Modelos matemáticos de con…abilidadAnálisis de confiabilidad y mantenibilidad
19-31 de agosto de 2005/1,6 de abril de 2005
1 de septiembre de 2004/5 de abril de 2004
4 de septiembre de 2003/16 de abril de 2003
Dr. Rodrigo Pascual Curso Mantención de Maquinas
Al terminar de leer este capitulo, podrás:
Definir y calcular:
Motivación
comprensión de los fenómenos de falla
Fallas
aleatorias,
Estudiaremos
Objetivos
Definir programas
Dificultades
incertidumbre
Escasez de datos
Tipos de intervenciones
Distribuciones
Distribuciones
Distribución exponencial
Tasa de fallas
1/l
Para una pob. exponencial
Distribución de Poisson
l
Poisson
probabilidad de que k eventos ocurran en el intervalo T:
m=lT
En excel,
Ejemplo
Hoja1
Ejemplo
Solución
agregado
Distribución gaussiana
Probabilidad acumulada
Obs
F(x)
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Ejercicio
si
=10 fallas/semana laboral
Solución
Ejercicio
probabilidad de que falle entre las 200 y 300 ut?
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Solución
0,0001
Ejercicio
Decisión:
Criterio:
Solución
Confiabilidad
Edad
Obs
Numero esperado de fallas en un cierto intervalo
Costos de falla asociados
Costos de intervención esperados
Observaciones
La probabilidad de que falle en un intervalo infinito es 1
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Observaciones
Métodos para estimar R a partir de historial de fallas
Estimar
R,
en el instante ti quedan
n - i unidades operando.
x
x
x
x
tiempo
Edad
Estimación inicial
Por lo tanto,
Obs
posibilidad nula de que hayan unidades operando para t > tn.
poco probable
se subestima R
Además,
las primeras y las ultimas observaciones,
tengan la misma distancia con respecto al 0% y 100% de posibilidad
simetría
25%
100%
Estimación de F (II)
III. rangos de la mediana
Importancia de las colas
Tabla de rangos medianos
Ejemplo, n=8
Desviaciones c/r a método de la mediana (tabla)
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tasa de falla definida por tramos
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Confiabilidad
Modelo de Dhillon
MTBF si estrategia correctiva
Ejemplo
componente
confiabilidad
Ejemplo
tasa de fallas constante
Ejemplo
Si
MTBF
a las 500 horas:
R(500) = exp(2E-6 * 500) = 0.999
MTBF = 1/2E-6 = 50000 horas
Desgaste mecánico
Ejemplo
Si
en Maple:
MTBF = 3943 horas
Mantenibilidad
-reparaciones/unidad de tiempo-
Ejemplo
Ejemplo
Distribución de Weibull
Ley de Weibull, 3 parámetros
adimensional
ut
ut
l(t)=
Tasa de fallas de Weibull
g=0
Modelo de Weibull
Weibull
Función Gamma
Obs
Si =0
Weibull
Estimación de F(t)
F(i) = (i – 0.3)/(n + 0.4)
método de rangos medios:
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Aplicación practica
Calcular pares (X,Y)
Weibull
Curva de Weibull para > 0
log t
Ejemplo, población de componentes
801 312 402 205 671 1150 940 495 570
Se desea conocer la confiabilidad para una vida de 600 horas y el MTTF.
Hace en excel
En matlab
» t=[205 312 402 495 570 671 801 940 1150];
» F=.1:.1:.9;
» X=log(t);
» Y=log(log(1./(1-F)));
» P=polyfit(X,Y,1);
» beta=P(1)
beta=1.79
En matlab
» eta=exp(P(2)/(-P(1)))
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
6.6
6.8
7
7.2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Matlab (2)
weibplot([205 312 402 495 570 671 801 940 1150])
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En maple
Ejemplo 0 , vida de componentes
./me57a/datos/datos-conf1.xls
Ajuste para =0
Estudio
|Ax-B|
Ajuste óptimo
Verificación de modelos
queremos que el riesgo sea menor:
definimos el nivel de confianza
probabilidad de que el modelo sea erróneo.
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Test 2
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Pasos
Debe haber al menos 5 observaciones en cada grupo.
Los intervalos para definir los grupos no son necesariamente de la misma longitud.
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Test 2
diferencias entre
nro pronosticado
Test 2
Test 2
= r - k - 1
k = 3 para la ley de Weibull
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Test 2
Ejemplo
Supóngase que para un grupo de equipos similares se han observado los siguientes TBF:
n=
Ejemplo
Hipótesis
confianza 95%
Ejemplo
Ejemplo
La probabilidad de que una observación caiga en los grupos definidos en la tabla es
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Test de aceptación
Ejemplo
2
Ejemplo
Test Kolmogorov-Smirnov (KS)
si n es grande
usar el test 2 .
Test KS
El modelo propuesto
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Kolmogorov-Smirnov
La discrepancia para ti es:
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Kolmogorov-Smirnov
Dn = max(Dni )
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Ejemplo
Evidencia
Probabilidad
En Excel
Kolmogorov-Smirnov
Kolmogorov-Smirnov
Kolmogorov-Smirnov
D8,0.05 = 0.457
Kolmogorov-Smirnov
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Vida remanente esperada
Vida remanente esperada
dado que
ut:unidad de tiempo
Vida remanente esperada
Weibull de 2 parámetros
Ejemplo
=1/2,1,2,3
Maple
>MRL:=int(t*f0,t=0...infinity);
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Comentarios
R(t)
MTBF
(t)
MTTR
, Weibull
Bibliografía
R. Pascual. El Arte de Mantener (draft). Universidad de Chile, 2007
P. Lyonnet. Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991.
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