CONFIABILIDAD APLICADA AL ANÁLISIS DE ESTABILIDAD POR FALLA TRASLACIONAL CON EL MÉTODO DE TALUD...

7/24/2019 CONFIABILIDAD APLICADA AL ANLISIS DE ESTABILIDAD POR FALLA TRASLACIONAL CON EL MTODO DE TALUD INFINI

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CONFIABILIDAD APLICADA AL ANLISIS DEESTABILIDAD POR FALLA TRASLACIONAL CON ELMTODO DE TALUD INFINITO SIN INFILTRACIN

Freddy Montejo Ochoa

Estudiante Maestra en GeotecniaPontificia Universidad Javeriana

[email protected]

Bogot, D. C., Colombia.

Lorena Ur ibeEstudiante Maestra en Gestin de Proyectos

Pontificia Universidad Javeriana

[email protected]

Bogot, D. C., Colombia.

1 RESUMEN

Debido a la incertidumbre en la determinacin de los parmetros mecnicos utilizados en losanlisis de estabilidad de taludes y a la heterogeneidad que presentan los suelos que forman estas

estructuras, la aplicacin de la teora de la probabilidad a estos anlisis permite desarrollar

estudios con mayor apego a las condiciones reales del problema, para el caso del presente

estudio se determina una funcin de desempeo evaluada como el factor de Seguridad por el

mtodo de talud infinito. Se presenta el anlisis estadstico de las variables peso unitario ,

ngulo de inclinacin , ngulo de friccin , altura de la masa deslizable H y cohesin del

suelo C, para definir su aleatoriedad, se asigna una funcin de probabilidad a cada una para

posteriormente establecer la funcin de distribucin de probabilidad (FDP) del factor de

seguridad por medio de los mtodos de Series de Taylor, estimaciones puntuales y

simulaciones de Montecarlo. Finalmente se hace un anlisis de confiabilidad para la funcin

de desempeo, comparando valores obtenidos de ndice de confiabilidad y probabilidad defalla con las reportadas por otros autores en estudios similares.

PALABRAS CLAVE: Incertidumbre, estabilidad de taludes, talud infinito, confiabilidad,distribuciones de probabilidad

ABSTRACTDue to the uncertainty in determining the mechanical parameters of soil used in the analysis

of slope stability and heterogeneity in soils that form these slopes, the application of

probability theory to these analyzes allows studies involving larger attachment to actual

conditions of the problem, in the case of the present study evaluated performance function as

the safety factor by the method of infinite slope without pore pressure is determined.

Statistical analysis of the variables; () unit weight, inclination angle (), friction angle (),

height of the slide mass (H) and soil cohesion (C), has been used to define its randomness, a

probability function is assigned to each variable to establish the probability distribution

function (PDF) of the safety factor by the following methods; Taylor series, point estimates

and Monte Carlo simulations. Finally, a reliability function is obtained of factor of safety,

comparing values of reliability index and probability of failure with those reported by other

authors done in similar studies.

KEYWORDS:uncertainty, slope stability, infinite slope, reliability, probability distributions of

geotechnical parameters.


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2 INTRODUCCIN

Los deslizamientos son uno de los procesos geolgicos ms destructivos que afectan a los

humanos, causando miles de muertes y daos en las propiedades por valor de decenas de

billones de dlares cada ao, sin embargo el 90% de las prdidas por deslizamientos son

evitables si el problema se identifica con anterioridad y se toman medidas de prevencin o

control (Suarez, 1998). Dentro del grupo de deslizamientos, las fallas superficiales de tipotraslacional, son uno de los tipos de deslizamientos ms comunes, y su anlisis est caracterizado

por varias fuentes de incertidumbre (Cruz, 2012), la cual debe ser tratada teniendo en cuenta la

variabilidad estadstica de los parmetros geotcnicos que intervienen en cada uno de los modelos

de anlisis.

Es muy importante el estudio de la incertidumbre presente en la ocurrencia de este tipo de fallas

en taludes, ya que una vez formulada la metodologa para determinar la probabilidad de falla

superficial en zonas propensas a este tipo de eventos, esta puede ser utilizada para la elaboracin

de mapas de amenaza y uso de tierra as como sistemas de alerta temprana para este tipo de

deslizamientos (Cruz, 2012), es por esto que los mtodos para determinar la estabilidad de

taludes toman mucho peso, cuando se trata de cuantificar el riesgo por la ocurrencia de undeslizamiento.

Debido a la incertidumbre en la determinacin de los parmetros mecnicos utilizados en los

anlisis de estabilidad de taludes y a la heterogeneidad que presentan los suelos que forman estas

estructuras. La aplicacin de la teora de la probabilidad a estos anlisis permite desarrollar

estudios con mayor apego a las condiciones reales del problema.

El anlisis de confiabilidad permite considerar en el diseo la incertidumbre de los parmetros del

suelo y de las cargas actuantes. En esos anlisis se parte de un modelo determinista, como es el

caso de la estabilidad de taludes y permiten asignar a un factor de seguridad calculado un valor o

ndice de confiabilidad puede establecerse un rango cuantitativo entre el valor medio del factor deseguridad y el valor en el cual se considera la falla catastrfica o falla de servicio (Montoya A. ,

2009).

Es prctica comn en ingeniera definir la estabilidad de un talud en trminos de un factor de

seguridad (FS), obtenido de un anlisis matemtico de estabilidad. El modelo debe tener en cuenta

la mayora de los factores que afectan la estabilidad (Suarez, 1998) analizndolos desde un

enfoque probabilista.

El diseo tradicional en estabilidad de taludes se basa en factores de seguridad, los anlisis de

confiabilidad se basan en el modelo Demanda (cargas)-Capacidad (resistencia), en el cual el

comportamiento no deseable se define como la probabilidad de que la demanda exceda a lacapacidad (Montoya A. , 2009), y esto es representado mediante una funcin de desempeo quedetermina dicho factor.

