1 Conceptos básicos del lenguaje algebraico

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C1Del pensamiento aritmético al lenguaje algebraicoEvaluación diagnóstica. Página 11 II.

1.Paso 1. Dado que el número de sumandos es par, procedemos a formar las parejas que propone Gauss

obteniendo

1 + 2 + … + 50 + 51 + … 99 + 100

50 + 51

2 + 99

1 + 100

Paso 2. Del arreglo anterior, se observa que cada pareja suma 101 y hay 50 parejas, por lo que la suma total es igual a (No. de parejas) × (Valor de la suma) = 50(101) = 5050.

2. Propiedad asociativa de la suma. 3.

Paso 1. Ya que el número de sumandos es un número par, procedemos a formar las parejas ob-teniendo

1 + 2 + … + 984 + 985 + … 1967 + 1968

984 + 985

2 + 1967

1 + 1968

Paso 2. Del arreglo anterior se observa que cada pareja suma 1969 y hay 984 parejas, por lo que la suma total es igual a (No. de parejas) × (Valor de la suma) = 1 937 496.

Paso 1. Ya que el número de sumandos de nuevo es un número par, procedemos a formar las parejas obteniendo:

1 + 2 + … + 1010 + 1011 + … 2019 + 2020

1010+1011

2+2019

1+2020

Paso 2. Del arreglo anterior se observa que cada pareja suma 2021 y hay 1010 parejas, por lo que la suma total es igual a (No. de parejas) × (Valor de la suma) = 1010(2021) = 2 041 210.

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INICIO

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C1Paso 1. Observamos que en principio no podemos proceder como en el inciso anterior, ya que el

número de sumandos es un número impar, por lo que vamos a sumar hasta el penúltimo sumando, que es un número par, y procedemos a formar las parejas obteniendo:

1 + 2 + … + 999 + 1000 + … + 1997 + 1998 + 1999

2 + 1997

1 + 1998

Paso 2. Del arreglo anterior se observa que cada pareja suma igual a 1999 y hay 999 parejas, por lo que la suma hasta el penúltimo sumando es igual a

(No. de parejas) × (Valor de la suma) = 999(1999).

Para obtener la suma total, al resultado anterior debemos agregar 1999, con lo cual el resultado de la suma es igual a 1 999 000.

III. 1. Cuando el número de sumandos es impar no se puede hacer un número exacto de parejas, ya que hay

un número que sobra, en tal caso se debe hacer un procedimiento distinto.2. Hacemos el método de Gauss cuando es un número par de sumandos, en caso contrario hacemos el

método de Gauss hasta el penúltimo sumando y después agregamos el sumando que falta para obtener la suma correspondiente.

EJERCICIO 1. Página 13 Utilizar el concepto de variable como número generalizado

I. 1.

Paso 1. Escribimos algunos números impares en la siguiente tabla:

Posición Número Impar

1 1 = 2 · 1 – 1

2 3 = 2 · 2 – 1

3 5 = 2 · 3 – 1

4 7 = 2 · 4 – 1

5 9 = 2 · 5 – 1

Paso 2. De la tabla anterior, observamos que el número impar en la posición n es igual al número 2n – 1.

2. Paso 1. Escribimos algunos múltiplos de 4 en la siguiente tabla:

Posición Múltiplos de 4

1 4 = 4 · 1

2 8 = 4 · 2

3 12 = 4 · 3

4 16 = 4 · 4

5 20 = 4 · 5

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C1Paso 2. De la tabla anterior se encuentra un patrón para los naturales múltiplos de 4, los cuales son

de la forma , con n un número natural.

3. Paso 1. Escribimos algunos números naturales divisibles entre 2 en la siguiente tabla:

Posición Números divisibles entre 2

1 2 = 2 · 1

2 4 = 2 · 2

3 6 = 2 · 3

4 8 = 2 · 4

5 10 = 2 · 5

Paso 2. Los números naturales divisibles entre 2 son de la forma 2n, con n un número natural.

4. Paso 1. Recordemos que un número natural divisible entre 2 y 3 es divisible entre 6. Escribimos

algunos números naturales divisibles entre 2 y 3 en la siguiente tabla:

Posición Números divisibles entre 2 y 3

1 6 = 6 · 1

2 12 = 6 · 2

3 18 = 6 · 3

4 24 = 6 · 4

5 30 = 6 · 5

Paso 2. Notamos que el número natural divisible entre 2 y 3 en la posición n es igual a 6n.

5. Paso 1. Escribimos los cuadrados de algunos números naturales en la siguiente tabla:

Posición Número Impar

1 1 = 12

2 4 = 22

3 9 = 32

4 16 = 42

5 25 = 52

Paso 2. Luego, el cuadrado de un número natural en la posición n es de la forma n2

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C1ACTIVIDAD 1. Página 13 Describir propiedades aritméticas y geométricas utilizando variables

I. Paso 1.

Propiedad conmutativa de la sumaa + b = b + a

4 + 8 = 12 8 + 4 = 12

5 + (–3) = 5 – 3 = 2 (–3) + 5 = –3 + 5 = 2

Paso 2. De la tabla anterior podemos inferir una expresión general para la propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a

II. Paso 1.

Propiedad conmutativa de la multiplicacióna · b = b · a

25 × 89 = 2225 89×25=2225

Paso 2. De la tabla anterior podemos inferir una expresión general para la propiedad conmutativa de la multiplicación: a · b = b · a

III. Paso 1.

Propiedad distributivaa(b + c) = ab + ac

2( 5 + 7) = 2(12) = 24 2 × 5 + 2 × 7 = 10 + 14 = 24

–2(5 + 7) = –2(12) = –24 (–2) × 5 + (−2) × 7 = −10 − 14 = −24

Paso 2. De la tabla anterior podemos inferir una expresión general para la propiedad distributiva:

a(a + b) = ab + ac

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C1ACTIVIDAD 2. Página 14 Simplificar expresiones aritméticas usando variables

I. 1. Propiedad conmutativa de la suma.2. 10, inferior,11, parejas, la mitad.3.

Paso 1. Escribimos la suma de dos maneras, colocando primero los sumandos de manera ascendente y luego de manera descendente:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 1967 + 1968 = s1968 + 1967 + 1966 + 1965 + … + 2 + 1 = s

Paso 2. Sumando por parejas los renglones se obtiene que

1 + 1968 = 2 + 1967 = 3 + 1966 = 4 + 1965 = … = 1967 + 2 = 1968 + 1.

