Concreto Protendido - Prof. Glauco

Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 1

CONCRETO PROTENDIDO

Prof. Glauco José de Oliveira Rodrigues

Rev. 0 (09/10/2008)


Capítulo 1 INTRODUÇÃO

1.1 - Conceitos gerais Concreto protendido pode ser definido como um concreto submetido a um estado permanente de tensões internas, introduzidas por uma armadura previamente tracionada, que se opõem, até limites desejados, às tensões provocadas por cargas externas. A protensão pode ser introduzida, por exemplo, com o objetivo de eliminar as tensões de tração provocadas pelas cargas externas, evitando a fissuração. O concreto pode portanto ser tratado como um material elástico e linear desde que as tensões de compressão não atinjam valores elevados (< 0,5 fck ). Neste caso, a análise das tensões e deformações pode ser feita facilmente empregando conceitos básicos da resistência dos materiais. Seja, por exemplo, a viga abaixo, protendida com um cabo reto localizado a uma distância e (excentricidade) do eixo baricêntrico da seção transvesal. Sendo: P = força de protensão M = momento fletor causado pela carga q I = momento de inércia da seção transversal de concreto A = área da seção transversal de concreto as tensões resultantes que atuam a uma distância y do cg da seção serão dadas por

I

My

I

Pey

A

P ±±−=σ

onde M é o momento causado pela carga não balanceada q.

ecg c

cyP P

+ + =

-P/A Pec/I -Mc/I - P/A + Pec/I - Mc/I

-P/A -Pec/I Mc/I - P/A - Pec/I + Mc/I

q

Figura 1.1 – Tensões no estádio I numa viga protendida


cgP P

qb

l

f

Figura 1.2 – Carga equivalente exercida por um cabo parabólico numa viga protendida

Deve-se ressaltar que os conceitos apresentados acima só são válidos para peças no estado não fissurado e sujeitas a tensões de compressão não muito elevadas onde a relação tensão-deformação do concreto ainda pode ser considerada linear. 1.2 - Classificação a) Concreto protendido com aderência inicial (Armadura de protensão pré-tracionada) Aquele em que o estiramento da armadura de protensão é feito utilizando-se apoios independentes da peça, antes do lançamento do concreto, sendo a ligação da armadura de protensão com os referidos apoios desfeita após o endurecimento do concreto; a ancoragem realiza-se apenas por aderência. b) Concreto protendido com aderência posterior (Armadura de protensão pós-tracionada) Aquele em que o estiramento da armadura de protensão é feito após o endurecimento do concreto, utilizando-se como apoios partes da própria peça, criando-se posteriormente aderência com o concreto de modo permanente. c) Concreto protendido sem aderência (Armadura de protensão pós-tracionada) Aquele obtido como em (b), porém sem a aderência com o concreto criada após o estiramento. 1.3 - Sistemas e equipamentos de protensão A protensão é um esforço aplicado a uma peça de concreto com a finalidade de anular ou reduzir as tensões de tração, melhorando assim o comportamernto da mesma (Fig. 1.3). Entre vários processos de aplicação da protensão, o mais comum é por meio de cabos de aço, esticados e ancorados no concreto.

P

Figura 1.3 - Exemplo de aplicação de uma força de protensão numa viga


1.3.1 - Métodos de aplicação da protensão com cabos de aço a) Protensão mecânica A protensão mecânica é aplicada através de macacos hidráulicos. Ela pode ser feita com a armadura pré-tracionada ou pós-tracionada. No caso da armadura pré-tracionada (Fig. 1.4), o cabo é esticado e ancorado em apoios provisórios (Leito de protensão). Em seguida, a viga é concretada e, após o endurecimento do concreto, o cabo é cortado. A transferência da força de protensão para a viga é feita através da aderência cabo/concreto. No caso da armadura pós-tracionada (Fig.1.5), o cabo é esticado após o endurecimento do concreto, utilizando-se a própria viga como apoio definitivo para ancoragem do cabo. A protensão mecânica tem se revelado como a mais viável técnica e economicamente. b) Protensão por meio de aquecimento da armadura Neste método de protensão a barra de aço é envolvida por um material termoplástico (enxofre, ligas de baixo ponto de fusão) como ilustrado na Figura 1.6. A peça é concretada com a barra no seu interior. Após o endurecimento do concreto, a armadura é aquecida por meio de uma corrente elétrica. Com o aquecimento o material termoplástico funde permitindo assim o alongamento da armadura. A barra, ainda aquecida, é ancorada com porcas nas extremidades rosqueadas. Com o resfriamento, a protensão se desenvolve e a aderência é restaurada com a solidificação do material termoplástico. c) Método "Preflex" (Baes and Lipski, 1953) Este método é empregado em vigas compostas de concreto e de um perfil estrutural de aço de alta resistência. O perfil de aço é carregado como indicado na Figura 1.7 e o flange tracionado é então revestido com concreto de alta resistência. Após o endurecimento do concreto, a carga é removida, a tração no flange de aço é aliviada e o concreto passa a ser comprimido. Em seguida, a viga é montada na estrutura e o restante dela é concretado. A viga de aço deve ser construída com contraflecha.

PCabo

Figura 1.4 - Protensão com armadura pré-tracionada

PCabo

Figura 1.5 - Protensão com armadura pós-tracionada


Rosca

Barra de aço

Materialtermoplástico

Figura 1.6 - Protensão por meio de aquecimento da armadura

Flange tracionado

Aço de alta

resistênciaConcreto

Figura 1.7 - Protensão pelo método "Preflex" 1.3.2 - Sistemas de protensão com armadura pré-tracionada Normalmente emprega-se um leito de protensão (Fig. 1.8) onde os cabos, retos ou poligonais, ssão esticados e ancorados em apoios provisórios. Os equipamentos empregados consistem de macacos hidráulicos e dispositivos para mudança de direção dos cabos (desviadores). A aplicação da força de protensão é feita esticando-se uma cordoalha ou fio de cada vez com macacos de pequena capacidade ou empurrando-se a ancoragem móvel (Fig. 1.9) com um conjunto de macacos. Esse sistema é ideal para fábricas de peças pré-moldadas protendidas. As ancoragens empregadas são reaproveitadas e são, geralmente, do tipo barrilete/cunha (Fig. 1.10).

P

Leito de protensão Desviador

Figura 1.8 – Leito de protensão para armadura pré-tracionada

Macaco

Ancoragem móvel

Cabo

Figura 1.9 – Protensão com ancoragem móvel


BarrileteCunha

Fio ou cordoalha

Figura 1.10 – Ancoragem com barrilete e cunha 1.3.3 - Sistemas de protensão com armadura pós-tracionada A protensão pode ser feita com cabos internos ou externos. No primeiro caso, os cabos são colocados no interior da peça, envolvidos por bainhas metálicas. Após a protensão, aplicada depois do endurecimento do concreto, a bainha é preenchida com nata de cimento. Os cabos externos são colocados externamente, normalmente envolvidos por bainhas de polietileno a fim de protegê-los contra a corrosão. A Figura 1.13 mostra diversas opções para a distribuição dos cabos e ancoragens em peças com armadura pós-tracionada. Principais formas de ancoragens de fios e cordoalhas a) Pela ação de cunha (Fig. 1.12) b) Por pressão direta de placas aparafusadas ou rebitatadas (Figs. 1.13 e 1.14) c) Por aderência ou por meio de alças, também chamadas de ancoragens passivas (Fig. 1.15)

Bloco fixo Bloco móvel

Cabo concentrado com

ancoragens concentradas

Cabos isolados com

ancoragens isoladas

Cabos concentrados com

ancoragens isoladas

Cabos isolados com

ancoragens concentradas

Figura 1.11 - Categorias de cabos e ancoragens


Bloco de ancoragem

Cone

Cordoalha ou fio

Barra Dywidag

Placa deancoragem

Porca

Figura 1.12 - Ancoragem pela ação de cunha Figura 1.13 - Ancoragem com placas aparafusadas

Placas de aço

Fios

Figura 1.14 - Ancoragem com placas rebitadas (Sistema PRESCON-BBRV)

FioFio ou cordoalha

Chapa de aço

(a) (b)

Figura 1.15 - Ancoragem morta (a) por aderência (b) por meio de alças


1.4 – Fases da Protensão 1.4.1 – Montagem das armaduras

Consiste na montagem das armaduras passivas e fixação das bainhas seguindo o traçado definido pelo projeto . As bainhas podem ser fixadas aos estribos, com ou sem as cordoalhas no seu interior, dependento do traçado e da extensão do cabo. 1.4.2 – Montagem das formas e concretagem


1.4.3 – Protensão 1.4.4 – Criação da aderência (injeção da nata de cimento na bainha)


1.5 – Vantagens e desvantagens do uso do concreto protendido 1.5.1 – Vantagens:

� Eliminação da fissuração: O grande inconveniente do concreto armado, é que sua armadura somente começa a trabalhar quando a peça é solicitada, e com isto, pelo efeito da aderência, a deformação do concreto acompanha a do aço, acarretando tensões de tração não só no aço como no concreto, levando-o à fissuração. Com isto, o concreto armado perde duas de suas capacidades vitais: Proteção da armadura e seção colaborante para inércia, acarretando maiores tensões e deformações;

� A prévia compressão do concreto protendido, combate futuras tensões de tração pois não permite (ou pouco permite) que a seção seja tracionada e sim, descomprimida.

� Redução das dimensões da seção transversal: O emprego obrigatório de aços de alta resistência, associado a concretos de maior resistência, permite a redução das dimensões da seção transversal, com redução substancial do peso próprio.

� Diminuição da flecha: A protensão praticamente elimina a presença de seções fissuradas. Tem-se, assim, redução da flecha por eliminar a queda da rigidez a flexão correspondente à seção fissurada.

