Conjuntos
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Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas
2.1. Conjuntos - concepto
A la agrupación de objetos formando un todo con un fin u objetivo se denomina conjunto Ej: Conjunto de las vocales (a, e, i, o, u); el conjunto de los estudiantes de la clase de Algebra; el conjunto de las letras del abecedario, etc.
2.2. Conceptos Básicos de Conjuntos
2.2.1. Notación Los conjuntos por lo general se denotan mediante letras mayúsculas y los elementos del conjunto, mediante letras minúsculas encerrados entre llaves.
Ejemplos:
El conjunto V de las vocales: V = {a, e, i, o, u}El conjunto A de las letras del abecedario: A = {a, b, c, d, e, f, g,……x, y, z}
2.2.2. Formas de definir o determinar un Conjunto Un conjunto puede ser determinado de dos maneras o formas:
a).- Por extensiónb).- Por comprensión
Un conjunto se define por extensión cuando se enumeran o se nombran uno a uno a todos los elementos del conjunto separados por comas y encerrados entre llaves.
Ejemplos:
El conjunto V de las vocales: V = {a, e, i, o, u} El conjunto de los planetas de nuestro sistema solar: S = {Marte, Venus, Tierra,… etc.} El conjunto R de las soluciones de la ecuación x 2 + 2x – 3 = 0 R = {-3, 1}
Un conjunto se define por comprensión si y solo si se escribe la propiedad o propiedades características de los elementos del conjunto encerrados entre llaves.
Es importante hacer notar la existencia del símbolo “ / “ que significa “ tal que “
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CONJUNTOS
Ejemplos:
El conjunto V de las vocales: V = {x/ x es una vocal}; Que se puede leer: el conjunto V esta formado por elementos x tal que x es una Vocal.
El conjunto de los planetas de nuestro sistema solar: S = {x/ x es un planeta de nuestro sistema solar} Que se puede leer: el conjunto S esta formado por x elementos tal que x es un planeta de nuestro sistema solar.
El conjunto R de soluciones x = -3 y x = 1: R = {x/ x 2 + 2x – 3 = 0} Que se puede leer como: R es un conjunto con x elementos tal que x es una solución de la ecuación x 2 + 2x – 3 = 0
2.2.3. Relación de Pertenencia
Simbolizado por la letra є, permite mostrar la existencia de una relación de un elemento a su conjunto
Ejemplo: Para el conjunto V = {x/ x es una vocal};
a є V; que se lee “ a es un elemento del conjunto V”
i є V; que se lee “ i es un elemento del conjunto V”
u є V; que se lee “ u es un elemento del conjunto V”
2.2.3. Relación de Inclusión
Definida por una “C” alargada ; permite mostrar una relación de un conjunto a otro conjunto y significa, “esta dentro de “; “esta incluido en” ; “es subconjunto de”
Ejemplos: Sean A y B, dos conjuntos
La relación A B se lee: A esta dentro de B o también A esta incluido en B o también A es subconjunto de B
En símbolos: A B ↔ V x: x є A → x є B
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2.2.4. Diagramas de Venn Los diagramas de Venn son representaciones graficas de los conjuntos, generalmente círculos de forma ovalada. Ejemplo: El conjunto V = {x / x es una vocal}
Su diagrama de Venn correspondiente es:
V a e i
o
u
2.2.5. Igualdad de Conjuntos Sean A y B, dos conjuntos, se dice que ambos conjuntos son iguales si y solo si están formados por los mismos elementos.
En símbolos:
A = B ↔ A B ^ B A
2.3. Conjuntos Especiales
Llamaremos conjuntos especiales a aquellos conjuntos que se caracterizan por el número de elementos:
CONJUNTO VACIO Es aquel conjunto que carece de elementos y se simboliza por Ø y se define
Por comprensión: Ø = { x / x ≠ x } Por extensión: Ø = { } Ejemplos de conjuntos vacíos:
W = { x є N / x < 0 }
A = {x є Z / x 2 = -1}
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CONJUNTO UNITARIO
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento
Ejemplos: W = { x / x = 5}
A = { x є N / x 2 = 4 }
CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto universal, llamado también universo o referencial, es un conjunto que engloba a todos los conjuntos de un determinado ámbito o tema; asimismo es un conjunto de cuyos elementos se escogen algunos de ellos para formar otros conjuntos. Es simbolizado por U.
