1

Conjunto de los Racionales ( )

Guía Nº 4

Presentación de los racionales

Al terminar el conjunto de los enteros, dijimos que ellos con la multiplicación no cumplía

con la estructura de grupo, lo que implicaba no poder resolver ecuaciones en los enteros con

dicha operación, por tanto vamos a conocer un conjunto de números que nos permita lograrlo.

Este conjunto se llama el de los racionales y lo definiremos de la siguiente forma.

a

/ a b con b 0b

Ahora este conjunto me permite encontrar los inversos multiplicativos (recíproco) de todos

los enteros, por ejemplo:

12 1

2 , es decir

1

2 es el inverso multiplicativo de 2, es válido decir también que el

recíproco de 1

2 es 2, ya que la multiplicación es una operación conmutativa.

Ahora todo entero lo podemos escribir como racional, a modo de ejemplo el entero 3 los

podemos escribir como racional de la forma 3

1. De esto podemos inferir que , luego las

propiedades de los enteros se cumplen en los racionales. Así, ya tenemos en los racionales un

conjunto que nos permite resolver ecuaciones con la suma y la multiplicación, además ya veremos

que este conjunto es aún más poderoso.

Pinceladas históricas

Los babilónicos usaban fracciones con denominador 60, los egipcios usaban fracciones con

numerador igual a 1, al igual que los romanos y los griegos. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa,

(Fibonacci), entra las muchas cosas que hizo introdujo la barra horizontal para separar el

numerador y el denominador de una fracción.

RACIONALES (Q)

Q = {a

/a b b 0b

}

I.4.2 Amplificación y simplificación

Amplificación: Simplificación:

a n·a

b n·b

a a:n

b b :n (esto se puede hacer cuando el numerador y

el denominador son múltiplos de n)

Ej. 2 2·3 6

3 3·3 9 Ej.

18 18:9 2 1

36 36 :9 4 2

Observación: Siempre es conveniente simplificar si es posible antes de operar, los resultados se

han de simplificar al máximo. Si un racional no se puede simplificar entonces se dice

irreductible.

Como una aplicación de la amplificación, podemos decir que los racionales son conjunto

denso, ya que entre dos racionales hay infinitos racionales, característica que no se daba en los

enteros, a saber:

Entre el entero 4 y el 5 no existe ningún otro entero, pero entre el racional 1

3 y

1

2, existen

infinitos racionales, veamos que esto se verifica:

2

1

3

1

2, amplifiquemos de manera que tengan igual denominador;

2

6

3

6, no se ve nada entremedio, amplifiquemos ahora por 2 ambas fracciones;

4

12,

5

12,

6

12, ya encontramos una fracción entre las dos, volvamos a amplificar por 2;

8

24,

9

24,

10

24,

11

24,

12

24, ahora aparecen tres entre ambas.

Nos damos cuenta que si seguimos amplificando van apareciendo más racionales entre

dos, y como podemos seguir amplificando indefinidamente, encontraremos infinitos racionales.

De esto podemos deducir que en los racionales el concepto de sucesor desaparece, lo

mismo ocurre con el sucesor. Luego diremos que los conceptos de; sucesor, antecesor, par, impar

y todo lo que a ellos se refiere sólo quedará en el mundo de los enteros.

Orden en racionales

i) Dos racionales son iguales si: a c

a d b cb d

Ej. 4 12

7 21 son iguales ya que 4 · 21 = 7 · 12, 84 = 84.

ii) Para saber cuando un racional es mayor que otro, consideraremos tres criterios de

comparación, a saber:

1er criterio: si dos racionales tienen igual denominador entonces el mayor de ellos es aquel

que tiene mayor numerador.

Ej. Comparemos 3

4 y

5

7, amplificando para que tengan igual denominador, nos queda:

3 3 7 21

4 4 7 28

y

5 5 4 20

7 7 4 28

, luego

3 5

4 7 .

2º criterio: si dos racionales tienen igual numerador, entonces el mayor es aquel que tiene

menor denominador.

Ej. Comparemos 1

2 y

1

3, ambos racionales tienen igual numerador por tanto el mayor de ellos es

1

2, ya que tiene el menor denominador.

