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CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LAS

ESTRUCTURAS

En esta parte definiremos con mayor precisión algunos conceptos. Muchos de ellos ya han sido manejados en este curso o en otros anteriores y en estos casos se trata de realizar un repaso de ideas.

1. Estructura Una estructura para la ingeniería civil puede tener diferentes características y funcionalidades. Por ejemplo usualmente se dice que un edificio, un puente, una represa un muelle o un silo son estructuras. Muchas veces se usa también el termino estructura para designar aquella parte que “soporta y trasmite” las diversas “acciones” que actúan sobre la construcción. Esta es una utilización del termino mas precisa. Las acciones sobre la estructura pueden provenir del peso propio de la construcción, de las sobrecargas de uso, del viento, del oleaje, de un sismo, etc. De manera general se puede decir que cualquier obra civil precisa tener una estructura debidamente diseñada. Ello implica tener en cuenta los siguientes atributos:

a) Funcionalidad. O sea debe permitir que la construcción cumpla adecuadamente la función para la cual fue concebida.

b) Seguridad. O sea debe soportar las cargas a las que se verá sometida durante su construcción y su uso a lo largo de toda su vida útil prevista.

c) Economía. Debe construirse usando materiales y procedimientos constructivos adecuados y teniendo en cuenta los costos de las diferentes alternativas.

d) Estética. Debe tener una apariencia adecuada que contribuya (o no vaya en detrimento) con la estética de la construcción.

En muchos casos además de los cuatro atributos mencionados, deben cumplirse otros requisitos. Un caso muy claro que puede mencionarse es el impacto ambiental que la construcción puede producir. El peso relativo de cada uno de los aspectos señalados va a depender de las finalidades que tenga la estructura. Por ejemplo en un teatro tendrán mayor peso los aspectos estéticos que en un galpón y así podrían mencionarse otros ejemplos.

2. Elementos que componen una estructura Una estructura puede estar compuesta de diferentes elementos. Estos pueden ser elementos lineales o elementos de superficie o elementos espaciales.

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Diremos que un elemento es lineal y le llamaremos barra, cuando una de sus dimensiones es bastante mayor que las otras dos. Estos elementos estar sometidos a solicitaciones de flexión, cortante, torsión o directa. Normalmente cuando su eje es vertical trabajan fundamentalmente soportando una directa de compresión y los denominamos pilar. En el caso que su posición sea horizontal normalmente predominan las solicitaciones de flexión, torsión y cortante y se les llama vigas. Puede haber casos especiales donde las barras juegan un rol mas complejo que no es posible asimilarlo a los casos anteriormente señalados. Los elementos de superficie son aquellos donde dos dimensiones predominan sobre una tercera (espesor). Pueden ser por ejemplo una losa o placa que trabaja fundamentalmente a flexión o una membrana que trabaja fundamentalmente a tracción o una cáscara que trabaja a flexión, tracción y compresión. Los elementos espaciales tienen las dimensiones en las tres direcciones comprables. Pueden tener formas y estados de solicitaciones que admiten ciertas simplificaciones como los estados planos o los que tienen simetría de revolución. Para resolver (hallar estados de tensiones y deformaciones en un punto genérico) los elementos de superficie o espaciales es necesario el empleo de métodos numéricos que subdividen el elemento en partes pequeñas. El mas común de éstos es el método de los elementos finitos. Para resolver una barra (elemento lineal) se puede usar el método de elementos finitos, aunque es bastante usual resolverla sin subdividirla, tomando toda la barra como un elemento.

3. Estructuras de barras A una estructura compuesta solamente por barras le llamaremos estructura de barras. En este curso de Resistencia de Materiales II, estudiaremos solamente las estructuras de barras. Otros estructuras formadas por elementos planos o espaciales serán estudiadas en otros cursos. Para el análisis de las estructuras de barras consideraremos que cada barra es un elemento o sea que no las subdividiremos. En lo sucesivo las consideraciones que se realicen estarán referidas a las estructuras de barras, salvo que expresamente se indique otra cosa.

