Conceptos y Algoritmos de Planos Cortantes

Profesor: Juan Eduardo Pérez Retamales

CONCEPTOS Y ALGORITMOS DE PLANOS CORTANTES

Métodos y Heurísticas para Programación Entera

Conceptos y Definición

Típico problema, pero usamos la notación de conjunto.

La idea es enfocarnos en la formulación.

max

. .

{ | , }

t

n

c x

x

z

s a

X

X x Ax b x

Conceptos y Definición

( ) { |    , 0}conv X x Ax b x

Definición: Envoltura convexa.

Conceptos y Definición

Envoltura convexa: cual podemos expresar como la típica combinación convexa de vértices.

1 1

( ) { | · ; 1 ; 1, , }

n

t ti

i ii i

X

conv X x x x i t

Conceptos y Definición

Lo cual se hace sobre todos lo conjuntos finitos

1{ , , }tx x X

Idea de fondo

Si los vértices son enteros, entonces puedo solucionar el problema lineal y obtener la solución óptima.

El problema es …

Sabemos que con la envoltura convexa, cualquier solución del problema relajado será entera.

X es el conjunto de TODOS los vértices. Luego, es equivalente o peor que Simplex.

Solución – ¡Planos cortantes!

Planos cortantes en las formulaciones

¿Qué son y que pretenden los planos cortantes?

Son restricciones que sirven para mejorar la formulación. Es decir, hacer el dominio del problema sea menor y lo mas cercano posible a la envoltura convexa.

Es decir, es difícil encontrar la envoltura convexa. Así, tratemos de “acercarnos” lo más posible.

Planos cortantes en las formulaciones

Definición: Desigualdad válida.

0

0

Una desigualdad   es una desigualdad válida para

X si x Xn

x

x

¿Cuál es una formulación buena o útil?

Si conozco alguna desigualdades válidas, ¿cómo las puedo usar para resolver mi problema?

Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY

5

1 2 3 4 5{ {0,1} | 3· 4· 2· 3· 2}X x x x x x x

Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY

{( , ) | · ; 0 5 ; {0,1} }X x y x M y x y

Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY

1{( , ) | 10· ; 0 14 ; }X x y x y x y

14 4(2 )x y

Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY

En el caso general, cuando c no divide a b

1{( , ) | · ; 0 ; }

( ) 1 ·

X x y x c y x b y

b bx b k y k b c

c c

Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY

4X P4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

{ : 13· 20· 11· 6· 72}

Dividiendo por 11

13 20 11 6 72· · · ·

11 11 11 11 11Puesto que 0, si se redondea superior el lado izquierdo

722· 2· 1

El caso anterior se da en muchos

· 1·11

P x x x x x

x x x x

x

x x x x

1 1

1

1

problemas,

como por ejemplo, el problema generalizado de transporte (modificado)

min ·

· 1, ,

1, ,

n m

ij iji j

n

i ij ji

cap camion

m

ij ij

ij

z c x

C x d j m

x a i n

x

Procedimiento Chvatal-Gomory

Procedimiento Chvatal-Gomory

Procedimiento Chvatal-Gomory

Procedimiento Chvatal-Gomory

0

0

 la solución óptima

- Si  , resolver la separación del problema para

y la familia .

- S

0

Resolver el problema lineal

max{ | }

-

i una desigua

Se

lda

a

( , )d

t t

t

t n

t

t

t

P P

t

z cx x P

F

x

x

x

Inici

Iterac

alizaci

n

n

ó

ió

01

0

 es tal que  · .

{ | · }

y aumenta .

- para todo el resto detenerse.

t t t

t t t t t

F x

P P x x

t

Procedimiento Chvatal-Gomory

Si el procedimiento terminó sin encontrar una solución óptima, entonces igualmente la formulación que se genera por introducir las desigualdades encontradas es mejor que la formulación original.

Candidato para partir con fuerza bruta (Branch and Bound)

1

0{ | · ; 1, , }t t i tP P x x i t