3er criterio: a c

a d b cb d

Ej. Comparemos 2

3 y

3

5, si multiplicamos cruzado tenemos: 10 > 9, por lo tanto

2 3

3 5

Operatoria en

Suma y Resta.

a c ad bc

b d bd

Ej. 2 1 2·5 1·3 10 3 13

3 5 3·5 15 15

3 3 3 3 3 2 9 6 3 1

8 12 24 24 24 8

En este ejemplo se usó el mínimo común denominador, que es el mínimo común múltiplo entre los

denominadores.

3

Multiplicación.

a c ac ·

b d bd

Ej. 3 2 6 2

· 5 3 15 5

4 5 20

· 3 7 21

(Recuerda que si dos racionales se están multiplicando, estos se pueden simplificar cruzado

previamente)

División:

a c a d a d:

b d b c b c

Ej. 1 2 1 3 3

:2 3 2 2 4

4 1 4 14 4 2 8

: · 87 14 7 1 1 1 1

En este ejemplo se simplificó cruzado el 7 y el 14

Potencias

En este conjunto podemos enunciar las propiedades de potencias que nunca debes olvidar, a

saber:

i) a1 = a

ii) 1n = 1

iii) an · bn = (ab)n

iv) an · am = an+m

v) a-n = n

1

a

vi) an : bn = (a:b)n

vii) an : am = an-m

viii) (an)m = an·m

ix) a0 = 1, si a 0

x) 0n = 0, si n >0

Fracciones propias e impropias

Fracción propia e impropia

Se dice una fracción es un racional positivo.

Fracción propia

Es cuando el numerador es menor que el denominador.

Ej. 3

4, 3 < 4, la representación gráfica es.

1 entero

Observación: toda fracción propia es menor que un entero

(0 < f.p. < 1).

Fracción impropia

Es aquella en que el numerador es mayor que el denominador.

Ej. 7

4, 7 > 4. La representación gráfica es:

1 entero 1 entero

1 + 3

4 =

31

4

4

Observación: toda fracción impropia es mayor que un entero, por tanto se puede expresar como

número mixto. Para llevarla a número mixto se debe dividir el numerador por el denominador, el

cuociente es la parte entera y el resto es el numerador de la parte racional siempre se debe

conservar el denominador. Para llevar un número mixto a fracción impropia se debe multiplicar el

denominador por la parte entera y a este resultado sumarle el numerador de la parte racional.

Ejemplo 23

8 luego, dividimos y tenemos:

23 : 8 = 2, por tanto

7

23 7

28 8

, sí ahora hacemos el proceso inverso nos queda:

7 8 2 7 23

28 8 8

Ejercicios IV

1. Amplifica los siguientes racionales por el número entre paréntesis.

Ejemplo 2

3 (5) =

2 5 10

3 5 15

1) 4

5 (6) = 2)

1

7 (7) = 3)

5

6 (8) =

4) 5

11 (9) = 5)

11

12 (3) = 6)

7

8 (6) =

7) 2

9 (10) = 8)

13

15 (4) = 9)

17

19(5)=

10) 16

23 (3) = 11)

14

17 (7) = 12)

9

10 (9) =

2. Simplifica al máximo las siguientes fracciones, hasta llegar a la fracción irreductible.

1) 3

12 = 2)

15

20 = 3)

3

51 =

4) 54

72 = 5)

48

72 = 6)

15

60 =

7) 64

96 = 8)

40

140 = 9)

192

320 =

10) 125

100 = 11)

77

132 = 12)

115

75 =

3. Empareja las fracciones equivalentes.

a) 3

5 b)

4

14 c)

2

7

d) 28

21 e)

15

25 f)

4

3

4. Rellena de manera que las fracciones sean equivalentes.

1) 2 1

6 12 15

2) 6 18

7 21 126

5

5. Representa en una recta numérica los siguientes racionales.

1) 2 7 4 8

, , ,5 3 7 3

6. Ordena los siguientes racionales de manera creciente y decreciente.

1) 1 1 1 1

, , ,2 5 4 6

2) 5 3 2 5 7

, , , ,8 4 3 6 9

3) 2 8 6 3 7

, , , ,3 9 7 4 8

7. Resuelve las siguientes operaciones y simplifica al máximo el resultado.

1) 1 1

2 4 = 2)

