Congruencias y calendarios

El Calendario Gregoriano El origen de nuestro calendario actual se encuentra en el Calendario Juliano, llamado así por Julio César, quien participo activamente en el diseño de éste. En dicho calendario cada año constaba de 365 días y cada cuatro años había un año bisiesto de 366 días. El calendario de 12 meses comenzaba en el mes de Marzo y finalizaba en Febrero. El nombre y duración de los meses era el siguiente: Marzo 30, Abril 30, Mayo 31, Junio 30, Quinto 3, Sexto 31, Septiembre 30, Octubre 31, Noviembre 30, Diciembre 31, Enero 31 y Febrero 28. Durante el tiempo de César el mes quinto cambió de nombre por julio, en honor a este emperador. Más tarde, el mismo Julio César decidió que el año debería comenzar en enero. De esta manera quedó organizado el calendario sin sufrir ninguna modificación hasta la reforma del Papa Gregorio XIII en 1582.

Las congruencias se utilizan para muchos cálculos relacionados a calendarios, como el cálculo del día de la semana, de días entre dos fechas, años bisiestos, entre otros, se pretende estudiar algunos de los algoritmos que pueden usarse para realizar dichos cálculos y resolver ejercicios interesantes.

La congruencia de Zeller es un algoritmo creado por Julius Christian Johannes

Zeller se utiliza para calcular el día de la semana de cualquier fecha

del calendario.

Por ejemplo para el calendario Gregoriano tenemos:

ℎ = 𝑞 + 𝑚 + 1 26

10 + 𝑘 +

𝑘

4 +

𝑗

4 − 2𝑗 𝑚𝑜𝑑 7

Donde h es el día de la semana 0=sábado, 1=domingo, 2=lunes, 3=martes, 4=miércoles, 5=jueves, 6=viernes, q es el día del mes, m es el mes, J es la centuria (año / 100) y K el año de la centuria (año mod 100). Enero y febrero se cuentan cómo meses 13 y 14 del año anterior.

Explicación de la formula

𝑞 representa la progresión del día de la semana basada en el día del mes, dado que cada día sucesivo resulta en un desplazamiento adicional de 1 en el día de la semana.

𝑘 representa la progresión del día de la semana basada en el año. Suponiendo que cada año tiene 365 días, la misma fecha de cada año sucesivo será

desplazada por un valor de 365 𝑚𝑜𝑑 7 = 1.

Como hay 366 días en cada año bisiesto, esto debe tener en cuenta añadiendo un día adicional al valor de desplazamiento del día de la semana. Esto se logra

añadiendo 𝑘

4 al desplazamiento. Este término se calcula como un resultado entero.

Cualquier resto que pueda haber es descartado.

Usando una lógica similar, se puede calcular la progresión del día de la semana para cada centuria observando que hay 36524 días en una centuria normal, y

36525 en cada centuria divisible por 400. Dado que 36525 𝑚𝑜𝑑 7 = 6 y

36524 𝑚𝑜𝑑 7 = 5 , el término: 𝑗

4− 2𝑗 refleja esto usando división entera y

descartando cualquier resto fraccional. Para evitar los números negativos, este

término se puede reemplazar por 5𝑗 +𝑗

4 con un resultado equivalente.

El término 𝑚+1 26

10 se puede explicar de la siguiente manera. Zeller observó que,

al iniciar cada año el 1 de marzo, el día de la semana de cada mes sucesivo progresaba multiplicando el mes por un valor constante y descartando el resto fraccional.

La función 𝑚𝑜𝑑 7, normaliza el resultado para que se encuentre en el intervalo de 0 a 6, lo que da el índice del día de la semana correcto para la fecha analizada.

Otra forma de hacerlo

Regla de Zeller: 𝑓 = 𝑘 + (13𝑚−1)

5 + 𝐷 + [𝐷/4] + [𝐶/4] − 2𝐶

La 𝑘 representa el día del mes, en este caso k=7. La "m" es el número del mes. Los meses se cuentan diferentes para la regla Zeller, marzo es 1, abril es 2, mayo 3, junio 4, julio 5, agosto 6, setiembre 7, octubre 8, noviembre 9, diciembre 10. Enero 11 y febrero es 12 se cuentan como si pertenecieran al año anterior. Los días de la semana 0=domingo, 1=lunes…así sucesivamente.

Ejemplo 1: ¿Qué día será el 7 de julio de 2082?

Ya que el ejemplo es julio, m=5. La "D" son los últimos dos dígitos del año, así que D=82. La "C" usa los primeros dos dígitos del siglo correspondiente, en este caso C=20.

𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑓 = 7 + (13(5)−1)

5 + 82 + [82/4] + [20/4] – 2(20)

En esta parte se eliminan los decimales de cada expresión y el resultado es

𝑓 = 86, se divide por 7(mod 7) 86

7= 12, 2 para obtener el resto se realiza

86 − 12 ∙ 7 = 2, al ser 2 el resto el día de la semana sería martes.

