EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El primer conjunto numérico que se conoce es el conjunto de los números naturales

N = ( ,1,2,3……..).

Entonces, luego surgió un nuevo conjunto de la unión del conjunto de los naturales, el

cero y el conjunto de los números negativos al que se le denomino conjunto de los

números enteros.

Z =

El conjunto de los números enteros se designa con el símbolo Z y se lee “conjunto zeta”.

Z= Z- U (o) U Z+

Enteros ó Z = […-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…]

A los enteros positos se les puede o no escribir el signo +. Por ejemplo: +5, o bien 5.

El cero no necesita llevar signo, pues es lo mismo decir +0 que 0.

A los enteros negativos siempre se les debe escribir el signo - : -2; -8; -20.

-1

-2

-3

-4 -5….

1 2

3

4 5

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos

los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de

una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se

considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el

conjunto de los Cardinales).

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales

que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor

además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros

positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero,

y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden

ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Para estudiar los numeros enteros es necesario conocer la necesidad de crear un

sistema numérico. Los números negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como

la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero,

entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los

números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos.

El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal.

Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones,

las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede

realizarse convenientemente si a cada persona le toca una parte de las tres que tiene

cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que

queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un

balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno

le deben tocar tres balines. Los balines ilustran así, por analogía, los números enteros:

números que no pueden dividirse, a menos que la división sea exacta, por decir:

8/4 sí es exacta: 8/4 = 2 y es un entero, pero 8/3 no es exacta y no puede ser, en

consecuencia, un número entero.

REPRESENTACION RECTA NUMERICA

Para poder ubicar estos números enteros en una recta numérica debemos seguir los siguientes

pasos:

1.-Trazamos una línea recta y situamos en ella el 0.

0

El 0 divide a la recta en dos semirrectas.

2.-Dividimos cada una de las semirrectas en partes iguales:

3.-Situamos los números enteros, los enteros positivos a la derecha del cero y los enteros

negativos a la izquierda del cero:

VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO

En la recta numérica de a continuación, Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia

del cero.

Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con

distinto signo. Al número 3 se le llama “valor absoluto “ de +3 y –3, y se indica así:

|+3| = | -3 | = 3

entonces, podemos concluir que Valor absoluto de un número entero es el número natural que

sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.

RELACIONES DE ORDEN EN Z

El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado. En el establecemos la relación de

orden “Ser menor que “(simbolizada < ). Si tomamos dos números enteros diferentes A y B,

siempre se cumple que :

a< b o b < a

si a <b se cumple que b > a y decimos que “b es mayor que a”.

NUMERO NEGATIVO ES TODO NÚMERO MENOR QUE CERO

NUMERO POSITIVO ES TODO NÚMERO MAYOR QUE CERO

Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

Todo número entero consta de dos partes: Magnitud o valor absoluto y signo.

Ej: +2 tiene valor absoluto 2 y signo +

-2 tiene valor absoluto 2 y signo –

Los enteros positivos los escribimos indistintamente con o sin signos. O sea, escribiremos

+2 o simplemente 2.

Los números enteros positivos +1, +2, +3,+4,+5,+6,+7, ∞ están ordenados como los números

naturales. A si decimos que si tomamos dos números diferentes a y b, siempre se cumple que

a > b o que b < a.

Si comparamos dos números enteros a y b decimos que a es mayor que b

sí y solo si, b es menor que a .

En síntesis V a, b Є Z , a > b ↔ b < a

EJ: ( +3) > ( +2 ) ↔ (+2) < ( +3)

(+3) > ( -2) ↔ ( -2) < ( +3)

En la recta numérica observamos que de dos números, es mayor el que esta situado a la

derecha y es menor el que esta ubicado a la izquierda.

Negativos Positivos

__!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

EJ: +8 > -3 y -5 < +8

Si comparamos dos números de distinto signo, decimos que todo número negativo es

menor que todo numero positivo, o que todo numero positivo es mayor que todo

numero negativo.