2 1

3 2 =

3) 1 3 5

2 4 6 = 4)

8 13 2

10 15 30 =

5) 2 2 7

3 5 4 = 6)

12 3 4

6 5 7 =

7) 4 3 2 1

7 8 3 3

= 8)

2 3 5

3 7 8 =

9) 2 5

3 7 = 10)

32

8 =

11) 5 4

7 8 = 12)

3 1:

5 2 =

13) 3 1

2:7 5 = 14)

2 4 4:

7 5 7

=

15) 12 24

51 36 = 16)

3 4

4 5

=

17) 3 4 1

:2 3 3

= 18)

3 21 1

:3 3

=

19)

2 35 5

:4 4

= 20)

22

2

3

=

21) 5 3 4

3 7 5 = 22)

3 2 3 2 1:

2 3 4 5 2 =

23) 5 3 1 10 1 3

2 4 2 6 2 5

=

24) 5 2 4 4 1 1 3

:3 3 5 6 3 2 5

=

25)

15 2 7 3 5

3 :7 3 2 5 3

=

26)

1 11

3 2

31

2

= 27)

2 12

5 3

2 13

3 5

=

28) 2 1

23 6

= 29) 1 1

32 3

=

30) 1 1

3 23 2 = 31)

1 11 2

2 3 =

32)

2 11

3 21 1

4 2

= 33)

12 1

33 1

12 3

=

6

34)

1 2 7 3

2 3 8 81 1 3 1

2 4 4 421

2332

1 1 2 1

4 8 3 3

=

35)

3 5 7 4 5 2

4 2 3 1 7 16 2 7 3 2 1

5 4 6 2 3 3

= 36)

2 22 1 1

1 23 6 3

=

37)

13 1 3 1 1

:6 2 2 4 2

= 38)

1 13 1 1 1

24 3 6 3

=

39)

21

1

3 1 4 1

6 3 6 3

3 1 1 1

4 3 6 3

= 40)

8 13 1 1

3 4 6

3 2 3 2

4 3 4 3

=

41)

11

11 1

4 1 31

9 6 4

3 1 4 1

2 5 3 6

= 42)

2 1 1 1

4 3 2 33 6

5 4

=

43)

5 2 7:

4 5 2

2 5 4:

9 6 3

= 44)

1 2 15

3 5 31 2

2 3

=

44)

1 1 1 11 1 1 1

2 3 4 5

1 1 1 11 1 1 1

2 3 4 5

=

45)

10 3 14 21

7 5 6 33 5

12 3

= 46)

2 3 5

3 4 43 6 2

5 5 4

=

47) 1

11

11

1 1

= 48)

12

222

2

=

49)

3 23 2

2 5

= 50)

23 4 3

2 5 5:

5 2 2

=

8. Ejercicios de aplicación.

1) ¿Qué cantidad queda después de gastar los 3

7 de $ 490?

2) Se han vendido los 3

5 de una pieza de género de 200m, luego

1

4del resto. ¿Cuántos

metros quedan?

3) Si se tienen 1

152

piezas del mismo género, ¿cuántos metros hay en total si cada

pieza mide 3

1284

metros?

4) Un obrero debe abrir una zanja de 65 metros de largo, ya ha hecho los 2

13, y luego

hace el doble que lo que ya hizo, ¿cuántos metros le restan para terminar el

trabajo?

7

5) Las dos terceras partes de una suma más 1

5 de la misma resulta 182. ¿Cuál es la

suma total?

6) ¿A qué es igual el cuociente de un fracción por su numerador?

7) Una deuda más 2

5 de la misma alcanza a $ 14.000. ¿A cuánto haciende la deuda?

8) Una modista emplea 1

34

metros para hacer un vestido. ¿Cuántos de estos vestidos

podrá hacer con 52 metros?

9) Un caballero frente a una mesa de juego, pierde los 3

5 de lo que tenía, luego pierde

3

4 de lo que le restaba, quedándose aún con $ 900. ¿Cuánto dinero tenía al

comienzo?

10) Dos señoras van al supermercado y llevan entre las dos $ 4.940. La primera gasta

los 3

7 de lo que llevaba y la segunda

2

3, quedando ambas con la misma cantidad de

dinero. ¿Cuánto tenía cada una?