Dentro de los mtodos existentes para determinar la estabilidad de taludes, se encuentra el

caso de un talud con superficie de falla paralela a la superficie, y en el que el espesor de suelo

(H) es mucho mayor que la longitud del talud, se requiere una funcin que permita relacionar

las variables del suelo para determinar la proporcin entre las fuerzas actuantes y resistentes

en el sistema. Esta relacin se denomina como factor de seguridad. Para el clculo de dicho

factor se utiliza el mtodo de talud inf ini to (sin inf i l tracin para el presente caso), el cual esun sistema muy rpido y sencillo, que relaciona variables aleatorias del suelo (parmetros de

resistencia c y ), el peso unitario y la geometra del talud.


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Por lo tanto, la funcin de desempeo tiene como objetivo calcular el factor de seguridad

contra una posible falla del talud a lo largo de un plano paralelo a la superficie del terreno. La

falla del talud ocurre por el movimiento del suelo por encima del plano de falla. Esto se logra

por medio de la evaluacin de:

Las fuerzas perpendiculares al plano de falla.

Las fuerzas paralelas al plano de falla.

En los ltimos aos se ha despertado un gran inters por introducir en los estudios

geotcnicos metodologas que permitan una evaluacin racional de la incertidumbre asociada

con dichos procesos. Es as como varios autores han aplicado un enfoque probabilstico para

evaluar la amenaza de movimientos en masa y determinar la confiabilidad de estos sistemas

mediante el factor de seguridad, principalmente por mtodos como el de Primer Orden

Segundo Momento (FOSMEstimaciones de las series de Taylor), Estimaciones Puntuales y

simulaciones de Montecarlo (Hidalgo & Assis, 2011b).

Se han desarrollado algoritmos para procesamiento de datos geotcnicos con base en

comparacin entre los resultados obtenidos de la variacin de la probabilidad de fallacalculada por medio del anlisis de FOSM Vs Resultados de correlacin entre parmetros

geotcnicos incluyendo la variabilidad de los parmetros que controlan la saturacin del suelo

(Cho, 2007). Combinaciones entre la modelacin espacial probabilstica con un sistema de

informacin geogrfica y simulacin de Monte Carlo, aplicada a un rea de deslizamientos en

Sasebo (Japn) (Zhoua, Esaki, Mitani, Xie, & Mori, 2003), acercamientos a problemas de

estabilidad de taludes caracterizado por varias fuentes de incertidumbre (Giasi, Masi, &

Cherubini, 2003), anlisis probabilstico de fallas superficiales en taludes debido a procesos

de infiltracin (Cruz, 2012), estudios para taludes bidimensionales (Montoya A. , 2009),

aplicacin del mtodo de talud infinito sin infiltracin (Griffiths, Jinsong, & Gordon, 2011)

(Johari & Javadi, 2012).

En trminos generales, algunos de estos estudios han concluido entre otras, que la

incertidumbre en los datos modelados inciden en un grado importante en el anlisis de

estabilidad de un talud (Giasi, Masi, & Cherubini, 2003), que la confiabilidad de un sistema

permite que la incertidumbre pueda ser manejada de una forma ms rigurosa en los procesos

de diseo geotcnico (Hidalgo & Assis, 2011b), que el parmetro que presenta la mayor

variabilidad es la cohesin y que afecta fuertemente las determinaciones de la probabilidad de

falla (Hidalgo & Assis, 2011a) y a que los mtodos deterministas son susceptibles a

sobrestimar el factor de seguridad o subestimar la probabilidad de falla del sistema (Griffiths,

Jinsong, & Gordon, 2011).

3 EXPLICACIN DE LA FORMULACIN

Deslizamiento traslacional (Translational slide) es aquel en el cual la masa se desplaza a lo

largo de una superficie de falla plana o ligeramente ondulada. En general, estos movimientos

suelen ser ms superficiales que los rotacionales y el desplazamiento ocurre con frecuencia a

lo largo de discontinuidades como fallas, diaclasas, planos de estratificacin o plano de

contacto entre la roca subyacente y el suelo residual o transportad (Varnes & Cruden, 1996).

La naturaleza de este tipo de movimiento est controlada por alguna estructura geolgica

como una capa de roca o una capa de materiales poco resistentes. Si la longitud relativa del

deslizamiento es muy grande en relacin con su espesor, la contribucin de la resistencia en la


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cabeza y el pie del deslizamiento, es menor comparada con la resistencia del resto de la

superficie de falla. Este tipo de deslizamiento se puede analizar suponiendo un talud infinito.

El cual es un sistema muy rpido y sencillo para determinar el factor de seguridad de un talud,

suponiendo un talud largo con una capa superior de suelo, en el que cualquier tamao de

columna de suelo es representativo de todo el talud.

La deduccin de la funcin del factor de seguridad esta explicada por (Das, 2003), en la cualse parte de la ecuacin de la resistencia cortante del suelo:

=+ Ec. 1

Se evala el factor de seguridad contra una posible falla del talud a lo largo de un plano AB

(vase Figura 1) a una profundidad H por debajo de la superficie del terreno. La falla del talud

ocurre por el movimiento del suelo por encima del plano AB. Considerando un elemento de

talud abcd, que tiene una longitud unitaria perpendicular al plano de la seccin analizada. Las

fuerzas F, que actan sobre las caras ab y cd son iguales y opuestas y pueden despreciarse. El

peso efectivo del elemento de suelo es (con presin del agua de poro igual a 0):

= Ec. 2Dnde:

= Peso unitario del sueloL = Longitud del elemento analizado

H = Altura del elemento analizado

EL peso W, se resuelve en dos componentes:

1) La fuerza perpendicular al plano AB = Na= W Cos = LHCos2) La fuerza paralela al plano AB = Ta = W Sen = LH Sen. Ntese que esta es la

fuerza que tiende a causar el deslizamiento a lo largo del plano.