4. Vínculos entre las barras Las barras pueden estar vinculadas entre si o a tierra (a través de los apoyos) por uniones articuladas o empotradas. Cuando todas las uniones sean articuladas (no trasmiten momentos), todas las barras trabajarán a directa y la estructura decimos que es un reticulado. En este caso solo podría aparecer flexión de las barras cuando haya cargas aplicadas en un punto interior de alguna de las barras; los esfuerzos de flexión que genera la carga se producen solo en la barra en la que esta aplicada y su calculo es muy sencillo. Cuando todas o algunas de las barras están unidas por uniones empotradas (que trasmiten momentos) aparece flexión en las barras de la estructura y diremos que la estructura es un pórtico.

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5. Materiales lineales Para resolver una estructura de barras, normalmente se utiliza la hipótesis de que los materiales son lineales, o sea que existe una relación lineal entre tensiones y deformaciones. Esta suposición tiene una aceptación generalizada, pues se considera que proporciona una aproximación suficiente a la realidad como para determinar las solicitaciones (momentos flectores, momentos torsores y cortantes) y los desplazamientos de la estructura. No obstante ello es necesario destacar que esta hipótesis es razonablemente valida dentro de ciertos rangos de tensiones, pues es claro que todo material luego de superadas ciertas tensiones se aparta considerablemente de este comportamiento. Por otro lado es conveniente señalar que el grado de aproximación depende del material utilizado. El acero tiene un comportamiento lineal prácticamente perfecto hasta que comienza a producirse su fluencia. En cambio en el hormigón es mucho menos exacta la aproximación. Normalmente en las estructuras de hormigón armado se acepta que para determinar las solicitaciones se utilicen hipótesis lineales, aunque posteriormente para dimensionar las secciones se utiliza un comportamiento no lineal del hormigón. La experiencia internacional, reconocida por las diferentes normas de calculo, ha mostrado que con este procedimiento se obtiene una razonable aproximación a la realidad. En función de lo anterior normalmente aceptaremos la hipótesis de linealidad del material para resolver la estructura.

6. Estructuras estables En la Ingeniería Civil se trabaja solamente con estructuras estables, pero es conveniente tener claro que existen estructuras o sistemas que no son estables. Veremos algunas estructuras para ejemplificar estas ideas:

Figura 1 Sistema inestable En el caso de la figura 1 se trata de una viga que tiene los dos apoyos deslizantes. Es claro que si le aplicamos una fuerza en la dirección de la viga, los apoyos no pueden oponerse a esa fuerza y en definitiva la viga comienza a moverse. Además cuando la

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viga no está sometida a ninguna carga no hay una única posición de equilibrio, pues cualquier posición (en que pueda haber quedado la viga) es de equilibrio. Otro caso que podría mencionarse es el sistema compuesto por el eje, las bielas y los pistones de un motor. En este caso el sistema no tiene forma de contrarrestar una fuerza que haga girar el eje (la fuerza puede ser externa sobre el eje o puede también ser la producida por la explosión del combustible cuando el motor se encuentra prendido) y por otro lado no tiene una solo posición de equilibrio. Cuando se apaga el motor puede quedar en cualquier posición. Los sistemas de este tipo son llamados sistemas inestables. También se dice que son un mecanismo. Desde otro ángulo podríamos decir que le falta un vínculo para tener estabilidad (en otros casos puede ser incluso mas de uno).

Figura 2 Sistema geométricamente inestable En el caso de la figura 2 se trata de dos barras horizontales con apoyos fijos en un extremo y una unión articulada entre ambas en el otro. Este sistema descargado tiene una sola posición de equilibrio. Podemos decir además que tiene vínculos suficientes (dos apoyos articulados fijos). Pero la forma que están colocadas las barras hace que para una fuerza vertical aplicada en la unión articulada entre ambas barras no existe forma de trasladarla a los apoyos. Para poder trasladarla es necesario que la estructura se deforme y se produzca un cierto ángulo α de inclinación de las barras originalmente horizontales. Recién con esta deformación el sistema comienza a poder trasmitir la fuerza. Es interesante el resultado que se obtiene si se analiza como se trasmiten las cargas en este caso. Si llamamos P a la fuerza aplicada y N a la directa de tracción en las barras tendremos que se cumple que:

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αseno

PN

*2=

Por otro lado si llamamos L a la longitud original de la barra (de sección A y modulo de elasticidad E) y ∆L a su estiramiento se tiene que:

αcos=∆+ LL

L o sea que

α

αε

cos

cos1 −=

∆=L

L y

α

αε

cos

)cos1( −== AEAEN

y αα

αα senoAENsenoP

cos

)cos1(22

−==

Tomando pequeños ángulos α y tomando los primeros términos del desarrollo en series se tiene que:

αα ≅seno y 2

2

11cos αα −≅

y en consecuencia 3αAEP ≅ y 2

2

1αAEN ≅

Resultando en definitiva que: 3/23/1)(2

1PAEN ≅

O sea que (aunque estamos asumiendo que el material es lineal, con modulo de elasticidad E) la relación entre las cargas aplicadas y las solicitaciones en las barras no es lineal. Mientras P es pequeña y en consecuencia α también lo es, N crece muy rápidamente. Este crecimiento a medida que α aumenta comienza a ser mas lento. Una estructura de este tipo es llamada geométricamente inestable. Se caracteriza por no tener capacidad en su forma original de trasmitir algún tipo de carga. La estructura tiene que cambiar su forma para poder trasmitir esas cargas. Eso implica que para cargas (P en este caso) relativamente pequeñas se producen solicitaciones (N en este caso) importantes. Tanto los sistemas inestables como los geométricamente inestables no son deseables en la ingeniería estructural y los descartaremos en nuestro análisis. Es importante si saber de su existencia, pues uno debe evitar generar una estructura que tenga esas características. En este curso trataremos de estructuras o sistemas estables. Normalmente diremos que un sistema es estable si:

a) Cuando no esta sometido a cargas tiene una única posición posible. b) Para cualquier estado de carga (conjunto de fuerzas y momentos aplicados sobre

ella) la estructura es capaz en su estado original de trasmitir las cargas a los apoyos.

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Una estructura, compuesta por materiales lineales, que cumple las condiciones anteriormente indicadas, se puede ver que cumple que:

• Para un determinado estado de carga, las solicitaciones que se producen en las barras y las deformaciones que éstas tienen están determinadas y son soluciones únicas del problema.

• Las solicitaciones y desplazamientos de la estructura admiten el principio de superposición. O sea para un estado de carga que es la suma de otros dos estados de carga, las solicitaciones y los desplazamientos son la suma de las solicitaciones y desplazamientos que se producen con cada uno de los estados de carga.

7. Estructuras isostáticas e hiperestáticas Se dice que una estructura es isostática, o esta estáticamente determinada, cuando es posible determinar totalmente las solicitaciones en todas las barras utilizando solamente las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos aplicadas sobre la estructura en forma global o sobre las partes que la integran. Cuando esto no es posible hacerlo, se dice que la estructura es hiperestática o esta estáticamente indeterminada. Para resolver la estructura en estos casos es necesario imponer además de las condiciones de equilibrio, condiciones de compatibilidad. Las condiciones de compatibilidad se refieren a los movimientos o deformaciones de la estructura que están limitados por alguna razón. Estas condiciones pueden provenir de las limitaciones que impone un apoyo o los vínculos que se generan entre las barras que concurren en un punto o a condiciones de continuidad de las barras como fue el caso visto de vigas continuas. Se llama grado de hiperestaticidad de una estructura a la cantidad de ecuaciones de compatibilidad que es necesario agregar, a las que provienen de las condiciones de equilibrio, para resolver la estructura. Lógicamente en una estructura isostática el grado de hiperestaticidad es cero. La hiperestaticidad de una estructura puede provenir a veces exclusivamente de los apoyos que tiene la estructura, cuando no es posible calcular las reacciones existentes en los apoyos, como en los casos de la figura 3. Se le llama hiperestaticidad externa.

Figura 3 a Estructuras con hiperestaticidad externa

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Figura 3 b Estructuras con hiperestaticidad externa También puede suceder que las reacciones puedan ser determinadas empleando condiciones de equilibrio, pero que las características internas de la estructura generen la hiperestaticidad como se puede ver en la figura 4. Se le llama hiperesticidad interna.