Nótese que hay 1968 parejas y cada una suma 1969 cuyo producto es igual a

(1968)(1969) = 3 874 992.

Luego, la suma buscada es igual a

.

Paso 3. Procediendo de manera análoga, obtenemos el siguiente arreglo de números:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 2019 + 2020 = s 2020 + 2019 + 2018 + 2017 + … + 2 + 1= s

Paso 4. Sumando por parejas los renglones se obtiene que

1 + 2020 = 2 + 2019 = 3 + 2018 = 4 + 2017 = … = 2019 + 2 = 2020 + 1.

Nótese que hay 2020 parejas y cada una suma 2021, con lo cual la suma buscada es igual a

.

Paso 5. Finalmente, para la última suma obtenemos el siguiente arreglo numérico:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 1998 + 1999 = s1999 + 1998 + 1997 + 1996 + … + 2 + 1 = s

Paso 6. Sumando por parejas los renglones se obtiene que

1 + 1999 = 2 + 1998 = 3 + 1997 = 4 + 1996 = … = 1998 + 2 = 1999 + 1.

Nótese que hay 1999 parejas y cada una suma 2000, siendo la suma buscada igual a

.

4. n + 1; n(n + 1)

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C1EJERCICIO 2. Página 15 Identificar coeficiente y parte literal de términos algebraicos

I.

Término algebraico Coeficiente Parte Literal Término

algebraico Coeficiente Parte literal

2n 2 n 2a2 2 a2

x 1 x 5x2 5 x2

3L 3 L ab

6a 6 a xy2

ACTIVIDAD TIC 1. Página 15 Expresar en lenguaje algebraico

I. A un número le quitamos 5: x − 5El doble de un número: 2xEl cuadrado de un número: x2

El área de un cuadrado de lado r: r2

El precio de un pantalón aumentado un 15 %: 1.15xEl quíntuplo de un número: 5xLa suma de un número y su cuadrado: x + x2

El perímetro de un cuadrado de lado r: 4rEl 17 % de un número: 0.17x

EJERCICIO 3. Página 16 Traducir igualdades y leyes del lenguaje común al lenguaje algebraico

I.1.

Paso 1. Denotemos por b y h la base y la altura de un triángulo, respectivamente, e indiquemos por A su área.

Paso 2. El área de un triángulo se calcula mediante la expresión .

2. Paso 1. Identifiquemos con la literal P el perímetro de un rectángulo, por l el largo y por a el ancho

del rectángulo.Paso 2. El perímetro de un rectángulo se determina mediante la expresión P = 2(l + a).

3. Paso 1. Denotemos por F la fuerza aplicada, por m la masa del cuerpo y por a la aceleración que pro-

duce la fuerza al cuerpo.Paso 2. El producto de la masa por la aceleración es ma, de donde la fuerza se expresa como F = ma.

4. Paso 1. Denotemos por IMC el índice de masa corporal, por p el peso de la persona y por h su estatura. Paso 2. El cuadrado de la altura es h2 y la razón entre el peso y su altura al cuadrado es el índice de

masa corporal, con lo cual .5. Paso 1. Asignemos las literales a, b y c a las longitudes de los lados de un triángulo

Paso 2. La suma de las longitudes de dos lados del triángulo es a + b o a + c o b + c con la longitud del lado restante c, b o a, respectivamente, de donde se tiene que la desigualdad es a + b > c o a + c > b, o b + c > a.

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C16. Paso 1. Indiquemos por p la densidad del cuerpo, por m su masa y por V su volumen.

Paso 2. La razón entre la masa y el volumen del cuerpo corresponde a la densidad volumétrica .7. Paso 1. Denotemos por C la longitud de una circunferencia y por d su diámetro.

Paso 2. El producto del diámetro por la constante π es corresponde a la longitud de la circunferencia C = πd.

8. Paso 1. Indiquemos por V el volumen de un cilindro, por h su altura. La base del cilindro es un círculo de radio r con área igual a πr2.

Paso 2. Luego, el volumen del cilindro es V = πr2h.

EJERCICIO 4. Página 17 Traducir igualdades y leyes del lenguaje común al lenguaje algebraico

I. 1.

Paso 1. Denotemos por n un número arbitrario.Paso 2. La traducción al lenguaje algebraico es 2n – 1.

2. Paso 1. Denotemos por x un número arbitrario.Paso 2. La traducción al lenguaje algebraico es x2 – 1.

3. Paso 1. Denotemos por m un número entero no negativo arbitrario. Paso 2. La expresión algebraica buscada es .

4. Paso 1. Denotemos por y un número arbitrario.Paso 2. La traducción al lenguaje algebraico es 2y = y2.

5. La literal d representa la longitud de alguna de las diagonales del cuadrado, luego, la traducción al lenguaje común es: “El área del cuadrado es igual a la mitad del cuadrado de su diagonal.”

6. Las literales a y b denotan la altura y la base del rectángulo, respectivamente, y el perímetro se indica con la letra P. La traducción al lenguaje común es: ”El perímetro de un rectángulo es igual al doble de su altura más el doble de su base.”

7. Las literales h, B y b son la altura y las bases, respectivamente, de un trapecio. Luego, la traducción al lenguaje común es: “El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la suma de sus bases entre 2.”