Figura 1. Diagrama de anlisis para el mtodo de talud infinito(Das, 2003)

El esfuerzo normal efectivo y el esfuerzo cortante en la base del elemento del talud son:


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= =

= Ec. 3

= =

= Ec. 4

La reaccin del peso W es una fuerza igual y opuesta R. Las componentes normal ytangencial de R con respecto al plano AB son Nry Tr.

= = Ec. 5 = = Ec. 6

Por equilibrio, el esfuerzo cortante resistente que se desarrolla en la base del elemento es igual

a (Tr) / (rea de la base) = H Sen Cos. Esto tambin se puede escribir en forma de la

siguiente ecuacin: = + Ec. 7

El valor del esfuerzo normal y cortante , obtenidos anteriormente se reemplaza y seobtiene:

= + Ec. 8

Despejando el nmero de estabilidad:

=

( ) Ec. 9

El factor de seguridad con respecto a la resistencia es:

= y =

Ec. 10

Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones anteriores, se obtiene que

= + Ec. 11

Para un talud uniforme y relativamente largo, en el cual el mecanismo de falla esperado no es

muy profundo, los efectos de borde son despreciables y el factor de seguridad puede

calcularse para un talud infinito a partir de una unidad de rea con base en el criterio MohrCoulomb. Realizando una igualdad de fuerzas resistentes y actuantes, se obtiene la siguiente

expresin (funcin de desempeo):

= + Ec. 12

En dnde;

C= resistencia unitaria por cohesin, resistencia independiente de la presin normal propia de

los suelos con contenido de finos (pasa T#200)

= Peso unitario del material superior

= Angulo de friccininterna, resistencia por friccin entre partculas del suelo proporcionala la presin normal a la masa.


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= Angulo de inclinacin del plano de falla, medido con la horizontal

H= Altura espesor del material que se desliza, medida como la distancia vertical entre el

punto de contacto y la superficie del terreno.

4 VARIABLES ALEATORIAS Y DETERMINSTICAS

Con base en anlisis estadsticos de datos obtenidos de una serie de 30 ensayos de corte

directo realizados a una arena limosa (Rincn & Suarez, 2012), se midieron las variables C,

y . Las muestras fueron obtenidas de manera inalteradas extradas en bloque del subsuelo del

campus de la Universidad Pontificia Bolivariana de la ciudad de Bucaramanga.

Para las variables y H, se parti del perfil geolgico de una ladera en el municipio de

Caparrap (Cund.) a lo largo del proyecto vial que comunica a Guaduas con Puerto Salgar

(Cund.). Sobre dicho perfil (vaseFigura 2)se realizaron mediciones, por medio del uso del

software AutoCad, para la inclinacin respecto a la horizontal () y altura de la masa

deslizable (H), del cual se obtuvieron 30 datos para cada variable, resumidos en laTabla 1.

Figura 2. Seccin geolgica de anlisis para medicin de las variables H y

Los valores obtenidos en trminos de COV para cada una de las variables y , de la Tabla 1,

se encuentran dentro de los valores reportados por otros autores en estudios similares (vase

Tabla 2). Sin embargo, el COV calculado de la variable C, se encuentra muy por debajo de

los reportados en la literatura para materiales similares. Esto puede deberse a que el muestreodel suelo ensayado no tuvo en cuenta la variabilidad espacial, puesto que se extrajeron de sitio

muy cercanos.

Por otra parte, las variables geomtricas H y , se han reportado en la literatura como de tipo

estocstico (Johari & Javadi, 2012), para la simplificacin del anlisis. Sin embargo, es claro

que los procesos de la naturaleza difcilmente pueden ser predecibles, especialmente luego de

sufrir numerosos procesos de deformacin, alteracin, meteorizacin, plegamiento, etc., a los

que se ven sometidos.


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DATOINCLINACIN () ALTURA (H)

COHESIN(C)

NGULO DEFRICCIN ()

PESOUNITARIO ()

grados metros kPa grados t/m31 16.51 7.30 0.17 22.53 2.102 16.52 9.87 0.17 22.68 2.113 16.52 9.96 0.17 22.94 2.114 16.52 10.06 0.17 23.20 2.115 16.59 10.21 0.17 23.21 2.11

6 17.23 10.33 0.17 23.35 2.117 17.24 10.51 0.17 23.35 2.128 17.24 10.56 0.18 23.48 2.129 18.89 10.57 0.18 23.74 2.1210 18.92 10.72 0.18 24.27 2.1311 19.39 11.31 0.18 24.41 2.1312 19.61 11.48 0.18 24.41 2.1313 19.97 11.57 0.19 24.54 2.1314 20.32 11.95 0.19 24.88 2.1315 20.38 12.04 0.19 24.94 2.1316 20.91 12.19 0.20 25.21 2.1317 21.58 12.31 0.20 25.21 2.1318 22.01 12.32 0.20 25.34 2.1319 22.45 12.39 0.20 25.59 2.1320 23.56 12.41 0.20 25.74 2.1321 23.63 12.48 0.21 26.12 2.13

22 23.66 12.55 0.21 26.40 2.1323 24.09 12.67 0.21 26.40 2.1324 24.79 12.67 0.21 26.54 2.1425 25.10 12.88 0.22 26.79 2.1426 25.91 12.92 0.22 27.19 2.1427 25.98 13.01 0.22 27.32 2.1428 26.04 13.05 0.22 27.98 2.1429 26.76 13.07 0.23 29.07 2.1530 26.76 13.24 0.23 30.98 2.15