Ejemplo 2: ¿Qué día de la semana fue el 12 de octubre de 1492? Día del

descubrimiento de América, conocido como el Encuentro de culturas.

Debemos determinar cuántos días han transcurrido, modulo 7, desde el 12 de octubre de 1492 a, por ejemplo, el 12 de diciembre del 2013 que sabemos será jueves. Entre esas fechas han pasado 521 años y 61 días. De los cuales 126 son bisiestos. Entonces:

521 ≡ 3(mod 7) 365 ≡ 1(mod 7) 61 ≡ 5(mod 7) 126 ≡ 0(mod 7)

521 ∙ 365 + 126 + 61 = 3 ∙ 1 + 0 + 5 = 8 y 8 ≡ 1 (mod 7). Como el día de referencia es jueves debemos restar un día, por lo tanto el 12 de octubre de 1492 fue un miércoles. El razonamiento esbozado en el ejemplo anterior, es totalmente correcto desde un punto de vista matemático, sin embargo la respuesta correcta es que ese día fue viernes, según el diario de Cristóbal Colón, una serie de acontecimientos Históricos hacen que este día no coincida perfectamente. Por ejemplo algunos años intercalados de 366 días, meses de 30 días, entre otros a través de la historia. Ejemplo 3: Qué día de la semana fue el 1 de diciembre de 1948, día en que se abolió el ejército en Costa Rica? Como la semana tiene 7 días, utilizaremos la congruencia modulo 7 Necesitamos saber cuántos días han pasado desde el 1 de diciembre de 1948(día A) a por ejemplo el 1 de diciembre del 2013. Sea N esta cantidad de días y 𝑁 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑7 , con 0 ≤ 𝑎 < 7, es decir 𝑎 es el número de días que sobran al dividir N por 7. N: sábado N-1: viernes………0: día A. Recordemos que el día de la semana no cambia si a la fecha se le suma un número de días que sea múltiplo de 7. Desde el 1 de diciembre de 1948 al 1 de diciembre del 2013, hay 65 años De los cuales 16 son bisiestos, como 65 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑7) 365 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑7 16 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑7 Entonces tenemos que 65 ∙ 365 + 16 = 2 ∙ 1 + 2 = 4 donde 𝑎 = 4, de aquí que debamos sumar 3 días (7-4) al día de referencia que es domingo. Por lo tanto el 1 de diciembre de 1948 fue miércoles.

Ejemplo 4: Las horas. Para contar el tiempo en un mismo día, usamos las horas. Un día tiene 24 horas exactas y para contar las horas comenzamos por la hora 1, que es cuando comienza el día, el día comienza en un instante 0 y contando 12 horas a partir de ese instante, el sol se hallará en la posición más alta del firmamento. Así pues, la primera hora comienza en el instante 0, la segunda después de una hora y así sucesivamente hasta la hora 24. Al finalizar la hora 24 comienza un nuevo día y aquí reiniciamos el conteo de las horas. Es decir contamos las horas módulo 24. Por ejemplo, si en este momento son las 8 p.m. ¿Qué hora será dentro de 200 horas? Solución: 8 pm son 20 horas del día, si x es la hora buscada, debemos tener

𝑥 ≡ 20 + 200 𝑚𝑜𝑑 24 , luego 220 ≡ 4 (𝑚𝑜𝑑24), Así se obtiene 𝑥 ≡ 4 (mod 24), Luego la hora x será las 4 a.m. Ejemplo 5 Ciclos Lunares El ciclo lunar o ciclo metónico, es un período igual a 19 años solares. La razón de esto se debe al astrónomo griego Meton (siglo 5 a.c.), quien descubrió que 19 años solares son iguales a 235 meses lunares. Los años del ciclo metónico se llaman años dorados. El primer año de un ciclo es aquel en que las fases lunares del mes de enero de dicho año comienzan el 24 de diciembre. Así, por ejemplo en el año 1 de la Era Cristiana se inició un ciclo metónico. Luego en año 1 d.c. tiene número dorado 1, el año 2 d.c. tiene número dorado 2 ,..etc. Luego el año 20 tiene número de oro 1, y así sucesivamente. La regla para calcular el número de oro t, de un año x cualquiera es:

𝑡 ≡ 𝑥 + 1 𝑚𝑜𝑑 19 , por ejemplo 1993 tiene número de oro 18, pues

1993 + 1 = 1994 ≡ 18 𝑚𝑜𝑑 19 .

Congruencias y Acertijos

Acertijo 1: ¿Cómo podemos medir 14 litros de agua, con 2 recipientes de

capacidad 3 y 19 litros?

Solución:

Para resolver el problema notemos que 19 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑3)

Por lo tanto, si empezamos a llenar el recipiente de 3 en 3 litros, al final nos

quedarán 2 litros en el recipiente más pequeño, entonces vaciamos el recipiente

mayor y depositamos estos dos litros en él, ahora bien 14 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑3). Así

14 = 3𝑘 + 2, para 𝑘 entero. Luego de depositar 2 litros en el recipiente mayor,

introducimos 3𝑘 litros con nuestro recipiente de 3 litros, obteniendo así los

3𝑘 + 2 = 14 litros deseados.

