Conj,Logica,Induccion MateUNAM

7/24/2019 Conj,Logica,Induccion MateUNAM

1/22

Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAM Conjuntos, lgica e induccin matemtica Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

1

I.1 CONJUNTOSI.1.1 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO Y SUS FORMAS DE EXPRESIN

Un conjunto es una coleccin de elementos especificados que poseen algo comn. Los conjuntos sedenotan por letras maysculas.

En general, existen tres formas de representar conjuntos:

1. Por extensin . Los elementos de los conjuntos se colocan entre llaves y se forma una lista que sesepara por comas. De esta manera, el conjunto enumera a todos sus elementos sin repeticin. Porejemplo: { }conejocanario pez perrogato A ,,,,=

2. Por comprensin . Los elementos se expresan a travs de una regla que determina su naturaleza.Tambin se emplean llaves y se utiliza el smbolo | que significa "tal que" a manera de condicin. Por

ejemplo: { }verdecolor de frutasson x xF =

3. Por diagramas de Venn . Son regiones planas cerradas que contienen a los elementos sin la necesidad deespecificarlos. Son muy tiles para visualizar las relaciones y operaciones entre conjuntos. Por ejemplo:

C

B

A

Cuando un elemento pertenece a un conjunto se le denota por .

Ejemplos.Escribir por extensin a los siguientes conjuntos:

a) { } Nortedel Amricade pasunes x xP = Solucin:

{ } MxicoUnidos EstadosCanadP ,,= b) { }612


2/22


2

c) { }445


3/22


3

Subconjunto . Si cada elemento de un conjunto B es tambin un elemento del conjunto A , se diceque B es subconjunto de A . Es decir, es un conjunto contenido en otro conjunto. Se denota como

A B . Por ejemplo:Si { }40,22,13,11,9,7,5,4,2= M , { }9,5,4,2= I y { }22,13,6= N , entonces M I y . M N

Como puede deducirse, el conjunto vaco es un subconjunto de todo conjunto: si A es un conjuntocualquiera, entonces A

Conjunto universal . Es aquel conjunto que posee a todos los elementos bajo consideracin y se representacomo U . Esto implica que cualquier conjunto es subconjunto del conjunto universal. Por ejemplo:Si { }semanaladedaslosson x xU = y { }vierneslunesW ,= , entonces U W

El conjunto ordenado de los nmeros naturales, { }= ,6,5,4,3,2,1 N , es el ejemplo bsico de un conjuntoinfinito. Contar es el proceso de poner en correspondencia biunvoca (uno a uno) los elementos de unconjunto, con algn subconjunto ordenado de N . Por ejemplo, el siguiente conjunto posee cinco elementos.

{ }

54321

,,,,

= X

La cardinalidad de un conjunto A es el nmero de elementos que posee. Se denota como ( ) A . Pordefinicin, la cardinalidad del conjunto vaco es cero.

Ejemplos.Si { } fuegotierraaguaaireK ,,,= , ( ) 4= K Si { } Beijing AtenasSidney Atlanta BarcelonaSel J ,,,,,= , ( ) 6= J

I.1.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS

La unin de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a . B Se denota como: . B A U

Formalmente, se define como: { }. B x A x x B A =U Esto significa que a los elementos delconjunto A se le aaden, sin repetir, los del conjunto B . Grficamente:

U

A B

B A U


4/22


4

Ejemplo.Dados los siguientes conjuntos:

{ }verderosarojonaranjaamarilloazul A ,,,,,= { }grisverderojomoradolilacaf azul B ,,,,,,=

Obtener . B A U

Solucin:{ }grismoradolilacaf verderosarojonaranjaamarilloazul B A ,,,,,,,,,=U

La interseccin de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a . B Se denota como: . B A I

Formalmente, se define como: { } B x y A x x B A =I . Esto significa que x es el conjunto delos elementos comunes de A y B . Grficamente:

U

A B

B A I

Ejemplo.

Sean los siguientes conjuntos:{ }uvamelnnaranjaciruela peramango A ,,,,,= { }uvadurazno pera fresasandameln pia B ,,,,,,=

Obtener . B A I

Solucin:{ }uvameln pera B A ,,=I

La cardinalidad del conjunto B AU est dada por ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A IU += .