PROBLEMA 1. Página 18 Expresar algebraicamente los datos de un problema

I. 1.

a) Paso 1. Nombramos por a y h el ancho y altura de la portería, respectivamente.Paso 2. Por las condiciones del problema, el tubo galvanizado de 8 m es la suma de tres tramos, el

ancho de la portería y dos postes que miden la altura de la misma de donde se tiene que a + 2h = 8. Además, por las características de la portería se tiene que a = 3h.

b) Del inciso anterior, si sustituimos a = 3h en a + 2h = 8, se obtiene que , con lo que .

c) Procediendo de manera análoga al inciso b) y considerando que a + 2h = l, se concluye que y .

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C1ACTIVIDAD 3. Página 19 Determinar relaciones funcionales entre variables I.

1. En la primera columna son números naturales, mientras que en la segunda columna son números pares.2. SI denotamos por n a los números naturales, entonces el correspondiente número par p que le corres-

ponde es 2n.3. Para n = 100, el número par que se obtiene es p = 200.4. Si p = 2020, entonces 2020 = 2n para algún n y despejando se obtiene que n = 1010.5. Sabemos que la Revolución Mexicana inicia en 1910, por ello n = 1910 y procediendo de manera análoga

se obtiene que n = 955.

PROBLEMA 2. Página 19 Determinar relaciones funcionales entre variables

I. Paso 1. Llamamos T a la tarifa y por x los kilovatios consumidos.Paso 2. Observamos a partir de los datos proporcionados que hay una tarifa fija de $46 y por cada

100 KW la tarifa aumenta $15, de donde se tiene que 1 KW tiene un costo de $0.15.Paso 3. A partir del paso anterior, la tarifa depende de los KW consumidos y se tiene que

T = 0.15x + 46.

EJERCICIO 5. Página 21 Utilizar variables como incógnitas

I. 1. La edad de Onofre es x – 5 y la de Francisco x – 8; por lo tanto:

x + (x – 5) + (x – 8) = 383x – 13 = 38

2. La edad de Onofre es z + 3 y la de Carolina, z + 8; por lo tanto:

z + (z + 3) + (z + 8) = 383z + 11 = 38

3. La edad de Francisco es u – 3 y la de Carolina, u + 5; por lo tanto:

u + (u – 3) + (u + 5) = 383u + 2 = 38

4. Como 3x – 13 = 38, obtenemos 3x = 51; por lo tanto, x = 17. Así que Carolina tiene 17 años. Como 3z + 11 = 38, obtenemos 3z = 27; por lo tanto, z =9. Así que Francisco tiene 9 años. Como 3u + 2 = 38, obtenemos 3u = 36; por lo tanto, u =12. Así que Onofre tiene 12 años.

ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO. Página 21 Identificar el uso que se le da a una variable en distintos contextos

1. a y b están dados, así que son constantes. x es una incógnita. Como en la caja chica hay x lápices, en la grande hay x + b. Como el total de lápices es a, tenemos:

x + (x + b) = a

Así que en la caja chica hay lápices y en la caja grande,

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C12. p es conocido, así que es una constante. n es un número generalizado. C y n están en relación funcional.3. Número generalizado, ya que generaliza un resultado de la aritmética que es válido para cualquier n en

los naturales.

Repaso. Página 22

1. c, recordar que los algoristas introdujeron a Europa los números indoárabigos para reducir los procesos de hacer cuentas en el comercio.

2. d, Fibonacci fue uno de los principales algoristas en la Edad Media europea.3. b, se tiene planteada una ecuación.4. a, ya que se establece una propiedad válida para cualquier número.5. c, ya que se establece una propiedad que tiene cualquier círculo, la razón entre la circunferencia y su

diámetro es constante.6. R.L.7. b, recordar que todo término algebraico tiene un coeficiente y una parte literal. Luego, el término –x=

–1 · x tiene como coeficiente –1 y parte literal x.8. a9. c

10. d, Paso 1. El doble de un número es multiplicar por 2, y la mitad dividir entre 2.Paso 2. La diferencia es una resta, entonces la expresión buscada es .

11. b, Los números pares tienen la forma 2n y los impares se obtienen restando a los pares una unidad.12. a)

Paso 1. Sea n el primer número natural, de donde sus dos números consecutivos se obtienen su-mándole 1 y 2 unidades, respectivamente.

Paso 2. La suma se escribe n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3.

b) Paso 1. Sea x un número natural, entonces x + 1 es su consecutivo.Paso 2. La diferencia entre el cuadrado de x y el cuadrado de su consecutivo es x2 – (x + 1)2.

13. b, los impares se obtienen con la expresión 2n – 1 y n = 500.14. d15. c16. a) x + (y + z) = (x + y) + z b) (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd c) (x + y)(x – y) = x2 – y2

17. c, recordar la expresión y que n = 200.

18. a)

Paso 1. 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = (1 + 2 + 3 + … + 2n) – (2 + 4 … + 2n)Paso 2. 2 + 4 + ... + 2n = 2(1 + 2 + ... + n)

Paso 3. Luego, .

b) Utilizando el resultado del inciso anterior con n=20 se obtiene que 1 + 3 + 5 + … + 39 = 392 = 1521.

c) Paso 1. Observar que: 2 + 4 + 6 + … + 40 = 2(1 + 2 + … + 20).

Paso 2. Luego, .

CIERRE

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C119. c, el costo C se obtiene de multiplicar el costo por litro de gasolina magna ($19.56) por el número de

litros m, es decir, C = 19.56m.

20. d, Paso 1. Del problema anterior los costos de m litros de gasolina magna son 19.56m. Procediendo de manera análoga, los costos por diesel de d litros es C = 19.56m + 21.26d.

Paso 2.Se suman ambos costos y se obtiene C = 19.56m + 21.26d.

21. Paso 1. Sea m el número de alumnas; entonces, el número de alumnos es m – 320.Paso 2. Como el total de la población en la escuela es de 1300 personas se tiene que m + (m – 320)

= 1300.Paso 3. Se obtiene que 2m – 320 = 1300, a partir de lo cual se concluye que m = 810.

