Congruencia de Triangulos II Bim

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

4to. AoGeometra y TrigonometraII Bimestre 2013

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

a) CASO (ALA)

b) CASO (LAL)

c) CASO (LLL)

d) CASO (ALL MAYOR o LLA MAYOR)

CONGRUENCIA DE TRINGULOS RECTNGULOS

Dos tringulos rectngulos son congruentes si tienen:

a) CASO I: Dos lados iguales.

b) CASO II: Un ngulo agudo y un lado cualquiera.

TEOREMAS QUE SE DEDUCEN DE LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

TEOREMA DE LA BISECTRIZ.- Lasperpendiculares trazadas desde cualquier punto de la bisectriz a los lados del ngulo, determinan dos tringulos congruentes:

( PQ = PR; OQ = OR

TEOREMA DE LA MEDIATRIZ.- Las rectas trazadas desde un punto cualquiera de la mediatriz a los extremos del segmento, determinan dos tringulos congruentes.

( PA = PB

TEOREMA DE LA BASE MEDIA.- Si desde el punto medio de un lado del tringulo se traza una paralela a la base entonces el segmento originado es la mitad de la base y sobre el otro lado determina segmentos iguales.

Si M es punto medio de AB y MN//AC:

( y

BN=NC

TEOREMA DE LA MEDIANA DE UN TRINGULO RECTNGULO.- La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Si BM es mediana

(

CONSECUENCIA:

Si AC = 2BH x = 30

FORMULAS ESPECIALES:

LISTNUM ParaNumbers2 \l 1 x = 120- 2

LISTNUM ParaNumbers2 \l 1 x = 120- TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES

ACTIVIDADES

1. Demuestre el teorema de la bisectriz2. Demuestre el teorema de la mediatriz.3. demuestre el teorema de los puntos medios.4. Demuestre el teorema la mediana para un triangulo rectngulo.5. Demuestre que si un triangulo tiene dos lados iguales, los ngulos opuestos a estos lados son iguales.6. Demuestre el reciproco del teorema anterior.7. Demuestre que dos tringulos rectngulos son congruentes si tienen un ngulo agudo y un lado cualquiera respectivamente iguales.8. Demuestre que dos tringulos rectngulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente iguales.9. Demuestre que las alturas correspondientes a los lados iguales en un triangulo issceles son iguales.10. Demuestre que en el siguiente cuadriltero, se cumple

11. Demuestre que en el siguiente cuadriltero, se cumple

PROBLEMAS PROPUESTOSTringulos rectngulos notables

1. Si: AC = 12 Hallar BH.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Hallar AC

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)2,5

3. Calcular: m + n

a) 4 - b) 7 -

c) /2

d) 7 +

e) N. A.

4. Halla x

a)

b) /2 c) 1

d) 0,5

e) N. A.

5. Calcular x

a) 1

b) 2c) 3d) 4e) 5

6. Hallar x

a) 10

b) 12 c) 13

d) 14

e) 15

7. Hallar a.

a) 4

b) 6

c) 6

d) 12

e) 12

8. En un tringulo rectngulo ABC, el ngulo C es 30, la hipotenusa AC mide metros, la altura BH y la bisectriz AF se cortan en E. Calcular el permetro del tringulo BEF.

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4

e) 5

9. En un tringulo ABC, = 127, M es punto medio de AC. Se traza MQ(BC (Q en BC). Hallar MQ, si: BQ = 3 y QC = 6.

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4

e) 5

10. En un tringulo ABC, = 15, = 30 y AB = 8. Hallar AC.

a) 16

b)

c) 24

d) 15

e)

11. En un tringulo ABC, siendo: = 15; = 90 y AC = 24. Hallar la longitud de la bisectriz BD.

a) 4

b) 2

c) 3

d) 5

e) 6

12. Hallar x, L = 3 +

a) 3 b) c) 1+ d) -

e) 1

13. BC = 6

y CD =

Hallar AB.

a) 15

b) 12 c) 9

d) 18

e) 13

14. En un tringulo ABC, =15, = 30 y AB=8. Hallar AC.

a) 16

b)

c) 24

d) 15

e)

15. En un tringulo ABC: = 30 y = 120. Sobre la prolongacin de AB se ubica el punto P y sobre AC se ubica el punto Q. Si: AB = BP = QC. Hallar el .

a) 30

b) 45 c) 53

d) 44

e) 60

16. Hallar AD

AC =

a) 10

b) 12 c) 13

d) 14

e) 15

17. En un tringulo ABC, recto en B, la hipotenusa AC mide 4 metros y el ngulo C mide 22,5. Hallar la altura BH.

a) 1

b) 0.5 c) 2

d)

e)

18. En un tringulo ABC: AB = 8, = 45 y = 30. Hallar BC.

a) 4b) 8

c) 6

d) 4

e) N. A.

