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ESTADSTICA E INTR. A LA ECONOMETRACurso 2008-2009

UNIDAD TEMTICA II:

TEORA DE LA PROBABILIDAD

Tema 6. Concepto de Probabilidad

Notas y resmenes de clase

Estructura del captulo

6.1. Fenmenos aleatorios.

6.2. Definiciones de probabilidad: clsica, frecuencial y subjetiva.

6.3. Definicin axiomtica de probabilidad y propiedades.

6.4. Probabilidad condicionada.

6.5. Independencia de sucesos.

6.6. Teorema de la probabilidad total y de Bayes.

El Clculo de Probabilidades surge en laFrancia del siglo XVII, merced a la labor realizada por matemticos franceses como Pascal y Fermat que realizan el primer estudio sistemtico de un juego de azar, desarrollando un mtodo para calcular las probabilidades de las apuestas en juegos de azar.

6.1. Fenmenos aleatorios

Posteriormente, a lo largo de los siglos XVIII y XIX, los cientficos se dieron cuenta de que hechos como el sexo de un beb al nacer, que un navo naufrague en una travesa o la edad defallecimiento de una persona son fenmenos aleatorios similares a los observados en los juegos de azar y pueden analizarse con las mismas tcnicas.

aleatorio

1. Permiten la repeticin experimental

Relacin aleatoria o estocstica

y = 5 2x + e

2. Permiten la observacin de otros similares

3. Otros

fenmeno Acontecimiento o hecho que se percibe directamente por los sentidos

determinista

Relacin determinista

y = 5 2x

EXPERIMENTO ALEATORIO


Experimento aleatorio

Cualquier experimento en el que no se puede predecir de antemano el resultado del mismo

ESPACIO MUESTRAL

Conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio

SUCESOS o

EVENTOS

Cualquier subconjunto del espacio muestral

Es un acontecimiento que ocurrir o no, dependiendo del azar


PROBABILIDADMedida numrica, entre 0 y 1, que se asigna a un evento de un

fenmeno aleatorio para reflejar la incertidumbre con que dicho evento se manifiesta o pueda manifestarse

TEORA DE LA PROBABILIDADCaracterizar el espacio muestral y asignar probabilidades a los sucesos que lo forman

Constituye la base de la Estadstica, ya que las inferencias que hagamos sobre la poblacin se movern dentro de unos mrgenes de error controlado, el cual ser medido en trminos de probabilidad.

En el fondo, la teora de probabilidad es slo sentido comn expresado en nmeros Pierre Simn Laplace(1749-1827)


JUEGOS DE AZAR9Conocemos todos los posibles resultados 9Los resultados son igualmente posibles9Son mutuamente excluyentes

6.2. Probabilidad clsica

P(A) = N resultados favorables a AN resultados posibles

Ejemplos:

Probabilidad de que salga al menos 1 cara al lanzar dos monedasProbabilidad que obtener nmero par al lanzar un dado correctoProbabilidad de obtener al menos 1 cruz al lanzar tres monedas

6.2. Probabilidad frecuencial o a posteriori

Convergencia a 1/2 de la frecuencia relativa del nmero de caras obtenido en lanzamientos sucesivos de una moneda (simulacin en ordenador).

La Probabilidad de un evento A es el lmite experimental de su frecuencia

P(A) = lmite experimental de ni / nn

es decir, el lmite de las frecuenciasrelativas de la ocurrencia de A cuando el experimento se repite un nmero indefinido de veces bajo las mismas condiciones

Grado de creencia o de conviccin con respecto a la ocurrencia de una afirmacin. Depende de su estado de

informacin.

6.2. Probabilidad subjetiva

ESPACIO MUESTRAL ()

Finito / infinito no numerable / infinito numerable

Discreto / continuo

6.3. Definicin axiomtica de probabilidad y propiedades

EVENTO

O

SUCESO

Suceso imposible Suceso que no ocurre nunca ()Suceso seguro Suceso que ocurre siempre ()Suceso simple o elemental Cada uno de los elementos de Suceso compuesto Grupo de resultados contenidos

en el espacio muestral cuyos elementos tienen una caracterstica comn

El suceso A U B se verifica cuando ocurre uno de los dos o ambosEl suceso AB: se verifica cuando ocurren simultneamente A y BEl suceso A-B: se verifica cuando ocurre A y no B El suceso , contrario de A, se verifica cuando no ocurre A

Operaciones con sucesos: Sean A y B

A


Operaciones con sucesos: Sean A y B Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningn elemento comn.