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C1Expresiones y operaciones algebraicasEvaluación diagnóstica. Páginas 24 y 25 II.

1. 2. El cuadrado de 4 es el área de la base de la pirámide.

Duplicar 4 significa multiplicar la medida de los lados del cuadrado inferior y del cuadrado su-perior.

El cuadrado de 2 es el área del cuadrado superior de la pirámide truncada. de 6 es la tercera parte de la altura de la pirámide truncada.

3. El volumen de una pirámide truncada se calcula como sigue:

.

Donde A1 es el área de la base, A2 es el área de la parte superior y h es la altura.Al hacer el corte, en la cúspide queda un cuadrado. Denotando por x a la longitud de cada lado de

ese cuadrado, se tiene:

.

Por lo tanto:

.

Así que, el volumen de la pirámide truncada que resulta está dado por:

.

Por lo que el volumen de la pirámide truncada es de 468 cm3.

III. 1.

a) (12 ÷ 4) × 7 – (3 − 10)2 = 3 × 7 − (−7)2

= 21 – 49 = −28 R: –28

b) −4.3 × (−2.7)− 7.1 × (−1.6) = 4.3 × 2.7 + 7.1 × 1.6 = 11.61 + 11.36 = 22.97 R: 22.97

c) R: 81

d) (3.9 – 5.4)[(6.8 + 9.7)– (8.3 – 12.9)] = (−1.5)[16.5−(−4.6)] = (−1.5)(16.5 + 4.6) = (−1.5)(21.1) = −31.65 R: –31.65

2. a) (2 − 5)× (7 − 12)=(−3)×(−5)=15

2 × 7 – 2 × 12 – 5 × 7 + 5 × 12 = 14 − 24 − 35 + 60 = 74 − 59 = 15 R: 15

b) (3 − 7)2 = (−4)2 = 16 32 − 2 × 3 × 7 + 72 = 9 − 42 + 49 = 58−42 = 16 R: 16

c) (5 − 8)(5 + 8)=(−3)(13)=−39 52 − 82 = 25 − 64 = −39 R: −39

S2

INICIO

x

9 cm

10 cm

6 cm

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C1 d)

R: 4096

e) 56 × 52=15 625 × 25 = 390 625 58 = 390 625 R: 390 625

f) R: 625

3. a) R: 4.25

b) R: 0.875

c) R: 5.375

d) R:

ACTIVIDAD 1. Página 27 Establecer expresiones algebraicas

I. 1. Denotando por A al área del rectángulo, se tiene:

A = xz.

2.

TABLA 1.4

Valor de x (cm) 5 9 12.7 15 25 37.4 40

Valor de z (cm) 3.5 6 8.2 7 16 21.6 30

Área del rectángulo (m2) 17.5 54 104.14 105 400 807.84 1200

3. Denotando por P al perímetro del rectángulo, se tiene:

P = 2x + 2z.

EJERCICIO 1. Página 28 Desarrollar expresiones algebraicas

I. 1. (3x)3 − 2(y − 5)2 = 27x3 − 2(y − 5)(y − 5) = 27y3 − 2y(y − 5) + 10(y − 5) =27x3 − (2y2 − 10y) + 10y − 50 = 27x3 − 2y2 + 10y + 10y − 50 = 27x3 − 2y2 + 20y − 50

2. (6x – 3)(2x + 4) = 6x(2x + 4) − 3(2x + 4) = 12x2 + 24x − 6x − 12 = 12x2 + 18x − 12

3. (x − y)2 − [x + (y − 1)2] = (x − y)(x − y) − x − (y − 1)(y − 1) = x(x − y) − y(x − y) − x − y(y − 1) + (y − 1) = x2 − xy − yx + y2 − x − y2 + y + y − 1 = x2 − 2xy − x + 2y − 1

DESARROLLO

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C14. (x2 − 1)2 + (x3 − 1)2 = (x2 + (−1))2 + (x3 + (−1))2

= x4 + 2x2 (−1) + (−1)2 + x6 + 2x3 (−1) + (−1)2

= x4 − 2x2 + 1 + x6 − 2x3 + 1 = x6 + x4 − 2x3 − 2x2 + 2

5. (x – y)(x + y) = x(x + y) − y(x + y) = x2 + xy − yx − y2

= x2 − y2

6. (x + y)2 = (x + y)(x + y) = x(x + y) + y(x + y) = x2 + xy + yx + y2 = x2 + 2xy + y2

7. (x + 9)(x – 7) = x(x − 7) + 9(x − 7) = x2 − 7x + 9x − 63 = x2 + 2x − 63

8. [x2(y − 1)2]2 = x4(y − 1)4 = x4(y − 1)[(y − 1)(y − 1)2] = x4 (y − 1)[(y − 1)(y2 − 2y + 1)] = x4 (y − 1)[y(y2 − 2y + 1) − y2 + 2y − 1] = x4 (y − 1)(y3 − 2y2 + y − y2 + 2y − 1) = x4 [(y − 1)(y3 − 3y2 + 3y − 1)] = x4 [y(y3 − 3y2 + 3y − 1) − y3 + 3y2 − 3y + 1] = x4 (y4 − 3y3 + 3y2 − y − y3 + 3y2 − 3y + 1) = x4 (y4 − 4y3 + 6y2 − 4y + 1) = x4y4 − 4x4y3 + 6x4y2 − 4x4y + x4

EJERCICIO 2. Página 29 Expresar magnitudes mediante expresiones algebraicas

I. 1.

a) Como el perímetro del terreno mide 220 m, el largo más el ancho mide 110 m, así que el largo mide 110 – x; por lo tanto, denotando por A al área del terreno, se tiene:

A= x(110 − x).

b)

TABLA 1.6

Valor de x (m)

20 25 30 35 40 45 50

Área del terreno (m2)