Cantidad de datos 30 30 30 30 30Media 21.17 11.62 0.19 25.26 2.13

Desviacin estndar 3.53 1.36 0.02 1.98 0.01COV 17% 12% 10% 8% 1%

COV (otras fuentes) % No reportado No reportado 20 - 80 3.7 - 20


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coeficientes de variacin menores a 10% (Baecher & Christian, 2003). Esto puede deberse a que

los minerales suelen tener gravedades especficas dentro un rango pequeo y el procedimiento

para calcular el peso unitario es razonablemente repetible con pocas variaciones, por lo que el

error de medicin es pequeo. Adicionalmente, se evalu la incidencia que tiene la variable en

el valor esperado del Factor de Seguridad, por medio de la derivada de FS con respecto a , as;

Ec. 13

Con la anterior ecuacin evaluada con los valores esperados de cada variable, se obtiene que la

funcin de desempeo vara en -0.00011 por cada aumento unitario de la variable . Por lo tanto,

considerando que tanto el COV de , como el peso (o incidencia) en el resultado del FS, s on

bajos, se considera que es una variable de tipo determinista.

VARIABLE UNIDAD ESTADSTICOSPRINCIPALES

TIPO DEVARIABLE

CRITERIO DESELECCIN

COHESIN (c) Kg/cm2Media = 0,194

Desv. Estndar= 0,020Coef. Variacin= 10%

ALEATORIACONTINUA

Coeficiente de variacin

considerable, dependede la composicinmineralgica y la

formacin geolgica delmaterial las cuales tienen

un alto grado deincertidumbre

ANGULO DE FRICCIN () grados Media = 25,259

Desv. Estndar = 1,983Coef. Variacin= 8%

ALEATORIACONTINUA

Coeficiente de variacinconsiderable, depende

del tamao, forma ydistribucin

granulomtrica

PESO UNITARIO () g/cm3

Media = 2,127

Desv. Estndar= 0,012Coef. Variacin= 1% DETERMINISTA

Coeficiente de Variacin

bajo, poca incertidumbre

INCLINACIN () grados Media = 21.17

Desv. Estndar= 3.53Coef. Variacin= 17%

ALEATORIACONTINUA

Coeficiente de Variacinalto, depende de

condiciones topogrficasdel terreno

ALTURA MASA DESLIZADA(H)

metrosMedia = 11,622

Desv. Estndar= 1,36Coef. Variacin= 12%

ALEATORIACONTINUA

Coeficiente de Variacinalto, depende de

condiciones topogrficasdel terreno

Tabla 3. Variables aleatorias y determinsticas de la funcin de desempeo

5 FUNCIN DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD PARA CADA VARIABLEEl proceso para la determinacin de las funciones de distribucin de probabilidad de cada una

de las variables identificadas para la funcin de desempeo en estudio, consisti en el anlisis

estadstico de los datos, seguido de un procesamiento de la informacin en el software

EasyFit, con el fin de obtener la distribucin que ms se ajusta al comportamiento normal de

la muestra dentro de una gran cantidad de posibles funciones.

Para cada una de las variables aleatorias (, H, y c), se realiz el anlisis de los datos

medidos, para evaluar el ajuste a una funcin de distribucin terica de probabilidad, por

medio de las pruebas; Kolmogorov- Smirnov (Prueba K-S), Anderson-Darling y Chi-

Cuadrado. Para todas las pruebas de ajuste se evalu el valor de ajuste para una significancia

de 0.05. Dicho valor de ajuste permite rechazar la prueba cuando el valor crtico est pordebajo del valor de ajuste.

= H () tan()


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Figura 3. FDP para la variable inclinacin

Uniform [#60]

Kolmogorov-Smirnov

Tamao de la muestra

EstadsticaValor P

Rango

30

0.119390.7417

6

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 0.19032 0.21756 0.2417 0.27023 0.28987

Rechazar? No No No No No

Anderson-Darling

Tamao de la muestra

EstadsticaRango

30

0.379043

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 1.3749 1.9286 2.5018 3.2892 3.9074


Chi-cuadrado

Grados de libertadEstadsticaValor P

Rango

31.30960.72685

16

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 4.6416 6.2514 7.8147 9.8374 11.345


Figura 4. Pruebas de bondad de ajuste para la variable inclinacin

Funcin de densidad de probabilidad

Histograma Uniform

x

26252423222120191817

0.26

0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0


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Figura 5. FDP para la variable Altura H

Normal [#44]

Kolmogorov-Smirnov

Tamao de la muestraEstadstica

Valor P

Rango

300.16331

0.36085

22

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 0.19032 0.21756 0.2417 0.27023 0.28987


Anderson-Darling

Tamao de la muestra

Estadstica

Rango

30

1.0329

16

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 1.3749 1.9286 2.5018 3.2892 3.9074


Chi-cuadrado

Grados de libertadEstadstica

Valor P

Rango

32.5099

0.4735

15

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 4.6416 6.2514 7.8147 9.8374 11.345


Figura 6. Pruebas de bondad de ajuste para la variable Altura H


Histograma Normal

x

13.212.812.41211.611.210.810.4109.69.28.88.487.6

f(x)

0.52

0.48

0.44

0.4

0.36

0.32

0.28

0.24

0.2

0.16

0.12

0.08

0.04

0


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Figura 7. FDP para la variable cohesin C

Lognormal [#38]

Kolmogorov-Smirnov

Tamao de la muestraEstadstica

Valor P

Rango

300.11395

0.78965

27

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 0.19032 0.21756 0.2417 0.27023 0.28987


Anderson-Darling

Tamao de la muestra

Estadstica

Rango

30

0.45452

14

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 1.3749 1.9286 2.5018 3.2892 3.9074


Chi-cuadrado

Grados de libertadEstadstica

Valor P

Rango

31.6391

0.65056

22

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 4.6416 6.2514 7.8147 9.8374 11.345


