Se denotapor P(A).

Ejercicio: Construya P(A) si A = {a, b, c}.


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Ejemplo: Si n(A) = 10, entonces A tiene

210 = 1024subconjuntos.




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Ejemplo: Si n(A) = 10, entonces A tiene 210

= 1024subconjuntos.




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Ejemplo: Si n(A) = 10, entonces A tiene 210 = 1024subconjuntos.




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Subconjunto Propio:

Definicion: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Entonces,A es subconjunto propio de B si todo elemento de A estambien elemento de B, pero no todo elemento de B es elementode A. Se denota por A ⊂ B.

Ejemplo: Si A = {2, 5, 7}, entonces: {2, 7} ⊂ A;A 6⊂ A.

Ejercicio: Sea A = {2, 5, 7}. Indique los subconjuntos propiosde A.


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