Ma03 números racionales

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 3

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son todos aquellos números que se pueden expresar en la forma ab

con a y b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra �.

FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA Sean a y b enteros positivos.

i) Si a < b ⇒ ab es una fracción propia.

ii) Si a ≥ b ⇒ ab es una fracción impropia.

OBSERVACIÓN: Toda fracción impropia se puede escribir como número mixto. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES EJEMPLOS 1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional?

I) 5-6

II) 3

5 5−

III) 2 – 22 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

Q = / , y

aa b b 0

b∈ ≠∈ ≠∈ ≠∈ ≠��

Sean ab , cd ∈∈∈∈ ��. Entonces:

ab=

cd ⇔⇔⇔⇔ a · d = b · c

C u r s o : Matemática

Material N° 03

2

2. Con respecto a la igualdad xy =

57, es siempre verdadero que

A) x = 5 e y = 7 B) x + y = 12 C) 7y = 5x

D) xy = 0,71…

E) 5y = 7x 3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es impropia y además irreductible?

A) 79

B) 1339

C) 1622

D) 97

E) 3417

4. Al amplificar la fracción ab, con a ≠ b, se obtiene:

I) Un racional equivalente. II) La unidad. III) Siempre una fracción impropia.

Es (son) verdadera(s)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

5. Si a la fracción 54 el numerador se disminuye y el denominador se aumenta en la

misma cantidad positiva, entonces la fracción resultante

A) es mayor que la fracción original. B) es equivalente a la fracción original. C) es menor que la fracción original. D) es siempre negativa. E) es siempre positiva.

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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si ab, cd ∈ �, entonces:

OBSERVACIONES

� El inverso aditivo (u opuesto) de ab es -

ab, el cual se puede escribir también como

-ab o

a-b

.

� El número mixto Abc se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si ab ,

cd ∈ Q, entonces:

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN OBSERVACIÓN

� El inverso multiplicativo (o recíproco) de ab es

-1ab

= ba , con a y b ≠ 0

EJEMPLOS

1. 2

4 53

− − =

A) -923

B) -123

C) -13

D) 13

E) 53

ab ±±±±

cd =

ad bcbd±±±±

Abc =

A · c + bc

, con A ≥≥≥≥ 0

ab · cd =

acbd

ab : cd =

ab · dc =

adbc

, c ≠≠≠≠ 0

4

2. Si x = -314 e y = 5 +

38, entonces x + y =

A) -218

B) 218

C) 258

D) 3 34

E) 858

3. Si z= a bb a

−

− , con a =

13 y b =

25, entonces el valor de z2 – 1 es

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

4. El inverso aditivo del recíproco de 1 1 1 1 7 1 : ·

4 3 5 7 5 3

− −

es

A) -4 B) -1

C) -14

D) 14

E) 4

5. La cuarta parte del doble de 7 7 :

8 4 · 24 es igual al triple de

A) 12

B) 2 C) 3 D) 6 E) 12

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RELACIÓN DE ORDEN EN ��

OBSERVACIONES � Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes

procedimientos:

• Igualar numeradores. • Igualar denominadores. • Convertir a número decimal.

• Transformar a número mixto

bAc

.

� Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. EJEMPLOS

1. El orden decreciente de los números p = 146

, q = 1411

y r = 143

es

A) r, p, q B) q, p, r C) p, q, r D) r, q, p E) q, r, p

2. El orden creciente de los números x = 214, y =

32 y z =

114 es

A) z, x ,y B) z, y, x C) y, x, z D) y, z, x E) x, y, z

3. El orden creciente de los números a = 1315

, b = 67 y c =

79 es

A) c, b, a B) c, a, b C) a, c, b D) a, b, c E) b, c, a

Sean ab , cd ∈∈∈∈ �� y b, d ∈∈∈∈ ��+. Entonces:

ab

≥≥≥≥ cd ⇔⇔⇔⇔ ad ≥≥≥≥ bc

6

4. Si x es un número racional mayor que 2, ¿cuál es la relación de orden correcta entre

las fracciones a = 7

2 + x , b =

7x 2−

y c = 7x ?