Ejemplo

Dados los conjuntos anteriores, comprobar que ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A IU +=

Solucin.Contando los elementos de los conjuntos se tiene que: ( ) 10= B AU , ( ) 6= A y ( ) 7= B

{ }verderojoazul B A ,,=I ( ) 3= B AI Aplicando la expresin: ( ) 10376 =+= B AU , lo cual coincide con el primer resultado.


5/22


5

Cuando dos conjuntos A y B no tienen elementos en comn, su interseccin es el vaco. En este casose dice que los conjuntos A y B son ajenos o disjuntos , es decir : . = B A I

Ejemplo.Estos conjuntos son ajenos:

{ } AfricaOceana Amrica Europa Asia A ,,,,= { } NeptunoSaturno MarteVenus Mercurio B ,,,,=

ya que . = B A I

Si B es un subconjunto de , A se define como el complemento de B en A al conjunto deelementos que pertenecen a A pero no a . B Se representa como ' B o tambin como c B .

Formalmente, se define como: { }. B x y A x x' B = Esto significa que las x son loselementos que estn fuera del conjunto B . Grficamente:

A

B

B

Ejemplo.

Sean los siguientes conjuntos:{ } ManzanilloVallartaPuertoVeracruz MazatlnCancn Ixtapa HuatulcoPaz LaCozumel A ,,,,,,,,={ } ManzanilloCancnPaz LaCozumel B ,,,=

Obtener '. B

Solucin.Dado que A B , entonces { }VallartaPuertoVeracruz Mazatln Ixtapa Huatulco B ,,,,'=

De acuerdo a las definiciones de complemento, de unin y de interseccin, se advierte que:

( ) A A ='' U =' ='U

U A A ='U =' A A I

La diferencia de los conjuntos B A (en ese orden) es el conjunto de los elementos que slopertenecen a . A


6/22


6

Ejemplo.Sean los siguientes conjuntos:

{ } ,,,,,,,,= A { } ,,,,,,= B

Obtener B A y . A B

Solucin:{ } ,,,,= B A { } ,,= A B

Formalmente, se define como: { }. B x y A x x B A = Esto significa que la diferencia de dosconjuntos slo contempla a los elementos del primer conjunto y que no pertenecen al segundo. Grficamente:

U

A B

A - B

Del diagrama anterior se deducen las siguientes expresiones:

a) = A A

b) A A = c) ''' A B B A B A == I d) , = B A si y slo si B A e) , A B B A = si y slo si B A = f) , A B A = si y slo si = B A I g) A B A h) Los conjuntos , B A B A I y A B son mutuamente ajenos, es decir, la interseccin de dos deestos conjuntos es el vaco.


{ }27,24,21,18,15,12,9,6,3=U , { }27,21,18,12,6,3= A , { }27,24,21,12,9,3= B , { }24,12,3=C ,{ }27,21,18,12,6,3= D , { }18,15,6= E

Se cumple que:

Solucin:a) = A A , ya que poseen los mismos elementos.b) A A = , el vaco al no tener elementos al restarlo del primer conjunto representa al mismoconjunto.


7/22


7

c) { }24,15,9'= A { }18,15,6'= B

{ }18,6= B A { }18,6'= B AI

{ }18,6'' = A B d) Como BC , se tiene que: = BC

e) Como D A = , se tiene que: == A D D A

f) Como = E B I se tiene: B E B =

g) { } A B A = 18,6 h) { }27,21,12,3= B AI

{ }24,9= A B { } A B A = 18,6

( ) ( ) = B A B A II ( ) ( ) = A B B A I ( ) ( ) = A B B A II

Ejemplo.Sean los siguientes conjuntos:

{ }151 +== n , N n ,n x xU { }613


8/22


8

g) { }16,15,14,12,11,10,9,8,6,5,4,3,2' = L J U h) { }13,7'= L J I i) { }15,11,9,5,3,2'' = J L I

j) { }13,7'' = J L

k) ( ) { }15,11,9,5,3,2'= L J U l) ( ) { }15,14,13,12,11,9,8,7,6,5,3,2'= L J I

I.1.3 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

Las propiedades ms notables que rigen las operaciones con conjuntos son:

1. Propiedades de identidad:

A A = U U U A =U

=I A AU A =I

2. Propiedades de idempotencia:

A A A =U A A A =I

3. Propiedades asociativas:

( ) ( )C B AC B A UUUU =

( ) ( )C B AC B A IIII = 4. Propiedades conmutativas:

A B B A UU = A B B A II =

5. Propiedades distributivas:

( ) ( ) ( )C A B AC B A UIUIU = ( ) ( ) ( )C A B AC B A IUIUI =

I.1.4 LEYES DE DE MORGAN

Las Leyes de De Morgan permiten simplificar la unin e interseccin de complementos:

1. El complemento de la unin de dos conjuntos es la interseccin de sus complementos :

( ) ''' B A B A IU = Utilizando diagramas se tiene:


9/22


9

En el diagrama de la izquierda, B AU viene dada por la regin en blanco y ( )' B AU est representadopor el rea sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, ' A es la reginsombreada horizontalmente, ' B es el rea sombreada verticalmente, por lo que '' B A I estrepresentado por la superficie cuadriculada:

( )' B AU

BA

'' B A I

BA=

U U

2. El complemento de la interseccin de dos conjuntos es la unin de sus complementos :

( ) ''' B A B A UI =

Utilizando diagramas se tiene:

En el diagrama de la izquierda, B AI est dada por la regin sombreada horizontalmente y ( )' B A I est representado por el rea sombreada verticalmente. Por su parte, en el diagrama de la derecha, ' A es la regin sombreada horizontalmente, ' B es el rea sombreada verticalmente, por lo que '' B AU estrepresentado por aquella superficie que no es blanca:

( )' B AI

BA

'' B AU

BA=

UU


{ }= *,,$,,,,,#&,,,, U


10/22


10

{ }*$,,,,, = > A { }= *,,,#,, B

Comprobar las leyes de De Morgan:

Solucin:

{ }= *,$,,,,#,,,>U B A { }*,,= B AI { }= ,,,#&,,' < A { }= $,,,&,,' B

( ) { } ( )1_ ,&,' B A =


11/22


11

En general, las proposiciones pueden ser:

Simples si slo tienen un sujeto, un verbo y un complemento. En caso contrario, son proposicionesCompuestas .

Cerradas si tienen determinado el sujeto. Abiertas si no lo tienen determinado. Afirmativas o Negativas . Segn lo afirmen o nieguen. Verdaderas o Falsas segn correspondan o no a la realidad.

Ejemplos.

h: "Ana come pizza y bebe refresco", es una proposicin compuesta, cerrada y afirmativa.j: "Ella no nada muy rpido", es una proposicin simple, abierta y negativa.k: Cuernavaca no est al norte del D.F. y no hace fro", es una proposicin compuesta, cerrada, negativay verdadera.l: 1037 =+ es una proposicin simple, cerrada, afirmativa y verdadera.m: 22 x x es una proposicin simple, abierta y negativa.n: 6=+ba es una proposicin compuesta, abierta y afirmativa.

I.2.2 CONECTIVOS LGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTASExisten conectivos u operadores lgicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir,formadas por varias proposiciones. Los operadores o conectores bsicos son:

Conjuncin (operador and )

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultadoverdadero. Se le conoce como multiplicacin lgica y su smbolo es (and).

Ejemplo.Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena pelcula y cuando tengo dinero "Sean:

p: Voy al cine.q: Hay una buena pelcula.r: Tengo dinero.De tal manera que la representacin del enunciado anterior usando simbologa lgica es como sigue:p = qr

Su tabla de verdad es como sigue:

q r pr1 1 11 0 00 1 00 0 0

Donde.1 = verdadero0 = falso

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que hay una buena pelcula, r=1 significa que tengo dinero yp=qr=1 significa que voy ir al cine. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones quevalga cero implica que no asisto al cine.


12/22


12

Disyuncin (operador or )

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera.Se conoce como suma lgica y su smbolo es (or).