Figura 4 Estructura con hiperestaticidad interna

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En el caso mas general la hiperestaticidad puede ser de ambos tipos como puede verse en la figura 5.

Figura 5 Estructuras con hiperestacidad interna y externa El grado de hiperestaticidad puede ser considerado, desde otro ángulo, como el número de restricciones que es necesario eliminarle a la estructura para convertirla en una estructura isostática. Por ejemplo en la figura 3 a si eliminamos un apoyo deslizante desaparece una incógnita. Mientras que en la 3 b si eliminamos un empotramiento desaparecen tres incógnitas (el momento, la fuerza vertical y la fuerza horizontal). Se puede agregar que cuando eliminamos un apoyo fijo desaparecen 2 incognitas (la fuerza horizontal y la fuerza vertical). En el caso de la estructura 3 a debiéramos eliminar dos apoyos para que quede isostática, o sea que la estructura tiene grado de hiperestaticidad 2. En el caso de la estructura 3 b debemos eliminar un apoyo empotrado de manera que el grado de hiperesticidad es 3. En el caso de la figura 4 si realizamos un corte a uno de los marcos eliminamos 3 incógnitas (la directa el cortante y el momento flector). Para convertirla en isostática debiéramos realizarle un corte a cada uno de los marcos. De manera que el grado de hiperestaticidad de esta estructura es 6. En el caso de la figura 5 los grados de hiperesticidad son 6 y 4 respectivamente.

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8. Desventajas y ventajas de las estructuras hiperestáticas Un primer aspecto que las diferencia (de las estructuras isostáticas) es su comportamiento frente a los cambios de temperatura o a los descensos de los apoyos. Si la estructura es isostática estos efectos no producen solicitaciones mientras que si la estructura es hiperestática se producen solicitaciones en la estructura. Esta sería una desventaja de las estructuras hiperestáticas. En su defensa (sobre todo en el caso de las estructuras de hormigón) podemos decir que el hormigón bajo ciertas cargas constantes se deforma y va perdiendo las tensiones (fenómeno conocido como relajamiento) o sea que luego de un tiempo el material se acomoda y las tensiones que tenía (producidas por ejemplo por el descenso de un apoyo) van disminuyendo. Si se consideran las dificultades para analizar y resolver una estructura se tiene que las solicitaciones en una estructura hiperestática dependen de las propiedades de las barras (Área, Inercia y Módulo de elasticidad) mientras que en una estructura isostática las solicitaciones son independientes de las propiedades de las barras. Es por eso que en las estructuras hiperestáticas, a veces es necesario realizar un proceso de cálculo iterado que vaya ajustando las características de las barras a las solicitaciones que se obtienen. Esta sería una dificultad mayor para las estructuras hiperestáticas. La necesidad de usar ecuaciones adicionales a las de equilibrio introduce también una dificultad adicional. Si se emplean métodos manuales estas pueden significar dificultades importantes pero si la resolución de las estructuras se hace usando métodos computacionales la dificultad es prácticamente la misma que cuando resolvemos una estructura isostática. Por eso es que actualmente esta no puede considerarse una diferencia significativa. Las estructuras hiperestáticas pueden tener momentos en los extremos de las barras que se trasmiten en los nudos. Una utilización adecuada de esta propiedad permite disminuir los valores de las solicitaciones máximas y de las flechas para la misma carga. Con ello puede diseñarse la estructura con barras de menores dimensiones que las que se precisaría si la estructura fuera isostática. Esto significa ventajas económicas y también ventajas espaciales pues la estructura ocupa menos espacio. Otra ventaja significativa de las estructuras hiperestáticas es que pueden tener una falla sin producirse el colapso. O sea la estructura continua prestando sus funciones y redistribuye las cargas internamente. Una estructura isostática en cambio si tiene una falla colapsa inexorablemente. Las características de la estructura que se desea diseñar pueden inclinar la decisión hacia uno u otro tipo de estructura, pero es claro hoy día que las dificultades de análisis han dejado de ser un elemento que condiciona la decisión.