En símbolos: (-a) < (+a)

(+a) > ( -a)

Si comparamos el cero con los números negativos y positivos: 0 y (+3); 0 y (-3). En la recta

numérica observaríamos que:

0 < (+3) y que 0 > (-3)

Negativos Positivos

__!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

Si comparamos los números enteros con el cero decimos que éste es menor que todos lo

números positivos y mayor que todos los negativos, en general:

0 > (-a) y 0 < (+a)

Al comparar dos números enteros de igual signo (-5) y (-7); (+5) y (+7)

Negativos Positivos

__!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

Se observa en la recta numérica, que -7 está más alejado del cero que -5, por lo tanto se dice que:

(-5) > (-7)

Si comparamos dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor

absoluto.

-a > -b ↔ / -a / < / -b /

Además podemos notar que (+5) esta mas cerca del cero que (+7) se dice que

(+7) > ( +5)

Si comparamos dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

+a > +b ↔ / +a / > / + b/

ADICION DE LOS NUMEROS ENTEROS.

La adición es una operación definida en Z. Es decir, tomamos dos elementos de (dos números

enteros) su suma es un elemento de Z (es un números entero).

Existen tres formas en que puede darse la adicion en el conjunto Z:

Adición de número enteros del mismo signo:

En esta recta numérica damos un salto de +2 y a continuación otro de +3. El salto total

Es de +5.

(+2) +(+3) = +5

En esta otra recta damos un salto de –2 y a continuación otro de –3. El salto total fue -5

(-2) + (-3) = -5

Entonces:

SE OBSERVA QUE:

La suma de dos números enteros negativos es otro número negativo.

La suma de dos números enteros positivos es otro número entero positivo.

Adición de números enteros de distinto signo:

En esta recta, a partir del 0 hemos avanzado 6 unidades hacia la derecha (+6).

A continuación hemos retrocedido 8 unidades hacia la izquierda. Estamos en –2.

(+6) + (-8) = -2

En esta otra recta, a partir de 0 hemos retrocedido primero 2 unidades (-2).

Luego hemos avanzado 8 unidades (+8). Estamos en +6.

(-2)+(+8) = +6

Entonces:

Adición de varios números enteros

¿Cómo podemos calcular el resultado de esta suma?

(+4) + (-2) + (+3) + (+5) +(-6) = (+12) + (-8) = +4

Entonces:

PROPIEDADES DE LA ADICION.

A. Ley de Composición Interna o Clausura :

La suma de dos enteros de igual signo es un número entero con ese mismo signo y

cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de cada uno de los sumandos

Simbología: V a ,b Є Z , ( a + b ) Є Z

EJ: (+7) + (+3) = + (7+3)=+10

(-7) + (-3) = - (7+3)=-10

La suma de dos enteros de distintos signos es un entero cuyo signo es el sumando de

mayor valor absoluto y cuyo valor absoluto es la diferencia de los valores absolutos de

ambos sumandos.

EJ: (+7) + (-3) = + (7-3) = +4

(-8) + (+2)= - (8-2) = -6

(+5) + (-6) = - (6-5) = -1

Para encontrar la suma de dos números enteros se puede utilizar la recta numérica,

situándose en el lugar correspondiente al primer sumando y luego

- Si el segundo sumando es positivo debemos desplazarnos a la derecha tanta

unidades como tenga el valor absoluto del segundo sumando, y

- Si el segundo sumando es negativo debemos desplazarnos hacia la izquierda

tanta unidades como tenga el valor absoluto del segundo sumando.

- EJ: RECTA NUMERICA

Caso 1: (-3) + ( +5)

(-3) + (+5) = + 2

-3 -2 -1 0 +1 +2

Caso 2: (-3) + (- 5)

(- 3) + (- 5) = -8

B. CONMUTATIVIDAD:

La adición de números enteros es conmutativa, ya que el orden de los sumandos no

altera la suma.

En símbolos:

V a , b Є Z , ( a + b ) = ( b + a )

EJ: ( +7 ) + ( -15 ) Y ( -15 ) + ( + 7 )

-8 Y -8

Los resultados son iguales, por lo tanto : ( +7 ) + ( -15 ) = ( -15 ) + ( +7)

C. ASOCIATIVIDAD:

Adición de números enteros es asociativa, es decir existen dos maneras de asociar tres

números enteros, obteniendo un mismo resultado.