Ejemplo.Sea el siguiente enunciado: Para ir a Toluca puedo tomar la carretera federal o tomar la autopista decuotaSean:p: Ir a Toluca.q: Tomar la carretera federal.r: Tomar la autopista de cuota.

q r pr1 1 11 0 10 1 10 0 0

En la tabla anterior el valor de q=1 significa tomar la carretera federal, r=1 significa tomar la autopista decuota y p=qr=1 significa ir a Toluca. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones quevalga uno implica que llego a Toluca.

Negacin (operador not )

Su funcin es negar la proposicin. Esto significa que s alguna proposicin es verdadera y se le aplica eloperador not se obtendr su negacin (falso) y viceversa. Este operador se indica por medio del smbolo .

Ejemplo.Sea el siguiente enunciado: El len es el rey de la selvaSean:p: El len es el rey de la selva.p: El len no es el rey de la selva.

Su tabla de verdad es como sigue:

p p 1 00 1

En la tabla anterior el valor de p=1 significa que el len es el rey de la selva, y p=0 significa que el lenno lo es 1.

Ejemplo.Sean las proposiciones:p: Ya es tarde.q: Tengo que dormirme.r: Me levantar temprano.El enunciado: "Ya es tarde y tengo que dormirme o no me levantar temprano. Se puede representarsimblicamente de la siguiente manera: pqr

1 Adems de los operadores bsicos (And, Or y Not) existe el operador Xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador Or conla diferencia de que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, y cuando ambas son verdad, elresultado es falso. Por otro lado, con ayuda de los operadores bsicos se pueden formar los operadores compuestos Nand(combinacin de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).


13/22


13

I.2.3 PROPOSICIONES CONDICIONALES

Una implicacin o proposicin condicional , es aquella que est formada por dos proposiciones simples (ocompuesta) p y q. Se indica de la siguiente manera:

pq (se lee "si p entonces q")

Ejemplo.Un profesionista dice "Si ahorro me podr comprar una casa en tres aos ". Una declaracin como estase conoce como condicional.Sean:p: Ahorro.q: Podr comprar una casa en tres aos .De tal manera que el enunciado se puede expresar como: pq Su tabla de verdad es de la siguiente manera:

p q pq1 1 11 0 0

0 1 10 0 1

La interpretacin de los resultados de la tabla es la siguiente:Analizando si el profesionista minti con la afirmacin del enunciado anterior: Cuando p=1 significa queahorr y q=1 que se compr la casa en tres aos, por lo tanto pq =1 (el profesionista dijo la verdad).Cuando p=1 y q=0 significa que pq =0, el profesionista minti, ya que ahorr y no se compr la casa.Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no ahorr se compr la casa (ya tena los recursos), as que nominti, de tal forma que pq =1. Cuando p=0 y q=0 se interpreta que aunque no ahorr tampoco secompr la casa, por lo tanto pq =1 ya que tampoco minti.

I.2.4 PROPOSICIN BICONDICIONAL

Sean p y q dos proposiciones. Una doble implicacin o proposicin es bicondicional cuando p esverdadera si y solo si q es tambin verdadera. O bien p es falsa si y slo si q tambin lo es. Se indica dela siguiente manera:

pq (se lee " p si y slo si q")

Ejemplo.Sea el siguiente enunciado: "Una persona puede votar, si y slo si, tiene credencial de elector"Donde:p: Una persona puede votar.q: Tiene credencial de elector.Su tabla de verdad es.

p qpq1 1 1

1 0 00 1 00 0 1

La interpretacin de los resultados de la tabla es la siguiente:Cuando p=1 significa que una persona puede votar y q=1 que tiene credencial, al ser esto cierto, pq=1. Cuando p=1 y q=0 significa que pq =0, una persona puede no votar, ya que no posee la credencial.Cuando p=0 y q=1 significa que una persona no puede votar aunque tenga credencial (por ejemplo los


14/22


14

residentes en el extranjero), esto es que pq =0. Cuando p=0 y q=0 se interpreta como que ni puedevotar ni tiene credencial, por lo tanto es cierto pq =1.