A) a < b < c B) a < c < b C) c < b < a D) c < a < b E) b < a < c

5. El orden de los números mixtos x = 356, y = 3

910

, y z= 345, de menor a mayor es

A) x, y, z B) x, z, y C) z, y, x D) z, x, y E) y, z, x

6. Sean las fracciones: p = 25, q =

914

y r = 37, entonces se cumple que

A) q > p > r B) p > q > r C) r > p > q D) p > r > q E) q > r > p

7. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor?

A) 629

B) 29

C) 313

D) 522

E) 419

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NÚMEROS DECIMALES Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cual puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES � Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números

decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.

� Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números

decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto.

� División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede

transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL FINITO A FRACCIÓN Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número. EJEMPLOS

1. El desarrollo decimal de la fracción 3

500 es

A) 0,0006 B) 0,006 C) 0,015 D) 0,06 E) 0,6

2. El valor de (0,25 – 0,7) · 2 es

A) -1,1 B) -0,9 C) -0,45 D) 0,9 E) 1,9

8

3. 0,20 · 0,03 · 1,2 es igual a

A) 0,00060 B) 0,00072 C) 0,0060 D) 0,0072 E) 0,072

4. El valor de 0,002 · 0,30,12

es igual a

A) 0,000005 B) 0,0005 C) 0,005 D) 0,02 E) 5.000

5. Si a = 0,2 , b = 0,004 y c = 0,000008, entonces cab

es igual a

A) 0,0001 B) 0,001 C) 0,01 D) 1 E) 10

6. Si x = 2,044, y = 2,004 y z = 2,04, ¿cuál de las siguientes alternativas indica un orden creciente?

A) x < y < z B) x < z < y C) y < x < z D) y < z < x E) z < y < x

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EJERCICIOS

1. 2 5 1 +

3 6 12− =

A) -16

B) -221

C) -112

D) 112

E) 1912

2. 3 7 2 -4 ·

4 8 7 7

− −

=

A) -208

B) 0

C) 12

D) 1

E) 32

3. 149

15

3

−

−

es igual a

A) 263

B) 6

C) 83

D) -32

E) -5

10

4. El recíproco de 13 sumado con el inverso aditivo de -3 es igual a

A) 0

B) 23

C) 83

D) 103

E) 6

5. Si al triple de 1,2 se le resta el doble de 2,1, entonces resulta

A) -3 B) -0,6 C) 0,6 D) 1,5 E) 7,8

6.

2 15 5 3 64 7

− =

A) -2815

B) -115

C) 130

D) 310

E) 2330

7. -1

11 +

-11 +

11 +

4

=

A) -34

B) -16

C) -13

D) 13

E) 16

11

8. ¿Cuál es el doble de la tercera parte de los 58 de 2,4?

A) 0,1 B) 0,5 C) 1 D) 9 E) 10

9. Si a 400 se le restan los 25100

de su mitad, entonces el resultado es

A) -350 B) 300 C) 350 D) 360

E) 400 – 132

10. Se ha vendido 1 1 1, y

4 2 8 de una rifa, de la cual aún quedan 3 números por vender.

¿Cuál es la cantidad total de números vendidos de la rifa?

A) 3 B) 6 C) 12 D) 21 E) 24

11. Si los 1535

de una cantidad corresponden a 120.000, ¿cuál es la mitad de la cantidad?

A) 20.000 B) 40.000 C) 60.000 D) 140.000 E) 280.000

12. Si al precio de un artículo que es $ 180.000 se aumenta en su tercera parte y el nuevo

precio se disminuye a su tercera parte, entonces el precio final es

A) $ 80.000 B) $ 90.000 C) $ 160.000 D) $ 180.000 E) $ 320.000

12

13. Dados los racionales p = 1913

, q = 32 y r =

3726

, entonces se cumple que

A) p > r > q B) r > p > q C) r > q > p D) P > q > r E) q > p > r

14. Alicia comparte sus dos barras de chocolate iguales con sus dos amigas Francisca y

Claudia. A Francisca le da 89 de una barra y a Claudia

79 de la otra barra, quedándose

Alicia con el resto del chocolate. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) Alicia se quedó con 13 de la cantidad de chocolate que tenía.