Figura 8. Pruebas de bondad de ajuste para la variable cohesin C


Histograma Lognormal

x

0.2320.2240.2160.2080.20.1920.1840.1760.168

f(x)

0.32

0.28

0.24

0.2

0.16

0.12

0.08

0.04

0


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Figura 9. FDP para la variable ngulo de friccin

Normal [#44]

Kolmogorov-Smirnov

Tamao de la muestra

EstadsticaValor P

Rango

30

0.085540.97031

12

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 0.19032 0.21756 0.2417 0.27023 0.28987


Anderson-Darling

Tamao de la muestra

EstadsticaRango

30

0.4109933

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 1.3749 1.9286 2.5018 3.2892 3.9074


Chi-cuadrado

Grados de libertad

EstadsticaValor P

Rango

4

0.298870.9894

5

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

Valor crtico 5.9886 7.7794 9.4877 11.668 13.277


Figura 10. Pruebas de bondad de ajuste para la variab le ngulo de friccin


Histograma Normal

x

30.429.628.82827.226.425.624.82423.2

0.4

0.36

0.32

0.28

0.24

0.2

0.16

0.12

0.08

0.04

0


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VARIABLE UNIDADTIPO DE

DISTRIBUCIN

FUNCIN DEDISTRIBUCIN DE

PROBABILIDAD

PARMETROS

INCLINACIN () grados UNIFORME

a = 15.049

b = 27.288

ALTURA MASADESLIZADA (H)

metros NORMAL = 1.3588 = 11.62

COHESIN (c) Kg/cm2 LOG NORMAL = 0.10068 = -1.6469

ANGULO DEFRICCIN ()

grados NORMAL = 1.9902 = 25.254

Tabla 4. Resumen de Funciones de distribucin de probabilidad de las variables aleatorias

Las funciones de distribucin de probabilidad obtenidas para la variable reportadas en la

literatura (Cruz, 2012), se ajusta a una funcin de tipo normal. Por otra parte, Cruz (2012),

ajusta la funcin de distribucin de probabilidad de la variable C, como una funcin de tipo

Log-normal. De forma similar Johari & Javadi (2012), asignan una funcin de distribucin e

probabilidad terica de tipo normal, para las variables y C.

En cuanto a la incertidumbre de las variables involucradas en la funcin de desempeo, las

cuales se encuentran cuantificadas en la Tabla 1, es posible compararlas con los valores

reportados en la literatura (vase Tabla 2). El valor del COV la variable C obtenido en el

presente estudio (cerca de 10%) es notablemente inferior a los reportados en la literatura

(hasta 80%), probablemente debido a que los datos aqu analizados no consideran la

variabilidad espacial de la cohesin, dado que se tomaron de muestras muy cercanas.

En cuanto al valor del COV obtenido (cerca de 8%) de la variable , se considera que est

dentro de los valores tpicos reportados en la literatura para materiales similares.

Para las variables H y , no se encontraron registros de COV de estudios similares, puesto queestas se han tomado como de tipo determinista. Sin embargo, es claro que las geoformas

talladas por numerosos procesos naturales son aleatorias.

6 MTODOS APROXIMADOS DE CONFIABILIDAD

6.1 Series de Taylor

El mtodo de las series de Taylor, se basa en estimar los momentos estadsticos (, 2) de la

funcin de distribucin de probabilidad para funcin de desempeo dada, a partir de su

derivada con respecto a cada variable dependiente. Posteriormente se evala cada derivada

con los valores esperados de cada variable, y con l se obtiene el peso de cada variable en la

incertidumbre de la funcin de desempeo. Por lo tanto se determinan dichas derivadas en la


14/24

-14-

Tabla 5,junto con los valores de incidencia de cada variable dependiente dentro de la funcin

de desempeo.

Tabla 5. Derivadas de la funcin de desempeo

De las series de Taylor se seleccionan los trminos de primer orden para calcular la varianza

de la funcin de desempeo, con ella el valor de la desviacin estndar (vaseTabla 6).

Tabla 6. Momentos de la funcin de desempeo

Suponiendo una funcin de distribucin de probabilidad de tipo normal, se tiene la siguiente

grfica.

Tabla 7. FDP del FS por el mtodo de Series de Taylor

6.2 Estimacin puntual

El mtodo est basado en momentos de las variables aleatorias ( y ), para determinar los

momentos de la funcin de desempeo, por medio de la discretizacin equivalente de cada

variable continua, evaluada en dos valores conocidos (i+i, i-i). El procedimiento

selecciona 2puntos. El valor de cada variable es una desviacin estndar arriba o debajo dela media (Cruz, 2012).

FS PesoDerivada de la funcion de desempeo con respecto a cada variable

-0.06250

0.01219

42%

0.2%

48%

9%

Funcion de desempeo

0.0547

-0.00020

=

2 tan()

=

2 ()

()

(())

() ()

( )

()

=

2 2 tan()

=

2 +

tan()

EFS 1.213

0.060541337

0.246051493Desviacion estandar del FS

Varianza de la funcion del FS

Valor esperado del FS

2FS


15/24

-15-

Tabla 8. Momentos estadsticos del FS por el mtodo de EP


grfica.

Figura 11. FDP del FS por el mtodo de Series de EP

6.3 Simulaciones de MontecarloLa tcnica est basada en generar n valores aleatorios para cada variable consistentes con su

funcin de distribucin de probabilidad. Posteriormente se calcula el factor de seguridad con

cada conjunto de datos generados aleatoriamente, y con ellos se realiza el tratamiento

estadstico correspondiente para obtener los momentos (, ) de lafuncin de distribucin de

probabilidad aceptable para la funcin de desempeo.