Ejemplo.Representar simblicamente el enunciado: "Si no pago la luz, entonces me cortarn la corriente elctrica.Y Si pago la luz, entonces me quedar sin dinero o pedir prestado. Y Si me quedo sin dinero y pidoprestado, entonces no podr pagar la deuda, si y slo si soy desorganizado"

Solucinp: Pago la luz.q: Me cortarn la corriente elctrica.r: Me quedar sin dinero.s : Pedir prestado.t: Pagar la deuda.w: Soy desorganizado.

(pq)[p(rs)][(rs )t]w

El nmero de lneas de la tabla de verdad depende del nmero de variables de la expresin y se puedecalcular por medio de la siguiente formula.

No de lneas = n2

donde n es el nmero de variables distintas.

Ejemplo.Dada la siguiente proposicin: [( pq)(qr)](rq).elaborar su tabla de verdad.

Solucin.

p q r q pq (qr) (pq) (qr) rq [(pq)(qr)](rq)

0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1

I.2.5 TAUTOLOGA, EQUIVALENCIA Y CONTRADICCIN

Tautologa es aquella proposicin (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus

variables. Un ejemplo tpico es la proposicin contrapositiva cuya tabla de verdad se indica acontinuacin.

p q p q pq qp (pq)(qp) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1


15/22


15

Ntese que en las tautologas para todos los valores de verdad el resultado de la proposicin es siempreuno. Las tautologas son muy importantes en Lgica Matemtica ya que se consideran leyes en lascuales se puede apoyar para realizar demostraciones.

Se dice que dos proposiciones son lgicamente equivalentes, o simplemente equivalentes . Si coincidensus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como pq.

En el ejemplo anterior, se puede observar que las columnas de ( pq) y (qp) son iguales para losmismos valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que ( pq) (qp)

Contradiccin es aquella proposicin que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de lasmas usadas y mas sencilla es pp . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.

p p pp 0 1 01 0 0

Ejemplo.Si se tiene p: El coche es verde, la proposicin pp equivale a decir que "El coche es verde y el cocheno es verde". Por lo tanto se esta contradiciendo, es decir, es una falacia .

I.2.6 LEYES NOTABLES EN LGICA

Las leyes de lgica ms notables son las que se enlistan a continuacin:

1.- Ley de doble negacin

p''p

2.- Leyes de idempotencia

(pp) p (pp) p

3.- Leyes asociativas

[(pq)r] [p(qr)][(pq)r] [p(qr)]

4.- Leyes conmutativas

(pq) (qp)(pq) (qp)(pq) (qp)

5.- Leyes distributivas

[p(qr)] [(pq)(pr)][p(qr)] [(pq)(pr)]

6.- Leyes de De Morgan

(pq)' (p'q')(pq)' (p'q')


16/22


16

1.2.7 MTODOS DE DEMOSTRACIN

Todo enunciado puede ser planteado en trminos de teoremas. Un teorema por lo general es resultadode un planteamiento de un problema, que normalmente presenta el siguiente formato:

(p1p2pn) q

Como se establece p1, p2, p3, pn son hiptesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que seconsideran vlidas. Pero adems debern conectarse con el operador And ( ), lo cual implica que p1 escierta y ( ) p2 es verdad y ( )...... y pn tambin es cierta entonces ( ) la conclusin ( q) es cierta. Pararealizar la demostracin formal del teorema se deber partir de las hiptesis, y despus obtener una seriede pasos que tambin deben ser vlidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo nosolamente las hiptesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostracin formal, sino tambintautologas conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2, p3, pn son escalones quedebern alcanzarse hasta llegar a la solucin.

Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a lasolucin debemos alcanzar ciertas metas ( p1, p2, p3, pn) hasta llegar al objetivo o conclusin ( q). Perouna vez que se logra el objetivo se deben plantear nuevos objetivos que permitan la superacin.

Los mtodos de demostracin ms conocidos son los siguientes:

Demostracin por el mtodo directo

El mtodo de demostracin directa parte de la proposicin p, que se supone verdadera, y deducir de ellauna nueva proposicin q que se pueda ver que es verdadera como resultado de que p lo es. Esimportante resaltar que las proposiciones deducidas de p no deben ser hechas de cualquier modo, debenestar enfocadas hacia la ltima proposicin obtenida.

