Los Números Racionales - SMZ

DOMINIO

NUacuteMEROS Y

OPERACIONESINDICADORES CAPACIDADES

APRENDIZAJE

FUNDAMENTAL

Construir y usar

la matemaacutetica

en y para la vida

cotidiana el

trabajo la

ciencia y la

tecnologiacutea

Matematiza situaciones que involucran cantidades y

magnitudes en diversos contextos haciendo uso de

nuacutemeros racionales

REPRESENTA Situaciones que involucran cantidades y



Comunica-Elabora-Utiliza-Argumenta

Plantea estrategias de representacioacuten

(pictoacuterica graacutefica y simboacutelica)

Explica la pertinencia de usar el nuacutemero racional

en su expresioacuten fraccionaria decimal y porcentual

en diversos contextos para el desarrollo de su

significado

Experimenta y describe situaciones de medicioacuten

(masa tiempo longitud capacidad de

almacenamiento en bytes)

Mariacutea docente de primer antildeo de la Institucioacuten

Educativa Nordm 2024 preocupada por la cantidad

considerable de alumnos desaprobados desea

saber como distribuyen los alumnos su

tiempo en el desarrollo de sus diversas

actividades diarias Para ello entrevisto a la

alumna Juana quien le manifestoacute como

distribuye su tiempo Le dijo que emplea en

En dormir 8 horas

En el colegio 7 horas

En las labores de la casa 2 horas

En hacer las tarea 1 hora

En estudiar 1 hora

En practicar deporte 2 horas

En ver tv 2 horas

En el internet 1 horas

iquestCoacutemo representariacutean el tiempo que emplean

en cada actividad que realizan

tomando como unidad las 24 horas del diacutea

El tiempo total como

representamos2424

Hacer la tarea escolar

El tiempo que emplea en

Dormir

Estar en el colegio

Hacer las labores de la

casa

724

824

224

124

124

Hacer uso de internet

Ver tv

Estudiar

Practicar deporte 224

224

124

LAS FRACCIONES EN NUESTRA VIDA COTIDIANA

Las fracciones estaacuten involucradas diariamente en muchas de

nuestras actividades

La necesidad de medir generoacute la invencioacuten de las

fracciones o ldquonuacutemeros quebradosrdquo

SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES SEGUacuteN SU

USO

Las fracciones aparecen en diferentes contextos como medida

reparto equitativo probabilidad parte de un todo operador etc

2 frac12 34 16 35 de 2018

FRACCIOacuteN COMO PARTE DE UN TODO

La fraccioacuten como expresioacuten que vincula la parte con el todo

iquestQueacute parte es

iquestCuaacutento le corresponde a cada uno

FRACCIOacuteN COMO REPARTO

EQUITATIVO

Si tengo dos panes y quiero repartir entre tres

nintildeos

FRACCIOacuteN COMO RAZOacuteN

iquestEn queacute relacioacuten estaacuten

Se utiliza la fraccioacuten para indicar una comparacioacuten entre dos

magnitudes

La relacioacuten de bolas rojas a bolas amarillas es 35

Conjunto Q

Propiedades

y comparacioacutenOperatoria Transformaciones

Decimal finito a

fraccioacuten

Decimal perioacutedico a

fraccioacuten

Decimal semiperioacutedico

a

fraccioacuten

Adicioacuten

Sustraccioacuten

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Simplificacioacuten

Amplificacioacuten

Fracciones

equivalentes

FRACCIOacuteN COMO OPERADORbull LA FRACCIOacuteN COMO OPERADOR

bull LA FRACCIOacuteN SE CONVIERTE EN OPERADOR CUANDO LO UTILIZAMOS COMO FACTOR

QUE MULTIPLICA O DIVIDE A UN RESULTADO PARCIAL O A LA UNIDAD

bull EJEMPLO

bull HALLAR LOS 2 3 DE 30

bullbull UTILIZADA LA FRACCIOacuteN COMO OPERADOR TENEMOS

bull 2 2 30 230 60

bull --- DE 30 = ---- ------ = --------- = ------- = 20

bull 3 3 1 31 3

bull RECORDAR QUE CUALQUIER NUacuteMERO ENTERO SE CONVIERTE EN RACIONAL

bull AL SER DIVIDIDO POR LA UNIDAD

bull 3 = 3 1 - 2 = - 2 1

1NUacuteMEROS RACIONALES (Q)