� Desenvolvimento de métodos construtivos: A protensão permite criar sistemas construtivos diversos: balanços sucessivos, premoldados, etc.

1.5.2 – Desvantagens:

� Corrosão do aço de protensão: Assim como os aços do concreto armado, as armaduras de protensão também sofrem com a corrosão eletrolítica. Além disso apresentam outro tipo de corrosão, denominada de “corrosão sob tensão” (stress-corrosion) fragilizando a seção da armadura, além de propiciar a ruptura frágil, motivo pelo qual a armadura protendida deve ser muito bem protegida;

� Perdas da força de protensão: são todas as perdas verificadas nos esforços aplicados aos cabos de protensão;

� Qualidade da injeção de nata nas bainhas e da capa engraxada nas cordoalhas engraxadas; � Forças altas nas ancoragens; � Controle de execução mais rigoroso, carecendo de mão de obra especializada;


Capítulo 2 MATERIAIS

2.1 – CONCRETO Todas as propriedades do concreto, utilizadas nas estruturas de concreto armado, são replicadas nas estruturas de concreto protendido. Entretanto, duas delas têm significado especial ao serem computadas as perdas devidas à protensão, que serão detalhadas à diante. Trata-se de Retração e da Fluência do concreto, descritas à seguir: 2.1.1 - Retração do concreto A quantidade de água empregada na fabricação do concreto é sempre maior do que a quantidade necessária para as reações químicas com o cimento. A água em excesso é necessária para dar trabalhabilidade ao concreto fresco. Em contato com o ar, o concreto perde parte da água não fixada quimicamente durante sua secagem ocorrendo assim uma diminuição do seu volume. Se o concreto for imerso em água, ocorre o fenômeno inverso denominado expansão (Fig.2.1). A retração é, portanto, a deformação independente de carregamento provocada pela perda da água livre quando o concreto se encontra em contato com o ar. Parte da retração é irreversível. Fatores que influenciam a retração 1. Idade do concreto: a retração aumenta com a idade. 2. Umidade do meio ambiente: a retração aumenta com a diminuição da umidade. 3. Espessura da peça: a retração aumenta com a diminuição da espessura da peça. 4. Composição do concreto: a retração aumenta com o consumo de cimento e com o aumento do

fator água/cimento. 5. Temperatura do meio ambiente: a retração aumenta com a temperatura,

8 164 12 20 (meses)

-0.4

-0.6

-0.2

Ret

raçã

o

0.2

0

-0.8

Expa

nsão

(% )ε o

Na água

No ar (umidade relat iva 70%, 18 C)

No arNa águao

Figura 2.1 - Retração e expansão de um concreto com teor de cimento de 300 kg/m3


2.1.2 - Fluência A fluência pode ser definida como o aumento de deformação quando o material se encontra sujeito a uma tensão constante. No concreto ela ocorre porque as camadas de água adsorvida se tornam mais finas entre as partículas de gel as quais transmitem as tensões. A Figura 2.2 mostra a evolução das deformações ao longo do tempo quando o concreto se encontra sujeito a uma tensão constante σ1 aplicada no instante t1. As deformações εci1 e εci2 são deformações instantâneas provocadas pela aplicação e retirada da tensão σ1 respectivamente. A deformação εcc representa a fluência do concreto e é composta de três parcelas. A deformação εcr representa a fluência recuperável e a deformação εcf corresponde à parcela irrecuperável da fluência.

t t1 2

t t1 2

1

Tempo

Tempo

σ

ε

σ

ccε

ci1ε

ci2ε

crε

cfε

Figura 2.2 – Deformações no concreto ao longo do tempo 2.1.3- Cálculo da fluência e retração do concreto O cálculo analítico da fluência e retração do concreto pode ser feito de acordo com o método da NBR 6118:2003, Anexo A, e com o programa Reolog. O cálculo aproximado, pela utilização da tabela 8.1 da NBR 6118:2003.

Umidade ambiente (%) 40 55 75 90

Espessura fictícia u

Ac2 (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60

5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6

( )0,tt∞ϕ

60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09

( ) 000

0,ttcs ∞ε t0

(dias)

60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09


2.2 - AÇOS PARA PROTENSÃO

2.2.1 – Fios encruados a frio por trefilação

Classificação (NBR 7482)

• Conforme a resistência à tração, classificam-se nas categorias CP150, CP160 e CP170 • Conforme o comportamento à relaxação, classificam-se em relaxação normal (RN) e relaxação

baixa (RB)

São fabricados com diâmetros de 4, 5, 6, 7 e 8 mm (pela Belgo-Mineira)

Designação:

2.2.2 – Cordoalhas

Cordoalha de sete fios Constituída de sete fios de mesmo diâmetro nominal, encordoados, numa forma helicoidal, em torno de um fio central

Cordoalha de dois e três fios Constituída de dois ou três fios de mesmo diâmetro nominal, encordoados numa forma helicoidal

Classificação (NBR 7482)

• Cordoalha de sete fios: CP-175 RN ou RB; CP-190 RN ou RB

• Cordoalha de dois ou três fios: CP-180 RN

2.2.3 – Propriedades mecânicas

fpyk = valor característico da resistência de escoamento

fpyd = valor de cálculo da resistência de escoamento

fptk = valor característico da resistência à tração

fptd = valor de cálculo da resistência à tração

fpyd = fpyk / γs fptd = fptk / γs γs = 1,15

fpyk é um valor convencional correspondente à deformação permanente de 0,2%, que é também

considerado como a tensão correspondente a um alongamento total de 1%.

Módulo de elasticidade: Ep = 210000 MPa para fios

Ep = 195000 MPa para cordoalhas

CP-160 RN 5

Diâmetro

Relaxação normal

Limite de resistência = 1600 MPa

Concreto protendido


Relação tensão-deformação

ε p

ε uk

σp

fptk

fpyd

fpyk

pE

fptd

ε yd εuk = 50‰

Figura 2.3 – Relação tensão-deformação simplificada para os aços de protensão 2.2.4 – Relaxação do aço (NBR 7197/89)

O comportamento reológico dos aços de protensão é de suma importância para a análise e cálculo de peças de concreto protendido. A perda de tensão do aço sob deformação constante define a relaxação desse aço.

A relaxação dos aços é determinada por meio de ensaios padronizados, medindo a perda de tensão em 1.000 horas numa temperatura ambiente de C020 , relativa a uma carga igual a 80% da carga de ruptura do aço. A NBR 7197/1989 prescreve a sistemática para a execução desses ensaios.

Os aços de relaxação baixa são obtidos por meio de um tratamento termo-mecânico, e apresentam apenas 20% da relaxação dos aços RN. As cordoalhas e fios não apresentam comportamento diferenciado quanto à relaxação, pois a temperatura durante o processo de estabilização produz uma acomodação dos fios que compõem as cordoalhas.

Os aços de RB (aços estabilizados por processo termo-mecânico) possuem melhor desempenho para condições normais de aplicação, o que também ocorre para condições excepcionais, como no caso de temperaturas mais elevadas. A intensidade da relaxação do aço é determinada pelo coeficiente ( )0,ttψ , que depende do tipo de protensão, pré-tensão ou pós-tensão, e é influenciado pelas perdas imediatas de protensão, sendo definido por:

pi

opro

tttt

σσ

ψ),(

),(∆

=

onde ( )0,ttprσ∆ é a perda de tensão por relaxação pura (com comprimento constante) desde o

instante 0t do estiramento da armadura até o instante t considerado, e piσ é a tensão na armadura

no instante de seu estiramento. Para piσ variando entre ptkf5,0 e ptkf8,0 , pode-se adotar os valores

dados na Tabela 2.1.


Tabela 2.1 - Coeficientes de relaxação 1000ψ em percentagem.

Cordoalhas Fios piσ

RN RB RN RB

Barras

ptkf5,0 0 0 0 0 0

ptkf6,0 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5

ptkf7,0 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0

ptkf8,0 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0

Para tempos diferentes de 1.000 horas, com temperatura constante e igual a C020 , o

coeficiente de relaxação pode ser obtido por meia da expressão (t e t0 em horas): 150

01000 1000

,

o

tt)t,t(

−=ψψ

A NBR 6118/2002 admite que para 18740=∞t dias, tempo equivalente a um pouco mais de 50 anos, que a relaxação atinja seu valor final, dado por:

150

1000 1000

000450000450

,.

).(

== ∞ ψψψ

donde tem-se 10005,2 ψψ =∞ . Como os valores e equações apresentados anteriormente apresentam embasamento teórico empírico, é comum, na prática, a utilização de valores estimados para perda de tensão pela relaxação do aço, conforme será visto no capítulo 4 à diante. 2.2.5 – Cordoalhas para protensão


DIÂM

NOM.

ÁREA

APROX.

ÁREA

MÍNIMA

MASSA

APROX.

CARGA

MÍNIMA DE

RUPTURA

CARGA MÍNIMA A

1% DE

ALONGAMENTO

ALONG.

APÓS

RUPT. CORDOALHAS

(mm) (mm2) (mm2) (kg/km) (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%)

CORD CP 190 RB 3x3,0





6,5

7,6

8,8

9,6

11,1

21,8

30,3

39,6

46,5

66,5

21,5

30,0

39,4

46,2

65,7

171

238

312

366

520

40,8

57,0

74,8

87,7

124,8

4.080

5.700

7.480

8.770

12.480

36,7

51,3

67,3

78,9

112,3

3.670

5.130

6.730

7.890

11.230

3,5

3,5

3,5

3,5

3,5

CORD CP 190 RB 7

CORD CP 190 RB 7

CORD CP 190 RB 7

CORD CP 190 RB 7

CORD CP 190 RB 7

CORD CP 190 RB 7

6,4*

7,9*

9,5

11,0

12,7

15,2

26,5

39,6

55,5

75,5

101,4

143,5

26,2

39,3

54,8

74,2

98,7

140,0

210

313

441

590

792

1.126

49,7

74,6

104,3

140,6

187,3

265,8

4.970

7.460

10.430

14.060

18.730

26.580

44,7

67,1

93,9

126,5

168,6

239,2

4.470

6.710

9.390

12.650

16.860

23.920

3,5

3,5

3,5

3,5

3,5

3,5

TENSÃO MÍNIMA DE RUPTURA

TENSÃO MÍNIMA A 1% DE

ALONGAMENTO FIOS D

IÂM

ETR

O

NO

MIN

AL

(mm

)

ÁR

EA

AP

RO

X.