11) Un terreno se remata dividido en 16 lotes iguales, solamente se presentaron 3

interesados el primero adquirió 1

4 del terreno total, el segundo

1

2 y el otro

1

8.

¿Cuántos lotes adquirió cada uno?

12) Si un pantalón se encoje 1

13 de su longitud. ¿cuánto medirá un pantalón de 130 cm

después de lavarlo?

13) Una comuna de una ciudad vende 1

3 de un solar a una empresa constructora y los

3

4 del resto a otra, quedando aún 5 hectáreas sin vender. ¿Qué superficie tiene el

solar?

14) ¿Qué cantidad de vino almacenado en once cajas y un tercio, si cada caja tiene 24

botellas de tres cuartos de litro cada una?

15) El equipo de baloncesto “La Peña” ha encestado 23 de los 40 lanzamientos que ha

intentado y el equipo “Los Arcos” ha encestado 28 de 47 intentos. ¿Cuál de los dos

equipos es más eficaz en el tiro a canasta?

16) Los 2

5 de los

6

7de las naranjas recolectadas en una huerta se destinan a elaborar

zumo. ¿Qué fracción de las naranjas recolectadas se destinan a elaborar zumo?

17) Un balón cae del décimo piso que se encuentra a 45 metros de altura. En cada bote

sube 2

9 de la altura del bote anterior. ¿A qué altura subirá después del tercer bote?

18) Con el agua de un estanque se llenan 6.300 botellas de 5

2 de litro cada una.

¿Cuántas botellas de 3

4 de litro se llenan con el agua del estanque?

19) Sonia bebe diariamente un litro de leche. Si la leche se compra en botellas de un

cuarto de litro. ¿Cuántas botellas debe comprar para 14 días?

20) Marta ha utilizado 7

8 del dinero que tiene en pagarse las clases de guitarra, y un

medio de lo que restaba en un regalo para su hermana, si le quedan $ 5.000,

¿cuánto dinero tenía al comienzo?

9. Ejercicios bonitos.

1) Extracto del libro “El Hombre que Calculaba”:

“Somos hermanos – explicó el mayor de los hombres – y hemos recibido como

herencia 35 camellos. Según la voluntad de mi padre, me corresponde la mitad de los

animales; a mi hermano Hamet Namir, la tercera parte; y a Harim, el más joven, la novena

parte. Pero no sabemos cómo hacer la división, y en cada intento de reparto propuesto, la

palabra de uno de nosotros va seguida de la negativa por parte de los otros dos. No ha

8

aparecido un resultado que conforme en ninguna de las particiones ofrecidas. Si la mitad

de los camellos es 17 y medio, si su tercera parte y también la novena parte de la cantidad

en cuestión, tampoco son exactas, ¿cómo proceder a la división?

Muy fácil –dijo el Hombre que Calculaba-. Me comprometo a realizar con equidad el

reparto, pero antes permítanme que junte a los 35 camellos heredados este maravilloso

animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.

Amigos – dijo-, voy a hacer la división de los que ahora, como pueden apreciar, son 36

camellos, de manera justa y exacta.

Se dirigió hacia el hermano mayor, y hablo de esta manera:

- Deberías recibir, amigo mío, la mitad de 35 camellos, o sea 17 y medio. Ahora

bien, recibirás la mitad de 36, y por tanto, serán 18. Nada tiene que reclamar, ya que sales

beneficiado con esta operación.

Se dirigió al segundo de los herederos y dijo:

-Tú Hamed, deberías recibir un tercio de 35, o sea, 11 y un poco más. Entonces

tendrás un tercio de 36, esto es, 12. No habrá protestas, porque tú también sales con

ventaja en esta división.

Por último dijo al más joven:

-Tú, joven Harim Namir, según la última indicación de tu padre, tendrías que

beneficiarte con la novena parte de 35, es decir, 3 camellos y parte de otro. Pero te

entregaré la novena parte de 36, o sea 4. Será también apreciable tu ventaja y bien podrás

decirme gracias por el resultado.

Luego terminó la cuestión con la mayor claridad:

-Debido a este generoso reparto que a todos ha ayudado, corresponden 18 camellos

al primero de ustedes, 12 al segundo y 4 al tercero, la suma de las cantidades da como

resultado (18 + 12 + 4) 34 camellos. De los 36 camellos quedan sobrando 2. Uno, como

bien saben es el que les facilité, y el restante es lógico que me corresponda a mi, por haber

solucionado, en forma satisfactoria, este enredado problema de herencia.”

