Conjuntos numéticos

8/11/2019 Conjuntos numticos

1/42

TEMA N 1Conjuntos numricos


2/42

1. Nmeros Naturales1.1Consecutividad numrica

1.2Paridad e imparidad

1.3Nmeros primos

1.4Mltiplos y divisores

1.5Mnimo Comn Mltiplo y Mximo Comn Divisor

1.6Operatoria en los naturales

Conjuntos Numricos

2. Nmeros Enteros2.1Operatoria en los enteros

2.2Propiedades

2.3Prioridad de las operaciones


3/42

3.Nmeros racionales (Q)

3.1Propiedades de los racionales

3.2Operatoria en los racionales

3.3Transformaciones de nmeros racionales

3.4Comparacin de fracciones

4. Nmeros irracionales (Q*)

5. Nmeros reales ( IR )

3.5Secuencia numrica


4/42

1. Nmeros Naturales (N)

1.1 Consecutividad numrica

Conjunto de la forma:

N= {1, 2, 3, 4, 5, }, conjunto infinito.

Todo nmero natural tiene un sucesor, y se obtiene

sumando 1 al nmero, es decir:

Sucesor

Sin pertenece a IN, su sucesor ser n + 1.


5/42

n - 1 n + 1n

Naturales Consecutivos

Antecesor:

Todo nmero natural (exceptuando el 1), tiene unantecesor, y se obtiene al restar 1 al nmero, esdecir: Sinpertenece a IN, su antecesorser n - 1

antecesor sucesor


6/42

1.2 Paridad e imparidad

Nmeros Pares {2, 4, 6, 8, 10, 2n}

Son de la forma 2n, con nen los naturales.

Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al nmero.Si el nmero es 2n, entonces su

sucesor es 2n+2.

Antecesor par: Se obtiene restando 2 al nmero.Si el nmero es 2n, entonces suantecesor es2n-2.

2n - 2 2n + 22n

Antecesor par Sucesor par


7/42

Se obtiene sumando 2 al nmero.Si el nmero es 2n-1, entoncessu sucesor es 2n+1.

Nmeros Impares {1, 3, 5, 7, 9 ,2n-1}

Son de la forma 2n-1, con nen los naturales.

Sucesor impar:

Antecesor impar:

2n - 3 2n + 12n -1

Antecesor impar Sucesor impar

Se obtiene restando 2 alnmero. Si el nmero es

2n-1, entonces su antecesor es2n-3.


8/42

1.3 Nmeros Primos

Son aquellos nmeros que son slodivisiblespor 1 y por s mismos:

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

Nota: El 1 no es primo.

1.4 Mltiplos y Divisores

Mltiplos

Se llama mltiplo de un nmero, aquel que se obtiene

al multiplicar dicho nmero por otro cualquiera.

Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son mltiplos de 5.


9/42

Divisores

Se llama divisor de un nmero, aquel valor quelo divide exactamente.

(Est contenido en l, una cantidad exacta deveces)

Por ejemplo:Los divisores de 24 son los nmeros que lo dividenexactamente:

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}

Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir24 por 5 resulta 4,8.


10/42

Mnimo Comn Mltiplo

El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos o msnmeros, corresponde al menor de los mltiplosque tienen en comn.

Ejemplo:

-Algunos mltiplos de 3 son:{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,, 60}

-Algunos mltiplos de 6 son:

{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 60}

-Algunos mltiplos de 15 son:

{15, 30, 45, 60, 75,}


11/42

m.c.m.= 3 2 5 =30

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.

(Dentro de los mltiplos que tienen en comn, 30 esel menor).

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a travsdel siguiente mtodo:

3 6 15 3

1 2 5 2

1 5 5

1

Se divide por nmeros primos hasta que en cadacolumna quede 1, y el producto de elloscorresponde al m.c.m.


12/42

Mximo Comn Divisor

El mximo comn divisor (M.C.D.) de dos o msnmeros, corresponde al mayor nmero que losdivide simultneamente.

Ejemplo:

-Los divisores de 36 son:

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}


{1, 2, 3, 6, 9, 18}


{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}


13/42

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6.

(Dentro de los divisores que tienen en comn, 6 es elmayor).

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener atravs del siguiente mtodo:

36 18 24 2

18 9 12 36 3 4

Se divide por nmeros primos que sean divisoresde cada nmero, hasta que ya no se pueda dividira todos en forma simultnea.

M.C.D.= 2 3 = 6


14/42

1.6 Operaciones en N

Adicin, sustraccin, multiplicacin ydivisin

Propiedades de la Adicin:

a) Clausura:

b)Conmutativa: Siaybson nmeros naturales,entonces se cumple que:

La suma de dos nmeros naturaleses siempre un natural.

Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12

a + b = b + a


15/42

c) Asociativa:Sia, by cson nmeros naturales,entonces se cumple que:

a + (b+c) = (a+b) + c

Ejemplo:13 + (5+9) = (13+5) + 9

13 + (14) =(18) + 9

27 = 27

Nota: En los naturales no existe neutro aditivo.

Propiedades de la Multiplicacin:a)Clausura: El producto de dos nmeros naturales

es siempre un natural.


16/42

4 (15) = (20) 3

Si ay bson nmeros naturales,

entonces se cumple que:

Por ejemplo: 4 (53) = (45) 3

Por ejemplo: 345 = 534

a (bc) = (ab) c

b)Conmutativa:

c) Asociativa: Sia, by cson nmeros naturales,entonces se cumple que:

Nota: El elemento neutro de la multiplicacin es el 1.

ab = ba

170 = 170

60 = 60


17/42

2. Nmeros Enteros (Z)

Conjunto de la forma:Z= {, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }, infinito.

Se puede representar como: Z = Z-U IN0

Z = Z-U {0}U Z+

Recta numrica:

Z- Z+

0-3 -2 -1 1 2 3


18/42

Valor absoluto:

El valor absoluto de un nmero representa la distanciadel punto al origen (cero de la recta numrica).

Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cincounidades, igual que la distancia del -5 al origen.

La notacin es: |5| = 5 y |-5| = 5

-5 505 unidades 5 unidades

Luego,|-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12


19/42

2.1 Operaciones en Z

Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones

en los enteros, debemos considerar algunas reglascon respecto a los signos:

Si ay bson nmeros enteros entonces, se cumple que:

a) a + -b = a b Ejemplo:

5 + - 9 = 5 9 = -4

Ejemplo:b) a (-b) = a + b

12 (-8) = 12 + 8 = 20


20/42

c) Al sumar enteros de igual signo, ste se mantiene.

Ejemplo:

25 + 8 = +33

d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula ladiferencia entre sus valores absolutos, conservandoel signo del mayor.

Ejemplo:

-10 + 7 = -3

75 + -9 = +66

-5 + - 9 = -14


21/42

-42 -8 = + 336

e) Si ay bson dos nmeros enteros de igual

signo (positivos o negativos), entonces:

- El producto y el cuociente entre ellos es positivo.

f) Si ay bson dos nmeros enteros de distinto signo,

entonces:

- El producto y el cuociente entre ellos es negativo.

Ejemplo:

Ejemplo:

28 : 7 = + 4

125 : -5 = -25

37 -5 = -185


22/42

2.2 Propiedades

La suma de nmeros enteros cumple con la propiedadConmutativa y Asociativa.

Ejemplo:

(-3) + 2 = 2 + (-3)

-1 = -1

La suma en los nmeros enteros tiene elemento

neutro: el cero.

Ejemplo: (-8)+ 0 = -8


23/42

2.3 Prioridad en las operaciones

Tanto en los nmeros naturales como en los enteros,hay operaciones que tienen prioridad sobre otras.

Existe un orden para resolver ejercicios como:

-5 + 15 : 3 - 3 = ?

Qu se resuelve primero?

El orden para ejecutar las operaciones que involucran

parntesis y operaciones combinadas es:

1 Parntesis2 Potencias

4 Adiciones y sustracciones

3 Multiplicacin y/o divisin (de izquierda a derecha)


24/42

Resolver: -5 + 15 : 3 - 3 = -5 + 53= 03

=3


25/42

3.Nmeros Racionales (Q)

Es el conjunto de todos aquellos nmeros quese pueden escribir como fraccin, es decir:

a

b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ=

Ejemplos:

2; 17; 0; -6; -45; -2;

7

0,489; 2,18; -0,647-1;

8

14;

3

15,0

NOes racional

a: numerador y b: denominador


26/42

Por ejemplo:

3 es Natural (3 IN),

3 es Cardinal (3 IN0), y como

3 = , 3 es racional (3 Q).3

1

IN IN0 Z Q

Todo nmero entero es racional.


27/42

Diagrama representativo:


28/42

3.1 Propiedades de los racionales

Amplificar y simplificar fracciones

Ejemplo:

2

3

Amplificar una fraccin, significa multiplicar, tanto elnumerador como denominador por un mismonmero.

6

6

Al amplificar la fraccin por 6 resulta:2

3

=12

18


29/42

Ejemplo:

Simplificar una fraccin, significa dividir, tanto elnumerador como denominador por un mismonmero.