Es un conjunto infinito ordenado y denso donde todos los

nuacutemeros se pueden escribir como fraccioacuten es decir

a

b a y b son enteros y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional

a numerador y b denominador

PROPIEDADES DE LOS RACIONALES

bull Amplificar y simplificar fracciones

Ejemplo

2∙

3∙

Amplificar una fraccioacuten significa multiplicar tanto el numerador

como el denominador por un mismo nuacutemero

6

6

Al amplificar la fraccioacuten por 6 resulta2

3

=12

18

bull Las fracciones se pueden clasificar en

Fraccioacuten propia donde el numerador es menor que el denominador

Fraccioacuten impropia donde el numerador es mayor que el

denominador

Fraccioacuten Mixta estaacute compuesta de una parte entera y de otra

fraccionaria

Ejemplo

Simplificar una fraccioacuten significa dividir tanto el numerador


3

3=

9

15

Al simplificar la fraccioacuten por 3 resulta27

45

27

45

bull Inverso multiplicativo o reciacuteproco de una

fraccioacuten

El inverso multiplicativo o reciacuteproco de 2

9

es 9

2

Ejemplo

COMPARACIOacuteN DE FRACCIONES

bull Multiplicacioacuten cruzada

Ejemplo

Al comparar (Multiplicando cruzado)13

15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135

Como 130 lt 135 entonces 13

15

9

10lt

bull Igualando denominadores

Ejemplo

13

15

7

12

Al comparar y (Igualando denominadores)

13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y

Como 52 gt 35 entonces 13

15

7

12gt

bull Transformar a decimal

Ejemplo

13

15

7

12

Al comparar (Transformando a decimal)y

13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12

gtComo 086 gt 0583 entonces

12 Operatoria en los racionales

bull Suma y resta

Ejemplos

1 Si los denominadores son iguales

4

15+

7

15=

11

15

2 Si uno de los denominadores es muacuteltiplo del otro

2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y

3 Si los denominadores son primos entre siacute

5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36

4 Aplicando miacutenimo comuacuten muacuteltiplo (mcm)

4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=

bullMultiplicacioacuten

Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-

bull Nuacutemero Mixto

Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5

TRANSFORMACIOacuteN DE NUacuteMEROS RACIONALES

bull De fraccioacuten a decimal

Ejemplo

Se divide el numerador por el denominador

7

4= 175

bull De decimal finito a fraccioacuten

Ejemplo

El numerador corresponde al nuacutemero sin comas y el denominador es una

potencia de 10 que depende del nuacutemero de decimales que tenga el nuacutemero

100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=

bull De un nuacutemero decimal perioacutedico a fraccioacuten

1 El numerador de la fraccioacuten es la diferencia entre el nuacutemero decimal

completo sin la coma y la parte entera

2 El denominador estaacute formado por tantos nueves (9) como cifras

tenga el periacuteodo

Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999

Nota Se llama ldquoperiacuteodordquo al conjunto de diacutegitos que se repite

indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090

bull De un nuacutemero decimal semi perioacutedico a fraccioacuten

1 El numerador de la fraccioacuten corresponde a la diferencia entre el

nuacutemero decimal completo sin la coma y la parte entera incluyendo

las cifras del ante periacuteodo

2 El denominador queda formado por tantos nueves (9) como cifras

tenga el periacuteodo y tantos ceros (0) como cifras tenga el ante

periacuteodo

Nota Se llama ldquoante periacuteodordquo a los nuacutemeros que hay entre la coma

decimal y el periacuteodo

Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5

iquestQueacute nuacutemero tendriacuteamos que sumar a para obtener

el 7deg teacutermino

1

5

De acuerdo a las caracteriacutesticas de la secuencia el 7deg teacutermino

es 66

5

Tendriacuteamos que sumar a para obtener el 7deg

teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta

Secuencia Numeacuterica

Observacioacuten

La secuencia anterior tambieacuten se puede analizar de la siguiente

manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5

1deg 2deg 3deg 4deg 7deghellip

Lo que nos permitiriacutea saber por ejemplo

iquestcuaacutel es el valor del n-eacutesimo teacutermino de la secuencia

Respuesta

Es maacutes un nuacutemero impar lo que se expresa como 1

5

1 + (2n - 1)

5

(Con n = posicioacuten del teacutermino)