N H C H C FS

1 + + + + 12.98 24.70 27.24 0 .21 1.12141

2 + + + - 12.98 24.70 27.24 0.17 1.12102

3 + + - + 12.98 24.70 23.28 0.21 0.93726

4 + + - - 12.98 24.70 23.28 0.17 0.93688

5 + - + + 12.98 17.63 27.24 0.21 1.62236

6 + - + - 12.98 17.63 27.24 0.17 1.62185

7 + - - + 12.98 17.63 23.28 0.21 1.35591

8 + - - - 12.98 17.63 23.28 0.17 1.35540

9 - + + + 10.26 24.70 27.24 0.21 1.12196

10 - + + - 10.26 24.70 27.24 0.17 1.12147

11 - + - + 10.26 24.70 23.28 0.21 0.93781

12 - + - - 10.26 24.70 23.28 0.17 0.93732

13 - - + + 10.26 17.63 27.24 0.21 1.62308

14 - - + - 10.26 17.63 27.24 0.17 1.62244

15 - - - + 1 0.26 17.63 23.28 0.21 1.35663

16 - - - - 10.26 17.63 23.28 0.17 1.35598

FS 1.259

FS 0.265Desviacion estandar del FS

Media del factor de seguridad FS


16/24

-16-

Tabla 9. Momentos estadsticos de la FDP del FS con simulaciones de Montecarlo


grfica.

Figura 12. FDP del FS por simulaciones de Montecarlo

7 COMPARACIN DE RESULTADOS FDPPARA FS

Luego de obtener las FDP por cada uno de los tres mtodos mencionados en el Numeral

Error! No se encuentra el origen de la referencia., se ilustran los resultados en laFigura13.

Figura 13. FDP para FS por tres mtodos

Los momentos estadsticos de cada FDP se resumen en laTabla 10,

N ITERACIONES 2

100 1.252 0.240 0.058

500 1.284 0.270 0.073

2000 1.278 0.262 0.069

5000 1.258 0.265 0.070

10000 1.259 0.263 0.069

20000 1.255 0.261 0.06850000 1.260 0.263 0.069

100000 1.260 0.264 0.070


17/24

-17-

Tabla 10. Momentos estadsticos de las FDP por los 3 mtodos de anlisis

En cuanto al primer momento (media) se obtiene un valor ligeramente ms bajo con el

mtodo de series de Taylor, debido a que el mtodo considera que los trminos de orden

superior a 1, tienen valores despreciables. Sin embargo, cuando se tiene una funcin con un

nmero importante de variables el error se propaga y puede llegar a ser significativo. Los

mtodos de EP y MC, tienden a obtener valores similares debido a que ambos mtodos

calculan el factor de seguridad por medio de la discretizacin de las variables continuas.

El valor calculado para el tercer momento (asimetra), tiende a cero en los tres mtodos,

debido a que se supone una FDP de tipo normal, y por lo tanto no tiene asimetra. As mismo,

los valores obtenidos de la curtosis, por los tres mtodos tiende a cero, dado que los mtodosadoptan una FDP de tipo normal.

8 INCIDENCIA DE LAS VARIABLES EN LA INCERTIDUMBRE

Teniendo en cuenta una de las ventajas del mtodo de series de Taylor, el cual nos permite

determinar la incidencia de cada una de las variables dentro de la funcin de desempeo

basndose en la derivada de la misma con respecto a cada variable, pudimos establecer que

las variables ngulo de inclinacin () y ngulo de friccin () son las que ms influyen en la

incertidumbre del factor de seguridad con 48% y 42% de peso respectivamente, como semuestra en laTabla 5.

Al contextualizar los resultados al mtodo de talud infinito para el anlisis de la estabilidad de

taludes, es razonable que los ngulos de inclinacin y friccin sean los ms influyentes en el

factor de seguridad, por la magnitud de la relacin entre ellas (tan / tan ) que se encuentra

como ltimo trmino dentro de la funcin.

A su vez, se puede determinar que las variables Altura (H) y cohesin (C) tienen menor

incidencia con un peso de 0.2% y 9% respectivamente. Esto puede deberse a las

simplificaciones del mtodo, en la que analiza una porcin de rea con caractersticas

geomtricas relativamente homogneas para el caso de la altura, y para el de la cohesin porel tipo de material del caso de estudio (Arena- Limosa).

Cabe aclarar que a modo de comprobacin se realiz el anlisis de las derivadas incluyendo la

variable peso unitario (), obteniendo una incidencia de 0.09% dentro de la funcin de

desempeo, con lo cual corroboramos su carcter determinstico.

9 DERIVADA POR EL MTODO NUMRICOEste mtodo permite aproximar la derivada de una funcin, de la que se requiere que la se

pueda evaluar en abscisas situadas simtricamente a ambos lados del punto donde se deseahallar la derivada. El mtodo se aplic a las variables H, y , con el cual se obtuvo el valor

aproximado de la derivada y se compar con respecto a la derivada exacta calculada en el

Taylor Estimacion Puntual Montecarlo

Primero media 1.2125 1.2593 1.2605

Segundo Varianza 0.0605 0.0704 0.0696

Tercero Asimetria 0.00 0.00 0.00

Cuarto Curtosis 0.00 0.00 0.00

Momento estadistico


18/24

-18-

mtodo de las series de Taylor. As mismo se determin el valor del intervalo objetivo i(vase Figura 14) en el que la derivada tiende a un valor central, los datos obtenidos se

resumen en laTabla 11.

Figura 14. Grficos intervalo iVs Derivada de H, y

Al analizar las magnitudes obtenidas para el intervalo i, objetivo que oscilan entre 10-8 y10-7

se puede determinar que tiende a cero, por tal razn y de acuerdo a las recomendaciones del

mtodo se debe trabajar con la derivada terica o exacta obtenida de las series de Taylor.

Tambin se realiz la diferencia entre la derivada exacta y la numrica obtenida por el mtodo

de diferencia central, y los valores resultantes son despreciables.