II) Entre Alicia y Claudia comieron más que Francisca. III) Quien recibió más chocolate fue Francisca.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

15. 0,2 0,2 · (0,2 + 0,2) · 0,2− =

A) 0 B) 0,024 C) 0,056 D) 0,08 E) 0,12

16. 0,004 + 0,02 + 0,60,13 0,01−

=

A) 0,0052 B) 0,1 C) 4,457… D) 5,02 E) 5,2

13

17. Javier, Matías y Diego son jugadores de ajedrez que demoran en promedio por jugada 6,03; 6,09 y 6,12 segundos, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La suma de las centésimas de los tiempos de Javier y Matías resultan ser

las centésimas del tiempo de Diego. II) El que juega más rápido es Matías. III) Javier demora 9 centésimas menos que Diego.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

18. ¿Cuánto se obtiene si el producto 0,04 · 0,0064 se divide por el producto 1,6 · 0,032?

A) 0,00005 B) 0,0005 C) 0,005 D) 0,05 E) 0,5

19. Una herencia de $ 9.000.000 será repartida entre los 5 hijos de un matrimonio en

partes iguales. Si uno de estos hijos a su vez repartirá su parte entre sus 3 hijos, ¿cuánto recibirán 2 de estos nietos del matrimonio?

A) $ 300.000 B) $ 450.000 C) $ 600.000 D) $ 900.000 E) $1.200.000

20. Un tambor está con agua hasta la mitad de su capacidad. Si se saca 6 litros, entonces queda sólo hasta la octava parte de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del tambor?

A) 6,85 litros B) 7,50 litros C) 13,70 litros D) 15,00 litros E) 16,00 litros

14

21. Don José vende 25 de su fundo, posteriormente vende

56 del resto al mismo precio el

metro cuadrado. Si la venta total le recaudó $ 3.600.000, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) De vender lo que le queda, recaudaría un total de $ 3.960.000.

II) Le quedó 110

del fundo.

III) La diferencia de ingresos entre ambas ventas fue de $ 400.000.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II, III

22. Pedro, Juan y Diego inician una empresa, aportando Pedro y Juan, 25 y

320

del capital

inicial, respectivamente, y Diego el resto. ¿Cuál es el decimal que representa la fracción que aportó Diego?

A) 0,15 B) 0,40 C) 0,45 D) 0,55 E) 0,80

23. Se desea pintar una pandereta de 62 metros de largo por 1,9 metros de alto. Si el tarro

de pintura tiene un valor de $ 7.100 y rinde 4,1 m2, agregando la mano de obra del maestro que cobró $ 1.970 el metro cuadrado. ¿Cuál sería, estimativamente, el costo total de este trabajo?

A) $ 210.000 B) $ 240.000 C) $ 330.000 D) $ 436.061 E) $ 450.000

24. En un corral se tienen conejos, gallinas y patos. Si 13 de la mitad son conejos, 20 son

gallinas y éstas representan 25 del total de patos, ¿cuántos animales hay en total en el

corral?

A) 50 B) 60 C) 84 D) 105 E) 140

15

25. Un tambor tiene capacidad para 75 litros y está lleno de leche. Se saca un quinto del contenido, luego se restituye 5 litros; se vuelve a sacar un quinto del contenido y se repone 2 litros. Si por última vez se saca un noveno del contenido, ¿cuál es la cantidad de leche que queda en el tambor?

A) 30 litros B) 45 litros C) 48 litros D) 60 litros E) 75 litros

26. La expresión rp · q

, con p, q y r números enteros, p y q ≠ 0 es positiva si :

(1) rq < 0 y p < 0

(2) p · q > 0 y r no negativo.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. Se puede determinar el numerador de cierta fracción si :

(1) El denominador de la fracción es 100.

(2) El decimal asociado a la fracción es 1,25.


28. Los alumnos de un curso debieron elegir sólo una asignatura entre Química, Física y

Biología. Si 14 del curso eligió Química, se puede determinar el número de alumnos que

eligieron Física si se sabe que :

(1) El curso tiene 80 alumnos.

(2) 68 del curso no eligió Química.


16

29. Se puede determinar la fracción de suero por minuto, que se le suministra a un paciente desde una bolsa de 1.000 ml si :

(1) La mitad de la tercera parte de la bolsa de suero se consume en 10 minutos.

(2) La bolsa de suero se consume en una 1 hora.


30. Se puede determinar el valor numérico de zyx si :

(1) x · y = 0,20

(2) z es la quinta parte de x · y.


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