19. En un tringulo ABC, recto en B: si: AB = 12 m y BC = 9 m. Calcule la longitud de la bisectriz interior trazada desde B.

a)

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

20. En un tringulo oblicungulo, se traza la ceviana interior BD tal que: = 30; BC = 16 y AB toma su mnimo valor entero par. Calcular la medida aproximada del ngulo ABD.

a) 18

b) 24 c) 37

d) 67

e) 75

21. En un tringulo ABC: = 45; = 30; BC = 6. Hallar AC.

a)

b) c) 3.5

d)

e)

22. En el interior de un cuadrado ABCD se construye el tringulo equiltero AED, se traza CF perpendicular a la prolongacin de BE y luego se traza FL ( AD. Hallar FL, si: AB = 12.

a) 1

b) 3 c) 5

d) 7

e) 9

23. Los ngulos interiores de un tringulo rectngulo miden 15 y 75. Hallar la relacin de los catetos.

a) 2 +

b) 6 +

c) 6,4

d) 12,5

e) 12 +

PROBLEMAS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

NIVEL I1. Segn el grafico, AB= EC y CD = AE. Hallar x.

A) 80 B) 40 C) 60 D) 50 E) 302. En la figura, calcular x.

A) 18 B) 30 C) 19 D) 10 E) 37

3. Calcula x a partir de la figura.

A) 45 B) 15 C) 18,5 D) 26,5 E) 374. En la figura, calcular x.

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

5. En el grafico, MN//BC, AM=BC, MN=12 y MC= 5. halle AM.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

6. Segn la figura, los tringulos ABC y BPQ son equilteros. Calcular x.

A) 120 B) 125 C) 130 D) 140 E) 150

7. En el grafico, MQ=12 y RQ= 4. Calcule x.

A) 50 B) 45 C) 90 D) 60 E) 80

8. En la grafica, MN=2 y BC=5; calcular AC.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 59. Si AB = 10, BC = 8 y BP = 1, hallar MP.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E)4,810. Hallar AH si AB = 9 y AC = 17

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E)8

11. Si AM = MC, hallar :

A) 36B) 37C) 60D) 30E) 32

12. Del grafico, AB=HD. Calcular x.

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 63,513. De la figura, AD=BC; BD=DC adems, el triangulo DRC es equiltero. CalculeA) 40 B) 35 C) 30 D) 20 E) 4514. En la figura, AP=2 y PC= 7. Calcular BP.

A) 7 B) 8 C) 3 D) 4 E) 515. En el grafico mostrado, BC=20. Calcule AH.

A) B) 10 C) D) 5 E)

16. Los tringulos ABD y BQC son congruentes, calcular el ngulo BAC.

A) 30 B) 25 C) 15 D) 20 E) 18NIVEL II

17. En el triangulo ABC, BM es mediana y BC = 2AH. Hallar x.

A) 20 B) 18 C) 36 D) 37 E)30

18. Si AB = DC = 6, hallar MN siendo M y N puntos medios de AD y BC respectivamente.

A) 3 B) 2 C) D) E)4,5

19. En la figura, AB = 9, AC = 6 y BC = 13, hallar DE.

A) 4 B) 7 C) 5 D) 3 E)6

20. Hallar BN si MN es mediatriz de AC.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)2,5

21. QC = 2BP; determinar x.

A) 15 45 B) 18 30 C) 22 30 D) 30 E)15

22. Hallar AP si QD = 4.

A) 8B) 7C) 5D) 10 E) 12

23. Si CD = 2BC, hallar .

A) 20 B) 30 C) 15 D) 45 E)1024. Determinar x.

A) 50 B) 45 C) 60 D) 30 E)23

25. Hallar x, si: AF = BF + BC

A) 10 B) 30 C) 16 D) 20 E)12

26. Hallar HC.

A) 27 B) 20 C) 35 D) 34 E)18

27. Hallar x si EC = 2AB.

A) 15 B) 2230 C) 1830 D) 30 E)18

28. AD = DC = CB, calcular

A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 30

EMBED Visio.Drawing.4












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a

a

C

H

B

A

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a

30

60

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24a

7a

16

74

_1207646189.vsd2a

a

26,5=53/2

_1207657459.vsdB

A

Q

M

C

N

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a

18,5=37/2

_1207646185.vsd4a

a

14

76

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a

8

82

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4a

3a

37

53

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C

D

A

45-

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B

C

M

H

A

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