Tabla 11. Derivada numrica por diferencia central de las variables H, y

-2.0430E-04

-2.0425E-04

-2.0420E-04

-2.0415E-04

-2.0410E-04

-2.0405E-04

-2.0400E-04

0.0E+00 5.0E-09 1.0E-08 1.5E-08 2.0E-08 2.5E-08 3.0E-08

FS/H

i

-6.3243E-02

-6.3243E-02

-6.3243E-02

-6.3243E-02

-6.3243E-02

-6.3243E-02

0. 0E+ 00 2. 0E- 07 4. 0E- 07 6. 0E- 07 8. 0E- 07 1. 0E- 06 1. 2E- 06 1. 4E- 06 1. 6E- 06 1. 8E- 06

FS/

i

5.5105E-02

5.5105E-02

5.5105E-02

5.5105E-02

5.5105E-02

5.5105E-02

5.5105E-02

5.5105E-02

5.5105E-02

0. 0E+ 00 2. 0E- 07 4. 0E- 07 6. 0E- 07 8. 0E- 07 1. 0E- 06 1. 2E- 06 1. 4E- 06 1. 6E- 06 1. 8E- 06

FS

/

i

Derivada H

Exacta -0.000203138242 -0.0624975647525 0.054730807810

Numerica -0.000204163239 -0.0632427958651 0.055105326959

Diferencia 5.05E-03 1.19E-02 6.84E-03

i objetivo 1.6E-08 9.9E-07 6.8E-07


19/24

-19-

10 NUMERO DE SIMULACIONES PARA EL MTODO DE MONTECARLO

Con el fin de establecer el nmero mnimo de simulaciones con las cuales se logra obtener un

valor ajustado de simulaciones con los que se puede asegurar la variacin despreciable de los

momentos estadsticos y 2, junto con la probabilidad de falla. El numero [N] de iteraciones

se establece cuando la variacin en dichos momentos es relativamente baja (vase Figura 15).

Figura 15. Determinacin del nmero de iteraciones a partir de los valores , y Pf del FS

Por lo tanto, el nmero recomendado de simulaciones para el mtodo de Montecarlo es de

100.000 iteraciones.

11 PROBABILIDAD DE FALLA

A partir de los momentos estadsticos obtenidos por los diferentes mtodos, se procedi a

calcular el ndice de confiabilidad y su respectivo valor normalizado (), con el cual se

calcula la probabilidad de falla (Pf), vaseTabla 12.

Tabla 12. Probabilidad de falla

La menor probabilidad de falla se obtiene por el mtodo de Montecarlo, esto era de esperarse

teniendo en cuenta que el mtodo evala gran cantidad de escenarios y miles de valores

aleatorios para cada variable, lo cual lo convierte en un mtodo ms exacto y disminuye el

error presente en los clculos.

Para el mtodo de estimaciones puntuales el valor no difiere mucho del anterior, debido la

similitud en los momentos estadsticos de estas funciones de probabilidad.

Finalmente por el mtodo de Series de Taylor la probabilidad de falla es ms alta y difiere de

los mtodos anteriores en 3.21% y 2.97% respectivamente, esto puede deberse a que como se

indic anteriormente, el mtodo puede no ser muy exacto y propagar el error, debido a que

asume solo los trminos de primer orden de la serie.

Respecto a los valores reportados en la literatura para estas probabilidades de falla en talud

infinito, se han encontrado valores entre 6% y 7% (Johari & Javadi, 2012), estos valores

inferiores a los obtenidos, pueden deberse a que se establecieron como variables estocsticas

el ngulo de friccin , peso unitario y cohesin C y como variables constantes o

Taylor Estimacion

Puntual Montecarlo

1.2125 1.2593 1.2605

0.2461 0.2653 0.2639

0.8637 0.9775 0.9871

() 0.8061 0.8358 0.8382

Pf 19.39% 16.42% 16.18%


20/24

-20-

determinsticas la altura de la masa deslizable H y el ngulo de inclinacin ; De acuerdo a

los clculos y anlisis realizados, esta ltima variable es una de las de mayor incidencia en la

funcin de desempeo del factor de seguridad, el hecho de considerar la incertidumbre de

dicha variable implica mayores probabilidades de falla.

12 NDICE DE CONFIABILIDAD

Teniendo en cuenta los ndices de confiabilidad obtenidos en laTabla 12,se puede realizar un

anlisis similar al de la probabilidad de falla, pues estos dos indicadores estn inversamente

relacionados, es decir que a mayores valores de (ndice de confiabilidad) se obtienen

sistemas ms confiables con probabilidades de falla menores y viceversa.

La diferencia obtenida entre los tres mtodos obedece a las mismas razones expuestas en el

literal anterior.

Respecto a los valores reportados en la literatura tenemos rangos de ndice de confiabilidad

entre el 1.511 y 1.685 (Johari & Javadi, 2012), en la Tabla 13 se observan los valoresobtenidos y los reportados en la literatura a modo de comparacin.

Mtodondice de confiabilidad

(Johari & Javadi, 2012) (Presente estudio)

Montecarlo 1.685 0.9871

Estimaciones puntuales 1.524 0.9775

FOSMSeries de Taylor 1.511 0.8637

Tabla 13. Comparaciones ndices de confiabilidad obtenidos vs reportados en la literatura

Puede concluirse que as como en el caso de la probabilidad de falla, la incertidumbre

considerada en el presente estudio para la variable ngulo de inclinacin es determinante en

las diferencias presentadas.

13 PROBLEMAS QUE PUEDAN RESOLVERSE CON UNA PDFASUMIDA

Problema 1. Uno de los grandes vacos que existe en la legislacin Colombiana (NSR-10), esque no existen valores de referencia para determinar la probabilidad de falla aceptable

asociada a obras geotcnicas. De acuerdo a la NSR-10 el valor mnimo admisible para disear

un talud en condiciones estticas y de agua subterrnea Normal es de 1.5 (VerTabla 14).