1800 2125 2400 2625 2800 2925 3000

2. El otro lado mide 3x + 30; así que, denotando por P y A al perímetro y área del rectángulo, respectiva-mente, tenemos:

P = 2x + 2(3x + 30) = 2x + 6x + 60 = 8x + 60 A = x(3x + 30) = 3x2 + 30x

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C1ACTIVIDAD 2. Página 30 Expresar magnitudes mediante expresiones algebraicas

I. 1.

a) De acuerdo con los datos, el ancho y largo (en decímetros) de cada caja miden x + 1 y x + 3; así que, denotando por V al volumen de cada caja, se tiene:

V = x(x + 1)(x + 3).

b)

TABLA 1.7

Valor de x (dm)

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Volumen de la caja (dm3)

30 33.201 36.608 40.227 44.064 48.125 52.416

c) En la tabla se puede observar que, a medida que aumenta el valor de x, el volumen también aumenta; así que, para que su volumen sea de 46 dm3, el alto debe medir entre 2.4 y 2.5 dm3.

Aunque el volumen no crece linealmente con x, podemos decir que el alto debe medir, aproxi-madamente, 2.45 dm.

(Resolviendo la ecuación x(x + 1)(x + 3) = 46, se obtiene x ≈ 2.44837 dm).

PROBLEMA 1. Página 31 Establecer magnitudes mediante expresiones algebraicas I.

1. Como 2 kg de peras estaban al mismo precio que 3 kg de manzanas, el kilogramo de manzanas costó del kilogramo de peras; por lo tanto, denotando por C al costo total, se tiene:

2. Como tres aguacates costaban $80, cada aguacate costaba de $1; por lo tanto, denotando por C al total que pagó por la compra, se tiene:

.

3. Como se supone que la temperatura media mundial se incrementó ºC cada año, denotando por T(2015 + n) a la temperatura en el año 2015 + n, se tiene:

.

ACTIVIDAD 3. Página 32 Expresar magnitudes mediante expresiones algebraicas

II. 1.

a) Si eliminamos las magnitudes de los pasillos, se tiene un terreno de 120 – 5x metros de largo y 40 − x metros de ancho, cuya área es entonces de (120 – 5x) · (40 – x) metros cuadrados. De ésta, no toda es verde ya que ahí están incluidos los 20 triángulos de 3 m de base y 3 m de altura, los

.

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C1cuales no son de área verde. Así que debe restarse el área total de esos 20 triángulos. Después, es necesario añadir las áreas de los 5 cuadrados cuyos lados son iguales a x, los cuales sí son de área verde. Por lo tanto, tenemos:

Total de área verde = .

Ahora, al desarrollar la expresión (120 − 5x)(40 − x) obtenemos:

(120 − 5x)(40 − x) = 120 × 40 − 120x − 200x + 5x2

= 4800 − 320x + 5x2.

Por lo tanto:

Total de área verde = 4800 − 320x + 5x2 − 10 · 9 + 5x2

= 4710 − 320x + 10x2.

Así que, si denotamos por A al total de área verde, la expresión algebraica que muestra A en términos de x está dada por:

A = 10x2 − 320x + 4710.

II. 1. El área total del terreno está dada por:

Área total del terreno = (120 m) × (40 m) = 4800 m2.

a) El porcentaje del total de área verde con respecto al área total del terreno se obtiene dividiendo la primera entre la segunda y multiplicando el resultado por 100, es decir:

b)

TABLA 1.8

Valor de x (m)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Total de área verde (m2)

4400 4252.5 4110 3972.5 3840 3712.5 3590 3472.5 3360

Porcentaje de área verde (%)

91.67 88.59 85.625 82.76 80 77.34 74.79 72.34 70

c) De acuerdo con la tabla, para que el área verde ocupe el 80 % del terreno, el ancho de cada pasillo debe ser de 3 metros.

d) Se puede observar en la tabla que, a medida que x crece, el porcentaje de área verde decrece; así que, para que el área verde ocupe el 85 % del terreno, el ancho de cada pasillo debe medir entre 2 y 2.5 m. También podemos observar que, cuando el ancho de cada pasillo es de 2 m, el porcentaje de área verde está mucho más cerca del 85 %, que cuando el ancho es de 2.5 m; así que podemos decir que, aproximadamente, el ancho debe medir 2.1 m.

(Resolviendo la ecuación 4710 − 320x + 10x2 = 0.85 · 4800, se obtiene x ≈ 2.107556 m).

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C1ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO. Página 33 Expresar magnitudes mediante expresiones algebraicas

I. 1.

a) El largo de la parte donde se construirán los arcos mide (en metros) 4x + 2; además, cada arco ocu-pa un área de . Por lo tanto, si denotamos por A al área de la superficie fuera de los dos arcos circulares, se tiene:

A = (x + 2)(4x + 2) − πx2.

b)

Valor de x (m)

2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

Valor de A (m2)

32.94 35.8 38.73 41.73 44.79 47.92 51.12 54.4 57.73

ACTIVIDAD TIC 1. Página 34 Evaluar expresiones algebraicas

I.