En símbolos:

V a, b , c Є Z , ( a + b ) + c = a + ( b + c)

EJ: Sean los números enteros: + 4, +5, - 2, Podemos sumarlos de distintas maneras

[(+4) + (+5)] + (-2) y (+4) + [( +5) + ( -2)]

(+9) + ( -2) y (+4) + (+3)

+ 7 = +7

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o

D. EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO.

En el conjunto de los números enteros existe un elemento neutro para la adición,

este es cero

En símbolos: V a Є Z З ! e Є Z / a + e = e + a = a

EJ: (24) + 0 = 24 ; (-24) + 0 = -24

E. EXISTENCIA DEL ELEMENTO INVERSO ADITIVO.

Si la suma de dos números enteros es el elemento neutro de la adición, decimos que

unos de ellos es inverso aditivo del otro.

En símbolos: V a Є Z , !З -a Є Z / a + -a = -a + a = 0

Ej: (+15) + (-15) = 0, el inverso aditivo de +15 es -15, ya que sumados nos da el

neutro aditivo

OPUESTO DE UN NUMERO ENTERO

Se le llama opuesto de un número entero a aquel que tiene el mismo valor absoluto pero

distinto signo.

Si nos fijamos en la posición que ocupa el +3 y el–3 en la

recta…..

Observamos que 3 y –3 se encuentran a la misma distancia de 0. Son simétricos respecto al 0.

Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo.

0p. (3) = 3 0p. (-3) = 3

Se llaman opuestos, por tanto:

SUSTRACCION DE NUMEROS ENTEROS.

La sustracción es también una operación (ley de composición interna) en Z, pues si se

toman dos números enteros, su diferencia también es un número entero

Ejemplo:

(+7) – ( +3) = ( +7 ) + ( -3) = +4

minuendo sustraendo -3 es el opuesto de+3

Se observa entonces, que de esta forma la resta de números enteros se transforma

en una suma:

( - 4 ) – ( + 5 ) = ( - 4 ) + ( - 5 ) = - 9

( + 3 ) – ( - 5 ) = ( + 3 ) + ( +5 ) = + 8

( - 2 ) – ( - 6 ) = ( - 2 ) + ( +6 ) = + 4

Pero, ¿qué ocurre cuando hay un paréntesis?

Se presenta por tanto la siguiente situación, el signo (-) tiene dos significados:

1.- Puede indicar que un número es negativo (signo de número).

Ejemplo: - 4.

2.- Puede indicar una resta (signo de operación).

Así, en 12 – ( - 5 )

El primer signo menos (– ), está antes del paréntesis, lo que significa que es de

operación (resta), y el segundo (-) , es de número.

Puede suceder, que en ocasiones existan otros tipos de expresiones como las siguientes:

8 + (4 –14)

Una expresión que se encuentra entre paréntesis se opera de la siguiente manera:

1. Haciendo las operaciones indicadas dentro del paréntesis.

2. Si delante del paréntesis tenemos un signo +, no cambiamos el signo del

resultado al efectuar las operaciones del paréntesis.

3. Pero si delante del paréntesis hay un signo - , cambiamos de signo el

resultado del paréntesis.

MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS.

La multiplicación es una ley de composición interna en Z .

Si A, B Є Z, entonces a · b Є Z

Reglas de multiplicación de números enteros:

a) el producto de dos números enteros de igual signo es un entero positivo, cuyo

valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

(+1) · (+1) = +1

(-1) · (-1) = +1

b) El producto de dos números enteros de distintos signo es un entero negativo

cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

(+1) · (-1) = -1

(-1) · (+1) = -1

La siguiente tabla es útil para recordar las reglas de la multiplicación de números

enteros:

LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION.

1. Clausura.

Si a, b Є Z, entonces a · b Є Z.