(mm

2 )

ÁR

EA

MÍN

IMA

(m

m2 )

MA

SS

A

AP

RO

X.

(kg/

km)

(MPa) ( kgf/mm 2 ) (MPa) ( kgf/mm 2 ) ALO

NG

. AP

ÓS

R

UP

TU

RA

(%

)

CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0

CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0

CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0

CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0

CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0

CP 175RBE CP 175RBE CP 175RBE

4,0 5,0 6,0

12,6 19,6 28,3

12,3 19,2 27,8

99 154 222

1.750 1.750 1.750

175 175 175

1.580 1.580 1.580

158 158 158

5,0 5,0 5,0

CP 175RBL CP 175RBL

5,0 6,0

19,6 28,3

19,2 27,8

154 222

1.750 1.750

175 175

1.580 1.580

158 158

5,0 5,0

CP 175RNE CP 175RNE CP 175RNE

4,0 5,0 6,0

12,6 19,6 28,3

12,3 19,2 27,8

99 154 222

1.750 1.750 1.750

175 175 175

1.490 1.490 1.490

149 149 149

5,0 5,0 5,0


Capítulo 3 HIPÓTESES BÁSICAS DE DIMENSIONAMENTO

3.1 – Introdução A análise das tensões numa viga de concreto protendido é feita admitindo-se as seguintes hipóteses:

1 - As seções planas permanecem planas 2 - A relação tensão-deformação dos materiais é linear 3 - As propriedades das seções são baseadas na seção bruta de concreto 4 - As mudanças de tensões na armadura de protensão causadas por cargas aplicadas são desprezíveis

Convenção de sinais • Tensão: (+) tração; (−) compressão • Momento: (+) quando tracionar as fibras inferiores; (−) quando tracionar as fibras superiores • Distância até o centro de gravidade da seção: (+) abaixo da LN; (−) acima da LN • Força de protensão: (−) Flexão reta

I

My

I

Pey

A

P)y( ++=σ

Onde: A = a seção bruta de concreto I = momento de inércia da seção bruta P = força de protensão Flexão oblíqua

y

y

x

x

y

y

x

x

I

xM

I

yM

I

yPe

I

xPe

A

P)y,x( ++++=σ

onde: Mx e My são momentos causados por cargas aplicadas Ix é o momento de inércia em torno do eixo x Iy é o momento de inércia em torno do eixo y EXEMPLO 3.1 Dada a viga abaixo, determinar as tensões na seção mais solicitada, nas seguintes situações: a) Considerando cabo reto centrado; b) Considerando cabo reto excêntrico; c) Estimando em 15% as perdas de protensão;

cg

A p

ye

σ(y)

cg

A p

y

x

xM

My

xeey


q = 36 kN/m – sobrecarga acidental fck = 30MPa

( )fckMPaT %103max =σ – tensão máxima à tração permitida

( )fckMPaC %5015max =σ – tensão máxima à compressão permitida

b = 1.00m ; h = 1.20m; L = 20.0m Determinação das características geométricas da seção transversal:

22,12,10,1 mA =×= (área)

43

144,012

2,10,1mI =×= (momento de inérica)

324,0

2

2,1144,0

mW == (módulo resistente elástico)

Determinação da carga devida ao peso próprio da viga:

3/25 mkNc =γ

mkNAg c /302,125 =×== γ

Determinação do momento fletor máximo na seção mais solicitada:

kNmM g 15008

0,2030 2

=×=

kNmM q 18008

0,2036 2

=×=

Cálculo das tensões normais máximas na seção mais solicitada:

( )MPamkNg 25,6/625024,0

1500 2==σ

( )MPamkNq 5,7/750024,0

1800 2==σ

Devido à simetria da seção (retangular), os valores de tensões são iguais (em módulo) em ambas os bordos (superior e inferior). Devido ao fato de se tratar de uma viga bi-apoiada com carregamento transversal vertical ditribuído para baixo, as tensões no bordo inferior são trativas (+) e no bordo superior, compressivas (-).

b

h

q

L


Combinação de tensões devidas à g e q na seção mais solicitada: O objetivo é protender a viga de modo à eliminar a tensão trativa no bordo inferior (limitada em 3MPa). a) 1ª hipótese: considerando cabo reto centrado: Para que se anulem as tensões de tração no bordo inferior, é necessária uma tensão de protensão (compressiva) de mesmo valor, que levará a uma força de protensão P, calculada da seguinte forma:

( )tkNmmkNPAPA

PP 1650165002,1/13750 22 =×=∴=∴= σσ

Combinação de tensões devidas à g, q e P na seção mais solicitada:

1,20m + =

-6,25MPa

6,25MPa

-7,5MPa

7,5MPa

-13,75MPa

13,75MPa

(g) (q) (total)

1,20m + =

-6,25MPa

6,25MPa

-13,75MPa

-13,75MPa

-20MPa

-7,5MPa

(g) (P) (parcial)

1ª Fase

1,20m + =

-20MPa

-7,5MPa

-7,5MPa

7,5MPa

-27,5MPa

0

(parcial) (q) (total)

2ª Fase

-13.75MPa

P P 0.6m

0.6m


Nota-se que há excesso de tensão de compressão no bordo superior (27,5MPa), pois o limite para tensões compressivas é ( )fckMPaC %5015max =σ , conforme dado no enunciado. Sugere-se

então, baixar a posição do cabo, de modo a induzir uma excentricidade “e” em relação à posição do cg, na aplicação da força de protensão “P”, calculada anteriormente. b) 2ª hipótese: considerando cabo reto excêntrico:

Onde: M=momento que surge devido à excentricidade e; M=Pe Conforme visto anteriormente, a tensão trativa no bordo inferior deve ser nula, portanto, considerando-se o somatório das tensões atuantes no bordo inferior, temos na seção mais solicitada:

0=iσ

ePqgi σσσσσ +++=

0=++

∑

+ ePqg

i

σσσσσ43421

0=++∑i

i W

Pe

A

Pσ

( ) ( )tkNMNPP

W

e

A

P

i

i 4724719719,4

24,0

5,0

20,1

15,725,6

1=−−=∴

+

+−=∴+

−= ∑σ compressão

Observa-se que a força de protensão necessária, nesta hipótese (472t), é bem menor que a necessária na hipótese anterior (1650t), aproximadamente 29%.

Combinação de tensões devidas à g, q e P na seção mais solicitada:

( )

( )MPamkNW

Ne

A

N

MPamkNW

Ne

A

N

iP

sP

8,13/75,1376324,0

5,04719

20,1

4719

9,5/75,589824,0

5,04719

20,1

4719

2

2

−−=×−−=−−=

=×+−=+−=

σ

σ

As tensões devidas à g e q, serão mantidas conforme calculado anteriormente. À elas será adicionada a tensão devida à força de protensão que, por sua vez, é composta de duas parcelas de tensão normal. A primeira parcela é devida à compressão axial exercida pela força de protensão na seção transversal. A segunda, devida ao momento fletor decorrente da excentricidade na aplicação desta força axial. Deste fato, decorre ser a protensão um problema de flexão composta.

0.6m

e=0.5m

0.1mm

P P M

P =


O cálculo das tensões é feito em duas etapas: Na primeira etapa, denominada transferência, atuam g e P. Em seguida, na segunda etapa, atua q.

A tensão admissível a compressão ( )fckMPaC %5015max =σ , foi respeitada, uma vez que MPas 85,7−=σ .

Da mesma forma, a tensão admissível à tração ( )fckMPaT %103max =σ , também foi respeitada, uma vez que não surgiram tensões trativas.

c) 3ª hipótese: estimando em 15% as perdas de protensão: Conforme será estudado mais detalhadamente à diante, uma parcela da força de protensão P, aplicada pelo macaco hidráulico no cabo de aço, se perde desde o ponto de aplicação da força de protensão (seção extrema), até a seção mais solicitada. Para efeito de consideração das perdas, vamos estimá-las, inicialmente em 15%, e reavaliar o comportamento da seção mais solicitada quando consideradas as perdas de protensão. Desta forma, a força de protensão original reduzida em 15%, e as tensões devidas à ela na seção mais solicitada seriam:

471985,0 ×=P kNP 4011=

( )

( )MPamkNW

Ne

A

N

MPamkNW

Ne

A

N

iP

sP

7,11/75,1169824,0

5,04011

20,1

4011

5/75,501324,0

5,04011

20,1

4011

2

2

−−=×−−=−−=

=×+−=+−=

σ

σ

1,20m + =

-6,25MPa

6,25MPa

5,9MPa

-13,8MPa

-0,35MPa

-7,55MPa

(g) (P) (parcial)

1ª Fase

1,20m + =

-0,35MPa

-7,55MPa

-7,5MPa

7,5MPa

-7,85MPa

-0,05MPa


2ª Fase


Observamos que, mesmo estimando-se as perdas em 15% (valor adotado na prática, maior

do que o que ocorrerá na realidade), os limites de tensão trativa ( )fckMPaT %103max =σ e

compressiva ( )fckMPaC %5015max =σ , foram respeitados pelas tensões finais atuantes, respectivamente 2,05 MPa e 8,75MPa.