El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostracin formal usando el mtodo directosignifica que si se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,..., y pn tambin es verdadera, entonces sesabe que q es verdadera.

Prcticamente todos los teoremas matemticos estn compuestos por implicaciones del tipo:

(p1p2pn) q

donde las pi son llamadas hiptesis o premisas, y q es llamada conclusin. "Demostrar el teorema", esdemostrar que la implicacin es una tautologa. Ntese que no se trata de demostrar que q (laconclusin) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

El mtodo de demostracin indirecta

El mtodo de demostracin indirecta consiste en proceder al revs. Se fija la atencin primeramente enq, es decir en la afirmacin a la que se quiere llegar.

Ubicada la premisa p, se va tratando de buscar situaciones intermedias p1, p2, p3, pn de las que q sepodra deducir. Se identifica si alguna de estas podra estar relacionada con la situacin p, se podradeducir de ella. Cuando se encuentra, se verifica que el camino inverso que se ha encontrado, ahora dep a q, es correcto.

Mtodo de demostracin por reduccin al absurdo

En el mtodo de demostracin de reduccin al absurdo, se debe empezar suponiendo que p esverdadera, al igual que se haca en el mtodo de demostracin directa. Ahora, sin embargo, para llegar ala conclusin buscada, a saber, que q es verdadera se puede proceder haciendo una pregunta muy


17/22


17

simple: Por qu no puede q ser falsa?. Despus de todo, si q tiene que ser verdadera, debe haberalguna razn por la que no pueda ser falsa. El objetivo del mtodo de demostracin por reduccin alabsurdo es, precisamente, descubrir esa razn. La idea es suponer que p es verdadera y q falsa y verque no puede ocurrir esto.

En la prctica la demostracin por reduccin al absurdo inicia considerando como hiptesis q y finalizacuando el proceso de demostracin obtiene dos proposiciones que se contradicen una a la otra.

Ejemplo.Demostrar por reduccin al absurdo que la raz cuadrada de un nmero natural es natural oirracional.

Solucin.Sean los nmeros naturales A y B primos entre s con 1 B Suponiendo un nmero racional de la forma

B A

n =

Si se eleva al cuadrado: 2

2

B A

n =

Resulta un absurdo puesto que el miembro izquierdo es natural y el miembro derecho es racional eirreducible. Por lo tanto la raz cuadrada de un nmero natural no es racional.

La demostracin por contraposicin

El mtodo de la demostracin por contraposicin, tiene la ventaja de que se va a dirigir hacia unacontradiccin concreta. En la demostracin por contraposicin, al igual que la demostracin por reduccinal absurdo, se supone que tanto p como q son verdaderas. En el mtodo por contraposicin, sinembargo, no se parte de p y q, sino que se empieza a trabajar solamente con q y el objetivo es llegar aque p es falsa, con lo que ya se ha llegado a una contradiccin qu mejor contradiccin? cmo puedeser p a la vez verdadera y falsa?

I.3 INDUCCIN MATEMTICADentro de las Matemticas existen proposiciones tanto generales como particulares.

Ejemplos de proposiciones generales, son las siguientes:

p: Todos los nios de Mxico tienen derecho a la educacin.q: En todo paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio de ambas.r: Todos los nmeros que terminan en cero son divisibles por 5.

Algunas de las proposiciones particulares que se pueden deducir de stas son respectivamente:

s : Beto tiene derecho a la educacin.t: Las diagonales del paralelogramo ABCD se cortan en el punto medio de ambas.u: 140 es divisible por 5.

El paso de las proposiciones generales a las particulares se denomina deduccin .

Ejemplos:

p: Todos los nios en Mxico tienen derecho a la educacin.v: Beto es nio mexicano.s : Beto tiene derecho a la educacin.


18/22


18

Se observa que la proposicin s ha sido deducida de la proposicin p mediante la proposicin v.

