Capitulo 3 IMC 484

Capítulo 3

Conducción unidimensional en estado estable

Capitulo 3 IMC 484

Objetivos del Capítulo

• Determinar perfiles de temperatura para geometrías comunes con o sin generación de calor

• Introducir el concepto de resistencia térmica y circuito térmico

Capitulo 3 IMC 484

Metodología para el Análisis de la Conducción del Calor

• Especificar la forma apropiada de la ecuación de difusión del calor.

• Obtener la distribución de temperatura.

• Aplicar la Ley de Fourier para determinar el flux de calor.

El caso más simples : Conducción 1-D, en Estado Estable sin Generación de Energía Térmica.

• Tipos de Geometrías:

– Pared Plana : Coordenadas rectangulares (x). El área

perpendicular a la dirección de la transferencia de calor es constante (independiente de x).

– Cilindro: Conducción radial a través de la pared del tubo.

– Capas Esféricas: Conducción radial a través de las capas de la esfera.

Capitulo 3 IMC 484

Pared PlanaConsidere la situación unidimensional en la que una PARED PLANA separa dos fluidos a diferente temperatura, sin generación de energía y en estado estable

• Temperatura es una función de x• El calor es transferido en la dirección xSe debe considerar• Convección del fluido caliente hacia la pared• Conducción a través de la pared• Convección de la pared al fluido frío

Se debe comenzar por determinar la distribución de temperatura al interior de la pared

qx

1,∞T

1,sT

2,sT

2,∞T

x

x=0 x=L

11, ,hT∞

22, ,hT∞

Fluido Caliente

Fluido frío

Capitulo 3 IMC 484

Distribución Temperatura• A partir de la ecuación de difusión del calor en la dirección x para una

condición de estado estable, sin generación de energía :

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdTk

dxd

• Condiciones de frontera: 2,1, )(,)0( ss TLTTT ==

• Perfil de temperatura, considerando k constante :

1,1,2, )()( sss TLxTTxT +−= La temperatura varia linealmente con x

Flux de calor (q”x) independiente de xTasa de transferencia de calor independiente de x

• Flux de calor (q”) • Tasa de transferencia de calor (q)

( )2,1, ss TTL

kAdxdTkAq −=−=( )2,1," ss TT

Lk

dxdTkq −=−=

Capitulo 3 IMC 484

Resistencia térmicaBasados en la solución anterior, la tasa de transferencia de calor por conducción puede ser calculado:

( ) ( )kALR

RTT

kALTT

q condcond

ssssx =⇒

−=

−= 2,1,2,1,

/

Recordando la teoría de circuitos eléctricos – Ley de Ohm para resistencias eléctricas :

De la misma forma para la convección del calor, aplicando la ley de Newton de enfriamiento:

aResistenciPotencialdeDiferenciaEléctrica Corriente =

hAR

RTT

hATT

TThAq convconv

SSSx

1)(/1

)()( =⇒

−=

−=−= ∞∞

∞

Y para la transferencia de calor por radiación :

AhR

RTT

AhTT

TTAhqr

radrad

alrs

r

alrsalrsrrad

1)(/1

)()( =⇒

−=

−=−=

(3.1)

(3.2)

(3.3)

RVI ∆

=RTq ∆

=

Capitulo 3 IMC 484

Resistencia térmicaPodemos utilizar esta analogía eléctrica para representar los problemas de transferencia de calor empleando el concepto de circuitotérmico (equivalente a un circuito eléctrico).

∑∆

=≠

=R

Tq total

asResistenci las de Sumatoriatotal termico potencial de

La diferencia de temperatura es el “potencial” o la fuerza de transportepara el flujo de calor y la combinación de conductividad térmica, coeficiente de convección, espesor y área del material actuan como una resistencia al flujo de calor:

AhR

hAR

kALR

rradconvcond

1;1; ===

Capitulo 3 IMC 484

Resistencia Térmica Pared Plana

En términos de diferencia total de temperatura :qx

1,∞T

1,sT

2,sT

2,∞T

xx=0 x=L

11, ,hT∞

22, ,hT∞

Fluido Caliente

Fluido Frío

AhkAL

AhR

RTT

q

tot

totx

21

2,1,

11++=

−= ∞∞

AhTT

kALTT

AhTT

q ssssx

2

2,2,2,1,

1

1,1,

/1//1∞∞ −

=−

=−

=

Capitulo 3 IMC 484

Pared Compuesta

? Expresar la siguiente geometría en términos de un circuito térmico equivalente.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

21

111hk

LkL

kL

hAR

C

C

B

B

A

Atot

Capitulo 3 IMC 484

Coeficiente global de transferencia de calor U

( )( ) ( )

1

2,1,2,1,

2,1,

totx

x

RTT

UATT

q

TTUAq

∞∞∞∞

∞∞

−=

−=

−≡

)]/1()/()/()/()/1[(1

41 hkLkLkLhU

CCBBAA ++++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

21

111hk

LkL

kL

hAR

C

C

B

B

A

Atot

ARU

UAR

tottot

11=⇒=

U es el coeficiente global de transferencia de calor y ∆T la diferencia total de temperatura.