Valor de x –2 –2 –2 –1 –1 –1 1 1 1 1 2 2 2 2

Valor de z –1 2 3 –3 2 3 –3 –1 2 3 –3 –2 1 3

Valor de(x − z)3 − (x3 − z3)

6 –48 –90 –18 –18 –36 36 6 6 18 90 48 –6 18

EJERCICIO 3. Página 35 Realizar operaciones con expresiones algebraicas

I. 1. (ax + by)2 = (ax + by)(ax +by)

= ax(ax + by) + by(ax + by) = a2x2 + abxy + bayx + b2y2

= a2x2 + 2abxy + b2y2

2. (ax − by)2 = (ax + (−b)y)2

= a2x2 + 2a(−b)xy + (−b)2y2

= a2x2 − 2abxy + b2y2

3. (ax + by)3 = (ax + by)(ax + by)2

= (ax + by)(a2x2 + 2abxy + b2y2) = ax(a2x2 + 2abxy + b2y2) + by(a2x2 + 2abxy + b2y2) = a3x3 + 2a2bx2y + ab2xy2 + a2bx2y + 2ab2xy2 + b3y3

= a3x3 + 3a2bx2y + 3ab2xy2 + b3y3

4. (ax − by)3 = (ax + (−b)y)3 = a3x3 + 3a2(−b)x2y + 3a(−b)2xy2 + (−b)3y3

= a3x3 − 3a2bx2y + 3ab2xy2 − b3y3

5. (ax + by)(ax − by) = ax(ax − by) + by(ax − by) = a2x2 − abxy + abxy − b2y2

= a2x2 − b2y2

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C1EJERCICIO 4. Página 35 Realizar operaciones con expresiones algebraicas

I. 1. (x + 2)2 − (x + 1)2 = x2 + 4x + 4 − (x2 + 2x + 1)

= x2 + 4x + 4 − x2 − 2x − 1 = 2x + 3

2. (2x + 4)2 − (2x + 2)2 = 4x2 + 16x + 16 − (4x2 + 8x + 4) = 4x2 + 16x + 16 − 4x2 − 8x − 4 = 8x + 12

II. 1. Denotando por x al menor de los dos números, se tiene:

(x + 1)2 − x2 = 23 x2 + 2x + 1 − x2 = 23 x = 11

Por tanto, los dos números naturales consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 23 son 11 y 12.

2. Denotando por 2x al menor de los dos números, se tiene:

(2x + 2)2 − (2x)2 = 52 4x2 + 8x + 4 − 4x2 = 52 8x + 4 = 52 x = 6

Por tanto, los dos números pares consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 52 son 12 y 14.

Repaso. Páginas 36 y 37

1. a) Sabemos que el tiempo t (en horas) que tarda un móvil en recorrer una distancia d (en kilómetros),

a una velocidad constante v (en km/h), está dado por:

.

Así que, el tiempo T que tarda el automovilista en recorrer toda la autopista está dado por:

.

b)

TABLA 1.9

Valor de x (km/h)

80 85 90 95 100

Tiempo total de recorrido (h)

2.83 2.75 2.67 2.60 2.53

c) Observamos en la tabla que, a medida que x crece, T decrece; así que, para que el tiempo total de recorrido sea de 2 horas y media, el valor de x debe ser ligeramente mayor a 100 km/h.

CIERRE

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C12.

a) [x2 + 5 − (x + 1)2]2 = [x2 + 5 − (x2 + 2x + 1)]2

= (x2 + 5 − x2 − 2x − 1)2

= (4 − 2x)2 = 16 − 16x + 4x2 = 4x2 − 16x + 16

b) 5(x − 2)2 − 3(y − 1)3 = 5(x2 − 4x + 4) − 3(y3 − 3y2 + 3y − 1) = 5x2 − 20x + 20 − 3y3 + 9y2 − 9y + 3 = −3y3 + 9y2 + 5x2 − 9y − 20x + 23

c) (3x + 7)(2y − 3)(z + 4) = (3x + 7)(2yz + 8y − 3z – 12) = 6xyz + 24xy − 9xz − 36x + 14yz + 56y − 21z – 84 = 6xyz + 24xy − 9xz + 14yz − 36x + 56y − 21z − 84

d) 3(x + 9)(x − 6) − 2(x + 8)(x − 3) = 3(x2 − 6x + 9x − 54) − 2(x2 − 3x + 8x − 24) = 3(x2 + 3x − 54) − 2(x2 + 5x − 24) = 3x2 + 9x − 162 − 2x2 − 10x + 48 = x2 − x − 114

e) (2x − 3y)3 = (2x)3 − 3(2x)2(3y) + 3(2x)(3y)2 − (3y)3

= 8x3 − 36x2y + 54xy2 − 27y3

f) [5x2 − (y + z)]2 = (5x2)2 − 10x2(y + z) + (y + z)2

= 25x4 − 10x2y − 10x2z + y2 + 2yz + z2

g) [(x + 5) + (y − 3)][(x + 5) − (y − 3)] = (x + 5)2 − (y − 3)2

= x2 + 10x + 25 − (y2 − 6y + 9) = x2 + 10x + 25 − y2 + 6y − 9 = x2 − y2 + 10x + 6y +16

3. a) (x + y)4 = (x + y)2(x + y)2

= (x2 + 2xy + y2)(x2 + 2xy + y2) = x2(x2 + 2xy + y2) + 2xy(x2 + 2xy + y2) + y2(x2 + 2xy + y2) = x4 + 2x3y + x2y2 + 2x3y + 4x2y2 + 2xy3 + y2x2 + 2xy3 + y4

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 +y4

b) (x + y + z)2 = (x + y + z)(x + y + z) = x(x + y + z) + y(x + y + z) + z(x + y + z) =x2 + xy + xz + yx + y2 + yz + zx + zy + z2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

4. Área de la parte A = x2.Área de la parte B = x(400 − x).Área de la parte C = 400(600 − x).Así que, denotando por V al total que se obtiene por la venta de todo el grano de las 3 cosechas, se obtiene:

V = (7x2) · 15 + [6x(400 − x)] · 30 + [3 · 400(600 − x)] · 40 = 105x2 + 180x(400 − x) + 48 000(600 − x) = 105x2 + 72 000x − 180x2 + 28 800 000 − 48 000x = −75x2 + 24 000x + 2 880 0000

Por tanto, el total que se obtiene por la venta de todo el grano de las 3 cosechas es igual a

−75x2 + 24 000x + 2 880 0000

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C15.

25 L ⁄min = 25 × 60 L ⁄ h = 1500 L ⁄ h

Así que, denotando por C a la cantidad de litros de agua que contendrá la cisterna x horas después de que se comenzó a verter agua en ella, se tiene:

C = 3000 + 1500x.