Construir y usar

la matemaacutetica

en y para la vida

cotidiana el

trabajo la

ciencia y la

tecnologiacutea













significado












En dormir 8 horas




En estudiar 1 hora


En ver tv 2 horas






representamos2424



Dormir

Estar en el colegio


casa

724

824

224

124

124


Ver tv

Estudiar


224

124







USO



2 frac12 34 16 35 de 2018






EQUITATIVO


nintildeos




magnitudes


Conjunto Q

Propiedades


Decimal finito a

fraccioacuten


fraccioacuten


a

fraccioacuten

Adicioacuten

Sustraccioacuten

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Simplificacioacuten

Amplificacioacuten

Fracciones

equivalentes




bull EJEMPLO



bull 2 2 30 230 60

bull --- DE 30 = ---- ------ = --------- = ------- = 20

bull 3 3 1 31 3



bull 3 = 3 1 - 2 = - 2 1




a


Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5














significado












En dormir 8 horas




En estudiar 1 hora


En ver tv 2 horas






representamos2424



Dormir

Estar en el colegio


casa

724

824

224

124

124


Ver tv

Estudiar


224

124







USO



2 frac12 34 16 35 de 2018






EQUITATIVO


nintildeos




magnitudes


Conjunto Q

Propiedades


Decimal finito a

fraccioacuten


fraccioacuten


a

fraccioacuten

Adicioacuten

Sustraccioacuten

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Simplificacioacuten

Amplificacioacuten

Fracciones

equivalentes




bull EJEMPLO



bull 2 2 30 230 60

bull --- DE 30 = ---- ------ = --------- = ------- = 20

bull 3 3 1 31 3



bull 3 = 3 1 - 2 = - 2 1




a


Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5










En dormir 8 horas




En estudiar 1 hora


En ver tv 2 horas






representamos2424



Dormir

Estar en el colegio


casa

724

824

224

124

124


Ver tv

Estudiar


224

124







USO



2 frac12 34 16 35 de 2018






EQUITATIVO


nintildeos




magnitudes


Conjunto Q

Propiedades


Decimal finito a

fraccioacuten


fraccioacuten


a

fraccioacuten

Adicioacuten

Sustraccioacuten

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Simplificacioacuten

Amplificacioacuten

Fracciones

equivalentes




bull EJEMPLO



bull 2 2 30 230 60

bull --- DE 30 = ---- ------ = --------- = ------- = 20

bull 3 3 1 31 3



bull 3 = 3 1 - 2 = - 2 1




a


Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5








USO



2 frac12 34 16 35 de 2018






EQUITATIVO


nintildeos




magnitudes


Conjunto Q

Propiedades


Decimal finito a

fraccioacuten


fraccioacuten


a

fraccioacuten

Adicioacuten

Sustraccioacuten

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Simplificacioacuten

Amplificacioacuten

Fracciones

equivalentes




bull EJEMPLO



bull 2 2 30 230 60

bull --- DE 30 = ---- ------ = --------- = ------- = 20

bull 3 3 1 31 3



bull 3 = 3 1 - 2 = - 2 1




a


Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5







EQUITATIVO


nintildeos




magnitudes


Conjunto Q

Propiedades


Decimal finito a

fraccioacuten


fraccioacuten


a

fraccioacuten

Adicioacuten

Sustraccioacuten

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Simplificacioacuten

Amplificacioacuten

Fracciones

equivalentes




bull EJEMPLO



bull 2 2 30 230 60

bull --- DE 30 = ---- ------ = --------- = ------- = 20

bull 3 3 1 31 3



bull 3 = 3 1 - 2 = - 2 1




a


Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5





magnitudes


Conjunto Q

Propiedades


Decimal finito a

fraccioacuten


fraccioacuten


a

fraccioacuten

Adicioacuten

Sustraccioacuten

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Simplificacioacuten

Amplificacioacuten

Fracciones

equivalentes




bull EJEMPLO



bull 2 2 30 230 60

bull --- DE 30 = ---- ------ = --------- = ------- = 20

bull 3 3 1 31 3



bull 3 = 3 1 - 2 = - 2 1




a


Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5


Conjunto Q

Propiedades


Decimal finito a

fraccioacuten


fraccioacuten


a

fraccioacuten

Adicioacuten

Sustraccioacuten

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Simplificacioacuten

Amplificacioacuten

Fracciones

equivalentes




bull EJEMPLO



bull 2 2 30 230 60

bull --- DE 30 = ---- ------ = --------- = ------- = 20

bull 3 3 1 31 3



bull 3 = 3 1 - 2 = - 2 1




a


Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5





bull EJEMPLO



bull 2 2 30 230 60

bull --- DE 30 = ---- ------ = --------- = ------- = 20

bull 3 3 1 31 3



bull 3 = 3 1 - 2 = - 2 1




a


Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5





a


Ejemplos

2 17 0 -6 -45 -2

70489 218 -0647-1

8

143

15

0

NO es racional




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5




Ejemplo

2∙

3∙



6

6


3

=12

18




denominador


fraccionaria

Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5


Ejemplo



3

3=

9

15


45

27

45


fraccioacuten


9

es 9

2

Ejemplo



Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5




Ejemplo


15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135


15

9

10lt


Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5



Ejemplo

13

15

7

12


13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y


15

7

12gt


Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5



Ejemplo

13

15

7

12


13

15= 086666666hellip

7

12= 058333333hellip

13

15

7

12



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5



bull Suma y resta

Ejemplos


4

15+

7

15=

11

15


2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y


5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5



5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36


4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5


-4

5 ∙

8

7=

-32

35=


Ejemplo-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

bull Divisioacuten

Ejemplo-4

5

7

8=

32

35-


Ejemplo

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5



Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5




Ejemplo


7

4= 175


Ejemplo



100175 =175 = 7

4

25∙7

25∙4

=






Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5







Ejemplo 1 235 = 235 ndash 2 = 233

99 99

Ejemplo 2 0376 = 376 ndash 0 = 376

999 999


indefinidamente

321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5


321 = 321-32 = 2899090







periacuteodo



Ejemplo

Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5


Ejemplo

En la secuencia 6

5

16

5

26

5

36

5



1

5


es 66

5


teacutermino

65

5

1

5

65 = 13

5

Es decir

Respuesta


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5


Observacioacuten


manera

1 + 1

5

1 + 3

5

1 + 5

5

1 + 7

5

1 + 13hellip

5




Respuesta


5

1 + (2n - 1)

5


Los Números Racionales - SMZ

Education

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