2. Conmutatividad:

Si a, b Є Z, entonces a · b = b · a

3. Asociatividad:

Si a ,b ,c Є Z, entonces ( a · b) · c = a · ( b · c )

4. Existencia del elemento neutro :

Si a, b , c , entonces a · 1 = 1 · a = a

5. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la adición en Z:

Si a ,b, c Є Z, entonces a · (b + c) = a · b + a · c

El conjunto de los números enteros, con las operaciones multiplicación y adición,

tiene estructura algebraica de anillo conmutativo con unidad, porque:

(Z,+) constituye grupo abeliano

· es una operación conmutativa

· es una operación asociativa

· tiene elemento neutro

· es distributiva respecto de +

Abreviadamente se escribe (Z,+, ·) es anillo conmutativo con unidad.

5. POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS.

Si x Є Z y n Є IN, definimos la potencia enésima de x, como

n

X = X · X · X………. “ n factores”

En que “ x” es la base de la potencia y “n” el exponente.

La quinta potencia de 2 es:

5

2 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 y se lee “2 elevado a 5”

La tercera potencia de -2 es:

(-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = -8

Además:

( 2)³ = 2 · 2 · 2 = 8

(-2)² = (-2) · (-2) = +4

Observaras siempre que:

- Si la base “x” es un entero positivo, sus potencias son siempre un entero positivo,

cuales

quiera sea el exponente “n” natural.

-Si la base “x “es un entero negativo, su potencia enésima es:

a) un entero positivo, si su exponente “n” es un natural par.

b) Un entero negativo, si su exponente “n” es un natural impar.

DIVISION DE NUMEROS ENTEROS.

Si a y b son números enteros no siempre existe un entero x de modo que ax = b .

Para encontrar dicho entero (cuando existe) escribimos x = b: a y decimos “x es el

cuociente entre b y a”.

La regla de los signos para la división de números enteros es análoga a la de la

multiplicación de enteros:

a) El cuociente de dos enteros de igual signo es un número positivo .cuyo valor

absoluto es el cuociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor,

con dividendo múltiplo del divisor.

+ : + = +

- : - = +

EJ: (+14) : (+2) = + ( 14 : 2 ) = +7

(-14) : (-2) = + (14 : 2) = +7

b) El cuociente de dos enteros de distinto signo es un número negativo. cuyo valor

absoluto es el cuociente de los valores absolutos del dividendo y divisor, siendo

el dividendo múltiplo del divisor.

+ : - = -

- : + = -

Ej: (+18) : (-2) = - ( 18 : 2) = -9

(-18) : (+2) = - (18 : 2 ) = -9

Recordar además, que la división por cero no esta definida.

En general:

(+a) : (+b) = + (a : b)

(+a) : (-b) = - (a : b)

(-a) : (+b) = - (a : b)

( -a) : (-b) = + (a : b)

Para calcular el cociente de dos números enteros:

1.- Se halla el cociente de sus valores absolutos.

2.- Al resultado obtenido se añade el signo más (+), si ambos tienen el mismo signo, y

el signo menos (-), si tienen distinto signo.

ECUACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Definición de Ecuación: es una igualdad condicional en la que intervienen cantidades

conocidas y desconocidas (incognitas) y que se convierte en identidad cuando las

incognitas sustituidas por determinados valores.

Para resolver ecuaciones en Z se aplican las propiedades de los enteros.

Propiedad de regularidad para la adición:

Si a dos números enteros se les suman números enteros iguales, las sumas son iguales.

Propiedad de regularidad para la multiplicación:

Si un número entero a y un número entero b se multiplican por un mismo entero c y los

productos resultan iguales, los números a y b deben ser iguales.

Resolución de una ecuación en Z:

+2x + -4 = -12

Se aplica la propiedad de regularidad para la adición

+2x + -4= -4 + -8

en el segundo termino se descompuso -12 en: -4 + -8, de tal forma que el entero -4 sume

ambos términos.

Luego:

+2x = -8

Se aplica la propiedad de regularidad para la multiplicación

+2 * x = -4 * +2

Se descompuso el -8 en -4 *+2, de tal forma que el entero +2 multiplique ambos

términos.

Luego:

X = -4

Para comprobar la ecuación se reemplaza la incógnita por el valor calculado.

(+2x) + (-4) = -12

(+2) * (-4) + (-4) = -12

(-8) + (-4) = 12

-12 = -12

APLICACIONES DE NUMEROS ENTEROS EN LA VIDA COTIDIANA

Los numeros negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria.