EXEMPLO 3.2 Dada a viga do exemplo anterior, determinar as tensões na seção à ¼ do vão bem como na seção do apoio, desprezando-se as perdas de protensão:

1,20m + =

-6,25MPa

6,25MPa

5MPa

-11,7MPa

-1,25MPa

-5,45MPa

(g) (P) (parcial)

1ª Fase

1,20m + =

-1,25MPa

-5,45MPa

-7,5MPa

7,5MPa

-8,75MPa

2,05MPa


2ª Fase

q=36kN/m

b

h

20,0m

5,0m

S

g=30kN/m

R R


a) Determinação das tensões na seção à ¼ do vão: Determinação das reações de apoio devidas à cada tipo de carregamento:

qg RRR +=

kNRg 3602

0,2036 =×=

kNRq 3002

0,2030 =×=

Determinação do momento fletor máximo na seção mais solicitada:

( ) kNmM Sg 1350

2

0,50,5360,5360 =×−×=

( ) kNmM Sq 1125

2

0,50,5300,5300 =×−×=

Cálculo das tensões normais máximas na seção à ¼ do vão:

( )MPamkNSg 7,4/5,4687

24,0

1125 2==σ

( )MPamkNSq 6,5/5625

24,0

1350 2==σ

Sugestão: Repetir o exemplo 3.2, estimando em 8% as perdas de protensão na seção à ¼ do vão.

1,20m + =

-4,7MPa

4,7MPa

5,9MPa

-13,8MPa

1,2MPa

-9,1MPa

(g) (P) (parcial)

1ª Fase

1,20m + =

1,2MPa

-9,1MPa

-5,6MPa

5,6MPa

-4,4MPa

-3,5MPa


2ª Fase


b) Determinação das tensões na seção de apoio: Nos apoios não há tensões devidas à g e q, pois os respectivos momentos fletores são nulos. Observa-se ainda que, por se tratar do ponto de aplicação direta da força de protensão pelo macaco, não são computadas perdas, exatamente como considerado aproximadamente na seção à ¼ do vão. As tensões existentes nos apoios são devidas, exclusivamente à força de protensão sem as perdas, ou seja:

( )

( )MPamkNW

Ne

A

N

MPamkNW

Ne

A

N

iP

sP

8,13/75,1376324,0

5,04719

20,1

4719

9,5/75,589824,0

5,04719

20,1

4719

2

2

−−=×−−=−−=

=×+−=+−=

σ

σ

Observa-se que as seções de apoio ultrapassam os limites admissíveis fixados para tração,

pois, ( ) MPafckMPaT 5%103max <=σ . Sugere-se então, subir o cabo nos apoios, de modo a reduzir a excentricidade “e”, principal causa da tensão de tração. De forma sistemática, delimitado um número finito de seções, entende-se que o traçado ideal do cabo de protensão, é aquele que apresenta a máxima excentricidade no meio do vão, e mínima ou nula nos apoios. A forma que melhor representa este princípio é a forma parabólica, conforme será mostrado no exemplo 4.3, à seguir. Um resumo das tensões nas três seções analisadas (½ do vão, ¼ do vão e apoio), desprezando-se as perdas, é o seguinte:

Seção Bordo )(MPaσ g+P

)(MPaσ g+P+q

s -0,35 -7,85 ½ do vão i -7,55 -0,05 s 1,2 -4,4 ¼ do vão i -9,1 -3,5 s 5,9 5,9 apoio i -13,8 -13,8

1,20m

5,9MPa

-13,8MPa


EXEMPLO 3.3 Dada a viga abaixo, calcular as tensões no concreto na seção média: a) na transferência; b) quando atuar, além do peso próprio, uma carga adicional de 13,3 kN/m. Força de protensão: P = 1000 kN Peso específico do concreto: 25 kN/m3

Área da seção transversal: A = 1150 cm2 Momento de inércia I = 361250 cm4 Distância do bordo superior ao cg: c1 = 22,4 cm Distância do bordo inferior ao cg: c2 = 27,6 cm Solução

Tensões no concreto I

My

I

Pey

A

Py ++=)(σ

a) Na transferência Momento fletor devido ao peso próprio g = γconc A = 25 × 0,115 = 2,875 kN/m Mg = g l2/8 = 2,875 × 122 / 8 = 51,75 kN.m • Tensão no bordo superior:

=×

−×+×

−×−+××−=

9

6

9

6

4

6

10623

224107551

10623

224176101

10511

101

,

))(,(

,

))()((

,σ

= − 8,7 + 10,9 − 3,2 = −−−− 1,0 MPa • Tensão no bordo inferior:

=×

×+×

×−+××−=

9

6

9

6

4

6

10623

276107551

10623

276176101

10511

101

,

))(,(

,

))()((

,σ

= − 8,7 − 13.4 + 3,2 = −−−− 18,9 MPa b) Tensões no concreto quando atuar a carga total g + q = 2,875 + 13,3 = 16,175 kN/m; M = 16,175 × 122 / 8 = 291,15 kN.m

176 mm

12 m

PP

50 cm

10

30

10

35 cm

10

cgc = 224 mm

c = 276 mm

1

2

Ap

-1 MPa

-18,2 MPa


• Tensão no bordo superior

=×

−×+×

−×−+××−=

9

6

9

6

4

6

10623

2241015291

10623

224176101

10511

101

,

))(,(

,

))()((

,σ

= − 8,7 + 10,9 − 18,0 = −−−− 15,8 MPa • Tensão no bordo inferior:

=×

×+×

×−+××−=

9

6

9

6

4

6

10623

2761015291

10623

276176101

10511

101

,

))(,(

,

))()((

,σ

= − 8,7 − 13.4 + 22,2 = 0,1 MPa

0,1 MPa

-15,8 MPa


Capítulo 4 PROJETO DE UMA VIGA PROTENDIDA

4.1 – Dados da Estrutura: Viga Bi-apoiada de 26,0m de vão livre, submetida à carregamento permanente g=8kN/m e carga acidental q=20kN/m. O concreto adotado possui fck=26MPa. Etapas iniciais de projeto:

� Definir seção transversal; � Definr o número de cabos; � Defnir a armadura passiva.

Algumas considerações são feitas levando-se a definição de questões de ordem prática, tais como:

� A altura da viga deve ser, no máximo de 125cm; � A largura da mesa superior deve ser, no máximo de 110cm; � A espessura da alma deve ser de, no mínimo 15cm, devido à intenção de se utilizar cabos

com 7Φ1/2”, de modo a haver espaço suficiente para a concretagem. 4.2 – Pré Dimensionamento: Conforme visto anteriormente, devido ao fato de a viga protendida possuir compressão tanto no bordo inferior quanto no superior, a geometria mais adequada para absorção destas tensões, é com mesa de compressão tanto no bordo superior, quanto no bordo inferior (porém, não tão grande quanto no bordo superior), com seção em “I”. 4.2.1 – Módulo resistente elástico necessário Como critéro de Pré-dimensionamento, pode-se adotar a seguinte expressão:

Perdasfck

MW nec

i

−

∆≥

3

2, onde:

Wi

nec Módulo resistente elástico necessário da seção, na região abaixo da linha neutra; ∆M Soma dos momentos devidos a sobrecargas. fck Resistência caracaterística a compressão do concreto a ser utilizado; Perdas Valor estimado para perdas de tensão de protensão (estimadas inicialmente em 2MPa).

( ) ( )MNmkNmqL

M 366,223668

0,26208

8

22

=+==∆

2263

2366,2

3

2 −=

−

∆≥Perdasfck

MW nec

i

315,0 mW neci ≥


Neste exemplo, será adotda inicialmente, a seção “I” padrão, com as seguintes características:

Esta seção deverá ter as todas as suas propriedades geométricas determinadas, à saber: 4.2.2 – Determinação das propriedades geométricas da seção transversal:

n yn (cm) An (cm2) ynAn (cm3) 1 117.5 1650.0 193875.0 2 108.3 237.5 25729.2 3 65.0 1350.0 87750.0 4 23.3 225.0 5250.0 5 10.0 1200.0 12000.0

4662.50 324604.17

cmA

Ayy

n

nni 70

50,4662

17,324604 ===∑∑


( ) ( ) ( )

( ) ( ) 4423

23

23

23

23

10,022,989933260120012

206067,465,112

36

105,222

5135012

901533,3875,118

36

55,4725,471650

12

15110

mcm

I

≅=

+×+

+×+

+

+×+

+×+

+×=

33 14,003,141419

70

22,9899332mmWi ≅==

33 18,086,17998755

22,9899332mmWs ≅==

( )falhamWmW inec

i33 14,015,0 =>= Solução: Redimensionar a seção

( )atendemWmW i

neci

33 19,015,0 =<=

Recalculando as propriedades geométricas como no caso da seção anterior, obtem-se:

n yn (cm) An (cm2) ynAn (cm3) 1 115.0 2200.0 253000.0 2 103.3 237.5 24541.7 3 67.5 1125.0 75937.5 4 35.0 412.5 14437.5 5 15.0 2100.0 31500.0

6075.00 399416.67

A (m2) 0.61 yi (m) 0.66

ys (m) 0.59 I (m4) 0.12

Wi (m3) 0.19 Ws (m3) 0.21


4.3 – Análise Estrutural

4.3.1 – Determinação dos momentos fletores máximos na seção mais solicitada:

mkNApp conc /19,1561,025 =×== γ

g = 8 kN/m q = 20kN/m

kNmppL

M pp 12838

0,2619,15

8

22

=×==

kNmgL

M g 6768

0,268

8

22

=×==

kNmqL

M q 16908

0,2620

8

22

=×==

4.3.2 – Determinação das tensões máximas na seção mais solicitada:

s

s

i

i

W

M

W

M == σσ ;

MPaW

M

i

ppipp 89,6

19,0

283,1 ===σ MPaW

M

s

ppspp 21,6

21,0

283,1 ===σ

MPaW

M

i

gig 63,3

19,0

676,0 ===σ MPaW

M

s

gsg 27,3

21,0

676,0 ===σ

MPaW

M

i

qiq 07,9

19,0

690,1 ===σ MPaW

M

s

qsq 18,8

21,0

690,1 ===σ

4.3.3 – Determinação da força de protensão necessária: Centro de Gravidade do cabeamento (r) = 10cm

mrye i 56,010,066,0 =−=−=

( )tkNMNPP

W

e

A

P

i

i 4224223223,4

19,0

56,0

61,0

159,19

1=−−=∴

+−=∴

+−= ∑σ

compressão

Será adotada cordoalha CP 190 RB 7 x 12,5 (Carga máxima de ruptura à 1% de alongamento = 149,10 kN) Nc = 0,82(149,10) = 120kN / cordoalha (onde 0,82 é o coef. de minoração da resistência da cordoalha) No de cordoalhas = 4223 / 120 = 35 cordoalhas Adotados 5 cabos com 7 cordoalhas CP 175 RB 7 x 12,5.

