Coordinación de Matemática II (MAT022)2do Semestre 2009

Semana 11: martes 13 al viernes 16 de octubre

Complementos

Contenidos

Clase 1 Aplicación a obtención de formas canónicasde las secciones cónicas rotadas

Clase 2 Ejercicios de Repaso

1. Clase 1Resultado Previo:Considere la matriz simétrica: (

a bb c

)donde a, b, c ∈ R, con b ∕= 0, esta matriz es diagonalizable, en efecto, basta verificar queposee dos valores propios reales diferentes, para ello, resolvemos:∣∣∣∣ a− � b

b c− �

∣∣∣∣ = �2 − (a+ c)�+ ac− b2 = 0

el discriminante de la ecuación cuadrática es △ = (a − c)2 + 4b2 > 0, pues, b ∕= 0, dedonde las raices (valores propios) son dos reales diferentes entre sí, por tanto, la matrizes diagonalizable.Ejemplo:Diagonalizar la matriz

A =

(1 22 −2

)El polinomio característico de A es �2 + � − 6 = (� + 3)(� − 2), de donde los valorespropios son �1 = −3 y �2 = 2, con vectores propios asociados:

1

v1 =

(1−2

)y v2 =

(21

)Si establecemos que P = [v1 v2], entonces

P−1AP =

(−3 00 2

)= D

Mejoraremos esto, fijarse que los vectores propios u1 y u2 son ortogonales (productopunto nulo), así si los normalizamos para obtener vectores unitarios:

u1 =

(1√5

− 2√5

)y u2 =

(2√51√5

)y entonces tomamos

Q =

(1√5

2√5

− 2√5

1√5

)Tenemos también que: Q−1AQ = D. Sin embargo, ahora Q es una matriz ortogo-nal en razón de que {u1 , u2} es un conjunto ortonormal de vectores. Por consiguienteQ−1 = QT , y tenemos que, QTAQ = D (Nótese que la verificación es fácil, debidoa que el cálculo de Q−1 involucra sólo el cálculo de una transpuesta )

Definición:Una matriz cuadrada A es ortogonalmente diagonalizable, si existe una matriz Qortogonal tal que QTAQ = D es una matriz diagonal.

Teorema:Para una matriz cuadrada A, tenemos que es una matriz ortogonalmente diagona-lizable, sí y sólo sí A es simétrica

Cónicas Rotadas:

Estudiaremos las cónica de ecuación:

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

donde B ∕= 0, es decir, estudiaremos las cónicas rotadas. Nos centraremos en el estudiode (la forma cuadrática) Ax2 +Bxy + Cy2, la que con la notaciones:

X =

(xy

)y A =

(A B

2B2

C

)podemos escribir mediante:

2

XTAX

donde A es una matríz simétrica no diagonal (B ∕= 0), pero de acuerdo a nuestroresultado previo, es diagonalizable, luego existe una matriz ortogonal Q tal que,QTAQ = D, o bien, QDQT = A, entonces:

XTAX = XTQDQTX = XT (QT )TD(QTX) = (QTX)TD(QTX)

Si hacemos el cambio de variable:

Y =

(x′

y′

)= QT

(xy

)= QTX

equivalentemente, se puede escribir X = QY , entonces, XTAX = Y TDY , luego, enfunción de Y , el término que lleva xy en la forma cuadrática original ya no aparece-rá, es decir, este cambio nos permitira dejar escrita en su forma estandar a la cónica(dígase sin rotación)

Ejemplos:

1. Encuentre un cambio de variables que transforme la forma cuadrática:

f(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2

en una que no tenga términos con productos cruzados.Desarrollo:La matriz de f es:

A =

(5 22 2

)con valores propios �1 = 6 y �2 = 1, los vectores propios unitarios, son:

q1 =

(2√51√5

)y q2 =

(1√5

− 2√5

)

luego, al hacer:

Q =

(2√5

1√5

1√5− 2√

5

)

se tiene QTAQ = D, donde D =

(6 00 1

)el cambio de variables X = QY ,

donde:

3

X =

(xy

)e Y =

(x′

y′

)convierte a f en:

f(Y ) = f(x′, y′) =(x

′y′)( 6 0

0 1

)(x′

y′

)= 6(x′)2 + (y′)2

2. Identifique y grafique la cónica cuya ecuación es:

5x2 + 4xy + 2y2 = 6

Desarrollo:

El lado izquierdo es una forma cuadrática de modo que podemos expresarla enforma matricial como XTAX = 6, donde:

A =

(5 22 2

)en el ejemplo anterior encontramos los valores propios 6 y 1 y una matriz Q queortogonalmente diagonaliza a la matriz A dada por:

Q =

(2√5

1√5

1√5− 2√

5

)

Observe que en este caso detQ = −1, en este ejemplo intercambiamos las columnasde la matríz para dejar un determinante 1 (siempre es posible intercambiarcolumnas para hacer que el determinante sea 1), luego,

Q =

(1√5

2√5

− 2√5

1√5

)

en su lugar de modo que:

QTAQ =

(1 00 6

)= D

El cambio de variables X = QY , convierte a la ecuación dada en Y TDY = 6 pormedio de una rotación, si Y T =

(x′ y′

), luego la ecuación queda:

4

(x′)2 + 6(y′)2 = 6 o(x′)2

6+ (y′)2 = 1

la que representa a una elipse en el sistema coordenado x′y′. Para graficar esta

elipse, necesitamos saber cuales vectores son los que hacen las veces de e1 =(

10

)y e2 =

(01

)en el sistema x′y′

Qe1 =

(1√5

2√5

− 2√5

1√5

)(10

)=

(1√5

− 2√5

)

Qe2 =

(1√5

2√5

− 2√5

1√5

)(01

)=

(2√51√5

)

estos son precisamente las columnas de Q que son los vectores propios de A, elhecho de que estos vectores sean ortonormales concuerda perfectamente con queel cambio de variables sea precisamente una rotación.

3. Es posible que una cónica sufra no sólo una rotación sino que también una tras-lación de su posición estándar como se ilustra en este ejemplo.Identifique la cónica cuya ecuación es:

5x2 + 4xy + 2y2 − 28√5x− 4√

5y + 4 = 0

Desarrollo:La estrategia es eliminar primero el término con productos cruzados, en formamatricial: XTAX +BX + 4 = 0, donde

5

A =

(5 22 2

)y B =

(− 28√

5− 4√

5

)El término con producto cruzado proviene de la forma cuadrática XTAX, quediagonalizamos ortogonalmente en el ejemplo anterior al establecer que X = QY ,donde

Q =

(1√5

2√5

− 2√5

1√5

)

entonces, XTAX = Y TQY = (x′)2 + 6(y′)2

Pero ahora también tenemos que:

BX = BQY =(− 28√

5− 4√

5

)( 1√5

2√5

− 2√5

1√5

)(x′

y′

)= −4x′ − 12y′

La cónica queda expresada mediante:

(x′)2 + 6(y′)2 − 4x′ − 12y′ + 4 = 0

equivalentemente:

(x′ − 2)2 + 6(y′ − 1)2 = 6 ⇒ (x′ − 2)2

6+ (y′ − 1)2 = 1

La cónica es una elipse trasladada y rotada.Observación:Nuestra matriz Q es la conocida matriz de rotación con la que se trabaja en loscursos de precálculo y del que adjuntamos un archivo con esa visión.

2. Clase 2Realizar ejercicios de repaso de los tópicos que entrarán en el certamen.

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