9. Estructuras espaciales En el caso mas general de una estructura esta puede tener cualquier forma. No tiene porque ubicarse en un plano. Diremos en este caso general que se trata de una estructura espacial. Por otro lado las fuerzas también podrán tener cualquier dirección.

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En esta situación las ecuaciones estáticas de equilibrio de la estructura pasarán, de las tres que corresponden al caso plano, a seis. Tres surgen de anular la resultante de todas las fuerzas (en las tres direcciones) y tres de anular el momento resultante (también en las tres direcciones). Un apoyo empotrado podrá producir fuerzas y momentos en las tres direcciones o sea que significará, en vez de las tres incógnitas del caso plano, la existencia de seis reacciones incógnitas. Por su lado un apoyo fijo articulado podrá producir, en vez de dos incógnitas como en el caso plano, tres reacciones incógnitas. En forma similar se puede razonar para otros tipos de apoyo, parcialmente empotrados, deslizantes, etc. Una estructura espacial isostática deberá tener por lo menos, en vez de tres reacciones incógnitas como en el caso plano, seis reacciones incógnitas. Análogamente tendremos que cada nudo de la estructura tendrá en el caso de un reticulado espacial tres desplazamientos y en el caso de un pórtico espacial tendrá seis desplazamientos posibles (tres desplazamientos y tres giros). Una barra de un reticulado espacial estará sometida solamente a directa igual que en el caso de un reticulado plano. Pero una barra de un pórtico tendrá además de la directa, momentos flectores en las dos direcciones posibles, dos cortantes y el momento torsor. O sea seis solicitaciones en vez de las tres del pórtico plano (cortante momento flector y directa). Un nudo de un reticulado tendrá tres desplazamientos posibles. Las fuerzas directas, que concurren al nodo, tendrán que cumplir tres ecuaciones de equilibrio. En un pórtico un nudo tendrá seis desplazamientos (tres desplazamientos y tres giros) y se podrán formar 6 ecuaciones de equilibrio (tres de equilibrio de las fuerzas y tres de equilibrio de los momentos. Un caso particular de problema espacial es cuando la estructura es plana pero las cargas son perpendiculares al plano. Este tipo de estructuras son muy comunes y son usadas generalmente en las plantas horizontales de los edificios. Son llamadas “emparrillados” y serán vistas mas adelante.

10. Métodos de las fuerzas y de los desplazamientos Los métodos para resolver una estructura hiperestática pueden ser agrupados en dos grandes familias. Una de las familias esta constituida por los llamados métodos de las fuerzas. Estos métodos se basan en tomar como incógnitas fuerzas, pueden ser algunas reacciones o la solicitación en algún punto. Para construir las ecuaciones que permiten calcular las incógnitas se impone que se cumplan condiciones en desplazamientos. Por ejemplo en las vigas continuas tomamos como incógnitas los momentos flectores en los apoyos e impusimos la condición (de continuidad de la viga) que los giros de las dos barras que llegan al apoyo sean iguales. El método empleado pertenece a la familia de los métodos de las fuerzas. La otra familia es la de los métodos de los desplazamientos. Estos toman como incógnitas los desplazamientos de nudos y apoyos de la estructura e imponen condiciones de equilibrio de fuerzas en nudos y apoyos.

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Los métodos de las fuerzas permiten ver de manera mas clara el comportamiento de las estructuras. Se ajustan mas a la intuición que uno tiene de las mismas. Son utilizados fundamentalmente para cálculos manuales. Sin embargo los métodos de los desplazamientos son los que predominan actualmente. No requieren adoptar decisiones del ingeniero durante el proceso de calculo. Son mas sencillos para ser programados. Prácticamente todos los programas de calculo los utilizan. Algunos métodos como slope deflection que veremos en el curso pueden ser utilizados para cálculos manuales. Otros como los de análisis matricial son aplicados por los programas de cálculo pero no son cómodos para su utilización en cálculos manuales.

Estos apuntes fueron elaborados por:

Dr. Ing. Atilio Morquio

Ing. Agustín Spalvier

Colaboraron en la corrección:

Ing.. María Laura Reboredo