Explica de qué se dio cuenta El hombre que Calculaba, para ofrecer su camello, lograr

recuperarlo y ganar uno.

2) ¿Cuántas fracciones comprendidas entre 19

43 y

23

29 son tales que sus términos son enteros

consecutivos?

3) ¿Cuántas fracciones equivalentes a 33

114, tienen por denominador un natural de tres cifras

que no sea múltiplo de 7?

4) Si a los dos términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al

resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción, ¿cuánto suman los términos de

la fracción original?

5) Una persona dispone de cierta cantidad de pollos para venderlos. En cada venta vende la

mitad de los que tiene más medio pollo. Si después de la décima venta le queda un pollo,

¿cuánto tenía al principio?

6) En encuentra una fracción equivalente a 231

241, sabiendo que la suma del numerador y el

denominador es múltiplo de 91 y que la diferencia de ellos se encuentra entre 200 y 250.

9

Autoevaluación

Racionales

1. 2 5 3

3 6 4 =

A) 2 B) 1

24

C) 1

26

D) 11

13 E)

11

4

2. 1 1 1

2 5 14 8 2 =

A) 1

88

B) 5

88

C) 10

D) 7

88

E) 9

3. ¿Cuál es el término que sigue en la siguiente secuencia numérica; 1 2 3 2

, ,1,1 ,2 ,2 3 5 3

?

A) 4

47

B) 4 C) 1

33

D) 2

33

E) 1

53

4. Un estanque de 7.240 litros está lleno hasta sus 5

8, ¿cuántos litros restan para llenarlo?

A) 2.715 B) 3.620 C) 4.525

D) 5.430 E) 6.335

5. 4 3 16

: :5 7 25

=

A) 11

212

B) 448

375 C)

375

448

D) 12

35 E)

7

3

6. Un automóvil consume 1

10 de litro por cada kilómetro recorrido, ¿cuánto consumirá dicho

automóvil para recorre 240 Km.?

A) 1 l. B) 10 l. C) 12 l.

D) 20 l. E) 24 l.

7. El ahorro de Georgina mensual es de $ 120.000, lo que corresponde a 1

6 de su sueldo,

¿cuánto gana Georgina al año?

A) $ 720.000 B) $ 1.440.000

C) $ 4.320.000 D) $ 7.200.000

E) $ 8.640.000

10

8. Si ordenamos el siguientes conjunto de racionales 2 7 5 3

, , ,3 8 6 4

de manera decreciente

obtenemos

A) 2 3 7 5

, , ,3 4 8 6

B) 2 3 5 7

, , ,3 4 6 8

C) 5 7 2 3

, , ,6 8 3 4

D) 7 5 3 2

, , ,8 6 4 3

E) 7 3 5 2

, , ,8 4 6 3

9. 3

5

7

=

A) 5 5 5

7 7 7 B)

7 7 7

5 5 5 C)

35

7

D) 3

3

5

7 E)

3

3

7

5

10. ¿Cuántos números enteros hay entre 1

2 y

15

14?

A) 0 B) 1 C) 2

D) 14 E) 15

11. 2

23

34

=

A) 8

29

B) 4

415

C) 8

215

D) 1

33

E) 1

23

12. Al amplificar por 9 una fracción, ¿qué ocurre con ella?

A) solo el numerador es múltiplo de 9

B) solo el denominador es múltiplo de 9

C) la fracción es múltiplo de 9

D) la fracción resultante es 9 veces la fracción original

E) la fracción resultante es equivalente a la fracción original

13. Si una fracción se ha simplificado por 5, entonces lo más correcto es

A) la fracción resultante es 5

B) la fracción resultante es irreductible

C) el numerador de la fracción original es múltiplo de 5

D) el denominador de la fracción resultante aún se puede simplificar más

E) tanto el numerador como el denominador de la fracción original son múltiplos de 5

14. ¿Cuánto octavos hay en la fracción 17

4?

