III

III IV

Y

X

Figura 1.1

1.2 CONCEPTOS BÁSICOS

1.2.1 Sistema de Coordenadas. El sistema de referencia que constituye la base de la Geometría Analítica se

llama Sistema de Coordenadas, Sistema Coordenado o Ejes coordenados.En la construcción de este sistema, se trazan dos rectas numéricas que se cortan formando ángulos rectos, de tal manera que el punto de intersección sea el origen de ambas rectas.

Cada una de las partes en las que se divide el plano se llama cuadrante y se designa con número romanos comenzando con el superior de la derecha y siguiendo el sentido opuesto al movimiento que siguen las manecillas del reloj, tal como se

muestra en la figura 1.

A las rectas perpendiculares se le conoce como ejes de coordenadas, a la recta horizontal se le conoce como el eje de las abscisas y se representa con la letra X, a la recta vertical se le conoce como eje de las ordenadas y se representa con la letra Y.

1.2.2 Coordenadas de un Punto

Como los ejes coordenados son ejes reales, las coordenadas de un punto pueden ser cualquiera de ellas o las dos, positivas, negativas o nulas. Por lo tanto los signos de las coordenadas determinan el cuadrante en que se encuentra el punto.

CuadranteSigno

x Y

I + +II - +

III - -

IV + -

Figura 1.2

I (+,+)II (-,+)

III (-,-) IV (+,-)

X

P( x , y)

Y

Xx

y

Figura 1.3

P( x, y)

Y

X

y

1.2.3 Ubicación de un punto en el plano cartesiano

Para ubicar un punto en el sistema cartesiano:

Posicionarse en el origen. Recorrer tantos lugares sobre el

eje de las X, si es positivo moverse hacia la derecha y si el valor es negativo hacia la izquierda.

A partir de la ubicación anterior, recorrer tanto lugares sobre el eje Y. S el valor es positivo hacia arriba y si el valor es negativo ir hacia abajo

A estos dos movimientos se les da el nombre de par ordenado.

Por ejemplo, el punto P (-4,5) está ubicado en el II cuadrante porque el valor de x es negativo y el valor de y es positivo.

Por cuestiones de conveniencia se acostumbra escribir primero el movimiento sobre el eje de las X o eje de las abscisas y después el que corresponde sobre el eje Y o de las ordenadas, por lo que un Punto puede representarse como:

P(x, y)

Donde:

P es el nombre del punto que se quiere ubicar en el sistema cartesiano.Xes el valor de la abscisa, es decir el movimiento sobre el eje X.Yes el valor de las ordenada, es decir el movimiento sobre el eje Y.

1.2.4 Localización de las coordenadas de un punto

Para localizar las coordenadas de un punto dado en el sistema coordenado:

Posicionarse en el punto dado. Trazar una línea perpendicular al eje X

para localizar el valor de la abscisa. Trazar una línea perpendicular al eje Y,

para localizar la ordenada.

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y

A(3,5)

X=3

Y=5

Figura 1.5

En ambos casos el valor correspondiente a la abscisa y a la ordenada serán las intersecciones con los ejes respectivos.

Ejemplo 1.1: Ubicar en el plano cartesiano el punto A (3,5)

De lo anterior se sabe entonces que: x=3 y y=5.

Ejercicios propuestos.

1. Ubicar en el plano los siguientes pares ordenados:

A(4,3) B(5,-3) C(0,5) D(5,0)E(-3,-2) F(-1,5) G(-5,-6) H(1,-5)

2. Con sólo observar las coordenadas de los puntos dados, decir en que cuadrante se encuentran y justificar la respuesta:

A(0,5)_________________________________________________________

B(-3,2 )_________________________________________________________

C(4,7)_________________________________________________________

D(9,-3 )_________________________________________________________

E(-6,6 )_________________________________________________________

F(-5,0 )_________________________________________________________

Figura 1.4

G(1,-3)_________________________________________________________

3. Determinar las coordenadas de los puntos que se indican en la figura:A( )

B( )

C( )

D( )

E( )

F( )

G( )

H( )

I ( )

J ( )

4. Con base en un cuadrado que tiene 10 unidades de longitud por lado determinar las coordenadas de sus vértices si:

a) Un vértice está en el origen y dos de sus lados se encuentran sobre los ejes coordenados y además el cuarto vértice está en el tercer cuadrante.

b) Su centro está en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

J

I

H

G

F

ED

C

B

A