Para señalar el numero de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos los

números negativos para decir, sótanos o plantas subterráneas.

Para medir altitudes. Se considera o el nivel del mar, los niveles por encima del mar

se pueden expresar por números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel

del mar, con números enteros negativos

Para medir temperaturas, en el termómetro por ejemplo, las temperaturas se miden

en grados. Cuando el termómetro mide 0 grados, el agua se congela

Este termómetro marca 4|° C

Las temperaturas por encima de 0 grados se indican con números enteros positivos.

Las temperaturas por debajo de 0 grados con números enteros negativos.

RESEÑA HISTORICA

Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de

madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una

manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y

disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos

bastoncillos eran negros y rojos según que representarán cantidades negativas o

positivas, de acuerdo con una distribución del color que es justamente la opuesta a la

empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos Hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números

negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos Griegos, por el contrario,

rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa Medieval, los Árabes dieron a conocer los números negativos de los

Hindúes, que en le siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las perdidas

en el análisis de cuestiones financieras, Durante el Renacimiento el manejo práctico de

esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción de las

matemáticas.

El Alemán Michael Stifel ( 1487 – 1567), monje agustino convertido al

protestantismo

y amigo personal de Lutero, fue unos de los primeros en admitir el uso de coeficientes

negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgo el uso del signo menos

“ _” para designar la resta ; de hecho los signos + y - estaban ya en uso entre los

comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías

en los almacenes. La consideración de las cantidades negativas como correspondiente a

números matemáticamente legítimos alcanzo aceptación general hacia el siglo XVIII,

cuando los números negativos empezaron hacer entendidos como opuestos de los

números positivos.

LUDICIDAD EN Z

MEMORY DE OPUESTOS

Se forman grupos de 4 alumnos, a cada grupo se reparte un set de 5 pares con números

opuestos, se revuelven y se colocan por el reverso.

Se tira un dado y el que tenga el numero mayor comienza.

El juego consiste en :

Ir descubriendo de a dos cartas los números opuestos, una vez aparecidos, se retira el par,

teniendo el derecho de seguir descubriendo mas pares hasta errar.

El ganador es aquel que junta mas pares.

DOMINO DE LA MULTIPLICACION

El domino consta de 24 piezas las que tienen el un extremo operaciones de multiplicación

y en el otro extremo resultados de otras operaciones, con su respectivo signo. Todas las

fichas deben revolverse las que deben estar por su reverso.

El juego consiste en :

Una vez revueltas se sacan 7 fichas y se comienza a jugar, La idea es que se logren juntar

las operaciones con su respectivo resultado. Gana el jugador que quede sin fichas.

LAS CARTAS DE LA SUSTRACCION

El juego consta de cartas de colores azules y rojas, las cuales contienen en su interior

números del 0 al 9. Para comenzar el juego de tres o cuatro personas, el mazo debe colocarse en

el centro de la meza, para que cada jugador saque dos cartas, las coloque a ambos lados del

mazo y realice la sustracción según los números obtenidos.

La idea es que antes de comenzar a jugar entre los participantes otorguen a cada color

un respectivo signo. Ejemplo: las cartas rojas representarán números positivos y las cartas

azules números negativos. Los participantes a medida que jueguen deberán escribir sus

resultados en una tarjeta que será entregada por grupo, en donde se especificará el numero de

juego, el nombre de cada participante y en la cual deben anotar su puntaje, el que se lo dará el

resultado de su sustracción.

Una vez que todos han alcanzado el máximo de juegos (5), uno de ellos deberá tomar

una tarjeta que especificará quien es el jugador ganador, mediante una condición que deberá

cumplir cualquiera de los jugadores. Ejemplo:

NUMERO DE JUEGOS

JUGADORES 1 2 3 4 5 TOTAL

Pedro -11 5 12 -6 -9 -9

Ana 12 4 -4 -7 -1 4

Miguel 3 11 5 -2 -9 8

Claudia -12 -4 -18 4 7 -23

Fernanda -1 -4 7 4 -4 2

Si la tarjeta dice : “Gana cuyo numero sea el negativo mas cercano a 0.” Entonces el ganador es

Pedro.