6. a) (x − y)(x2 + xy + y2) = x(x2 + xy + y2) − y(x2 + xy + y2)

= x3 + x2y + xy2 − yx2 − xy2 − y3

= x3 − y3

b) (x + y)(x2 − xy + y2) = x(x2 − xy + y2) + y(x2 − xy + y2) = x3 − x2y + xy2 + yx2 − xy2 + y3

= x3 + y3

c) (ax + by)2 + (ay − bx)2 = a2x2 + 2abxy + b2y2 + a2y2 − 2abxy + b2x2

= (a2 + b2)x2 + (a2 + b2)y2

= (a2 + b2)(x2 + y2)

d) (ax + by)2 − (ay + bx)2 = a2x2 + 2abxy + b2y2 − a2y2 − 2abxy − b2x2

= (a2 − b2)x2 − (a2 − b2)y2

= (a2 − b2)(x2 − y2)

e) (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3

= (a3 − 3a2b + 3ab2 − b3) + (b3 − 3b2c + 3bc2 − c3) + (c3 − 3c2a + 3ca2 − a3) = −3a2b + 3ab2 − 3b2c + 3bc2 − 3c2a + 3ca2

3(a − b)(b − c)(c − a) = 3(ab − ac − b2 + bc)(c − a) = 3abc − 3a2b − 3ac2 + 3a2c − 3b2c + 3ab2 + 3bc2 − 3abc = − 3a2b + 3ab2 − 3b2c + 3bc2 − 3c2a + 3ca2

f) (a + b + c)3 − 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc = (a + b + c)(a + b + c)2 − 3a(ab + bc + ca) − 3b(ab + bc + ca) − 3c(ab + bc + ca) + 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc) − 3a2b − 3abc − 3a2c − 3ab2 − 3b2c − 3abc

−3abc − 3bc2 − 3ac2 + 3abc = a3 + ab2 + ac2 + 2a2b + 2a2c + 2abc + a2b + b3 + bc2 + 2ab2 + 2abc + 2b2c + a2c + b2c + c3

+ 2abc + 2ac2 + 2bc2 − 3a2b − 3a2c− 3ab2 − 3b2c − 6abc − 3bc2 − 3ac2

= a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3a2b + 3bc2 + 3b2c + 3a2c + 3ac2 + 6abc − 3a2b − 3ab2 − 3a2c − 3ac2 − 3b2c − 3bc2 − 6abc

=a3 + b3 + c3

g) (a + b + c) − 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc − 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2

h) (x2 − y2)(x2 + y2) = x4 + x2y2 − y2x2 − y4

= x4 − y4

i) (x + y + z)(xy + xz + yz) −xyz =(x + y)xz + (x + y)(xy + yz) + zxy + z(xz + yz) −xyz = (x + y)xz + (x + y)(x + z)y + z2(x + y) =(x + y)[xz + ( x + z)y + z2] =(x + y)[(x + z)z + (x + z)y] = (x + y)[(x + z)(y + z)] = (x + y)(x + z)(y + z)

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C17.

a)

TABLA 1.10

Valor de t (s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Altura h (m)

35.1 60.4 75.9 81.6 77.5 63.6 39.9 6.4 0 0

b) Los valores de h primero aumentan y después disminuyen porque la piedra primero sube, hasta llegar a una altura máxima, después de lo cual comienza a bajar.

c) La mayor altura que se observa en la tabla es de 81.6 m; por lo tanto, lo único que puede afirmarse es que la altura máxima que alcanza la piedra es mayor o igual a 81.6 m.

(Se sabe que el tiempo que le lleva a la piedra alcanzar la altura máxima es igual al tiem-po que le lleva bajar desde esa altura hasta el punto desde el cual fue lanzada; resolviendo la ecuación se obtiene s; así que la altura máxima la alcanza s después de que fue lanzada; por lo tanto la altura máxima que alcanza está dada por

).

d) De acuerdo con los datos de la tabla, la piedra llega al punto desde donde fue lanzada en un tiempo t que está entre 8 y 9 s.

(Como dijimos en el inciso d, el tiempo que tarda la piedra en regresar al punto desde donde fue lanzada está dado por ).

8. a) (a + b)2 = (a + b)(a + b)

= a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = (a + b)(a + b)2

= (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = (a + b)(a + b)3 = (a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) = a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + ba3 + 3a2b2 + 3ab3 + b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = (a + b)(a + b)4 = (a + b)(a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4) = a5 + 4a4b + 6a3b2 + 4a2b3 + ab4 + ba4 + 4a3b2 + 6a2b3 + 4ab4 + b5

= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

e) (a − b)2 = (a + (−b))2

= a2 + 2a(−b) + b2

= a2 − 2ab + b2

f) (a − b)3 = (a +(−b))3

= a3 + 3a2(−b) + 3a(−b)2 + (−b)3

=a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

g) (a − b)4 = (a +(−b))4 = a4 + 4a3(−b) + 6a2(−b)2 + 4a(−b)3 + (−b)4

= a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4

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C19.

a) (x + y + z)2 − (x + y)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz − (x2 + 2xy + y2) = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz − x2 − 2xy − y2

= z2 + 2xz + 2yz = z(z + 2x + 2y)

Para evaluar la expresión algebraica conviene entonces considerar la igualdad:

(x + y + z)2 − (x + y)2 = z(z + 2x + 2y).

b) (x + 2)(z − 3) + (x − 5)(z + 1) = xz − 3x + 2z − 6 + xz + x − 5z − 5 = 2xz − 2x − 3z −11

Para evaluar la expresión algebraica conviene entonces considerar la igualdad:

(x + 2)(z − 3) + (x − 5)(z + 1) = 2xz − 2x − 3z − 11

c) x(y − z) + y(x − z) + z(x − y) = xy − xz + yx − yz + zx − zy = 2xy − 2yz = 2y(x − z)