Ahora bien, la forma lgica de razonamiento que parte de proposiciones particulares y llega a lasgenerales se denomina induccin . La induccin puede llevar a conclusiones verdaderas o, a conclusionesfalsas.

Ejemplos.

1) p: 140 es divisible por 5.q: Todos los nmeros que terminan en cero son divisibles por 5.De la proposicin particular p se ha obtenido la proposicin q, que es verdadera.

2) u: 140 es divisible por 5.w: Todos los nmeros de tres dgitos son divisibles por 5.De la proposicin particular u se ha obtenido la proposicin w que es falsa.

La pregunta que surge ahora es: cmo debe de emplearse la induccin en las Matemticas para llegarsiempre a conclusiones verdaderas?

Los ejemplos considerados permiten concluir fcilmente que una proposicin puede ser vlida en unaserie de casos particulares y no serlo en general.

Ahora surge otra pregunta. Se tiene una proposicin vlida en varios casos particulares y es imposibleanalizar todos los casos. Cundo se puede afirmar que esta proposicin es vlida en general?La respuesta se logra aplicando un razonamiento especial conocido como mtodo de induccinmatemtica :

Toda demostracin que se basa en el principio de induccin matemtica se denomina demostracin porinduccin. Esto consta de verificar que se cumplan las siguientes condiciones:

La proposicin es vlida para 1=n La proposicin es vlida para 1+= k n si lo es para k n = , donde k es un nmero arbitrario

Si estas condiciones se cumplen se puede afirmar que la proposicin es vlida para todo nmero natural.

Para todo fin prctico, el proceso de demostracin de una identidad enunciada para todos los nmerosnaturales consta de tres pasos:

1. Verificar el cumplimiento de la identidad para 1=n 2. Establecer la identidad para k n = 3. Demostrar, mediante procesos algebraicos, que tambin es vlida para 1+= k n .

Ejemplos.Aplicando el principio de induccin matemtica, demostrar las siguiente identidades:

1) ( )2

14321 +=+++++ nnn Solucin:Se verifica la validez para 1=n :

( )1

22

2111

1 ==+=

Se establece para k n = :


19/22


19

( ) ( )1_2

14321

+=+++++ k k k

Ahora, para 1+= k n se tiene:( ) ( )[ ] ( )( ) ( )2_

221

2111

14321 ++=+++=++++++ k k k k k

sumando 1+k en ambos miembros de la expresin ( )1 :( ) ( ) ( )1

21

14321 +++=+++++++ k k k k k expresando convenientemente:

( ) ( )2

122

114321

+++=+++++++ k k k k k

factorizando( )

21+k

:

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )3_2

212

11114321

++=+++=++++++ k k k k k

como ( ) ( )32 = queda demostrada la validez para 1+= k n .

2) ( ) 2127531 n-n =+++++ Solucin:Se verifica la validez para 1=n :

211 = Se establece para k n = :

( ) ( )1_127531 2k -k =+++++ Ahora, para 1+= k n se tiene:

( )[ ] ( ) ( )211127531 2 _k k +=++++++ sumando ( )[ ]112 +k en ambos miembros de la expresin ( )1 :

( ) ( )[ ] ( )[ ]112112127531 2 ++=+++++++ k k k k ( ) ( )[ ] 122112127531 2 ++=+++++++ k k k k ( ) ( )[ ] 12112127531 2 ++=+++++++ k k k k

factorizando el trinomio:

( ) ( )[ ] ( ) ( )31112127531 2 _k k k +=+++++++ como ( ) ( )32 = queda demostrada la validez para 1+= k n .