2.4. Conjunto de Partes Sean A un conjunto, se entiende por conjunto potencia o conjunto de partes de A, al conjunto cuyos elementos son a su vez otros conjuntos que llegan a ser todos los subconjuntos de A; este conjunto potencia de A es simbolizado por P (A) o P (A)
Se define por comprensión: P(A) = { X / X A } o también X є P (A) ↔ X A
2.5. Operaciones con Conjuntos
2.5.1. Unión – Propiedades Sean A y B dos conjuntos, la unión de ambos conjuntos, simbolizada por A U B es otro conjunto formado por todos los elementos de A o de B, definiendo en notación conjuntista:
A U B = {x / x є A v x є B}
O también: x є (A U B) ↔ x є A v x є B
En diagramas de Venn:
VER DIBUJO EN LA PIZARRA
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2.5.2. Intersección – Propiedades
Sean A y B dos conjuntos, la Intersección de ambos conjuntos, simbolizada por A ∩ B es otro conjunto formado por los elementos que son comunes a los dos conjuntos dados, definiendo en notación conjuntista:
A ∩ B = {x / x є A ۸ x є B}
O también: x є (A ∩ B) ↔ x є A ۸ x є B
En diagramas de Venn:
VER DIBUJO EN LA PIZARRA
2.5.3. Complemento de un Conjunto Sean A un conjunto definido en un universo U, el complemento de A, simbolizado
por Ac, es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.
En símbolos: Ac = { x є U / x є A}
O también: x є Ac ↔ x є A
En diagramas de Venn:
VER DIBUJO EN LA PIZARRA
2.5.4. Diferencia de Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos, la Diferencia de ambos conjuntos, simbolizada por A - B es otro conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B, definiendo en notación conjuntista:
A - B = {x / x є A ۸ x є B}
O también: x є (A - B) ↔ x є A ۸ x є B
En diagramas de Venn:
VER DIBUJO EN LA PIZARRA
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2.5.6. Diferencia Simétrica
Sean A y B dos conjuntos, la Diferencia simétrica entre estos conjuntos, simbolizada por A ∆ B, es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B, pero no a ambos. También se puede definir como la unión de los conjuntos A – B y B – A. A ∆ B = (A – B) U (B - A)
En diagramas de Venn:
VER DIBUJO EN LA PIZARRA
2.6. Leyes de Operaciones con Conjuntos
1) Leyes de idempotencia A U A = A; A ∩ A = A
2) Leyes conmutativas A U B = B U A; A ∩ B = B ∩ A
3) Leyes asociativas A U ( B U C) = (A U B) U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
4) Leyes distribuitivas A U ( B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
5) Leyes de absorción A U ( A ∩ C) = A A ∩ (A U C) = A A U U = U A ∩ Ø = Ø
6) Leyes de De Morgan (A U B)C = AC ∩ BC
(A ∩ B)C = AC U BC
7) Leyes de complemento
A U AC = U; ( AC)C = A; UC = Ø A ∩ AC = Ø; A ∩ BC = A – B; ØC = U
8) Leyes de identidad
A U Ø = A; A ∩ U = A
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2.7. Cardinal de un conjunto
Sea A un conjunto finito definido en un conjunto universal U. Se llama “cardinal de A”, al numero de elementos de A y se denota por n(A)
2.8. Propiedades
Sea A, B y C, tres conjuntos dados, entonces:
1) n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
2) n(A ∆ B) = n(A U B) – n(A ∩ B)
3) n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
4) n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) – n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Agosto del 2014
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