Tensões (MPa) σi σs

pp 6.89 6.21 g 3.63 3.27 q 9.07 8.18 Σ 19.59 17.65


4.3.4 – Verificação do valor de r e distribuição dos 5 cabos na seção mais solicitada:

4.3.5 – Determinação dos momentos solicitantes e tensões máximas nos bordos extremos de cada seção:

Para que se possa fazer a análise de tensões, é necessário que se subdivida a viga em seções, de modo a se determinar o momento máximo devido a cada tipo de carregamento isolado, em cada seção. Assim sendo, dividindo-se o vão da viga em 10 (dez) partes iguais, e tirando proveito da simetria da viga, temos a seguinte distribuição por seção:

mn

L60,2

10

0,26 ===l

Para a determinação do momento fletor devido a uma carga uniformemente distribuída q, em uma seção S, situada a uma distância x da extremidade, consideremos o seguinte:

22

222qxqLx

M

xqxx

qLM

S

S

−=

−=

cmr 105

13283 =×+×=


Para cada seção Sn, a distância x equivalerá à: lnSx =

( )( ) ( )( )2

1

2

1 2ll −

−−

= nnS SqSqLM n

Assim sendo, o momento na seção 4, devido a g (8kN/m), será:

( )( ) ( )( )kNmM S

g 5684,2432,8112

60,2148

2

60,2140,268 2

4 =−=×−−×−×=

Automatizando o processo, podemos determinar, para cada tipo de carregamento os momentos fletores em cada uma das seções, conforme mostrado na tabela à seguir:

seção 1 2 3 4 5 6 x(m) 0 2.6 5.2 7.8 10.4 13 pp 0 462 821 1078 1232 1283 g 0 243 433 568 649 676 q 0 608 1082 1420 1622 1690

Diagrama de Momentos Fletores

0

462

821

10781232 1283

0

243

433568

649 676

0

608

1082

1420

1622 1690

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 2.6 5.2 7.8 10.4 13

L (m)

M (k

Nm

)

pp g q

Como consequência, pode-se determinar as tensões nos bordos superior e inferior de cada seção, para cada solicitação. Por exemplo, consideremos a determinação da tensão no bordo superior da seção 4 devido à g:

MPaW

M

s

Sgs

g 70,221,0

568,04

4, ===σ

Automatizando o processo, pode-se facilmente preencher a tabela à seguir, com o valor das tensões em ambas as extremidades, para cada seção, devido à todos os carregamentos atuantes possíveis:

1 2 3 4 5 6 σi σs σi σs σi σs σi σs σi σs σi σs

pp 0.0 0.0 2.5 -2.2 4.4 -4.0 5.8 -5.2 6.6 -6.0 6.9 -6.2 g 0.0 0.0 1.3 -1.2 2.3 -2.1 3.0 -2.7 3.5 -3.1 3.6 -3.3 Q 0.0 0.0 3.3 -2.9 5.8 -5.2 7.6 -6.9 8.7 -7.8 9.1 -8.2

Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J . de O. Rodrigues 33

4.3.6 – Vista lateral dos cabos e seções:


4.4 – Consideração das perdas de protensão: Ao ser solicitada, a peça de concreto protendido encurta imediatamente. O aço de protensão irá acompanhar este encurtamento e perderá força ao longo do tempo. O valor inicial e o menor valor da força do cabo devem ser verificados. Conforme visto em exemplos anteriores, a consideração das perdas pode ser decisiva para que os limites admissíveis à tração e compressão respectivamente nos bordos inferior e superior. As perdas de protensão podem ser subdivididades em dois grupos: As perdas imediatas e as perdas lentas.

Perdas de Protensão Imediatas Lentas

Atrito Fluência Cravação Retração

Deformação Imediata Relaxação

4.4.1 – Perda por atrito: É causada pelo atrito entre o cabo e a bainha ao ser aplicada a força de protensão. Este efeito é acentuado nas curvas devido à existência do desvio da trajetória dos cabos nas mesmas e, à constituição corrugada da bainha. A perda por atrito é quantificada da seguinte forma:

( )L

x eβαµσσ +− ∑= 0

Onde:

xσ Valor da tensão em cada seção após a atuação da perda por atrito;

0σ Tensão máxima aplicada pelo macaco à armadura de protensão ;

µ Coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha; Devem ser acrescidos de 0,1, quando cordoalhas dentro de uma mesma bainha forem protendidas individualmente;

∑α Soma dos valores absolutos dos ângulos de desvios dos cabos, nas seções de cálculo, em

relação à seção S1 (onde é aplicada a força de protensão e onde se fixa a ancoragem); β Ondulação média por metro. Valor variável entre 0,015 e 0,006 rad/m); L Comprimento acumulado do cabo desde a extremidade da viga, até cada seção analisada, ou seja lnL = , onde n é o número da seção e l é o comprimento de cada trecho, conforme já definido anteriormente. Para a quantificação da perda de tensão por atrito, é realizada uma simplificação na distribuição dos cabos pelas seções, na qual admite-se um cabo único representativo da família de cabos original, hogeneizando a seção transversal. Este cabo único é traçado com a média das excentricidades dos cabos originais em cada seção. Assim sendo, no caso em estudo, pode-se representar a família de cabos pelo cabo único, conforme mostrado à seguir:


Seção/Cabo c1 c2 c3 c4 c5 e Média

1 20+25+25+20+14=104 25+25+20+14=84 25+20+14=59 20+14=34 14 59 2 16+19+21+18+34=108 19+21+18+34=92 21+18+34=73 18+34=52 34 72 3 13+17+15+14+56=115 17+15+14+56=102 15+14+56=85 14+56=70 56 86 4 5+9+14+11+76=115 9+14+11+76=110 14+11+76=101 11+76=87 76 98 5 3+8+8+98=117 3+8+8+98=117 8+8+98=114 8+98=106 98 110 6 5+112=117 5+112=117 5+112=117 112 112 115


� Ângulos de inclinação do cabo equivalente nas seções ( )nα :

l

nnn

eetg

−= +1α , onde e representa a excentricidade do cabo equivalente em uma dada seção Sn.

Por exemplo, vamos calcular o ângulo de inclinação do cabo equivalente em todas as seções:

011

121 86,2tan050,0

260

5972

260==∴=−=−= ααα a

eetg

022

232 08,3tan054,0

260

7286

260==∴=−=

−= ααα a

eetg

033

343 64,2tan046,0

260

8698

260==∴=−=

−= ααα a

eetg

044

454 64,2tan046,0

260

98110

260==∴=−=

−= ααα a

eetg

055

565 10,1tan019,0

260

110115

260==∴=−=

−= ααα a

eetg

06 =αtg (seção de simetria)

Desta forma, pode-se calcular os ângulos de inclinação do cabo equivalente em todas as seções, conforme mostrado na figura à seguir. Os valores dos ângulos mostrados são aproximados e foram obtidos em escala com aproximação de uma casa decimal pelo Autocad. Para valores analíticos exatos, proceder conforme descrito acima.

� Ângulos médios em cada seção: Equivalem à média entre a inclinação do cabo na chegada e na saída de uma determinada seção:

01 86,2=medα ; 0

00

2 96,22

08,386,2 =+=medα ;

000

3 86,22

64,208,3 =+=medα ; 000

4 64,22

64,264,2 =+=medα ;

000

5 87,12

10,164,2 =+=medα ; 06 0=medα (seção de simetria).


� ∑α em cada seção: mednmedn ααα −=∑ 1

086,286,21 =−=∑α ( )rad002,010,096,286,2 0

2 −=−=∑α

086,286,23 =−=∑α ( )rad004,022,064,286,2 04 =−=∑α

( )rad017,099,087,186,2 05 =−=∑α ( )rad050,086,2086,2 0

6 =−=∑α

O coeficiente de atrito µ , pode assumir qualquer dos valores apresentados a seguir, dependendo das condiçõe de projeto: 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); 0,30 entre barras ou fios com mossas e saliências e bainha metálica; 0,25 entre fios lisos paralelos ou trançados e bainha metálica; 0,10 entre fios lisos paralelos ou trançados e bainha metálica lubrificada; Neste exemplo serão adotados os valores 25,0=µ e 011,0=β rad/m, considerando-se ainda a tensão constante inicial de protensão pelo macaco (dado do fabricante do mesmo),

MPa14750 =σ .

Vale lembrar que 1,175,00 ptkf<σ .