3)( ) 233333

2

14321

+=+++++ nnn

Solucin:Se verifica la validez para 1=n :

( )11

22

2111

1 222

3 ==

= +=



20/22


20

( ) ( )1_2

14321

233333 +=+++++ k k k

Ahora, para 1+= k n se tiene:

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )2_2

21

2

11114321

2233333 ++= +++=++++++ k k k k k

sumando ( )31+k en ambos miembros de la expresin ( )1 :

( ) ( ) ( )32

333333 12

114321 ++ +=+++++++ k k k k k

expresando convenientemente:

( ) ( )[ ] ( )4

144

114321

32333333 +++=+++++++ k k k k k

( ) ( ) ( )4

14114321

322333333 +++=+++++++ k k k k k

factorizando ( )4

1 2

+k :

( ) ( ) ( )[ ]4

14114321

22333333 +++=+++++++ k k k k k

( ) ( ) [ ]4

44114321

22333333 +++=+++++++ k k k k k

( ) ( ) ( )4

2114321

22333333 ++=+++++++ k k k k

expresando en trminos de cuadrados:

( ) ( )( )

( )3_221

14321

233333 ++

=++++++ k k

k


4)( )( )

6121

4321 22222 ++=+++++ nnnn


( ) ( )( ) ( )( )1

66

6321

6112111

12 ===++=

Se establece para k n = : ( )( ) ( )1_6

1214321 22222

++=+++++ k k k k

Ahora, para 1+= k n se tiene:( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )( )( ) ( )2_

63221

6112111

14321 22222 +++=+++++=++++++ k k k k k k k

sumando ( )21+k en ambos miembros de la expresin ( )1 :


21/22


21

( ) ( )( ) ( )2222222 16

12114321 ++++=+++++++ k k k k k k

expresando convenientemente:

( ) ( )( ) ( )6

1612114321

2222222 ++++=+++++++ k k k k k k

factorizando ( )1+k :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]6

1612114321 222222

++++=+++++++ k k k k k k

( ) ( )[ ]6

662114321

2222222 ++++=+++++++ k k k k k k

( ) ( )[ ]6

672114321

2222222 +++=+++++++ k k k k k


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )3222

32422

122722

62722672

222 ++=++=++=++=++ k k k k k k k k k k

por lo tanto:

( ) ( )( )( ) ( )3_6

322114321 22222

+++=++++++ k k k k


5)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11

1

54

1

43

1

32

1

21

1

+=

++++++

nn

nn


( ) 21

11

1

21

1 =+

=


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1_11

1

54

1

43

1

32

1

21

1

+=

++++++

k k

k k

Ahora, para 1+= k n se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2_

2

1

11

1

21

1

54

1

43

1

32

1

21

1

++=

+++=

+++++++

k k

k k

k k

sumando( )( )21

1

++ k k en ambos miembros de la expresin ( )1 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )211

1211

11

541

431

321

211

++++=+++++++++ k k k k

k k k k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )2112

21

1

1

1

54

1

43

1

32

1

21

1

++++=

+++

++++++

k k k k

k k k k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2112

21

1

1

1

54

1

43

1

32

1

21

1 2

++++=

+++

++++++

k k k k

k k k k



22/22


22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )211

21

1

1

1

54

1

43

1

32

1

21

1 2

+++=

+++

++++++

k k k

k k k k

reduciendo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32

1

21

1

54

1

43

1

32

1

21

1_

k k

k k ++=

+++++++


6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3

141212654321

-nnnnn +=++++

Solucin:Se verifica la validez para 1=n :( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2

36

3321

3114111

21 ===+=

Se establece para k n = :( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1_

3

141212654321

-k k k k k +=++++

Ahora, para 1+= k n se tiene:( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

3114111

12112654321 ++++=++++++ k k k k k

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( ) ( )2_3

342112112654321

+++=++++++ k k k k k

sumando ( )[ ] ( )12112 ++ k k en ambos miembros de la expresin ( )1 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )121123

14112112212654321 ++++=+++++++ k k k k k k -k k k

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )3

121614112112212654321

++++=+++++++ k k k k k k -k k k

factorizando 1+k :( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

3126141

12112212654321 +++=+++++++ k k k k k -k k k

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]3

6124112112212654321

2 +++=+++++++ k k k k k -k k k

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )3

6114112112212654321

2 +++=+++++++ k k k k k k k factorizando el trinomio:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )3424

34844

2441144

6411446114

222

++=++

=++

=++

=++ k k k k k k k k

k k por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( ) ( )33

342112112654321 _

k k k k k

+++=++++++


Conj,Logica,Induccion MateUNAM

Documents

Transcript of Conj,Logica,Induccion MateUNAM