Acertijo 2: Considerando un número de 4 cifras. Sea A tal número, entonces

𝐴 ≡ 𝐴(𝑚𝑜𝑑10000)

59𝐴 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑10000 , donde 𝑎 son las últimas 4 cifras de 59A,

3 ∙ 59𝐴 ≡ 3 ∙ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑10000), donde b es el numero compuesto por las 4 últimas

cifras de 3 ∙ 𝑎 y finalmente 113 ∙ 59 ∙ 3 ∙ 𝐴 ≡ 113𝑏 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑10000), donde c es el

numero compuesto por las 4 últimas cifras de 113 ∙ 𝑏.

Pero 113 ∙ 59 ∙ 3 ∙ 𝐴 = 20001𝐴 = 20000𝐴 + 𝐴 ≡ 𝐴(𝑚𝑜𝑑10000) y como

A es un número de 4 cifras, se sigue que 𝐴 = 𝑐.

Luego de este análisis: podemos encontrar el siguiente acertijo matemático.

Piense un número de cuatro cifras, multiplíquelo por 59, tome las cuatro últimas

cifras del número que obtuvo, multiplícalo por 3, tome las últimas cuatro cifras del

resultado de esta operación y multiplíquelas por 113, las cuatro últimas cifras que

usted obtuvo corresponden exactamente al número que usted pensó.

Ejemplo: pensemos en el número de cuatro cifras 1234.

Se multiplica por 59 así 59 ∙ 1234 = 72806

Tomando las últimas 4 cifras 2806 y las multiplicamos por 3.

2806 ∙ 3 = 8418, las últimas 4 cifras de este número las multiplicamos por 113, así

8418 ∙ 113 = 951234, las 4 últimas cifras obtenidas son el número pensado al

inicio.

Acertijo 3: Un vendedor de naranjas quiere saber cuántas naranjas tenía ayer. Solo recuerda que eran más de 100 pero menos de 150 y que cuando Hacia montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas siempre sobraba 1. Solución: Como 2, 3, 4, 5, 6 son los cocientes estos representan los módulos, cabe destacar que 2 y 3 son múltiplos de 6 por lo tanto basta con hacerlo para 4,5, y 6 únicamente. Así 𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑4) 𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑5) 𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑6) 1) 𝑥 = 1 + 4𝑎(𝑚𝑜𝑑4) 2) 𝑥 = 1 + 5𝑏(𝑚𝑜𝑑5) 3) 𝑥 = 1 + 6𝑐(𝑚𝑜𝑑6)

Esto quiere decir que 𝑥 = 1 + 4𝑎, 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, es decir que sustituyendo en la segunda ecuación 1 + 4𝑎 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑5) de donde se tiene que 𝑎 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑5) es

decir, 𝑎 = 5𝑏, 𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, sustituyendo en la ecuación 3 se tiene 1 + 20𝑏 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑6) De donde se tiene que 𝑏 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑6) osea 𝑏 = 6𝑐, 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 y sustituyendo en la

tercera ecuación tenemos que 1 + 120𝑐 ≡ 1 esto es que 120𝑐 ≡ 0, por lo tanto el número buscado en 121. Es decir el vendedor tenía 121 naranjas. Acertijo 4: Un ciudadano de oro tiene una edad entre 70 y 100 años, su edad es congruente con 1 en modulo 7 y además es congruente con 4 en modulo 9. ¿Cuántos años tiene el ciudadano? Solución: 1) 𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7)

2)𝑥 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑9)

De 1) se tiene que 𝑥 = 1 + 7𝑎, 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 Por sustitución en 2) tenemos que 1 + 7𝑎 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑9) de donde tenemos que 7𝑎 ≡ 3 ≡ 84(𝑚𝑜𝑑9) (la edad está entre 70 y 100 años y 84 satisface congruencia) 7𝑎 ≡ 84(𝑚𝑜𝑑9)

𝑎 ≡ 12(𝑚𝑜𝑑9)

Por lo tanto 𝑥 = 1 + 7 12 = 85, la edad es de 85 años.

Acertijo 5: La edad de un joven mayor de edad multiplicada por 11, menos 30 veces la edad de un niño es igual a 29. Solución: X: edad del joven mayor de edad. Y: edad del niño.

Escribimos la ecuación diofántica 11𝑥 − 30𝑦 = 29 Como (11,-30)=1 existen soluciones para la ecuación. −30𝑦 ≡ 29(𝑚𝑜𝑑11) 3𝑦 ≡ 29(𝑚𝑜𝑑11)

3𝑦 ≡ 18

𝑦 ≡ 6 El niño tiene 6 años, luego

11𝑥 − 30 6 = 29

𝑥 =29 + 30 6

11

𝑥 = 19 La edad del joven mayor d edad es de 19 años.