Para evaluar la expresión algebraica conviene entonces considerar la igualdad:

x(y − z) + y(x − z) +z (x − y) = 2y(x − z)

d) x(y − z)2 + y(x − z)2 + z(x − y)2 = x(y2 − 2yz + z2) + y(x2 − 2xz + z2) + z(x2 − 2xy + y2) = xy2 − 2xyz + xz2 + x2y − 2xyz + yz2 + x2z − 2xyz + y2z = x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 − 6xyz = xy(x + y) + xz(x + z) + yz(y + z) − 6xyz

e) (y − z)2 + (x − z)2 + (x − y)2 = (y2 − 2yz + z2) + (x2 − 2xz + z2) + (x2 − 2xy + y2) = 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2xz − 2yz

f) x(y − z) + y(x + z) + z(x − y) = xy − xz + yx + yz + zx − zy = 2xy

Para evaluar la expresión algebraica conviene entonces considerar la igualdad:

(y − z) + y(x + z) + z(x − y) = 2xy.

g) (y − z)3 + (x − z)3 + (x − y)3 = y3 − 3y2z + 3yz2 − z3 + x3 − 3x2z + 3xz2 − z3 + x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 = 2x3 − 2z3 − 3x2y + 3xy2 − 3x2z + 3xz2 − 3y2z + 3yz2 = 2x3 − 2z3 + 3xy(y − x) + 3xz(z − x) + 3yz(z− y)

h) u(x + y)(x − y) − u(x + y)2 = u(x2 − y2) − u(x2 + 2xy + y2) = ux2 − uy2 − ux2 − 2uxy − uy2 = −2uy2 − 2uxy = −2uy(x + y)

Para evaluar la expresión algebraica conviene entonces considerar la igualdad:

u(x + y)(x − y) − u(x + y)2 = −2uy(x + y).

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C1 i) u(v + 1)(w + 1) − uvw − u = u(vw + v + w + 1) − uvw − u

= uvw + uv + uw + u − uvw − u = uv + uw = u(v + w)

Para evaluar la expresión algebraica conviene entonces considerar la igualdad:

u(v + 1)(w + 1) − uvw − u = u(v + w).

j) u3 − v3 + (u − v)(u + v) + u2 + v2 = u3 − v3 + u2 − v2 + u2 + v2

= u3 − v3 + 2u2

Para evaluar la expresión algebraica conviene entonces considerar la igualdad:

u3 − v3 + (u − v)(u + v) + u2 + v2 = u3 − v3 + 2u2.

10. Como por cada 2 ladrillos que coloca Anselmo, Jacinto coloca 3, si Anselmo coloca 2x ladrillos por hora, entonces Jacinto coloca 3x ladrillos por hora.

Por lo tanto, si denotamos por T al total de ladrillos que colocaron el día que se menciona, se tiene:

T = 20 + 6x + 9x + 3x= 18x + 20

ACTIVIDAD DE INTEGRACIÓN. Página 38

I.1. x2+xz2. En la expresión del área, las variables x y z son números generalizados.3. Denotando por A al área total de la superficie cercada, se tiene:

A(x,z) = x2 + xz

4.

TABLA 1.11

Valor de x (m) 35 36 36 37 38 39 40 40

Valor de z (m) 65 61 64 63 67 66 60 70

Área total (m2) 3500 3492 3600 3700 3990 4095 4000 4400

5. El área total del terreno es igual a 200 × 100 = 20 000 m2. La fracción del terreno que ocupa el total del área cercada está dada por la fracción cuyo numerador

y denominador son, respectivamente, el área total de la superficie cercada y el área del terreno. Luego, para cada caso, se obtiene lo siguiente:

CIERRE DE CAPÍTULO

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C1

6.

EVALUACIÓN FINAL. Página 39

I. 1. Escribimos la suma en orden inverso y sumamos cada término del primer renglón con el correspon-

diente término del segundo.

101 + 102 + 103 + 104 + + 997 + 998 + 999 + 1000 1000 + 999 + 998 + 997 + + 104 + 103 + 102 + 101 101 + 1000 = 1101 102 + 999 = 1101 103 + 998 = 1101 104 + 997 = 1101

… … … 997 + 104 = 1101 998 + 103 = 1101 999 + 102 = 1101 1000 + 101 = 1101

Del 101 al 1000 (inclusive) hay 900 términos. Así que:

.

2.

3. El volumen de una esfera es igual a del producto de π por el radio al cubo.

4. a) C = 90x + 100z b) 90x + 100z = 1920

5. a) (x + y)(x + 5)(y − 3) = (x + y)(xy − 3x + 5y − 15) = x(xy − 3x + 5y − 15) + y(xy − 3x + 5y − 15)

= x2y − 3x2 + 5xy − 15x + xy2 − 3xy + 5y2 − 15y = x2y + xy2 − 3x2 + 5y2 + 2xy − 15x − 15y

b) (y − x)2 + (y + x)2 + (y − 1)2 − (y + 1)2 = y2 − 2yx + x2 + y2 + 2yx + x2 + y2 − 2y + 1 − (y2 + 2y + 1) = y2 − 2yx + x2 + y2 + 2yx + x2 + y2 − 2y + 1 − y2 − 2y − 1 = 2x2 + 2y2 − 4y

6. a) 50x + 50(x + 5) + 50(x + 10) = 150x + 750

= 150(x + 5)

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. V.

C1Por tanto, la expresión algebraica que muestra el resultado de la venta de los 150 tamales está

dada por:

150(x+ 5).

b) zx + 2z(x + 5) + 2z(x + 10) = 5zx + 30z = 5z(x + 6)

Por tanto, la expresión algebraica que muestra el resultado de todos los tamales está dada por:

5z(x + 6).

c) 5z + 6(2z) + 7(2z) = 31z

Por tanto, la expresión algebraica que muestra la ganancia que obtiene por la venta de todos los tamales está dada por 31z.