No exemplo em estudo, adotando-se cordoalha CP 190 RB 7 x 12,5, MPaf ptk 1900= ,

portanto, 1567,51,1190075,01,175,0 =××=ptkf , o que atende à condição apresentada.

Por exemplo, o valor da tensão de protensão após as perdas por atrito na seção 5, pode ser calculada da seguinte forma:

( )L

x eβαµσσ +− ∑= 0

( ) MPaex 14751475 0011,0025,0

1 =×= ×+−σ ( ) MPaex 14641475 6,2011,0002,025,0

2 =×= ×+−σ ( ) MPaex 14541475 2,5011,0025,0

3 =×= ×+−σ ( ) MPaex 14421475 8,7011,0004,025,0

4 =×= ×+−σ ( ) MPaex 14271475 4,10011,0017,025,0

5 =×= ×+−σ ( ) MPaex 14061475 13011,0050,025,0

6 =×= ×+−σ

Pode-se assim automatizar o processo de determinação das perdas por atrito em cada seção, cujos resultados são apresentados à seguir:

Seção e méd. (cm)

α (o) α méd. (o)

L (m) Σα (o) µ(Σα+Βl) rad

σx (MPa)

1 59 2.86 2.86 0.0 0.00 0.000 1475 2 72 3.08 2.97 2.6 0.11 0.007 1464 3 86 2.64 2.86 5.2 0.00 0.014 1455 4 98 2.64 2.64 7.8 0.22 0.021 1444 5 110 1.10 1.87 10.4 0.99 0.032 1429 6 115 -1.10 0.00 13.0 2.86 0.047 1408


4.4.2 – Perda por cravação: No momento da liberação dos cabos dos macacos, e consequente transferência dos esforços de protensão para a peça de concreto, ocorre uma acomodação das peças de ancoragem (cunhas). Os deslocamentos que ocorrem originam as chamadas perdas por cravação, também chamadas de perdas por encunhamento. A cunha sempre penetra na ancoragem quando entra em carga. As perdas por cravação devem ser determinadas experimentalmente ou adotados os valores indicados pelos fabricantes de dispositivos de ancoragem. Nos sistemas que utilizam cunha individual para cada fio ou cordoalha, observam-se os seguintes valores médios de retorno devido ao encunhamento, para uma dada carga máxima: Fio mm7=φ mm5=δ Cordoalha mm5,12=φ mm6=δ ou mm5=δ (cunha cravada com macaco) As perdas por cravação podem ser quantificadas igualando-se a energia de retorno das cordoalhas até serem bloqueadas pelas cunhas (δaE ) com a energia de atrito atuante em sentido

contrário no interior do cabo, devido à acomodação.

2

δaEU = , onde aE é o módulo de elasticidade da cordoalha (195GPa)

No exemplo em questão, temos o seguinte gráfico, para perda de tensão por unidade de comprimento, devida ao atrito:

Energia consumida nas perdas por atrito

14751464

14551444

142914081408 1408 1408 1408 1408

13601380140014201440146014801500

0,0 2,6 5,2 7,8 10,4 13,0

L (m)

σx (MPa) Tensão S6

Observa-se que a função que descreve a perda de energia em cada seção devida ao atrito, é uma função aproximadamente liner da posição da seção ao longo do vão da viga (comprimento). Pode-se portanto, calculando as áreas acumuladas para cada trecho, obtém-se o valor da perda de energia por unidade de comprimento ( )n∆ para cada trecho, da seguinte forma:

( )[ ][ ]

2

12 11

+−

−−+∆=∆ xnxn

nn

n σσl


Trecho 1: Entre as seções 1 e 2. ( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /14300/30,14

2

1464147560,21120

2

60,2112 21111 =−−×+=

−−×+∆=∆ −

σσ

Trecho 2: Entre as seções 2 e 3.

( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /53300/30,532

1454146460,21223,14

2

60,2122 32122 =−−×+=

−−×+∆=∆ −

σσ


( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /131300/3,1312

1442145460,21323,53

2

60,2132 43133 =−−×+=

−−×+∆=∆ −

σσ


( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /267800/8,2672

1427144260,21423,131

2

60,2142 54144 =−−×+=

−−×+∆=∆ −

σσ


( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /513500/5,5132

1406142760,21528,267

2

60,2152 65155 =−−×+=

−−×+∆=∆ −

σσ

Calculando-se a energia de cravação total, pode-se determinar uma queda na curva abaixo da tensão do meio do vão e determina-se o eixo de simetria:

( ) ( )mkN

EU a /0487500

2

10510195

2

36

=×==−δ

( )MPakPaU

2200060,25

513500487500

55 −−=

×−=

∆−=∆

l

MPax 1404214066 =−=∆−= σσ

A perda por cravação é dada então por: ( )σσσσ −−= xnn . Para cada seção temos:

( ) MPa13331404147514041 =−−=σ

( ) MPa13441404146414042 =−−=σ

( ) MPa13541404145414043 =−−=σ

( ) MPa13661404144214044 =−−=σ

( ) MPa13811404142714045 =−−=σ

( ) MPa14021404140614046 =−−=σ

Pode-se ainda, automatizar o processo, à exemplo dos casos anteriores, evitando-se a imprecisão numérica devida aos arredondamentos, conforme mostrado na tabela e grafico a seguir:

Trecho ∆ (kN/m) Seção P.Crav. (MPa)

S1-S2 13955 1 1343 S1-S3 50079 2 1354 S1-S4 123411 3 1363 S1-S5 256562 4 1375 S1-S6 505392 5 1389

6 1411


Perdas por cravação

1475 1464 1455 1444 14291408

1343 1354 1363 1375 13891409 1409 1409 1409 1409

1250

1300

1350

1400

1450

1500

0,0 2,6 5,2 7,8 10,4 13,0

L (m)

σx (MPa) P.Crav. (MPa) Eixo de Simetria (MPa)

4.4.3 – Perda por deformação imediata do concreto:

Ao receber a força de protensão, a viga de concreto sofre uma deformação elástica imdeiata, encurtando-se. Concomitantemente ocorre um encurtamento na armadura de protensão, devido à aderência desta ao concreto, pela posterior injeção de nata na bainha. À este encurtamento da armadura protendida, corresponde um alívio de tensão nos cabos, ocorrendo asim uma perda de protensão. No caso em estudo está sendo considerado que a viga sofrerá protensão com aderência posterior, e é constituída por vários cabos. Sendo estes cabos tracionados um de cada vez, conforme é usual, a deformação do concreto provocado pela força no cabo que está sendo tracionado, acarreta perda de tensão nos cabos já ancorados. Portanto, iguala-se o encurtamento do concreto ao do aço em cada seção, apenas levando-se em conta que cada cabo protendido, influencia apenas os que já estão protendidos, logo:

n

nEacan 2

1−=∆ εσ , onde c

cc E

σε = , annna σσσ ∆−= , e ainda:

anσ∆ Perda de protensão na armadura de protensão, devida a deformação imediata do concreto;

cε Encurtamento do concreto;

aE Módulo de elasticidade longitudinal da armadura de protensão;

n Número de cabos. O cálculo de cε , será feito no centro de gravidade do cabo equivalente, considerando-se os

carregamentos de peso próprio e protensão. Para tanto, será necessário calcular o valor da força de protensão em cada seção, já consideradas as perdas anteriores, ann nAN σ= .

Onde aA , é a área da seção transversal de cada cabo. Para cada cabo com 7 cordoalhas de

½”, temos a seguinte área: ( ) 2

2

74

27,178,0 cmAa =××= π

. O valor 0,8, refere-se à redução da área

de cada cordoalha devido à sua forma irregular. A seguir, temos a obtenção da perda de protensão devida à deformação imediata do concreto, para cada seção. Para facilitar a visualização, foram recuperados valores já determinados anteriormente, tais como, os momentos fletores seccionais devidos à carga de peso próprio, as excentricidades médias


seccionais do cabo equivalente e as propriedades geométricas da seção transversal, observadas à seguir:

Seção 1 2 3 4 5 6 Mpp (KNm)

0 462 821 1078 1232 1283

Seção e méd.

(cm) 1 59 2 72 3 86 4 98 5 110 6 115

A (m2) 0.61 yi (m) 0.66

ys (m) 0.59 I (m4) 0.12

Wi (m3) 0.19 Ws (m3) 0.21

Considerando-se que o fck do concreto pode ainda não ter sido alcançado em sua plenitude aos 28 dias, devido à infinita gama de tipos de cimentos utilizados, considerar-se-à, de forma conservadora um fck de 24MPa. Portanto,

( ) MPaMPafE ckc 27434245600560028 === ;

Seção 1:

( ) kNMNnAN a 46667,410751333 411 ==××== −σ

0595911 =−=−= smed yee (o cabo passa pelo cg da seção 1)

01 =ppM

MPakPaeI

M

A

N ppc 7,776490

12,0

0

61,0

46661

1

1 ==+=+=σ

( )41080,227434

7,7 −===c

cc E

σε

( ) MPan

nEaca 9,21

52

151950001080,2

2

1 41 =

×−=−=∆ −εσ

MPaaa 1,13119,211333111 =−=∆−= σσσ


Seção 2:

( ) kNMNnAN a 47047,410751344 422 ==××== −σ

cmyee smed 13597222 =−=−=

kNmM pp 4622 =

MPakPaeI

M

A

N ppc 2,8821213,0

12,0

462

61,0

47042

2

2 ==+=+=σ

( )41098,227434

2,8 −===c

cc E

σε

( ) MPan

nEaca 3,23

52

151950001098,2

2

1 41 =

×−=−=∆ −εσ

MPaaa 1,13203,231344222 =−=∆−= σσσ

Seção 3:

( ) kNMNnAN a 47397,410751354 433 ==××== −σ

cmyee smed 27598633 =−=−=

kNmM pp 8213 =

MPakPaeI

M

A

N ppc 6,9961627,0

12,0

821

61,0

47394

3

3 ==+=+=σ

( )41050,327434

6,9 −===c

cc E

σε

( ) MPan

nEaca 3,27

52

151950001050,3

2

1 43 =

×−=−=∆ −εσ

MPaaa 7,13263,271354333 =−=∆−= σσσ

Seção 4:

( ) kNMNnAN a 47818,410751366 444 ==××== −σ

cmyee smed 39599844 =−=−=

kNmM pp 10784 =

MPakPaeI

M

A

N ppc 34,111134139,0

12,0

1078

61,0

47814

4

4 ==+=+=σ

( )41013,427434

34,11 −===c

cc E

σε

( ) MPan

nEaca 2,32

52

151950001013,4

2

1 44 =

×−=−=∆ −εσ

MPaaa 8,13332,321366444 =−=∆−= σσσ


Seção 5:

( ) kNMNnAN a 48348,410751381 455 ==××== −σ

cmyee smed 515911055 =−=−=

kNmM pp 12325 =

MPakPaeI

M

A

N ppc 16,131316051,0

12,0

1232

61,0

48345

5

5 ==+=+=σ

( )41080,427434

16,13 −===c

cc E

σε

( ) MPan

nEaca 4,37

52

151950001080,4

2

1 45 =

×−=−=∆ −εσ

MPaaa 6,13434,371381555 =−=∆−= σσσ

Seção 6:

( ) kNMNnAN a 49079,410751402 466 ==××== −σ

cmyee smed 565911566 =−=−=

kNmM pp 12836 =

MPakPaeI

M

A

N ppc 03,141403256,0

12,0

1283

61,0

49076

6

6 ==+=+=σ

( )41011,527434

03,14 −===c

cc E

σε

( ) MPan

nEaca 9,39

52

151950001011,5

2

1 46 =

×−=−=∆ −εσ

MPaaa 1,13629,391402666 =−=∆−= σσσ

Pode-se, à exemplo das perdas anteriores, considerar as perdas acumulando-as em planilha, de modo a considerar a precisão máxima nos cálculos, conforme os resultados apresentados à seguir.

Seção N (kN) e (cm) M pp M (kNm) σc (MPa) ∆σa (MPa) σa (MPa) 1 4702 0 0 12 -8 -22 1321 2 4739 13 462 -142 -8 -23 1332 3 4772 27 821 -455 -9 -25 1338 4 4811 39 1078 -786 -10 -30 1345 5 4863 51 1232 -1236 -13 -37 1352 6 4937 56 1283 -1469 -15 -42 1368


4.4.4 – Perda por deformação lenta ou fluência do concreto: Ao longo da vida útil da peça, os cabos vão encurtando gradativamente à medida que o concreto se deforma devido à tensão de protensão. Consequentemente, a força de protensão, que é una das causas da fluência, está diminuindo. A tensão na armadura de protensão cai linearmente durante o período no qual a fluência ocorre.

Genericamente, a deformação devido à fluência do concreto, é dada por:

( )028

,ttEc

cf ∞= ϕσε

afnbn Eεσ =

Onde:

cσ Tensão na seção de concreto, na fibra do CG do cabo equivalente;

28cE Módulo de elasticidade na idade de 28 dias ( )MPaEc 2743428 = , conforme caso anterior;

( )0,tt∞ϕ Coeficiente de fluência.

( ) tebdc KKKKKtt =∞ 0,ϕ

Onde: Kc Coeficiente que depende das condições climáticas; Kd Coeficiente que depende do grau de endurecimento do concreto; Kb Coeficiente que depende da composição do concreto; Ke Coeficiente que depende da espessura fictícia da viga de concreto protendido; Kt Coeficiente que depende do tempo. Entretanto, em casos onde não é necessária grande precisão, pode-se obter os valores finais do coeficiente de fluência, a partir da tabela 8.1 da NBR 6118:2003, como função da umidade

ambiente (considerada 75% neste exemplo) e da espessura fictícia da viga

u

A2, onde A, é a área

da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com o ar. No exemplo em questão, temos:

cmmu

A26,2222,0

48,5

61,022 ==

×=

. Entrando-se com estes valores na tabela 8.1, obtemos os

seguintes valores, para 30 dias:

( ) 0,2, 0 =∞ ttϕ

( ) 00020,020,0, 000

0 −=−=∞ ttcsε (deformação específica de retração)

A deformação específica de retração, será utilizada para cálculo das perdas por retração conforme será visto a diante. Incentiva-se também, a utilização do programa Reolog para obtenção precisa das informações anteriormente descritas, como por exemplo mostrado a seguir:


( ) 012,2, 0 =∞ ttϕ

( ) ( ) 0004

0 18,0000183651,01083651,1, −=−=−= −∞ ttcsε (deformação específica devida retração do

concreto)

Observa-se que os valores obtidos a partir da utilização da tabela 8.1 da NBR6118:2003, apresentam-se como uma boa aproximação dos valores analíticos obtidos pela utilização do programa Reolog. Seção 1:

( ) kNMNnAN aa 45886,410751,1311 411 ==××== −σ

MPakPaeI

M

A

N ppc 5,775220

12,0

0

61,0

45881

1

1 ==+=+=σ

( ) ( )40 1052,5012,2

27434

5,7, −

∞ === ttEc

cf ϕσε

( ) MPaEafb 6,1071950001052,5 41 ===∆ −εσ

MPabab 5,12036,1071,1311111 =−=∆−= σσσ

Seção 2:

( ) kNMNnAN aa 46206,410751,1320 422 ==××== −σ

MPakPaeI

M

A

N ppc 1,8807413,0

12,0

462

61,0

46202

2

2 ==+=+=σ

( ) ( )40 1092,5012,2

27434

1,8, −

∞ === ttEc

cf ϕσε

( ) MPaEafb 5,1151950001092,5 42 ===∆ −εσ

MPabab 6,12045,1151,1320222 =−=∆−= σσσ


Seção 3:

( ) kNMNnAN aa 46436,410757,1326 433 ==××== −σ

MPakPaeI

M

A

N ppc 5,9945927,0

12,0

821

61,0

46433

3

3 ==+=+=σ

( ) ( )40 1094,6012,2

27434

5,9, −

∞ === ttEc

cf ϕσε

( ) MPaEafb 3,1351950001094,6 41 ===∆ −εσ

MPabab 4,11913,1357,1326333 =−=∆−= σσσ

Seção 4:

( ) kNMNnAN aa 46686,410758,1333 444 ==××== −σ

MPakPaeI

M

A

N ppc 2,111115639,0

12,0

1078

61,0

46684

4

4 ==+=+=σ

( ) ( )40 1018,8012,2

27434

2,11, −

∞ === ttEc

cf ϕσε

( ) MPaEafb 5,1591950001018,8 44 ===∆ −εσ

MPabab 3,11745,1598,1333444 =−=∆−= σσσ

Seção 5:

( ) kNMNnAN aa 47027,410756,1343 455 ==××== −σ

MPakPaeI

M

A

N ppc 9,121294451,0

12,0

1232

61,0

47025

5

5 ==+=+=σ

( ) ( )40 1049,9012,2

27434

9,12, −

∞ === ttEc

cf ϕσε

( ) MPaEafb 1,1851950001049,9 45 ===∆ −εσ

MPabab 5,11581,1856,1343555 =−=∆−= σσσ

Seção 6:

( ) kNMNnAN aa 47678,410751,1362 466 ==××== −σ

MPakPaeI

M

A

N ppc 8,131380256,0

12,0

1283

61,0

47676

6

6 ==+=+=σ

( ) ( )40 1010,10012,2

27434

8,13, −

∞ === ttEc

cf ϕσε

( ) MPaEafb 4,1971950001010,10 46 ===∆ −εσ

MPabab 7,11644,1971,1362666 =−=∆−= σσσ


Pode-se ainda, a exemplo das perdas anteriormente calculadas, acumular as perdas por deformação lenta ou fluência do concreto, através de uma planilha de cálculos eletrônica, cujos resultados apresentados a seguir, diferem pouco dos anteriormente apresentados, por questão de arredondamento. A planilha utilizada utiliza a precisão máxima das operações matemáticas.

Seção Mpp (kNm)

N (kN) e (m) M (kNm) σc (MPa) ε (%o) ∆σb (MPa)

σb (MPa)

1 0 4625 0,00 12 8 0,000558 109 1213 2 462 4660 0,13 -132 8 0,000573 112 1220 3 821 4684 0,27 -431 9 0,000635 124 1214 4 1078 4708 0,39 -746 10 0,000741 145 1201 5 1232 4732 0,51 -1169 13 0,000927 181 1171 6 1283 4790 0,56 -1387 14 0,001041 203 1165

4.4.5 – Perda por retração do concreto: A protensão só é aplicada à peça depois que o concreto já adquiriu resistência suficiente para suportar as tensões decorrentes da protensão e do peso próprio. Nessa época, uma parte da retração do concreto já ocorreu. A protensão deve ser adiada tanto quanto possível, com o objetivo de diminuir as perdas de protensão, pois a retração é mais intensa nas primeiras idades do concreto. Admite-se também na pós-tensão, de forma simplificada, que a deformação do concreto é igual à do aço.

