CUERPOS DE

REVOLUCIÓN

• TIPOS DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN:

CILINDRO

CONO

TRONCO DE CONO

ESFERA

DEFINICIÓNUn cuerpo de revolución es un cuerpo generado cuando una figura plana gira alrededor de un eje fijo

C I L I N D R OEl cilindro es el cuerpo engendrado por un

rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

ELEMENTOS DEL CILINDRO• Bases: dos círculos

iguales y paralelos.• Superficie lateral: la cara

lateral no plana, cuyo desarrollo es un rectángulo.

• Eje: el lado fijo del rectángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra al cilindro.

• Radio: el radio de las bases.

• Altura: distancia entre las dos bases.

altura

r

CILINDRO OBLICUO

ÁREA DEL CILINDROAl desarrollar un cilindro se obtiene un

rectángulo y dos círculos iguales, que constituyen las bases:

Área lateral, : Es el área de un rectángulo cuya base es la

longitud de la circunferencia de la base, 2πr, y la altura, h, es la altura del cilindro o generatriz, g:

Área de las bases, : Es la suma de las áreas de las dos

bases. Como las bases son círculos, cada una

tendrá un área:

El área total de un cilindro es la suma del área lateral más el área de las dos bases:

VOLUMEN DE UN CILINDROUn cilindro y un prisma recto con la misma altura, bases

de igual área y secciones también de la misma área, según el principio de Cavalieri, tendrán igual volumen.

Si el radio del cilindro es r y la altura h, su volumen será:

CONOLlamamos cono al cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos

ELEMENTOS DEL CONO• Altura : la distancia desde el vértice al plano de la base

• Generatriz : la hipotenusa del triángulo rectángulo

• Radio : el radio de la base

• Eje : el cateto fijo del triángulo que al girar engendra el cono

• Superficie Lateral : la cara lateral no plana cuyo desarrollo es un sector circular

radio

CONO OBLICUO

ÁREA DEL CONO

El área total de un cono es la suma del área lateral más el área de la base:

ÁREA DEL CONOEl área lateral es el área de un sector circular de base 2πr y de altura g:

grgralturalongitud

Alateral

ππ =⋅=⋅=2

2

2

El área de la base es el área de un círculo de radio r, por lo tanto:

2rgrAAAbaselateralcono

ππ +=+=

VOLUMEN DE UN CONO

Un cono y una pirámide de la misma altura e iguales áreas de la base y de las secciones, por el principio de Cavalieri, tendrán el mismo volumen

hralturaAVbasecono

⋅=⋅= 2

31

31 π

r

TRONCO DE CONO

Un tronco de cono es el cuerpo de revolución engendrado por un trapecio rectángulo al girar sobre el lado perpendicular a sus bases

ÁREA DEL TRONCO DE CONO

menorbasemayorbaselateralconotroncoAAAA ++=

ÁREA DEL TRONCO DE CONOEl área lateral es un sector de corona circular que podemos considerar como un trapecio curvilíneo, y aplicando la fórmula del área del trapecio:

2

)( alturamenorbaselongitudmayorbaselongitudAlateral

⋅⋅=

grRgrRgrR

Alateral

⋅+=⋅+=⋅+= )(2)(2

2)22( ππππ

ÁREA DEL TRONCO DE CONO

menorbasemayorbaselateralconotroncoAAAA ++=

22)( rRgrRAconotronco

πππ ++⋅+=

VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO

El volumen de un tronco de cono se calcula como la diferencia de los volúmenes de los dos conos asociados

menorconomayorconoconotroncoVVV −=

)(3

1 22 hrHRVtroncocono

⋅−⋅= π

ESFERALlamamos esfera al cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo al girar sobre su diámetro

SUPERFICIE ESFÉRICA es la superficie que cubre la esfera

ELEMENTOS DE UNA ESFERA

•Radio: Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie esférica

• Semiesfera: es una de las partes en la que queda cortada una esfera por un plano que pasa por su centro

• Hemisferio: es la porción de superficie esférica de una semiesfera

ELEMENTOS DE UNA ESFERA

Paralelos: Las circunferencias que se obtienen al cortar una esfera por planos perpendiculares a su eje

Meridianos: Las circunferencias máximas que pasan por los polos

ELEMENTOS DE UNA ESFERA

Segmento esférico – es la porción de esfera que obtenemos al cortar una esfera por un plano que no pasa por su centro

Casquete esférico – es la porción de superficie esférica delimitada por un segmento esférico

ELEMENTOS DE UNA ESFERA

CUÑA ESFÉRICA

ZONA ESFÉRICA

ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA

24 rAesfera

π=

3

34rV

esferaπ=