ConjuntosConjuntos

Lic. ENRIQUE CRUZ MITA

Necesidad de :

CLASIFICAR

ORGANIZAR

PRESENTAR

ANALIZAR . . .

ConjuntoConjunto Identificamos a un conjunto como una agrupación o colección bien Identificamos a un conjunto como una agrupación o colección bien definidadefinida de cualquier tipo de de cualquier tipo de

entidades u objetos.entidades u objetos.

Estos objetos se llaman Estos objetos se llaman elementoselementos o miembros del conjunto. o miembros del conjunto.

EJEMPLOS DE CONJUNTOS :

• Los días de la semana forman un conjunto de siete días.

• Los números 2 , 3 , 4 , 5 forman un conjunto de cuatro elementos.

• Las partes del automóvil forman un conjunto llamado Toyota 2008.

Clasificación de los conjuntosClasificación de los conjuntos

Número de elementosNúmero de elementos

InfinitosInfinitos 1, 2, 3, 4, . . . 1, 2, 3, 4, . . . FinitosFinitos a, e, i, o , u a, e, i, o , u

Tipo de elementosTipo de elementos

Físicos Libro, cuaderno, lapicero.Físicos Libro, cuaderno, lapicero. Abstractos 1. ResponsabilidadAbstractos 1. Responsabilidad

2. Puntualidad2. Puntualidad 3. Respeto3. Respeto . . .. . .

Notación de conjuntosNotación de conjuntos

Usualmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas Usualmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas igualadas a unas llaves dentro de las cuales van los igualadas a unas llaves dentro de las cuales van los elementos o las características que deben tener.elementos o las características que deben tener.

A = { 2, 4, 6, 8 }A = { 2, 4, 6, 8 }

M = { do, re, mi, fa, sol, la, si }M = { do, re, mi, fa, sol, la, si }

ExtensiónExtensión A = {1, 3, 5, 7, 9}A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {1, 2, 3, 5}B = {1, 2, 3, 5}

ComprensiónComprensión A = { x/x es un dígito impar }A = { x/x es un dígito impar } B = { x/x es un número primo B = { x/x es un número primo ≤5 }≤5 }

Determinación de conjuntosDeterminación de conjuntos

Algunos de los símbolos Algunos de los símbolos usados para denotar un usados para denotar un conjunto por comprensión son:conjunto por comprensión son:

/ / tal quetal que

= = igual aigual a

<< menor quemenor que

>> mayor quemayor que

≤≤ menor o igual quemenor o igual que

≥≥ mayor o igual quemayor o igual que

Para indicar si un elemento pertenece o no a Para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza el símbolo de un conjunto se utiliza el símbolo de pertenenciapertenencia ( ). ( ).

-5 Z ( se lee: -5 pertenece a Z ) -5 Z ( se lee: -5 pertenece a Z )

su negación essu negación es

5/2 Z ( se lee: 5/2 no 5/2 Z ( se lee: 5/2 no

pertenece a Z )pertenece a Z )

Relación de pertenenciaRelación de pertenencia

Conjuntos NuméricosConjuntos Numéricos Naturales :Naturales : N = N = {1, 2, 3, 4, 5, … }{1, 2, 3, 4, 5, … }

Enteros:Enteros: Z =Z ={..., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3,…}{..., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3,…}

Racionales:Racionales: Q =Q ={p/q , p y q enteros y q {p/q , p y q enteros y q 0} 0}

Irracionales:Irracionales: I = Q I = Q ’’

Q

Z

N

I

RC

SubconjuntoSubconjunto

Un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A, si Un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen a A.todos los elementos de B pertenecen a A.

B A B A (se lee: B es subconjunto de A, (se lee: B es subconjunto de A,

o B está contenido en A)o B está contenido en A)

Ejemplos:• C = {3, 7, 9} D = {1, 3, 5, 7, 9} entonces C D

D C• E = {x/x es un ave} F = {x/x es un pájaro} entonces F E

NotaNota::

Cabe aclarar que la relación Cabe aclarar que la relación entre elementos y conjuntos es entre elementos y conjuntos es de de pertenenciapertenencia,, y la relación que y la relación que se puede dar entre conjuntos es se puede dar entre conjuntos es de de inclusióninclusión..

Conjuntos igualesConjuntos iguales

El conjunto A es igual al conjunto B, El conjunto A es igual al conjunto B,

si y sólo si, cada elemento de Asi y sólo si, cada elemento de A

pertenece a B y viceversa.pertenece a B y viceversa.

A = B A = B ↔ A B y B A↔ A B y B A

Ejemplo:

• G = {x N / 3 < x < 10} = {4, 5, 6, 7, 8, 9} H = {x Z / 4 ≤ x ≤ 9} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

entonces G = H

Conjunto universoConjunto universo Conjunto fijo del cual se toman otros conjuntos. UConjunto fijo del cual se toman otros conjuntos. U

Formado por un solo elemento.

Ejemplo:• S = {x/x es un satélite natural de la Tierra}

S = {Luna}

Conjunto unitarioConjunto unitario

El que carece de elementos. Ø Ejemplo:

• M = {x/x es un mes del año con menos de 28 días} M = Ø M = { }

Ejemplo : U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Conjunto vacíoConjunto vacío

Conjunto potenciaConjunto potencia

Es la familia de subconjuntos de un Es la familia de subconjuntos de un conjunto A. P(A)conjunto A. P(A)

Ejemplo:Ejemplo:

A = {a, b, c}A = {a, b, c}

entonces A tiene 2entonces A tiene 233 = 8 subconjuntos = 8 subconjuntos

P(A) = { P(A) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Operaciones con conjuntosOperaciones con conjuntos

Las operaciones entre conjuntos producen Las operaciones entre conjuntos producen como resultado nuevos conjuntos.como resultado nuevos conjuntos.