( ) ( ) 0004

0 18,0000183651,01083651,1, −=−=−= −∞ ttcsε (obtido através do programa Reolog)

( ) acs tt εε =∞ 0,

( )41083651,1 −−=aε

( ) MPaEaaA 8,351950001083651,1 4 =×==∆ −εσ

4.4.6 – Perda por relaxação do aço: A armadura de protensão tracionada e mantida com o comprimento constante, sofre alívio de tensão ao longo do tempo. Este fenômeno é chamado de relaxação do aço. Os fabricantes de armadura de protensão, fornecem os valores de perda máxima por relaxação após 1000 horas a 20ºC, para carga inicial de 80% da carga de ruptura. Para cordoalhas de 3 a 7 fios da Belgo Mineira de relaxação baixa, este valor é de 3,5% da tensão na armadura de protensão no instante da aplicação da força de tração. Em termos práticos e, de forma conservadora, admite-se uma queda de tensão da ordem de 60MPa para os aços de baixa relaxação (RB), como o utilizado neste exemplo. Desta forma, pode-se determinar em cada seção, o valor das tensões quando da atuação das e perdas imediatas, e a subsequente queda devida às perdas lentas: Exatamente como nos casos anteriores, pode-se automatizar a elaboração do quadro de perdas de tensão através da utilização de uma planilha eletrônica, conforme pode ser visto abaixo, onde apresenta-se primeiramente uma tabela elaborada manualmente e, em seguida, pode-se ver a tabela originada pela automatização dos cálculos através de planilha eletrônica. Onserva-se claramente, pequena diferença no valor total, devido à arredondamentos feitos na elaboração da tabela manualmente. Automaticamente, os dados numéricos são relacionados diretamente, garantindo assim a exatidão numérica.


4.4.7 – Quadro de tensões: Tabela de perdas de tensão obtida manualmente:

Seção Tensões após as perdas imediatas

(MPa) Perdas lentas de tensão (MPa)

Total de perdas

lentas de tensão (MPa)

Total de Perdas de

tensão (MPa)

1 1311,1 107,6 35,8 60 203,4 1107,7 2 1320,1 115,5 35,8 60 211,3 1108,8 3 1326,7 135,3 35,8 60 231,3 1131,4 4 1333,8 159,5 35,8 60 255,3 1078,5 5 1343,6 185,1 35,8 60 280,9 1062,7 6 1362,1 197,4 35,8 60 293,2 1168,9

Obtido o total de perdas de tensão em cada seção, pode-se obter os valores das forças de protensão reais necessário em cada seção. Para tanto, basta multiplicar a tensão em cada seção após as perdas imediatas, pela área total da seção dos cabos. Conforme visto anteriormente, a área de um cabo com 7 cordoalhas de ½” é:

( ) 22

74

27,178,0 cmAa =××= π

.

Portanto, para 5 cabos a área é de 23575 cm=× . Pode-se então, apresentar a tabela de perdas de tensão obtida automaticamente pela planilha eletrônica, contabilizando-se a força de protensão necessária em cada seção, considerando-se o somatório das perdas. Pode-se observar ainda, o percentual de perdas de protensão em cada seção, lembrando-se que a força de protensão aplicada, foi de 4223kN :

σ (MPa) σ (MPa) σ (MPa) N (kN) N (kN) N (kN) Perdas Seção per.imed. per.lent. per. final per.imed

. per.lent. final (%)

1 1321 205 1117 4625 716 3908 7,5 2 1332 207 1124 4660 726 3934 6,8 3 1338 220 1119 4684 768 3915 7,3 4 1345 240 1105 4708 841 3866 8,4 5 1352 276 1075 4732 968 3764 10,9 6 1368 299 1070 4790 1046 3744 11,4

Os valores das tensões devidas à ação da protensão, podem ser obtidas através da fórmula de determinação de tensões normais, devidas à flexão composta (flexo compressão ou flexo tração, conforme o caso), apresentada anteriormente.

s

s

i

i

W

Ne

A

N

W

Ne

A

N

+−=

−−=

η

η;

s

s

i

i

W

Ne

A

N

W

Ne

A

N

−+=∆

++=∆

η

η

Onde: η Tensão de protensão após a ocorrência das perdas imediatas; η∆ Tensão de protensão após a ocorrência das perdas lentas.


Lembrado as propriedades geométricas da seção transversal considerada: A (m2) 0.61 yi (m) 0.66

ys (m) 0.59 I (m4) 0.12

Wi (m3) 0.19 Ws (m3) 0.21

Tem-se os valores das tensões em cada seção, função da sua excentricidade e:

Seção e (m) ηi (MPa) ηs (MPa) ∆ηi (MPa)

∆ηs (MPa)

1 0,00 -7,6 -7,7 1,2 1,2 2 0,13 -10,9 -4,8 1,7 0,7 3 0,27 -14,4 -1,6 2,4 0,3 4 0,39 -17,5 1,1 3,1 -0,2 5 0,51 -20,7 3,8 4,2 -0,8 6 0,56 -22,2 5,0 4,9 -1,1

Finalmente, pode-se observar o quadro final de tensões, no qual devemos observar sempre as seguintes condições: Bordo inferior da seção:

( )fckMPaC 3/23,17max =σ

( )fckMPaT %106,2max =σ

Bordo superior da seção: ( )fckMPaC %5013max =σ


Seção Tensão (MPa)

pp prot i sp perdas sa

1 σi p 0,0 -7,6 0,0 1,2 0,0 Σ - -7,6 -7,6 -6,4 -6,4 σs p 0,0 -7,7 0,0 1,2 0,0 Σ - -7,7 -7,7 -6,5 -6,5 2 σi p 2,5 -10,9 1,3 1,7 3,3 Σ - -8,4 -7,1 -5,4 -2,1 σs p -2,2 -4,8 -1,2 0,7 -2,9 Σ - -7,0 -8,2 -7,5 -10,4 3 σi p 4,4 -14,4 2,3 2,4 5,8 Σ - -10,0 -7,7 -5,3 0,5 σs p -4,0 -1,6 -2,1 0,3 -5,2 Σ - -5,6 -7,7 -7,4 -12,7 4 σi p 5,8 -17,5 3,0 3,1 7,6 Σ - -11,8 -8,7 -5,6 2,1 σs p -5,2 1,1 -2,7 -0,2 -6,9 Σ - -4,1 -6,9 -7,1 -13,9 5 σi p 6,6 -20,7 3,5 4,2 8,7 Σ - -14,1 -10,6 -6,3 2,4 σs p -6,0 3,8 -3,1 -0,8 -7,8 Σ - -2,1 -5,3 -6,1 -13,9 6 σi p 6,9 -22,2 3,6 4,9 9,1 Σ - -15,3 -11,7 -6,8 2,2 σs p -6,2 5,0 -3,3 -1,1 -8,2 Σ - -1,2 -4,4 -5,5 -13,7


Nas células em amarelo, observamos as tensões finais no bordo inferior de cada seção. Nas células em verde, observamos as tensões finais no bordo superior de cada seção. Observa-se que a tensão de compressão no bordo superior superou o limite estabelecido. Aumentando-se o fck para 28MPa, temos os seguintes limites,e o seguinte quadro de tensões: Bordo inferior da seção:

( )fckMPaC 3/27,18max =σ


Bordo superior da seção: ( )fckMPaC %5014max =σ


Seção Tensão (MPa)

pp prot i sp perdas sa

1 σi p 0,0 -7,6 0,0 1,1 0,0 Σ - -7,6 -7,6 -6,4 -6,4 σs p 0,0 -7,7 0,0 1,2 0,0 Σ - -7,7 -7,7 -6,5 -6,5 2 σi p 2,5 -10,9 1,3 1,7 3,3 Σ - -8,4 -7,1 -5,4 -2,2 σs p -2,2 -4,8 -1,2 0,7 -2,9 Σ - -7,0 -8,2 -7,5 -10,4 3 σi p 4,4 -14,4 2,3 2,3 5,8 Σ - -10,0 -7,7 -5,4 0,4 σs p -4,0 -1,7 -2,1 0,3 -5,2 Σ - -5,6 -7,7 -7,5 -12,7 4 σi p 5,8 -17,6 3,0 3,1 7,6 Σ - -11,8 -8,7 -5,6 2,0 σs p -5,2 1,1 -2,7 -0,2 -6,9 Σ - -4,1 -6,9 -7,1 -13,9 5 σi p 6,6 -20,7 3,5 4,1 8,7 Σ - -14,1 -10,6 -6,5 2,2 σs p -6,0 3,8 -3,1 -0,8 -7,8 Σ - -2,1 -5,3 -6,0 -13,9 6 σi p 6,9 -22,2 3,6 4,7 9,1 Σ - -15,4 -11,7 -7,0 2,1 σs p -6,2 5,0 -3,3 -1,1 -8,2 Σ - -1,2 -4,4 -5,5 -13,7


4.5 – Diminuição da força cortante para cálculo de estribos: Conforme é sabido, a máxima força cortante em uma viga bi-apoiada, ocorre na região dos

apoios e vale 2max

QLV =

Onde, q é o valor da carga assumida para cada tipo de carregamento. Lembrando que o vão total L=26,0m, para os carregamentos fornecidos, teríamos os seguintes cortantes máximos:

mkNApp conc /19,1561,025 =×== γ

g = 8 kN/m q = 20kN/m

Q Vmax (kN) pp 197 g 104 q 260 Total 561

Observando o desenho, podemos obter (ou calcular analíticamente), os ângulos de saída dos cabos na seção do apoio, onde ocorrem estes momentos máximos, conforme mostrado na figura a seguir:

Pode-se então obter facilmente a inclinação do cabo equivalente:

( ) 000000

8,25

9,08,11,30,44,4 =++++=medα

� Força de tração média nos cabos na S1, após todas as perdas: NP = 3908kN

� Cortante de protensão:

6,1938,23908 0 =×== sensenNV medPP α

� Cortante para cálculo da armação de estribos:

kNVVV Pmáx 3686,193561 =−=−= (34% de redução)

O cálculo da armadura de estribos é feito exatamente como em uma viga de concreto armado.

Concreto Protendido - Prof. Glauco

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