AB = (A y B son disjuntos)Por lo tanto, no ocurren simultneamente

leyes de De Morgan

El suceso contrario de la unin de dos sucesos es la interseccin de sus sucesos contrarios

El suceso contrario de la interseccin de dos sucesos es la unin de sus sucesos contrarios:


Kolmogorov (1933) Sea el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad es una funcin que transforma sucesos del espacio muestral en nmeros reales que estn entre 0 y 1, que verifica:

1. Cualquiera que sea el suceso A, P(A)02. La probabilidad total es 1, P()=13. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unin es

igual a la suma de sus probabilidades

Si AB = P(AUB)=P(A)+P(B)Esta definicin no dice cmo asignar las probabilidades ni siquiera a los sucesos elementales. Solo dice que cualquier asignacin que hagamos debe verificar estos tres axiomas para que pueda llamarse Probabilidad.


1. P()=0

3. La probabilidad de todo suceso A es un nmero entre 0 y 1:0P(A) 1

2. La probabilidad del complementario de un suceso A es P(A)=1-P(A)

4. Si dos sucesos son tales que A B, entoncesP(A)

5. Regla de la adicin: Si dos sucesos no son incompatibles, la probabilidad de su unin debe calcularse por la siguiente regla:

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

ABABAB

AB


6. Particin finita: Ai, i=1, ..., n

U Ai = y Ai Aj = iji=1i=n

A1 A2 A3 An

P()=P( U Ai )= P(Ai ) = 1i=1i=n

i=1

i=n


P(A/B) = P (A B ) / P(B)

Probabilidad de que ocurra el evento A bajo el supuesto de que haya ocurrido el evento B

6.4. Probabilidad condicionada

Ej.Lanzamiento de un dado:

Probabilidad de obtener seis

Probabilidad de obtener seis sabiendo que el resultado ha sido par

Ej.Seguros:

Probabilidad de tener un accidente

Probabilidad de tener un accidente UN HOMBRE MENOR DE 25 AOS

Vamos a profundizar en estos conceptos por medio de la definicin frecuencialista de probabilidad

gnero/tipo administrativo lnea auxiliar totalhombre 120 150 30 300mujer 50 140 10 200total 170 290 40 500

gnero/tipo administrativo lnea auxiliar totalhombre 0,24 0,3 0,06 0,6mujer 0,1 0,28 0,02 0,4total 0,34 0,58 0,08 1

Frecuencias conjuntas

Frecuencias marginales

P(hombre y administrativo) = 120/500 prob. conjunta

P(hombre) = 300/500 prob. marginal

P(administrativo) = 170/500 prob. marginal

P(hombre / administrativo ) = 120/170 = 0,70 prob. condicional

Tabla de contingencia

Tabla de probabilidades


Prob. Conjunta

P ( Ai Bj ) = nij / nProb. Marginal

P ( Ai ) = ni* / n

P ( Bj ) = n*j / n

Prob. Condicionada

P ( Ai / Bj ) = nij / n*j = P ( Ai Bj )/P(Bj )

B1 B2 ... Bj ... Bk totalA1 n11 n12 n1j n1k n1*A2 n21 n22 n2j n2k n2*...Ai ni1 ni2 nij nik ni*...Al nl1 nl2 nlj nlk nl*

total n*1 n*2 n*j n*k n

ni* = j nijn*j = i nij


REGLA DE LA MULTIPLICACIN

P ( A B ) = P(A) P ( B / A ) = P ( B ) P (A /B ) P ( A B C ) = P(A) P ( B/ A) P (C / A B )

P ( A / B ) =P(B )

P ( A B)P ( B / A ) =

P(A )

P ( A B)


Dos eventos A y B, , son independientes si P(A)=P(A/B) y P(B)=P(B/A)

P ( A B ) = P(A) P(B)

Los eventos A ,B y C, , son mutuamente independientes si P ( A B C ) = P(A) P(B) P(C)

P ( A B ) = P(A) P(B) P ( A C ) = P(A) P(C)P ( B C ) = P(B) P(C)

6.5. Independencia de sucesos

Si B1, B2 ,..., Bk constituyen una particin finita del espacio muestral,

U Bi = BiBj = ij

P(A) = P ( A Bi ) = P (Bi) P(A/Bi )

6.6. Teorema de la Probabilidad Total

B1 Bj Bk

AA

Bj

A = (A B1) U (A B2) ...U (A Bk)

A

TEOREMA DE BAYES

P(Bj /A) =P (Bj )P(A/B j) P (Bi) P(A/Bi )

6.6. Teorema de Bayes

B1 Bj Bk

AA

Bj

Novales (1996), captulo 4

Bibliografa

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0278-01/indice.html

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