33

= 915

Al simplificar la fraccin por 3 resulta:27

45

27 :45 :

Inverso multiplicativo o recprocode una fraccin

El inverso multiplicativo, o recproco de 2

9es: 9

2

Ejemplo:


30/42

3.2 Operaciones en los racionales

Suma y resta

Ejemplos:

1.Si los denominadores son iguales:

4

15

+7

15

=11

15

2.Si uno de los denominadores es mltiplo del otro:

2

15 +7

45 =23 + 71

45 =6 + 7

45 =13

45

4

15

-7

15

=-3

15

y


31/42

3.Si los denominadores son primos entre s:

5

12+

7

18=

53 + 72

36

15 + 14

36= =

29

36

4.Aplicando mnimo comn mltiplo (m.c.m.):

4

5+

7

8=

48 + 57

40

32 + 35

40= =

67

40


32/42

-4

5

8

7=

-32

35=

Multiplicacin:

Ejemplo: -4

5

7

8=

-28

40=

28

40-

Divisin:

Ejemplo: -4

5:

7

8=

32

35-

Nmero Mixto:

Ejemplo:

835 =

85+ 3

5=

43

5


33/42

3.3 Transformacin de nmeros racionales

De fraccin a decimal:

Ejemplo:

Se divide numerador por denominador.

74

= 1,75

De decimal finito a fraccin:

Ejemplo:

El numerador corresponde al nmero sin coma, y eldenominador es una potencia de 10 que depende delnmero de decimales que tenga el nmero.

100175 =1,75 = 7

4257254

=


34/42

De un nmero decimal peridico a fraccin:

1. El numerador de la fraccin es la diferencia entre elnmero decimal completo, sin la coma, y la parte

entera.

2. El denominador est formado por tantos nueves (9),como cifras tenga el perodo.

Ejemplo 1: 2,35 = 235 2 = 23399 99

Ejemplo 2: 0,376 = 376 0 = 376999 999


35/42

3,21 = 321-32 = 2899090

De un nmero decimal semi peridico a fraccin:

1. El numerador de la fraccin corresponde a la diferencia

entre el nmero decimal completo, sin la coma; y laparte entera incluyendo las cifras del ante perodo.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9),como cifras tenga el perodo, y seguido de tantos ceros(0), como cifras tenga el ante perodo.

Nota:Se llama ante perodo a los nmeros que hay

entre la coma, y el perodo.

Ejemplo:


36/42

3.4 Comparacin de fracciones

Multiplicacin cruzada:

Ejemplo:

Al comparar (Multiplicando cruzado)13

15

9

10y

13 10 y 15 9130 y 135

Como 130 < 135, entonces: 13

15

9

10

35, entonces 13

15

7

12>


38/42

Transformar a decimal:

Ejemplo:

1315

712

Al comparar (Transformando a decimal)y

13

15= 0,86666666

712

= 0,58333333

13

15

7

12>Como 0,86 > 0,583 , entonces


39/42

Ejemplo:En la secuencia: 6 ,

516 ,

5

26 ,

5

36 , ...

5

Qu nmero tendramos que sumar apara obtener el 7 trmino ?

1 ,

5

De acuerdo a las caractersticas de la secuencia,el 7 trmino es 66 .

5

Tendramos que sumar a paraobtener el 7 trmino.

655

1 ,5

65 = 13

5

Es decir:

Respuesta:

3.5 Secuencia Numrica


40/42

Observacin:

La secuencia anterior tambin se puede analizarde la siguiente manera:

1 + 1 ,

5

1 + 3 ,

5

1 + 5 ,

5

1 + 7 ,

5

1 + 13

5

...,

1 2 3 4 ... , 7

Lo que nos permitira saber, por ejemplo,cul es el valor del n-simo trmino de la secuencia?

Respuesta:

Es , ms un nmero impar, lo que se expresa como:1

51 + (2n - 1)

5

(Con n = posicin del trmino)


41/42

Son aquellos que NOse pueden escribir comouna fraccin (decimales infinitos NOperidicos).

4. Nmeros Irracionales (Q*)

,....,,2,3..... Q* =

QU

Q*=


42/42

5. Nmeros Reales (IR)Es el conjunto formado por la unin entre los nmerosracionales y los nmeros irracionales.

IR = Q U Q*

Ejemplos:

Diagrama representativo:

3, -89, -2;7

2,18; ;2 23,491002

Conjuntos numéticos

Documents

Transcript of Conjuntos numéticos