Las principales operaciones son :Las principales operaciones son :

- Unión- Unión

- Intersección- Intersección

- Diferencia- Diferencia

- Complemento- Complemento

1. Unión1. UniónLa unión de los conjuntos A y B, es el La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que conjunto formado por los elementos que pertenecen a A ó a B.pertenecen a A ó a B.

A A U B = { x/x A ó x B }U B = { x/x A ó x B }

A U B sombreado

U U UUA AA

A

BB

B

B

A B B A

2. Intersección2. IntersecciónLa intersección de los conjuntos A y La intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.elementos que pertenecen a A y a B.

A A ∩∩ B = { x/x A B = { x/x A yy x B } x B }

A ∩ B sombreado

U U UUA AA

A

BB

B

B

A B B A

Nota:Nota:

Los conjuntos que no tienen elementos Los conjuntos que no tienen elementos en común ( A en común ( A ∩ B = ∩ B = Ø ) se llaman Ø ) se llaman conjuntos ajenos o disjuntos.conjuntos ajenos o disjuntos.

UA B

3. Diferencia3. Diferencia

La diferencia de los conjuntos A La diferencia de los conjuntos A y B, es el conjunto formado por y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los elementos que pertenecen a A, pero no a B.A, pero no a B.

A -A - B = { x/x A, x B } B = { x/x A, x B }A - B sombreado

U U UUA AA

A

BB

B

B

A B B A

4. Complemento4. Complemento

El complemento del conjunto A, es el El complemento del conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A.no pertenecen a A.

AAcc = { x/x U, x A } = { x/x U, x A }

Ac sombreado

U A

PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 PROBLEMA 4

Dados los conjuntos:

A = { 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 15 }

B = { 2 , 4 , 6 , ... , 14 }

C = { -3 , -2 , -1 , 0 , ... , 12 }

a) Expresar B y C por comprensión

b) Calcular: n(B) + n(A)

c) Hallar: A U B , C – A

a) Expresamos B y C por comprensión

A = {x/x N, x es impar, x<16 }

B = {x/x N, x es par y x <15 }

Solución

b) Hallamos : n (A) = 8 n (B) = 7

Por lo tanto : n (A) + n (B) = 15

c) Hallamos la unión de A y B

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

C – A = { - 3, - 2, - 1, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 }

Determinar si es verdadero o falso:

a) Φ Gb) {3} Gc) {{7};10} Gd) {{3};1} Ge) {1;5;11} G

Observa que los elementos de A son:

1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11

Entonces:

FALSO

FALSO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C.

A B

C

A B

C

A B

CA

B

C

AB

C

[(A B) – C]

[(B C)–A]

[(A C) – B]

Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A,B o C se observa que 180 ven el canal A ,240 ven el canal B y 150 no ven el canal C, los que ven por lo menos 2 canales son 230 ¿cuántos ven los tres canales?

El universo es: 420

Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240No ven el canal C: 150Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270

A B

C

a

d

(I) a + e + d + x =180

be

xf

(II) b + e + f + x = 240

c

(III) d + c + f + x = 270

Dato: Ven por lo menos dos canales 230 ,entonces:

(IV) d + e + f + x = 230

(I) a + e + d + x =180(II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270

Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III)

Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420230

entonces : a+b+c =190

a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690 190 230

190 + 460 + x = 690 x = 40

Esto significa que 40 personas ven los tres canales

Axiomas del álgebra de Axiomas del álgebra de conjuntosconjuntos Axioma de idempotenciaAxioma de idempotencia Axioma de asociatividadAxioma de asociatividad Axioma de conmutatividadAxioma de conmutatividad Axioma de distributividadAxioma de distributividad Axioma de identidadAxioma de identidad Axioma del complementoAxioma del complemento Leyes de MorganLeyes de Morgan

Axioma de idempotenciaAxioma de idempotencia

En la uniónEn la unión

A U A = AA U A = A

En la intersecciónEn la intersección

A A ∩ A = A∩ A = A

Axioma de asociatividadAxioma de asociatividad

En la uniónEn la unión

(A U B) U C = A U (B U C)(A U B) U C = A U (B U C)

En la intersecciónEn la intersección

(A (A ∩∩ B) B) ∩∩ C = A C = A ∩∩ (B (B ∩∩ C) C)

Axioma de Axioma de conmutatividadconmutatividad

En la uniónEn la unión

A U B = B U AA U B = B U A

En la intersecciónEn la intersección

A A ∩∩ B = B B = B ∩∩ A A

Axioma de distributividadAxioma de distributividad

A U (B A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Axioma de identidadAxioma de identidad

En la uniónEn la unión

A U A U Ø = AØ = A

A U A U UU = = UU

En la intersecciónEn la intersección

A A ∩∩ Ø = ØØ = Ø

A A ∩∩ UU = A = A

Axioma del complementoAxioma del complemento

A U AA U Acc = = UU

A A ∩ ∩ AAcc = = ØØ

((AAcc))c c = A= A

UUc c = = ØØ

ØØc c = = UU

Leyes de MorganLeyes de Morgan

(A U B)(A U B)cc = A = Acc ∩ B∩ Bcc

(A (A ∩∩ B) B)cc = A = Acc U U B Bcc

Muchas graciasMuchas gracias

Lic. ENRIQUE CRUZ MITA