A) Ninguno B) 34 C) 17

D) 4 E) 2

15. 3 1

4 :24 2

es igual a

A)

34 4

12

2

B) 4

12

2

+

3

41

2

C) 3 2

4 24 1

D) 5 3 5

42 4 2 E)

2 3 24

5 4 5

11

16. ¿Para qué una fracción sea equivalente a un número entero, debe ocurrir?

A) El denominador sea múltiplo del numerador.

B) Numerador y denominador sean múltiplos del mismo número.

C) El numerador sea mayor que el denominador.

D) El numerador sea múltiplo del denominador.

E) La resta del numerador y el denominador sea mayor que 0.

17. Al representar gráficamente la fracción 4

7 se debe

A) tomar un entero dividirlo en 4 partes iguales y sombrear 7 de ellas.

B) tomar un entero dividirlo en 7 partes iguales y sombrear 4 de ellas.

C) tomar un entero dividirlo en 13 partes iguales y sombrear 7 de ellas.

D) tomar un entero dividirlo en 13 partes iguales y sombrear 4 de ellas.

E) tomar un entero dividirlo en 11 partes iguales y sombrear 4 de ellas.

18. Savane que es una niña muy golosa, se comió un cuarto de la torta antes de que llegaran

sus invitados que eran 9, si la mamá de Savane debe repartir de manera equitativa lo que

resta de la torta, ¿qué parte de la torta original le corresponde a cada participante del

cumpleaños?

A) 1

12 B)

3

40 C)

1

9

D) 1

10 E)

1

40

19. 2 3

3 16:

4 27

=

A) 4 3

4 1

3 3

B)

4 33 1

4 3

C) 7

4

3

D) 7

3

4

E) 11

8

3

4

20. Una persona tiene considerado vivir hasta los 80 años y proyecta terminar sus estudios

cuando tenga 1

3 de los años que vivirá, ¿a qué edad terminará sus estudios?

A) 26 años

B) 26 años 2 meses

C) 26 años 8 meses

D) 27 años 8 meses

E) 53 años 4 meses

21. Para la celebración de un grupo de niños se compraron 7 tortas, si se reparten las tortas en

partes iguales y son 56 niños, entonces ¿qué parte de una torta recibe cada uno de ellos?

A) 1

56 B)

1

7 C)

1

8

D) 1

9 E)

1

6

22. Un entero se ha dividido en 72 partes, si queremos representar una fracción que sea

equivalente a una con numerador 1, ¿cuántas partes no deberíamos considerar?

A) 2 B) 3 C) 6

D) 24 E) 27

12

23. Un estudiante universitario determina que 1

3 de sus ingresos lo gastará en transporte, los

4

5 del resto de ellos en alimentación, y el excedente en diversión, ¿cuál debe ser el monto

de sus ingresos para que los dineros asignados a diversión no sean una fracción de peso?

A) $ 100.000 B) $ 150.000 C) $ 190.000

D) $ 200.000 E) $ 230.000

24. Si queremos representar; 1

2,

1

3 y

1

4 en un solo entero ¿cuál es el menor número de partes

en que tenemos que dividirlo para representar exactamente esas fracciones?

A) 24 B) 12 C) 9

D) 8 E) 6

25. Sea A = 1

3, M =

1

4, R =

1

6 y O =

1

5, luego al ordenarlos de manera decreciente se obtiene

A) R, O, M, A B) M, O, R, A C) R, A, M, O

D) A, R, M, O E) A, M, O, R

26. Si A y B son enteros positivos y 1 40

AB 7

, entonces A =

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 49

27. Si a una fracción se le suma 1 al numerador y se le resta 1 al denominador, resulta el

recíproco de la fracción original, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son)

verdadera(s)?

I) Es una fracción propia.

II) La diferencia entre el denominador y el numerador de la fracción original es 1.

III) El numerador y el denominador son enteros consecutivos.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo II y III E) I, II y III

28. 1 21(3 ) 3

3

=

A) 1 B) 3

2

3

C) 2

2

3

D) 2

3 E)

3

2

3

29. Si n es 5

6 de 240, entonces los

2

5 de n es

A) 288 B) 200 C) 115,2

D) 96 E) 80

13

30.

11

11

1 111 1

A) 1

2 B)

2

3 C)

5

6

D) 11

6 E) 2

Sixto Maulén y Savane Emegu

2013