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Conicas

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Contenidos

1 Ecuacion de la elipse

2 Ecuacion de la hiperbola

3

Ecuacion de la parabola4 Ecuaciones de las conicas con el centro o vertice desplazado

5 Ecuacion general de una conica

6 Conicas degeneradas

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Circunferencia y elipse

Ecuacion de la circunferencia:  x 2 + y 2 = r 2, radio  r .

Ecuacion de la elipse:   x 2

a2   +   y 2

b 2 = 1, centro (0, 0) y semiejes  a  y  b .

La circunferencia es el caso particular de la elipse  a =  b  = r .

Importante

Estas ecuaciones “sencillas” corresponden a la conica centrada en elorigen y con los ejes paralelos a los ejes coordenados. Este tipo deecuaciones los llamaremos  ecuaci´ on reducida de la c´ onica.

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Hiperbola

Ecuacion de la hiperbola:   x 2

a2  −  y 2

b 2 = 1, centro (0, 0) y con los ejes

paralelos a los ejes coordenados.

Las asıntotas corresponden a un caso “degenerado” de conica (par de

rectas), cuya ecuacion es:   x 2

a2  −  y 2

b 2 = 0, de donde se obtienen las

ecuaciones  y  = ±b a

x .

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Parabola

La ecuacion  reducida  de la parabola es:  y  = ax 2

, el vertice esta en elpunto (0, 0) y con los ejes paralelos a los ejes coordenados.

La parabola de la figura tiene el vertice en el punto (0, c ) y su ecuaciones:  y  = ax 2 + c .

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Ejemplos

Las conicas de ecuaciones  x 2 + 4y 2 = 4,  y  = 3x 2,  x 2 − y 2 = 1 son:

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¿Que hacer si el centro no es el (0, 0)?

Cuando se desplaza el centro o el vertice de la conica a un punto delplano que no es el origen de coordenadas, la ecuacion de la conica semodifica.La elipse

tiene de ecuacion: 8x 2 + y 2 + 10x  = 5.

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¿Que hacer si el centro no es el (0, 0)?

Supongamos que la conica (elipse, hiperbola, parabola) esta centrada otiene su vertice en un punto (x 0, y 0), pero mantiene los ejes paralelos alos ejes coordenados.

Ecuacion de la elipse

(x  − x 0)2

a2  +

 (y  − y 0)2

b 2  = 1

centro (x 0, y 0) y semiejes  a  y  b .En particular, la circunferencia de radio  r   es (x  − x 0)2 + (y  − y 0)2 = r 2.

Ecuacion de la hiperbola

(x  − x 0)2

a2

  −(y  − y 0)2

b 2

  = 1

Ecuacion de la parabola

y  − y 0  = a(x  − x 0)2

Vertice en el punto (x 0, y 0) y eje vertical.

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Ejemplos: identificando una conica

Para reconocer una conica a partir de su ecuacion y, ademas, obtenerinformacion sobre su centro o vertice, semiejes, etc, se completan loscuadrados perfectos y se identifica con alguna de las ecuacionesanteriores.

Ejemplo

Clasificar la conica   x 2 − 2y 2 − 2x  − 4y  − 3 = 0.

Completamos los cuadrados, expresando la ecuacion como:

(x  − 1)2− 2(y  + 1)2 = 2

que corresponde a una hipercbola cuyo centro esta en el punto (1,−1).

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Q ´ h i l l i d ´

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¿Que hacer si el centro no es el origen y ademasesta “girada”?

Para identificar la conica se realizan dos pasos

1. Se identifican los ejes de la conica (diagonalizando una matriz) y serealiza un giro para que el sistema de coordenadas y los ejes de la conicasean paralelos.2. Se completan los cuadrados como en ejemplos anteriores paraidentificar la conica calculando, ademas, el centro o vertice.

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E i´ l d ´ i

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Ecuacion general de una conica

¿Que tienen en comun todas las conicas?Que su ecuacion es una ecuacion polinomica de segundo grado en  x   e  y .

DefinicionUna conica es el lugar geometrico de los puntos (x , y ) del plano  R

2 quesatisfacen una ecuacion de la forma:

a11x 2 + a22y 2 + 2a12xy  + a1x  + a2y  + a0  = 0

donde (x , y ) ∈ R2 y los coeficientes  aij , ak   son numeros reales.

Expresion matricial

(x , y )A

  x y 

+ (a1, a2)

  x y 

+ a0  = 0 donde  A =

  a11   a12

a12   a22

Ejemplo

x 2 + 2y 2 + 6xy  + 3x  − y  − 4 = 0.

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C´ i d d

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Conicas degeneradas

La ecuacion general de la conica incluye todas (desplazadas y giradas) laselipses, hiperbolas y parabolas posibles, sin embargo en algunos casospuede dar lugar a lo que llamamos  c´ onicas degeneradas . algunos ejemplosson:

Par de rectas que se cortan:x 2

a2  −  y 2

b 2 = 0, son las rectas:  y  = ±

b a

x .

Par de rectas paralelas:(x  − x 0)2 = c 2, rectas paralelas al eje  OY x  = x 0 ± c .

Un punto:

x 

2

a2   +  y 2

b 2  = 0, es el punto (0, 0).

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C´ i i d l

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Conicas = secciones del cono

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