Tabla 14. Factores de seguridad requeridos en la NSR-10. Tabla H.2.4-1.


21/24

-21-

Teniendo en cuenta los momentos estadsticos obtenidos para el anlisis del factor de

seguridad para un talud infinito por el mtodo de Montecarlo, calcule la probabilidad que el

talud diseado est en condicin de falla es decir, P (FS


22/24

-22-

Solucin:1. Se toma la funcin de distribucin acumulada obtenida por el mtodo de estimaciones

puntuales, y se lee directamente el valor del factor de seguridad asociado a una

probabilidad de 16%

Figura 17. Anlisis de FS para una Pf >16%

2. Por lo tanto se determina que el factor de seguridad mximo con el que se obtiene una

probabilidad de falla mayor a 16% es de 1.0

14 ALTERNATIVAS PARA DISMINUIR LA PROBABILIDAD DE FALLA

El tipo de superficie de deslizamiento por la cual se produce la falla de un talud, depende

bsicamente del ngulo de inclinacin del talud, la cohesin y el ngulo de rozamiento o

friccin interna del suelo (Montoya A. , 2009). Esto es congruente con los anlisis realizados

en donde las variables de mayor influencia en el factor de seguridad son y .

Como se evidenci en anlisis anteriores, el valor del ngulo de inclinacin es el ms

importante al momento de determinar los indicadores de confiabilidad, por tal razn se hacenecesario implementar estrategias para conocer mejor esta variable con el fin de reducir su

incertidumbre, aunque en la el ejercicio prctico, no es posible modificar las condiciones

geomtricas de la superficie de falla. Por tal razn se debe contemplar modificar las

condiciones de las variables que si pueden intervenirse con ms facilidad, en ese orden de

ideas se proponen las siguientes alternativas para disminuir la probabilidad de falla del talud:

ALTERNATIVA 1

Disminucin de la altura de masa deslizable (H) por medio de conformacin de terrazas para

reducir el volumen de material sobre la superficie de falla. Dentro de los clculos realizados,

se contempla una reduccin de la altura aleatoriamente en un 50% aproximadamente del valoresperado, y se obtienen reducciones de la probabilidad de falla del orden de 0.23%

aproximadamente (vaseTabla 16):

Tabla 16. Probabilidad de Falla para alternativa 1

Taylor Estimacion

Puntual Montecarlo

1.2151 1.2619 1.2632

0.2464 0.2656 0.2642

0.8731 0.9862 0.9961

() 0.8087 0.8380 0.8404

Pf (Alt1) 19.13% 16.20% 15.96%

Pf (Inicial) 19.39% 16.42% 16.18%Diferencia -0.26% -0.22% -0.22%


23/24

-23-

ALTERNATIVA 2

Aumento de la cohesin del suelo (C) por medio de sistemas de reforzamiento mecnico y

estabilizacin de taludes (Anclajes activos, pernos de anclaje, inyecciones entre otros) con el

fin de incrementar los parmetros de resistencia del suelo. Dentro de los clculos realizados,

se contempla un aumento de la cohesin en el doble aproximadamente del valor esperadoinicial, y se obtienen reducciones de la probabilidad de falla del orden de 0.21%


Tabla 17. Probabilidad de Falla para alternativa 2

ALTERNATIVA 3

Con el fin de obtener resultados ms eficientes en la reduccin de la probabilidad de falla, se

propone la evaluacin de una combinacin de las alternativas 1 y 2. Dentro de los clculos

realizados se obtienen reducciones de la probabilidad de falla del orden de 0.67%


Tabla 18. Probabilidad de falla alternativa 3

15 CONCLUSIONES

Al definir el ngulo de inclinacin () como una variable aleatoria, se pudo determinar que a

pesar de tener gran incidencia en el factor de seguridad, en la mayora de los casos estudiados

de otros autores se desprecia su incertidumbre, y se ha tomado como de tipo determinista, por

lo que se sobreestima el factor de seguridad.

A pesar de considerar algunas alternativas para reducir la probabilidad de falla (alternativas

viables y ajustadas al contexto de estudio, i.e. proyectos viales), las variaciones de la

probabilidad de falla no son significativas (< 1%), por tal razn debe evaluarse la intervencinen las dems variables involucradas en el factor de seguridad. Puede ser viable conocer mejor

Taylor Estimacion

Puntual Montecarlo

1.2149 1.2618 1.2630

0.2463 0.2656 0.2642

0.8723 0.9856 0.9953

() 0.8085 0.8378 0.8402

Pf (Alt1) 19.15% 16.22% 15.98%

Pf (Inicial) 19.39% 16.42% 16.18%

Diferencia -0.23% -0.20% -0.20%

Taylor Estimacion

Puntual Montecarlo

1.2201 1.2671 1.2683

0.2470 0.2663 0.2649

0.8912 1.0033 1.0130

() 0.8136 0.8421 0.8445

Pf (Alt3) 18.64% 15.79% 15.55%

Pf (Inicial) 19.39% 16.42% 16.18%

Diferencia -0.75% -0.63% -0.62%


24/24

las variables relacionadas con la resistencia del suelo, sin embargo, no garantiza que el COV

se reduzca, eso depende del comportamiento de la variable.

El mtodo de Montecarlo se determina como el ms ajustado y exacto, ya que teniendo en

cuenta la cantidad de datos e iteraciones (100.000) se reduce el error y se obtienen resultados

ms acertados.

Al evaluar la altura de la masa deslizable H como una variable aleatoria, se pudo establecer

que no incide significativamente en la funcin de desempeo , por tal razn puede manejarse

como determinstica.

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