Capitulo 3 IMC 484

Pared Compuesta

Para resistencias en serie: Rtot=R1+R2+…+Rn

Para resistencias en paralelo:1/Rtot=1/R1+1/R2+…+1/Rn

=

Capitulo 3 IMC 484

EjemploSe tiene un horno provisto de una puerta compuesta que separa la cavidad del horno del aire ambiente. El compuesto de la puerta estará constituido de dos plásticos de alta temperatura (A y B) de espesor LA=2LB y conductividades térmicas kA=0,15W/mK y kB=0,08 W/mK. Durante el proceso de autolimpieza, las temperaturas de la pared y del aire del horno, TP y Ta, serán 400°C, mientras que la temperatura del aire del cuarto será T∞=25°C. Los coeficientes de transferencia de calor por radiación (hr) y convección interna (hi) así como el coeficiente de convección externa ho, serán, cada uno, aproximadamente 25 W/m2K. Cuál debe ser el espesor mínimo de la ventana, L=LA+LB, necesario para asegurar una temperatura de la superficie externa de la puerta inferior o igual a 50°C? Por razones de seguridad esta temperatura no debe ser mayor.

Capitulo 3 IMC 484

Sistema Radial- Coordenadas Cilíndricas¿Cuál será la resistencia de conducción en un cilindro hueco en el que el calor se transmite de forma radial?

∫∫ −= 2,

1,

2

1

)(2

s

s

T

T

r

rr dTTk

rdr

Lqπ

drdTrATkqr )()(−=

drdTrLTkqr )2)(( π−=

( )2,1,1

2ln2 ss

r TTkrrq

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

( )( )12

2,1,

ln2

rrTTLk

q ssr

−⋅⋅=

π ( )Lk

rrR 2

ln 12scilíndrica cond, ⋅⋅=

π

Capitulo 3 IMC 484

Coordenadas Esféricas Resolver el mismo problema anterior pero para el caso de una esfera. Esto es:

sabiendo que qr es constante, independiente de r, que no hay generación interna de calor por unidad de tiempo ( ) y asumiendo que k es constante, encontrar la ecuación que describe la tasa de conducción de calor. Cual es la resistencia térmica?

q&

• Encontrarlo a partir de la ecuación general de difusión del calor en coordenadas cilíndricas y de la ley de Fourier

01 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

drdTkr

drd

r

( ) ( )21 114

rrTkqr −

∆⋅=

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=

21esféricas coord,

11 4

1rrk

Rπ

Capitulo 3 IMC 484

Conducción con generación de energía térmica

La energía térmica puede ser generada o consumida debido por ejemplo a:– Reacciones exotérmicas (generación de energía térmica,

reacciones de combustión)– Reacciones endotérmicas (disipación de energía térmica)– Conversión de energía eléctrica en energía térmica :

eRIVIE ×=∆×= 2generado elec,

&

donde I es la corriente, ∆V la diferencia de potencial y Re la resistencia eléctrica

Capitulo 3 IMC 484

Ejemplo

• Se tiene un alambre conductor de corriente de longitud L y radio r0 el cual genera uniformemente energía eléctrica a razón de . Determinar la distribución de temperatura en el cilindro sabiendo que la rapidez con que se genera calor dentro del cilindro es igual a la rapidez con que se transmite calor por convección de la superficie del cilindro a un fluido en movimiento. Estas condiciones permiten que la temperatura de la superficie se mantenga en un valor fijo Ts.

L

hT ,∞

q&

Capitulo 3 IMC 484

Ejemplo

L

hT ,∞

• Ecuación de difusión del Calor en la dirección radial en condiciones de estado estable: 01

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ q

drdTkr

drd

r&

• Condiciones de Frontera: so

rTrT

drdT

===

)( ,00

• Distribución de temperatura:

so

o Trr

krqrT +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

221

4)(

&

))(2()( 2∞−π=π TTLrhLrq soo&

hrqTT o

s 2&

+= ∞

• Calculo de la temperatura en la superficie:

• La solución para esta ecuación es:21

2 ln4

)( CrCrkqrT ++−=&

y

Capitulo 3 IMC 484

Resumen

• Aprendimos a determinar la distribución de temperaturay las resistencias térmicas para problemas de conducción en estado estable, unidimensionales en coordenadas ortogonales, cilíndricas y esféricas, con y sin generación energía.